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Escuela Superior de Ingenieŕıa y Tecnoloǵıa (Grado en Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática) 1 Fundamentos Matemáticos. Tema 7: Funciones de una variable real. 1. Funciones 1.1. Definiciones Definición 1 1. Sean X e Y dos conjuntos de números reales. Una función real f : X → Y de una variable real x de X en Y es una correspondencia que asigna a cada número x de X un número de Y . 2. El dominio de f es el conjunto X. 3. El número y = f(x) es la imagen por f de x. 4. El recorrido o rango de f , R(f), se define como el subconjunto de Y formado por todas las imágenes de los números de X. Ejemplo 1 1. Determinar el dominio de las funciones a)f(x) = √ x− 1, b)f(x) = eln(x 2−3x+2), c)f(x) = tan(x) 2. Determinar el recorrido del apartado (c) 1.2. Operaciones con funciones Definición 2 Sean f y g dos funciones. 1. (f ± g)(x) = f(x)± g(x) 2. (cf)(x) = cf(x) 3. ( f g ) (x) = f(x) g(x) 4. La función dada por (f ◦ g)(x) = f(g(x)) se llama función compuesta de f con g. Ejemplo 2 1. Dadas las funciones f(x) = x2 y g(x) = √ x. Calcular f ◦ g y g ◦ f . 2. Dadas las funciones f(t) = 2t+ 3 y g(t) = t+ 1 2 . Calcular f ◦ g y g ◦ f . 1.3. Algunos ejemplos 1. Función identidad f(x) = x 2. Función constante f(x) = a Fundamentos Matemáticos Tema 7: Funciones de una variable real. Curso 2014-2015 Escuela Superior de Ingenieŕıa y Tecnoloǵıa (Grado en Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática) 2 3. Función caracteŕıstica χ(a,b)(x) = { 1 x ∈ (a, b) 0 en otro caso 4. Valor absoluto |x| = { x si x ≥ 0 −x si x ≤ 0 5. Función parte entera [x] = es el menor de los números enteros entre los que está comprendido 6. Función par e impar Función par f(x) = f(−x) Función impar f(x) = −f(−x) 7. Función periódica de peŕıodo T f(x+ T ) = f(x) 8. Función acotada si existe M > 0, tal que |f(x)| ≤M 9. Funciones hiperbólicas sinh(x) = ex − e−x 2 , cosh(x) = ex + e−x 2 A partir del seno y coseno hiperbólico se pueden definir el resto de las funciones hiperbólicas. Figura 1: Gráfica de la función f(x) = sinh(x) y g(x) = cosh(x) Fundamentos Matemáticos Tema 7: Funciones de una variable real. Curso 2014-2015 Escuela Superior de Ingenieŕıa y Tecnoloǵıa (Grado en Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática) 3 1.4. Diferentes formas de expresar una función - Expĺıcita (La variable dependiente y está despejada en función de la variable independiente y = f(x), o bien x es la variable dependiente, x = f(y)) - Impĺıcita (Una expresión en x e y, f(x, y) = 0). - Paramétrica ( x = x(t) , y = y(t)) 1.5. Función inversa Definición 3 Se llama función inversa de f a otra función que denotaremos por f−1 tal que (f ◦ f−1)(x) = (f−1 ◦ f)(x) = x Figura 2: Gráfica de la función f(x) = sen(x) y su inversa Nota 1 No confundir la inversa de una función con la rećıproca. Ejemplo 3 Encontrar la función inversa de f(x) = 2x+ 1, g(x) = x−12 y h(x) = sinh(x). Ejemplo 4 Calcular la inversa de f(x) = 1 + ln(x+ 2) y g(x) = 3 arc cos(x). Nota 2 (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1 2. Ĺımites y sus propidades 2.1. ¿Qué es el cálculo? Matemáticas previas al cálculo → Proceso de ĺımite → Cálculo. Fundamentos Matemáticos Tema 7: Funciones de una variable real. Curso 2014-2015 Escuela Superior de Ingenieŕıa y Tecnoloǵıa (Grado en Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática) 4 Sin cálculo Con cálculo diferencial Valor de f(x) cuando x = c Ĺımite de f(x) cuando x tiende a c Pendiente de una recta Pendiente de una curva Recta secante a una curva Recta tangente a una curva Ritmo o velocidad de cambio promedio entre t = a y t = b Ritmo o velocidad de cambio instantáneo en t = c Curvatura del ćırculo Curvatura de una curva Altura de una curva en x = c Altura máxima de una curva dentro de un intervalo Plano tangente a una esfera Plano tangente a una superficie Dirección del movimiento a lo largo de una recta Dirección del movimiento a lo largo de una curva Área de un rectángulo Área bajo una curva Trabajo realizado por una fuerza constante Trabajo realizado por una fuerza variable Longitud de un segmento de recta Longitud de un arco Área superficial de un cilindro Área superficial de un sólido de revolución Suma de un número finito de términos Suma de un número infinito de términos 2.2. Cálculo de ĺımites Cálculo de ĺımite Método gráfico: Dibujar la grafica de la función Método numérico: Construir una tabla de valores Método anaĺıtico: Utiliza técnicas anaĺıticas (Álgebra y Cálculo) Definición 4 Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a c (salvo posiblemente en c) y L un número real. La afirmación ĺım x→c f(x) = L significa que para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < |x− c| < δ, entonces |f(x)− L| < ε Nota 3 Si una función f(x) posee ĺımite cuando x→ c, entonces ese ĺımite es único. 