Estatísticas sobre o uso de fertilizantes (estadistica en el uso de fertilizantes)

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ESTADISTICA EN LA
INVESTIGACION DEL USO
DE FERTILIZANTES
Instituto de la Potasa y el Fósforo
Potash and Phosphate Institute
Potash and Phosphate Institnte of Canada
1999
ESTADISTICA EN LA
INVESTIGACION DEL USO
DE FERTILIZANTES
Larry Nelson
Profesor de Estadística (Retirado)
North Carolina State University
Raleigh, NC, USA
Instituto de la Potasa y el Fósforo
Potash and Phosphate Institute
Potash and Phosphate Institute of Canada
1999
Estadística en la investigación del uso de fertilizantes
ESTADISTICA EN LA INVESTIGACION DEL
USO DE FERTILIZANTES
PREFACIO
El Dr. Larry Nelson, Profesor Emérito de Estadística de la Universidad Estatal de
Carolina del Norte, Raleigh, Estados Unidos, fue invitad o a la India a presentar
conferencias sobre Estadística en la Investigación del Uso de Fertilizantes. Se
organizaron tres talleres, de dos días de duración, que fueron conducidos en La
Universidad Agrícola de Punjab, Ludhiana, en La Universidad Agrícola de Nadu,
Coimbatore y en la Universidad Tecnológica de Orissa, Bhubaneswar.
Adicionalmente, dictó seminarios sobre temas selectos en la División de
Agronomía, División de Ciencias de Suelo y Química Agricola del Instituto de
Investigación Agricola de la India, Nueva Delhi, en el Instituto de Investigación de
Estadística Agrícolas de la India, Nueva Delhi y en la Universidad de Horticultura
y Ciencias Forestales Dr. Y . S. Parmar en Solan.
A pesar de que se encuentran disponibles libros y publicaciones relacionados con el
tema, el propósito de estos talleres y conferencias fue el compartir con los
científicos Hindúes conceptos actuales en las áreas de diseño experimental e
interpretación estadística de los datos de investigación de campo en el uso de
fertilizantes.
El Dr. Larry Ne1son escr ibió estas conferencias para ser usadas como material de
referencia. El Instituto de la Pota sa y el Fósforo, Programa Canadá - India, los ha
recop ilado en una publicación en inglés, que luego fue traducida al español para
uso en los programas de Am érica Latina . Se espera que esta publicación sea útil
para investigadores, profesores, estudiantes y toda persona interesada en la
utilización de herramientas estadí sticas en la investigación sobre el uso de
fertilizantes.
G. Dev
Director, Programa de Canadá - India
Sam Portch
Vicep residente, Programa China - India
José Espinosa
Director, Programa del Norte de América Latina
Instituto de Potasa y el Fósforo
Potash and Phosphate Institute
Potash and Phosphate Institute of Canada
INPOFOS
Estadística en la investigación del uso de fertilizantes
Contenido
Capítulo
Evaluación de patrones geográficos de fertilidad de suelo
usando técnicas de muestreo ----------"------------- _
Pág.
2 Calibración del análisis de suelos: El puente entre ellabora-
torio y el campo----------------------------------------- ----------- 6
3 Como evitar los errores más comunes en el diseño de ex-
perimentos de respuesta a la aplicación de fertilizantes en
el campo -------------------------------------------------------------------- 13
4 Determinación de las dosis óptimas, estadísticas y económicas,
en base a los datos experimentales: Diseño de los tratamientos,
modelos, análisis e interpretación --------------------------------------- 18
5 Arte y ciencia del análisis e interpretación de los datos de los
experimentos con ferti1izantes------------------------------------------- 28
6 Diseño y análisis de una serie de experimentos en diferentes
lugares y años (análisis combinadoj------------------------------------- 37
7 Aspectos estadísticos de experimentos en finca ----------------------- 45
8 Las treinta preguntas más consultadas a estadísticos---------------- 52
9 Respuestas a las treinta preguntas más consultadas a estadísti-
cos --------------------------------------------------------------------------- 54
10 Ejercicios sobre conceptos estadísticos, interpretación de
datos y cálculos ------------------------------------------------------------ 59
11 Respuestas a los ejercicios sobre conceptos estadísticos, inter-
pretación de datos y cá1culos--------------------------------------------- 64
INPOFOS
Estadística en la investigación del uso de fertilizantes
Capítulo - 1
Evalu ación d e p atrones ge ográficos d e fertilidad d e suelo usando
técnicas de muestreo
La evaluación de la fert ilidad del suelo requiere un enfoque uni ficado que impli ca
una serie de pasos . Los res ultados pueden ser exitosos solamente si la evaluación es
considerada como un proceso . Los resultados de los análisis de suelos de una finca
tienen que conectars e con una amplia población de fincas en un área determi nada.
