01 Introducción Modelos Turbulencia

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CENIDET Departamento de Ingeniería Mecánica 
 
 1
 
 
CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y 
DESARROLLO TECNOLÓGICO 
(C E N I D E T) 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS 
DE TURBULENCIA 
 
 
 
 
 
 
 
Jesús Perfecto Xamán Villaseñor 
 
Departamento de Ingeniería Mecánica 
(Área de Sistemas Térmicos) 
(C E N I D E T) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Octubre del 2014 
Cuernavaca, Morelos, México 
 
CENIDET Departamento de Ingeniería Mecánica 
 
 2
C O N T E N I D O 
 Pág. 
Lista de Figuras 3 
Lista de Tablas 4 
1.- INTRODUCCIÓN A LA TURBULENCIA 5 
2.- IMPORTANCIA DE ESTUDIO DE LA TURBULENCIA 7 
3. FÍSICA DE LA TURBULENCIA 8 
3.1 Propiedades generales de la turbulencia 9 
3.2 Breve historia de la turbulencia y las escalas Kolmogorov 12 
4 MÉTODOS PARA MODELAR LA TURBULENCIA 19 
4.1 Simulación numérica directa (DNS) 19 
4.2 Modelado de la turbulencia 23 
 4.2.1 Simulación de Remolinos Grandes (LES) 23 
 4.2.2 Ecuaciones de Navier-Stokes Promediadas 
 de Reynolds (RANS) 
24 
5 CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS DE TURBULENCIA 27 
6 TÉCNICA RANS PARA MODELAR LA TURBULENCIA 33 
6.1 Modelos de Esfuerzos de Reynolds (RSM) 39 
6.2 Modelos de Esfuerzos de Algebraicos (ASM) 40 
6.3 Modelos de Viscosidad Turbulenta (EVM) 40 
6.3.1 Modelos de Cero Ecuación (EVM-0-Ecuación) 44 
6.3.2 Modelos de Una Ecuación (EVM-1-Ecuación) 45 
6.3.3 Modelos de Dos Ecuaciones (EVM-2-Ecuaciones) 48 
7 EL MODELO DE TURBULENCIA K-Epsilon ( k ) 50 
8 EL MODELO DE TURBULENCIA K-Omega ( k ) 55 
9 RESUMEN DEL MODELADO DE LA TURBULENCIA 58 
 
Referencias 60 
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L I S T A D E F I G U R A S 
 
 
 
FIGURA Pág 
Figura 1. Procesos de transporte de la turbulencia 11 
Figura 2. Movimiento del fluido en el estudio de la turbulencia 
Chapman y Tobak 
17 
Figura 3. Representación esquemática del movimiento turbulento 24 
Figura 4. Espectro de energía para un flujo turbulento 28 
Figura 5. Región de espectro de energía modelado con diferentes 
modelos de turbulencia 
31 
Figura 6. Promediación en el tiempo para un flujo estadísticamente 
estable 
34 
Figura 7. Representación de la escala de tiempo de la variable  35 
Figura 8. Complejidad de las diferentes técnicas de simulación y 
modelado de turbulencia 
59 
 
 
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L I S T A D E T A B L A S 
 
 
 
TABLA Pág 
Tabla 1. Estimación del costo computacional mediante DNS para 
simular turbulencia isotrópica en varios números de Reynolds 
22 
Tabla 2. Estimación del costo computacional mediante DNS para 
simular turbulencia isotrópica en varios números de Reynolds. 
22 
Tabla 3. 
3a. Condiciones de frontera y constantes de diferentes 
modelos k 
3b. Funciones de salto de diferentes modelos k 
3c. Términos adicionales de diferentes modelos k 
 
53 
 
54 
54 
Tabla 4. 
4a. Condiciones de frontera y constantes de diferentes 
modelos k 
4b. Funciones de salto de diferentes modelos k 
 
57 
 
57 
 
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1.- INTRODUCCIÓN A LA TURBULENCIA 
 
Se sabe que las ecuaciones de Navier-Stokes (NS) pueden ser usadas para 
describir completamente el comportamiento de los flujos turbulentos, sin 
embargo a la limitación computacional actual ha hecho que la solución directa 
de las ecuaciones de NS no sea práctica. Esto se debe a que los ordenadores 
actuales no tienen la capacidad en memoria y velocidad de procesamiento para 
la solución de la amplia gama de escalas de longitud y tiempo asociados a la 
turbulencia. Muchas de las aplicaciones de dinámica de fluidos complejos están 
dirigidas a la determinación de cantidades promediadas en el tiempo, y por lo 
tanto, es deseable encontrar una manera eficiente para obtener estos valores 
de la solución de las ecuaciones de NS. 
 
La búsqueda de un modelo de turbulencia ha sido continua desde hace un 
poco más de un siglo. Los primeros modelos de turbulencia fueron derivados 
empíricamente de relaciones algebraicas. Conforme se desarrolló el avance 
tecnológico de las computadoras, evolucionó la modelación numérica de las 
ecuaciones diferenciales basadas en modelos de transporte de turbulencia y 
llegó a ser la metodología de modelación de turbulencia de elección. El uso de 
modelos de transporte de turbulencia se ha convertido en una práctica habitual 
para la mayoría de aplicaciones de ingeniería. Muchos investigadores actuales 
resuelven las ecuaciones de Navier-Stokes transitorias a gran escala y 
modelan las más pequeñas escalas de turbulencia que no pueden ser 
capturadas sobre la malla computacional. Aunque un modelo de turbulencia 
general aún no se ha desarrollado, el modelado de la turbulencia ha tenido un 
crecimiento en las aplicaciones de ingeniería. Conforme la tecnología 
informática continúe mejorando, los modelos de turbulencia seguirán 
evolucionando. 
 
La turbulencia puede ser parametrizada por varias magnitudes adimensionales. 
El más utilizado es el número de Reynolds. El número de Reynolds representa 
la razón de las fuerzas de inerciales con respecto a las fuerzas viscosas. Las 
fuerzas viscosas dominan a bajos números de Reynolds y las distorsiones, o 
perturbaciones, se amortiguan rápidamente. Estas perturbaciones se empiezan 
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a amplificar conforme el número de Reynolds se incrementa y la transición a un 
flujo turbulento se presenta. Launder (1991) dio la siguiente definición de flujo 
turbulento: “En un número de Reynolds moderado los efectos restrictivos de la 
viscosidad son demasiado débiles para evitar pequeñas perturbaciones 
aleatorias en un flujo cortante. Las perturbaciones crecen y llegan a ser no 
lineales e interactúan con perturbaciones vecinas. Esta interacción mutua 
conduce a un enredo de filamentos de vorticidad. Eventualmente, el flujo 
alcanza una forma caótica no-repetitiva descriptible sólo en términos 
estadísticos. Este es el flujo turbulento”. Así, la turbulencia es un fenómeno 
transitorio-tridimensional-viscoso que se produce en un alto número de 
Reynolds. La turbulencia no es una propiedad del fluido, pero es una 
característica del flujo. El flujo turbulento puede ser altamente no lineal y es de 
naturaleza aleatoria. Perturbaciones turbulentas pueden ser debido a una serie 
de remolinos tridimensionales de diferentes tamaños que están en interacción 
constante entre sí (R. Nichols). 
 
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2.- IMPORTANCIA DE ESTUDIO DE LA TURBULENCIA 
 
La comprensión y predicción del comportamiento turbulento de los fluidos es 
uno de los problemas más intrigantes, frustrante e importantes de toda la física 
clásica. Es un hecho, que en el entorno del universo muchos movimientos de 
fluidos son turbulentos y se presentan a la vez en diferentes sistemas que 
interactúan uno con otro. En muchos casos, la turbulencia representa el 
comportamiento dominante en la física del sistema sobre todas las escalas 
macroscópicas en todo el universo, desde el interior de células biológicas al 
sistema circulatorio y respiratorio de seres vivos, aún sin número de 
dispositivos tecnológicos y electrodomésticos de la sociedad moderna y a los 
fenómenos geofísicos y astrofísicos. A pesar de los numerosos casos de flujo 
de fluidos y su comportamiento turbulento, el "problema de la turbulencia" sigue 
siendo hasta la fecha, el último problema no resuelto de la física-matemática. 
Este problema ha sido estudiado por muchos de los más grandes físicos e 
ingenieros de los siglos XIX y XX, y todavía no se tiene en detalle la 
compresión y predicción completa de cómo y por qué se produce turbulencia, 
no se puede predecir el comportamiento turbulento con cierto grado de 
confiabilidad, incluso en situaciones de un flujo simple (desde una perspectiva 
de ingeniería). Así, el estudio de la turbulenciaes motivado tanto por su reto 
intelectual inherente y por la utilidad práctica de un conocimiento profundo de 
su naturaleza (McDonough, 2007). 
 
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3. FÍSICA DE LA TURBULENCIA 
 
Antes de adentrarse en los modelos matemáticos de la turbulencia, primero es 
importante discutir algunos aspectos físicos del fenómeno. Los siguientes 
apartados no pretenden dar una descripción completa de este tema tan 
complejo. Sin embargo, tratan sobre algunos aspectos de la turbulencia en 
aplicaciones de ingeniería. 
 
El número de Reynolds (Re) de un flujo proporciona una medida de la 
importancia relativa de las fuerzas inerciales, asociadas con los efectos 
convectivos y las fuerzas viscosas. En los experimentos de un sistema con flujo 
de fluidos, se observa que a valores por debajo del llamado número de 
Reynolds crítico (Recrít) el flujo es suave y las capas adyacentes del fluido se 
deslizan una sobre otra de una manera ordenada. Este régimen es llamado 
flujo laminar. 
 