2.2.1. Comportamiento asociado a la no existencia de ĺımite - f(x) se aproxima a números distintos por la derecha de c y por la izquierda de c (Ejemplo f(x) = |x|x ). - f(x) aumenta o disminuye sin ĺımite a medida que x se aproxima a c (Ejemplo f(x) = 1x2 ). - f(x) oscila entre dos o varios valores fijos a medida que x se aproxima a c (Ejemplo: f(x) = sen 1x ). 2.3. Ĺımites laterales Definición 5 Si en la definición formal de ĺımite 1. nos acercamos al punto c sólo desde de la derecha, diremos que existe el ĺımite lateral de f a la derecha de c, y lo denotaremos por ĺım x→c+ f(x) = l, es decir si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si c < x < δ + c, entonces |f(x)− l| < ε Fundamentos Matemáticos Tema 7: Funciones de una variable real. Curso 2014-2015 Escuela Superior de Ingenieŕıa y Tecnoloǵıa (Grado en Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática) 5 Figura 3: Gráficas de las funciones |x|x , 1 x y sin 1 x 2. nos acercamos al punto c sólo desde de la izquierda, diremos que existe el ĺımite lateral de f a la izquierda de c, y lo denotaremos por ĺım x→c− f(x) = l, es decir, si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si c− δ < x < c, entonces |f(x)− l| < ε Propiedades 1 El ĺımite de una función f existe cuando x tiende a c si y sólo si existen los ĺımites laterales (a la derecha e izquierda) y coinciden con el valor del ĺımite de la función f Teorema 1 Si h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) para todos los x en un intervalo abierto que contiene a c, con la posible excepción de la propia c, y si ĺım x→c h(x) = ĺım x→c g(x) = L entonces ĺım x→c f(x) = L 2.4. Ĺımites infinitos y en el infinito Definición 6 Sea f una función. Entonces 1. ĺım x→∞ f(x) = L⇐⇒ ∀ε > 0, ∃K > 0, tal que ∀x, x > K |f(x)− L| < ε 2. ĺım x→−∞ f(x) = L⇐⇒ ∀ε > 0, ∃K > 0, tal que ∀x, x < −K |f(x)− L| < ε 3. ĺım x→c f(x) = +∞⇐⇒ ∀K > 0, ∃δ > 0, tal que ∀x, |x− c| < δ, x 6= c f(x) > K Fundamentos Matemáticos Tema 7: Funciones de una variable real. Curso 2014-2015 Escuela Superior de Ingenieŕıa y Tecnoloǵıa (Grado en Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática) 6 4. ĺım x→c f(x) = −∞⇐⇒ ∀K > 0, ∃δ > 0, tal que ∀x, |x− c| < δ, x 6= c f(x) < −K Ejemplo 5 Estudiar los ĺımites ĺım x→∞ 2x+ 1 3x+ 3 , ĺım x→0 1 x2 Ejemplo 6 Nivel de ox́ıgeno de un estanque. Supongamos que f(t) mide el nivel de óx́ıgeno en un estanque, donde f(t) = 1 es el nivel normal (no contaminado) y el tiempo t se mide en semanas. Cuando t = 0, se descarga desperdicio orgánico en el estanque, y como el material de desperdicio se oxida, el nivel de ox́ıgeno en el estanque es f(t) = t2 − t+ 1 t2 + 1 ¿Qué porcentaje del nivel normal de ox́ıgeno existe en el estanque después de dos semanas? ¿Después de 10 semanas? ¿Cúal es el ĺımite cuando t tiende a infinito? Figura 4: Gráfica de la función f(t) = t2 − t+ 1 t2 + 1 t f(t) % 2 3/5 60 % 10 0.9 90 % · · · · · · · · · ∞ 100 % 2.5. Propiedades Propiedades 2 Si b y c son números reales y n un entero positivo, f y g funciones con los ĺımites siguientes: ĺım x→cf(x) = L ĺım x→c g(x) = K 1. Múltiplo escalar ĺım x→c bf(x) = b ĺım x→c f(x) 2. Suma o diferencia ĺım x→c (f(x)± g(x)) = ĺım x→c f(x)± ĺım x→c g(x) Fundamentos Matemáticos Tema 7: Funciones de una variable real. Curso 2014-2015 Escuela Superior de Ingenieŕıa y Tecnoloǵıa (Grado en Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática) 7 3. Producto ĺım x→c f(x)g(x) = ĺım x→c f(x) ĺım x→c g(x) 4. Cociente: Si K 6= 0, entonces ĺım x→c f(x) g(x) = ĺım x→c f(x) ĺım x→c g(x) 5. Potencia ĺım x→c f(x)n = ( ĺım x→c f(x) )n 6. Radicales: Si n es un entero positivo, el siguiente ĺımite es válido para todo c si n es impar y para todo c > 0 si n es par ĺım x→c n √ x = n √ ĺım x→c x 7. Composición: Si f, h son funciones tal que ĺım x→c h(x) = L y