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Ejercicios Resueltos y Propuestos
Cursos EYP2214 y EYP2216
Primera Edición
Trabajo de Recopilación, Organización y Elaboración
Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
Departamento de Estad́ıstica - Facultad de Matemáticas
Pontificia Universidad Católica de Chile
Santiago, Diciembre 2004
Prefacio
Con la intención de apoyar la labor docente que desarrolla el Departamento de Estad́ıstica
de la Facultad de Matemáticas de la Pontificia Universidad Católica de Chile, se ha realizado
un trabajo de recopilación y elaboración de ejercicios resueltos y propuestos para los curso
EYP2216 y EYP2214, algunos de los cuales fueron desarrollados en ayudant́ıas y han sido
parte de interrogaciones en semestre anteriores.
Queremos agradecer muy en especial a FONDEDOC, por haber confiado en este proyecto
y habernos entregado todo su apoyo para poder ver realizada esta necesidad tanto para el
Departamento de Estad́ıstica, como para todos los alumnos y alumnas que son beneficiados
de los cursos de servicio que ofrece el mismo.
Este trabajo ha sido fruto de la labor que desarrollaron docentes y ayudantes que dictaron
el curso entre los años 2001 y 2004.
Espećıficamente deseamos agradecer a los profesores
Claudio Beltrán
Rolando de la Cruz
Héctor Gómez
Patricia Jiménez
Ricardo Olea
Alexis Rojas
Además quisiéramos agradecer el aporte de Jorge González y Mario Tagle, tanto por el
material donado, como por la revisión de este libro.
Atentamente.
Dirección
Departamento de Estad́ıstica
Facultad de Matemáticas
Santiago, Diciembre 2004
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
II
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
Índice general
1. Análisis Descriptivo 1
1.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2. Probabilidad 27
2.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3. Variables Aleatorias Discretas 45
3.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4. Variables Aleatorias Continuas 59
4.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5. Sensibilidad y Especificidad 73
5.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6. Estimación 79
6.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7. Intervalos de Confianza y Test de Hipótesis 105
7.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8. Test de Homogeneidad, Independencia y Bondad de Ajuste 131
8.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.2. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9. Análisis de Regresión 151
9.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.2. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
IV ÍNDICE GENERAL
A. Formulario de Distribuciones I
B. Formulario de Análisis de Regresión Simple III
C. Tablas de distribución VII
C.1. Distribución t de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII
C.2. Distribución χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII
C.3. Distribución F (α = 0,05) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX
C.4. Distribución Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
Caṕıtulo 1
Análisis Descriptivo
1.1. Ejercicios Resueltos
EJERCICIO 1
Unos transductores de temperatura de cierto tipo se embarcan en lotes de 50. Se selec-
cionó una muestra de 60 lotes y se determinó la cantidad de transductores en cada lote que
no se apegaban a las especificaciones de diseño y resultaron los siguientes datos:
2 1 2 4 0 1 3 2 0 5 3 3 1 3 2 4 7 0 2 3
0 4 2 1 3 1 1 3 4 1 2 3 2 2 8 4 5 1 3 1
5 0 2 3 2 1 0 6 4 2 1 6 0 3 3 3 6 1 2 3
(a) Diga que tipo de datos son estos.
(b) Construya una tabla de distribución de frecuencias adecuada para los valores de
x: cantidad de transductores defectuosos en un lote.
(c) ¿Qué proporción de lotes en la muestra tienen cuando más cinco transductores defec-
tuosos?
(d) ¿Qué proporción tienen cuando menos cinco unidades defectuosas?
(e) Trace un histograma de los datos con la frecuencia relativa en el eje vertical y comente
sus propiedades.
(f) Calcule e interprete la media aritmética a partir de la tabla de frecuencias.
(g) Obtenga e interprete la mediana por medio de la tabla de frecuencias.
SOLUCIÓN
(a) Datos Discretos.
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
2 Caṕıtulo 1. Análisis Descriptivo
(b) Tabla de distribución de frecuencias: Considerando que son datos discretos, la forma
correcta de hacer esta tabla es dejando una clase por número de transductores que no
se apegaban a las especificaciones. Resultando la siguiente:
Clase Frec. Frec. Relativa Frec. Acumulada Frec. Relativa Acumulada
0 7 0.12 7 0.12
1 12 0.20 19 0.32
2 13 0.21 32 0.53
3 14 0.23 46 0.76
4 6 0.10 52 0.86
5 3 0.05 55 0.91
6 3 0.05 58 0.96
7 1 0.02 59 0.98
8 1 0.02 60 1.0
(c) Aqúı debemos considerar todos aquellos lotes que teńıan 0, 1, 2, 3, 4, o 5 transductores
defectuosos
55
60
= 0,917
(d) Análogamente a la parte (c), aqúı debemos considerar todos aquellos lotes que teńıan
5, 6, 7 o 8 transductores defectuosos
8
60
= 1− 52
60
= 1− 0,867 = 0,133
(e) El Histograma tiene una asimetŕıa positiva apreciable. Se dispersa bastante respecto a
su centro.
Figura 1.1: Histograma
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
1.1 Ejercicios Resueltos 3
(f) La media es:
X =
1
n
m∑
i=1
xifi
Donde m es el número de clases, xi el valor de la clase i, y fi frecuencia de la clase i.
∴ X =
1
8
8∑
i=1
xifi =
152
60
≈ 2,5
Aunque esta no es una medida de posición adecuada para este caso, en promedio hay
2.5 traductores que no se apegaban a las especificaciones del diseño.
(g) El calculo de la mediana para este caso es obvio por la composición de las clases, ya
que cada clase esta compuesta de un solo valor, es decir, lo más simple seŕıa ver en
que frecuencia acumulada se encuentra el valor n
2
= 60
2
= 30 y a que clase corresponde,
para este caso el valor 30 se encuentra en la frecuencia acumulada de la clase 2, por lo
que la Me = 2.
De una manera más formal seŕıa por el procedimiento para el caso de datos tabulados
y discretos, siendo este como sigue:
i. Observemos en la tabla de la parte (a) la columna de las Frecuencias acumuladas
(”menor que”).
ii. Se determina la menor frecuencia acumulada Nj que supera a
n
2
.
Es decir
n
2
< Nj
En esta situación puede ocurrir que n
2
≥ Nj−1. O sea que se puede tener
Nj−1 ≤
n
2
< Nj
1. Cuando n
2
> Nj−1, entonces la mediana es:
Me = yj
2. Cuando n
2
= Nj−1, en esta situación se acostumbra a tomar como valor de la
mediana:
Me =
yj−1 + yj
2
∴ Como n
2
= 30, N2 = 32 tenemos que
Me= y2 = 2
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
4 Caṕıtulo 1. Análisis Descriptivo
EJERCICIO 2
Un Constructor Civil visita 25 villas en una ciudad y en cada una anotó el número de casas
que han sufrido daños ocasionados por un terremoto, de lo cual resultaron los datos:
15 20 25 15 18
16 17 18 20 18
18 18 19 16 17
19 16 17 17 17
19 18 19 18 15
(a) Diga que tipo de datos son estos.
(b) Construya una tabla de distribución de frecuencias adecuadas a este conjunto de datos.
(c) ¿Cuántas villas tienen a lo más 20 casas que han sufrido daños?
(d) ¿Que proporción de villas tienen por lo menos 17 casas que han sufrido daños?
(e) ¿Qué proporción de villas tienen 18 casas que han sufrido daños?
(f) ¿Qué proporción y que porcentaje de villas tienen 18 o menos casas que han sufrido
daños?
(g) Calcular e interpretar la media aritmética de los datos a partir de la tabla que construyo
en la parte (b)
(h) Obtenga e interprete la mediana de los datos agrupados a partir de la tabla que con-
struyo en la parte (b)
(i) Construya un gráfico adecuado y haga comentarios.
SOLUCIÓN
(a) Discretos.
(b) Como son datos discretos, la tabla de frecuencias presentará una clase por cada valor
en los datos, resultando la siguiente tabla
Clase Frecuencia Frecuencia Acumulada
15 3 3
16 3 6
17 5 11
18 7 18
19 4 22
20 2 24
25 1 25
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
1.1 Ejercicios Resueltos 5
(c) Considerando la frecuencia acumulada hasta 20, tenemos que el número de villas que
tienen a lo más 20 casa con daños es 24.
(d) Para contestar esto, nos sirven todas las villas que tuvieron 17 casa o más con daños
5 + 7 + 4 + 2 + 1
25
= 0,76 ≈ 76 %
(e) De la tabla de frecuencias rescatamos que son 7 de un total de 25, esto es
7
25
= 0,28 ≈ 28 %
(f) Para contestar esto, nos sirven todas las villas que tuvieron 18 casa o menos con daños
18
25
= 0,72 ≈ 72 %
(g) La media es:
X =
5∑
i=1
xi · fi
5∑
i=1
fi
=
15 · 3 + 16 · 3 + 17 · 5 + 18 · 7 + 19 · 4 + 20 · 2 + 25 · 1
25
=
445
25
= 17,8
(h) Del Ejercicio 1, tenemos que n
2
= 12,5, entonces la clase que contiene a Nj (La frecuen-
cia acumulada que supera a n
2
) es la 4, es decir N4 = 7.
∴ como n
2
= 12,5 > N3 = 11 tenemos que
Me = y4 = 18
(i) Del Histograma de la figura siguiente se aprecia que lo que se dio con mayor frecuencia
en las villas, fueron 18 casas con daños, seguidas por 17 y 19, manteniéndose las otras
clases relativamente semejantes.
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6 Caṕıtulo 1. Análisis Descriptivo
Figura 1.2: Histograma
EJERCICIO 3
La siguiente distribución de frecuencias es el resultado de registros sobre la duración de 220
lámparas (o focos) de 60 watts.
Ĺımites de Clase Frecuencia
[500− 600) 3
[600− 700) 7
[700− 800) 14
[800− 900) 28
[900− 1000) 64
[1000− 1100) 57
[1100− 1200) 23
[1200− 1300) 13
[1300− 1400) 7
[1400− 1500] 4
(a) Construya un histograma para estos datos, cuyo eje vertical corresponda a las frecuen-
cias relativas.
(b) Obtenga la duración media.
(c) Obtenga la desviación estándar.
(d) Encuentre e interprete un intervalo que contenga el 60% central de los datos.
(e) Más o menos, ¿Cuál es la mediana de la duración de las ampolletas?
SOLUCIÓN
(a) tenemos la siguiente tabla tabulada:
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1.1 Ejercicios Resueltos 7
Clase Frecuencia Frecuencia Relativa Frecuencia Acumulada
[500− 600) 3 0.014 3
[600− 700) 7 0.032 10
[700− 800) 14 0.064 24
[800− 900) 28 0.127 52
[900− 1000) 64 0.291 116
[1000− 1100) 57 0.259 173
[1100− 1200) 23 0.105 196
[1200− 1300) 13 0.059 209
[1300− 1400) 7 0.032 216
[1400− 1500] 4 0.018 220
luego el histograma queda de la siguiente forma
Figura 1.3: Histograma
(b) La media es:
X =
10∑
i=1
yi · fi
10∑
i=1
fi
=
219100
220
= 995,91
donde yi es la marca de clase o punto medio de la i-esima clase y fi la frecuencia
absoluta de la misma clase.