A valores por arriba del Recrít una serie complicada de eventos tienen lugar, los 
cuales eventualmente inducen a un cambio radical del carácter del flujo. En el 
estado final, el comportamiento del flujo es aleatorio y caótico. El movimiento 
llega a ser inherentemente tridimensional e inestable (las componentes de 
velocidad varían rápidamente en tiempo y espacio), incluso con condiciones de 
fronteras constantes. La velocidad y otras propiedades del flujo varían de una 
manera aleatoria y confusa. Este régimen es llamado flujo turbulento. 
 
La mayoría de los flujos de interés práctico en ingeniería son turbulentos. De 
esta manera, para analizar el movimiento del fluido para aplicaciones generales 
se debe tratar como turbulento. Así, la turbulencia ha sido llamada el mayor 
problema no resuelto de la física clásica. “No es un problema de ley física, es 
un problema de descripción” (Durbin y Pettersson, 2001). 
 
Basados en la mecánica clásica, la turbulencia es un estado del movimiento del 
fluido gobernado por las leyes de Newton, de las cuales se derivan las 
ecuaciones de Navier-Stokes. 
 
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 9
 
3.1 Propiedades generales de la turbulencia 
 
En 1975, Hinze definió la turbulencia como: El movimiento de fluido turbulento 
es una condición irregular del flujo, en el cual las diversas cantidades presentan 
una variación aleatoria con las coordenadas espaciales y de tiempo, de tal 
modo que los valores promedios estadísticamente distintos pueden verse. 
 
Algunas de las propiedades más importantes de la turbulencia son: 
 
 Inestabilidad y No-linealidad. El análisis de las soluciones a la 
ecuación de Navier-Stokes muestra que la turbulencia se desarrolla como una 
inestabilidad del flujo laminar. Para analizar la inestabilidad de los flujos 
laminares, los métodos clásicos linealizan las ecuaciones de movimiento. A 
pesar de que las teorías lineales logran cierto grado de éxito en predecir el 
principio de las inestabilidades, la no-linealidad inherente de las ecuaciones de 
Navier-Stokes hace imposible una solución analítica completa del actual 
proceso de transición a la turbulencia y mucho menos del estado 
completamente turbulento. 
 
 Aspectos estadísticos. La naturaleza dependiente del tiempo de la 
turbulencia contribuye a su inflexibilidad. La turbulencia está caracterizada por 
las fluctuaciones aleatorias, de esta manera gobierna el uso de métodos 
estadísticos para analizarla. 
 
 La turbulencia es un fenómeno continuo. En principio, se sabe que 
las ecuaciones de Navier-Stokes, tridimensionales y dependientes del tiempo, 
contienen toda la física de un flujo turbulento. Esto es cierto por el hecho de 
que la turbulencia es un fenómeno continuo, como lo describió Tennekes y 
Lumley (1972) como sigue: 
 
“Incluso las escalas más pequeñas que ocurren en un flujo turbulento son 
ordinariamente más grandes que cualquier escala de longitud molecular.” 
 
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Sin embargo, las escalas de turbulencia más pequeñas son aún así 
extremadamente pequeñas. Estas escalas son generalmente de muchos 
órdenes de magnitud más pequeños que las escalas de turbulencia más 
grandes. Además, la razón entre las escalas más pequeñas y las más grandes 
disminuye rápidamente conforme se incrementa el número de Reynolds. 
 
 Alargamiento de vórtices. Es el principal proceso físico que difunde el 
movimiento sobre una amplia variedad de longitudes de ondas. En otras 
palabras, es el principal mecanismo para transferir la energía desde los 
remolinos grandes hasta los pequeños. La mayor parte de la vorticidad en un 
flujo turbulento reside en los remolinos más pequeños. La naturaleza de la 
turbulencia fuertemente rotacional va de común acuerdo con su 
tridimensionalidad. La vorticidad en un flujo turbulento es por sí misma 
tridimensional, así que las líneas de los vórtices en el flujo no son paralelas. El 
alargamiento de vórtices está ausente en los flujos bidimensionales, así que la 
turbulencia debe ser tridimensional. Esta tridimensionalidad inherente significa 
que no hay aproximaciones bidimensionales satisfactorias para determinar los 
detalles finos de flujos turbulentos, los cuales no son de suma importancia para 
aplicaciones prácticas en ingeniería, pero sí para fines de investigación. 
 
 Escalas de turbulencia y la cascada de energía. La turbulencia 
consiste en un espectro continuo de escalas que van desde las más grandes 
hasta las más pequeñas. Con el propósito de visualizar un flujo turbulento con 
un espectro de escalas, éste está relacionado con los remolinos. Un remolino 
turbulento puede ser imaginado como un movimiento arremolinante local, cuya 
dimensión característica es la escala de turbulencia local. Se observa que los 
remolinos se traslapan en el espacio, los grandes transportando a los 
pequeños. La turbulencia exhibe un proceso de cascada por medio del cual, 
cuando la turbulencia decae, su energía cinética se transfiere desde los 
remolinos más grandes hasta los más pequeños. Finalmente, los remolinos 
más pequeños disipan esa energía en calor a través de la viscosidad 
molecular. A este proceso se le llama cascada de energía (energy cascade). 
Entonces, como cualquier flujo viscoso, los flujos turbulentos son siempre 
disipativos. El proceso de cascada puede observarse en la Figura 1, donde la 
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PRODUCCIÓN 
por el flujo medio 
Cascada de 
energía 
DISIPACIÓN 
por la viscosidad 
remolinos grandes 
(baja frecuencia) 
remolinos pequeños 
(alta frecuencia) 
turbulencia inicialmente se genera por las inestabilidades en el flujo, las cuales 
se originan por los gradientes promedios de la velocidad. Los remolinos en su 
tendencia crean nuevas inestabilidades y por lo tanto, remolinos más 
pequeños. Los procesos continúan hasta que los remolinos llegan a ser 
suficientemente pequeños y los gradientes de la velocidad fluctuante 
suficientemente grandes. Así, los efectos viscosos se vuelven importantes y 
disipan la energía turbulenta en calor. La cascada de energía turbulenta es el 
proceso de la creación continua de la energía turbulenta, la transferencia de 
energía a los remolinos más y más pequeños y la disipación final de la energía 
turbulenta por la viscosidad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. Procesos de transporte de la turbulencia. 
 
 
 
 Difusividad. Tal vez la característica más importante de la turbulencia 
desde un punto de vista de la ingeniería es su difusividad. La difusión 
turbulenta en gran medida mejora la transferencia de masa, momentum y 
energía. Los remolinos grandes son debidos principalmente por la difusividad y 
los esfuerzos observados en los flujos turbulentos. 
 
 
 
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3.2 Breve historiade la turbulencia y las escalas Kolmogorov 
 
El principal énfasis, en el alcance de este capítulo, son las ecuaciones de 
Navier-Stokes promediadas en el tiempo. El origen de esta aproximación data 
del siglo XIX cuando Reynolds, en 1894, publicó los resultados de su 
investigación sobre la turbulencia. Su trabajo demostró tener importancia para 
todos los desarrollos futuros. El proceso de promediación en el tiempo de las 
distintas variables se conoce como un tipo de promediación de Reynolds. 
 
Los intentos más recientes para desarrollar una descripción matemática de los 
esfuerzos turbulentos comenzaron con Boussinesq en 1877, quien introdujo el 
concepto de la viscosidad de remolino o viscosidad turbulenta ( t ). Reynolds y 
Boussinesq no intentaron una solución de las ecuaciones de Navier-Stokes 
promediadas de Reynolds. En 1925, Prandtl introdujo el concepto de longitud 
de mezcla ( ml ) enfocándose sobre los flujos turbulentos y formuló una ecuación 
directa para calcular t en términos de ml . La hipótesis de longitud de mezcla 
está relacionada con el concepto de viscosidad turbulenta y fue la base de 
prácticamente todas las investigaciones del modelado de la turbulencia en los 
siguientes veinte años. En 1930, Von Kármán también realizó importantes 
contribuciones en el modelado de la turbulencia (Wilcox, 1993). 
 
Anteriormente, se afirmó que la turbulencia es un fenómeno continuo, debido a 
que las escalas de turbulencia más pequeñas son mucho más grandes que 
cualquier escala de longitud molecular. Por otro lado, es notorio que el proceso 
de cascada presente en todos los flujos turbulentos involucra transferencia de 
energía cinética turbulenta por unidad de masa ( k ), de los remolinos más 
grandes a los más pequeños. La disipación de la energía cinética en calor, a 
través de la acción de la viscosidad molecular, ocurre en la escala de los 
remolinos más pequeños. Debido a que el movimiento en escala pequeña 
tiende a ocurrir en una escala de tiempo corta, puede suponerse que un 
movimiento tal es independiente de la dinámica relativamente lenta de los 
remolinos grandes y del flujo medio. Por lo tanto, los remolinos más pequeños 
deberían estar en un estado, donde la razón de recibir energía de los remolinos 
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más grandes es casi igual a la razón a la cual los remolinos más pequeños 
disipan la energía en calor. Esta es una de las premisas de la teoría de 
equilibrio universal de Kolmogorov. De este modo, el movimiento en las escalas 
más pequeñas depende sólo de la razón en la cual los remolinos más grandes 
proporcionan energía ( dtdk / ) y de la viscosidad cinemática (). 
 
