Algebra-Superior

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Índice general
1. Lógica matemática 9
1.1. Formas proposicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1. Operaciones entre proposiciones lógicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2. Construcción de tablas de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.1. Operaciones con fórmulas lógicas y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.2. Tautologías y falacias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.3. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3. Transformación de fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.1. Formas normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.2. Consecuencias lógicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.3. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4. Expresiones de la lógica de predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.1. Leyes de la lógica de predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.4.2. Interpretación de fórmulas en la lógica de predicados . . . . . . . . . . . . . 45
1.4.3. Forma normal prenexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.4.4. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2. Teoría de conjuntos 52
2.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1.1. Formas de expresar un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2. Conjuntos finitos e infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.1. Conjunto finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.2. Conjunto infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.3. Noción de pertenencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.4. Igualdad de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.5. Conjuntos vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.6. Conjunto unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.7. Conjunto universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.8. Subconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.9. Conjunto de partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2.10. Conjunto potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3. Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.1. Unión de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.2. Propiedades de la unión de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.3. Intersección de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.4. Propiedades de la intersección conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.5. Diferencia de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1
ÍNDICE GENERAL 2
2.3.6. Complemento de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.3.7. Propiedades del complemento de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.8. Diferencia simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3.9. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3. Números reales 76
3.1. Números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2. Números primos y compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3. Números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4. Números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.5. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.6. Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.7. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.8. Números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.9. Igualdades y desigualdades numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.10. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.11. Símbolo sumatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.12. Símbolo producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.13. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.14. Inducción matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.15. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.16. Factorial y fórmula del binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.17. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.18. Progresiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.19. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4. Expresiones algebraicas 156
4.1. Expresión numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.2. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.3. Potencia con exponente entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.4. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.5. Potencia con exponente racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.6. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.7. Potencia de un número positivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.8. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.9. Magnitudes directa e inversamente proporcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.10. Razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
4.10.1. Proporcionalidad directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.10.2. Proporcionalidad inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.10.3. Proporción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.11. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.12. Regla de tres y porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
4.12.1. Regla de tres simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
4.12.2. Regla de tres compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4.12.3. Porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.13. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
ÍNDICE GENERAL 3
5. Polinomios 215
5.1. Definiciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.2. Suma, resta y producto de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.3. Produtos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.4. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 222
5.5. División de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.5.1. Método normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.5.2. Método de coeficientes separados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.5.3. Método de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.5.4. Regla de Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.5.5. Teorema del resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5.6. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.7. Métodos de factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.7.1. Factor común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.7.2. Método de identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.7.3. Método del aspa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.7.4. Método de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.7.5. Método de artificios de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
5.7.6. Factorización recíproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
5.8. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
5.9. Máximo común divisor y mínimo común multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5.9.1. Divisiones sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
5.9.2. Por factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.10. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
5.11. Fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
5.12. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
6. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 258
6.1. Ecuaciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
6.2. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
6.3. Sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones en dos incógnitas . . . . . . . . . 269
6.4. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
6.5. Sistemas de ecuaciones lineales de más de 2 variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
6.6. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
6.7. Fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
6.8. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
6.9. Ecuaciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
6.10. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
6.11. Ecuación simétrica de tercer y cuarto grados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
6.12. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
6.13. Ecuaciones de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
6.14. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
6.15. Sistemas de ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
6.16. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
7. Desigualdades e inecuaciones 356
7.1. Desigualdades con una incógnita y de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
7.1.1. La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
7.1.2. Segmentos, desigualdades e intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
7.1.3. Operaciones entre desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
ÍNDICE GENERAL 4
7.1.4. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
7.2. Desigualdades de primer grado con una incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
7.3. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
7.4. Desigualdad de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
7.5. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
7.6. Desigualdades de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
7.7. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
8. Funciones algebraicas 389
8.1. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
8.2. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
8.3. Función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
8.4. Paridad de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
8.5. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
8.6. Monotonía de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
8.7. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
8.8. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
8.9. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
8.10. Gráfica de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
8.11. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
9. Funciones exponenciales y logarítmicas 444
9.1. Expresiones exponenciales y logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
9.2. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
9.3. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
9.4. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
9.5. Desigualdades exponenciales y logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
9.6. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
9.7. Funciones exponenciales y logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
9.8. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
10.Funciones hiperbólicas 475
10.1. Funciones hiperbólicas directas e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
10.1.1. Función seno hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
10.1.2. Función coseno hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
10.1.3. Función tangente hiperbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
10.1.4. Función cotangente hiperbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
10.1.5. Función secante hiperbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
10.1.6. Función cosecante hiperbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
10.2. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
11.Funciones trigonométricas 487
11.1. Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
11.1.1. Medición del ángulo en grados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
11.1.2. Medida radial del ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
11.2. Círculo unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
11.3. Funciones trigonométricas de unángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
11.4. Identidades trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
11.5. Fórmulas de adición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
11.6. Fórmulas de arcos dobles y mitad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
ÍNDICE GENERAL 5
11.7. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
11.8. Ecuaciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
11.9. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
11.10.Desigualdades trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
11.11.Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
11.12.Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
11.12.1.Función seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
11.12.2.Función Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
11.12.3.Función Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
11.12.4.Función Cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576
11.13.Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
11.14.Expresiones trigonometricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
11.15.Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
11.16.Ecuaciones trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
11.17.Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
11.18.Funciones trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592
11.18.1.Función arco seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
11.18.2.Función arco coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596
11.18.3.Función arco tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
11.18.4.Función arco cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599
11.19.Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
12.Curvas dadas implícitamente 603
12.1. Definiciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
12.2. Curvas implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604
12.3. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606
13.Curvas dadas paramétricamente 607
13.1. Ecuaciones parametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
13.2. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608
13.3. Curvas paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609
13.4. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612
14.Curvas dadas en coordenadas polares 614
14.1. Transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614
14.2. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616
14.3. Gráfica en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618
14.4. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
14.5. Intersección de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623
14.6. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624
15.Números complejos 625
15.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625
15.2. Operaciones con los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638
15.3. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647
15.4. Potencia de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660
15.4.1. Potencia de la unidad imaginaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660
15.4.2. Potenciación de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661
15.4.3. Extracción de la raíz cuadrada de un número complejo . . . . . . . . . . . . 662
15.5. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664
ÍNDICE GENERAL 6
15.6. Forma trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677
15.6.1. Forma trigonométrica de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . 677
15.6.2. Producto de números complejos dados en forma trigonométrica . . . . . . . 684
15.6.3. División de números complejos dados en forma trigonométrica . . . . . . . 685
15.6.4. Potenciación de un número complejo dado en forma trigonométrica . . . . . 686
15.6.5. Radicación de números complejos dados en forma trigonométrica . . . . . . 688
15.6.6. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695
15.7. Forma exponencial de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701
15.8. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
Introducción
He aquí una obra de colaboración, en que se pretende aunar experiencias diversas de publica-
ciones anteriores y practica docente, mediante una labor de conjunto y critica mutua. Destinado el
libro a servir de base a cursos formativos de iniciación universitaria en el Departamento de Ciencias
Exactas, la selección del material se ha guiado por los planes de estudio de las Universidades y
Escuelas Politécnicas, pero sin sujetarse a ningún programa determinado, antes bien, con afán de
superación y aliento renovador.
Un curso es una relación de cuestiones fundamentales, lógicamente encadenadas; es una ex-
cursión exploradora por el campo de una ciencia; es como un plano que sirve de preparación y
guía para el estudio de los tratados. Un tratado general debe contener, en cambio, una exposición
sistemática del organismo de una ciencia; debe ser la cantera de donde puedan extraerse cursos
variados.
Pero un tratado no debe ser una enciclopedia, ni puede ser un libro de historia de la ciencia. No
busque, pues, el lector en estas páginas multitud de cuestiones con las que acaso está encariñado,
pero que por su interés muy secundario o exclusivamente histórico no deben figurar en un libro
moderno; pues, además de distraer la atención, quitan tiempo y espacio preciosos para poder llegar
en plazo prudencial hasta los problemas actuales de la matemática superior.
También he puesto especial cuidado en omitir toda clase de detalles superfluos o secundarios,
que sólo cansancio y desorientación producen. Deteniéndose solamente en las estaciones principales,
es posible llegar en poco tiempo bastante lejos; mientras que perderse en una selva de minucias y
casos particulares, que confunden y oscurecen los troncos primarios, es condenarse voluntariamente
a no salir nunca de lo elemental.
No busque tampoco el lector en estas páginas disquisiciones metafísicas sobre los números ir-
racionales, imaginarios, etc. Pasada ya la época subsiguiente a toda ampliación del concepto de
número; vencida la inevitable resistencia que la inercia opone siempre a todo concepto nuevo, estas
nociones han perdido desde hace casi medio siglo todo su antiguo misterio.
Huyendo de la general tendencia a elevar por abstracción los asuntos elementales, he prescindi-
do de todo formalismo, esforzándome por el contrario, en elementalizar las cuestiones difíciles sin
menoscabo del rigor.
El rigor constituye hoy un mandato imperativo en todo libro de matemática. Toda demostración
no rigurosa se considera comoun valor nulo.
En un curso de Algebra, el alumno dispone básicamente de tres recursos: el profesor, el libro y
el tiempo que dedique al trabajo duro. Este último es el más importante. Es durante ese tiempo,
7
ÍNDICE GENERAL 8
cuando trata de resolver problemas y utiliza el libro para aprender a resolverlos, cuando obtiene
el mayor provecho. Este libro de Algebra Superior, está diseñado para utilizarse estudiando los
ejemplos que facilitan el aprendizaje de las técnicas del álgebra.