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
8 Caṕıtulo 1. Análisis Descriptivo
(c) La varianza para datos tabulados se calcula de la siguiente manera:
S2 =
n∑
i=1
fi(yi −X)2
n− 1
en este caso
S2 = 28613,325
∴ La desviación estándar es:
S =
√
S2 =
√
28613,325 = 169,15
(d) El intervalo pedido es:
[P20 − P80]
P20: ¿En que clase esta?:
n · p
100
=
220 · 20
100
= 44
es decir, esta en la 4a clase.
P80: ¿En que clase esta?:
n · p
100
=
220 · 80
100
= 176
es decir, esta en la 7a clase.
La fórmula para calcular el percentil en datos tabulados es:
Pp = LI + cj
[ n∗p
100
−Nj−1
Nj −Nj−1
]
donde:
i. LI: Limite Inferior de la clase que contiene a Pi.
ii. cj: Amplitud de la clase que contiene a Pi.
iii. Nj: Frecuencia acumulada en la clase que contiene Pi.
Reemplazando tenemos lo siguiente:
P20 = 800 + 99
[
44− 24
52− 24
]
= 870,71
P80 = 1100 + 99
[
176− 173
196− 173
]
= 1112,91
Por lo tanto el intervalo que contiene al 60% de los datos es:
(870,71; 1112,91)
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1.1 Ejercicios Resueltos 9
(e) Para el calculo de la Mediana en datos tabulados y continuos, el procedimiento es el
siguiente:
Se observa la columna de las frecuencias acumuladas y se determina la menos frecuencia
acumulada Nj tal que
Nj >
n
2
En esta situación puede ocurrir que n
2
≥ Nj−1. Es decir, se puede tener
Nj−1 ≤
n
2
< Nj
i. Si ocurre que n
2
= Nj−1, la mediana está dada por:
Me = yj−1
donde yj−1 es el ĺımite inferior de la clases mediana.
ii. Si ocurre que n
2
> Nj−1, la mediana está dada por:
Me = yj−1 + cj
[ n
2
−Nj−1
Nj −Nj−1
]
Dado esto tenemos que n
2
= 220
2
= 110, lo que indica que Nj = N5 = 116 y como
n
2
= 110 > Nj−1 = N4 = 52 tenemos que la mediana es:
Me = 900 + 99
[
110− 52
116− 52
]
= 989,718
EJERCICIO 4
Los tiempos de CPU que se indican en la tabla de frecuencias representan el tiempo (en
segundos) que 25 trabajos estuvieron en control de la unidad de proceso (CPU) de una
computadora mainframe grande.
Intervalo de Clase Frecuencia de Clase
[0.015-0.715) 5
[0.715-1.415) 9
[1.415-2.115) 4
[2.115-2.815) 3
[2.815-3.515) 1
[3.515-4.215) 2
[4.215-4.915] 1
(a) Calcule el tiempo promedio de CPU.
(b) Calcule e interprete la desviación estándar.
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
10 Caṕıtulo 1. Análisis Descriptivo
(c) Construya e interprete un histograma de frecuencia.
(d) Encuentre e interprete el intervalo intercuartil.
SOLUCIÓN
A continuación la tabla de frecuencias completa
Intervalo de Clase f F fr Fr yi
[0.015-0.715) 5 5 0,2 0,2 0,35
[0.715-1.415) 9 14 0,36 0,56 1,065
[1.415-2.115) 4 18 0,16 0,72 1,765
[2.115-2.815) 3 21 0,12 0,84 2,465
[2.815-3.515) 1 22 0,04 0,88 3,165
[3.515-4.215) 2 24 0,08 0,96 3,865
[4.215-4.915] 1 25 0,04 1 4,565
donde
N = 25
yi : punto medio de la clases i-ésima
fi : frecuencia absoluta de la clases i-ésima
(a) El tiempo promedio de CPU es:
x =
1
N
7∑
i=1
fi · yi
=
1
25
(0,365 · 5 + 1,065 · 9 + 1,765 · 4 + 2,465 · 3 + 3,165 · 1 + 3,865 · 2 + 4,565 · 1)
=
41,325
25
= 1,653
(b) La desviación estándar es la siguiente:
S2 =
1
N − 1
7∑
i=1
fi(yi − x)2
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1.1 Ejercicios Resueltos 11
S2 =
1
24
[
5 · (−1,288)2 + 9 · (−0,588)2 + 4 · (0,122)2
+3 · (0,812)2 + 1 · (1,512)2 + 2 · (2,212)2 + 1 · (2,912)2
]
=
33,9864
24
= 1,4161
∴ S =
√
1,4161
= 1,19
La desviación estándar es una medida de dispersión de los datos con respecto a la media.
En este caso S = 1,19 seg., es alta, lo cuál indica la presencia de datos extremos.
(c) El histograma de frecuencia se muestra en la figura siguiente.
Figura 1.4: Histograma
Se aprecia que el histograma es asimétrico, que más de la mitad de los tiempos de launidad de proceso fueron menores que 1.415 seg., se aprecia que casi tres cuartas partes
fueron menores que 2.115 seg. y aproximadamente un cuarto de las CPU tardan más
de 2.815 seg.
(d) El intervalo intercuartil es el siguiente
(Q1, Q3)
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
12 Caṕıtulo 1. Análisis Descriptivo
este rango indica que en él se ubica el 50% central de los datos, donde Q1 = P25 y
Q3 = P75.
De la tabla de frecuencias tenemos que Q1 ∈ Clase 2 y Q3 ∈ Clase 4.
Luego los percentiles son
P25 = 0,715 + 0,7 ·
(
6,25−5
14−5
)
= 0,812
P75 = 2,115 + 0,7 ·
(
18,75−18
21−18
)
= 2,290
Se tiene que el 50% de los 25 trabajos estuvieron en control de la CPU entre 0.812 y
2.290 seg.
EJERCICIO 5
El número de divorcio en una ciudad, de acuerdo con al duración de casados, está represen-
tada por la siguiente tabla.
Años de casados No de divorcio
[0-6) 2800
[6-12) 1400
[12-18) 600
[18-24) 150
[24-30] 50
(a) ¿Cuál es la duración media de los casamientos?
(b) Encuentre la desviación estándar de la duración de los casamientos.
(c) Construya un histograma.
(d) Encuentre el intervalo intercuantil.
SOLUCIÓN
(a) La duración media de los casamientos es
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
1.1 Ejercicios Resueltos 13
x =
1
N
6∑
i=1
fi · yi
=
1
5000
(2800 · 3 + 1400 · 9 + 600 · 15 + 150 · 21 + 50 · 27)
=
34500
5000
= 6,9
Los matrimonios duran en promedio 6.9 años.
(b) La desviación estándar de la duración de los casamientos es:
S2 =
138150
4999
= 27,64 ⇒ S = 5,3 años
(c) Histograma de No de divorcio vs Clase de Años de casados.
Figura 1.5: Histograma
La mayoŕıa de los matrimonios se separan en los primeros 6 años. Sólo el 10% de los
matrimonios dura entre los 24 y 30 años.
(d) El intervalo intercuantil es
I = (P25; P75) = (Q1; Q3)
tenemos que
n
4
=
5000
4
= 1250 < N1 ⇒ la clase del percentil 25 es 0− 6
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
14 Caṕıtulo 1. Análisis Descriptivo
luego
Q1 = P25 = 0 + 6 ·
(
1250− 0
2800
= 2,7
)
3n
4
=
3 · 5000
4
= 1250 < N2 ⇒ la clase del percentil 75 es 6− 12
luego
Q3 = P75 = 6 + 6 ·
(
3750− 2800
1400
= 10,1
)
Aśı tenemos
I = (2,7; 10,1)
El 50% central de los matrimonios dura entre los 2.7 años y 10.1 años.
EJERCICIO 6
La siguiente información corresponde al ingreso neto (X) como porcentaje de sus activos,
para las 20 compañ́ıas exitosas:
17 23 22 18 8 7 12 2 49 14
14 36 16 7 3 8 10 11 20 21
De los ingresos netos como porcentajes de las ventas (Y), informados por 250 Compañ́ıas
regularmente exitosas se sabe que:
250∑
i=1
yi = 2125
250∑
i=1
y2i = 18625
(a) Compare el coeficiente de variación del ingreso neto como porcentaje de la activos, con
la del ingreso neto como porcentaje de las ventas, para las Compañ́ıas exitosas y las
regularmente exitosas, respectivamente. ¿Cuál ingreso neto es más homogéneo?
(b) Si en las Compañ́ıas regularmente exitosas, se eliminan dos valores extremos 0.8 y 14.5,
¿cuál es la desviación estándar del ingreso neto como porcentaje de las ventas, para
las 248 Compañ́ıas restantes? (Utilice 3 decimales)
SOLUCIÓN
(a) el Coeficiente de variación (C.V) se calcula como:
C.V =
S
X
Se puede calcular considerando S2n−1 (varianza muestral) ó S
2
n (varianza poblacional).
En la siguiente tabla se entrega el resumen de ambos casos
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
1.1 Ejercicios Resueltos 15
X S2n−1 C.V S
2
n C.V
X 15.9 124.199 0.700 130.735 0.719
Y 8.5 2.259 0.176 2.250 0.176
Como C.V (Y ) < C.V (X), se puede concluir que el ingreso neto como porcentaje de
las ventas es más homogéneo que el ingreso neto como porcentaje de la activos.
(b) Si consideramos varianza poblacional tenemos que dado lo siguiente:
248∑
i=1
yi = 2125− 0,8− 14,5 = 2109,7 ⇒ Y = 8,506
248∑
i=1
y2i = 18625− 0,82 − 14,52 = 18414,11 ⇒ Y 2 = 74,250
la desviación estándar es
Sn =
√
Y 2 − Y 2 =
√
74,250− 8,5062 = 1,377
EJERCICIO 7
Actualmente existe un reglamento con respecto de la obligación de las construcciones por
cumplir normas mı́nimas de seguridad, entre ellas se encuentra la resistencia al fuego de los
elementos de una construcción. Un sistema de protección consiste en utilizar una pintura
que permite aislar el elemento, llamada pintura “́ıntumescente”.
Antes de la construcción de un edificio se realizaron ensayos en pilares de acero que fueron
expuestos al fuego por sus 4 caras, los cuales fueron pintados con diferentes espesores de esta
pintura, en micrones y se midió su resistencia al fuego, en minutos, hasta que se comenzaba
a deteriorar. La información se presenta a continuación.
ESPESOR DE LA RESISTENCIA AL FUEGO (minutos)
PINTURA (micrones) Menos de 22 22 - 52 52 - 82 82 y más
[0− 335) 10 6 1 0
[335− 670) 5 8 2 0
[670− 1005) 1 3 3 1
[1005− 1340) 0 1 7 10
[1340− 1675] 0 0 10 15
(a) Según el tiempo de exposición al fuego antes de ser dañado el pilar, la resistencia al
fuego se clasifica como clases F30, si este tuvo una duración entre 30 y 59 minutos.
¿Qué porcentaje de los pilares no se clasificaŕıan como clase F30?