Habiendo establecido  (cuyas dimensiones son m2/s3) y  (cuyas dimensiones 
son m2/s) como las cantidades dimensionales apropiadas, es una cuestión 
sencilla formar las siguientes escalas de longitud ( ), tiempo ( ) y velocidad 
(). Ya que la energía cinética es destruida por las fuerzas viscosas, es obvio 
pensar que la viscosidad tiene un rol muy importante en estas escalas. La 
cantidad de energía que es disipada es  . Conforme sea mayor la energía que 
es transformada de energía cinética a energía interna, los gradientes de 
velocidad deben de ser más grandes. Habiendo considerado que las escalas 
disipativas son determinados por la viscosidad y la disipación, se puede 
expresar (), ( ) y ( ) en términos  y  mediante el análisis dimensional 
como: 
 
     322 /// smsmsm
v ba

 
 (1) 
 
Con ello, se obtiene dos ecuaciones algebraicas: (1 = 2a + 2b) y (-1 = -a -3b), 
de las cuales se obtiene a=b=1/4. De la misma manera se pueden obtener 
expresiones para  y , tal que: 
 
  4/1
2/14/13
,, 



 










 v (2) 
 
Estas son las escalas de Kolmogorov de longitud, tiempo y velocidad, 
respectivamente. La escala de tiempo algunas veces se conoce como “el 
tiempo de vida del remolino” o la escala de tiempo integral y los remolinos 
pequeños a los cuales se aplican las escalas son llamados “remolinos de 
escala de Kolmogorov”. Aquí, la variable  es una propiedad de los remolinos 
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de pequeña escala. Así, en 1941, Kolmogorov publicó tres artículos que 
muestran algunos de los resultados más importantes y más frecuentemente 
citados de la teoría de la turbulencia. Estos resultados representan un punto de 
partida distinto del enfoque que había evolucionado desde el enfoque 
estadístico de Reynolds. 
 
A lo largo de la década de 1940 hubo numerosas aportaciones adicionales al 
estudio de la turbulencia. En su mayor parte, como lo menciona Leslie (1973), 
esta década produjo una consolidación de los trabajos estadísticos. Las obras 
de Batchelor (1948), Burgers (1948), Corrsin (1949), Heisenberg (1948), von 
Kármán (1948), Obukhov (1949), Townsend (1947) y Yaglom (1948) se 
encuentran entre los más citadas. 
 
Los primeros libros completos sobre la teoría de la turbulencia aparecieron en 
la década de 1950. Las más conocidas de ellas se deben a Batchelor (1953), 
Townsend (1956) y Hinze (1959). Todos estos tratan sólo la teoría estadística y 
dependen en gran medida de las ideas anteriores de Prandtl, Taylor, von 
Kármán y Yaglom (así como los trabajos de los mismos autores, especialmente 
en los dos primeros casos). De nuevo, como ocurrió en la década de 1940, la 
mayor parte de estos trabajos representó la consolidación de las ideas 
anteriores. Por otra parte, en estos libros presentaron el problema de la 
turbulencia de ser tan intratable que durante varias generaciones pocos 
investigadores estuvieron dispuestos a hacerle frente. Es importante señalar 
que el trabajo experimental durante este período, e incluso un poco antes, dio 
algunas dudas sobre la consistencia, e incluso la validez general del punto de 
vista aleatorio de la turbulencia. 
 
A principios de la década de 1960, la instrumentación experimental mejoró 
considerablemente, aunque las técnicas disponibles eran bastante obsoletas 
para los estándares modernos (anemometría láser-Doppler e imagen de 
partículas aún no se habían inventado). Pero el avance que en última instancia 
condujo a cambios radicales en el tratamiento de la turbulencia fue la 
computadora digital. En 1963, el meteorólogo E. Lorenz publicó un artículo, 
basado principalmente en los cálculos sobre una computadora, que con el 
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tiempo daría lugar a una forma diferente de ver la turbulencia. En particular, en 
el articulo se presentó una solución deterministica de un modelo simple de las 
ecuaciones de Navier-Stokes. Al mismo tiempo, una nueva dirección hacia la 
solución del "problema de cerradura" de turbulencia, la existencia de más 
incógnitas que ecuaciones en las formulaciones estadísticas de la turbulencia. 
Una serie de nuevas técnicas fueron introducidas a principios de la década de 
1950 con la obra de Kraichnan (1958-1959), que utiliza métodos matemáticos 
de la teoría cuántica en el análisis de la turbulencia. También, durante esta 
década, hubo avances significativos en los estudios experimentales de 
turbulencia. Se inicio a abordar los aspectos detallados de turbulencia, como la 
razón de decaimiento de turbulencia isotrópica, isotropía a partir de la 
turbulencia homogénea no-isotrópica, detalles de las transiciones de la capa 
límite, transición a la turbulencia en tuberías, los efectos de la turbulencia sobre 
el transporte escalar, etc. 
 
La publicación de Ruelle y Takens en 1971, es probablemente el mejor artículo 
que delimita el inicio de lo que suele llamarse la " turbulencia moderna”. En 
este trabajo, se demostró que las ecuaciones de Navier-Stokes, vistas como un 
sistema dinámico, son capaces de producir soluciones caóticas, exhibiendo 
sensibilidad a las condiciones iniciales. También,este artículo presentó la 
secuencia de transiciones (bifurcaciones) que un flujo tiene conforme el número 
de Reynolds se incrementa hasta alcanzar un estado caótico: estable-
periódico-cuasiperiódico-turbulento. Con la disponibilidad de una predicción 
específica, motivó mucho la experimentación durante la década de 1970 y 1980 
a determinar si las bifurcaciones realmente ocurrían. Así, a finales de 1970 y 
principios de 1980 muchos resultados experimentales mostraron este tipo de 
bifurcación. Otros dos aspectos de la experimentación de turbulencia en los 
años 70 y 80, son significativas. En el primero de estos, se detallan las pruebas 
de las ideas de Kolmogorov, cuyo resultado fue la confirmación general, pero 
no en completo detalle. Esta correspondencia general entre teoría y 
experimento motivó numerosos estudios para explicar las discrepancias y otros 
trabajos análogos continúan hasta el presente. El segundo aspecto de la 
experimentación implicó más estudios de flujos que exhiben comportamientos 
complejos más allá de la turbulencia isotrópica. También, a principios de la 
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década de 1970 (y hasta un poco antes), la atención inició a enfocarse en 
aplicaciones practicas de flujos de fluidos. 
 
Desde un punto de vista actual, los avances más importantes en la década de 
1970 y 1980 en las investigaciones de turbulencia fueron las técnicas 
computacionales. La primera de estas, fue la tecnica de “simulación de 
remolinos grandes” (LES) propuesto por Deardorff en 1970. Esta fue seguida 
rápidamente por la primera “simulación numérica directa” (DNS) por Orszag y 
Patterson en 1972, y la introducción de una amplia gama de aproximaciones a 
las ecuaciones de “Navier-Stokes promediadas de Reynolds” (RANS) también 
inicio alrededor de 1972 (Lauder y Spalding, 1972 y Launder et al. 1975). En 
esta última se inició un gran esfuerzo del modelado, el cual continúa hasta 
nuestros días (en gran parte debido a que aún no ha sido exitosa, pero al 
mismo tiempo, la mayoría de los otros enfoques no son todavía 
computacionalmente factible). 
 
En 1985, poco conocido pero muy interesante un artículo fue publicado por 
Chapman y Tobak (1985) en el que se presentó una visión bastante diferente 
de la evolución del punto de vista de la turbulencia. Los autores dividen el siglo 
entre los experimentos de Reynolds en 1883 hasta el tiempo presente en tres 
superposición de "movimientos": estadístico, estructural y deterministico. La 
Figura 2 muestra esta división (McDonough, 2007). 
 
Como se mencionó, el enfoque estadístico fue motivado por la idea que la 
turbulencia debe ser aleatoria, y a pesar que repetidos experimentos 
contradicen esta interpretación, se ve que el uso del movimiento estadístico se 
extiende hasta la época actual, en recientes aproximaciones que intentan 
combinar los enfoques de RANS y LES. Una de las contradicciones más 
interesantes de esta época surge del hecho que algunos de los primeros 
investigadores han aceptando las ecuaciones de NS como la formulación 
correcta de flujo turbulento. 
 
 
 
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Figura 2. Movimiento del fluido en el estudio de la turbulencia 
(Chapman y Tobak, 1985). 
 
Sin embargo, estas ecuaciones son deterministas, por lo que una pregunta que 
se debería haber hecho, es "¿cómo puede una ecuación determinista presentar 
una solución aleatoria?". Se comenta que hay respuestas superficiales, pero al 
final, las soluciones a las ecuaciones de Navier-Stokes son deterministas, 
dejando la siguiente elección: o bien aceptar las ecuaciones de NS como la 
descripción correcta del flujo turbulento y admitir que turbulencia no es 
aleatoria; o de obtener una descripción totalmente diferente, posiblemente 
basado en ecuaciones diferenciales estocásticas. Por otra parte, si se insiste 
Movimiento Estadístico 
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18
80
 
19
60
 
19
90
 
19
40
 
19
20
 
19
80
 
20
00
 
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 18
en que la turbulencia es un fenómeno aleatorio, el promedio de las ecuaciones 
de Navier-Stokes (RANS) tiene poco sentido, que empiece con las ecuaciones 
erróneas y sin embargo termine con ecuaciones que no son estocásticas. Se 
estaría iniciando con las ecuaciones erróneas y finalizando con ecuaciones que 
no son estocásticas 
 
Chapman y Tobak (1985) expresan que las futuras direcciones en el estudio de 
la turbulencia reflejará la evolución del movimiento determinista, pero que sin 
duda se van a incorporar algunos aspectos, tanto de los movimientos 
estadísticos y estructurales. Ciertamente, LES puede ser visto como un 
producto del movimiento determinista, donde las grandes escalas que tienen 
energía se calculan directamente como en DNS. Por otro lado, LES puede 
también ser visto como un movimiento estadístico porque los modelos de sub-
escala (SGS) se basan generalmente en un enfoque estadístico. Al mismo 
tiempo, se han iniciado otros enfoques para la construcción de modelos SGS, 
que hacen por lo menos en forma indirecta, incorporar aspectos de los 
movimientos estructurales y determinista (McDonough, 2007). 
 
