Análisis en Rn - CLASE 16

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Análisis en - CM3C1
PROFESOR: ALEJANDRO EDUARDO HIDALGO GORDILLO
CLASE 15 y 16: Derivadas Direccionales
1
Derivadas Direccionales
Tenemos la aplicación abierto. Vimos que las derivadas parciales nos da información sobre la monotonía de en las direccionales . Ahora generalizaremos y consideraremos una dirección cualquiera dado por un vector no nulo .
Derivadas Direccionales
Sean definido en el abierto y . La derivada direccional de en el punto , según el vector , es, por definición el limite 
.
Derivadas Direccionales
Analogamente a las derivadas parciales. La derivada direccional es la derivada en el punto de la función compuesta , con el camino rectilíneo , con tan pequeño para que la imagen de . Y se tiene .
Derivadas Direccionales
Si tiene un comportamiento monótono decreciente (estricto) a lo largo del segmento , osea en la dirección . El vector dirección no necesariamente es unitario.
El siguiente ejemplo muestra que una función puede tener para todo , pero no se garantiza que la función sea continua en .
Derivadas Direccionales
Si tiene un comportamiento monótono decreciente (escrito) a lo largo del segmento , osea en la dirección . El vector dirección no necesariamente es unitario.
El siguiente ejemplo muestra que una función puede tener para todo , pero no se garantiza que la función sea continua en .
Ejemplo
Sea la función 
Existe 
Ejemplo
En efecto; , entonces si en el otro caso 
Por otro lado, toma valor a lo largo de la parábola , excepto en . Por lo tanto no es continua en .
Ejemplo
Sea la función 
Las derivadas parciales: , análogamente .
Si , cuando y , , no existe limite si .
La linealidad del vector v
Sea abierto, y . Consideremos la aplicación , aceptamos que existe esta derivada direccional (de en el punto , en cualquier dirección ), convenimos 
ρ es homogéneo 
Tomando , entonces .
Por otro lado lado en el ejemplo siguiente se muestra que la derivada dirección puede existir en todos los puntos del dominio de y para cualquien pero no cumplirse .
Ejemplo
Sea . 
Se verifica que existe , para todo y en cualquier dirección . El caso particular 
Ejemplo
Si y no se cumple, es continua en . En el origen también .
Luego veremos que si es “diferenciable”, será lineal.
Ejemplo
Sea definido por si y .
En la función es, evidentemente, continua. Pero en no pues .
Hallando las derivadas direccionales, si existe para todo 
. Por lo tanto las derivadas direccionales , y dependen linealmente de .
 :Consideremos . Entonces . Existe , es lineal en .
Teorema del Valor Medio
Sea abierto. Supongamos que el segmento es continuo en y que existe la derivada direccional , según , en todo punto . Entonces existe tal que .
Demostración
Definiendo la función , por hipótesis sobre es continua en y derivable en . Por el teorema del valor medio para funciones reales de variable real, existe tal que . Tenemos
 y 
Observacion
La existencia de en cada punto de solo asegura la continuidad sobre , no necesariamente sobre .
Corolario 
Sea abierto y conexo. Si tiene derivadas direccionales en todo punto y para cualquier vector , entonces es constante.
En efecto; notemos que siendo abierto y conexo, es conexo por caminos (poligonales).
Fijando . Como existe en , entonces es continua sobre cualquier segmento . Aplicando el Teorema del valor medio 
Ahora tomando cualquier , se puede ligar con mediante una poligonal en con vértices . Tenemos sucesivamente , para todo luego es constante.
Corolario 
Sea abierto y conexo. Si tiene derivadas direccionales en todo punto y para cualquier vector , entonces es constante.
Corolario 
En efecto; notemos que siendo abierto y conexo, es conexo por caminos (poligonales).
Fijando . Como existe en , entonces es continua sobre cualquier segmento . Aplicando el Teorema del valor medio 
Corolario 
Ahora tomando cualquier , se puede ligar con mediante una poligonal en con vértices . Tenemos sucesivamente , para todo luego es constante.
Funciones Diferenciables 
La definición de función diferencial que daremos es una extensión del concepto de función derivable de una variable.
Definicion 
Dada la función abierto, y sea . 
Diremos que la función es diferenciable en el punto cuando existe una transformación lineal tal que , donde 
-Funciones Diferenciables 
Notación: 
Si se tiene 
Si , el segundo miembro tiene limite, entonces 
Es decir si es diferenciable en entonces existen las derivadas parciales . Mas aun se tiene una equivalencia a la definición .
Propiedad
Diremos que una función es diferenciable en el punto cuando existen las derivadas parciales , además de eso, para todo vector tal que , se tiene , donde .
Consecuencias
En la igualdad el resto es la diferencia esto diferencia se puede tener, si tiene derivadas parciales. Lo esencial de la diferenciabilidad, es el comportamiento del resto 
Consecuencias
De , se tiene , pues . De esto resulta que una función diferenciable en un punto es continua en ese punto. En efecto, , tenemos .
Consecuencias
La condición significa, entretanto, más que , ella quiere decir que tiende mas rápidamente que , esto es, para valores de suficientemente pequeño (muy próximo a cero), la norma de es una fracción arbitrariamente pequeño de . Y se dice que es un infinitésimo de orden superior a . Y se puede afirmar: es diferenciable en el punto cuando el incremento es igual a una función lineal de , mas un resto infinitamente pequeño en relacion a .
.
Consecuencias
A veces es preferible usar, a cambio de la función Con esto; es diferenciable en el punto si, y solo si, tiene derivadas parciales en ese punto y, para todo tal que , vale , donde Así, es diferenciable en el punto si, y solo si; la función real es continua en el punto .
Consecuencias
Sea es diferenciable en el punto , esto asegura la existencia . También se asegura la existencia ). En efecto; para suficientemente pequeño, tenemos . 
Propiedad
Si es diferenciable en el punto entonces la derivada direccional es lineal (en ): y .
Una propiedad importante de las funciones diferenciables es la siguiente.
Teorema (Regla de la Cadena)
Sean abiertos, tal que y cada función coordenada diferenciable en el punto . Sea ahora diferenciable en el punto . Entonces la función compuesta es diferenciable en el punto y sus derivadas parciales son .
Demostración
 diferenciable en 
Tenemos 
, donde . La diferenciabilidad de asegura 
Demostración
Entonces 
 
