Superficies_en_el_espacio

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Superficies en el espacio 
Competencias a desarrollar: 
• Reconocer y dar ecuaciones de superficies cilíndricas 
• Reconocer y dar ecuaciones de superficies cuadráticas. 
• Reconocer y dar ecuaciones de superficies de revolución. 
 
Una ecuación de la forma ( , )z f x y= puede dar lugar a una superficie en el espacio. 
Estas superficies pueden clasificarse en cilíndricas, cuadráticas o de revolución. 
Cilindros 
Definición 
Sea c una curva en el plano y sea L una recta no paralela a ese plano. Al conjunto de todas 
las rectas paralelas a L que cortan a c se le llama cilindro. A c se le denomina generatriz 
del cilindro y a las rectas paralelas se le llama rectas generatrices. 
 
Por ejemplo, supóngase la senoide c: sin( )y x= la cual está en el plano XY y la recta L una 
recta perpendicular al plano que contiene a c, en nuestro caso es el eje Z. La 
representación del cilindro es: 
 
Ecuaciones de cilindros 
La ecuación de un cilindro cuyas rectas generatrices sean paralelas a uno de los ejes 
coordenados contiene solo dos variables corresponden a los otros dos ejes. 
 
Ejemplo1. Un cilindro parabólico 
La ecuación 2x y= tiene por gráfica un cilindro parabólico. La curva generatriz 2x y= es 
una parábola en el plano XY y las generatrices del cilindro son rectas paralelas al eje Z. 
Para graficar en Geogebra basta escribir en la barra de entrada la ecuación con la vista 3D 
activa. 
 
Ejemplo 2. 
La ecuación cos( ); 0 2z x x =   es un cilindro cosenoidal en el plano XZ con generatrices 
paralelas al eje Y. 
 
 
Actividad. 
Dadas las ecuaciones, representa en GeoGebra sus gráficas e indica en que plano esta la curva 
generadora y a que eje son paralelas las rectas generatrices. Inserta la gráfica en el inciso 
correspondiente y responde lo que se pregunta usando color rojo. 
Ve guardando tu archivo a medida que realices actividades. Al final deberás subirlo en formato 
pdf. 
a) 𝑧 = 𝑠𝑖𝑛−1( 𝑦) 
b) 
Respuesta: es un cilindro anti senoidal en el plano yz con generatrices paralelas en el eje x 
 
 
c) sec( )x z= 
d) 
 
Respuesta: cilindro secanteidal en el plano xz con generatrices paralelas en el eje y 
 
 
e) 3 1y z= + 
f) 
 
Respuesta: cilindro en el plano yz con generatrices generadas en el eje x 
 
 
 
Superficies cuadráticas 
La ecuación de una superficie cuadrática en el espacio es una ecuación de segundo grado en tres 
variables. La forma general de la ecuación es: 
2 2 2 0Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Iz J+ + + + + + + + + = 
Donde , , ,...,A B C J son números reales. 
Si la superficie es cortada por un plano, se crea una curva, la cual recibe el nombre de traza de la 
superficie en el plano. Las trazas de las superficies cuadráticas es una cónica. 
Ejemplo 1. Sea la superficie 2 22z x y= + , la cual recibe el nombre de paraboloide elíptico y sea 
z k= con 0k  un plano paralelo al plano XY. Para diferentes valores de k las trazas son elipses 
concéntricas como se muestra en la figura siguiente. Ve el applet EJ1-SC.ggb 
 
Pasos para la construcción de las trazas sobre una superficie cuadrática en GeoGebra. 
1. Abre una hoja de trabajo con las vistas Algebraica, 2D y 3D. 
2. En la vista 2D crea un deslizador k como número entero desde 0 hasta 6 con incrementos 
de 1. 
3. En la barra de entrada escribe la ecuación cuadrática 2 22z x y= + . 
4. En la barra de entrada escribe la ecuación del plano z k= . 
5. En la barra de herramientas de la vista 3D selecciona la herramienta intersección de dos 
superficies y da clic primero al plano y luego a la superficie. Deberá aparecer una 
curva color naranja y su correspondiente ecuación paramétrica en la vista algebraica 
6. Seleccionado la traza activa la opción Rastro y mueve el deslizador k para visualizar las 
trazas de la superficie. 
 