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
16 Caṕıtulo 1. Análisis Descriptivo
(b) ¿Cuál distribución es más homogénea en relación al espesor de la pintura “́ıntumes-
cente”, la de los pilares que mostraron una resistencia al fuego de menos de 52 minutos
o la de los pilares con resistencia igual o superior a 52 minutos?
(c) Si consideramos solo los pilares que fueron pintados con un espesor entre 670 y 1005
micrones. Grafique la distribución de estos pilares según sea su resistencia al fuego.
SOLUCIÓN
(a) Considerando solo la resistencia al fuego tenemos las siguiente tabla de frecuencias y
con la cual podremos obtener el porcentaje de de pilares que no se clasifican como F30.
Resistencia f F Fr
< 22 16 16 0.19
[22− 52) 18 34 0.41
[52− 82) 23 57 0.69
≥ 82 26 83 1.00
Se calcula el percentil a que corresponde 30 y 59 en resistencia al fuego.
Pα = 30 = 22 + 30×
(
α×83
100
− 16
)
18
⇒ α = 25,06
Pβ = 59 = 52 + 30×
(
α×83
100
− 34
)
23
⇒ β = 47,43
luego β − α = 22,37 %, es decir, el 22.37% de los pilares se clasifica como F30, por
ende el 73.63% no corresponde a esa categoŕıa.
(b) La idea es calcular los coeficientes de variación, para los dos grupos de resistencia, para
ello reconstruimos la tabla de frecuencias como sigue:
Espesor R < 52 R ≥ 52 mi
[000− 335) 16 1 167.5
[335− 670) 13 2 502.5
[670− 1005) 4 4 837.5
[1005− 1340) 1 17 1172.5
[1340− 1675) 0 25 1507.5
luego los coeficienes de variación son los siguientes:
C.V (Espesor|R < 52) = 263,6446
403,970
≈ 0,6526
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
1.1 Ejercicios Resueltos 17
C.V (Espesor|R ≥ 52) = 310,1497
1268,2142
≈ 0,2446
∴ la distribución es más homogénea en relación al espesor de la pintura en la corre-
spondiente a los pilares con resistencia igual o superior a 52 minutos.
(c) Considerando solo el grupo de Espesor entre 670 y 1005 la tabla de frecuencias obtenida
es la siguiente:
Resistencia frecuencia
< 22 1
[22− 52) 3
[52− 82) 3
≥ 82 1
Gráficamente la distribución es la siguiente:
Figura 1.6: Histograma
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
18 Caṕıtulo 1. Análisis Descriptivo
1.2. Ejercicios Propuestos
1. La resistencia del concreto depende del procedimiento que se utilice para curarlo. Dos
métodos distintos de curado mostraron los siguientes resultados en ensayos independi-
entes.
Se considera que el concreto queda con resistencia óptima, cuando es superior a 3220
libras/pulgadas2.
Resistencia Método 1 Método 2
[2500-2740) 3 2
[2740-2980) 4 3
[2980-3220) 5 7
[3220-3460) 5 5
[3460-3820] 6 4
a) ¿Qué porcentaje de los ensayos con el método 1 de curado,resultan con concreto
de resistencia óptima?
b) ¿Qué porcentaje de los ensayos con el método 2 de curado, resultan con concreto
de resistencia óptima?
c) Construya un gráfico adecuado que muestre la distribución de los ensayos con el
método 1 según resistencia de concreto y ubique en dicho gráfico el valor numérico
de su resistencia media.
d) Construya un gráfico adecuado que muestre la distribución de los ensayos con el
método 2 según resistencia de concreto y ubique en dicho gráfico el valor numérico
de su resistencia media.
2. Denote por Xn y S
2
n la media y la varianza para la muestra X1, . . . , Xn, y denote por
Xn+1 y S
2
n+1 estas cantidades cuando una observación adicional Xn+1 se añade a la
muestra.
a) Demuestre cómo Xn+1 se puede calcular de Xn y Xn+1.
b) Muestre que
nS2n+1 = (n− 1)S2n +
n
n + 1
(Xn+1 −Xn)2
de modo que S2n+1 se puede calcular de Xn+1, Xny S
2
n.
c) Suponga que una muestra de 15 hebras de hilo de paño dio como resultado una
media muestral de elongación de 12.58 mm y una desviación estándar muestral de
0.512 mm. Una décima sexta hebra da un valor de elongación de 11.8. ¿¿Cuáles
son los valores de la media muestral y de la desviación estándar muestral para las
16 observaciones de elongación?
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
1.2 Ejercicios Propuestos 19
3. Las longitudes de las rutas de transporte en determinada ĺınea suelen variar entre śı. En
el art́ıculo ”Planning of City Bus Routes”(J. of the Institution of Engineers, 1995, pp.
211-215) aparece la siguiente información sobre las longitudes (en km) de determinada
ĺınea:
Longitud Frecuencia
[6− 8) 6
[8− 10) 23
[10− 12) 30
[12− 14) 35
[14− 16) 32
[16− 18) 48
[18− 20) 42
[20− 22) 40
[22− 24) 28
[24− 26) 27
[26− 28) 26
[28− 30) 14
[30− 35) 27
[35− 40) 11
[40− 45] 2
a) Trace el histograma para estas frecuencias.
b) ¿Qué proporción de las rutas tienen una longitud menor que 20? ¿Qué proporción
de estas rutas tienen longitudes de cuando menos 30?
c) Más o menos, ¿cuál es el valor del 90◦ percentil de la distribución de longitudes
de ruta?
d) Más o menos, ¿cuál es la mediana de la longitud de las rutas?
4. El art́ıculo Çan We really Walk Straight”(Amer. J. of Physical Anthropology, 1992 pp.
19-27) reportó un experimento en el que se pidió, a cada uno de 20 hombres sanos, que
caminaran en ĺınea recta tan derecho como fuera posible hacia un blanco situado a 60
m a velocidad normal. Considere las siguientes observaciones sobre cadencia (números
de pasos por segundo):
0.95 0.85 0.92 0.95 0.93 0.86 1.00 0.92 0.85 0.81
0.78 0.93 0.93 1.05 0.93 1.06 1.06 0.96 0.81 0.96
Utilice los métodos desarrollados en el caṕıtulo 1 para resumir la información; incluya
una interpretación o discusión, siempre que sea apropiado. (Nota: el autor del art́ıculo
utilizó una análisis estad́ıstico de gran complejidad para analizar estos datos).
5. Para cada una de las siguientes afirmaciones indique si ella es verdadera ( V ) o falsa
( F ). Justifique
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
20 Caṕıtulo 1. Análisis Descriptivo
a) Me = (Q1 + Q3)/2 , siendo Me = Mediana, Qi = i - ésimo cuartil ( i = 1, 3 )
b) Si el valor máximo entre ( X1, X2, . . . , Xk) = 18 , entonces , Moda = 18.
c) Si una variable es de nivel de medición nominal , entonces la medida de tendencia
central más adecuada es la mediana.
6. Responda brevemente :
a) Dé dos definiciones de tipos de muestreo
b) Diga cuando una variable es del tipo discreta y cuando es del tipo continua
c) Diga que se entiende por : ”No depende de la unidad de medida 2señale por
lo menos dos medidas que cumplan y dos medidas que no cumplan con lo antes
señalado.
d) Describa en que consiste el percentil p ( Pp )
e) ¿¿ Qué porcentaje de la muestra está contenido en el Rango-Intercuartil ?
7. La exposición aguda al cadmio produce dolores respiratorios, daños en los riñones,
h́ıgado y puede ocasionar la muerte. Por esta razón se controla el nivel de polvo de
cadmio y de humo de óxido de cadmio en el aire. Este nivel se mide en miligramos de
cadmio por metro cúbico de aire. Una muestra de treinta y cinco lecturas arroja estos
datos : (Basado en un informe de Environmental Management , Septiembre de 1981,
pág. 414)
0.044 0.030 0.052 0.044 0.046 0.020 0.066 0.052
0.049 0.030 0.040 0.045 0.039 0.039 0.039 0.057
0.050 0.056 0.061 0.042 0.055 0.037 0.062 0.062
0.070 0.061 0.061 0.058 0.053 0.060 0.047 0.051
0.054 0.042 0.051
a) Construya una tabla de Frecuencias utilizando la fórmula de Sturges para el
número de intervalos.
Sturges: N.I : 1 + [ 3,3 log10 n] , donde [x] := Es la parte entera de x.
Amplitud : A = ( Xmax −Xmin) / N.I.
b) Construya el histograma utilizando las frecuencias absolutas. ¿¿ Parece razonable
pensar que el nivel de cadmio del aire posee una distribución en forma de campana
?
c) Calcular las medidas de tendencia central utilizando los datos originales y uti-
lizando la tabla construida en el apartado ( b ).
d) Compare sus resultados en relación a la simetŕıa de los datos, los puntos ( c ) y (
d ).
8. La Av́ıcola ”El Super Pollo”preocupada por los recientes reclamos de clientes con
respecto al peso de los pollos, decidió estudiar la distribución de los pesos de 1000
pollos, con los siguientes resultados:
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
1.2 Ejercicios Propuestos 21
Peso (gramos) Frecuencia
[960− 980) 60
[980− 1000) 160
[1000− 1020) 280
[1020− 1040) 260
[1040− 1060) 160
[1060− 1080] 80
Total 1000
a) ¿Cuál es el peso medio?
b) Construya el histograma.
c) Construya la ojiva y la poligonal de frecuencias
d) Interesa dividir los pollos en cuatro categoŕıas, con respecto al peso, de modo que:
i) El 20% de los pollos más livianos sean clasificados en categoŕıa D
ii) El 30% de los pollos que siguen en peso sean clasificados en categoŕıa C
iii) El 30% de los pollos que siguen en peso sean clasificados en categoŕıa B
iv) El 20% de los pollos restantes sean clasificados en categoŕıa A.
¿Cuáles son los ĺımites de peso en cada categoŕıa?
9. ¿Qué ocurre con la mediana, media y desviación estándar de una serie de datos, cuando:
a) cada observación es multiplicada por 2
b) se le suma 10 a cada observación
c) se le resta la media a cada observación
d) a cada observación se le resta la media y se divide por la desviación estándar.
10. La distribución de los 20.000 empleados de la empresa alfa, según antigüedad (X)
y sueldo mensual (Y) se muestra en la siguiente tabla de proporciones (frecuencias
relativas) conjuntas:
X Y (en miles de $)
(en años) [50− 90) [90− 130) [130− 170) [170− 250]
Menos de 4 años 0,12 0,08 0,04 0,00
4 a 8 años 0,08 0,12 0,10 0,05
Más de 8 años 0,00 0,12 0,18 0,11
(a) Clasifique las variables del problema según si son cualitativas o cuantitativas y
diga si son nominal u ordinal y continua discreta.
(b) Grafique la distribución de los empleados según sueldo mensual.
(c) ¿En qué grupo son más homogéneos los sueldos de la empresa, en el de los em-
pleados más nuevos ó en el de los más antiguos? Justifique su respuesta.
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
22 Caṕıtulo 1. Análisis Descriptivo
(d) Si para las fiestas patrias la empresa otorgó un aguinaldo de $25.000 a los emplea-
dos cuyo sueldo era inferior a los $120.000, mientras que para aquellos cuyo sueldo
era superior a esa cifra el aguinaldo fue de $15.500, ¿cuántos de los empleados
que tienen más de 8 años de antigüedad en la empresa recibieron un aguinaldo de
$15.500?