Pues .
Funciones de clase 
Sea una función que tiene las derivadas parciales en todos los puntos del abierto .
Entonces tenemos definidas funciones:
Si estas funciones son continuas en , diremos que es una función de clase 
Funciones de clase 
Una función , se dice de clase cuando cada uno de sus funciones coordenadas son de clase .
En el teorema de la regla de la cadena, di y son ambos de clase entonces 
En efecto; en la fórmula, si , 
Siendo y continuas, , entonces es continua, por lo tanto . 
Observación
Respecto a las notaciones en la regla de la cadena: y , los puntos de son y los de son , . La derivada seria “la derivada de en relación a la variable , denotando . asi la regla de la cadena seria . Luego en el segundo curso se tendrá una fórmula intrínseca, independiente de las coordenadas.
Corolario 1
Consecuencias de la regla de la cadena:
Si es diferenciable en el punto y si es un camino diferenciable en , con y , entonces la función compuesta es diferenciable en el punto , y se tiene
Corolario 1
;
Denotando 
Indicando con la derivada de la función compuesta , la regla de la cadena asumela forma clásica 
Corolario 2
Sean un conjunto abierto, diferenciable en el punto , con diferenciable en el punto . Entonces es diferenciable en el punto y para cada vale 
Corolario 2
En efecto, la fórmula de la regla de la cadena
Se obtiene:
Funciones de clase 
Una función abierto, se dice de clase cuando existen, en cada punto , las derivadas parciales y las funciones , son continuas.
Funciones de clase 
Generalizando; diremos que una función es de clase cuando ella tiene derivadas parciales en todos los puntos de y las funciones son de clase , . Para completar el proceso de inducción diremos que es de clase cuando ella es continua. .
Escribiremos , y diremos que es de clase , cuando para todo . Es claro , son inclusiones estrictas.
Ejemplo 
Un polinomio de dos variables es una función . Todo polinomio es una función continua y tiene derivadas parciales . estas derivadas son todavía polinomios y por tanto son continuas en . Luego . Asi las derivadas de , siendo polinomios, son de clase , por tanto Procediendo inductivamente, todo polinomio es de clase , para todo . Análogamente para polinomios de variables, son .
Teorema (condición suficiente para la diferenciabilidad)
 
Si una función tiene derivadas parciales en todos los puntos del abierto y cada una de ellas es continua en el punto , entonces es diferenciable en .
Demostración 
Por simplicidad consideramos . Consideremos un punto y tomamos al que . Sea 
 …….. (1)
 (*) 
Demostración 
Podemos escribir;
Por (*) existen tal que
Demostración 
 
Como y . La continuidad de y en el punto nos asegura . Luego por (1) es diferenciable en .
Corolario 1
Toda función de clase es diferenciable.
Ahora un corolario relacionado a la regla de la cadena; si y entonces .
Corolario 2
Sean abiertos, tal que y cada función coordenada es de clase . Además es de clase . Entonces la función compuesta es de clase .
Demostración
Si la composición de funciones continuas es continua.
Si . Por la regla de la cadena tenemos, para todo 
O como igualdad de funciones 
Demostración
Por inducción, el corolario fue probado para clase . Ahora para , sean y de clase entonces es de clase también esto sí, y solo si . El producto de funciones de clase es de clase , y también la suma lo es. Así todas