El objetivo fundamental de este trabajo, es proporcionar un libro a partir del cual, el estudi-
ante de Algebra adquiera en el curso la mayor destreza y profundidad en la resolución de problemas.
El estudiante, que por sí solo utiliza una colección de problemas, ha de ser su propio corrector;
por tanto, debe observar con el mayor cuidado si no ha omitido alguna parte del razonamiento, y
debe ser, además, muy exigente consigo mismo.
Este trabajo lo dedico a la memoria de mis padres:
Luís García y Gladys Arcos.
Para consultas y sugerencias, remitirse a jofregaar@hotmail.com
Joe García Arcos
Profesor de Matemáticas
Escuela Politécnica del Ejército
Sangolquí, Marzo de 2011
Capítulo 1
Lógica matemática
1.1. Formas proposicionales
La lógica matemática se ocupa del análisis de las proposiciones y demostraciones del razon-
amiento lógico, proporciona ideas claras y precisas sobre la naturaleza de la conclusión deductiva,
desarrolla el pensamiento funcional y hace una contribución esencial al desarrollo del pensamiento
científico y creador. Esto se manifiesta, por ejemplo, en la correcta comprensión de las estructuras
lógicas y las tareas formales, en el reconocimiento de las semejanzas de los diferentes fenómenos
lógicos, en la aplicación de las leyes y reglas lógicas y en la pretensión de claridad, sencillez y
economía en la expresión lingüística.
Una de las propiedades de la forma de expresión matemática, es la de representar los objetos,
las imágenes mentales, los vínculos y las relaciones mediante símbolos (signos), y combinarlos entre
sí.
Definición 1.1 Constante
Una constante es un signo que tiene una determinada significación fija.
Es decir; una constante tiene, en todo el desarrollo de una investigación o en la solución de una
tarea, siempre la misma significación.
Definición 1.2 Variable
Una variable es un signo que representa cualquier elemento de un dominio básico previamente
establecido.
Esto quiere decir que una variable se puede sustituir por el signo de cualquier elemento del
dominio básico. Entonces se habla de la sustitución de la variable, o de la interpretación de la
variable.
Definición 1.3 Término
Por término entendemos las constantes, las variables y sus combinaciones mediante los signos de
operación y los signos técnicos.
Los términos son, por tanto, las denominaciones de los objetos matemáticos o las combina-
ciones de signos donde se presentan variables, constantes y signos de operaciones, y que mediante
la interpretación de las variables se omiten en las designaciones de los objetos matemáticos. El ob-
jeto matemático, identificado como un término, y en cuya denominación se omite este calificativo
9
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 10
después de la interpretación de las variables, se conoce como valor del término.
Las proposiciones son estructuras lingüísticas cuyo valor de verdad es, o verdadero o falso. La
lógica clásica, a través de sus axiomas y principios, ha hecho algunas consideraciones sobre el con-
tenido de verdad de una proposición. El principio de la bivalencia expresa: Toda proposición o es
falsa o es verdadera.
De este principio se pueden deducir dos teoremas.
1. El teorema de la tercera posibilidad excluida, expresa:
Toda proposición es falsa o verdadera.
2. El teorema de la contradicción excluida, expresa:
Ninguna proposición es falsa y verdadera al mismo tiempo.
En las observaciones posteriores veremos que los dos teoremas, considerados en conjunto, ex-
presan exactamente lo mismo que el principio de la bivalencia. Por consiguiente, se puede proceder
a la inversa; es decir deducir el teorema de la bivalencia a partir del principio de la tercera posibil-
idad excluida y del principio de la contradicción excluida.
A cada proposición se le hace corresponder un valor de verdad, o falso F o verdadero V. Es por
esta razón que también se habla de una lógica bivalente. La asignación de los valores de verdad F o
V de una proposición, no es tan sencillo de determinar. Aunque en el principio de la bivalencia se
expresa claramente que una proposición es falsa o verdadera, no se puede decir inmediatamente si
cada proposición es falsa o verdadera. En matemáticas existen actualmente muchas proposiciones
que hasta el momento no han podido ser demostradas, concebida, la demostración, como una
aseveración de la verdad, a continuación se dan dos ejemplos de este tipo de proposiciones.
Ejemplo 1.1 La proposición: ¨Todo número par que sea mayor que 4, se puede representar
como la suma de dos números primos, excepto el 2¨, existe desde el año 1742. Hasta el momento
no se ha podido demostrar si es una proposición falsa o verdadera. (Suposición de Goldbach).
Definición 1.4 Forma proposicional
Una estructura lingüística que contiene por lo menos una variable libre, se convierte en una proposi-
ción, cuando se sustituyen todas las variables por símbolos, que denotan objetos del dominio básico,
recibe el nombre de forma proposicional.
Ejemplo 1.2 8 + x <12 con x ∈ N no representa evidentemente ninguna proposición. Esta
sucesión de signos no es ni falsa ni verdadera. Mediante las sustituciones de la variable x podemos
formar proposiciones falsas y verdaderas. Así, con las sustituciones 0, 1, 2, 3 obtenemos siem-
pre proposiciones verdaderas, y cualquier otra sustitución dará lugar a proposiciones falsas. En
este caso, encontramos una expresión lingüística especial que no es una proposición, pero que, sin
embargo, se convierte en una proposición mediante la sustitución de la variable.
A las expresiones matemáticas de este tipo se las denomina formas proposicionales. Las variables
en tales expresiones se denominan variables libres. Las formas proposicionales surgen cuando entre
los términos que contienen variables se coloca un determinado signo de relación. De forma análoga
al convenio establecido para la notación de términos, denotamos una forma proposicional con
P(x1, x2, ..., xn). Todos los elementos cuyos símbolos convierten una forma proposicional en una
proposición, constituyen el conjunto solución de esta forma proposicional. El conjunto solución
comprende solamente aquellos elementos del dominio básico cuyos símbolos convierten una forma
proposicional en una proposición verdadera. Las formas proposicionales se pueden clasificar en la
forma siguiente: aquellas formas proposicionales que mediante una sustitución por lo menos, se
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 11
pueden transformar en una proposición verdadera, se denominan interpretables. Todas las demás
se denominan no interpretables. Entre las interpretables se destacan las formas proposicionales de
validez general, que son aquellas que al hacer cualquier sustitución por los elementos del dominio
básico se convierten en una proposición verdadera.
Ejemplo 1.3 (x+ y)2 = x2 + 2xy+ y2 ∀ x, y ∈ R. En toda sustitución de x e y por elementos
del dominio básico se obtiene una proposición verdadera. Este ejemplo es, por tanto, una forma
proposicional de validez general en el conjunto de los números reales. El conjunto solución es el
conjunto de todos los pares (x, y) donde x e y son elementos de un dominio básico; luego, en este
caso coincide con el conjunto base de solución. Este ejemplo trata entonces de una identidad.
Ejemplo 1.4 Sea (x+ y)2 = x2 + y2 ∀ x, y ∈ R.
(x+ y)2 x2 + y2 Valor de verdad
0 0 V
9 9 V
36 36 V
9 5 F
361 193 F
La presente tabla muestra que a partir de esta forma proposicional se pueden obtener proposi-
ciones falsas y verdaderas. El conjunto solución es, un subconjunto propio del conjunto base desolución. El conjunto solución consta, de los pares ordenados de elementos del dominio básico.
Este ejemplo trata entonces de una neutralidad.
Ejemplo 1.5 x2 − 5x+ 10 = 0 x ∈ R. En el dominio básico no hay elementos que satisfagan
esta forma proposicional, es decir, toda sustitución la convierte en una proposición falsa. Este
ejemplo trata por consiguiente de una contradicción.
1.1.1. Operaciones entre proposiciones lógicas
En esta sección trataremos exclusivamente las proposiciones y las formas proposicionales.
Primeramente, introduciremos algunas combinaciones de proposiciones, mediante las cuales a su vez
se obtienen otras proposiciones. Después obtendremos mediante definiciones las funciones proposi-
cionales y más tarde las funciones veritativas. En todas las operaciones con proposiciones señalare-
mos el proceso de abstracción circunstancia - proposiciones - valores de verdad.
Definición 1.5 Proposición
Denominaremos proposición a una frase narrativa que puede calificarse como verdadera o falsa,
pero no ambas al mismo tiempo.
Los valores verdadero y falso mencionados en la definición se denominan valores de certeza o
valores de verdad. Así cuando una proposición se considere verdadera o falsa diremos que dicha
proposición tiene valor de certeza verdadero o falso.
Ejemplo 1.6 Las siguientes frases son proposiciones:
- La tierra es plana.
- 547 es un número primo.
- Los números irracionales son complejos.
- Los números complejos son un subconjunto de los reales.
- La Escuela Politécnica del Ejercito es un instituto de educación superior.
- No es verdadero que 3 sea un entero par o 7 un primo.
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 12
- 2n = n2 para alguna n ∈ N.
- 289301 + 1 es un número primo.
- Si un árbol tiene n vértices, entonces tiene exactamente n - 1 aristas.
- 2n + n es un número primo para una infinidad de n.
- Todo entero par mayor que 4 es la suma de dos números primos.
- Las matemáticas son divertidas.
- Los árboles son más interesantes que las matrices.
Ejemplo 1.7 Las siguientes frases no son proposiciones:
- ¿Porqué es importante la lógica proposicional?
- 323789 ext 205
- ¿Porqué es importante la inducción?
- x - y = y - x.
Es importante hacer notar que el valor de verdad de una proposición no es trabajo ni parte
de la lógica aquí tratada, por tal razón dichos valores los supondremos ya asignados. Todas las
proposiciones constituyen una clase que, a su vez, se descompone en dos subclases, en la clase de
las proposiciones verdaderas V y en la clase de las proposiciones falsas F.