Lo ideal sería examinar cada fmca dentro 'de la pob lación del área, pero esto no es
posible por ser muy costoso y porque toma demasiado tiempo, especialmente con
la gran cantidad de fincas pequeñ as existentes en muchos paises en vías de
desarroll o. Es nece sario gen erali zar los resultados en toda el área.
Aun cuando en este capítulo no se enfatizan los estudios controlados de respuesta a
fertili zantes en estaciones experimentales o en fincas selectas, éste es un paso
importante. Experimentos y diseños experimentales apropiados, así como el ajuste
de modelos son necesarios para obtener estimaciones no sesgadas de los
parámetros de respuesta . El uso de modelos discontinuos para este propósito debe
mencionarse en este punto. De igua l manera es necesario el uso apropiado de
procedimientos como el método de Cate - Nelson (1965) para calibrar los
resultados de análisis de suelos con respuestas del cultivo en el campo.
El énfasis en este capítulo será muestreo, un área de la estadística que tiene mucha
similitud con el diseño experimental. La terminología es algo diferente , pero
muchos de los conceptos son similares. Por ejemplo , en muc hos casos necesitamos
estratificar la población para tomar una muestra, lo cual es equivalente al uso de
bloques en diseño experimental.
En China y en India, así como en otros países en vías de desarrollo, existen muchas
fincas pequ eñas y los agricultores tienen recursos limitados. En este caso no es
posible muestrear cada finca . Es nece sario evaluar un área completa para saber el
estado de fertilid ad del suelo, en lugar de intentar muestrear cada finca indi vidual.
Un área (por ejemplo un valle) puede ser evaluada usando técnicas particulares de
muestreo que perm itan estimar el nivel medio de cada nutriente y la dispersión
(varianza) de toda el área . Las recomendaciones para una finca que no está entre
las muestreadas se basan en la media para el área, así como en cualquier
información sobre manej o pasado y diferencias de suelo particulares de la finca.
Como en cualquier trabajo cient ífico, existen procedimientos prescritos para
conducir un estudio de muestreo. Solamente si éste se condu ce de acuerdo con
estos proc edim ientos, la muestra será válid a. Un aspecto importante de estos
INPOFOS
Estadística en la investigación del uso de fertilizantes
procedimientos preestablecidos es el muestreo al azar, o sea que la finca a
muestrearse debe ser escogida en forma aleatoria. La selección al azar es un
procedimiento muy objetivo, no una selección fortuita. La selección al azar asegura
que no existe muestreo sesgado ya que todas las fincas tienen igual oportunidad de
ser escogidas. Esto es necesario para el adecuado funcionamiento de los principios
matemáticos en los cuales se basan estas estimaciones. Sin una selección al azar no
existe confianza en las estimaciones obtenidas y en las probabilidades asociadas
con estas estimaciones. No es posible mirar una muestra o al número derivado de
ésta y determinar esta muestra es una buena o no. Solo si se está seguro de que la
muestra fue tomada de manera correcta se puede estar seguro de que la muestra es
buena.
