Apuntes-Numeros-reales-complejos-2014-2015

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Escuela Superior de Ingenieŕıa y Tecnoloǵıa (Grado en Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática) 1
Fundamentos Matemáticos.
Tema 6: Números reales y complejos.
1 Números reales
1.1 Manipulación numérica
1.1.1 Conjunto numéricos
IN = {1, 2, . . . }
Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3 . . . }
Q =
{
p
q
, p, q ∈ Z, q 6= 0
}
I = números reales que no son racionales
IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR
I ⊂ IR
1.1.2 Intervalos
a > b a es mayor que b
a < b a es menor que b
a ≥ b a es mayor o igual que b
a ≤ b a es menor o igual que b
Definición 1 Sea a, b ∈ IR, con a ≤ b. Se define
1. Intervalo abierto
(a, b) = {x ∈ IR : a < x < b}
2. Intervalo cerrado
[a, b] = {x ∈ IR : a ≤ x ≤ b}
3. Intervalo semi-abierto/semi-cerrado
[a, b) = {x ∈ IR : a ≤ x < b}
(a, b] = {x ∈ IR : a < x ≤ b}
4. Intervalos semi-infinitos
[a,+∞) = {x ∈ IR : x ≥ a} (−∞, a] = {x ∈ IR : x ≤ a}
(a,+∞) = {x ∈ IR : x > a} (−∞, a) = {x ∈ IR : x < a}
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1.1.3 Inecuaciones
Propiedades 1 (Desigualdades)
1. a > b⇒ a+ k > b+ k
2. a > b, k > 0⇒ ka > kb
3. a > b, k < 0⇒ ka < kb
Ejemplo 1 Resolver las siguientes inecuaciones
1a) 2x+ 5 < 13 1b) 6 < 1− 3x ≤ 10
1c)
x− 1
x− 2
≥ 0 1e) 3− 2x
(x+ 1)(x− 2)
≤ 0
1.1.4 Valor absoluto
Definición 2 Se define el valor absoluto de un número real x, que denotaremos por |x|, como
|x| =
 x si x ≥ 0−x si x ≤ 0
x
y
Valor absoluto
y = |x|
Propiedades 2
1. |x| = 0⇐⇒ x = 0
2. |x| ≥ 0
3. |x| = | − x|
4. Para a > 0, |x| ≤ a⇐⇒ −a ≤ x ≤ a
5. |x| ≥ a⇐⇒ x ≥ a o x ≤ −a
6. |x+ y| ≤ |x|+ |y|
7. |xy| = |x||y|,
∣∣∣∣xy
∣∣∣∣ = |x||y| , y 6= 0.
Nota 1 La distancia entre dos números reales se calcula de la siguiente forma
d(x, y) = |x− y|
Ejemplo 2 Resolver las siguientes inecuaciones
2a) |x− 2| < 5; |2x+ 1| > 2; 2d)
∣∣∣∣x− 32
∣∣∣∣ ≥ 5
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1.2 Recordatorio de técnicas algebráicas básicas
1.2.1 Potencias y radicales
Propiedades 3
1. aman = am+n
2.
am
an
= am−n
3. (ab)n = anbn
4. a1 = a
5. a0 = 1
6. a−n =
1
an
7. (am)n = amn
8. a1/n = n
√
a
Ejemplo 3
4a) 3
√
3, 4(c) 14√5 , 5c) 7
− 32
6a)
√
121 · 144 · 169 7d)
√
75 8d)
√
50a
9b) a
√
5 12b) 2√
7+
√
5
13c) 21√
6x+1
−
√
6x+ 1 = 2
√
x
1.2.2 Logaritmo
Definición 3 Sea c > 0, c 6= 1 y x > 0, se define el logaritmo en base c de x como el número y de la siguiente
expresión
y = logcx⇐⇒ cy = x.
Nota 2 Cuando c = e, se denomina logaritmo neperiano y se representa por logex = lnx.
Propiedades 4
1. logc(ab) = logc(a) + logc(b)
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2. logc(
a
b ) = logc(a)− logc(b)
3. logc(a
b) = b logc(a)
4. logc1 = 0
5. logcc = 1
Ejemplo 4 Tomar logaritmo en las siguientes expresiones
20a)
abc√
mn
20b)
a3b7c1/4
p2
1.3 Ecuaciones polinómicas
Una ecuación polinómica es una ecuación de la forma
anx
n + an−1x
n−1 + · · ·+ a0 = 0
donde ai son los coeficientes (números reales) y el grado de la ecuación es n, si an 6= 0.