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 19
4 MÉTODOS PARA MODELAR LA TURBULENCIA 
 
En el estudio de flujo turbulento, el objetivo de investigación ha sido desarrollar 
modelos matemáticos y conceptos físicos para soportar las leyes exactas del 
movimiento. El modelado matemático es una manera de predecir flujos. Así, en 
la determinación numérica del comportamiento de un flujo turbulento se tiene la 
necesidad de usar mallas temporales y espaciales muy refinadas para obtener 
soluciones físicamente aceptables. Esta característica es coherente con la 
naturaleza de la turbulencia, donde se presenten las escalas espaciales y 
temporales más pequeñas de la turbulencia (escalas de Kolmogorov). 
Entonces, para reproducir adecuadamente la complejidad de la turbulencia es 
necesario utilizar incrementos de tiempo muy pequeños y muchos volúmenes 
de control, esto implica un alto costo computacional (tiempo de cálculo) e 
industrialmente no viable. Por lo tanto, se busca modelar la turbulencia de otra 
manera, en la cual los esfuerzos computacionales sean menores y que los 
resultados sean suficientemente buenos. Desde el punto de vista del tiempo de 
cómputo se han tenido diferentes estrategias matemáticas a partir de las 
ecuaciones de Navier-Stokes, para obtener un modelo más o menos sencillo 
que reproduzca la turbulencia. Existen dos grandes bloques para abordar la 
solución a la turbulencia: 
 
1. DNS (Simulación Numérica Directa) 
2. Modelado de la Turbulencia 
 LES (Simulación de Remolinos Grandes ó simulación a Gran Escala) 
 RANS (Ecuaciones de Navier-Stokes promediadas de Reynolds) 
 
 
4.1 Simulación numérica directa (DNS) 
 
La técnica del DNS es la aproximación más exacta al estudio de la turbulencia 
y consiste en resolver las ecuaciones de Navier-Stokes instantáneas (en tres 
dimensiones) con sus 4 incógnitas (componentes de velocidad, presión) en 
todo el domino espacial y temporal de la turbulencia. En un estudio de DNS, 
con el propósito de asegurar que todas las estructuras significativas de la 
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 20
turbulenciase han capturado, el dominio sobre el cual el cálculo se realiza 
debe ser al menos tan grande como el dominio físico considerado o el remolino 
turbulento más grande. Una simulación válida debe capturar toda la disipación 
de la energía cinética, la cual ocurre en las escalas más pequeñas a través de 
la acción de la viscosidad molecular. De esta manera, el tamaño de la malla 
debe ser muy fino. Por este motivo, es necesario reproducir mallas espaciales y 
temporales que abarquen las fluctuaciones que se producen con las escalas 
más pequeñas (escalas de Kolmogorov). Puesto que el número de puntos de la 
malla que pueden utilizarse en un cálculo está limitado por la velocidad del 
procesador y la memoria de la máquina, sobre la cual se realizan los cálculos, 
DNS es posible sólo para flujos a números de Reynolds relativamente bajos y 
en dominios geométricamente sencillos. Por lo tanto, es útil para el caso de 
geometrías sencillas y números de Reynolds relativamente bajos, pero para 
geometrías complejas o números de Reynolds elevados el problema es 
desbordante al requerir tiempo de cómputo excesivo. 
 
Los resultados de una modelación a través de DNS contienen información muy 
detallada acerca del flujo. Esto puede ser útil pero, por un lado, es demasiada 
información respecto a la necesitada por un ingeniero, y adicionalmente, DNS 
es demasiado costosa para emplearse con frecuencia y no puede utilizarse 
como una herramienta de diseño. Con el uso de DNS es posible obtener 
información detallada acerca de la velocidad, presión y cualquier otra variable 
de interés, en un número grande de puntos de la malla. Estos resultados 
pueden considerarse como el equivalente de los datos experimentales y al 
mismo tiempo utilizado para producir información estadística o para crear una 
visualización numérica del flujo. La comunidad científica considera a los 
resultados obtenidos con DNS, equiparables con gran exactitud a los 
resultados experimentales. Así, principalmente el mayor rol que DNS 
representa en la disciplina de modelación numérica es como una herramienta 
de investigación. 
 
Por otro lado, DNS sólo es aplicable como una herramienta de investigación a 
números de Reynolds relativamente bajos. La dificultad de DNS se encuentra 
en el requerimiento del tamaño de la malla espacial y temporal para modelar 
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 21
todos los movimientos importantes en el flujo turbulento. Además, cualquier 
DNS para un flujo turbulento es transitorio. La extracción de cantidades medias 
(por ejemplo, el flujo de calor local) requiere promediar en el tiempo una gran 
cantidad de datos. 
 
Pope (2000) presentó las estimaciones del costo computacional por utilizar 
DNS para el modelado de flujo turbulento homogéneo. La turbulencia 
homogénea es una idealización de flujo turbulento lejos de cualquier frontera 
sólida (no acotada por una pared) y libre de cualquier estructura de flujo o 
cortante. Para un flujo turbulento homogéneo en una región de tamaño L con 
una velocidad máxima media U, el número de Reynolds es /Re LUL  . Sea N 
el número de puntos necesarios para resolver todas las escalas relevantes del 
flujo en cualquier dirección de coordenadas. El número total de puntos de la 
malla espacial necesaria para modelar el flujo es: 4/93 Re4.4 LN  y el número de 
nodos de la malla temporal es: 2/32.9 RM  , donde R es el número de 
Reynolds en la escala de Taylor. La relación entre estos parámetros 
adimensionales es: 
2/1
Re
3
20





 LR . Como una aproximación, el número de 
operaciones de punto flotante requerido para realizar una modelación es 
proporcional al producto del número de nodos espaciales por el número de 
nodos temporales ( MN 3 ), lo cual da como resultado: 33 Re160 LMN  . Si la 
modelación se realiza en un equipo de cómputo con un rendimiento de un 
Gflop (109 operaciones de punto flotante por segundo), el tiempo que durara la 
modelación en días es: 
3
800
Re





 LGT . La evaluación de estas fórmulas para un 
intervalo del LRe se presenta en la Tabla 1. Claramente, se puede apreciar que 
una modelación en DNS no es aplicable para trabajo de diseño en ingeniería, 
ya que el costo computacional se incrementa con el número de Reynolds y la 
modelación es no práctica. 
 
Gerald Recktenwald (2009) presentó resultados del costo computacional, 
usando las relaciones anteriores de Pope (2000), los resultados se muestran 
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 22
en la Tabla 2. Los resultados de la Tabla 2 fueron obtenidos con una 
computadora Blue Gene/L, la cual, en Noviembre del 2005 era la computadora 
más rápida del mundo. La computadora Blue Gene/L tiene 131072 
procesadores y puede soportar 280 Tflops sobre la referencia Linpack. Un Tflop 
es igual a 1012 operaciones de punto flotante por segundo. Teóricamente, una 
computadora personal de alto rendimiento para procesamiento matemático 
tiene entre 1 y 10 Gflop. 
 
Tabla 1. Estimación del costo computacional mediante DNS 
para simular turbulencia isotrópica en varios números de Reynolds. 
Rλ ReL N N3 M N3M 
Tiempo de 
CPU 
25 94 104 1.1 x 106 1.2 x 103 1.3 x 109 20 min 
50 375 214 1.0 x 107 3.3 x 103 3.2 x 1010 9 hrs 
100 1,500 498 1.2 x 108 9.2 x 103 1.1 x 1012 13 días 
200 6,000 1,260 2.0 x 109 2.6 x 104 5.2 x 1013 20 meses 
400 24,000 3,360 3.8 x 1010 7.4 x 104 2.8 x 1015 90 años 
800 96,000 9,218 7.8 x 1011 2.1 x 105 1.6 x 1017 5000 años 
 
Tabla 2. Estimación del costo computacional mediante DNS para simular 
turbulencia isotrópica en varios números de Reynolds 
con diferentes computadoras. 
ReL N N 3 
Tiempo de CPU 
PC a 1 Gflop 
Supercomputa
dora a 1 Tflop 
Blue 
Gene/L a 
280 Tflop 
100 52 1.1 x 10 6 3 min 1.94 μs 0.2 μ 
1000 291 1.0 x 10 7 47 hrs 0.05 s 0.2 ms 
10,000 1640 1.2 x 10 8 5.3 años 47 s 0.2 s 
100,000 9200 2.0 x 10 9 5300 años 5.3 años 6.9 dias 
1,000,000 52000 3.8 x 10 10 53,000 siglos 5300 años 19 años 
 
 
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 23
4.2 Modelado de la Turbulencia 
 
Las siguientes técnicas que se presentan consisten en una aproximación 
estadística al fenómeno de turbulencia. Esto implica la transformación y 
modelado de las ecuaciones de Navier-Stokes para conseguir un sistema de 
ecuaciones más fácilmente tratable que presenten un ahorro computacional 
con respecto al DNS. 
 