ĺım x→L f(x) = f(L), entonces ĺım x→c f(h(x)) = f( ĺım x→c h(x)) = f(L) 8. Trigonométricas: Sea c un número real en el dominio de una función trigonométrica dada a) ĺım x→c sen(x) = sen(c) b) ĺım x→c cos(x) = cos(c) c) ĺım x→c tan(x) = tan(c), c 6= π/2 + kπ con k ∈ Z 2.6. Otras técnicas para el cálculo anaĺıtico de ĺımites 2.6.1. Técnica de cancelación: Cancelar los factores comunes Ejemplo 7 Calcular ĺım x→−3 x2 + x− 6 x+ 3 ĺım x→−3 x2 + x− 6 x+ 3 = ĺım x→−3 (x− 2)(x+ 3) x+ 3 = ĺım x→−3 (x− 2) = −5 2.6.2. Técnica de racionalización: racionalizar el numerador o denominador de la función Ejemplo 8 Encontrar el ĺımite de ĺım x→0 √ x+ 1− 1 x = 1 2 2.6.3. Infinitésimos equivalentes Definición 7 1. Se dice que f es un infinitésimo cuando x tiende a c si ĺım x→c f(x) = 0 2. Se dice que f y g son infinitésimo equivalentes, que denotaremos por f ≈ g, cuando x tiende a c si son infinitésimos y además ĺım x→c f(x) g(x) = 1 Fundamentos Matemáticos Tema 7: Funciones de una variable real. Curso 2014-2015 Escuela Superior de Ingenieŕıa y Tecnoloǵıa (Grado en Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática) 8 Tabla de infinitésimos equivalentes: Función Infinitésimo Punto senx x x→ 0 tanx x x→ 0 arc senx x x→ 0 arctanx x x→ 0 ln(1 + x) x x→ 0 ax − 1, a > 0 x ln a x→ 0 1− cosx x 2 2 x→ 0 Ejemplo 9 Calcular los siguientes ĺımites 1. ĺım x→0 sen(4x) x 2. ĺım x→0 tanx x 2.7. Indeterminaciones Indeterminación Como se resuelve Suma +∞−∞ Operando −∞+∞ Multiplicar y dividir por la expresión conjugada Producto 0.∞ Operando para transformarlo en los dos siguientes División 0 0 , ∞∞ Polinomios: descomponer en sus ráıces numerador y denominador Dividir el numerador y denominador por la máxima potencia Potencia ∞0, 00 Tomar logaritmo f(x)g(x) = eln f(x) g(x) 1∞ ĺım x→a f(x)g(x) = e ĺım x→a (f(x)− 1)g(x) Trigonométricas Aplicar infinitésimos equivalentes Fórmulas trigonométricas 3. Continuidad 3.1. Continuidad en un punto, intervalo abierto e intervalo cerrado La idea intuitiva de una función continua es que su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Definición 8 1. Una función f es continua en c si satisface las tres condiciones siguientes: a) f(c) está definida b) ĺım x→c f(x) existe c) ĺım x→c f(x) = f(c) 2. Una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en cada punto del intervalo. Fundamentos Matemáticos Tema 7: Funciones de una variable real. Curso 2014-2015 Escuela Superior de Ingenieŕıa y Tecnoloǵıa (Grado en Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática) 9 3. Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en el intervalo abierto (a, b) y ĺım x→a+ f(x) = f(a), ĺım x→b− f(x) = f(b) La continuidad es la primera condición de regularidad que parece natural imponer a una función. 3.1.1. Clasificación de las discontinuidades Si una función está definida en un intervalo abierto (a,b) (salvo quizás en c ∈ (a, b)) y no es continua en c, entonces se dice que f es discontinua en c. Las discontinuidades se clasifican en dos categoŕıas: - Evitable, si los ĺımites laterales existen y son iguales pero distinto de f(c). - Inevitable, si los ĺımites laterales son distintos o no existen, las cuales se clasifican en - Salto finito o de primera especie, si dichos ĺımites laterales, existen y son finitos - Salto infinito o de segunda especie, si alguno o los dos ĺımites laterales son infinitos, o no existen Ejemplo 10 1. Analizar la continuidad de cada función f(x) = 1 x , g(x) = x2 − 1 x− 1 , h(x) = xsen(1/x) 2. Calcular el ĺımite de la función parte entera (el menor de los números enteros entre los que está com- prendido), f(x) = [x], cuando x tiende a 0 por la izquierda y por la derecha. Estudiar la continuidad en 0. 3. Analizar la continuidad de f(x) = √ 1− x2 3.2. Propiedades de la continuidad Propiedades 3 Si b es un número real, f y g son continuas en x = c, entonces las siguientes funciones también son continuas. 1. Múltiplo escalar: bf 2. Suma y diferencia: f ± g 3. Producto: fg 4. Cociente: Si g(c) 6= 0, entonces fg es continua. 