11. Una empresa que se dedica a la fabricación de mallas de acero para hormigón armado,
ha tomado una muestra de las mallas que compró una constructora en un mes deter-
minado, registrando por cada unidad el peso de la malla (en Kg) X, el tipo de malla Y
(con borde ”C” y sin bordo”S”) y el diámetro de las barras (en mm) Z. Los resultados
obtenidos fueron los siguientes:
X
Z Y (15-28] (28-41] (41-54] (54-67] Más de 67
Menos de 5 C 10 6 4 2 0
S 8 4 2 0 0
[5− 7] C 2 8 3 11 4
S 2 6 5 11 0
Más de 7 C 0 4 4 20 7
S 0 2 5 15 5
(a) Clasifique las variables según escala de medición y tamaño de recorrido.
(b) Encuentre la medida de posición más adecuada para el peso de la malla.
(c) ¿Qué porcentaje de las mallas con bordes tienen un diámetro de barras superiores
a 5.5 mm?
(d) ¿Cuál es la variabilidad del peso de las mallas sin bordes que tienen diámetros de
barras menores de 5.0 mm?
12. Los siguientes datos corresponden a las cantidades máximas de emisión diaria de oxido
de azufre (en toneladas) registrada según planta de emisión, en cierta zona industrial.
Cantidad de óxido (ton) Planta A Planta B Planta C
[05− 10) 50 40 20
[10− 15) 30 30 40
[15− 20) 60 0 70
[20− 25) 20 10 15
[25− 30] 40 20 5
(a) Indique la unidad de información y clasifique las variables según escala de medición
y tamaño de recorrido
(b) Entre las plantas B y C, ¿cuál presenta mayor variabilidad relativa su promedio
de óxido de azufre emitido?
(c) ¿Qué porcentaje de las emisiones producidas por la planta C, supera las 28
toneladas?
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
1.2 Ejercicios Propuestos 23
13. En una empresa constructora se ha registrado información respecto: ingreso mensual
(Y), especialidad (X) y permanencia (Z) en la empresa (en que A = antiguo, N =
recién ingresado), de sus trabajadores, obteniendo lo siguiente:
Ingreso mensual, en miles de pesos
Especialidad [100− 150) [150− 200) [200− 300] Más de 300
Albañil A 6 9 5 0
N 9 11 1 0
Carpintero A 1 6 7 9
N 1 2 3 3
Electricista A 3 5 8 1
N 1 5 4 0
Pintor A 2 20 2 0
N 1 10 5 0
(a) Clasifique las variables involucradas según nivel de medición. Calcule la medida
de posición más adecuada en cada caso. Indique unidad de información.
(b) Construya un gráfico que permita mostrar la distribución de los trabajadores
según especialidad.
(c) Construya un gráfico que permita compara los ingresos de los pintores según
permanencia en la empresa.
(d) Si entre carpinteros y electricistas tienen un sueldo promedio de $225.000 ¿Cuál
es el sueldo promedio de los trabajadores de la empresa?
(e) Si la empresa decide mejorar los sueldos de los trabajadores con ingresos inferiores
a $180.000 ¿Qué % de los trabajadores se beneficiará con esta medida?
(f) Si a los albañiles se les otorga una bonificación de $20.000. Compare la dispersión
de los ingresos de los albañiles después de la bonificación con la de los ingresos de
los pintores.
14. Una empresa constructora de parques y plazas, ha ganado una propuesta para construir
áreas verdes en plazas de una determinada región. Las superficies sembradas, en metros
cuadrados, en 80 plazas y la mezcla de semilla de pasto utilizadas, se resumen en la
siguiente tabla:
Superficie Sembrada
Mezcla [200− 1180) [1180− 3140) [3140− 5100) [5100− 6080] Más de 6080
Manquehue 7 4 6 2 0
Estadios 3 6 8 4 3
Ray-grass 0 7 9 5 4
Lon grass trevol 2 5 4 1 0
Total 12 22 27 12 7
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
24 Caṕıtulo 1. Análisis Descriptivo
(a) Clasifique las variables involucradas según nivel de medición y tamaño de recor-
rido.
(b) Calcule las medidas marginales de posición más adecuadas para cada variable e
indique las correspondientes medidas de dispersión.
(c) Construya un gráfico que muestre la distribución de las plazas sembradas según
mezcla de semilla utilizada.
(d) Compare la dispersión de las superficies sembradas con mezcla de manquehue con
la dispersión de las superficies sembradas con mezcla Long grass trébol.
(e) Si un kilo de mezcla manquehue sirve para plantar una superficie de 13 metros
cuadrados. ¿Qué porcentaje de las superficies plantadas en que se utilizó esta
mezcla, ocupará más de 284 kilos?
15. El número de llamadas telefónicas de larga distancia nacional registrada por una em-
presa distribuidora durante una hora de un d́ıa determinado, se realizara en horarios
normales y se consideraron llamadas de a lo más 3 minutos de duración.
Valor de la llamada (U.M)
Carrier Región [5-6] (6-8] (8-10] (10-20] Total
188 II 3 8 10 4 25
IV 7 9 10 4 30
X 3 7 5 5 20
171 II 4 3 9 6 22
IV 5 5 8 3 21
X 2 4 7 7 20
123 II 3 4 7 8 22
IV 7 4 4 5 20
X 6 7 4 3 20
Total 40 51 64 45 200
(a) Clasifique las variables involucradas según nivel de medición y tamaño de recorrido
e indique la medida marginal de tendencia central más adecuadas para el valor
de la llamada y para el carrier en la IV región.
(b) ¿Qué porcentaje son tales que superan al valor promedio de las llamadas realizadas
a través del carrier 171?
(c) Al mes siguiente de haber efectuado este estudio, el valor de la llamada de larga
distancia del carrier 123, aumentó en un 2% más de U.M por cada 3 minutos de
duración. ¿En que porcentaje disminuye (aumenta) la variabilidad del valor de la
llamada al mes siguientes?
16. Una empresa constructora con varias obras en el páıs desea efectuar un estudio sobre
las cañeŕıas hidráulicas, de una pulgada, adquiridas por la empresa. Para ello, se selec-
cionó una muestra de las compras efectuadas durante un mes, anotando el precio de la
tira de cañeŕıas, la cantidad de tiras, y el tipo de material de fabricación.
La información obtenida se presenta en la siguiente tabla:
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
1.2 Ejercicios Propuestos 25
Material Cantidad Precios (pesos)
de tiras 2300-3000 3000-4500 4500-6000 6000 y más Total
P.V.C 0,08 0,04 0,01 0,00 0,13
Fierro 0-10 0,02 0,07 0,02 0,00 0,11
Cobre 0,00 0,00 0,09 0,04 0,13
P.V.C 0,10 0,02 0,00 0,00 0,12
Fierro 10-20 0,02 0,08 0,01 0,00 0,11
Cobre 0,00 0,02 0,06 0,12 0,20
P.V.C 0,07 0,01 0,00 0,00 0,08
Fierro 20 y más 0,01 0,03 0,01 0,00 0,05
Cobre 0,00 0,00 0,03 0,04 0,07
Total 0,30 0,27 0,23 0,20 1,00
(a) Clasifique las variables involucradas según nivel de medición y tamaño de recor-
rido. Indique las medidas marginales de posición y dispersión más adecuadas.
(b) ¿qué porcentaje de las compras, en las que se requieren menos de 20 tiras de
cañeŕıa, tienen un precio entre 3.000 y 6.000 pesos?
(c) Construya un gráfico que muestre la distribución de frecuencias de las compras
de cañeŕıas de P.V.C, según precio.
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
26 Caṕıtulo 1. Análisis Descriptivo
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
Caṕıtulo 2
Probabilidad
2.1. Ejercicios Resueltos
EJERCICIO 1
Las tres opciones preferidas en cierto tipo de departamento nuevo, son con resistencia an-
tiśısmica (A), calefacción central (B) y con excelentes terminaciones (C). Si 70% de los
compradores piden A, 80% B, 75% C, 85% A o B, 90% A o C, 95% B o C y 98% A, B o
C, calcule las probabilidades de los siguientes eventos:
(a) El siguiente comprador selecciona, por lo menos, una de las tres opciones.
(b) El siguiente comprador está interesado en otras opciones.
(c) El siguiente comprador sólo selecciona que tenga resistencia antiśısmica y ninguna de
las otras dos opciones.
(d) El siguiente comprador selecciona exactamente una de las tres opciones.
SOLUCIÓN
Reescribamos la información que nos entregan:
P (A) = 0,7
P (B) = 0,8
P (C) = 0,75
P (A ∪B) = 0,85
P (A ∪ C) = 0,9
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
28 Caṕıtulo 2. Probabilidad
P (B ∪ C) = 0,95
P (A ∪B ∪ C) = 0,98
Luego:
(a) P (A ∪B ∪ C) = 0,98
(b) 1− P (A ∪B ∪ C) = 0,02
(c) P (A ∪B ∪ C)− P (B ∪ C) = 0,98− 0,95 = 0,03
(d) P (A ∪B ∪ C)− P (B ∪ C) + P (A ∪B ∪ C)− P (A ∪ C) + P (A ∪B ∪ C)− P (A ∪B)
= 3P (A ∪B ∪ C)− P (B ∪ C)− P (A ∪ C)− P (A ∪B)
= 3 · 0,98− 0,95− 0,9− 0,85
= 0,24
EJERCICIO2
Se toman muestras de una pieza fundida de aluminio y se clasifican de acuerdo con el acabado
de la superficie (en micropulgadas) y con las mediciones de longitud. A continuación se
resumen los resultados obtenidos con 100 muestras.
Longitud
Excelente Bueno
Acabado de la Excelente 75 7
Superficie Bueno 10 8
Sean A: el evento donde la muestra tiene un acabado excelente, y B: el evento donde la
muestra tiene una longitud excelente. Determine el número de muestras en Ac ∩ B, Bc, y
A ∪ B. Dibuje un diagrama de Venn que represente estos datos. Determine las siguientes
probabilidades.
(a) P (A)
(b) P (B)
(c) P (Ac)
(d) P (A ∩B)
(e) P (A ∪B)
(f) P (Ac ∪B)
SOLUCIÓN:
Sean los eventos A: Acabado Excelente y B: Longitud Excelente, y respectivamente Ac:
Acabado bueno y Bc: Longitud Buena, entonces:
Ac ∩B = 10; Bc = 15; A ∪B = 75 + 7 + 10
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
2.1 Ejercicios Resueltos 29
Figura 2.1: Diagrama de Venn
(a) P (A) = P (A ∩B) + P (A ∩Bc) = 75+7
100
= 82
100
(b) P (B) = P (B ∩ A) + P (B ∩ Ac) = 75+10
100
= 85
100
(c) P (Ac) = P (Ac ∩B) + P (Ac ∩Bc) = 10+8
100
= 18
100
(d) P (A ∩B) = 75
100
(e) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 92
100
(f) P (Ac ∪B) = P (Ac) + P (B)− P (Ac ∩B) = 93
100
EJERCICIO 3
A continuación se ofrece un resumen de varias órdenes de compra de dispositivos de alum-
brado, de acuerdo con las caracteŕısticas opcionales solicitadas para éstos.