1.4 Desarrollos y factorización
(x+ a)2 = x2 + 2ax+ a2
(x− a)2 = x2 − 2ax+ a2
(x− a)(x+ a) = x2 − a2
ax2 + bx+ c = 0 ↪→ xi =
−b±
√
b2 − 4ac
2a
, i = 1, 2
ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2)
(x+ a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x+ a3
x3 − a3 = (x− a)(x2 + xa+ a2)
(x3 + a3) = (x+ a)(x2 − xa+ a2)
Triángulo de Tartaglia
La regla de formación es que cada número es suma de los dos que están encima y que en los extremos aparece
siempre el 1. Podemos continuar el triángulo de Tartaglia:
Triángulo de Tartaglia
1
1
1
1
1 4
3
4 6
2
3 3
6 4
1
2 1
3 1
4 1
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• Entonces se tiene
(a+ b)4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a+ b)5 = a5 + 5a4b+ 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
(a+ b)6 = a6 + 6a5b+ 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6
Fórmula del binomio de Newton
(a+ b)n =
(
n
0
)
anb0 +
(
n
1
)
an−1b1 + · · ·+
(
n
n− 1
)
a1bn−1 +
(
n
n
)
a0bn
=
n∑
i=0
(
n
i
)
an−ibi .
donde
(
n
m
)
=
n!
m!(n−m)!
=
n(n− 1) . . . (n−m+ 1)
m!
son los denominados coeficientes binomiales.
Ejemplo 5
15a) (3x2 − 5x)2 19b) 2x2 − 4x+ 1 = 0 24b) 2x3 − 7x2 + 8x− 3
1.5 Apéndice A: Descomposición en fracciones simples
Si realizamos la suma
1
x− 2
+
3
x+ 1
=
(x+ 1) + 3(x− 2)
(x− 2)(x+ 1)
=
4x− 5
x2 − x− 2
.
El proceso inverso, esto es el ir de
4x− 5
x2 − x− 2
a
1
x− 2
+
3
x+ 1
se llama descomposición en fracciones simples.
Para obtener la descomposición en fracciones simples de una expresión algebraica seguimos los siguientes
pasos:
1. El grado del numerador debe ser al menos un grado menos que el denominador, en caso contrario realizamos
la división.
2. Factorizamos el denominador.
3. Buscamos los coeficientes de los polinomios del numerador según la siguiente tabla.
Factores del denominador Expresión Descomposición en fracciones simples
Ráıces reales simples
f(x)
(x+ a)(x+ b)(x+ c)
A
x+ a
+
B
x+ b
+
C
x+ c
Ráıces reales múltiples
f(x)
(x+ a)3
A
x+ a
+
B
(x+ a)2
+
C
(x+ a)3
Ráıces complejas y simples
f(x)
(ax2 + bx+ c)(x+ d)
Ax+B
ax2 + bx+ c
+
C
x+ d
Ejercicios.
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1. Descomponer en fracciones simples
11− 3x
x2 + 2x− 3
.
Lo primero que observamos es que el grado del numerador es menor que el del denominador. Factorizamos
el denominador, esto es x2 + 2x− 3 = (x+ 3)(x− 1). Se tiene que las ráıces del denominador son reales
y simples. Por tanto buscamos una descomposición en factores de la forma:
11− 3x
x2 + 2x− 3
=
A
x+ 3
+
B
x− 1
.
Operando
11− 3x
x2 + 2x− 3
=
A(x− 1) +B(x+ 3)
(x+ 3)(x− 1)
.
Por tanto,
11− 3x = A(x− 1) +B(x+ 3) .
Para calcular los valores de A y B, podemos darles valores a la x y resolver el sistema que resulta. Por
ejemplo, para
x = 1⇒ 11− 3(1) = A(1− 1) +B(1 + 3)⇒ 8 = 4B ⇒ B = 8
4
= 2
x = −3⇒ 11− 3(−3) = A(−3− 1) +B(−3 + 3)⇒ 20 = −4A⇒ A = −20
4
= −5 .
Luego se tiene que la descomposición en fracciones simples viene dada por
11− 3x
x2 + 2x− 3
=
−5
x+ 3
+
2
x− 1
.
2. Desomponer en fracciones simples
(a)
x3 − 2x2 − 4x− 4
x2 − x− 2
(b)
2x+ 3
(x− 2)2
(c)
5x2 − 2x− 19
(x+ 3)(x− 1)2
(d)
7x2 + 5x+ 13
(x2 + 2)(x+ 1)
(e)
3 + 6x+ 4x2 − 2x3
x2(x2 + 3)
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2 Números complejos
2.1 Motivación
x2 + 1 = 0 ↪→ no tiene solución real
IC ≈ IR2
x
y
Plano complejo
z = x+ iy = (x, y)
2.2 El conjunto de los números complejos
IC = {(x, y) x, y ∈ IR}
Nota 3 En IC no hay orden.
¿(1, 2) < (2, 1)?
¿
(x, y)
(u, v)
?
Nota 4 El par (0, 1) = i =
√
−1, se denomina unidad imaginaria. Por tanto todo número complejo z = (x, y)
se puede escribir como z = x+ yi a lo que se le denomina forma binómica de z. A x se le llama parte real de z,
y denotamos por Re (z), y a y se le llama parte imaginaria de z, y denotamos por Im (z).
