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Ejercicio 1: 
conceptualización de Espacios vectoriales Después de haber realizado la lectura de los contenidos indicados, presentar de forma individual en el foro un Mapa conceptual que ilustre los siguientes conceptos: 
· Definición y propiedades de los espacios vectoriales
Ejercicio 2: 
Axiomas y propiedades de espacios vectoriales Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio correspondiente al ítem seleccionado en el ejercicio 
· Dados los vectores 𝒖 = (𝟖, −𝟐, 𝟕), 𝒗 = (𝟖, 𝟓, −𝟐) y 𝒘 = (𝟏𝟒, 𝟏𝟏, −𝟓) verifique si se cumple los axiomas:
Axioma 1
Axioma 2
Axioma 3
Ejercicio 3: 
Conjuntos generadores y Dependencia lineal. Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio correspondiente al ítem seleccionado previamente:
· Determine si el conjunto 𝑆 es linealmente independiente 𝑆 = {(2, −1,4) , (4, −2,7)} 
· 
Determina si el conjunto S genera en 
Ejercicio 4: 
Determinantes, Rango de una matriz, e Independencia lineal. Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio correspondiente al ítem seleccionado previamente: 
Desarrollar los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 3 referentes a espacios vectoriales, determinantes, rango de una matriz, e independencia lineal.
· Determinar el rango de la matriz A, por el método de determinantes y por el método de Gauss Jordan. En cada caso detallar los procedimientos realizados
Ejercicio 5: 
Demostraciones matemáticas a partir del uso de axiomas, propiedades y operaciones relacionadas con espacios vectoriales. Cada estudiante debe desarrollar la demostración correspondiente al ítem seleccionado previamente:
Sean 𝒖 y 𝒘 vectores en ℝ3 y sea 𝜃 el ángulo entre 𝒖 y 𝒘. 
 
ESPACIO VECTORIAL
Es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacio
Propiedades de la suma
Propiedades de la multiplicación
Una suma de vectores y igual a otro vector
u+v=z
La suma de vectores es asociativa
(u+v)+z=u+(v+z)
La suma de vectores es conmutativa
u+v=v+u
El cual contiene 10 propiedades fundamentales
Cumple la propiedad dictributiva 
c(u+v)=cu+cv
Cumple el inverso aditivo
u+(-u)=0
La suma de un vector más cero es igual al mismo vector
v+0=0+V
Al multiplicar un número por un vector, es igual a otro vector 
c*v= vector U
Al realizar la propiedad distributiva da como resultado otro vector
Cumple porpiedad asociativa
c(du)=(cd)u
Cumple el inverso aditivo
u+(-u)=0
(
)
(
)
(
)
8,2,7
8,5,2
14,11,5
u
v
w
=-
=-
=-
r
r
r
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
8,2,78,5,28,5,28,2,7
88,25,7288,52,27
16,3,516,3,5
uvvu
+=+
-+-=-+-
+-+-=+--+
=
rrrr
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
8,2,78,2,78,2,78,2,7
8,2,78,2,78,2,78,2,7
98,22,7788,22,77
0,0,00,0,0
uuuu
+-=-+
-+--=--+-
-+--=---
--+-=--+-
=
rrrr
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
8,2,78,5,214,11,58,2,78,5,214,11,5
8,2,722,16,716,3,514,11,5
30,14,030,14,0
uvwuvw
++=++
-+-+-=-+-+-
éùéù
ëûëû
-+-=+-
=
rrrrrr
(
)
(
)
{
}
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2,1,4,4,2,7
0,0,02,1,44,2,7
0,0,02,,44,2,7
0,0,024,2,47
241
22
473
1
24
24
Re42
20
220
220
00
s
Despejandoen
emplazoen
ab
aaabbb
ababab
ab
ab
ab
a
ab
ab
ab
bb
bb
=---
=--+-
=--+-
=+---+
ì
+
ï
ï
--
í
ï
-+
ï
î
=-
=-
--=
---=
-=
=
2
R
(
)
(
)
{
}
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2,1,2,7
,2,12,7
,2,12,7
,22,17
221
172
s
xy
xy
xy
x
y
ab
aabb
abab
ab
ab
=--
=-+-
=-+-
=--+
ì
-=
ï
í
-+=
ï
î
22
2142
122
x
y
xy
ab
ab
b
-=
-+=
=+
2
12
xy
b
+
=
2
22
12
2
2
6
2
2
6
62
2
6
72
2
6
72
12
xy
x
xy
x
xy
x
xxy
xy
xy
a
a
a
a
a
a
+
æö
-=
ç÷
èø
+
-=
+
=+
++
=
+
=
+
=
3440
1322
2122
Determinar el rango de A
Método determinates
A
æö
ç÷
=-
ç÷
ç÷
èø
34
9452
13
RangoA
=-=®³
344
1321841624680
212
=++---=
340
132180160680
212
Entonces el rango A=2
-=+--+-=
12
13
5
2
33
5
2
33
23
5
2
33
2
1
44
33
6
2
55
3440
1322
2122
3440
1322
2122
(3)
2
3
3440
12
22
3440
12
2000
3
5
(3)
10
11
2000
El rango de la matriz A=2
A
ff
ff
ff
f
f
æö
ç÷
=-
ç÷
ç÷
èø
æö
ç÷
-
ç÷
ç÷
èø
¸-
æö
-
ç÷
èø
æö
ç÷
-
ç÷
ç÷
--
èø
+
æö
ç÷
-
ç÷
ç÷
èø
æö
¸
ç÷
èø
¸
æö
ç÷
-
ç÷
ç÷
èø
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
22
2
222
2
222
2
2
2
Demuestre
 sin
,,
,,
 x w=
ˆ
ˆˆ
La magnitud de y 
 x w
xyz
xyz
xyz
xyz
yzzyxzzxxyyx
xyz
xyz
yzzyzxxzxyyx
uxwuw
Sea
uuuu
wwww
uuu
u
www
uwuwiuwuwjuwuwk
uw
uuuu
wwww
uuwuwuwuwuwuw
q
=
=
=
=---+-
=++
=++
=-+-+-
rrrr
r
r
rr
rr
r
r
rr
(
)
(
)
2
222
2
2
22
22
2
22
2
Para esto usamores
 x w
Si esta igualdad se cumple y haciendo us
o entre el ángulo entre vectores
cos=cos
Aplicando sincos1 tenemos
=1cos
sin
uuwuw
uw
uwuw
uw
uw
uw
qq
qq
q
q
=-×
×
®×=
¹=
-
=
rrrrrr
rr
rrrr
rr
rr
rr
 x wsin
uuw
q
®=
rrrr