La verdad o falsedad de las proposiciones no puede ser demostrada inmediatamente en todos
los casos, pero, para toda proposición, independientemente de que aún no haya sido comprobada ni
refutada, solo cabe una de las dos posibilidades, es verdadera V o es falsa F. El proceso de negación
lo denominamos operación lógica de un lugar. Los enlaces de dos proposiciones, como resultado de
los cuales se obtiene una proposición única se denominan operaciones lógicas de dos lugares.
Definición 1.6 Función proposicional de n-lugares
Cuando a cada n-uplo de proposiciones se le hace corresponder unívocamente una proposición, esta
correspondencia se denomina función proposicional de n-lugares.
Se entiende por n-uplo, un conjunto de n elementos dependientes del orden, en este caso proposi-
ciones. De todas las funciones proposicionales, las llamadas funciones proposicionales clásicas tienen
una gran importancia por las razones siguientes:
a) porque las restantes funciones se pueden representar en términos de estas.
b) porque en la lógica formal tradicional se han tratado especialmente las cinco siguientes fun-
ciones:
Nombre Argumento Funciones proposicionales Número de lugares
Negación P No P Uno
Conjunción P, Q P y Q Dos
Disyunción P, Q P o Q Dos
Implicación P,Q Si P, entonces Q Dos
Equivalencia P, Q P exactamente cuando Q Dos
En estas funciones proposicionales el valor de verdad de la proposición resultante depende so-
lamente de los valores de verdad de los argumentos correspondientes, y no de su contenido, y se
denominan funciones proposicionales extensionales. Además de las funciones proposicionales clási-
cas existen otras funciones proposicionales que son extensionales.
En el transcurso de las observaciones hemos hecho abstracción del contenido concreto de las
proposiciones o de los enlaces de proposiciones y, alcanzado las etapas de abstracción de las fun-
ciones proposicionales.
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 13
Continuamos el proceso de abstracción sobre la base de las afirmaciones ya hechas. Si también
realizamos el paso de transición de las proposiciones a los valores de verdad, entonces obtenemos
las funciones veritativas correspondientes a las funciones proposicionales.
Definición 1.7 Función veritativa de n-lugares
Cuando a cada n-uplo de valores de verdad se le hace corresponder unívocamente un valor de
verdad, entonces esta correspondencia recibe el nombre de función veritativa de n lugares.
Las funciones proposicionales y las funciones veritativas pertenecen a diferentes niveles de ab-
stracción. Por este motivo es conveniente introducir otros símbolos para las funciones veritativas.
Con la negación de una proposición queremos expresar la idea de que esto no se refiere a la cir-
cunstancia que a ella corresponde. Cuando negamos una proposición P, entonces obtenemos otra
proposición ¬P, es decir, la negación de P. A través de esta operación obtenemos una proposición
cuyo valor de verdad es contrario al valor de verdad de P.
Frecuentemente en el lenguaje común, una negación se expresa mediante prefijos que indican
negación o mediante adverbios de negación. Por ejemplo, se dice en lugar de no regular, irregular,
y en lugar de no un, simplemente ningún, etc. Al formular ciertas negaciones pueden surgir con
mucha facilidad algunas confusiones, cuando simplemente se expresa la negación mediante antón-
imos o contrarios.
Por ejemplo, negro y blanco, pequeño y grande, positivo y negativo, orden y caos son, en cierto
sentido, contrarios que no pueden ser expresados a través de una negación. Aquí definiremos la
negación como una función veritativa, aunque la denominación de negación se utiliza también para
la función proposicional ¬P y para la operación negación.
Definición 1.8 Negación
Se denomina negación a la función veritativa de un lugar, cuyos valores se fijan de la manera
siguiente:
P ¬ P
V F
F V
La negación corresponde a la función proposicional de un lugar ¬P. La afirmación ¬P es ver-
dadera cuando la proposición P es falsa, y ¬P es falsa cuando la proposición P es verdadera.
Mediante la negación de una proposición P se obtiene una nueva proposición ¬P cuyo valor de
verdad es opuesto al valor de verdad de P.
Ejemplo 1.8 Sea P: ¨Los billetes de $ 5000 contienen la efigie de Rumiñahui¨.
La negación de P es la proposición:
¬P: ¨Los billetes de $ 5000 no contienen la efigie de Rumiñahui¨.
Dadas las proposiciones P, Q consideremos la construcción de proposiciones de la forma (P y
Q).
Ejemplo 1.9 En la búsqueda de un profesor la ESPE publica el siguiente aviso:
¨Se solicita profesor con especialidad en Pedagogía y Álgebra¨.
Se presentan cuatro candidatos A, B, C y D con las características siguientes:
A: Tiene ambas especialidades (V,V)
B: Sólo tiene la especialidad de Pedagogía (V,F)
C: Sólo tiene la especialidad de Álgebra (F,V)
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 14
D: Sólo tiene la especialidad de Química (F,F)
Como podemos darnos cuenta, puesto que A cumplió con los requisitos, entonces A es el ganador
del empleo.
Definición 1.9 Conjunción
Se denomina conjunción o producto lógico de las proposiciones P y Q, dadas en este orden, a la
función veritativa de dos lugares que se obtiene enunciando Q luego de enunciar P, unidas ambas
por la palabra ¨y¨, cuyos valores de verdad se fijan de la siguiente manera:
P Q P ∧ Q
V V V
V F F
F V F
F F F
El enlace de proposiciones P ∧ Q es verdadera cuando ambas proposiciones P, Q son verdaderas.
Una conjunción cuyo valor de verdad es V, expresaque las circunstancias que se reflejan a través
de las proposiciones parciales, existen en conjunto. Pero, cuando una conjunción tiene el valor de
verdad F, esto significa que, por lo menos, una de sus proposiciones parciales no refleja correc-
tamente una circunstancia. En las explicaciones posteriores, consideraremos el enlace de varias
proposiciones como una conjunción si aparece la expresión y/o sus sinónimos.
Ejemplo 1.10 Sean las proposiciones:
P: ¨2 es un divisor de 10¨
Q: ¨5 es un divisor de 10¨
La conjunción de P y Q es la siguiente proposición:
P ∧Q: ¨2 es un divisor de 10, pero también 5 es un divisor de 10¨
Por lo tanto la proposición P ∧Q es verdadera.
Estudiaremos ahora proposiciones de la forma (P o Q) y (o P o Q).
Ejemplo 1.11 Consideremos ahora el siguiente aviso:
¨Se solicita profesor con especialidad de Pedagogía o Álgebra¨
Se presentan cuatro candidatos A, B, C y D con las características siguientes:
A: Tiene ambas especialidades (V,V)
B: Sólo tiene la especialidad de Pedagogía (V,F)
C: Sólo tiene la especialidad de Algebra (F,V)
D: Sólo tiene la especialidad de Química (F,F)
En este caso sólo D no podrá ser seleccionado.
El punto central de esta parte lo constituye el uso de la palabra ¨o¨, la cual puede ser utilizada
en un sentido exclusivista ¨o ... o ...¨ o no exclusivista. Por este motivo procederemos en dos pasos
intermedios.
Definición 1.10 Disyunción
Se denomina disyunción a la función veritativa bivalente cuyos valores se fijan de la manera sigu-
iente:
P Q P ∨ Q
V V V
V F V
F V V
F F F
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 15
La disyunción corresponde a la función proposicional bivalente P o Q. Según la definición
anterior P o Q es verdadera cuando, como mínimo, una de las proposiciones enlazadas es verdadera.
En discusiones posteriores, el enlace de varias proposiciones con ¨o¨ recibe el nombre de disyunción.
Entonces, un enlace de proposiciones de este tipo representa una proposición verdadera cuando
todas las proposiciones enlazadas son verdaderas.
Ejemplo 1.12 - 2 · 3 = 6 ó 3 + 2 = 5
- 75% de 45 m es 135/4 m, ó 33,75 m.
A causa de la extensionalidad de las funciones proposicionales las proposiciones enlazadas
pueden o no, tener relaciones de contenido entre sí. La abstracción hecha de las relaciones de
contenido entre las proposiciones enlazadas es necesaria para poder fundamentar la relación lógica.
Mediante la definición anterior se ha determinado el sentido de la palabra ¨o¨. Para nosotros son de
gran interés aún los valores de verdad de las proposiciones parciales. En otros enlaces se procederá
de forma similar.
Definición 1.11 Alternativa
Se denomina alternativa a la función veritativa de dos lugares cuyos valores se fijan de la manera
siguiente:
P Q P ∨ Q
V V V
V F V
F V V
F F F
La alternativa corresponde a la función proposicional de dos lugares ¨o P o Q¨ es verdadero
cuando una de las dos proposiciones es verdadera. Es falso cuando ambas proposiciones son ver-
daderas o falsas. La alternativa es igualmente extensional.
En las explicaciones que demos posteriormente, un enlace de más de dos proposiciones con ¨o
... o¨ recibe el nombre de alternativa. En el uso diario del lenguaje se dice frecuentemente ¨o¨ en
lugar de ¨o ... o¨, actuando esta palabra, en tales casos, de forma excluyente.
Cuando en el lenguaje familiar corriente se habla de una disyunción, se hace referente a la
alternativa que hemos definido. Estos hechos hay que tenerlos siempre en cuenta.
Ejemplo 1.13 - La suma de los siete primeros números naturales es o par o impar.
- 1969 es o un número primo o divisible por 9.