Se enfatiza en este capítulo la selección de fincas para muestreo y análisis en lugar
del muestreo centralizado dentro de una finca. Esta fase de muestreo dentro de una
finca es conocida y todos conocen el proceso de tomaruna muestra de suelo
compuesta dentro de una finca. Tampoco se está hablando de utilizar los resultados
de análisis de suelos acumulados en un laboratorio para determinar el estado de
fertilidad en una región. Esto es información útil y debe ser usada para monitorizar
los cambios en fertilidad en el tiempo y para caracterizar las áreas. El muestreo que
se discute en este caso sirve para ingresar en áreas nuevas que no han sido
muestreadas y analizadas extensivamente, caracterizar de este modo para su
fertilidad.
Resumen de la teoría estadística en la cual se basa el muestreo
Se toma al azar una muestra de tamaño n de una población de tamaño N y se
estima la media (11) y la varianza (J') de la población. Estos dos parámetros
describen bien una distribución, especialmente una distribución normal. La
selección al azar asegura que cada unidad de la población tenga igual oportunidad
de ser incluida en la muestra. Esto permite que no ocurra una selección sesgada.
Las estimaciones de la media (x) y de la varianza de la muestra (S2) tienen sus
propias distribuciones. A menudo, se asume que la distribución normal es la
distribución apropiada. Se puede usar esta distribución para estimar las
probabilidades de un valor más grande de z, la desviación normal, (o la
distribución de t para estimar probabilidades de un valor más grande de t), o para
obtener valores de z ó t tabulados para un tamaño de muestra dado.
EXIsten diferentes tipos de muestreos al azar. El menos complicado es el muestreo
simple donde no hay restricciones en la randomización. Por ejemplo, si parte del
campo es inclinada y otra plana, estas dos partes deben muestrearse, analizarse e
mterpretarse por separado. Se pueden imponer restricciones en la randomización
cuando se desea eliminar la variabilidad de un estrato a otro en el muestreo
INPOFOS 2
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Estadística en la investigación del uso de fertilizantes
estratificado al azar. En este caso, la restricción es que existe una randomización
separada dentro de cada estrato. En el muestreo al azar simple, el promedio de la
muestra es siempre un estimador sin sesgo del promedio de la población.
Se considera que el mejor estimador es el estimador sin sesgo de la muestra con la
varianza más pequeña. Resulta ser que tanto la media como la varianza de la
muestra son buenos estimadores .
Una de las facetas de mayor preocupación es eltamaño de la muestra. Se conoce
que si se toma la muestra apropiadamente, una fracción de muestreo nIN de valor
bajo no es de mucha ayuda para determinar la precisión de la estimación, que
depende del valor absoluto del tamaño de la muestra (n). Esto significa que al
estimar el tamaño óptimo de las muestras se debe pensar en el valor absoluto del
tamaño de las muestras, antes que en un porcentaje del tamaño de la población (N).
En las fórmulas para el tamaño de muestras se usa n en vez de nIN.
Respecto a la precisión y al tamaño de la muestra, se conoce que la precisión del
promedio de la muestra ( x ) aumenta a medida que aumenta el tamaño de la
muestra. El promedio de la muestra ( x ) se acerca a la distribución normal a medi-
da que aumenta el tamaño de la muestra, sin tomar en cuenta la forma de la
población que se está muestreando. Esto se basa en el Teorema del Límite Central.
Un muestreo de 30 individuos es lo suficientemente grande para asegurar una
adecuada aproximación a la distribución normal (sin embargo, pueden ser
necesarias más de 30 muestras para lograr la precisión deseada). Para que esta
relación se mantenga se asume que la varianza es finita y la muestra fue tomada al
azar dentro de la población.
T ipos de mue streo aplicables a la fertilidad de suelo
Existen algunos tipos de muestreo que podrían ser apropiados para caracterizar un
área. La mayoria incluye selección al azar. Tres de éstas son:
• Muestreo por lista
• Muestreo por cuadrícula
• Muestreo por área
Mu estreo por lista: Puede llevarse a cabo cuando está disponible toda, o casi toda,
la lista de fincas dentro de un área. Este es un buen procedimiento que trabaja bien
en fincas de tamaño limitado que tienen un arreglo compacto. Generalmente, las
listas pueden obtenerse de varias agencias gubernamentales. Se selecciona al azar
una muestra de tamaño n de la lista total, usando números de tablas al azar o
generados por computador. En áreas donde el suelo varía por estrato dentro de la
población, por ejemplo un valle, el muestreo se lleva a cabo al azar dentro de cada
INPor os
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estrato. La ventaja de la estratificación es el incremento en precisión (baja varianza
de la muestra). Los principales tipos de suelos o las diferencias de manejo
Justifican la estratificación.
