S06 s2 - Espacio vectorial en R3: Rectas paralelas y perpendiculares en R3

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RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES EN 𝓡𝟑
ESPACIO VECTORIAL EN ℛ𝟑
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante reconoce la posición entre dos rectas 
en el espacio determinando, si son paralelas u ortogonales. Halla el 
ángulo entre rectas y resuelve problemas de aplicación.
Datos/Observaciones
RECTAS 
PARALELAS
RECTAS 
ORTOGONALES
ESPACIO VECTORIAL EN 𝓡𝟑
Dadas las rectas 𝐿1: 𝑃 = 𝑃1 + 𝑡 Ԧ𝑣1 ; 𝐿2 : 𝑃 = 𝑃2 + 𝑡 Ԧ𝑣2 ambas son paralelas si sus
vectores directores lo son, es decir:
1 RECTAS PARALELAS
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES EN R3
Τ𝑳𝟏 ∕ 𝑳𝟐 ⟺ 𝒗𝟏 = 𝝀𝒗𝟐 Τ𝑳𝟏 ∕ 𝑳𝟐 ⟺ 𝒗𝟏 × 𝒗𝟐 = 𝟎
Hallar la ecuación simétrica de la recta que pasa por el punto 𝐴 2, 1, 4 y es 
paralela 𝐿1: 𝑥 = 3𝑡 ; 𝑦 = −2 + 4𝑡 ; 𝑧 = −5𝑡
Ejemplo 35. 
SOLUCIÓN:
Ԧ𝑣 = 3, 4, −5
𝑥 − 2
3
=
𝑦 − 1
4
=
𝑧 − 4
−5
RPTA:
Dadas las rectas 𝐿1: 𝑃 = 𝑃1 + 𝑡 Ԧ𝑣1 ; 𝐿2 : 𝑃 = 𝑃2 + 𝑡 Ԧ𝑣2 ambas son ortogonales si sus 
vectores directores lo son, es decir:
2 RECTAS ORTOGONALES
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES EN R3
𝑳𝟏 ⊥ 𝑳𝟐 ⟺ 𝒗𝟏 ⊥ 𝒗𝟐 𝑳𝟏 ⊥ 𝑳𝟐 ⟺ 𝒗𝟏 ⋅ 𝒗𝟐 = 𝟎
Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto 𝐴(3, 0, −1) y es 
perpendicular en su punto de intersección con la recta 𝐿1: 𝑃 = 2, 3, 2 + 𝑡 2, −1, 0
Ejemplo 36. 
SOLUCIÓN:
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛
(3, 0, −1)
𝐴
𝐵
𝐴 = (3, 0,−1)
Ԧ𝑣2 = 𝐴𝐵 = 2𝑡 − 1, 3 − 𝑡, 3
𝐿2
2, −1, 0 ∙ 2𝑡 − 1, 3 − 𝑡, 3 = 0
4𝑡 − 2 − 3 + 𝑡 = 0
𝑡 = 1 ⟹ Ԧ𝑣2 = 1, 2, 3
𝐿2: 𝑃 = (3, 0,−1) + 𝑡 1, 2, 3RPTA:
Si dos rectas 𝐿1: 𝑃 = 𝑃1 + 𝑡 Ԧ𝑣 ; 𝐿2: 𝑃 = 𝑃2 + 𝑡𝑤 en el espacio no son paralelas,
existe la posibilidad que se crucen (presentes en distintos planos) o que se intersecten 
(presentes en un mismo plano). En cualquiera de los casos, existe un ángulo entre dichas 
rectas y esta definido por:
4 ÁNGULO ENTRE 2 RECTAS
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES EN R3
5 POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS RECTAS
Si 𝐿1 y 𝐿2 son paralelas
NO se CRUZAN
NO se INTERSECAN
Si 𝐿1 y 𝐿2 NO son paralelas
Se CRUZAN o
Se INTERSECAN 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛
𝑆𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑒 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑛
𝑆𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎𝑠
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES EN R3
6 RECTAS QUE SE CRUZAN
Dadas la rectas 
𝐿1: 𝑃 = 𝑃1 + 𝑡 Ԧ𝑣 ; 𝐿2 : 𝑃 = 𝑃2 + 𝑡𝑤
se cumple que:
𝑆𝑒 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑛
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES EN R3
𝑳𝟏
𝑳𝟐
𝑷𝟏
𝑷𝟐
𝒎
Dadas la rectas 
𝐿1: 𝑃 = 𝑃1 + 𝑡 Ԧ𝑣 ; 𝐿2: 𝑃 = 𝑃2 + 𝑡𝑤
se cumple que:
7 RECTAS QUE SE INTERSECAN
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES EN R3
𝑷𝟏
𝑷𝟐
𝒎
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Hallar el punto simétrico de 𝐴 4, 6, −1 respecto a la recta 𝐿: 𝑃 = 1, 2, 2 + 𝑟 2, −1, 3
SOLUCIÓN:
RPTA:
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES EN R3
𝑄 = 1 + 2𝑟, 2 − 𝑟, 2 + 3𝑟
𝐴 = 4, 6, −1
𝑄𝐴 = 3 − 2𝑟, 4 + 𝑟, −3 − 3𝑟
𝐴
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑆𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜
𝐴′
3 − 2𝑟, 4 + 𝑟, −3 − 3𝑟 ∙ 2,−1, 3 = 0
6 − 4𝑟 − 4 − 𝑟 − 9 − 9𝑟 = 0
𝑟 = −
1
2 ⟹ 𝑄 = 0,
5
2
,
1
2
𝑄𝐴 ∙ Ԧ𝑣 = 0
𝐴 = 4, 6, −1
𝐴′ = 𝑥, 𝑦, 𝑧
𝑥 + 4
2
,
𝑦 + 6
2
,
𝑧 − 1
2
= 0,
5
2
,
1
2
𝑃𝑀 𝐴𝐴′ = 𝑄
𝑥 + 4
2
= 0
𝑥 = −4
𝑦 + 6
2
=
5
2
𝑦 = −1
𝑧 − 1
2
=
1
2
𝑧 = 2
𝐴′ = −4,−1, 2
𝑄
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
2. Hallar la ecuación de la recta 𝐿 que pasa por el punto 𝑇 −1,−2, 0 que es perpendicular a 
𝐿1:
𝑥−1
2
=
𝑦+2
−3
=
5−𝑧
4
en el espacio y corta a 𝐿2: 𝑥 = −2 ; 𝑦 − 1 =
𝑧+2
2
SOLUCIÓN:
VECTORES EN R2
𝐿2
𝐿1
𝑇
𝑄
𝑇𝑄 = −1, 𝑡 + 3, 2𝑡 − 2
𝑇𝑄 ∙ Ԧ𝑣1 = 0
−1, 𝑡 + 3, 2𝑡 − 2 ∙ 2, −3, −4 = 0
−2 − 3𝑡 − 9 − 8𝑡 + 8 = 0
𝑡 = −
3
11
𝑇𝑄 = −1,
30
11
,−
28
11
𝐿: 𝑃 = −1,−2, 0 + s −11, 30,−28RPTA:
⟹
𝐿2: ቐ
𝑥 = −2
𝑦 = 1 + 𝑡
𝑧 = −2 + 2𝑡
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1. Rectas paralelas.
𝐿1 ∥ 𝐿2 ⟹ 𝑣1 = 𝑣2
2. Rectas perpendiculares:
𝑆𝑖 𝐿1 ⊥ 𝐿2 ⟹ 𝑣1 ∙ 𝑣2 = 0
3. Recuerda la forma 
generalizada de un 
punto.
Excelente tu 
participación
Mis debilidades las 
hago fortalezas.
Ésta sesión 
quedará 
grabada para tus 
consultas.

PARA TI
1. Realiza los 
ejercicios 
propuestos de ésta 
sesión y práctica 
con la tarea .
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
EJERCICIO RETO
Dadas las siguientes rectas 𝐿1 que pasa por 𝐴(3; 2; 1) y
(−1 ; 2 ;−1 ) y 𝐿2 que pasa por 𝐶 (2;−2; 7) y 𝐷 (5 ;−2 ; 1 ) .
Determine si las rectas son paralelas u ortogonales.
𝑅𝑃𝑇𝐴: 𝑆𝑜𝑛 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠
Datos/Observaciones
Rectas paralelas y 
ortogonales en ℛ𝟑