Un verdadero enlace mediante la alternativa de ambas proposiciones refleja que de dos circun-
stancias posibles existe exactamente una. Para evitar las confusiones se debe utilizar, en tales casos,
siempre ¨o ... o¨. ¨o¨ puede usarse en el lenguaje común pero con otro sentido, cuando se quiere
decir que las dos circunstancias enlazadas entre sí no pueden existir en conjunto. Como máximo,
esto puede referirse a una de ellas.
El conocimiento de estas distintas interpretaciones de ¨o¨ en el lenguaje común es muy im-
portante para la conclusión lógica y, además, nos motiva a velar por la exactitud de nuestras
formulaciones.
A continuación formularemos, mediante la disyunción, algunos teoremas importantes de la
lógica de las proposiciones.
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 16
Teorema 1.1 Toda proposición es verdadera o falsa.
Este teorema se denomina, teorema del tercero excluido. Esto podemos representarlo mediante
la función proposicional ¨P o ¬P¨. Esta función proposicional es una identidad, porque para
cualquier argumento P, siempre obtenemos una proposición verdadera.
Teorema 1.2 Toda proposición es o verdadera o falsa.
Este teorema se denomina, principio de la bivalencia. Este principio expresa que entre una
proposición y su negación no hay una tercera posibilidad, y que una proposición no puede ser
simultáneamente verdadera y falsa.
Proposiciones como P ∧ Q y P ∨ Q que resultan de combinar otras proposiciones reciben el
nombre de proposiciones compuestas.
Es posible una proposición compuesta G ∼= G(P1, P2, ..., Pn) sea verdadera sin importar qué
asignaciones de verdad se hayan hecho a las proposiciones P1, P2, ..., Pn.
Ejemplo 1.14 En el Instituto de Ciencias Básicas existe el siguiente reglamento: ¨Para que
un estudiante pueda tomar materias de avance de primer nivel, tiene que haber aprobado materias
concatenadas de prepolitécnico¨. ¿En cuáles de los siguientes casos se viola el reglamento?
A: Toma avances y aprobó materias concatenadas (V,V).
B: Toma avances y no aprobó materias concatenadas (V,F).
C: No toma avances pero aprobó materias concatenadas (F,V).
D: Ni toma avances ni aprobó materias concatenadas (F,F).
Un poco de reflexión nos conduce a aceptar que se viola el reglamento en el caso B.
Definición 1.12 Implicación
Se denomina implicación o condicional a la función veritativa de dos lugares cuyos valores de
verdad se fijan de la manera siguiente:
P Q P → Q
V V V
V F F
F V V
F F V
La proposición P se denomina hipótesis o antecedente y la proposición Q, conclusión o conse-
cuente. Considérese el problema de asignar un valor de verdad a la proposición implicación ¨si P,
entonces Q¨. En efecto, si la hipótesis P es verdadera y la conclusión Q es también verdadera (esto
es, la hipótesis y la conclusión son ambas verdaderas), entonces la proposición condicional ¨si P,
entonces Q¨ debe ser verdadera.
Por otra parte, si la hipótesis P es verdadera y la conclusión Q es falsa, entonces ¨si P, entonces
Q¨ debe ser falsa. (No se debe deducir una conclusión falsa de una hipótesis verdadera). La defini-
ción normal dice que ¨si P, entonces Q¨ es verdadera en caso de que la hipótesis P sea falsa, sin
considerar el valor de verdad de la conclusión Q. En las ulteriores explicaciones, al enlace de varias
proposiciones con ¨si P, entonces Q¨ lo llamaremos implicación.
En el lenguaje ordinario, la hipótesis y la conclusión en una proposición implicación están
normalmente relacionadas, pero en lógica no se requiere que la hipótesis y la conclusión en una
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 17
proposición implicación se refieran al mismo tema.
Tienen interés particular las proposiciones implicación verdaderas. Los teoremas de matemáti-
cas con frecuencia se expresan como proposiciones implicación. Una demostración de un teorema
de esta forma lo constituye la verificación de que la proposición implicación es verdadera.
Sean P ∼= P(P1, P2, ..., Pn) y Q ∼= Q(P1, P2, ..., Pn) proposiciones compuestas y supóngase
que P → Q es verdadera. Se sabe que si P es falsa, P → Q es verdadera, no importando si Q es
verdadera o falsa. Por otra parte, si P es verdadera, Q también debe serlo, pues en caso contrario
P → Q sería falsa.
Ejemplo 1.15 Sean las siguientes proposiciones:
P : Hoy es 30 de Febrero.
Q : Entre 5 y 15 hay números primos.
P→ Q : Si hoy es 30 de febrero, entonces entre 5 y 15 hay números primos.
Esta proposición compuesta es verdadera, ya que podemos decir quetoda implicación, cuyo primer
miembro sea falso tiene el valor de verdad V, sin tener en cuenta si el primero y el segundo
miembros tienen relación de contenido o no.
Ejemplo 1.16 La proposición compuesta ¨si entre 5 y 15 hay números primos, entonces entre
13 y 15 hay números primos¨, es falsa, ya que el primer miembro de esta implicación es verdadero
y su segundo miembro es falso.
Otra proposición compuesta de gran utilidad es
P si y sólo si Q
Este enunciado se interpreta como:
(Si P, entonces Q) y (si Q, entonces P)
Determínese el valor de verdad de la primera proposición. Supóngase que P y Q son ambas
verdaderas. Entonces las dos proposiciones implicación de la segunda son verdaderas. Y como la
conectiva ¨y¨ resulta verdadera para ambas verdaderas, se tiene que la segunda también lo es.
Dado que la primera se interpreta como la segunda, se considera que la primera es verdadera
cuando ambas P y Q lo son. Si P y Q son falsas, nuevamente las dos proposiciones implicación
de la segunda son verdaderas. En consecuencia, la segunda es verdadera. Por lo tanto, si ambas
proposiciones P y Q son falsas, se considera que la primera es verdadera.
Si P es falsa y Q es verdadera, entonces la segunda proposición implicación en la segunda es
falsa. Ahora bien, cuando en la conectiva ¨y¨ uno de los valores es falso, el resultado es falso. Por
consiguiente, se considera que la primera es falsa si P es falsa y Q es verdadera. Esto motiva la
siguiente definición.
Definición 1.13 Equivalencia
Se denomina implicación o condicional a la función veritativa de dos lugares cuyos valores de
verdad se fijan de la manera siguiente:
P Q P ↔ Q
V V V
V F F
F V F
F F V
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 18
Otra forma de enunciar ¨P si y sólo si Q¨ es ¨P es una condición necesaria y suficiente para
Q¨.
Así mismo, ¨P si y sólo si Q¨ en ocasiones se escribe ¨P ssi Q¨.
La proposición compuesta (Si P, entonces Q) y (si Q, entonces P), también podemos expresarla en
símbología lógica de la siguiente manera
P↔ Q ∼= (P→ Q) ∧ (Q→ P)
Ejemplo 1.17 Sean
P: El número 2013 es divisible por 3.
Q: La suma de las cifras básicas de 2013 es divisible por 3.
P↔ Q: El número 2013 es divisible por 3 cuando la sumas de sus cifras básicas es divisible por 3.
Esta proposición es verdadera, ya que ambos enlaces son verdaderos.
Ejemplo 1.18 Si P→ Q es una proposición implicación, entonces denominamos:
Q→ P recíproca de P→ Q.
¬P→ ¬Q inversa de P→ Q.
¬Q→ ¬P contrapositiva de P→ Q.
Ejemplo 1.19 Implicación: Si 2272 es divisible por 4, entonces 2272 es un número par.
Recíproca: Si 2272 es un número par, entonces 2272 es divisible por 4.
Contrapositiva: Si 2272 no es un número par, entonces 2272 no es divisible por 4.
Inversa: Si 2272 no es divisible por 4, entonces 2272 no es un número par.
Ejemplo 1.20 Implicación: Si un triángulo es equilátero, entonces es isósceles.
Recíproca: Si un triángulo es isósceles, entonces es equilátero.
Contrapositiva: Si un triángulo no es isósceles, entonces tampoco es equilátero.
Inversa: Si un triángulo no es equilátero, entonces tampoco es isósceles.
1.1.2. Tarea
1. Suponga que x, y, z ∈ R. Represente en forma simbólica los enunciados dados tomando:
P: x < y, Q: y < z, R: x < z
a) (x ≥ y e y < z) o x ≥ z;
b) No es cierto que (x < y e y < z);
c) x < y o no es verdad que (y < z y x < z);
d) (No es verdad que (x < y y (x < z o y < z))) o (x ≥ y y x < z).
Resp: a) ; b) ; c) ; d) .
2. Sean P, Q, R las proposiciones:
P: Está lloviendo, Q: El Sol está brillando, R: Hay nubes en el cielo.
Traduzca la siguiente notación lógica, utilizando P, Q, R y conectivos lógicos.
a) Está lloviendo y el Sol está brillando;
b) Si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo;
c) Si no está lloviendo, entonces el Sol no está brillando y hay nubes en el cielo;
d) El Sol está brillando si y sólo si no está lloviendo;
e) Si no hay nubes en el cielo, entonces el Sol está brillando.
Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 19
3. Sean P, Q, R como en el ejercicio anterior. Traduzca lo siguiente a oraciones en español:
a) (P ∧Q)→ R; b) (P→ R)→ Q; c) ¬P↔ (Q ∨ R); d) ¬(P↔ (Q ∨ R));
e) ¬(P ∨Q) ∧ R.
Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
4. Sean p : tengo un loro y q : tengo un gato, escribir en lenguaje corriente y luego simplificar
¬(¬p ∨ ¬(¬q)) ∧ ¬(¬p)
Resp: p ∧ (¬q): tengo un loro y no tengo un gato.