5. Si h es continua en g(c), entonces (h ◦ g)(x) = h(g(x)) es continua en x = c. Ejemplo 11 Describir el intervalo o intervalos donde es continua cada función f(x) = tang(x), g(x) = { sen( 1x ) x 6= 0 0 x = 0 , h(x) = { x sen( 1x ) x 6= 0 0 x = 0 Fundamentos Matemáticos Tema 7: Funciones de una variable real. Curso 2014-2015 Escuela Superior de Ingenieŕıa y Tecnoloǵıa (Grado en Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática) 10 3.3. Teorema del valor intermedio Teorema 2 Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y k es cualquier número entre f(a) y f(b), entonces existe al menos un número c en [a, b] tal que f(c) = k Nota 4 1. El teorema del valor intermedio es un teorema de existencia, no dice nada de cómo calcular c. 2. El Teorema de Bolzano es un caso particular del teorema del valor intermedio. Teorema 3 (Teorema de Bolzano) Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] tal que f(a)f(b) < 0, entonces existe un punto c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0. 3. El método de bisección para estimar ceros reales de una función continua, consiste en: Si se sabe que existe un cero en el intervalo cerrado [a, b] dicho cero debe pertenecer al intervalo [a, (a + b)/2] o [(a+ b)/2, b]. A partir del signo de f((a+ b)/2) se puede determinar el intervalo que contiene un cero. Más concretamente, sea f : [a, b] −→ IR una función continua tal que f(a)f(b) < 0 cogemos el punto medio del intervalo, esto es a+b2 . entonces si a) f(a)f(a+b2 ) = 0, la ráız es x = a+b 2 b) f(a)f(a+b2 ) < 0, la ráız está en el intervalo (a, a+b 2 ). c) f(a)f(a+b2 ) > 0, la ráız está en el intervalo ( a+b 2 , b). Figura 5: El método de bisección Ejemplo 12 Calcular una ráız de x3 + x2 − 7x+ 1 = 0 en [1,2] con un error menor que 10−2 . Fundamentos Matemáticos Tema 7: Funciones de una variable real. Curso 2014-2015 Escuela Superior de Ingenieŕıa y Tecnoloǵıa (Grado en Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática) 11 Figura 6: Teorema del valor intermedio 3.3.1. Interpretación gráfica del teorema Ejemplo 13 1. Utilizar el Teorema del valor intermedio para demostrar que entre todas las esferas cuyos radios pertenecen al intervalo [1,5] hay una con un volumen de 275 cent́ımetros cúbicos. V = 4/3πr3 2. Un sábado a las 8:00 de la mañana, un hombre comienza a subir corriendo la ladera de una montaña hacia su campamento de fin de semana. El domingo a las 8:00 de la mañana baja corriendo la montaña. Tarda 20 minutos en subir y sólo 10 minutos en bajar. En cierto punto del camino de bajada, el hombre se da cuenta de que pasó por el mismo lugar a la misma hora del sábado. Demostrar que el hombre está en lo cierto. 4. Derivabilidad de funciones de una variable 4.1. Derivada de una función Pregunta: Al bombear aire dentro de un globo desinflado hasta hacerlo reventar el diámetro de dicho globo ¿Cambia más rápido cuando se empieza a inflar o justo antes de reventar? ¿por qué? Para aproximarla pendiente de la recta tangente a una gráfica en un punto dado, determine la pendiente de la recta secante que va de un punto de la gráfica a otro punto. A medida que este segundo se va acercando al punto dado, la aproximación tiende a tornarse más exacta. Este proceso se denomina derivación. Definición 9 Sea f una función que está definida en un intervalo abierto que contiene a x0. Se dice que 1. f es derivable por la derecha en x0 si existe el ĺımite ĺım x→x+0 f(x)− f(x0) x− x0 Ese valor se denota por f ′+(x0). Fundamentos Matemáticos Tema 7: Funciones de una variable real. Curso 2014-2015 Escuela Superior de Ingenieŕıa y Tecnoloǵıa (Grado en Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática) 12 2. f es derivable por la izquierda en x0 si existe el ĺımite ĺım x→x−0 f(x)− f(x0) x− x0 Ese valor se denota por f ′−(x0). 3. f es derivable en x0 si existe el ĺımite ĺım x→x0 f(x)− f(x0) x− x0 = f ′(x0) Ese valor se denota por f ′(x0) Nota 5 1. f es derivable en x0 si y sólo si es derivable a la derecha e izquierda y coinciden ambas derivadas, es decir f ′+(x0) = f ′ −(x0) 2. Haciendo el cambio h = x− x0 los ĺımites anteriores se pueden re-escribir de la forma ĺım h→0− f(x0 + h)− f(x0) h = f ′−(x0) ĺım h→0+ f(x0 + h)− f(x0) h = f ′+x0) ĺım h→0 f(x0 + h)− f(x0) h = f ′(x0) Propiedades 4 Si f es derivable en x = x0, entonces f es continua en x = x0. Nota 6 El rećıproco no es cierto. Por ejemplo, f(x) = |x|. 4.2. Interpretación geométrica de la derivada La derivada de f en x0 es el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto (x0, f(x0)). 