Proporción de
órdenes de compra
Sin caracteŕısticas opcionales 0.3
Una caracteŕıstica opcional 0.5
Más de una caracteŕıstica opcional 0.2
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una orden se solicite al menos una caracteŕıstica
opcional?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que en una orden no se pida más de una caracteŕıstica
opcional?
SOLUCIÓN:
Sean los eventos:
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
30 Caṕıtulo 2. Probabilidad
S: Sin caracteŕısticas opcionales.
U: Una caracteŕısticas opcional.
M: Más de una caracteŕısticas opcional.
Entonces
(a) P (al menos una caracteŕıstica) = P (U) + P (M) = 0,5 + 0,2 = 0,7
(b) P (no más de una caracteŕıstica) = P (S) + P (U) = 0,3 + 0,5 = 0,8
EJERCICIO 4
La tabla siguiente presenta un resumen del análisis realizado a las flechas de un compresor
para determinar el grado con que éstas satisfacen ciertos requerimientos.
la curva cumple
con los requerimientos
śı no
el acabado superficial cumple śı 345 5
con los requerimientos no 12 8
(a) Si se toma una flecha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con los reque-
rimientos de acabado superficial?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha seleccionada cumpla con los requisitos de
acabado o con los de curvatura?
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha seleccionada cumpla con los requisitos de
acabado o que no cumpla con los de curvatura?
(d) ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha seleccionada cumpla con los requisitos de
acabado y curvatura?
SOLUCIÓN:
Sean los eventos A: Cumple con acabado superficial, Ac : No cumple con acabado superficial,
C: Cumple con curvatura, Cc: No cumple con curvatura.
(a) P (A) = P (A ∩ C) + P (A ∩ Cc) = 345+5
370
= 350
370
(b) P (A ∪ C) = P (A) + P (C)− P (A ∩ C) = 350+357−345
370
= 362
370
(c) P (A ∪ Cc) = P (A) + P (Cc)− P (A ∩ Cc) = 350+13−5
370
= 358
370
(d) P (A ∩ C) = P (A) + P (C)− P (A ∪ C) = 350+357−362
370
= 345
370
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
2.1 Ejercicios Resueltos 31
EJERCICIO 5
Continuación del ejercicio anterior. Las flechas se clasifican, además, en términos de la
máquina herramienta utilizada en su fabricación.
Máquina Herramienta 1
la curva cumple
con los requerimientos
śı no
el acabado superficial cumple śı 200 1
con los requerimientos no 4 2
Máquina Herramienta 2
la curva cumple
con los requerimientos
śı no
el acabado superficial cumple śı 145 4
con los requerimientos no 8 6
(a) Si se elige una flecha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con los requeri-
mientos de acabado o con los de curvatura, o que provenga de la máquina herramienta
1?
(b) Si se escoge una flecha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con los requer-
imientos de acabado o que cumpla con los de curvatura o que provenga de la máquina
herramienta 2?
(c) Si se elige una flecha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con los requisitos
de acabado y curvatura o que provenga de la máquina herramienta 2?
(d) Si se toma una flecha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con los requisitos
de acabado o que provenga de la máquina herramienta 2?
SOLUCIÓN:
Agregaremos a los eventos definidos en el ejercicio anterior, M1: máquina 1 y M2: máquina
2.
(a) P (A ∪ C ∪M1)
= P (A) + P (C) + P (M1)− P (A ∩ C)− P (A ∩M1)− P (C ∩M1) + P (A ∩ C ∩M1)
= 350+357+207−345−201−204+200
370
= 364
370
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
32 Caṕıtulo 2. Probabilidad
(b) P (A ∪ C ∪M2)
= P (A) + P (C) + P (M2)− P (A ∩ C)− P (A ∩M2)− P (C ∩M2) + P (A ∩ C ∩M2)
= 350+357+163−345−149−153+145
370
= 368
370
(c) P ((A ∩ C) ∪M2) = P (A ∩ C) + P (M2)− P (A ∩ C ∩M2) = 345+163−145
370
= 363
370
(d) P (A ∪M2) = P (A) + P (M2)− P (A ∩M2) = 350+163−149
370
= 364
370
EJERCICIO 6
En cierta gasolinera, 40% de los clientes utilizan gasolina regular sin plomo (A1), 35%
gasolina extra sin plomo (A2) y 25% gasolina premium sin plomo (A3). De los clientes que
consumen gasolina regular, solo 30% llenan sus tanques (evento B). De los que consumen
gasolina extra, 60% llenan sus tanques, mientras que, de los que usan premium, 50% llenan
sus tanques.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente pida gasolina extra sin plomo y
llene su tanque?.
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente llene el tanque?.
(c) Si el siguiente cliente llena el tanque, ¿Cuál es la probabilidad de que pida gasolina
regular?, ¿extra? y ¿premium?.
SOLUCIÓN
Sean los siguientes eventos:
A1: Gasolina regular sin plomo
A2: Gasolina extra sin plomo
A3: Gasolina Premium sin plomo
B: Llena el tanque
Reescribiendo la información entregada obtenemos:
P (A1) = 0,4
P (A2) = 0,35
P (A3) = 0,25
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
2.1 Ejercicios Resueltos 33
P (B|A1) = 0,3
P (B|A2) = 0,6
P (B|A3) = 0,5
(a) P (A2 ∩B) = P (B|A2)P (A2) = 0,6 · 0,35 = 0,21
(b) P (B) = P (B|A1)P (A1) + P (B|A2)P (A2) + P (B|A3)P (A3)
= 0,3 · 0,4 + 0,6 · 0,35 + 0,5 · 0,25 = 0,455
(c) P (A1|B) = P (A1∩B)P (B) =
P (B|A1)P (A1)
P (B)
= 0,3·0,4
0,455
= 0,2637
P (A2|B) = P (A2∩B)P (B) =
P (B|A2)P (A2)
P (B)
= 0,6·0,35
0,455
= 0,4615
P (A3|B) = P (A3∩B)P (B) =
P (B|A3)P (A3)
P (B)
= 0,5·0,25
0,455
= 0,2747
EJERCICIO 7
En relación al ejercicio anterior, considere la siguiente información adicional sobre el uso de
las tarjetas de crédito:
70% de los clientes que consumen gasolina regular y llenan su tanque usan una tarjeta
de crédito.
50% de todos los clientes que consumen gasolina regular y no llenan su tanque usan
tarjeta de crédito.
60% de todos los clientes que consumen gasolina extra y llenan su tanque usan tarjeta
de crédito.
50% de todos los clientes que consumen gasolina extra y no llenan su tanque usan
tarjeta de crédito.
50% de todos los clientes que consumen gasolina premium y llenan su tanque usan
tarjeta de crédito.
40% de todos los clientes que consumen gasolina premium y no llenan su tanque usan
tarjeta de crédito.
Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos para el siguiente cliente que
llegue:
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
34 Caṕıtulo 2. Probabilidad
(a) {extra,llena el tanque y usa tarjeta de crédito}.
(b) {premium, no llena el tanque y usa tarjeta de crédito}.
(c) {premium y usa tarjeta de crédito}
(d) {usa tarjetade crédito}, (un diagrama de árbol puede ser útil).
SOLUCIÓN:
A los eventos definidos en el ejercicio anterior, agregaremos C: Usa tarjeta de crédito.
Reescribiendo nuevamente la información entregada en esta parte, obtenemos:
P (C|A1 ∩B) = 0,7
P (C|A1 ∩Bc) = 0,5
P (C|A2 ∩B) = 0,6
P (C|A2 ∩Bc) = 0,5
P (C|A3 ∩B) = 0,5
P (C|A3 ∩Bc) = 0,4
(a)
P (A2 ∩B ∩ C) =P (C|A2 ∩B) · P (A2 ∩B)
=P (C|A2 ∩B)P (B|A2)P (A2)
=0,6 · 0,6 · 0,35 = 0,126
(b)
P (A3 ∩Bc ∩ C) =P (C|A3 ∩Bc)P (A3 ∩Bc)
=P (C|A3 ∩Bc)P (Bc|A3)P (A3)
=0,4 · 0,5 · 0,25 = 0,05
(c)
P (A3 ∩ C) =P (A3 ∩ C ∩B) + P (A3 ∩ C ∩Bc)
=P (C|A3 ∩B)P (A3 ∩B) + P (C|A3 ∩Bc)P (A3 ∩Bc)
=P (C|A3 ∩B)P (B|A3)P (A3) + P (C|A3 ∩Bc)P (Bc|A3)P (A3)
=0,5 · 0,5 · 0,25 + 0,4 · 0,5 · 0,25 = 0,1125
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
2.1 Ejercicios Resueltos 35
(d) P (C) = P (A1 ∩B ∩C) + P (A1 ∩Bc ∩C) + P (A2 ∩B ∩C) + P (A2 ∩Bc ∩C) + P (A3 ∩
B ∩ C) + P (A3 ∩Bc ∩ C)
= P (C|A1 ∩ B)P (A1 ∩ B) + P (C|A1 ∩ Bc)P (A1 ∩ Bc) + P (C|A2 ∩ B)P (A2 ∩ B) +
P (C|A2 ∩Bc)P (A2 ∩Bc) + P (C|A3 ∩B)P (A3 ∩B) + P (C|A3 ∩Bc)P (A3 ∩Bc)
= P (C|A1∩B)P (B|A1)P (A1)+P (C|A1∩Bc)P (Bc|A1)P (A1)+P (C|A2∩B)P (B|A2)P (A2)+
P (C|A2∩Bc)P (Bc|A2)P (A2)+P (C|A3∩B)P (B|A3)P (A3)+P (C|A3∩Bc)P (Bc|A3)P (A3)
= 0,7 ·0,3 ·0,4+0,5 ·0,7 ·0,4+0,6 ·0,6 ·0,35+0,5 ·0,4 ·0,35+0,5 ·0,5 ·0,25+0,4 ·0,5 ·0,25
= 0,5325
Figura 2.2: Arbol
EJERCICIO 8
En la empresa Coca-Cola el llenado de las botellas con bebida es realizado automáticamente
por una máquina que funciona a distintas velocidades. La probabilidad de que el volumen
de llenado sea incorrecto es de 0.001 cuando el proceso se realiza a baja velocidad. Cuando
el proceso de llenado se realiza a alta velocidad, la probabilidad de llenado incorrecto es de
0.01.
Suponga que el 25% de las botellas son llenadas cuando el proceso se realiza a alta velocidad,
mientras que el resto de botellas son llenadas a una baja velocidad.
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
36 Caṕıtulo 2. Probabilidad
(a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una botella con un volumen incorrecto en su
interior?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un botella llena con un volumen incorrecto y que
haya sido llenado cuando el proceso se realiza a baja velocidad?
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que el proceso de llenado de las botellas haya sido a baja
velocidad, si se sabe que la botella está efectivamente con un volumen correcto?
(d) Si se encuentra una botella llenada con un volumen incorrecto, ¿cuál es la probabilidad
de que haya sido llenado cuando el proceso se realiza a alta velocidad?
SOLUCIÓN:
Se definen los siguientes eventos:
A: Llenado a alta velocidad.
B: Llenado a baja velocidad.