5. A un blanco se han efectuado tres tiros. Sea Pi la proposición ¨el blanco ha sido batido
por el i-ésimo tiro¨, i = 1, 2, 3. ¿Qué significan las siguientes proposiciones:
a) P1 ∨ P2 ∨ P3; b) P1 ∧ P2 ∧ P3; c) (¬P1 ∨ ¬P2) ∧ P3?
¿Cuáles de estas tres proposiciones son verdaderas si P3 es verdadera y P1 y P2, falsas?
Resp: a) ; b) ; c) .
6. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones? Proporcione los valores de verdad
de las proposiciones:
a) x2 = x para toda x ∈ R; b) x2 = x para alguna x ∈ R; c) x2 = x;
d) x2 = x para exactamente una x ∈ R; e) xy = xz implica y = z;
f) xy = xz implica y = z para toda x, y, z ∈ R.
Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) .
7. Considere la frase ambigua x2 = y2 implica x = y para todo x, y:
a) Transforme esta frase en una proposición no ambigua cuyo valor de verdad sea verdadero;
b) Transforme esta frase en una proposición no ambigua cuyo valor de verdad sea falso.
Resp: a) ; b) .
8. Formule verbalmente las expresiones simbólicas contenidas en los siguientes literales, uti-
lizando las proposiciones:
P : Hoy es lunes, Q : Está lloviendo, R : Hace calor.
a) ¬P ∧ (Q ∨ R); b) ¬(P ∨Q) ∧ R; c) (P ∧ (Q ∨ R)) ∧ (R ∨ (Q ∨ P));
d) (P∨ (¬P∧¬(Q∨R)))∧ (P∨¬(R∨Q)); e) ¬P→ (Q∨R); f) ¬(P∨Q)↔ R;
g) (P ∧ (Q ∨ R))→ (R ∨ (Q ∨ P)); h) (P ∨ (¬P ∧ ¬(Q ∨ R)))→ (P ∨ ¬(R ∨Q)).
Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) .
9. En los siguientes literales, represente cada proposición en la forma de una proposición
condicional:
a) Para todo número x ∈ R, |x| < 2 siempre que 0 < x < 2;
b) Una condición suficiente para que una función f sea integrable es que f sea continua.
Resp: a) ; b) .
10. Enuncie la recíproca, la inversa y la contrapositiva de cada uno de los literales del ejercicio
anterior.
Resp: .
11. Proporcione las recíprocas, las inversas y las contrapositivas de las siguientes proposiciones:
a) Si soy listo entonces soy rico; b) Si x2 = x entonces x = 0 o x = 1;
c) Si 2 + 2 = 4 entonces 2 + 4 = 8.
Resp: a) ; b) ; c) .
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 20
12. a) Muestre que n = 3 es un contraejemplo de la afirmación n3 < 3n para toda n ∈ N;
b) ¿Puede encontrar otros contraejemplos?
Resp: a) ; b) .
13. a) Muestre que x = −1 es un contraejemplo de (x+ 1)2 ≥ x2 para toda x ∈ R;
b) Encuentre otro contraejemplo;
c) ¿Puede servir de contraejemplo cualquier número no negativo? Explique su respuesta.
Resp: a) ; b) ; c) .
14. Encuentre contraejemplos de las siguientes afirmaciones:
a) 2n − 1 es primo para toda n ≥ 2; b) 2n + 3n es primo para toda n ∈ N;
c) 2n + n es primo para todo entero impar positivo n.
Resp: a) ; b) ; c) .
15. a) Proporcione un contraejemplo para: x > y implica x2 > y2 para toda x, y ∈ R. Su
respuesta debe ser un par ordenado;
b) ¿Cómo debe restringir x e y para que sea verdadera la proposición de la parte a)?
Resp: a) ; b) .
16. Exprese en forma simbólica cada uno de los enunciados, suponiendo que x, y, z ∈ R y que
P : x < y, Q : y < z, R : x < z :
a) Si x < y, entonces y ≥ z; b) Si (x < y e y < z), entonces x < z;
c) Si (x ≥ y e y < z), entonces x ≥ z;
d) Si no es verdad que (x < z e y < z), entonces x ≥ z;
e) x < y si y sólo si (y < z y x < z);
f) Si es falso que (x < y y (ya sea x < y o y < z)), entonces (x ≥ y, entonces x < z).
Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) .
17. ¿Cuáles de las proposiciones P, Q, R deben ser verdaderas y cuáles falsas para que
(¬(¬P ∨ P) ∧Q)→ R
sea verdadera?
Resp: .
18. Represente simbólicamente cada una de las proposiciones condicionales dadas a contin-
uación. Escriba su recíproca, inversa y contrapositiva tanto con símbolos como con palabras.
Determine también el valor de verdad para la proposición condicional, para su recíproca,
inversa y parasu contrapositiva:
a) Si 4 < 6, entonces 9 > 12; b) Si 4 > 6, entonces 9 > 12;
c) |1| < 3 si −3 < 1 < 3; d) |4| < 3 si −3 < 4 < 3.
Resp: a) ; b) ; c) ; d) .
19. Proporcione la recíproca, inversa y contrapositiva de cada una de las siguientes proposi-
ciones:
a) Si x+ y = 1 entonces x2 + y2 ≥ 1; b) Si 2 + 2 = 4 entonces 3 + 3 = 8.
Resp: a) ; b) .
20. Considere la proposición: si x > 0 entonces x2 > 0 para x ∈ N:
a) Proporcione la recíproca, inversa y contrapositiva de la proposición;
b) ¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera: la proposición original, la recíproca,
la inversa o la contrapositiva?
Resp: a) ; b) .
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 21
21. Determine los valores de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:
a) Si 2 + 2 = 4, entonces 2 + 4 = 8; b) Si 2 + 2 = 5, entonces 2 + 4 = 8;
c) Si 2 + 2 = 4, entonces 2 + 4 = 6; d) Si 2 + 2 = 5, entonces 2 + 4 = 6;
e) Si la tierra es plana, entonces Vicente Rocafuerte fue el primer presidente de Ecuador;
f) Si la tierra es plana, entonces Sixto Durán-Ballen es presidente de Ecuador en el periódo
92 - 96;
g) Si Sixto Durán-Ballen es presidente de Ecuador en el periódo 92 - 96, entonces la tierra
es plana;
h) Si Sixto Durán-Ballen es presidente de Ecuador en el periódo 92 - 96, entonces 2 + 2 =
4.
Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) .
22. Supóngase que sabemos que P → Q es falso. Proporcione los valores de verdad para:
a) P ∧ Q; b) P ∨ Q; c) Q → P; d) P → Q; e) ¬P→ ¬Q;
f) ¬Q→ ¬P; g) Q ∧ ¬P; h) P ∧ ¬Q; i) P ∨ Q; j) ¬(P↔ Q).
Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) .
23. Un lógico le dijo a su hijo Si no terminas tu cena, te irás directo a dormir y no verás
televisión. Terminó su cena y fue enviado directamente a la cama. Discútalo.
Resp: .
24. A la pregunta de cuál de tres estudiantes estudiaba lógica fue obtenida una respuesta
correcta: si la estudiaba el primero, también lo hacía el tercero, pero no era cierto que si la
estudiaba el segundo lo hacía asímismo el tercero. ¿Quién estudiaba lógica?
Resp: .
25. Luis, Carlos, Joe, Fred ocuparon en la olimpiada de matemáticas los cuatro primeros
puestos. Cuando les preguntaron acerca de la distribución de los puestos, dieron las tres
siguientes respuestas:
a) Fred - primero, Carlos - segundo; b) Fred - segundo, Luis - tercero;
c) Joe - segundo, Luis - cuarto.
¿Cómo se distribuyeron los puestos si en cada una de las respuestas sólo una de las afirma-
ciones era verdadera?
Resp: a) ; b) ; c) .
26. Determine cuál de cuatro estudiantes dio el examen si sabemos que:
a) Si lo dio el primero, el segundo también;
b) Si lo dio el segundo, el tercero también o bien el primero no lo dio;
c) Si no lo dio el cuarto, lo dio el primero, pero el tercero no;
d) Si el cuarto lo dio, el primero también.
Resp: a) ; b) ; c) ; d) .
27. Para una expedición de ocho pretendientes A, B, C, D, E, F, G, H hay que elegir seis
especialistas: biólogo, hidrólogo, sinóptico, radista, mecánico y médico. Las funciones del
biólogo pueden ser realizadas por E y G, las del hidrólogo, B y F. Las del sinóptico, F y G,
las del radista, C y D, las del mecánico, C y H, las del médico, A y D. Aunque algunos de los
pretendientes tienen dos especialidades, en la expedición cada uno puede realizar sólo una
función. ¿Quién y en calidad de qué ha de incluirse en la expedición si F no puede ir sin B,
D sin H y sin C, C no puede ir simultáneamente con G, y A no puede ir junto con B?
Resp: .
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 22
1.2. Construcción de tablas de verdad
El enunciado G ∼= P → [(Q ∧ R) → Q] incluye tres proposiciones: P, Q y R, cada una puede
ser verdadera o falsa de manera independiente. Existen en total 23 = 8 combinaciones posibles de
los valores de verdad para P, Q y R y la tabla de verdad para G deberá dar el valor de verdad de
G para cada uno de los casos.
Definición 1.14 Combinaciones
Si una proposición compuesta G consta de n enunciados, habrá 2n combinaciones de valores de
verdad, es decir, n filas en la tabla de verdad de G.