Muestreo por cuadrícula: Es un procedimiento más sistemático. Se sobrepone
una cuadrícula en un mapa y la finca más cercana a un punto de intersección es
seleccionada como parte de la muestra. Este procedimiento tiene la ventaja de ser
simple, pero las fincas cercanas a los puntos de intersección pueden ser dificiles de
localizar en el terreno. Además, en sitios donde las propiedades no están dispersas
uniformemente, las fincas en la parte menos densa tienen mayor probabilidad de
ser seleccionadas. Este no es un procedimiento completamente al azar y las
estimaciones de la varianza pueden ser sesgadas.
Muest reo por área : Es usado cuando se desea, por convemencia, no moverse
ampliamente dentro del área a ser examinada (localizar fincas que están muy
dispersas puede tomar mucho tiempo). La población entera, por ejemplo un valle,
se divide en áreas de un número aproximadamente igual de fincas. A continuación,
algunas de estas áreas son seleccionadas al azar. Dentro de cada una de estas áreas
se puede muestrear todas las fincas para evaluaciones individuales en las muestras
de suelo. Esto es ventajoso operacionalmente porque se encuentran fácilmente
todas las fincas dentro del área, ya que son contiguas. Existe randomización ya que
las áreas originales son escogidas al azar.
Prep aración d e mapas d e fertilid ad
Al momento, con el desarrollo tecnológico de las computadoras, es posible
preparar mapas con los resultados de análisis de laboratorio indicando la
distribución geográfica de la fertilidad del suelo. Esto se conoce como Sistema de
Información Geográfico (SIG). Se pueden obtener medias de contenidos de varios
nutrientes en diferentes subdivisiones del área geográfica para luego localizarlos en
el mapa producido por SIG.
El autor estuvo involucrado en una operación de esta naturaleza en El Salvador,
donde se desarrollaron mapas de fertilidad indicando el estado nutricional de los
suelos para la producción de café de las regiones cafetaleras del país. Es necesario
decidirse por una clasificación de fertilidad (por ejemplo alto, medio y bajo) y
entonces asociar cada clase con un color en el mapa. Este mapa nos permite
identificar áreas que necesitan mejorar la fertilidad o que necesitan enmiendas. Se
puede elaborar una serie de mapas para todos los nutrientes de interés y observarlos
simultáneamente. Otro mapa que debe elaborarse es el del número de
observaciones utilizados para calcular las medias. Esto ayuda a evitar que se
concluya apresuradamente sobre los patrones de fertilidad de suelos de subáreas
donde se hicieron pocas observaciones.
lNPO FOS 4
Estadística en la investigación del uso de fertilizantes
Referencias
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5 INPOFOS
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Estadística en la investigación del uso de fertilizantes
Capítulo - 2
Calibración del análisis de snelos: El puente entre el laboratorio y el
campo
Generalmente, el eslabón más débil en la cadena que determina la utilidad de los
análisis de suelo es el trabajo de campo y no el de laboratorio. Cuando están a
cargo del laboratorio profesionales químicos, que tienen muy poco conocimíento
de la variabilidad de los suelos en el campo, se aseguran buenos resultados
analíticos de laboratorio 'que, sin embargo, tienen muy poca conexión con la
realidad del campo. Además, en muchos casos estos profesionales muestran poco
interés por conocer como fueron tomadas las muestras en el campo.
El hecho claro es que se hace necesario conducir estudios para calibrar los análisis
de suelo con las respuestas de campo a la aplicación de fertilizantes, diseñando
estudios específicos con este propósito.