4.2.1 Simulación de Remolinos Grandes (LES) 
 
La filosofía de esta técnica esta basada en promediar las ecuaciones de 
Navier-Stokes (NS) volumétricamente, es decir, suponer propiedades medias 
en una región del espacio y unas fluctuaciones que caracterizan finalmente al 
fluido. Los flujos turbulentos contienen una amplia variedad de escalas de 
longitud y de tiempo. El intervalo de los tamaños de los remolinos que pueden 
encontrarse en un flujo se muestra esquemáticamente en la Figura 3. 
 
Los movimientos de escalas grandes son generalmente mucho más 
energéticos que los de las escalas pequeñas; su tamaño y fuerza los hacen por 
mucho los transportes más efectivos de las propiedades conservativas. Las 
escalas pequeñas son usualmente mucho más débiles y proporcionan poco 
transporte de estas propiedades. Una simulación, la cual trate con los 
remolinos grandes más exactamente que con los remolinos pequeños, es la 
simulación de remolinos grandes (LES, Large-Eddy Simulation). 
Estas simulaciones son tridimensionales, dependientes del tiempo y 
computacionalmente caras, pero menos costosas que una modelación con 
DNS. LES es el método preferido para flujos en los cuales el número de 
Reynolds es demasiado alto o la geometría es tan compleja para permitir la 
aplicación de DNS. Debido a que LES resuelve los remolinos grandes y modela 
los remolinos más pequeños, las celdas de un volumen de control más 
pequeñas pueden ser mucho más grandes que la escala de longitud de 
Kolmogorov y pueden considerarsepasos de tiempo mucho más grandes. Así, 
el enfoque de LES es menos costoso que DNS, en resumen consiste en 
simular únicamente los remolinos grandes y modelar el efecto de los de menor 
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 24
dimensión, que no pueden ser resueltos con una determinada malla. El proceso 
puede describirse como un “filtrado” de las ecuaciones, tras el cual el campo de 
velocidades contiene solo las componentes de mayor tamaño. Este proceso 
introduce unos términos de esfuerzos que representan la interacción entre 
ambas escalas de movimiento y tienen un efecto disipativo. Para calcular el 
efecto de estos esfuerzos existen distintos modelos conocidos en la literatura 
como SGS (subgrid scale models). La modelación de LES esta basado en los 
trabajos de Smagorinsky (1963). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3. Representación esquemática del movimiento turbulento. 
 
 
4.2.2 Ecuaciones de Navier-Stokes Promediadas de Reynolds (RANS) 
 
Los ingenieros están normalmente interesados en saber sólo unas cuantas 
propiedades cuantitativas de los procesos turbulentos (el caudal que circula por 
un canal, la distribución de velocidades en una sección o la concentración de 
una sustancia en un determinado volumen), las cuales evitan la necesidad para 
predecir los efectos de cada remolino en el flujo. Si se utilizan las dos 
aproximaciones mencionadas anteriormente para calcular flujos muy sencillos 
suele ser desgastante. Reynolds, en 1894, propusó una aproximación que 
proporciona información acerca de las propiedades promediadas en el tiempo 
de un flujo, por ejemplo, las velocidades medias, la presión media, los 
esfuerzos medios, etc. Esta es la “aproximación promediada de Reynolds”. 
LES DNS 
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 25
Esta aproximación produce un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales 
llamadas las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas de Reynolds (RANS, 
Reynolds-Averaged Navier-Stokes). 
 
En las aproximaciones promediadas de Reynolds para la turbulencia, todas las 
inestabilidades se promedian fuera, es decir, toda inestabilidad se considera 
como parte de la turbulencia. En la promediación, la no-linealidad de las 
ecuaciones de Navier-Stokes da origen a términos conocidos como esfuerzos 
de Reynolds, los cuales deben modelarse y de esta manera se introducen las 
aproximaciones (modelos de turbulencia). La complejidad de la turbulencia 
hace improbable que cualquier modelo sencillo de promediado de Reynolds 
sea capaz de representar todos los tipos de flujos, de esta manera los modelos 
de turbulencia se consideran como aproximaciones en ingeniería más que 
leyes científicas. 
 
La técnica del RANS es la más utilizada en los casos de aplicación para altos 
números de Reynolds y en el ámbito de la ingeniería. En general, consiste en 
resolver las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas en el tiempo, es decir, 
representar las variables instantáneas del campo turbulento mediante una 
componente media más una componente fluctuante. Permite utilizar mallas 
temporales burdas, ya que no se solucionan las escalas de tiempo más 
pequeñas, por otro lado, se necesitan mallas espaciales refinadas sobre todo 
en la capa limite o zonas en donde existen fuertes gradientes de diversas 
variables. 
 
Las técnicas LES y RANS están pensadas para simular regiones con grandes 
números de Reynolds, es decir, zonas en las cuales la turbulencia es 
importante y presentan problemas en los cambios de régimen laminar a 
turbulento, como por ejemplo: en la capa límite donde la turbulencia aparece 
progresivamente a causa del cambio fenomenológico entre las fuerzas 
viscosas y las inerciales. Afortunadamente, en la mayoría de las aplicaciones el 
flujo medio es el de mayor interés con respecto a las fluctuaciones turbulentas, 
especialmente en las aplicaciones ingenieriles. 
 
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 26
En general, conforme se presentaron las 3 técnicas (DNS, LES, RANS) para 
resolver y representar un flujo turbulento, menos de los movimientos 
turbulentos se capturan y en los cálculos se utilizan más aproximaciones, lo 
cual hace que los métodos sean menos exactos. Sin embargo, el tiempo de 
cálculo se disminuye considerablemente. Todas las aproximaciones descritas 
requieren la solución de alguna forma de las ecuaciones de conservación de 
masa, momentum, energía o especies químicas. La mayor dificultad es que los 
flujos turbulentos contienen variaciones sobre una amplia variedad de escalas 
de longitud y de tiempo, comparados con los flujos laminares. De esta manera, 
las ecuaciones que describen flujos turbulentos son usualmente más difíciles y 
costosas de resolver. 
 
 
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 27
5 CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS DE TURBULENCIA 
 
Ya que la turbulencia contiene un continuo espectro de escalas, es conveniente 
hacer un análisis en términos de la distribución espectral de energía. En 
general, una representación espectral es una descomposición de Fourier a 
través de un número de ondas ( ) o su equivalente, la longitud de onda 
(  /2 ). Las escalas de turbulencia se distribuyen sobre un intervalo de 
escalas desde las escalas más grandes que interactúan con el flujo medio 
hacia las escalas más pequeñas donde los efectos de disipación ocurren. La 
energía cinética turbulenta contenida en los remolinos entre el espacio de 
número de ondas desde  hacia  d es: 
 
   dE (3) 
 
Donde la ecuación (3) expresa la contribución desde las escalas con número 
de ondas entre  y  d hacia la energía cinética turbulenta k . La dimensión 
del número de ondas es uno sobre su longitud, entonces, se puede pensar que 
el número de ondas es proporcional al inverso del radio del remolino ( r/1 ). 
La energía cinética turbulenta total es obtenida por integrar sobre el completo 
espacio de número de onda, esto es: 
 
   dEk 


0
 (4) 
 
La energía cinética turbulenta es la suma de la energía cinética de las tres 
componentes de velocidad fluctuante 
 
  ''''''''
2
1
2
1
iiuuwwvvuuk  (5) 
 
El espectro de energía  E es mostrado en la Figura 4. En la cual se pueden 
observar tres regiones: (1) Grandes remolinos conteniendo energía - 
producción de energía, (2) Sub-Intervalo Inercial y (3) Pequeñas escalas 
isotropicas – intervalo viscoso (disipación de energía). 
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 28
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4. Espectro de energía para un flujo turbulento. 
 
Región (1): En esta zona se tienen los grandes remolinos, los cuales llevan la 
mayor parte de energía. Estos remolinos interactúan con el flujo medio y 
extraen energía de él. Su energía es pasada a escalas ligeramente más 
pequeñas 
 
Región (2): La existencia de esta región requiere que el número de Reynolds 
sea alto (flujo completamente turbulento). Esta zona es la región de transporte 
en el proceso de cascada. La energía por unidad de tiempo ( ) viene de los 
remolinos grandes (en el intervalo de escala más bajo de la región inercial) 
hacia el intervalo de escala de disipación (en el intervalo de escala más alto de 
la región viscosa). Los remolinos en esta región son independientes de los 
remolinos encontrados tanto en la región de producción de energía como en la 
región de disipación. 
 
Región (3): En esta zona los remolinos son pequeños e isotropicos, y es aquí 
donde la disipación ocurre. Las escalas de los remolinos son dadas por las 
escalas de Kolmogorov. 
 