Una tabla que despliega todos los valores de verdad de una fórmula, para todas las posibles
interpretaciones que pueda tener, se denomina tabla de verdad de la fórmula. Esta tabla puede
construirse sistemáticamente de la siguiente manera:
1. Las primeras n columnas se encabezan con las variables proposicionales; y se construyen más
columnas para las combinaciones parciales de enunciados y se culmina con el enunciado dado.
2. Bajo cada una de las primeras n columnas, se enlistan las 2n n-adas posibles de los valores de
verdad de los componentes del enunciado G. Cada n-tupla se enlista en una fila separada.
3. Para cada fila se calculan sucesivamente los valores de verdad restantes.
Ejemplo 1.21 Sea G ∼= (P→ Q)→ (¬P ∨Q), construir la correspondiente tabla de verdad:
P Q P → Q ¬ P ∨ Q G
V V V V V
V F F V F
F V V V V
F F V V F
Ejemplo 1.22 Sea G ∼= [(P→ Q) ∧ ¬Q]→ ¬P), construir la correspondiente tabla de verdad:
P Q P → Q (P → Q) ∧¬ Q G
V V V F V
V F F F V
F V V V V
F F F F V
Ejemplo 1.23 Sea G ∼= [(P ∨Q) ∧ ¬P]→ Q), construir la correspondiente tabla de verdad:
P Q P ∨ Q (P ∨ Q) ∧¬ P G
V V V F V
V F V F V
F V V V V
F F F F V
Ejemplo 1.24 Sea G ∼= (P→ Q)↔ (¬Q→ ¬P), construir la correspondiente tabla de verdad:
P Q P → Q ¬ Q → ¬ P G
V V V V V
V F F F V
F V V V V
F F V V V
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 23
Ejemplo 1.25 Sea G ∼= (P↔ Q)↔ [(P→ Q) ∧ (Q→ P)], construir la correspondiente tabla
de verdad:
P Q P ↔ Q P → Q Q → P (P → Q) ∧ (Q → P) G
V V V V V V V
V F F F V F V
F V F V F F V
F F V V V V V
1.2.1. Operaciones con fórmulas lógicas y sus propiedades
En el estudio de las funciones proposicionales hemos utilizado las variables P, Q, R, ... para
designar las proposiciones. Estas variables podemos interpretarlas con elementos de un dominio
básico, es decir, con proposiciones. Su dominio está formado solamente por dos elementos, los
valores de verdad V y F. Las constantes en este caso las constituyen los conectores lógicos. Mediante
el enlace lineal de las variables con valores de verdad P, Q, etc., y conectores, así como mediante
la aplicación de los signos técnicos (paréntesis), podemos formar series de signos.
Definición 1.15 Fórmula bien formada
Una fórmula bien formada, se define dentro de la lógica proposicional en los siguientes términos
recursivos:
1) Las variables P, Q, ... son fórmulas.
2) a) Si P es una fórmula, entonces ¬P también es una fórmula.
b) Si P y Q son fórmulas entonces P ∨ Q, P ∧ Q, P → Q, P ↔ Q también son fórmulas.
3) Una serie de signos P, Q, ... es una fórmula solo cuando se trata de los casos 1 y 2.
En la representación simbólica se interpretan los signos ¬, ∧, ∨, →, ↔, que reciben el nom-
bre de conectores, como signos de funciones proposicionales y también como signos de funciones
veritativas. A los literales tales como P, Q, R,... que son usados para denotar proposiciones se
denominan fórmulas atómicas o átomos. No es difícil reconocer que expresiones como P→, P ∨ no
son fórmulas. Cuando no exista confusión se suprimen los paréntesis asignando rangos decrecientes
a los conectores proposicionales de la siguiente manera; ↔, →, ∧, ∨, ¬ de manera que al conector
proposicional con mas alto rango se lo evalue al final.
Ejemplo 1.26 1) P→ Q ∧ R = P→ (Q ∧ R);
2) P→ Q ∧ ¬R ∨ S = P→ Q ∧ (¬R ∨ S) = P→ [Q ∧ (¬R ∨ S)].
Ahora vamos a establecer una relación entre los valores de verdad y las funciones veritativas
por una parte y las expresiones, por otra. Las variables P, Q, ... las utilizamos ahora como variables
del valor de verdad, y de igual forma los conectores proposicionales ¬, ∧, ∨, →, ↔ como signos de
las funciones veritativas clásicas.
Sobre la base de las afirmaciones hechas podemos indicar el correspondiente valor de verdad
para cada interpretación de las variables P, Q, ... con los valores de verdad. En las expresiones
complicadas de la lógica proposicional también es posible calcular de esta forma, en finitos pasos,
los valores de verdad, al hacer las diferentes interpretaciones de las variables.
Comparando las tablas de verdadpodemos decidir si dos fórmulas G y H tienen la misma tabla
de valores de verdad. Con esto también podemos mostrar si una fórmula formada a partir de G
y H, es una identidad de la lógica proposicional. La igualdad de las tablas de valores de verdad
y la identidad de la lógica proposicional, sin embargo, no son exactamente lo mismo. La igualdad
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 24
de la tabla de valores de verdad es una relación entre dos fórmulas; y la propiedad de ser una
identidad es una peculiaridad de una fórmula. Cuando nos interesamos por la igualdad de la tabla
de valores de verdad, entonces comparamos los valores de verdad de dos fórmulas en todas las
sustituciones posibles. Cuando nos interesamos por la validez general de una fórmula, queremos
establecer si esta determinada fórmula toma, en cada interpretación, el valor de verdad V. En este
caso, se determina el valor de verdad de una nueva fórmula formada a partir de las fórmulas G y
H en todas las sustituciones posibles. De las fórmulas con las mismas tablas de verdad, G y H, se
pueden formar siempre identidades de la lógica proposicional, es decir, fórmulas de validez general.
Teorema 1.3 Una fórmula doblemente negada tiene la misma tabla de valores de verdad que la
correspondiente fórmula dada, es decir; ¬¬ P ∼= P es una identidad de la lógica proposicional.
Demostración
P ¬ P ¬¬ P
V F V
F V F
Teorema 1.4 Para la conjunción, la disjunción y la equivalencia se cumplen la ley conmutativa
y la ley asociativa con respecto a la igualdad de las tablas de valores de verdad. Para la implicación
no se cumple ni la ley asociativa, ni la ley conmutativa.
Demostración
P Q P ∨ Q Q ∨ P P ∧ Q Q ∧ P P ↔ Q Q ↔ P
V V V V V V V V
V F V V F F F F
F V V V F F F F
F F F F F F V V
Dado que G1 = (P ↔ Q) ↔ R y G2 = P ↔ (Q ↔ R), entonces
P Q R (P ∨ Q) ∨ R P ∨ (Q ∨ R) (P ∧ Q) ∧ R P ∧ (Q ∧ R) G1 G2
V V V V V V V V V
V V F V V F F F F
V F V V V F F F F
V F F V V F F V V
F V V V V F F F F
F V F V V F F V V
F F V V V F F V V
F F F F F F F F F
En lógica las proposiciones idénticamente verdaderas o bien idénticamente falsas desempeñan
importante papel. Las proposiciones idénticamente verdaderas son siempre verdaderas independi-
ente de si las proposiciones que las forman son verdaderas o falsas.
Teorema 1.5 Para las proposiciones idénticamente verdaderas e idénticamente falsas, con todo
P son ciertas las siguientes fórmulas:
P ∨ ¬P ∼= V; P ∨V ∼= V; P ∨ F ∼= P
P ∧ ¬P ∼= F; P ∧V ∼= P; P ∧ F ∼= F
Demostración
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 25
P P ∨ ¬ Q P ∨ V P ∨ F P ∧ ¬ P P ∧ V P ∧ F
V V V V F V F
F V V F F F F
Teorema 1.6 Las equivalencias siguientes
P→ Q ∼= ¬Q→ ¬P; ¬P→ Q ∼= ¬Q→ P
P→ ¬Q ∼= Q→ ¬P; ¬P→ ¬Q ∼= Q→ P
son identidades de la lógica proposicional.
Demostración
P Q P → Q ¬ Q → ¬ P ¬ P → Q ¬ Q → P
V V V V V V
V F F F V V
F V V V V V
F F V V F F
P → ¬ Q Q → ¬ P ¬ P → ¬ Q Q → P
F F V V
V V V V
V V F F
V V V V
Teorema 1.7 Las equivalencias siguientes
¬(P ∨Q) ∼= ¬P ∧ ¬Q; ¬(P ∧Q) ∼= ¬P ∨ ¬Q
(P ∨Q) ∧ P ∼= P; (P ∧Q) ∨ P ∼= P
(P ∨Q) ∧Q ∼= Q; (P ∧Q) ∨Q ∼= Q
P→ Q ∼= ¬P ∨Q; P↔ Q ∼= (P→ Q) ∧ (Q→ P)
son identidades de la lógica proposicional.