 
 
 
La ecuación general de segundo grado en tres variables da lugar a 6 tipos de superficies, las cuales 
se identifican fácilmente si la ecuación general tiene una forma canónica predeterminada. Dicha 
superficie tiene una orientación y tipo de traza en función de las magnitudes de los valores de 
, ,a b c . Se puede explorar el tipo de curva y sus trazas usando GeoGebra con los pasos descritos 
anteriormente. A continuación, se muestra información de uno de esos tipos: La traza se identifica 
con el color de la ecuación del plano. 
1. Elipsoides y esfera 
Ecuación canónica 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ + = 
Traza: Plano: 
Elipse z k= 
Elipse y k= 
Elipse x k= 
 
 
En el caso de que 0a b c= =  la superficie es una esfera con centro en el origen 
Ecuación canónica 
 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ + =
 
Traza: Plano: 
Circunferencia z k= 
Circunferencia y k= 
Circunferencia x k= 
 
0a b c= =  
 
 
 
Actividad con GeoGebra 
Para identificar el resto de las superficies cuadráticas se muestra la forma canónica. Abre el 
archivo Ej2-SC.ggb modifica la superficie f que aparece en la vista algebraica dando doble clic 
sobre esta para editarla y modifica lo que corresponde (signo 0 valor del mimbro derecho). 
Observa el tipo de traza que corresponde y regístralo en el primer cuadro, luego Copia la vista 
gráfica 3D y colócala en el cuadro que corresponda. Ve guardando tu archivo a medida que 
realices actividades. Al final deberás subirlo en formato PDF. 
2. Hiperboloides de una hoja 
Ecuación canónica 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ =− 
Traza: Plano: 
 Curva z k= 
 curva y k= 
 curva x k= 
 
El eje del hiperboloide 
corresponde a la variable 
cuyo coeficiente es negativo 
 
 
 
 
Experimenta modificando el signo negativo de posición. 
 
 
3. Hiperboloide de dos hojas 
Ecuación canónica 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
− =− 
Traza: Plano: 
 curva z k= 
 curva y k= 
 curva x k= 
 
El eje del hiperboloide 
corresponde a la variable 
cuyo coeficiente es positivo 
. 
 
 
 
 
Experimenta modificando el signo negativo de posición. 
4. Cono elíptico 
Ecuación canónica 
2 2 2
2 2 2
0
x y z
a b c
−+ = 
Traza: Plano: 
 curva z k= 
 curva y k= 
 curva x k= 
 
El eje del cono corresponde 
a la variable cuyo 
coeficiente es negativo 
 
 
 
 
Experimenta modificando el signo negativo de posición. 
 
5. Paraboloide elíptico 
 
Ecuación canónica 
2 2
2 2
x y
z
a b
= + 
Traza: Plano: 
 recta z k= 
 recta y k= 
 recta x k= 
 
El eje del paraboloide 
corresponde a la variable 
con exponente unitario 
 
 
 
 
Experimenta modificando la variable que queda despejada. 
 
 
 
6. Paraboloide hiperbólico 
 
Ecuación canónica 
2 2
2 2
x y
z
a b
= − 
Traza: Plano: 
 curva z k= 
 recta y k= 
 0000 x k= 
 
El eje del hiperboloide 
corresponde a la variable 
cuyo exponente es unitario. 
 
 
 
 
Experimenta modificando la variable que queda despejada. 
 
 
Actividad: 
Identifica por su nombre cada una de las siguientes superficies cuadráticas. Visualiza la gráfica en 
GeoGebra. 
1. 
2 2
2
1
9 4
x y
z+ + = elipsoide 
 
2. 
2 2 2
1
9 4 8
x y z
− − = hiperboloide de una hoja 
 
3. 
2 2
2
1
9 4
x y
z− + = elipsoide, hiperboloide de una hoja 
 
4. 
2 2
9 4
x y
z = − paraboloide hiperbólico 
 
5. 
2 2 2
0
1 4 9
x y z
− + = cono 
 
6. 
2 2
9 4
x z
y = + paraboloide 
Una ecuación de la forma 2 2 2 4 8 6 4 0x y z x y z+ + − + − + = puede reducirse a una de las seis 
formas anteriores mediante factorización, en este caso completando trinomio cuadrado perfectoen cada una de las variables, como se muestra. 
 
Primeramente, agrupamos por tipo de variable y pasamos al lado derecho el termino constante 
 
( ) ( ) ( )2 2 24 8 6 4x x y y z z− + + + − = − 
 
A continuación, completamos trinomio cuadrado perfeto en cada variable, agregando la cantidad 
faltante en ambos lados de la ecuación 
 
( ) ( ) ( )2 2 24 16 9 94 8 6 4 14 6x x y y z z− + + + + + = + +− + +− 
Por último, simplificáramos y comparamos con los tipos descritos 
 
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 22 4 3 25x y z− + + + − = 
La ecuación se corresponde con una esfera con centro en (2, 4,3)− y radio 5 
 
