Análisis en Rn - CLASE 20

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Análisis en - CM3C1
PROFESOR: ALEJANDRO EDUARDO HIDALGO GORDILLO
CLASE 19 Y 20: LA REGLA DE LEIBNIZ Y EL TEOREMA DE SCHWARZ
1
LA REGLA DE LEIBNIZ Y EL TEOREMA DE SCHWARZ
Sea una función que tiene las derivadas parciales en todo punto abierto.
Tenemos las funciones .
LA REGLA DE LEIBNIZ Y EL TEOREMA DE SCHWARZ
La -ésima derivada parcial de la función , si existe, en el punto se indicara por . 
Si estas derivadas parciales de segundo orden existieran en cada punto , tendríamos funciones , si estas son continuas entonces .
La existencia de las derivadas parciales de segundo orden en todos los puntos de no aseguran la siguiente igualdad 
Ejemplo 
Sea , si y . Para todo se tiene luego .
Por lo tanto .
Por cálculo análogo se obtiene 
-Ejemplo 
Luego .
En todo punto donde existen las derivadas parciales de segundo orden de la función , los números forman una matriz , llamada matriz hessiana de la función .
El teorema de Schwarz afirma que si es de clase entonces la matriz hessiama de es simétrica.
Previamente trataremos dos propiedades necesarias.
Lema 1
Sean un conjunto arbitrario y compacto. Fijaremos un punto i es continua entonces, para todo se puede obtener tal que y 
 para cualquier .
Demostración 
En el primer capítulo.
Regla de Leibniz (Derivación sobre y dentro de la integral)
Dado abierto, sea una función con las siguientes propiedades
 continua
La -ésima derivada parcial existe para todo y la función es continua.
Regla de Leibniz (Derivación sobre y dentro de la integral)
Entonces la función , dada por , tiene –ésima derivada parcial en cada punto , siendo .
Es decir se puede derivar sobre la integral, con tal que el integrando resultante sea función continua.
Demostración
Para y suficientemente pequeño, el segmento está contenido en . Entonces
 
Demostraremos que dado , existe tal que, para todo y todo , el último integrando en valor absoluto es menor que . Esto demostraría la regla.
Demostración
Por el teorema del valor medio, para cada existe tal que
Como es continua, el lema anterior asegura que dado un es posible tener un tal que se tenga
para todo , desde que 
Demostración
Por lo tanto
luego 
Lema 2 
Sea continua. Definimos , para cada 
Entonces es continua en cada punto .
Corolario 
Si es continua y tiene derivadas parciales continuas , entonces definida por , es de clase .
Corolario 
En efecto; satisface las hipótesis del teorema entonces . 
Como es continua, por el lema 2 es continua .
Teorema (de la inversión del orden en la integrales interadas)
Para toda función continua se tiene
Demostración
Sea la función 
Se cumple . Por la regla de Leibniz , pues es continua en . Por el teorema fundamental del cálculo
El Teorema de Schwarz
Sea diferenciable en el abierto. Tenemos las funciones solo diferenciables en un punto . Si todos lo son, diremos que es dos veces diferenciables en el punto . En este caso para todos existen las derivadas parciales de segundo orden
El Teorema de Schwarz
Cuando es dos veces diferenciable en todos los puntos de , tenemos funciones
Si todas esas funciones son diferenciables en un punto, diremos que es tres veces diferenciable en aquel punto. Y se puede continuar.
El Teorema de Schwarz
Si es diferenciable. De los conceptos dados si es veces diferenciable.
El teorema de Schwarz asegura, mediante hipótesis naturales, el orden en que son tomadas las derivadas repetitivas no influyen en el resultado final.
Teorema de Schwarz
Sea dos veces diferenciable en el punto . Para cualquier , se tiene
Demostración
Para no complicar las notaciones se considera 
Sea se probara .
Para un pequeño existe el cuadrado contenido en . Para todo hagamos
Ahora, escribiendo , se tiene .
Demostración
Por el teorema del valor medio para funciones reales de variable real existe tal que 
Demostración
Siendo la función diferenciable en tenemos 
-Demostración
Restando :
luego se tiene 
Por un procedimiento análogo, usando la función se obtiene
Se tiene una segunda versión del teorema de Schwarz como consecuencia de la Regla de Leibniz
Teorema de Schwarz (Segunda versión)
Sea tal que existen y en todos los puntos de . Si las funciones son continuas, entonces la derivada existe en todos los puntos de y se cumple 
Demostración
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que un rectángulo en .
Tomando un punto , el teorema fundamental del cálculo nos permite tener
Demostración
Como es continua se puede aplicar la regla de Leibniz. Derivando respecto a ; en 
Ahora derivando respecto a , obtenemos
pues no depende de además el integrando en el segundo miembro es continuo.
Observaciones 
La permutación de las integrales iteradas y el teorema de Schwarz resultan de la regla de Leibniz. Con estas propiedades y ciertas hipótesis adicionales, permiten invertir el orden de dos limites sucesivos. Y esta propiedad otros resultados importantes en Análisis
Un caso más simple del teorema es: Si (en vez de dos veces diferenciable) entonces .
Observaciones 
El Teorema de Schwarz, se aplica para derivadas repetidas de orden superior a la segunda. Por ejemplo una función , tres veces diferenciable en el abierto . Existe 6 derivadas mixtas de tercer orden para , y son
Observaciones 
Se puede verificar que las tres de son iguales y también en . En efecto
 y, por otro lado, si tenemos
Análogamente para 
Por simplicidad representamos por las 3 derivadas de y por las 3 de .
Observaciones 
El proceso se generaliza: Si es una función -veces diferenciable en el abierto , entonces para toda secuencia de números enteros no negativos con , la derivada de orden , que consiste en derivar veces en relación a veces en relación a (algunos de los puede ser igual a cero), no depende del orden en que esas derivadas fueron efectuadas. Este es el enunciado general del Teorema de Schwarz.
FORMULA DE TAYLOR; puntos críticos
La fórmula de Taylor para una función , es la siguiente:
 