 
1
)(E
 
1
 
Remolinos 
Conteniendo 
Energía Sub-
Intervalo 
Inercial 
Intervalo 
Viscoso 
3/53/2)(  E
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 29
Observando que la turbulencia es fuertemente impulsada porlos grandes 
remolinos, se espera que  E sea una función de una longitud característica 
de los grandes remolinos ( ) y la velocidad de deformación media (S), la cual 
alimenta la turbulencia a través de la interacción del flujo medio y los grandes 
remolinos. Adicionalmente, la turbulencia es siempre disipativa, entonces se 
espera que  E dependa de  y  . Por definición, también debe depender de 
 . Para altos números de Reynolds, del análisis dimensional y confirmado con 
mediciones, la k puede ser expresado en términos de  y  de acuerdo a 
Taylor (1935) como:   /2/3k , k   3/2 . Aunque, hasta el momento no se ha 
presentado la cuantificación de la longitud de escala  , esta es la longitud de 
escala primaria sobre la cual se basan muchos modelos de turbulencia. En 
muchos análisis de turbulencia, se considera que existe una amplia separación 
de escalas, lo cual significa implícitamente que  es mucho más grande 
comparada a la longitud de escala de Kolmogorov (  ). Si se sustituye la 
expresión   /2/3k , en la longitud de escala de Kolmogorov se obtiene: ReT = 
  //2/1 k . El ReT es el número de Reynolds turbulento. El cual está basado en 
la velocidad característica del movimiento turbulento y está representada por 
2/1k , la longitud de escala de turbulencia (  ) y la viscosidad cinemática del 
fluido ( ). La existencia de una amplia separación de escalas es la 
consideración central del enfoque de Kolmogorov en la teoría universal de 
equilibrio. Esto es, la hipótesis que en un número de Reynolds alto, existe un 
intervalo de tamaño de remolinos entre los más grandes y los más pequeños, 
para el cual el proceso de cascada es independiente de la región de los 
remolinos grandes conteniendo energía (región 1), así que S y  pueden ser 
ignorados y los efectos directos de viscosidad molecular también. La idea es 
que un intervalo de número de ondas existe, en el cual la transferencia de 
energía por los efectos inerciales es dominante, donde  E depende 
únicamente sobre  y  (la energía del flujo,  , y por el tamaño de los 
remolinos, /1 ). Por razones dimensionales se concluye que: 
 
  3/53/2   CE , )/1()/1(   (5) 
 
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 30
Donde C es la constante de Kolmogorov, debido a que la transferencia 
inercial domina, Kolmogorov identificó este intervalo de número de ondas como 
el sub-intervalo inercial. La existencia de un sub-intervalo inercial ha sido 
verificado por muchos experimentos y simulaciones numéricas, aunque 
pasaron muchos años antes de tener datos disponibles para confirmar la 
existencia de la región. La ecuación (5) representa la ley de 3/5 del espectro 
de Kolmogorov, la cual establece que si un flujo es completamente turbulento 
(altos números de Reynolds), el espectro de energía debe exhibir un 
decaimiento de 3/5 . Esto es a menudo usado en experimentos, en LES y en 
DNS para verificar que el flujo es completamente turbulento. 
 
Habiendo establecido las diferentes escalas que se presentan en la turbulencia, 
los modelos de turbulencia pueden ser clasificados de acuerdo al tamaño de 
escalas de turbulencia que se desea modelar en la solución de las ecuaciones 
transitorias de Navier-Stokes sobre una malla computacional. La tradicional 
técnica de RANS utiliza un proceso de promedio en el tiempo para eliminar la 
necesidad de simular todas las escalas del espectro de la turbulencia. El 
enfoque RANS utiliza una sola escala de longitud para caracterizar el espectro 
completo de turbulencia (Figura 5). El uso de una escala de longitud única, 
hace que el modelador de turbulencia tenga un gran problema, ya que puede 
ser difícil encontrar una escala de longitud general, que sea apropiada para 
todos los casos. Cuando esto se puede lograr, el flujo puede ser tratado como 
un flujo estable, ya que toda la inestabilidad se asume que ocurre a escalas 
inferiores al tamaño de la malla numérica. Esto permite el uso de algoritmos 
numéricos de avance en el tiempo con gran disipación numérica ya que el 
objetivo del cálculo es disipar todas las longitudes de onda de un flujo 
transitorio durante el proceso de convergencia. Algoritmos numéricos que 
convergen a una solución de estado estacionario rápidamente puede no ser 
adecuado para las simulaciones de flujo inestable debido a que estos 
algoritmos contienen grandes cantidades de disipación numérica y pueden 
amortiguar el flujo real. 
 
 
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 31
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5. Región de espectro de energía modelado con diferentes 
modelos de turbulencia. 
 
La simulación numérica directa (DNS) intenta modelar todas las escalas de 
turbulencia. La resolución de la malla espacial y el máximo paso de tiempo 
permitido debe ser lo suficientemente pequeño para capturar las escalas 
turbulentas de Kolmogorov. La relación inversa de estas escalas con el número 
de Reynolds indica que las mallas deben ser cada vez más finas conforme el 
número de Reynolds se incrementa. Una solución mediante DNS es 
inherentemente transitoria, por lo que la modelación es por largos períodos 
para asegurar que la solución resultante es estadísticamente en estado 
permanente e independiente de las condiciones iniciales. El algoritmo numérico 
utilizado en una solución en DNS debe ser de baja disipación numérica, con el 
fin de permitir que todas las longitudes de onda del flujo turbulento persistan de 
manera natural. 
 
La disipación numérica debe ser mucho menor que la viscosidad molecular, o 
que se manifieste como un aumento en la viscosidad molecular total y 
posteriormente, como una disminución en el número de Reynolds (basado en 
la viscosidad molecular total). Las modelaciones con DNS deben ser realizadas 
sobre mallas uniformes, ya que el uso de mallas no-uniformes incrementa la 
disipación numérica, este requerimiento hace que las mallas uniformes sean 
extremamente grandes con volúmenes suficientemente pequeños para 
capturar todas las escalas y evitar el incremento de disipación numérica aún en 
Producción de 
Energía 
Intervalo 
Inercial 
Disipación 
L
og
 (
 E
(
) 
) 
(a) Espectro de energía turbulenta. 
Log () 
RANS 
Hibrido RANS/LES 
LES 
L
og
 (
 E
(
) 
) 
(b) Espectro de energía modelado con 
diferentes modelos de turbulencia 
Log () 
DNS 
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 32
bajos valores del número de Reynolds. Hasta la fecha, los cálculos mediante 
DNS se han realizado sólo para números de Reynolds bajos y geometrías 
simples. 
 
La simulación de remolinos grandes (LES) es una técnica donde únicamente se 
modelan las escalas más pequeñas de la turbulencia de un problema. Las 
escalas más pequeñas de turbulencia son casi isotrópicos, por lo que pueden 
ser modeladas con modelos de turbulencia bastante simples. Por lo tanto, un 
modelo de turbulencia simple se utiliza para simular la turbulencia en la "sub-
malla" (escalas turbulentas que no se pueden determinarse sobre la malla 
computacional) y las ecuaciones de Navier-Stokes se resuelven para las 
escalas restantes. Al igual que en DNS, las soluciones mediante LES deben 
ser en estado transitorio y se debe tener cuidado al elegir un algoritmo 
numérico con baja disipación numérica. En las soluciones con LES, también se 
debe ejecutar en un gran número de pasos de tiempo para eliminar los efectos 
de condiciones iniciales y para permitir que la solución sea estadísticamente en 
estado permanente. LES puede simular mucho más alto números de Reynolds 
que DNS con los mismos recursos computacionales. 
 
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 33
6 TÉCNICA RANS PARA MODELAR LA TURBULENCIA 
 
En un flujo estadísticamente estable (Figura 6), cada variable puede escribirse 
como la suma de un valor promediado en el tiempo y una fluctuación alrededorde ese valor, esto es: 
 
),()(),( txxtx iii   (6) 
 
donde la variable media está definida por: 
 


 

tt
t
i
t
i dttxtt
x ),(
1
lim)(  (7) 
 
El promedio en el tiempo de la variable media es la misma variable promediada 
en el tiempo, esto es: 
 
)(),(
1
lim)( i
tt
t
i
t
i xdttxtt
x  

 


 (8) 
 
El promedio en el tiempo de la parte fluctuante de la variable es cero. Esto es, 
utilizando las ecuaciones (6) y (8) se tiene: 
 
  0)()()(),(1lim)( 

 

 ii
tt
t
ii
t
i xxdtxtxtt
x  (9) 
 
donde t es el tiempo y t+T es el intervalo de promediación. Este intervalo debe 
ser grande comparado a la escala de tiempo típica de las fluctuaciones. De 
esta manera, el proceso de promediación en el tiempo aplicado a las 
ecuaciones de Navier-Stokes produce las ecuaciones de Navier-Stokes 
promediadas de Reynolds. 
 
 
 
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 34
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6. Promediación en el tiempo para un flujo estadísticamente estable. 
 
En la integración temporal se supone que t es grande en comparación con la 
escala media de las fluctuaciones (t  t1, t1 = escala temporal de la 
fluctuación), para no filtrar el comportamiento transitorio de las fluctuaciones de 
la turbulencia; pero ha de ser pequeño en comparación con la escala temporal 
del flujo principal (t  t2, t2 = escala temporal del comportamiento medio) para 
tener en cuenta el posible comportamiento transitorio de la componente media 
de la variable (Figura 7). De manera, que se puede considerar la evolución de 
las variables de turbulencia con el tiempo con una tendencia media más una 
fluctuación sobre esta. 
 
En otras palabras, la turbulencia es un fenómeno permanente cuando t  , 
aunque tenga un campo de velocidades fluctuantes, estas fluctuaciones no son 
muy significativos en comparación con el valor medio y se considera transitoria 
cuando t  t1 y t  t2 (Pope, 2000). 
 
A partir del concepto de la descomposición de Reynolds, se pueden deducir las 
ecuaciones de Navier-Stokes promediadas en el tiempo, esto se logra al 
sustituir las expresiones para cada variable y realizar un promedio temporal 
sobre toda la ecuación. Este tratamiento de las ecuaciones da como resultado 
cuatro ecuaciones de Navier-Stokes (conservación de masa y tres de 
momentum). 
T
t
u´u 
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 35
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Así, las ecuaciones de Navier-Stokes y de energía promediadas en el tiempo 
para flujo incompresible, propiedades físicas constantes y disipación viscosa 
despreciable, son (Wilcox, 1993): 
 
0


i
i
x
u
 (10) 
 
iji
j
i
jij
i
j
i Fuu
x
u
xx
P
x
u
u
t
u





















 '' (11) 
 
EjP
jjPj
j suTCx
T
xCx
T
u
t
T


















 ''1  (12) 
 
Tal como se aprecia, las ecuaciones anteriores, no han tenido gran 
modificación, exceptuando que las variables principales son las componentes 
medias (la ecuación de continuidad permanece invariante). 
 
