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Ejercicio 1: conceptualización de Espacios vectoriales Después de haber realizado la lectura de los contenidos indicados, presentar de forma individual en el foro un Mapa conceptual que ilustre los siguientes conceptos: · Definición y propiedades de los espacios vectoriales Ejercicio 2: Axiomas y propiedades de espacios vectoriales Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio correspondiente al ítem seleccionado en el ejercicio · Dados los vectores 𝒖 = (𝟖, −𝟐, 𝟕), 𝒗 = (𝟖, 𝟓, −𝟐) y 𝒘 = (𝟏𝟒, 𝟏𝟏, −𝟓) verifique si se cumple los axiomas: Axioma 1 Axioma 2 Axioma 3 Ejercicio 3: Conjuntos generadores y Dependencia lineal. Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio correspondiente al ítem seleccionado previamente: · Determine si el conjunto 𝑆 es linealmente independiente 𝑆 = {(2, −1,4) , (4, −2,7)} · Determina si el conjunto S genera en Ejercicio 4: Determinantes, Rango de una matriz, e Independencia lineal. Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio correspondiente al ítem seleccionado previamente: Desarrollar los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 3 referentes a espacios vectoriales, determinantes, rango de una matriz, e independencia lineal. · Determinar el rango de la matriz A, por el método de determinantes y por el método de Gauss Jordan. En cada caso detallar los procedimientos realizados Ejercicio 5: Demostraciones matemáticas a partir del uso de axiomas, propiedades y operaciones relacionadas con espacios vectoriales. Cada estudiante debe desarrollar la demostración correspondiente al ítem seleccionado previamente: Sean 𝒖 y 𝒘 vectores en ℝ3 y sea 𝜃 el ángulo entre 𝒖 y 𝒘. ESPACIO VECTORIAL Es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacio Propiedades de la suma Propiedades de la multiplicación Una suma de vectores y igual a otro vector u+v=z La suma de vectores es asociativa (u+v)+z=u+(v+z) La suma de vectores es conmutativa u+v=v+u El cual contiene 10 propiedades fundamentales Cumple la propiedad dictributiva c(u+v)=cu+cv Cumple el inverso aditivo u+(-u)=0 La suma de un vector más cero es igual al mismo vector v+0=0+V Al multiplicar un número por un vector, es igual a otro vector c*v= vector U Al realizar la propiedad distributiva da como resultado otro vector Cumple porpiedad asociativa c(du)=(cd)u Cumple el inverso aditivo u+(-u)=0 ( ) ( ) ( ) 8,2,7 8,5,2 14,11,5 u v w =- =- =- r r r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8,2,78,5,28,5,28,2,7 88,25,7288,52,27 16,3,516,3,5 uvvu +=+ -+-=-+- +-+-=+--+ = rrrr ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8,2,78,2,78,2,78,2,7 8,2,78,2,78,2,78,2,7 98,22,7788,22,77 0,0,00,0,0 uuuu +-=-+ -+--=--+- -+--=--- --+-=--+- = rrrr ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8,2,78,5,214,11,58,2,78,5,214,11,5 8,2,722,16,716,3,514,11,5 30,14,030,14,0 uvwuvw ++=++ -+-+-=-+-+- éùéù ëûëû -+-=+- = rrrrrr ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2,1,4,4,2,7 0,0,02,1,44,2,7 0,0,02,,44,2,7 0,0,024,2,47 241 22 473 1 24 24 Re42 20 220 220 00 s Despejandoen emplazoen ab aaabbb ababab ab ab ab a ab ab ab bb bb =--- =--+- =--+- =+---+ ì + ï ï -- í ï -+ ï î =- =- --= ---= -= = 2 R ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2,1,2,7 ,2,12,7 ,2,12,7 ,22,17 221 172 s xy xy xy x y ab aabb abab ab ab =-- =-+- =-+- =--+ ì -= ï í -+= ï î 22 2142 122 x y xy ab ab b -= -+= =+ 2 12 xy b + = 2 22 12 2 2 6 2 2 6 62 2 6 72 2 6 72 12 xy x xy x xy x xxy xy xy a a a a a a + æö -= ç÷ èø + -= + =+ ++ = + = + = 3440 1322 2122 Determinar el rango de A Método determinates A æö ç÷ =- ç÷ ç÷ èø 34 9452 13 RangoA =-=®³ 344 1321841624680 212 =++---= 340 132180160680 212 Entonces el rango A=2 -=+--+-= 12 13 5 2 33 5 2 33 23 5 2 33 2 1 44 33 6 2 55 3440 1322 2122 3440 1322 2122 (3) 2 3 3440 12 22 3440 12 2000 3 5 (3) 10 11 2000 El rango de la matriz A=2 A ff ff ff f f æö ç÷ =- ç÷ ç÷ èø æö ç÷ - ç÷ ç÷ èø ¸- æö - ç÷ èø æö ç÷ - ç÷ ç÷ -- èø + æö ç÷ - ç÷ ç÷ èø æö ¸ ç÷ èø ¸ æö ç÷ - ç÷ ç÷ èø ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 222 2 222 2 2 2 Demuestre sin ,, ,, x w= ˆ ˆˆ La magnitud de y x w xyz xyz xyz xyz yzzyxzzxxyyx xyz xyz yzzyzxxzxyyx uxwuw Sea uuuu wwww uuu u www uwuwiuwuwjuwuwk uw uuuu wwww uuwuwuwuwuwuw q = = = =---+- =++ =++ =-+-+- rrrr r r rr rr r r rr ( ) ( ) 2 222 2 2 22 22 2 22 2 Para esto usamores x w Si esta igualdad se cumple y haciendo us o entre el ángulo entre vectores cos=cos Aplicando sincos1 tenemos =1cos sin uuwuw uw uwuw uw uw uw qq qq q q =-× × ®×= ¹= - = rrrrrr rr rrrr rr rr rr x wsin uuw q ®= rrrr
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