C: Volumen llenado correcto
I: Volumen llenado incorrecto
Figura 2.3: Arbol
(a) P (I) = P (A ∩ I) + P (B ∩ I) = P (I|A)P (A) + P (I|B)P (B)
= 0,25 · 0,01 + 0,75 · 0,001 = 0,00325
(b) P (I ∩B) = P (I|B)P (B) = 0,00075
(c) P (B|C) = P (B∩C)
P (C)
= 0,75×0,999
0,75×0,999+0,25×0,99 = 0,7516
(d) P (A|I) = P (A∩I)
P (I)
= 0,25×0,01
0,25×0,01+0,75×0,001 = 0,7692
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
2.1 Ejercicios Resueltos 37
EJERCICIO 9
Un juego para dos jugadores se denomina ”¡QUÉ ES ESTO!”. Un jugador A, comienza
lanzando un dado numerado en cinco de sus caras: 1, 2, 3, 4 y 6; y en la sexta cara tiene escrita
la frase ”¡QUÉ ES ESTO!”. Las caras numeradas son las puntuaciones que va obteniendo
cada vez. El jugador A sigue jugando hasta que saque ”¡QUÉ ES ESTO!”. Entonces, el turno
pasa al jugador B que lanza un segundo dado. Este dado indica en cuatro de sus caras que
el turno de lanzar el dado numerado pasa al jugador B y otras dos caras que indican que el
jugador A continúa con el dado numerado.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador A saque un total de 4 ptos. en dos tiradas,
sin que haya salido ”¡QUÉ ES ESTO!”?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que, después de lanzar el dado el jugador A, lance el jugador
B y el jugador A pierda su turno?
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador A le toque lanzar en la tercera tirada?
SOLUCIÓN:
Sea definen los siguientes eventos:
Ak : resultado en el k-ésimo lanzamiento del dado numerado por el jugador A.
Ak : Turno k-ésimo de jugar el dado numerado corresponde al jugador A; con k = 2, 3, . . ..
Bk : Turno k-ésimo de jugar el dado numerado corresponde al jugador B; con k = 2, 3, . . ..
Figura 2.4: Árbol
(a)
P ((A1 = 1 ∩ A2 = 3) ∪ (A1 = 2 ∩ A2 = 2) ∪ (A1 = 3 ∩ A2 = 1)) =
1
6
· 1
6
+
1
6
· 1
6
+
1
6
· 1
6
=
3
36
=
1
12
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
38 Caṕıtulo 2. Probabilidad
(b)
P (B2 ∩B3) = P (B2)P (B3)
=
1
6
· 4
6
=
4
36
=
1
9
(c)
P ((A2 ∩ A3) ∪ (B2 ∩ A3)) = P (A2 ∩ A3) + P (B2 ∩ A3)
= P (A2)P (A3) + P (B2)P (A3)
=
5
6
· 5
6
+
1
6
· 2
6
=
27
36
=
3
4
EJERCICIO 10
Un aficionado usa el siguiente sistema para pronosticar el tiempo atmosférico. Clasifica un
d́ıa como seco o mojado y supone que la probabilidad de que un d́ıa dado sea igual al anterior
está dado por p (0 ≤ p ≤ 1). En base a ciertos registros se sabe que el primer d́ıa de Enero
tiene probabilidad β (0 ≤ β ≤ 1) de ser seco.
Si βn = P (n-ésimo d́ıa del año es seco), obtenga una expresión para β2 y β3 en función de
β y p.
(Hind: Puede ser útil aplicar probabilidad totales)
SOLUCIÓN:
Definamos como:
Di: ”El d́ıa i-ésimo del año es seco”; i = 1, 2, . . . , n.
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
2.1 Ejercicios Resueltos 39
P (Di | Di−1) = p = P (Dci | Dci−1)
P (D1) = β
luego tenemos que
β2 = P (D2) = P (D2 ∩D1) + P (D2 ∩Dc1)
⇒ β2 = P (D2 | D1)P (D1) + P (D2 | Dc1)P (Dc1)
⇒ β2 = p× P (D1) + (1 − p)× P (Dc1)
⇒ β2 = p× β + (1 − p)× (1 − β)
∴ β2 = (2p − 1)β + (1 − p)
Ahora se obtiene de la misma manera β3
β3 = P (D3) = P (D3 ∩D2) + P (D3 ∩Dc2)
⇒ β3 = P (D3 | D2)P (D2) + P (D3 | Dc2)P (Dc2)
⇒ β3 = p× P (D2) + (1 − p)× P (Dc2)
⇒ β3 = p× P (D2) + (1 − p)× (1 − P (D2))
⇒ β3 = (2p − 1)× P (D2) + (1 − p)
⇒ β3 = (2p − 1)× β2 + (1 − p)
⇒ β3 = (2p − 1)× {(2p − 1)β + (1 − p)} + (1 − p)
∴ β3 = (2p − 1)2β + (2p − 1)(1 − p) + (1 − p)
EJERCICIO 11
En la serie mundial de béisbol, dos equipos A y B juegan una serie de partidos uno contra
otro y el primer equipo que gana un total de tres partidos es el ganador de la serie mundial.
Si la probabilidad de que el equipo A gane un partido contra el equipo B es 1
3
.
(a) Describa el espacio muestral de este experimento.
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
40 Caṕıtulo 2. Probabilidad
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo A gane la serie mundial?
(c) Si la probabilidad de que el equipo A gane cualquier partido es p (0 < p < 1). ¿Cuál
es la probabilidad de que sea necesario jugar los 5 partidos para determinar al ganador
de la serie?
(d) Si la serie termina en el cuarto juego, ¿cuál es la probabilidad de que el ganador sea el
equipo B?
SOLUCIÓN
(a) El espacio gráficamente seŕıa:
Figura 2.5: Árbol
o de la misma manera todas las combinaciones que están en el árbol como sigue:
Ω = {AAA, AABA, AABBA,AABBB, . . . , BBB}
donde #Ω = 20.
(b) Sea S: A gana el mundial
P (S) = P ({AAA} ∪ {AABA} ∪ {AABBA} ∪ {ABAA} ∪ {ABABA} ∪ {ABBAA}∪
{BAAA} ∪ {BAABA} ∪ {BABAA} ∪ {BBAAA})
=
(
1
3
)3
+ 3
(
1
3
)3
2
3
+ 6
(
1
3
)3(
2
3
)2
(c) T : Es necesario jugar 5 partido para determinar el ganador de la serie mundial
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
2.1 Ejercicios Resueltos 41
P (T ) = P ({AABBB} ∪ {ABABA} ∪ {ABABB} ∪ {BAABA}∪
{BAABB} ∪ {BABAA} ∪ {BABAB} ∪ {BBAAA} ∪ {BBAAB})
= 6p3(1− p)2 + 6p2(1− p)3
= 6p2(1− p)2(p + 1− p)
= 6p2(1− p)2
(d) Sea C: La serie termina en el cuarto juego.
P (Sc|C) = P (S
c ∩ C)
P (C)
=
P (ABBB ∪BABB ∪BBAB)
P (AABA ∪ ABAA∪ ABBB ∪BAAA ∪BABB ∪BBAB)
=
3p(1− p)3
3p(1− p)3 + 3p3(1− p)
=
3p(1− p)3
3p(1− p){(1− p)2 + p2}
=
(1− p)2
p2 + (1− p)2
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
42 Caṕıtulo 2. Probabilidad
2.2. Ejercicios Propuestos
1. Una costura hecha en un avión necesita 25 remaches. La costura tendrá que volver a
realizarse si cualquiera de los remaches está defectuoso. Suponga que los remaches están
defectuosos independientemente unos de otros, cada uno con la misma probabilidad.
a) Si 14% de todas las costuras necesitan volver a efectuarse, ¿cuál es la probabilidad
de que un remache esté defectuoso?
b) ¿Qué tan pequeña debe ser la probabilidad de un remache defectuoso para ase-
gurar que sólo 10% de todas las costuras necesiten volver a ejecutarse?
2. Dos bombas conectadas en paralelo fallan independientemente una de la otra en un
d́ıa dado. La probabilidad de que la bomba más vieja falle es 0.10 y la probabilidad de
que sólo la bomba más nueva falle es 0.05. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema
de bombeo falle en cualquier d́ıa dado (lo que sucederá si ambas bombas fallan)?
3. Se tienen 5 aspirantes (Juan, Dario, Maŕıa, Susana y Natalia) para dos trabajos idénti-
cos. Un supervisor selecciona dos aspirantes para ocupar esos puestos.
a) Hacer un lista de los modos posibles en que se pueden ocupar los puestos. Es decir,
hacer una lista de todas las selecciones posibles de dos de los cincos aspirantes.
b) Sea A el conjunto de selecciones que contienen por lo menos un hombre. ¿¿Cuántos
elementos tiene A?
c) Sea B el conjunto de selecciones que contienen exactamente un hombre. ¿¿Cuántos
elementos tiene B?
d) Escribir el conjunto que contiene dos mujeres, en términos de A y B.
e) Hacer una lista de los elementos en A, AB, A ∪B, y AB.
4. Una compañ́ıa manufacturera tiene dos expendios al menudeo. Se sabe que el 30 % de
los clientes potenciales compran productos sólo en la tienda I, el 50% compra en la
tienda II, el 10% compra en la tienda I y II, y el 10% de los consumidores no compra
en ninguna de las dos. Sea A el evento en el que un cliente potencial, seleccionado al
azar, compra en I y B el evento el evento en el que compra en II. Calcular las siguientes
probabilidades:
a) P (A)
b) P (B)
c) P (A ∪B)
d) P (AB)
e) P (ĀB̄)
f ) P (A ∪B)
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
2.2 Ejercicios Propuestos 43
5. De las personas que llegan a un aeropuerto pequeño, el 60% vuela en aeroplanos pri-
vados y el 10% vuela en aeroplanos comerciales que no pertenecen a una aeroĺınea. De
las personas que llegan por aeroĺıneas principales, el 50% viaja por negocios, mientras
que esa cifra es de 60% para los que llegan en aeroplanos privados y de 90% para los
que llegan en otros aviones comerciales. Para una persona que se selecciona al azar de
entre un grupo de llegadas, calcular la probabilidad de que
a) la persona esté en viaje de negocios.
b) la persona esté en viaje de negocios y llegue en un aeroplano privado.
c) la persona esté en viaje de negocios, y se sabe que llegó en un aeroplano comercial.
d) la persona haya llegado en un aeroplano privado, dado que viaja por negocios.
6. Supóngase que las calles de una ciudad se trazan en una red que va de norte a sur y de
oriente a poniente. Considérese el planteamiento siguiente para patrullar una zona de
16 por 16 manzanas. Un patrullero comienza a caminar en el cruce central de la zona.
En la esquina de cada cuadra elige al azar dirigirse al norte, al sur, al este o al oeste.
a) ¿Cuáles es la probabilidad de que alcance el ĺımite de su zona de patrullaje para
cuando haya caminado seis cuadras?
b) ¿Cuáles es la probabilidad de que regrese a su punto de partida después de haber
caminado exactamente cuatro cuadras?
7. Se tienen dos eventos mutuamente excluyentes, A y B, tales que P (A) > 0 y P (B) > 0.
¿Son independientes A y B? Demuestre su respuesta.