A diferencia de la ecuación original de Navier-Stokes, la ecuación (11) tiene un 
término adicional, producto de las componentes aleatorias que son diferentes 
de cero. Este término para la ecuación de cantidad de momentum es un tensor 
t 
t2 
t1  (x,t) 
Figura 7. Representación de las escalas 
de tiempo de la variable . 
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 36
simétrico que introduce 6 nuevas incógnitas y es conocido como el tensor de 
esfuerzos de Reynolds ( '' ji uu ). El cual, a diferencia de tensor de esfuerzos 
viscosos, este se origina por la transferencia de momentum a partir del campo 
fluctuante de las velocidades. 
 
A partir del tensor de Reynolds, se define la energía cinética turbulenta como 
un medio multiplicado por la traza del tensor de esfuerzos turbulentos o tensor 
de Reynolds. La energía cinética turbulenta es muy utilizada a la hora de 
modelar las ecuaciones de turbulencia debido a su relación con el fenómeno de 
turbulencia. 
 
  ''''''''
2
1
2
1
iiuuwwvvuuk  (13) 
 
Paralelamente, al tensor de Reynolds, aparece en la ecuación (12) un campo 
fluctuante de velocidades y temperaturas, el cual introduce 3 nuevas incógnitas 
( '' juT ) conocido como el vector de flujo de calor turbulento. 
 
Finalmente, después del promedio temporal de las ecuaciones de conservación 
de masa, momentum y energía, han surgido 9 incógnitas adicionales a las 5 
que ya se tenían (son precisamente estas 9 incógnitas que permiten advertir 
las diferencias conceptuales entre régimen laminar y turbulento, es decir, las 
que imponen las diferencias entre las dos regímenes). En total se tienen 14 
incógnitas por solo 5 ecuaciones y es inevitable la obtención de nuevas 
ecuaciones. Este problema es conocido en la literatura como el “problema de 
cerradura”. La cerradura requiere del uso de algunas aproximaciones, las 
cuales usualmente toman la forma del tensor de esfuerzos de Reynolds y del 
vector de flujo de calor turbulento en términos de cantidades medias. Es 
posible derivar ecuaciones para correlaciones de orden superior, por ejemplo, 
para el tensor de esfuerzos de Reynolds, pero éstas contienen aún más 
correlaciones desconocidas y de orden superior que requieren modelarse. 
 
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 37
Para obtener nuevas ecuaciones se introducen hipótesis simplificativas para 
obtener los momentos de segundo orden en las ecuaciones de Navier-Stokes. 
Para ello, se hace uso del operador matemático dado como la ecuación (14) 
(ecuación de momentum de Navier-Stokes igualada a cero) y es relacionada 
con las componentes fluctuantes de las velocidades a través de la expresión 
(15), de manera que se obtenga una ecuación diferencial para el tensor de 
esfuerzos. 
 
0)( 






















j
i
jij
i
j
i
i x
u
xx
P
x
u
u
t
u
uM  (14) 
 
0)()( ''  jiij uMuuMu (15) 
 
A partir de la ecuación (15) se obtiene la ecuación para el tensor de esfuerzos 
de Reynolds, esta se desglosa en sus diferentes términos como: 
 
jijijijiji PdC   (16) 
 
donde: 
 
k
ji
k
ji
ji x
uu
u
t
uu
C






''''
 (Acumulación y transporte convectivo) 
 













 ki
j
kj
i
kji
k
ji
k
ji
uPuP
uuu
x
uu
x
d 




''''
'''
''
 (Transporte difusivo) 
 
k
i
kj
k
j
kiji x
u
uu
x
u
uuP





 '''' (Producción a causa de los esfuerzos) 
 














i
j
j
i
ji x
u
x
uP
'''

 (Redistribución) 
 
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 38
k
j
k
i
ji x
u
x
u





''
2 (Disipación) 
 
El término ji es el esfuerzo de presión, el cual promueve la isotropía de la 
turbulencia y ji es la disipación de los esfuerzos turbulentos, la cual es la 
encargada de la transformación de energía mecánica en calor en las pequeñas 
escalas de la turbulencia. 
 
Nótese que si se toma la traza de la ecuación (16) y se dividepor dos, se 
consigue la ecuación para la energía cinética turbulenta (ecuación 13). Cuando 
se toma la traza del término de esfuerzo de presión, este se desvanece a cero 
( 02
''




i
i
ii x
uP

 ), debido a continuidad. Entonces, se puede decir que el 
término de esfuerzo de presión en la ecuación (16) no agrega o destruye 
alguna energía cinética turbulenta, el solamente redistribuye la energía entre 
las componentes normales. Siguiendo el razonamiento físico de Hinze (1975), 
ji actúa para reducir los grandes componentes de esfuerzos normales y 
distribuye esta energía hacia otras componentes normales. 
 
De la transformación matemática anterior se han obtenido 6 nuevas ecuaciones 
para el tensor de esfuerzos de Reynolds, pero también han aparecido 22 
nuevas incógnitas debido a los nuevos tensores triples y a otras variables 
nuevas que han surgido (10 debido a ''' kji uuu , 6 debido a ji y 6 debido a 

''
i
k
uP
x
 ). 
 
De lo anterior, es evidente la posibilidad de cerrar el problema de turbulencia 
(mediante la aplicación de momentos de orden superior) debido a los términos 
no lineales de las ecuaciones de Navier-Stokes, ya que cada transformación 
incrementaría el número de nuevas incógnitas. Esto es lógico, ya que cada 
transformación matemática introduce un principio físico adicional (Wilcox, 
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 39
1993). Aplicando un procedimiento similar a la ecuación de la energía se llega 
a la misma conclusión. 
 
En la mayoría de los modelos de la familia del RANS es usada la energía 
cinética turbulenta ( k ) y la disipación de energía cinética turbulenta ( ) como 
base para la simulación de las incógnitas discutidas anteriormente. La 
diferencia entre cada modelo RANS radica en las aproximaciones para las 
correlaciones desconocidas. Existen tres ramas para abordar el problema de 
turbulencia por la técnica del RANS: modelos de esfuerzos de Reynolds 
(Reynolds Stress Models), modelos de esfuerzos algebraicos (Algebraic Stress 
Models) y modelos de viscosidad turbulenta (Eddy Viscosity Models). 
 
6.1 Modelos de Esfuerzos de Reynolds (RSM) 
 
Este método es el más complejo de los modelos clásicos (también es conocido 
como el modelo de cerradura de segundo momento), tal como lo indica su 
nombre, se caracteriza por cerrar el sistema de ecuaciones a partir de la 
simulación directa de cada una de las incógnitas del tensor de Reynolds 
(ecuación (16)) y la resolución de las 6 ecuaciones existentes para el tensor, 
pero se observó, que la ecuación (16) tiene términos adicionales desconocidos. 
De las ecuaciones de Navier-Stokes se podrían deducir expresiones de 
transporte para las cantidades desconocidas, pero incrementaría el número de 
incógnitas al sistema de ecuaciones diferenciales parciales. En vez de derivar 
nuevas expresiones, se utilizan modelos para los términos desconocidos en el 
tensor de esfuerzos de Reynolds. Como por ejemplo, la expresión dada por 
Daly y Harlow (1970) para la triple correlación en el término de difusión de la 
ecuación (16) como (Wilcox, 1993): 
 
m
ji
mkskji x
uu
uu
k
Cuuu



''
'''''

 (17) 
 
De acuerdo a la expresión anterior, además de las 6 ecuaciones para el tensor 
de Reynolds, se necesita un par de ecuaciones adicionales para el cálculo de 
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 40
la energía cinética turbulenta ( k ) y la disipación ( ). Versteeg y Malalasekera 
(1995) comentan que la principal ventaja de los RSM es la exactitud con que se 
calculan las propiedades del flujo medio y todos los esfuerzos de Reynolds 
para flujos simples y complejos, pero los cálculos tienen un elevado costo 
computacional (debido al número total de ecuaciones diferenciales parciales 
que se resuelven) y que además los modelos de RSM no están ampliamente 
validados como los modelos de viscosidad turbulenta (EVM). 
 
6.2 Modelos de Esfuerzos de Algebraicos (ASM) 
 
Los modelos de esfuerzos algebraicos son una manera económica de tomar en 
cuenta los esfuerzos de Reynolds sin resolver todos los términos de las 
ecuaciones de transporte de Reynolds. El elevado costo computacional de 
resolver los RSM es causado por los gradientes de esfuerzos de Reynolds que 
aparecen en los términos convectivos y difusivos en la ecuación (16). Rodi 
(1984) propusó la idea: si los términos de transporte convectivo y difusivo son 
removidos o modelados, las ecuaciones de esfuerzos de Reynolds pueden ser 
reducidas a un grupo de ecuaciones algebraicas. El método más simple es 
despreciar los términos convectivos y difusivos. Un método más general es 
considerar que los términos convectivos y difusivos de los esfuerzos de 
Reynolds son función de la energía cinética turbulenta y su disipación, esto es: 
 



 kPP
P
C
C
kuu jiji
D
ijji 




 












3
2
13
2
1
'' (18) 
 
Los esfuerzos de Reynolds aparecen en ambos lados de la ecuación, de lado 
derecho se encuentran los términos de producción jiP , así que un grupo de 
seis ecuaciones algebraicas simultáneas (con seis esfuerzos de Reynolds 
desconocidos) se formará y podrá ser resuelto por la inversión de una matriz o 
alguna técnica iterativa si k y  son conocidas. Por lo tanto, en los ASM se 
necesita resolver en conjunto un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales 
con un par de ecuaciones diferenciales parciales (ecuaciones de k y  ). 
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 41
 
6.3 Modelos de Viscosidad Turbulenta (EVM) 
 
Estos modelos son sin duda, los más populares en el mundo de la ingeniería. 
La técnica de los EVM consiste en la modelación de los esfuerzos turbulentos 
considerando una relación de estos con los gradientes de velocidad y la 
viscosidad turbulenta ( t ), la idea surge de la analogía del cálculo de 
esfuerzos viscosos en los flujos laminares. Esta hipótesis es conocida como la 
“Consideración de Boussinesq”. 
 