2.2.1 Definiciones
Definición 4 1. El módulo de un número complejo z = x + yi, es la distancia del punto al origen de
coordenadas, esto es
|z| =
√
x2 + y2
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2. El argumento o argumento principal dez, que denotaremos por θz, es el ángulo que forma la recta que
une el origen con el punto, que se suele tomar en el intervalo
−π < θz ≤ π Arg z = arctan
(y
x
)
Nota 5 Al usar la función arcotangente para obtener el argumento debe tenerse en cuenta en qué cua-
drante del plano se encuentra el número complejo, ya que tan(θz) = tan(θz ± π).
3. El conjugado de z = x+ yi es el simétrico con respecto al eje OX, esto es
z = x− yi
θz
|z| cos θz
|z| sen θz
Módulo, argumento y conjugado
|z|
z = x+ iy = (x, y)
z̄ = x− iy = (x,−y)
2.2.2 Operaciones
Sean z = x+ yi y w = u+ vi.
1. z + w = x+ u+ (y + v)i
2. zw = (xu− yv) + (xv + yu)i
3. Si w 6= 0,
z
w
=
(x+ yi)(u− vi)
(u+ vi)(u− vi)
=
xu+ yv
u2 + v2
+
yu− xv
u2 + v2
i
Ejemplo 6 Comprobar que zz̄ = |z|2.
Ejemplo 7 Calcular in, para n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Ejemplo 8 2. Sean z1 = 3 + 7i, z2 = 5− 5i y z3 = 4− 2i. Calcular (b) z1 + z2; (c) z1 · z2;
(d) z1 : z3; (e)z2 : z3.
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2.2.3 Otras formas de expresar un número complejo
Hay muchas formas de expresar un número complejo z, además de la forma binómica z = (x, y) = x+ yi, como:
1. Forma trigonométrica
z = |z|(cos θ + isen θ)
donde |z| representa el módulo de z y θ el argumento de z.
2. Forma polar
z = |z|∠θ
3. Forma exponencial
z = |z|eiθ
Nota 6 Sean z = |z|∠θ1 y w = |w|∠θ2 . Entonces la multiplicación y cociente quedan muy simples de calcular
utilizando la forma polar
zw = (|z||w|)∠θ1+θ2
z
w
=
(
|z|
|w|
)
∠θ1−θ2
Ejemplo 9 Hacer lo mismo con las otras formas, trigonométrica y exponencial.
Forma binómica z + w = x+ u+ (y + v)i
z = x+ yi zw = xu− yv + (xv + yu)i
w = u+ vi w 6= 0 z
w
=
xu+ vy
u2 + v2
+ i
uy − vx
u2 + v2
Forma polar
|z| =
√
x2 + y2, θz = Argz zw = (|z||w|)∠θz+θw
z = |z|∠θz
z
w
= (
|z|
|w|
)∠θz−θw
Forma trigonométrica
z = |z|(cos θz + isen θz) zw = |z||w|(cos(θz + θw) + isen (θz + θw)
z
w =
|z|
|w| (cos(θz − θw) + isen (θz − θw)
Forma exponencial zw = |z||w|ei(θz+θw)
z = |z|eiθz zw =
|z|
|w|e
i(θz−θw)
Nota 7 Fórmula de Moivre
zn = (|z|n)∠nθ
para n ∈ IN.
Ejemplo 10 10. Escribir en forma trigonométrica, polar y exponencial los números complejos
(a) 3− 3
√
3i; (e) 1 + i (f) −1 + i (g)1− i (h) −1− i.
5. b) [64(cos 5π3 + isen
5π
3 )] : [16(cos
π
3 + isen
π
3 )]
5. d) (−1− i)10
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2.2.4 Interpretación geométrica
Suma de dos complejos
x
y
Suma de complejos
z
w
z
+
w
z
w
z + w
−1.5 −1.0 −0.5 0.5 1.0 1.5
−1.5
−1.0
−0.5
0.5
1.0
1.5
Producto de dos complejos
θw
θz
θv
Producto de complejos
z
w
v = zw
−1.5 −1.0 −0.5 0.5 1.0 1.5
−1.5
−1.0
−0.5
0.5
1.0
1.5
Ejemplo 11 ¿Qué sucede cuando uno multiplica un complejo z por eiθ?
2.3 Otras operaciones
2.3.1 Ráız enésima
n
√
z = w ⇐⇒ z = |z|<θ = wn
Entonces
n
√
z =
{
n
√
|z|
[
cos
(
θ + 2kπ
n
)
+ isen
(
θ + 2kπ
n
)]
con k = 0, 1, 2, . . . n− 1
}
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z1
z2z3
z4
z5 z6
Ráıces sextas de la unidad
−1.5 −1.0 −0.5 0.5 1.0 1.5
−1.5
−1.0
−0.5
0.5
1.0
1.5
Ejemplo 12 Calcular 4
√
1 y 4
√
−1. Representar las soluciones
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