Según las hipótesis dadas y los objetivos que se desean tenemos, como en funciones reales de variables reales tres situaciones principales
Fórmula de Taylor Infinitesimal. si es veces diferenciable en el punto , entonces 
FORMULA DE TAYLOR; puntos críticos
Resto de Lagrange . suponiendo de clase veces diferenciable en el segmento abierto , entonces existe tal que 
FORMULA DE TAYLOR; puntos críticos
Resto Integral. Si es de clase y entonces 
Si escribimos
y así sucesivamente.
FORMULA DE TAYLOR; puntos críticos
Resto Integral. Si es de clase y entonces 
Si escribimos
y así sucesivamente.
Comentario (antes de la demostración)
Para cada entero , la forma se llama -esima diferencial de la función en el punto . El valor de en el vector se denota por , para hacer notar que trata de un polinomio homogéneo de grado en las coordenadas de (se verifica la homogeneidad) .
Demostración
2. y 3. Consideremos la función de variable real y aplicamos los resultados de la serie de Taylor en :
con y la -esima derivada de en el punto 
Demostración
Por la regla de la cadena, se tiene 
Además resto de 2
Demostración
El de 3. se obtiene aplicando la serie de Taylor con resto integral de funciones reales de variable real.
El caso 1. Se demostrará. Para esto necesitamos un lema. Previamente nos planteamos el siguiente concepto de resto:
El resto es un función , donde es el abierto , , esta definida por
Demostración
Se cumple y es veces diferenciable en el punto 0, además, en el mismo, se anulan sus derivadas parcialesde orden 
Lema 
Sea abierto, una función veces diferenciable en . Si , juntamente con todas sus derivadas parciales de orden , se anulan en tal punto entonces 
Demostración
Por inducción en 
Si , por definición de diferenciabilidad
Supongamos válido para , sea una función veces diferenciable en el punto 0, con todas sus derivadas parciales de orden nulas en el origen.
Demostración
Entonces para la función es veces diferenciable y tiene las mismas propiedades, con en vez de . Por la hipótesis de inducción tenemos
Demostración
Ahora por el teorema del valor medio
. como entonces .
Corolario 
Las derivadas parciales de orden 2 de en el origen son nulas.
Demostración
Considerando la fórmula de Taylor infinitesimal
Tomando . Entonces 
dividiendo esta igualdad por luego haciendo se obtiene . 
Demostración
Ahora tomando . Obtenemos
 
. Como para todo , tenemos 
 dividiendo por y haciendo resulta 
PUNTOS CRÍTICOS
Lo que conocemos: Sea , abierto. Si es diferenciable en el punto . La diferencial de en el punto es la funcional lineal , si tenemos
Si es diferenciable en todo punto de , tenemos la aplicación 
PUNTOS CRÍTICOS
Generalizando: 
Si , la forma , forma bilineal
, forma tri-lineal
PUNTOS CRÍTICOS
Para , forma -lineal 
Por simplicidad se tendrá cuando se consideren 
Ahora nuestro mayor interés en 2-diferencial , que llamaremos la forma hessiana de la función en el punto . Ella es una forma cuadrática, según la siguiente definición.