Demostración
P Q ¬(P ∨ Q) ¬ P ∧ ¬ Q ¬(P ∧ Q) ¬ P ∨¬ Q (P ∨ Q) ∧ P (P ∧ Q) ∨ P
V V F F F F V V
V F F F V V V V
F V F F V V F F
F F V V V V F F
(P ∨ Q)∧ Q (P ∧ Q) ∨ Q P → Q ¬ P ∨ Q P ↔ Q (P → Q) ∧ (Q → P)
V V V V V V
F F F F F F
V V V V F F
F F V V V V
Teorema 1.8 La conjunción es, con respecto a la disjunción en ambos lados, distributiva y
viceversa, es decir, que las siguientes fórmulas son identidades de la lógica proposicional
P ∧ (Q ∨ R) ∼= (P ∧Q) ∨ (P ∧ R); (Q ∨ R) ∧ P ∼= (Q ∧ P) ∨ (R ∧ P)
P ∨ (Q ∧ R) ∼= (P ∨Q) ∧ (P ∨ R); (Q ∧ R) ∨ P ∼= (Q ∨ P) ∧ (R ∨ P)
Demostración
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 26
P Q R P ∧ (Q ∨ R) (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) (Q ∨ R) ∧ P (Q ∧ P) ∨ (R ∧ P)
V V V V V V V
V V F V V V V
V F V V V V V
V F F F F F F
F V V F F F F
F V F F F F F
F F V F F F F
F F F F F F F
P ∨ (Q ∧ R) (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) (Q ∧ R) ∨ P (Q ∨ P) ∧ (R ∨ P)
V V V V
V V V V
V V V V
V V V V
V V V V
F F F F
F F F F
F F F F
Teorema 1.9 Conjuntamente con la distributividad se cumple que la implicación, con respecto
a las demás funciones veritativas, es distributiva a la derecha, pero no distributiva a la izquierda,
es decir, que las siguientes fórmulas son de validez general
P→ (Q ∧ R) ∼= (P→ Q) ∧ (P→ R); P→ (Q ∨ R) ∼= (P→ Q) ∨ (P→ R)
P→ (Q→ R) ∼= (P→ Q)→ (P→ R); P→ (Q↔ R) ∼= (P→ Q)↔ (P→ R)
Demostración
P Q R P → (Q ∧ R) (P → Q) ∧ (P → R) P → (Q ∨ R) (P → Q) ∨ (P → R)
V V V V V V V
V V F F F V V
V F V F F V V
V F F F F F F
F V V V V V V
F V F V V V V
F F V V V V V
F F F V V V V
P → (Q → R) (P → Q) → (P → R) P → (Q ↔ R) (P → Q) ↔ (P → R)
V V V V
F F F F
V V F F
V V V V
V V V V
V V V V
V V V V
V V V V
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 27
Teorema 1.10 Si la conclusión, segundo miembro, de una implicación es igualmente una impli-
cación, entonces las dos premisas (primeros miembros), se pueden unir formando una sola premisa
P→ (Q→ R) ∼= (P ∧Q)→ R; (P ∧Q)↔ R ∼= (P→ R) ∨ (Q→ R)
Demostración
P Q R P → (Q → R) (P ∧ Q) → R (P ∧ Q) ↔ R (P → R) ∨ (Q → R)
V V V V V V V
V V F F F F F
V F V V V V V
V F F V V V V
F V V V V V V
F V F V V V V
F F V V V V V
F F F V V V V
Ejemplo 1.27 Utilizando las leyes de la lógica proposicional, demostrar que:
(P ∧Q)↔ (P ∨Q) ∼= (P ∨Q)→ (P ∧Q).
Solución
(P ∧Q)↔ (P ∨Q) ∼= [(P ∧Q)→ (P ∨Q)] ∧ [(P ∨Q)→ (P ∧Q)]
∼= [¬(P ∧Q) ∨ (P ∨Q)] ∧ [(P ∨Q))→ (P ∧Q)]
∼= [(¬P ∨ ¬Q) ∨ (P ∨Q)] ∧ [(P ∨Q)→ (P ∧Q)]
∼= (¬P ∨ ¬Q ∨ P ∨Q) ∧ [(P ∨Q)→ (P ∧Q)]
∼= [(¬P ∨ P) ∨ (¬Q ∨Q)] ∧ [(P ∨Q)→ (P ∧Q)]
∼= (V ∨V) ∧ [(P ∨Q)→ (P ∧Q)]
∼= V ∧ [(P ∨Q)→ (P ∧Q)]
∼= (P ∨Q)→ (P ∧Q).
Ejemplo 1.28 Utilizando las leyes de la lógica proposicional, demostrar que:
[(P→ Q) ∧ ¬P]→ ¬Q ∼= Q→ P.
Solución
[(P→ Q) ∧ ¬P]→ ¬Q ∼= ¬[(P→ Q) ∧ ¬P] ∨ ¬Q
∼= ¬[(¬P ∨Q) ∧ ¬P] ∨ ¬Q
∼= ¬(¬P) ∨ ¬Q
∼= P ∨ ¬Q
∼= Q→ P.
Ejemplo 1.29 Utilizando las leyes de la lógica proposicional, demostrar que:
[(P→ Q) ∧ (P→ R)]→ (Q→ R) ∼= Q→ (P ∨ R).
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 28
Solución
[(P→ Q) ∧ (P→ R)]→ (Q→ R) ∼= ¬[(¬P ∨Q) ∧ (¬P ∨ R)] ∨ (¬Q ∨ R)
∼= ¬(¬P ∨Q) ∨ ¬(¬P ∨ R) ∨ (¬Q ∨ R)
∼= (P ∧ ¬Q) ∨ (P ∧ ¬R) ∨ ¬Q ∨ R
∼= ¬Q ∨ R ∨ (P ∧ ¬R)
∼= ¬Q ∨ [(R ∨ P) ∧ (R ∨ ¬R)]
∼= ¬Q ∨ [(R ∨ P) ∧V]
∼= ¬Q ∨ (R ∨ P)
∼= Q→ (P ∨ R).
Ejemplo 1.30 Utilizando las leyes de la lógica proposicional, demostrar que:
[(P→ Q)→ R]→ [(Q→ P)→ R] ∼= (P ∧ ¬Q)→ R.
Solución
[(P→ Q)→ R]→ [(Q→ P)→ R] ∼= ¬[¬(¬P ∨Q) ∨ R] ∨ [¬(¬Q ∨ P) ∨ R]
∼= ¬[(P ∧ ¬Q) ∨ R] ∨ [(Q ∧ ¬P) ∨ R]
∼= [¬(P ∧ ¬Q) ∧ ¬R] ∨ [(Q ∧ ¬P) ∨ R]
∼= [(¬P ∨Q) ∧ ¬R] ∨ [(Q ∧ ¬P) ∨ R]
∼= [(¬P ∨Q) ∧ (Q ∧ ¬P) ∨ R] ∧ [¬R ∨ (Q ∧ ¬P) ∨ R]
∼= [(¬P ∨Q ∨Q) ∧ (¬P ∨Q ∨ ¬P)] ∨ R ∧V
∼= [(¬P ∨Q) ∧ (¬P ∨Q)] ∨ R
∼= (¬P ∨Q) ∨ R
∼= ¬(P ∧ ¬Q) ∨ R
∼= (P ∧ ¬Q)→ R.
Ejemplo 1.31 Utilizando las leyes de la lógica proposicional, demostrar que:
[(P→ Q)→ P]→ (P→ Q) ∼= P→ Q.
Solución
[(P→ Q)→ P]→ (P→ Q) ∼= ¬[¬(¬P ∨Q) ∨ P] ∨ (¬P ∨Q)
∼= ¬[(P ∧ ¬Q) ∨ P] ∨ (¬P ∨Q)
∼= ¬P ∨ ¬P ∨Q
∼= ¬P ∨Q
∼= P→ Q.
1.2.2. Tautologías y falacias
Definición 1.16 Tautología
Si una proposición compuesta es siempre verdadera bajo todas sus interpretaciones, independien-
temente de los valores de verificación de sus componentes, decimos que la proposición compuesta
es una tautología.
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 29
Es decir, a un enunciado que es verdadero para todos los valores posibles de sus variables
proposicionales se le denomina tautología. Cuando se comprueba que una equivalencia es una
tautología, significa que sus dos partes componentes son siempre o ambas verdaderas o ambas
falsas, para cualesquier valores de las variables proposicionales. Por tanto los dos lados son sólo
diferentes maneras de proponer el mismo enunciado y se dice que son logicamente equivalentes.
Definición 1.17 Falacia
Una fórmula G es una falacia, si ¬G es una tautología.
Ejemplo 1.32 Utilizando una tabla de verdad, determinar si la fórmula
G = (P→ Q)→ (¬P ∨Q)
es tautología.
Solución
P Q P → Q ¬ P ∨ Q (P → Q) → (¬ P ∨ Q)
V V V V V
V F F F V
F V V V V
F F V V V
Por lo tanto G si es tautología.
Ejemplo 1.33Utilizando una tabla de verdad, determinar si la fórmula
G = (Q→ P)→ (P→ Q)
es tautología.
Solución
P Q Q → P P → Q (Q → P) → (P → Q)
V V V V V
V F V F F
F V F V V
F F V V V
Por lo tanto G no es tautología.
Ejemplo 1.34 Utilizando una tabla de verdad, determinar si la fórmula
G = (P→ Q)↔ (¬Q→ ¬P)
es tautología.
Solución
P Q P → Q ¬ Q → ¬ Q (P → Q) ↔ (¬ Q → ¬ P)
V V V V V
V F F F V
F V V V V
F F V V V
Por lo tanto G si es tautología.
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 30
Ejemplo 1.35 Utilizando una tabla de verdad, determinar si la fórmula
G = (P↔ Q)↔ [(P→ Q) ∧ (Q→ P)]
es tautología.
Solución
P Q P ↔ Q (P → Q) ∧ (Q → P (P ↔ Q) ↔ [(P → Q) ∧ (Q → P)]
V V V V V
V F F F V
F V F F V
F F V V V
Por lo tanto G si es tautología.
Ejemplo 1.36 Utilizando una tabla de verdad, determinar si la fórmula
G = [(P→ Q) ∧ (Q→ R)]→ (P→ R)
es tautología.
Solución
P Q R (P → Q) ∧ (Q → P P → Q [(P → Q) ∧ (Q → R)] → (P → R)
V V V V V V
V V F F F V
V F V F V V
V F F V F V
F V V V V V
F V F F V V
F F V V V V
F F F V V V
Por lo tanto G si es tautología.