4.2.1. Recta tangente, normal Sea P (x0, f(x0)) un punto de una curva f . Entonces se tiene que 1. Recta tangente y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0) 2. Recta normal y − f(x0) = − 1 f ′(x0) (x− x0) 4.2.2. Notación de la derivada f ′(x) Notación de Lagrange d dx f(x) Notación de Leibniz ḟ(x) Notación de Newton Fundamentos Matemáticos Tema 7: Funciones de una variable real. Curso 2014-2015 Escuela Superior de Ingenieŕıa y Tecnoloǵıa (Grado en Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática) 13 Figura 7: Recta tangente y normal a una función 4.3. Reglas de derivación 4.3.1. Reglas básicas 1. ddxc = 0 2. ddx (cf(x)) = c d dxf(x) 3. ddx [f(x)± g(x)] = d dxf(x)± d dxg(x) 4. ddx [f(x)g(x)] = d dx [f(x)]g(x) + f(x) d dx [g(x)] 5. ddx [ f(x) g(x) ] = d dx [f(x)]g(x)− f(x) d dx [g(x)] g(x)2 , siempre que g(x) 6= 0 1. ddx (x n) = nxn−1 2. ddx sen(x) = cos(x) 3. ddx cos(x) = − sen(x) Ejemplo 14 1. Encontrar la pendiente de la gráfica f(x) = x2 + 1 2. Calcular la derivada de f(x) = x3 + 2x. 3. Encontrar f ′(x) para f(x) = √ x. Calcular la pendiente de la gráfica de f en los puntos (1, 1) y (4, 2). Analizar el comportamiento de f en (0, 0). Fundamentos Matemáticos Tema 7: Funciones de una variable real. Curso 2014-2015 Escuela Superior de Ingenieŕıa y Tecnoloǵıa (Grado en Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática) 14 4.3.2. La regla de la cadena Sean y = f(u) una función derivable de u siendo u = g(x) una función derivable en x, entonces d dx [f(g(x))] = f ′(g(x))g′(x) 4.3.3. Tabla de derivadas Función Derivada f(x) = c 0 f(x)n nf(x)n−1f ′(x) af(x) af(x) ln(a)f ′(x) ln(f(x)) f ′(x) f(x) sen(f(x)) cos(f(x))f ′(x) cos(f(x)) − sen(f(x))f ′(x) tan(f(x)) f ′(x) cos2(f(x)) = (1 + tan2(f(x)))f ′(x) arc sen(f(x)) f ′(x)√ 1− f(x)2 arc cos(f(x)) −f ′(x)√ 1− f(x)2 arctan(f(x)) f ′(x) 1 + f(x)2 Ejemplo 15 Obtener la derivada de f(x) = arc sen(x). Sea g(x) = sen(x), entonces f(x) = g−1(x). Como g(f(x)) = x, utilizando la regla de la cadena obtenemos (g ◦ f)′(x) = g′(f(x))f ′(x) = 1⇒ f ′(x) = 1 g′(f(x)) ⇒ f ′(x) = 1 cos(arc sen(x)) Por otra parte se tiene que sin2(x) + cos2(x) = 1⇒ cos2(arc sen(x)) = 1− sen2(arc sen(x)) = 1− x2 ⇒ cos(arc sen(x)) = √ 1− x2 Ejemplo 16 Obtener las derivadas de f(x) = ln (√ tan(x) + 1 tan(x)− 1 ) 4.3.4. Derivadas de orden superior Se llama derivada de orden dos de f , que denotaremos f ′′ a la función derivada de la función f ′. En general, a la derivada de la función derivada de orden n− 1 se le llama derivada n-enésima de f , y se denota por f (n) o bien fn). 4.3.5. Derivación impĺıcita Se dice que una función viene dada en forma impĺıcita cuando viene dada por una ecuación en x e y y no está despejada la variable y en función de la variable x. Por ejemplo x2 + y2 = 1. Para derivar tales tipos de funciones es necesario tomar a la variable y como si fuese una función de x. Ejemplo 17 x2 + y2 = 1, x2(x2 + y2) = 1 Fundamentos Matemáticos Tema 7: Funciones de una variable real. Curso 2014-2015 Escuela Superior de Ingenieŕıa y Tecnoloǵıa (Grado en Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática) 15 4.3.6. Derivación en paramétricas Sea x = x(t) e y = y(t) una función en paramétricas en función del parámetro t. Entonces x′ = x′(t), y′ = y′(t) dy dx = y′(t) x′(t) 4.3.7. Cálculo de ritmos (instantáneo y medios) Ritmo de cambio medio = f(b)−f(a)b−a Ritmo instantáneo = f ′(t). Estrategia para solucionar problemas sobre ritmos - Identificar todas las cantidades dadas y por determinar. - Escribir la ecuación que incluya las variables cuyos ritmos de cambio se encuentran en la informa- ción dada. - Utilizar la regla de la cadena, derivar de forma impĺıcita ambos lados de la ecuación. - Sustituir en la ecuación resultante todos los datos y despejar el ritmo de cambio pedido. Ejemplo 1: Sale agua de un depósito cónico, el volumen, el radio y la altura del nivel de agua depende del tiempo. Sabiendo que estas magnitudes se relacionan con el tiempo de la forma V = π 3 r2h Se obtienen que los ritmos d dt V = d dt ( π 3 r2h) = π 3 (r2 d dt h+ 2r( d dt r)h) Lo que se obtiene es que el ritmo de cambio de V está relacionado con el ritmo de cambio de r y h. Ejemplo 2: Ondas en un lago En un lago en calma se deja caer una piedra, lo que provoca ondas circulares. El radio r del ćırculo exterior está creciendo a un ritmo constante de 1m/seg. Cuando el radio es de 4m ¿a qué ritmo está cambiando el área A de