8. Un armador de ventiladores eléctricos usa motores de dos proveedores. La compañ́ıa
A le suministra el 90% y la compañ́ıa B el otro 10% de los motores. Supóngase que
se sabe que el 5% de los motores que suministra la compañ́ıa A son defectuosos y
que el 3% de los que suministra la compañ́ıa B también lo son. Se encuentra que un
ventilador ya armado tiene un motor defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que ese
motor haya sido suministrado por la compañ́ıa B?
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44 Caṕıtulo 2. Probabilidad
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Caṕıtulo 3
Variables Aleatorias Discretas
3.1. Ejercicios Resueltos
EJERCICIO 1
Fernando y Nicolás juegan un partido de tenis al mejor de tres sets (esto es, el que gana dos
sets gana el partido). Suponga que la probabilidad de que Fernando gane el primer set es 0,5.
Para los siguientes sets, la probabilidad de que Fernando gane es: 0,5 + (−1)Y (0,1)(k − 1) ,
k = 2, 3 donde
Y =
{
1, si Fernando perdió el set anterior
0, si Fernando ganó el set anterior
(a) Sea X: N◦ de sets que Fernando perdió. Encuentre la función de distribución de X
(esto es, ”la tabla”).
(b) Calcule la probabilidad de que Fernando gane el partido.
(c) Suponga que la empresa ”ABCDE” le paga a Fernando mil dólares por el encuentro,
pero por cada set que éste pierde se le descuentan 100 dólares. Sea G: ganancia obtenida
por Fernando. Encuentre E(G).
Sugerencia: Puede ser útil para este problema hacer el diagrama de árbol.
SOLUCIÓN
Las posibles secuencia del partido se aprecian en el árbol siguiente:
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46 Caṕıtulo 3. Variables Aleatorias Discretas
Figura 3.1: Arbol
(a) Definimos X: no set que Fernando perdió con X ∈ {0, 1, 2}. Luego las probabilidades
para todos los casos son:
P (X = 0) = P (GG) = 0,5× 0,6 = 0,3
P (X = 1) = P (GPG ∨ PGG) = 0,5 · 0,4 · 0,3 + 0,5 · 0,4 · 0,7 = 0,2
P (X = 2) = 1− P (X = 0)− P (X = 1) = 1− 0,3− 0,2 = 0,5
Luego la función de distribución de x es:
X 0 1 2
P (X) 0.3 0.2 0.5
(b) P (Fernando gane el partido) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0,3 + 0,2 = 0,5
(c) Sea H:ganancia obtenida por Fernando, por lo tanto H ∈ {800, 900, 1000}.
Luego las probabilidades para las ganancias son:
P (H = 800) = P (x = 2) = 0,5
P (H = 900) = P (x = 1) = 0,2
P (H = 1000) = P (x = 0) = 0,3
∴ E(H) =
∑
Rec H
h · P (H = h) = 800 · 0,5 + 900 · 0,2 + 1000 · 0,3 = 880
EJERCICIO 2
Sea X: número de neumáticos de un automóvil seleccionado al azar, que tengan baja la pre-
sión.
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3.1 Ejercicios Resueltos 47
(a) ¿Cuál de las siguientes tres funciones p(x) es una pmf leǵıtima para x, y por qué no se
permiten las otras dos?
x 0 1 2 3 4
p(x) 0.3 0.2 0.1 0.05 0.05
p(x) 0.4 0.1 0.1 0.1 0.3
p(x) 0.4 0.1 0.2 0.1 0.3
(b) Para la pmf leǵıtima de la parte (a), calcule P (2 ≤ X ≤ 4), P (X ≤ 2) y P (X 6= 0).
(c) Si p(x) = c(5− x), para x = 0, 1, 2, 3, 4. ¿Cuál es el valor de c?.
SOLUCIÓN
(a) Recordemos que para que una pmf sea leǵıtima debe cumplir con que la suma de ella,
sobre todo el recorrido, resulte 1, y 0 ≤ p(x) ≤ 1. Luego observando las tres pmf prop-
uestas, podemos observar que las tres tiene valores entre 0 y 1, pero sólo la segunda
suma 1.
∴ p(x) =

0,4, x=0;
0,1, x=1;
0,1, x=2;
0,1, x=3;
0,3, x=4;
0,0, e.o.c.
(b) P (2 ≤ X ≤ 4) = 0,1 + 0,1 + 0,3 = 0,5
P (X ≤ 2) = 0,4 + 0,1 + 0,1
P (X 6= 0) = 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,3 = 0,6
(c) Si p(x) es la nueva pmf, debe cumplir que la suma sobre todo su recorrido de 1.
4∑
x=0
c(5− x) = 1 → c
4∑
x=0
(5− x) = 1 → c(5 + 4 + 3 + 2 + 1) = 1 → 15c = 1 → c = 1
15
.
EJERCICIO 3
Si el 90% de todos los solicitantes para cierto tipo de hipoteca no llenan correctamente el
formato de solicitud en la primera remisión, ¿Cuál es la probabilidad de que entre15 de
estos solicitantes seleccionados al azar:
(a) Por lo menos 12 no la llenen a la primera remisión?
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
48 Caṕıtulo 3. Variables Aleatorias Discretas
(b) Entre 10 y 13 inclusive no la llenen a la primera remisión?
(c) A lo sumo 2 llenen correctamente sus formatos en la primera remisión?
SOLUCIÓN
(a) Sea X: número de personas que rellenan erróneamente la solicitud. Luego
X ∼ Bin(15, 0,9) x = 0, 1, 2, ...
Por lo tanto lo que nos piden es:
P (X ≥ 12) = P (X = 12) + P (X = 13) + P (X = 14) + P (X = 15)
=
15∑
x=12
(
15
x
)
0,9x(1− 0,9)15−x = 0,9444
(b)
P (10 ≤ X ≤ 13) = P (X = 10) + P (X = 11) + P (X = 12) + P (X = 13)
=
13∑
x=10
(
15
x
)
0,9x(1− 0,9)15−x = 0,4488
(c) Sea Y: número de personas que llenan correctamente sus formatos. Luego
Y ∼ Bin(15, 0,1) y = 0, 1, 2, ...
Por lo tanto lo que nos piden es:
P (Y ≤ 2) = P (Y = 0) + P (Y = 1) + P (Y = 2) =
2∑
y=0
(
15
y
)
0,1y(1− 0,1)15−y = 0,8159
EJERCICIO 4
El voltaje de una bateŕıa nueva puede ser aceptable (A) o no aceptable (B). Cierta linterna de
mano necesita dos bateŕıas, aśı que estas han de seleccionarse y probarse independientemente
hasta encontrar dos aceptables. Supongamos que el 80% de todas las bateŕıas tienen voltaje
aceptable y denotemos por Y el número de bateŕıas que deben ser probadas.
(a) ¿Cuánto vale p(2), es decir, P (Y = 2)?
(b) ¿Cuánto vale p(3) ?
(c) Para tener Y=5. ¿Qué debe ser cierto de la quinta bateŕıa seleccionada?. (Hint: Haga
una lista de los casos favorables de Y=5 y luego determine p(5)).
(d) Utilice el lector del modelo de sus respuestas para las partes (a) a la (c) para obtener
una fórmula general para p(y).
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
3.1 Ejercicios Resueltos 49
SOLUCIÓN
Considerando que una bateŕıa es aceptable con probabilidad 0.8 y por ende no aceptable con
probabilidad 0.2:
(a)
P (Y = 2) = P (A ∩ A) = 0,8 · 0,8 = 0,64
(b) En este caso hay dos formas de obtener Y=3:
P (Y = 3) = P (A ∩B ∩ A) + P (B ∩ A ∩ A) = 0,8 · 0,2 · 0,8 + 0,2 · 0,8 · 0,8 = 0,256
(c) Como se revisa hasta encontrar 2 buenas en voltaje, entonces la quinta obligadamente
debe ser Aceptable (A). La lista de los posibles resultados son:
ABBBA
BABBA
BBABA
BBBAA
Luego calculamos lo pedido:
P (Y = 5) = 0,82 · 0,23 · 4 = 0,204
(d) Si observamos la relación que tienen (a), (b) y (c), podemos rescatar que
P (Y = y) = (y − 1)0,820,2y−2, y ≥ 2
P (Y = y) =
(
y − 1
2− 1
)
0,820,2y−2, y ≥ 2
Y la forma que tiene esta pmf, corresponde a la conocida Binomial Negativa.
Y ∼ BN(r, p)
donde r corresponde a los éxitos que se quieren obtener, en este caso 2 y p es la
probabilidad del éxito, en este caso 0.8.
EJERCICIO 5
Un director técnico de tenis tiene una canasta de 25 pelotas; 15 de estas son pelotas Penn y
las otras 10 son Wilson. Cada uno de cuatro jugadores seleccionan 3 pelotas para un juego.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 8 de las pelotas seleccionadas sean Penn?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que todas las pelotas seleccionadas sean Wilson?
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
50 Caṕıtulo 3. Variables Aleatorias Discretas
SOLUCIÓN
Resumiendo los datos entregados, tenemos lo siguiente:
N:25 pelotas
P:15 Penn
W:10 Wilson
n:12 tamaño muestra
Sea X: número de pelotas de las que me sirven, en la muestra sin reposición, en este caso
pelotas Penn. Luego
X ∼ Hiper(15, 10, 12) → P (X = x) =
(
P
x
)(
N−P
n−x
)(
N
n
)
(a)
P (X = 8) =
(
15
8
)(
10
4
)(
25
12
) = 0,2599
(b)
P (X = 0) =
(
15
0
)(
10
12
)(
25
12
) = 0
Pues
(
10
12
)
no está definido, es decir no existe, ya que es ilógico sacar más pelotas de un
tipo de las que tengo, luego es un evento imposible.
EJERCICIO 6
Un art́ıculo de Los Angeles Times (3 de Dic. de 1993) reporta que de cada 200 personas,
una lleva el gene defectuoso que ocasiona cáncer de colon hereditario. En una muestra de
1000 personas ¿Cuál es la distribución aproximada del número de quienes llevan este gene?.
Utilice esta distribución para calcular la probabilidad aproximada de que:
(a) Entre 4 y 7 inclusive, personas lleven el gene.
(b) Por lo menos 8 lleven el gene.
SOLUCIÓN
Por las caracteŕısticas del problema, con X= número de personas con el gene.
X ∼ Poisson(5)
(a)
P (4 ≤ X ≤ 7) = P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) + P (X = 7)
=
54e−5
4!
+
55e−5
5!
+
56e−5
6!
+
57e−5
7!
= 0,602
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
3.1 Ejercicios Resueltos 51
(b)
P (X ≥ 8) =
∞∑
x=8
5xe−5
x!
= 1−
7∑
x=0
5xe−5
x!
= 0,133
EJERCICIO 7
Una compañ́ıa telefónica emplea cinco operadoras de información que reciben solicitudes de
información independientemente una de otra, cada una según un proceso de Poisson con tasa
λ = 2× minuto.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que durante un periodo dado de un minuto, la primera
operadora no reciba solicitudes?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que durante un periodo dado de un minuto, exactamente
4 de las 5 operadoras no reciban solicitudes?
(c) Escriba una expresión para la probabilidad de que durante un periodo dado de un
minuto, todas las operadoras reciban exactamente el mismo número de solicitudes.