(𝑥2 − 2)2
25
+
(𝑦2 + 4)2
25
+
(𝑧2 − 3)2
25
= 1 
 
Actividad 
Identifica las siguientes superficies escribiendo a su derecha el tipo al que corresponde. 
Valida tu respuesta trazando la gráfica en GeoGebra 
 
a) 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2 − 4𝑥 + 4 = 0 es un cono 
 
 
 
b) −𝑥2 − 𝑦2 + 𝑧2 − 6𝑧 + 4 = 0 cono redondeado 
 
 
 
 
 
c) 2𝑥2 + 4𝑦2 + 𝑧2 = 0 esfera con diámetro menor a .05 
 
 
 
d) 𝑦2 + 𝑧2 − 𝑥 + 8𝑦 − 6𝑧 = 0 
 
 
Esfera con diámetro menor a 1 
 
e) 𝑥2 − 𝑦2 ++8𝑦 − 𝑧 = 0 cilindro en todos los planos 
 
 
 
Superficies de revolución 
 
Una superficie de revolución se engendra cuando una curva se hace girar alrededor 
de una recta, la superficie se denomina curva generatriz y la recta eje de revolución. 
Supongamos que una curva está dada por la ecuación 2 2 9x y+ = la cual nos 
representa una circunferencia de radio 3 con centro en el origen en el plano XY, si dicha 
curva ce hace girar alrededor del eje X se engendra una superficie en forma de esfera, cuta 
ecuación es 2 2 2 9x y z+ + = . 
 
 
Para obtener superficies de revolución supongamos una función radio de la forma 
( )y r z= , la cual es una curva en el plano YZ. Si esta curva se gira sobre el eje Z, forma 
una superficie de revolución donde cada punto de la curva crea una circunferencia 
alrededor del eje Z con radio 0( )y r z= 
 
 
Definición 
Si la gráfica de una función radio r se gira sobre uno de los ejes coordenados, la 
ecuación de la superficie de revolución resultante tiene una de las formas siguientes: 
 
1. Girada sobre el eje X:  
22 2 ( )y z r x+ = 
2. Girada sobre el eje Y:  
22 2 ( )x z r y+ = 
3. Girada sobre el eje Z:  
22 2
( )y y r z+ = 
Ejemplo 1. Sea la curve plana lny x= . Hallar la ecuación de la superficie de revolución que se 
engendra cuando la curva gira alrededor de: 
a) El eje X 
La ecuación debe de ser de la forma  
22 2 ( )y z r x+ = y la función radio debe ser de la 
forma ( )r x , siendo esta tal como se muestra lny x= puesto que depende de x, 
entonces la superficie de revolución tiene la ecuación 
 
 
22 2
lny z x+ = 
 
 
 
Superficie de revolución de 
2
y
x
= girando alrededor del eje X 
b) El Eje Y 
La ecuación debe de ser de la forma  
22 2 ( )x z r y+ = y la función radio debe ser de la 
forma ( )r y , entonces despejamos x para obtener yx e= , entonces la superficie de 
revolución tiene la ecuación 
2
2 2 yx z e + =   
 
Ejemplo 2. Sea la curve plana 24x z= . Hallar la ecuación de la superficie de revolución que se 
engendra cuando la curva gira alrededor de: 
a) El eje X 
La ecuación debe de ser de la forma  
22 2 ( )y z r x+ = y la función radio debe ser de la 
forma ( )r x , por lo cual 2z x= , así vemos que depende de x, entonces la superficie 
de revolución tiene la ecuación 
 
2
2 2 2y z x + =
 
 o bien 𝑦2 + 𝑧2 = 2𝑥 
 
 
b) El Eje Z 
La ecuación debe de ser de la forma  
22 2 ( )x y r z+ = y la función radio debe ser de la 
forma ( )r z , entonces despejamos x para obtener 
2
4
z
x = , entonces la superficie de 
revolución tiene la ecuación 
2
2
2 2
4
z
x y
 
+ =  
 
 
 
Actividad 
Escribe la ecuación de la superficie de revolución que se engendra cuando la curva dada 
por la ecuación indicada gira alrededor del eje de revolución dado. Dibuja la superficie en 
GeoGebra escribiendo en la barra de entrada la ecuación correspondiente. 
 
1. 4𝑧 = √6 − 𝑥 alrededor del eje X 
Respuesta: 
 
2. 𝑥𝑦2 = 1 alrededor del eje Y 
Respuesta: 
 
3. 5𝑦 − 1 = √𝑧2 + 2 alrededor del eje Z 
Respuesta: 
 
 
Nota: Para más detalles puedes consultar las páginas58 a 58 de Matemáticas III, Larson-Edwards