Análisis en Rn - CLASE 18

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Análisis en - CM3C1
PROFESOR: ALEJANDRO EDUARDO HIDALGO GORDILLO
CLASE 17 y 18: La diferencial de una función
1
LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
La derivada de un camino en un punto , es un vector llamado vector velocidad en el punto 
Equivalentemente
Sin embargo se puede interpretar, que la derivada de , en , es una transformación lineal , definido con el vector . Pero esencialmente la derivada de en es un vector .
LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
Ahora en una función , la derivada de en , vimos, que es una funcional lineal
					 lineal.
La de en el punto es la funcional lineal cuyo valor en se da por
LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
La funcional lineal matricialmente es de orden . Respecto a la base canónica es 
									 
Cuando es diferenciable en todo punto de , se obtiene una aplicación que relaciona a cada punto la funcional lineal que matricialmente es
						 
LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
La aplicación es continua sí, y solo si cada uno de sus funciones coordenadas es continua y esto se da sí, y solo si es de clase .
En análisis, la base canónica de se indica por . Luego 
Donde 
LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
De esto tenemos 
Esta igualdad vale para todo , entonces
Como se esperaba la funcional lineal es una combinación lineal de las funcionales . 
LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
Finalmente esta igualdad se da para todo punto , podemos escribir
Si consideramos que cada es función de un parámetro real , tenemos la composición de funciones siguientes: y (*) es la expresión formal de la regla de la cadena, entonces derivando respecto a en (*) se tiene
Ejemplo 
Sea la funcional lineal , tenemos , entonces , para todo . De esto 
Teorema 
Sean las funciones diferenciables en el punto . Entonces:
 es diferenciable en . Además .
 es diferenciable y . 
Si para todo , entonces es diferenciable y 
Demostración (ejercicio)
Propiedad (Teorema del valor medio) 
El Teorema del Valor Medio, ya demostrado, exigía como hipótesis la existencia de una derivada direccional en un segmento. La siguiente propiedad es el mismo teorema del valor medio con hipótesis más fuertes.
Propiedad (Teorema del valor medio) 
Sea diferenciable en todos los puntos del segmento de recta abierto y sea continua en su restricción al segmento cerrado .
Existe tal que
donde .
Corolario 1
Sea abierto y conexo. Si es diferenciable y , es decir, , para todo entonces es constante.
Corolario 2
Sean un abierto convexo y una función diferenciable. Si para todo entonces, para cualquier , tenemos .
Comentario
En un abierto que además es convexo, toda función que tiene diferencial acotado es Lipschitziana.
En el corolario 2. se tiene una funcional lineal cuya norma es
	donde la norma puede ser la euclideana, del máximo y de la suma.
Del corolario 2, si es diferenciable y sus derivadas parciales son acotadas en el abierto convexo , entonces es uniformemente continua en , y se puede extender a una función uniformemente continua: .
EL GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DIFERENCIAL
Algebra Lineal lineal
Sea un espacio vectorial de dimensión finita el correspondiente espacio dual es
 
 . Si es una base de , la base dual correspondiente (de ) es donde 
Teorema: Sea un espacio vectorial real de dimensión finita, con producto interno. La función tal que para todo , es un isomorfismo.
EL GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DIFERENCIAL
En el curso el producto interno es el euclideano y el isomorfismo es , a cada vector le corresponde la funcional lineal con para todo , así si entonces , entonces la matriz de , según la base canónica de es .
EL GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DIFERENCIAL
Definición 
Dada la función diferenciable abierto. La gradiente de en el punto es el vector que corresponde a la funcional lineal según el isomorfismo descrito de esto 
En particular , luego .
EL GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DIFERENCIAL
Conceptos 
Dada de clase , el conjunto es llamado el conjunto de nivel de la función . Si el conjunto es llamado curva o línea de nivel , el esta definida por la ecuación . Análogamente si el conjunto definido por es llamado superficie de nivel de la función . Para ciertas funciones puede ser que no sea curva de nivel o no ser superficie de nivel.
EL GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DIFERENCIAL
Ahora veremos algunas propiedades de la gradiente nos da información sobre el comportamiento de la función.
Para esto, fijamos , supondremos y que . Entonces 
El gradiente apunta para una dirección según el cual es creciente.
Dentro de todas las direcciones a lo largo de las cuales crece, la dirección de la gradiente es el de crecimiento más rápido.
La gradiente de en el punto es ortogonal al conjunto de nivel de que pasa por .
EL GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DIFERENCIAL
Veamos lo que significa estas afirmaciones
Consideremos el vector , tenemos . Esto significa que si es tal que y entonces la función tiene derivada positiva en . Luego, disminuyendo si es necesario será una función creciente esto significa que crece en la dirección del gradiente.
EL GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DIFERENCIAL
Como , los vectores que apuntan para las direcciones a lo largo del cual crece son aquellas para los cuales se tiene , esto es, aquellos que forman un ángulo agudo con . Decir que el crecimiento de es más rápido en la dirección del gradiente significa lo siguiente: si es tal que entonces . En efecto, por la desigualdad de Schwarz; .
EL GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DIFERENCIAL
Que es ortogonal al conjunto de nivel significa que, dado cualquier camino diferenciable en el punto con se tiene . Ahora significa que , para todo es decir es constante, igual a , de esto se tiene , por lo tanto es perpendicular a , vector velocidad en el punto de cualquier camino diferenciable , contenido en el conjunto de nivel .
Ejemplo
. La curva de nivel 0, o sea son dos rectas perpendiculares .
Si , la curva de nivel es la hipérbola que tiene como eje el eje-.
Si , la curva de nivel es la hipérbola con eje el eje-.
La gradiente de es el vector .
Ejemplo
Sea , si debe ser abierto . Sea . Tenemos la curva de nivel 1, y las funciones . tomamos el punto Se verifica y . 
Ejemplo
Este vector indica la dirección de mayor crecimiento de en el punto . La magnitud de esta derivada direccional máximo es . Además es el vector tangente de la curva de nivel , en el punto . Es claro es ortogonal a 
Ejemplo
La gráfica de es la parte superior de la esfera de centro y radio .
LA REGLA DE LEIBNIZ Y EL TEOREMA DE SCHWARZ
Sea una función que tiene las derivadas parciales en todo punto abierto.
Tenemos las funciones .
LA REGLA DE LEIBNIZ Y EL TEOREMA DE SCHWARZ
La -ésima derivada parcial de la función , si existe, en el punto se indicara por . 
Si estas derivadas parciales de segundo orden existieran en cada punto , tendríamos funciones , si estas son continuas entonces .
La existencia de las derivadas parciales de segundo orden en todos los puntos de no aseguran la siguiente igualdad 
Ejemplo 
Sea , si y . Para todo se tiene luego .
Por lo tanto .
Por cálculo análogo se obtiene 
-Ejemplo 
Luego .
En todo punto donde existen las derivadas parciales de segundo orden de la función , los números forman una matriz , llamada matriz hessiana de la función .
El teorema de Schwarz afirma que si es de clase entonces la matriz hessiama de es simétrica.
Previamente trataremos dos propiedades necesarias.