SOLUCIÓN
Es importante tener presente que las operadoras atienden solicitudes independientemente
una de otra. Luego
Sea X: número de llamadas en un minuto de la operadora x. Por lo tanto
X ∼ Poisson(2)
P (X = 0) =
e−220
0!
= e−2 = 0,1353
(b) En este caso tenemos un experimento incluido en el otro, ya que cuando contamos el
número de operadoras que cumplen con algo de entre un total, estamos hablando de
un experimento Binomial, en el cual, la probabilidad del éxito está modelada por la
distribución Poisson. Luego
Y: número de operadoras que reciben cero llamadas entre las 5
Y ∼ Bin(5, P (X = 0)), recuerde que X ∼ Poisson(2)
→ P (Y = 4) =
(
5
4
)
0,13534(1− 0,1353)5−4 = 0,001451
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
52 Caṕıtulo 3. Variables Aleatorias Discretas
(c) Como las operadoras son independientes una de las otras y las 5 tienen exactamente la
misma distribución, basta considerar la de una operadora y potenciarla a las 5. Luego
la expresión para tal cálculo seŕıa:
∞∑
x=0
[P (X = x)]5
EJERCICIO 8
Para promocionar sus helados de paleta, una fabrica pone cada 15 helados una etiqueta que
dice ”vale otro”. Cualquiera persona que compre un helado y le salga ”vale otro” obtiene
un helado gratis. Estos helados cuestan 100 pesos cada uno. Si Ud. decide comprar estos
helados hasta obtener uno gratis ¿cuánto esperaŕıa gastar?
SOLUCIÓN
Sea X: no helados comprados hasta obtener el primero gratis.
De lo anterior de deduce que la variable X tiene distribución geométrica
X ∼ Geometrica(p) p = P (Salga gratis) = 1
15
Sea G = 100X, luego la que uno esperaŕıa gastar seŕıa la E(G).
E(G) = 100E(X) = 100
1
p
= 100 · 15 = 1500
∴ lo que se esperaŕıa gastar si se compran helados hasta obtener uno gratis seŕıan $1500.
EJERCICIO 9
Un examen consta de n preguntas con k alternativas cada una. Suponga que cierto alumno
responde cada pregunta de acuerdo al siguiente procedimiento: si conoce la alternativa cor-
recta, entonces la escoge con probabilidad 1; si no la sabe, entonces escoge una alternativa
al azar. Suponga que la probabilidad de que el alumno conozca la alternativa correcta es p
(0 < p < 1), igual para todas las preguntas y que las distintas preguntas se responden en
forma independiente.
(a) Sea X el número de preguntas respondidas correctamente. Encuentre la función de
probabilidad o cuant́ıa de X.
(b) ¿Si una de estas preguntas fue respondida correctamente, cuál es la probabilidad de
que el alumno haya sabido la alternativa correcta?
SOLUCIÓN
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P.& Ricardo Olea O.
3.1 Ejercicios Resueltos 53
(a) Sean los eventos:
S: Saber la respuesta.
C: respuesta correcta.
Entonces, por probabilidad total.
P (C) = P (C|S)P (S) + P (C|S ′)P (S ′)
= 1 · p + 1
k
· (1− p)
= p +
(1− p)
k
como las respuestas a cada pre4gunta son independientes y p∗ = P (C), la probabilidad
de responder correctamente una pregunta, es constante para cada pregunta, se tiene
que:
X ∼ Bin(n, p∗)
con p∗ = p + 1−p
k
.
Luego
p(x) = P (X = x) =
(
n
x
)
(p∗)x(1− p∗)n−x, x = 0, 1, 2, 3, . . . , n.
(b)
P (S|C) Bayes= P (C|S)P (S)
P (C)
=
1 · p
p + (1−p)
k
=
kp
(k + 1)p + 1
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54 Caṕıtulo 3. Variables Aleatorias Discretas
3.2. Ejercicios Propuestos
1. Suponga que cada una de las llamadas que hace una persona a una estación de radio
muy popular tiene una probabilidad de 0.02 de que la ĺınea no esté ocupada. Suponga
que las llamadas son independientes.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera llamada que entre sea la décima que
realiza la persona?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario llamar más de cinco veces para
hallar desocupada la ĺınea?
c) ¿Cuál es le número promedio de llamadas que deben hacerse para hallar desocu-
pada la ĺınea?
2. Un negocio de computadores que atiende pedidos por correo tiene seis ĺıneas telefónicas.
Simbolicemos con correo X el número de ĺıneas con uso en un momento espećıfico.
Supongamos que la pmf de X estás dada en la tabla siguiente.
x 0 1 2 3 4 5 6
p(x) 0.1 0.15 0.20 0.25 0.20 0.06 0.04
Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos:
a) A lo sumo 3 ĺıneas están en uso
b) Menos de 3 ĺıneas están en uso
c) Por lo menos 3 ĺıneas están en uso
d) Entre 2 y 5 ĺıneas están en uso
e) Entre 2 y 4 ĺıneas no están en uso
f ) Por lo menos 4 ĺıneas no están en uso
3. Una compañ́ıa de seguros ofrece a sus tenedores de pólizas varias opciones diferentes
para el pago de primas. Para un tenedor seleccionado al azar, sea X=número de meses
entre pagos sucesivos. La cdf de X es como sigue:
F (x) =

0 si x < 1
0,30 si 1 ≤ x < 3
0,40 si 3 ≤ x < 4
0,45 si 4 ≤ x < 6
0,60 si 6 ≤ x < 12
1 si 12 ≤ x
a) ¿Cuál es la pmf de X?
b) Sólo con el uso de la cdf, calcule P (3 ≤ X ≤ 6) y P (4 ≤ X)
Recopilación, Organización y Elaboración por Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O.
3.2 Ejercicios Propuestos 55
4. La pmf para X=número de defectos importantes que tiene un electrodoméstico de un
cierto tipo, seleccionado al azar, es
x 0 1 2 3 4
p(x) 0.08 0.15 0.45 0.27 0.05
Calcule lo siguiente:
a) E(X).
b) V (X) directamente de la definición.
c) La desviación estándar de X.
d) V (X) usando la fórmula abreviada.
5. Un distribuidor de aparatos electrodomésticos vende tres modelos diferentes de conge-
ladores verticales con capacidad de 13.5, 15.9 y 19.1 pies cúbicos de espacio de alma-
cenaje. Sea X=cantidad de espacio de almacenaje de un congelador comprado por el
siguiente cliente. Supongamos que X tiene pmf
x 13.5 15.9 19.1
p(x) 0.2 0.5 0.3
a) Calcule E(X), E(X2) y V (X).
b) Si el precio de un congelador con capacidad de X pies cúbicos es 25X−8,5, ¿cuál
es el precio esperado por el cliente que va a comprar un congelador?
c) ¿Cuál es la varianza del precio 25X − 8,5 pagado por el cliente?
d) Supongamos que mientras la capacidad nominal de un congelador es X, la ca-
pacidad real es h(X) = X − 0,01X2. ¿Cuál es la capacidad real esperada del
congelador comprado por el siguiente cliente?
6. Un equipo tiene 5 componentes, de las cuales 2 son defectuosas. Se inspeccionan las
componentes en un orden aleatorio.
a) Si X es el número de componentes que deben examinarse antes de encontrar una
defectuosa calcule E(X).
b) Si Y es el número de componentes que deben examinarse para encontrar las dos
defectuosas, calcule E(Y ).
7. Sea X una variable aleatoria que sigue una de las siguientes distribuciones.
a) Binomial(n, p).
b) Poisson(λ).
c) Geométrica con parámetro p.
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56 Caṕıtulo 3. Variables Aleatorias Discretas
Para cada distribución calcule:
a) E(X).
b) E(X(X − 1)).
c) E(X2).
d) V ar(X).
8. Una variable aleatoria puede tomar cada uno de los siete valores−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
con la misma probabilidad. Determinar fY (y) donde Y = X
2 −X.
9. Para cada uno de los siguientes, establezca si es razonable o no, utilizar la distribución
binomial como modelo de variable aleatoria y por qué. Indique todas las suposiciones
que tenga que hacer, según sea el caso.
a) Un proceso produce miles de transductores de temperatura. Sea X el número de
transductores que no cumplen con los requisitos de diseño de una muestra de 30
tomada al azar del proceso.
b) De un lote de 50 transductores de temperatura, se toma una muestra de 30 sin
reemplazo. Sea X el número de transductores de la muestra que no cumplen con
los requisitos de diseño.
c) Cuatro componentes electrónicos idénticos están conectados a un controlador que
puede conmutar de un componente que falla a otro de los que quedan como
repuesto. Sea X el número de componentes que han fallado después de cierto
tiempo de operación.
d) Sea X el número de accidentes que ocurren en las carreteras federales de cierto
estado durante un mes.
e) Sea X el número de respuestas correctas de un estudiante que resolvió un examen
de opción múltiple, en las que pudo eliminar, en algunas preguntas, varias de las
opciones porque eran incorrectas, y en otras, todas las opciones incorrectas.
f ) Los defectos sobre la superficie de un chip semiconductor aparecen al azar. Sin
embargo, sólo el 80% de los defectos pueden detectarse mediante pruebas. Se
toma una muestra de 40 chips que tienen un defecto y se someten a prueba. Sea
X el número de chips en los que la prueba encuentra un defecto.
g) Considere de nuevo la situación presentada en f). Suponga ahora que la muestra
de 40 chips está formada por chips que tienen uno o cero defectos.
h) En una operación de llenado se intenta llenar paquetes de detergentes, de modo
que tengan el peso señalado en publicidad. Sea X el número de paquetes de
detergente que pesan menos que lo indicado en la publicidad.
i) Los errores en un canal de comunicación digital se presentan en rachas que afectan
de manera severa a varios bits consecutivos. Sea X el número de bits transmitidos
erróneamente en el env́ıo de 100000 bits.
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3.2 Ejercicios Propuestos 57
j ) Sea X el número de grietas superficiales de una bobina grande de acero galva-
nizado.
10. Este ejercicio ilustra el impacto que la baja calidad puede tener sobre planes y costos.
Un proceso de fabricación tiene 100 pedidos en espera de ser surtidos. Cada pedido
necesita un componente que se compra a otro proveedor. Sin embargo, lo común es
identificar 2% de estos componentes como defectuosos; por otra parte, puede supon-
erse que el estado de cada componente es independiente del de los demás.
a) Si el inventario del fabricante es de 100 componentes, Cuál es la probabilidad de
que se puedan surtir los 100 pedidos sin tener que pedir más componentes?
b) Si el inventario del fabricante es de 102 componentes, Cuál es la probabilidad de
que se puedan surtir los 100 pedidos sin tener que pedir más componentes?
c) Si el inventario del fabricante es de 105 componentes, Cuál es la probabilidad de
que se puedan surtir los 100 pedidos sin tener que pedir más componentes?
11. Las tarjetas de circuito impreso se env́ıan a una prueba de funcionamiento después de
haber montado en ellas todos los chips. Un lote contiene 140 tarjetas y se toman 20
sin reemplazo para hacerles la prueba de funcionamiento.
a) Si 20 tarjetas están defectuosas, Cuál es la probabilidad de que al menos una de
ellas se encuentre en la muestra?
b) Si 5 tarjetas