Es deseable conducir estudios de calibración con dos o más nutrientes
simultáneamente, porque es conocido que existe interacción entre nutrientes. Se
pueden usar experimentos factoriales como base para la calibración de más de un
nutriente, sin embargo, la evaluación estadística de experimentos más de un
nutriente simultáneamente es dificil. Existe muy poco trabajo en esta área. La
calibración de un solo nutriente se puede manejar con facilidad, pero conociendo
que existe interacción, los otros nutrientes no deben ser limitantes cuando se
calibra un nutriente dado.
Para conducir estudios de calibración se necesita una serie de experimentos
replicados de respuesta a fertilizantes, preferiblemente en 20 o más sitios.
Factoriales con más de un nutriente o experimentos de un solo factor son
aceptables. Se debe tener cuidado con la selección de los lugares para tener un
rango de contenido del nutriente, desde bajo a alto. No debe existir discontinuidad
en los niveles del nutriente. El rango donde debe haber la mayor cantidad de sitios
es alrededor del punto crítico esperado. No se deben tener demasiados sitios con
contenidos altos del nutriente estudiado en la serie.
Se debe tomar una muestra de suelo compuesta del lote antes de establecer el
experimento. Estas muestras compuestas son analizadas por todos los nutrientes en
el laboratorio, para poder detectar el contenido del nutriente a calibrarse, y además,
para detectar el contenido de otros nutrientes y proceder a eliminar su efecto
limitante en el crecimiento del cultivo indicador, haciendo una aplícación uniforme
de estos nutrientes en todas las parcelas experimentales cuando es necesario. Los
métodos químicos de análisis de las muestras de suelos deben ser los más
INPOFOS
Estadística en la investigación del uso de fertilizantes
eficientes. Un método de análisis en particular puede ser el responsable de cuan
bien trabaje la calibración (algunos procedimientos de análisis se prestan a ser
mejor calibrados que otros). En los sitios escogidos se establecen los estudios con
los niveles del nutriente a calibrase y en las parcelas individuales se mide el
rendimiento y cualquier otro parámetro que se considere útil para la calibración.
La variación en las técnicas utilizadas aparece cuando se analizan los datos,
especialmente los datos de los experimentos de campo. Por ejemplo, una pregunta
común es cómo se debe manejar la variación de condiciones ambientales entre
lugares? Un análisis de la varianza y ajuste de curvas de respuesta (o ajuste de
superficies de respuesta) a los niveles del.nutriente es el primer paso en el análisis
estadistico.
Posibles Variables de Respuesta
En la discusión de las técnicas que se presenta a continuación, se asume que la
calibración es una relación estimada y provisional. Se debe continuar con el trabajo
de calibración a medida que se dispone de nueva información.
La variable de respuesta más simple es rendimiento de la parcela testigo con nivel
cero del nutriente estudiado (Yo). Esta variable tiene la limitación de no ser una
medida directa de respuesta.
Un enfoque usado en el pasado era utilizar el porcentaje de rendimiento como la
variable de respuesta. Esto se define como [(rendimiento promedio de las parcelas
sin fertilizante)/(rendimiento promedio de las parcelas con nutrientes suficientes) x
100J. Se ha definido también el porcentaje de rendimiento (Y) = [(- nutriente / +
nutriente) x lOO] con todos los otros factores a niveles adecuados, pero no en
exceso. Al calibrar para K, en un experimento factorial N-P-K, se debe usar la
siguiente relación: Rendimiento (%) = [(rendimiento en el lote con NP) /
(rendimiento en el lote con NPK) x l OO]. El porcentaje de rendimiento fue usado
por Bray (1948) y después por Cate y Nelson (1965). Cate luego usó este concepto
en su tesis de Ph. D. (1971).
La limitación en el uso del rendimiento relativo es que éste es una razón y es dificil
trabajar con razones, especialmente si existe un amplio rango de divisores en la
razón (la varianza de una razón depende mucho del valor del divisor). También es
dificil el interpretar económicamente las razones.
Una tercera posibilidad es usar porcentaje del cambio en rendimiento = [(cambio
en rendimiento debido al fertilizante) / (rendimiento con fertilizante adecuado) x
100]. Nuevamente ésta es una razón y tiene las mismas limitaciones del porcentaje
de rendimiento mencionado anteriormente.