La alternativa que esta técnica utiliza es la de aproximar los términos del tensor 
de esfuerzos de Reynolds ( '' ji uu ) a través de una viscosidad turbulenta ( t ), 
esto por analogía con la viscosidad molecular (Consideración de Boussinesq). 
Este concepto puede ser expresado como: 
 
ji
i
j
j
i
tji kx
u
x
u
uu 
3
2'' 












 (19) 
 
Donde, t es la viscosidad turbulenta o remolino de viscosidad, la cual, en 
contraste con la viscosidad molecular ( ), no es una propiedad del fluido pero 
depende fuertemente del estado local de la turbulencia y puede variar 
significativamente desde un punto a otro en el fluido. La introducción de la 
ecuación (19) por si sola no constituye un modelo de turbulencia, pero si 
proporciona el marco para construir uno. El principal problema es ahora, como 
determinar la distribución de la viscosidad turbulenta. 
 
En la ecuación (19) la parte de isotropía está representada por   jik3/2 
(esfuerzos normales) y la parte no-isotrópica esta dada por el 
tensor   jijiji kuua 3/2''  (esfuerzos tangenciales o cortantes). De acuerdo a 
la consideración de Boussinesq el tensor no-isotrópico es determinado por los 
gradientes de velocidad media (Pope, 2000): 
 
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 42














i
j
j
it
ji x
u
x
u
a


 (20) 
 
En los modelos de viscosidad turbulenta, la viscosidad turbulenta es 
proporcional a una escala de velocidad y a una longitud característica del 
movimiento turbulento, esto es: 
 


 ut  (21)En directa analogía al transporte de momento turbulento, los flujos de calor 
turbulentos o transporte de masa son considerados a estar relacionados a los 
gradientes de la cantidad transportada (analogía de Reynolds: similar a la ley 
de Fourier para conducción de calor o la ley de Fick para difusión molecular), 
esto es: 
 
i
ti x
T
Tu


'' (22) 
 
donde: t es la difusividad turbulenta. Al igual que la viscosidad turbulenta, t 
no es una propiedad del fluido pero depende del estado local de la turbulencia. 
De hecho, la analogía de Reynolds entre el transporte de calor o masa y 
transporte de momento sugiere que t este relacionada a la viscosidad 
turbulenta a través de: 
 
T
t
t 

 (23) 
 
Donde, T es el número de Prandtl turbulento (transporte de calor) o número 
de Schmidt (transporte de masa). Resultados experimentales han mostrado 
que el T varia ligeramente a través del flujo (Rodi, 1984). Por lo tanto, muchos 
modelos consideran en la ecuación (23) el número de Prandtl turbulento o 
Schmidt como una constante. 
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 43
 
Una de las críticas más importantes es la consideración de isotropía para la 
viscosidad turbulenta, ya que la consideración de Boussinesq modela todas las 
componentes del tensor de esfuerzos de Reynolds (en un mismo punto a un 
tiempo) con el mismo valor de viscosidad turbulenta, además la consideración 
permite que los esfuerzos no-isotrópicos dependan linealmente de los 
gradientes de velocidad (alineando los esfuerzos no-isotrópicos con los 
esfuerzos medios del tensor de esfuerzos viscosos). Esta consideración de 
isotropía es adecuada para muchos problemas de ingeniería, en los cuales los 
esfuerzos normales y cortantes son del mismo orden o muy pequeños en 
comparación con los términos inerciales y gradientes de presión. Sin embargo, 
existen problemas (flujos sobre superficies curvas, flujos en fluidos rotando, 
flujos con separación de capa límite, etc.) en los cuales, los modelos EVM son 
inexactos debido a la consideración de isotropía, la cual es una hipótesis muy 
restrictiva y una limitante de estos. Aunque actualmente, existen científicos 
dedicados al estudio de la turbulencia para corregir los efectos de isotropía en 
los EVM tales como Speziale y colaboradores (Speziale, 1987; Thangam y 
Speziale, 1992; Gatski y Speziale, 1993). Speziale es uno de los principales 
pioneros en proponer relaciones no lineales para el tensor de esfuerzos no-
isotrópico. 
 
Para el cálculo de la viscosidad turbulenta, t , se aplica la aproximación de 
modelo de turbulencia en cuestión en la técnica de RANS-EVM. 
 
En la técnica del RANS-EVM existen modelos de cero ecuación, de una 
ecuación y de dos ecuaciones. Esta nomenclatura se refiere a la cantidad de 
ecuaciones diferenciales adicionales para cerrar el problema de turbulencia. De 
cada grupo de modelos, existen subgrupos, pero a efecto de realizar una 
introducción en el mundo de la turbulencia, solo se explicarán brevemente las 
características básicas de cada uno de ellos para pasar posteriormente a 
profundizar en los modelos de 2 ecuaciones. 
 
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 44
Es interesante comentar que cada uno de los grupos de los modelos del 
RANS-EVM tienen como objetivo final, calcular o determinar la viscosidad 
turbulenta ( t ). Esto permite obtener el valor de los esfuerzos turbulentos con 
el fin de tener el número mínimo de expresiones para cerrar el problema de 
turbulencia. 
 
Otra categoría de modelos de viscosidad turbulenta son los no-lineales 
(NLEVMs, Non-Linear Eddy-Viscosity Models), los cuales modelan los 
esfuerzos turbulentos como una función no-lineal de los gradientes de 
velocidad media, donde las escalas de turbulencia se determinan mediante la 
solución de las ecuaciones de transporte (usualmente k + otra). Estos modelos 
constituyen el punto intermedio entre los EVM y los RSTM. Por un lado, estos 
modelos producen el comportamiento turbulento cuantitativamente correcto en 
ciertos flujos y son un poco más costosos computacionalmente que los EVM. 
 
6.3.1 Modelos de Cero Ecuación (EVM-0-Ecuación) 
 
Estos son los modelos más simples de la familia de EVM, ya que no se 
resuelve ninguna ecuación diferencial, en vez de ello, se utiliza una ecuación 
algebraica para obtener la viscosidad turbulenta. Entre el desarrollo de estos 
modelos se encuentra la teoría de longitud de mezcla de Prandtl, la cual es 
desde 1925, la que dio pie al todavía popular entre ingenieros, el modelo de 
longitud de mezcla de Prandtl (Wilcox, 1993). Este modelo es el más simple de 
turbulencia y no requiere solución de ninguna ecuación de transporte de 
cantidades de turbulencia. En la hipótesis de longitud de mezcla, Prandtl 
considera que la escala de velocidad es: 
 
y
u
u




 (24) 
 
Entonces, sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (21) se obtiene una 
expresión para la viscosidad turbulenta como: 
 
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 45
y
u
t 

 2 (25) 
 
Donde “” es la longitud de mezcla que representa la longitud de escala del 
flujo turbulento. Es conocido que “” puede tener diferentes formas para 
diferentes tipos de flujos. Por ejemplo, en el problema de capa limite sobre una 
pared, la relación de la longitud de mezcla es: 
 
y (26) 
 
Donde K es la constante de von Kármán (0.41) y “ y ” es la distancia desde la 
pared. Aunque la hipótesis del modelo de longitud de mezcla es fácil de usar y 
muestra buenos resultados para algunos problemas simples, el modelo tiene 
las siguientes desventajas: 
 
 El modelo no puede predecir exitosamente problemas complejos en 
aplicaciones prácticas, tales como flujos recirculatorios que ocurren 
frecuentemente en ingeniería. 
 El modelo implica que la viscosidad y conductividad térmica efectiva se 
desvanezcan donde los gradientes de velocidad son cero. Esto no es 
generalmente verdadero y puede producir resultados erróneos. 
 
Finalmente, la hipótesis del modelo de longitud de mezcla no toma en cuenta 
los efectos de convección y difusión en el modelo. 
 
6.3.2 Modelos de Una Ecuación (EVM-1-Ecuación) 
 
Para sobrellevar las limitaciones de la hipótesis de longitud de mezcla, 
diferentes modelos de turbulencia han sido construidos, los cuales toman en 
cuenta cantidades de transporte de turbulencia al resolver alguna ecuación 
diferencial para ello. Un importante paso en el desarrollo de modelos que usan 
una ecuación diferencial fue relacionar la escala de velocidad con los 
gradientes de velocidad medios, en la cual se determina esta escala a partir de 
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 46
una ecuación de transporte. La escala de velocidad físicamente más 
significativa es 2/1k , donde k es la energía cinética del movimiento turbulento 
definida por la ecuación (13). De acuerdo con la ecuación (13), k es una 
medida directa de la intensidad de las fluctuaciones de la turbulencia en las tres 
direcciones. Cuando la escala de velocidad, 2/1k , es usada, la relación para la 
viscosidad turbulenta queda expresada como: 
 
kCt   (22) 
 
Donde, C es una constante empírica. La ecuación anterior es conocida como 
la expresión de Kolmogorov-Prandtl, debido a que ellos