la región circular perturbada? A = πr2 d dt A = π2r d dt r = π8m2/seg Ejemplo 3: Inflado de un globo Se bombea aire en el interior de un globo esférico a razón de 4.5 m3/min. Calcular el ritmo de cambio del radio del globo cuando el radio es de 2 m. V = 4 3 πr3 ⇒ dV dt = 4πr2 dr dt ⇒ dr dt = V ′ 4πr2 = 4,5 4π22 Fundamentos Matemáticos Tema 7: Funciones de una variable real. Curso 2014-2015 Escuela Superior de Ingenieŕıa y Tecnoloǵıa (Grado en Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática) 16 4.4. La diferencial Definición 10 Sea f(x) una función derivable en un intervalo abierto que contiene a x. La diferencial de x (denotada por dx es cualquier número real distinto de cero). La diferencial de y (denotada por dy) es dy = f ′(x)dx y=f(c)+f'(c)(x-c) f(x) f(c)-f(c+a) f'(c)a (c+a,f(c+a)) (c,f(c)) 0 50 100 150 200 250 ±4 ±2 2 4 6 8 10 12 14 x Figura 8: La diferencial 4y = f(x+4x)− f(x) ' f(x) + f ′(x)4x− f(x) = f ′(x)4x = dy Nota 7 1. Se llama error propagado por una función a |f(x+4x)− f(x)| 2. El error propagado es equivalente a f ′(x)4x. 3. El error relativo es dff . 5. Aplicaciones de la derivada 5.1. Extremos de funciones Definición 11 1. Una función f es creciente sobre un intervalo si para cualesquiera dos números x e y en el intervalo x < y implica que f(x) < f(y). 2. Una función f es decreciente sobre un intervalo si para cualesquiera dos números x e y en el intervalo x < y implica que f(x) > f(y). Definición 12 Si dice que c es un punto cŕıtico de f si f ′(c) = 0 o no existe la derivada de f en c. Fundamentos Matemáticos Tema 7: Funciones de una variable real. Curso 2014-2015 Escuela Superior de Ingenieŕıa y Tecnoloǵıa (Grado en Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática) 17 Teorema 4 (Criterio para las funciones crecientes y decrecientes)Sea f una función que es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Entonces 1. Si f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f es creciente en [a, b]. 2. Si f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f es decreciente en [a, b]. 3. Si f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f es constante en [a, b]. 5.1.1. Estrategias para determinar si una función es creciente o decreciente 1. Localizar los punto cŕıticos de f en (a, b) y utilizarlos para determinar intervalos de prueba. 2. Determinar el signo de f ′(x) en un valor de prueba en cada uno de los intervalos de prueba. 3. Aplicar el criterio de la derivada. Ejemplo 18 1. Determinar los intervalos abiertos sobre los cuales f(x) = x3− 32x 2 es creciente o decreciente. 2. Encontrar los extremos relativos de: a) f(x) = (x2 − 4)2/3 b) f(x) = x 4+1 x2 3. La trayectoria de un proyectil Ignorando la resistencia del aire, la trayectoria de un proyectil que se lanza a un ángulo θ es y = gsec2θ 2v20 x2 + tan(θ)x+ h con 0 ≤ θ ≤ π/2, donde y es la altura, x es la distancia horizontal, g es la aceleración debida a la gravedad, v0 es la velocidad inicial y h la altura inicial. Sea g = −9,8m/seg2, v0 = 24 metros por segundo y h=9 metros. ¿Qué valor de θ producirá una máxima distancia horizontal? Definición 13 Sea f definida en un intervalo I que contenga a c 1. f(c) es el mı́nimo de f en I si f(c) ≤ f(x) para todo x ∈ I. 2. f(c) es el máximo de f en I si f(c) ≥ f(x) para todo x ∈ I. 3. Si hay un intervalo que contiene a c en el cual f(c) es un máximo (mı́nimo), entonces f(c) recibe el nombre de máximo relativo de f (mı́nimo relativo de f). Nota 8 Los mı́nimos y máximos de una función en un intervalo cerrado son los valores extremos o simplemente extremos de la función en el intervalo. El mı́nimo y máximo de una función en un intervalo cerrado reciben el nombre de mı́nimo y máximo absoluto en el intervalo. Teorema 5 (Criterio de la segunda derivada) Sea f una función tal que f ′(c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c. 1. Si f ′′(c) > 0, entonces f tiene un mı́nimo relativo en (c, f(c)) 2. Si f ′′(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c, f(c)) Fundamentos Matemáticos Tema 7: Funciones de una variable real. Curso 2014-2015 Escuela Superior de Ingenieŕıa y Tecnoloǵıa (Grado en Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática) 18 Si f ′′(c) = 0, entonces el criterio falla, es decir quizás f tenga un máximo, un mı́nimo o ninguno de los dos. Nota 9 Candidatos a extremos: f ′(x) = 0 No existe la derivada Extremos del intervalo Ejemplo 19 Determinar los extremos relativos correspondientes a f(x) = −3x5 + 5x3 Nota 10 Los conceptos de monotońıa y extremos no necesitan la continuidad ni derivabilidad para la función. Cuando la función es derivable de orden n en un entorno de x0 tenemos el siguiente resultado Si f ′(x0) 6= 0⇒ f ′(x0) > 0 f es creciente f ′(x0) < 0 f es decreciente Si f ′(x0) = 0 y f ′′(x0) 6= 0⇒ f ′′(x0) > 0 ⇒ f tiene un mı́nimo en x0 f ′′(x0) < 0 ⇒ f tiene un máximo en x0 Y en general Si f ′(x0) = · · · = f (n−1)(x0) = 0 y f (n)(x0) 6= 0, y n es par ⇒ { f (n)(x0) < 0 máximo f (n)(x0) > 0 mı́nimo Teorema 6 Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene un mı́nimo y un máximo en [a, b]. 5.1.2. Estrategia para la determinación de extremos en un intervalo cerrado - Se buscan los punto cŕıticos de f en (a, b). - Se evalúa f en cada punto cŕıtico en (a, b) - Se evalúa f en cada punto extremo de [a, b] - El más pequeño es el mı́nimo y el más grande el máximo. Ejemplo 20 Determinar los extremos de las funciones 1. f(x) = 3x4 − 4x3 en [-1,2] 2. f(x) = 2x− 3x2/3 en [-1,3] 3. f(x) = 2sen(x)− cos(2x) en [0, 2π] 5.2. El Teorema del valor medio y regla de L’Hôpital Teorema 7 (El Teorema del Valor medio) Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el abierto (a, b), entonces existe un número c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = f(b)− f(a) b− a Fundamentos Matemáticos Tema 7: Funciones de una variable real. Curso 2014-2015 Escuela Superior de Ingenieŕıa y Tecnoloǵıa (Grado en Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática) 19 Nota 11 1. Un caso particular del teorema del valor medio es el Teorema de Rolle, es decir cuando f(a) = f(b), entonces existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0. Ejemplo 21 Determinación de una recta tangente Dada f(x) = 5− 4x , determinar todos los valores de c en el intervalo (1, 4) tal que f ′(c) = f(4)− f(1) 4− 1 Teorema 8 (Regla de L’Hôpital) Sean f y g funciones derivables en un intervalo abierto (a, b) conteniendo a c, excepto quizás en el propio c. Supongamos que g′(x) 6= 0 para todo x ∈ (a, b) excepto quizás en c. Si ĺım x→c f(x) g(x) es una indeterminación de la forma 00 y existe ĺım x→c f ′(x) g′(x) o vale infinito, entonces ĺım x→c f(x) g(x) = ĺım x→c f ′(x) g′(x) Fundamentos Matemáticos Tema 7: Funciones de una variable real. Curso 2014-2015 Escuela Superior de Ingenieŕıa y Tecnoloǵıa (Grado en Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática) 20 Nota 12 La regla de L’Hôpital también se puede aplicar en ĺımites con indeterminación de la forma ∞∞ . Ejemplo 22 Ej 57 5.3. Concavidad y el criterio de la segunda derivada Definición 14 Sea f una función definida en un intervalo (a, b) que contiene al punto x0 tal que exista f ′(x0). Diremos que 1. f es convexa o cóncava hacia arriba en x0 si la recta tangente a f en x0 está por debajo de la gráfica de f es decir f(x)− [f(x0) + f ′(x0)(x− x0)] > 0 2. f es cóncava o cóncava hacia abajo en x0 si la recta tangente a f en x0 está por arriba de la gráfica de f es decir f(x)− [f(x0) + f ′(x0)(x− x0)] < 0 3. x0 es un punto de inflexión de f si la gráfica cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo (o al revés). Teorema 9 Sea f una función derivable de orden n en un intervalo I que contiene a x0. Entonces 1. Si f ′′(x) > 0 para todo x ∈ I, entonces la gráfica es cóncava hacia arriba en I. 2. Si f ′′(x) < 0 para todo x ∈ I, entonces la gráfica es cóncava hacia abajo en I. 3. Si f ′′(x0) = 0 y f ′′′(x0) 6= 0, entonces x0 es un punto de inflexión. Y en general f ′(x0) = · · · = f (n−1)(x0) = 0 y f (n)(x0) 6= 0⇒ si n es par⇒ { f (n)(x0) > 0 cóncava ↑ f (n)(x0) < 0 cóncava ↓ si n es impar⇒ punto de inflexión Ejemplo 23 Determinar los intervalos abiertos en los cuáles las gráficas a) f(x) = 6 x2 + 3 , b)f(x) = x2 + 1 x2 − 4 es cóncava hacia arriba y hacia abajo. Teorema 10 Si (x0, f(x0)) es un punto de inflexión, entonces f ′′(x0) = 0 o f ′′ no está definida en x0. Ejemplo 24 Determinar los puntos de inflexión y analizar la concavidad de la gráfica de f(x) = x4 − 4x3. 