7 INPO FOS
Estadística en la investigación del uso de fertilizantes
Una cuarta posibilidad es usar el incremento del rendimiento máximo (AY"",)
como la variable de respuesta. Se define de la siguiente forma:
" y máx ~ Ymáx - Yo , donde
Ym.h es el máximo rendimiento obtenido en el experimento y Yo es el rendimiento
promedio del tratamiento testigo para el nutriente en estudio, teniendo los otros
factores en niveles adecuados pero no excesivos.
La limitación en este caso es que t>Ymi> = (55 - 40) es lo mismo que t>Yrnax = (I OO
- 85). Obviamente, existen grandes diferencias en la fertilidad del suelo entre los
dos casos. También se tiende a encontrar diferencias que varian mucho de
experimento a experimento, debido a interacciones con el medio ambiente. Nelson
y Anderson (1977) usaron esta variable de respuesta porque consideraron que
removía más la variabilidad debida al sitio que el porcentaje de rendimiento y que
era posible hacer una interpretación económica a partir de ella.
M odelos q ue utilizan porcentaje de rend imicnto
l . Aj us te d e Bray (por centaje d e rendimiento vs análisis de snelo)
como una modificación de la ecuación de M its cher lich
Ecuación: Log (A - y) = Log A - cb , donde
A = asíntota de la curva que se asume es 100%
y = rendimiento (%)
e = coeficiente de curvatura
b = resultado del análisis de suelos
El problema con este simple enfoque de ajuste del modelo es que no acomoda
valores negativos que ocurren debido a la variación al azar de los rendimientos.
Con la ayuda de los modernos equipos de computación, es mejor ajustar los datos a
un modelo exponencial usando mínimos cuadrados, lo que produce la siguiente
ecuación:
y = A - De·ob donde,
y = rendimiento (%)
A = nuevamente la asíntota
e = base exponencial
D y e = parámetros estimados a partir de los datos
b = valor del análisis de suelos
INPOFOS 8
Estadística en la investigación del uso de fertilizantes
JO'
so ....._......_._.,._._._----_._._...._.~._-_.-.-
;t-o
". ~
E
-o
e
~
'"
Aná lisi s de suelo
Figura 1. Ajuste de datos de rendimiento con el modelo exponencia l.
Parte de este enfoque es el establecer un porcentaje de rendimiento que sea
aceptable y que luego pueda estimar gráficamente el valor correspondiente del
análisis de suelo (Figura 1).
2. Ajuste de Cate - Nclson (rendimiento relativo vs análisis de suelo)
Este método usa una transparencia plástica con el trazo de una cruz en ella. Se
mueve la trasparencia sobre el gráfico para encontrar un punto en el eje de las X
que minimice el número de puntos en los cuadrantes negativos y maximice el
número de puntos en los cuadrantespositivos. Las lineas de la cruz se mantienen
siempre paralelas a los ejes del gráfico. De este modo, los datos se dividen en dos
grupos por el denominado nivel crítico (Figura 2). Cuando el valor del análisis de
suelos está por debajo del nivel crítico, existe una alta probabilidad de respuesta
económica a la aplicación de fertilizantes y cuando están por encima existe una
baja probabilidad de respuesta económica.
9
Estadistica en la investigación del uso de fertilizantes
+
+
An ális is de suelo
Figura 2. Método gráfico de Cate y Nelson para ajuste de curvas de
rendimiento vs an álisis de suelos.
nunca estuvieron de acuerdo con la idea de solamente dos grupos de definición,
pero otros usaron este método extensivamente.
Una variante del método fue desarrollada por Robert Cate en su tesis de Ph.D.,
utilizando un análisis de varianza para dividir los datos en dos clases (divisiones
tentativas de los datos ordenados en el eje de las X hasta que se encuentra la
división que maximiza la suma de cuadrados del porcentaje de rendimiento para las
dos clases) . Cate y Nelson (197 1) encon traron que este método es más objetivo que
el método gráfico original. Al momento, con el uso de computadoras, se puede
definir el nivel critico utilizando paque tes estadísticos como SAS. Estos autores
indicaron que el método es general en el sentido de que es una extensión del
procedimiento de separación en dos grupos y que puede ser usado para dividir los
datos en más de dos poblaciones . La experiencia ha demostrado que los resultados
de los dos métodos no son muy diferentes.