Ejemplo 1.37 Utilizando una tabla de verdad, determinar si la fórmula
G = [P→ (Q→ R)]↔ [(P→ Q)→ R]
es tautología.
Solución
P Q R (P → (Q → R) (P → Q) → R [P → (Q → R)] ↔ [(P → Q) → R]
V V V V V V
V V F F F V
V F V V V V
V F F V V V
F V V V V V
F V F V F F
F F V V V V
F F F V F F
Por lo tanto G no es tautología.
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 31
1.2.3. Tarea
1. Construya la tabla de verdad para cada una de las siguientes proposiciones:
a) (P→ Q)→ [(P ∨ ¬ Q)→ (P ∧Q)]; b) [(P ∨Q) ∧ R]→ (P ∧ ¬Q);
c) [(P↔ Q) ∨ (P→ R)]→ (¬Q ∧ P)]; d) P ∨ P; e) (P ∨ Q) ∨ R;
f) (P ∨ P) ∨ P; g) P ∨ Q; h) ¬(P↔ Q).
Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) .
2. Utilizando las leyes de la lógica proposicional, demostrar que
P ∨ Q ∼= (P ∨Q) ∧ ¬(P ∧Q)
Resp: .
3. Utilizando las leyes de la lógica proposicional, demuestre o refute:
a) P ∨ Q ∼= (P ∨Q) ∧ ¬(P ∧Q); b) P ∨ (Q→ R) ∼= (P ∨ Q)→ (P ∨ R);
c) (P ∨ Q) ∨ R ∼= P ∨ (Q ∨ R).
Resp: a) ; b) ; c) .
4. Simplifique las siguientes fórmulas y diga cuales son tautologías y cuales falacias:
a) P ∨ (¬P ∧ ¬Q)] ∨ (P ∧ ¬Q); b) (P ∧Q) ∨ [(R ∨ P) ∧ ¬Q].
Resp: a) ; b) .
5. Simplifique las siguientes fórmulas y diga cuales son tautologías y cuales falacias:
a) (R ∧Q) ∨ (P ∧ ¬Q ∧ R) ∨ (¬P ∧ ¬Q ∧ R); b) (P→ Q) ∧ ¬(R→ Q);
c) (¬P ∨Q) ∧ ¬Q ∧ [¬(R ∧Q)→ P].
Resp: a) ; b) ; c) .
6. Simplifique las siguientes fórmulas y diga cuales son tautologías y cuales falacias:
a) (P ∧Q) ∧ (R ∨ ¬S) ∧ (P→ S); b) (¬P ∨Q) ∧ (¬P→ R) ∧ ¬R;
c) (P ∧Q) ∧ (P→ R) ∧ (Q→ S).
Resp: a) ; b) ; c) .
7. Simplifique las siguientes fórmulas y diga cuales son tautologías y cuales falacias:
a) (P ∨Q) ∧ ¬Q ∧ (P→ R); b) (P ∧Q) ∧ (P→ ¬R) ∧ (Q→ ¬R);
c) (P→ ¬Q) ∧Q ∧ (¬P→ (R ∨ S)].
Resp: a) ; b) ; c) .
8. Simplifique las siguientes fórmulas y diga cuales son tautologías y cuales falacias:
a) (P→ S) ∧ (P ∧Q) ∧ [(S ∧ R)→ ¬T] ∧ (Q→ R);
b) ¬P ∧ (Q→ P) ∧ [(¬Q ∨ R)→ S];
c) (P ∧ ¬Q) ∧ (R→ Q) ∧ (R ∨ S) ∧ [(S ∨ P)→ T].
Resp: a) ; b) ; c) .
9. Simplifique las siguientes fórmulas y diga cuales son tautologías y cuales falacias:
a) (P↔ Q)↔ [(P→ Q) ∧ (Q→ P)]; b) [(P→ Q) ∧ (Q→ R) ∧ P]→ R;
c) [P→ (Q ∨ R)] ∧ (Q→ ¬R) ∧ [(S→ ¬R) ∧ P]→ ¬S.
Resp: a) ; b) ; c) .
1.3. Transformación de fórmulas
La igualdad de los valores de verdad de dos proposiciones la hemos demostrado hasta ahora
utilizando las tablas completas de valores de verdad. Con su ayuda pudimos decidir si una fórmula
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 32
dada es o no una identidad de la lógica proposicional.
Por esta vía hemos conocido mumerosas fórmulas con las tablas de valores. Otras identidades,
es decir; las leyes de la lógica proposicional, las obtenemos a partir de las fórmulas dadas y medi-
ante sustituciones o transformaciones en fórmulas equivalentes.
En esta sección veremos cómo obtener equivalencias e implicaciones lógicas sin utilizar tablas
de verdad. También explicaremos el significado de teorema y de demostración. Empezaremos con
dos reglas útiles, que sin embargo deben manejarse con cuidado.
Teorema 1.11 Si en una fórmula de validez general, es decir, en una identidad de la lógica
proposicional, se sustituye una variable proposicional por una fórmula cualquiera en todos los lu-
gares donde se presenta la fórmula correspondiente, entonces se obtiene nuevamente una fórmula
de validez general.
Teorema 1.12 Cuando en una fórmula G se sustituye una cierta subfórmula G1 por una fór-
mula G2, que toma los mismos valores de verdad que G1, entonces la fórmula obtenida F tiene los
mismos valores de verdad que la fórmula G. La fórmula G, una vez sustituida G1 debe sustituirse
por G2 en todos los lugares donde esta se presenta.
Ejemplo 1.38 Consideremos la proposición
G ∼= [P ∧ (P→ Q)]→ Q
que es una tautología. Si reemplazamos, cada vez que aparece P, por la proposición
G1 ∼= Q→ R
obtenemos la tautología
H ∼= [(Q→ R) ∧ ((Q→ R)→ Q)]→ Q.
Si en cambio reemplazamos Q, cada vez que aparece, por G1, obtenemos la tautología
H ∼= [P ∧ (P→ (Q→ R))]→ (Q→ R).
Ejemplo 1.39 Consideremos la proposición
G ∼= ¬[(P→ Q) ∧ (P→ R)]→ [Q→ (P→ R)]
que no es una tautología. Obtenemos proposiciones lógicamente equivalentes si reemplazamos P→ Q
por su equivalencia lógica ¬P ∨Q o si reemplazamos una o las dos veces que aparece P→ R por
¬P ∨ R. Podemos también reemplazar (P→ Q) ∧ (P→ R) por P→ (Q ∧ R). De esta manera G
es lógicamente equivalente a las siguientes proposiciones entre otras:
¬[(¬P ∨Q) ∧ (P→ R)]→ [Q→ (P→ R)]
¬[(P→ Q) ∧ (¬P ∨ R)]→ [Q→ (P→ R)]
¬[(P→ (Q ∧ R)]→ [Q→ (¬P ∨ R)].
Definición 1.18 Fórmula válida
Una fórmula G es válida o constituye una tautología, si y sólo si es verdadera bajo todas las
interpretaciones. En caso contrario la fórmula G es inválida.
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 33
Definición 1.19 Fórmula inconsistente
Una fórmula G se denomina inconsistente o insatisfactible, si y sólo si es falsa bajo todas las
interpretaciones. En caso contrario la fórmula G es consistente o satisfactible.
De las definiciones anteriores, las observaciones siguientes son obvias:
1. Una fórmula es válida, si y sólo si su negación es inconsistente.
2. Una fórmula es inconsistente, si y sólo si su negación es válida.
3. Una fórmula es inválida, si y sólo si hay por lo menos una interpretación bajo la cual la
fórmula es falsa.
4. Una fórmula es inconsistente, si y sólo si hay por lo menos una interpretación bajo la cual
la fórmula es verdadera.
5. Si una fórmula es válida, entonces es consistente pero no viceversa.
6. Si una fórmula es inconsistente, entonces es inválida pero no viceversa.
Ejemplo 1.40 Verificar la validez o inconsistencia de la fórmula:
[(P→ Q) ∧ (Q→ R)]→ (P→ R)
Solución
P Q R (P → Q) ∧ (Q → R) P → R [(P → Q) ∧ (Q → R)] → (P → R)
V V V V V V
V V F F F V
V F V F V V
V F F V F V
F V V V V V
F V F F V V
F F V V V V
F F F V V V
Por lo tanto G es una fórmula válida.
Ejemplo 1.41 Verificar la validez o inconsistencia de la fórmula:
[(P→ (Q→ R)]↔ [(P→ Q)→ R]
Solución
P Q R (P → (Q → R) (P → Q) → R [(P→ (Q→ R)]↔ [(P→ Q)→ R]
V V V V V V
V V F F F V
V F V V V V
V F F V V V
F V V V V V
F V F V F F
F F V V V V
F F F V F F
Por lo tanto G no es una fórmula válida.
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 34
1.3.1. Formas normales
En lógica matemática es muy importante el poder transformar fórmulas de una forma a otra,
especialmente a las denominadas formas normales. Para lograr estas transformaciones de fórmulas,
se utiliza el concepto de equivalencias de fórmulas.
Definición 1.20 Fórmulas equivalentes
Las fórmulas G y H son equivalentes si los valores de verdad de G y H son los mismos bajo todas
las interpretaciones de estas fórmulas.
Por supuesto que nuestro interés no se limita a estudiar una simple clasificación de los enun-
ciados del lenguaje; pero tampoco intentamos internarnos en el fascinante mundo de la deducción
lógica sin antes estar seguros de conocer y comprender algunos conceptos elementales. Las dos
formas normales que nos interesa obtener y que son utilizadas en prueba mecánica de teoremas,
son la forma normal