5.4. Aśıntotas Definición 15 1. La recta y = c es una aśıntota horizontal de la gráfica f si ĺım x→±∞ f(x) = c Fundamentos Matemáticos Tema 7: Funciones de una variable real. Curso 2014-2015 Escuela Superior de Ingenieŕıa y Tecnoloǵıa (Grado en Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática) 21 2. La recta x = a es un aśıntota vertical de la gráfica f si ĺım x→a f(x) = ±∞ 3. La recta y = mx+ b es un aśıntota oblicua de la gráfica f donde ĺım x→∞ f(x) x = m; ĺım x→∞ [f(x)−mx] = b Nota 13 Los ĺımites anteriores pueden ser sólo laterales. 5.5. Representación de gráficas Dominio y regiones D(f) = {x : f(x) está definido} Estudio del signo de f(x) Intersecciones con los ejes x e y Resolver { Con el eje OX: Resolver f(x) = 0 Con el eje OY : Resolver f(0) = y Simetŕıas Respecto a OY : Función par f(x) = f(−x) Respecto al O: Función impar f(x) = −f(−x) Respecto al OX: Estudiar si existe ±f(x) (en ese caso f no seŕıa función) Periodicidad ∃T tal que f(x+ T ) = f(x), ∀x ∈ D(f) Continuidad ∃ ĺım x→c f(x) = f(c) Aśıntotas Verticales, (paralelas al eje OY , x = a) ĺım x→a f(x) = ±∞ Horizontales, (paralelas al eje OX, y = c) ĺım x→±∞ f(x) = c Oblicuas,son de la forma y = mx+ b ĺım x→∞ f(x) x = m; ĺım x→∞ [f(x)−mx] = b Derivabilidad ∃ ĺım x→c f(x)− f(c) x− c Crecimiento y decrecimiento { f ′(x) < 0⇒ f(x) decreciente f ′(x) > 0⇒ f(x) creciente Extremos relativos Máximos y mı́nimos Puntos tal que f ′(x0) = 0, { f ′′(x0) < 0⇒ x0 es un máximo f ′′(x0) > 0⇒ x0 es un mı́nimo Concavidad { f ′′(x) < 0⇒ f(x) cóncava hacia abajo f ′′(x) > 0⇒ f(x) cóncava hacia arriba Puntos de inflexión f(x) cambia de cóncava hacia arriba hacia abajo (y al revés) Ĺımites infinitos al infinito Ejemplo 25 Analizar y dibujar la gráfica f(x) = x 2−2x+4 x−2 , g(x) = cos(x) 1+sen(x) , y h(x) = x√ x2+2 6. Polinomios de Taylor y aproximación El objetivo es mostrar cómo se pueden usar las funciones polinómicas como aproximaciones a otras funciones elementales. Para encontrar una función polinómica P que aproxime otra función f , se comienza por elegir un número c en el dominio de la función f en el que P (c) = f(c) Fundamentos Matemáticos Tema 7: Funciones de una variable real. Curso 2014-2015 Escuela Superior de Ingenieŕıa y Tecnoloǵıa (Grado en Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática) 22 Figura 9: Gráficas de las funciones f(x) = x 2−2x+4 x−2 , g(x) = cos(x) 1+sen(x) , y h(x) = x√ x2+2 La idea es encontrar un polinomio cuya gráfica se parezca a la gráfica de f . Una manera de hacer eso es hacerlo es imponer el requisito adicional de que la pendiente de la función polinómica sea la misma que la pendiente de la gráfica de f en el punto (c, f(c)). Definición 16 Si f tiene n derivadas en c, entonces el polinomio Pn(x) = f(c) + f ′(c)(x− c) + f ′′(c) 2! (x− c)2 + · · ·+ f (n)(c) n! (x− c)n se llama polinomio de Taylor de grado n para f en el punto c o centrado en c. Si c = 0 a Pn(x) se le llama polinomio de MacLaurin de grado n para f . Ejemplo 26 1. Encontrar un polinomio de MacLaurin para f(x) = ex de grado n 2. Encontrar un polinomio de Taylor para f(x) = ln(x) de grado n en c = 1 3. Usar un polinomio de Maclaurin para aproximar el valor de ln(1.1). Fundamentos Matemáticos Tema 7: Funciones de una variable real. Curso 2014-2015 Escuela Superior de Ingenieŕıa y Tecnoloǵıa (Grado en Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática) 23 Nota 14 1. La aproximación en normalmente mejor en los valores de x cercanos a c que en valores alejados. 2. La aproximación es, generalmente, mejor entre mayor es el grado de los polinomios de Taylor (Maclaurin) utilizados. Teorema 11 (Teorema de Taylor) Si una función f es derivable hasta el orden n+1 en un intervalo I contiene a c, entonces, para todo x ∈ I existe a entre x y c tal que f(x) = f(c) + f ′(c)(x− c) + f ′′(c) 2! (x− c)2 + · · ·+ f (n)(c) n! (x− c)n +Rn(x) donde Rn(x) = f (n+1)(a) (n+ 1)! (x− c)n+1 Además |Rn(x)| ≤ |x− c|n+1 (n+ 1)! máx |f (n+1)(a)| donde el máximo es calculado entre x y c. El resto dado en el teorema se llama resto de Lagrange. f(x) = Pn(x)+ Rn(x) Valor exacto Valor aproximado Resto |resto| = error Ejemplo 27 1. Usar el Teorema de Taylor para aproximar sen(0.1) mediante un polinomio de orden 3 y determinar la precisión de la aproximación. 2. Utilizar el Teorema de Taylor para calcular una aproximación de ln(1.2) de manera que el error sea menor que 10−3. Fundamentos Matemáticos Tema 7: Funciones de una variable real. Curso 2014-2015
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