3. Modelos qu e utilizan el incremento en rendimiento
Nelson y Anderson (1977), reconociendo las limitaciones del porcentaje de
rendimiento, ajustaron un modelo Mitscherlich utilizando el incremento máximo de
rendimiento (~Ym" ) versus el valor del análisis de suelo. Debido a que no existen
puntos discretos de decisión en la curva resultante, desarrollaron también un
INPOFOS 10
Estadística en la investigación del uso de fertilizantes
sistema natural de clasificación. Usando este esquema, se determinó el número de
clases (alta, media y baja) mediante análisis estadísticos (análisis de varianza) en
un grupo particular de datos. Esto permite determinar los niveles óptimos criticas
entre los grupos. Cada clase provisional debe contener al menos dos observaciones.
Debe también existir una reducción substancial en ",ymi, entre los dos valores
localizados a cada lado de la línea divisoria. Adicionalmente, la división no debe
separar dos valores de análisis de suelos idénticos (o casi idénticos) en dos grupos
diferentes. El proceso de subagrupar tiene tres propósitos: 1) afinar los valores de
",ymáx, 2) usar la varianza interna del subgrupo como una estimación de la varianza
del error y 3) proporcionar el primer paso hacia la selección del mejor punto de
división. Posteriormente, los autores buscaron cierto reagrupamiento usando una
prueba de t de una cola en las medias de grupo. Las medias del conjunto final de
grupos deben ser significativamente diferentes.
4. Uso de superficies de respuesta en la correlación de los análisis de
suelo
Nelson (1987) discutió el uso de superficies de respuesta con covariables (valores
de los análisis de suelos) para calibrar este análisis. Usando este método existe la
posibilidad de calibrar simultáneamente los análisis de varios nutrientes. Se
presentaron dos modelos diferentes. El modelo de covarianza incluye términos
separados para el fertilizante añadido y para el contenido del nutriente en el suelo.
Este modelo es flexible y se ajusta fácilmente. El segundo modelo, llamado la
Ecuación de Hildreth, combina el contenido del nutriente en el suelo y el nutriente
añadido en una sola variable, (X + Ad), donde X es el nutriente añadido, d es el
contenido del nutriente en el suelo, y A es un factor desconocido de
proporcionalidad. Mombiela el al. (1981) trabajaron en un método que utiliza
resultados del análisis de suelo para la estimación de d en la ecuación de Hildreth.
Un área que necesita mucho más trabajo es el modelar entre sitios el efecto del
clima y de las propiedades permanentes del suelo, para separarlos de la variación
normal del análisis de suelo entre sitios. La elección del modelo afecta la
estimación de la disponibilidad del nutriente en el suelo y como esto se relaciona
con los propios resultados de los análisis de suelo. Diferentes investigadores
podrían obtener diferentes resultados trabajando con el mismo grupo de datos,
dependiendo del modelo que se use. Trabajo adicional sobre la aplicación de
superficies de respuesta requerirá un buen grupo de datos que incluyan
información relevante sobre clima y propiedades permanentes de suelo.
11 INPOFOS
Estadistica en la investigación del uso de fertilizantes
Referencias
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INP OFOS 12
Estadís tica en la investigación del uso de fertilizantes
Capítulo - 3
Como evitar los errores más comunes en el diseño de experimentos de
respuesta a la aplicación de fertilizantes en el campo
En general, muchos de los prob lemas en el diseño de experimentos de respue sta a
la aplicación de fertilizantes en el campo tienen que ver con planificación
inapropiada, que resulta en experiment os de tamaño equivocado, tratamientos mal
escogidos o inadecuado control experimental. Todo esto hace que el experimento
sea rmprecrso.
Los problemas en los experimentos con fertilizantes no necesariamente son únicos
en su clase. Sin embargo , en estos experimentos en particular, el tiempo requerido
para los ensayos es largo y la presencia de cualquier problema es muy costosa. Una
de las caracteristicas de los experimentos con fertilizante es que usualmente tienen
un buen número de tratamientos y esto hace que los bloques sean muy grandes, lo
que a su vez puede causar alta variabilidad. En mucho s casos, son necesarios
surcos o hileras de borde en las parcelas experimentales para reducir la
competencia con tratamientos vecinos y esto también aumenta el tamaño del
bloque .
Medidas del éxito de los experimentos
Algunas de las medidas del éxito futuro de cualquier experimento son las
siguientes:
l . Fueron las interrogantes iniciales importante s?
2. Fueron válida s las suposiciones que originaron las interrogantes?
3. Existe adecuada presión y potencia?
4. Existe un grado apropiado de generalidad?
5. Fueron los tratamientos bien escogidos en relación del uno con el otro?
Los siguientes sonlos requerimientos de un buen experimento (Cox, 1958):
l . Ausencia de error sistemático
2. Precisión
3. Rango de validez
4. Simplicidad
5. Cálculo de incertidumbre
6. Perspectiva adecuada del experimento en
seleccionaron las unidades experimentales
13
relación al ambiente del cual se
INPOFOS
Estadística en la investigación del uso de fertilizantes
La planificación es muy importante en experimentación por las siguientes razones:
l. Vincula los objetivos originales
2. Una opción es siempre la de no conducir el experimento
3. Revisa las selecciones originales y optimiza los procedimientos
4. Evita los errores que aparecen dentro del diseño
5. Permite definir el tamaño correcto del experimento
6. Obtiene datos analizables
7. Asegura el aporte tanto del estadístico como del investigador
Beneficios de la estadística en experimentos agronómicos:
1. Ayuda a aclarar problemas y objetivos básicos
2. Promueve el uso más eficiente de los recursos
3. Se adapta o toma ventaja de las limitaciones
4. Permite separar las características esenciales de los datos de las distorsiones
causadas por el azar
5. Resume los resultados
6. Juzga si los resultados observados son debidos a la casualidad
Un enfoque integrado
l. Involucra al estadístico en la etapa inicial del proceso
2. El diseño experimental, el análisis de datos y la interpretación están todos
relacionados entre si
3. Es importante en la selección de tratamientos
4. Estima el tamaño del experimento
5. Busca calidad en el conjunto de datos experimentales
6. Permite iniciar un intercambio de experiencias entre el estadístico y el
investigador
7. Fomenta una relación profunda y de largo plazo entre el estadístico y el
Investigador
Proceso de planificación de los experimentos
I . Es la esencia de la investigación.
2. Los buenos resultados experimentales no son un accidente - son el resultado de
la cuidadosa planificación
A continuación se presenta una breve revisión de los aspectos que se deben
cubrir en la planificación
a) La pregunta original - se justifica la investigación?
INPOFOS 14
Estadística en la investigación del uso de fertilizantes
b) Los objetivos
e) La hipótesis
d) El diseño experimental
e) Contrastes
f) La elección de tratamientos
1) Diseño de los tratamientos
2) Uso de controles?
g) Están disponibles todos los materiales requeridos?
h) Selección del lugar y caracterización
i) Diseño del campo
j) Diseño estadistico en el campo
k) Número de repeticiones de las unidades experimentales
1) Estructura de la parcela
m) Randomización
n) Muestreo en las parcelas experimentales
o) Manejo
p) Observación y valoración
q) Métodos propuestos de análisis e interpretación
Pasos secuenciales del diseño de un experimento
l. Marco de decisiones basado en los principios involucrados
2. Un experimento exitoso depende de decisiones correctas para todas las etapas
3. Estas decisiones deben estar formalizadas en papel e implementadas
4. Sin embargo, debe dejarse espacio para algunas modificaciones si las
limitaciones en el campo así lo exigen
5. La planificación y control van de la mano
6. El estadístico debe estar involucrado en el proceso de planificación
a) Puede hacer preguntas acerca de como la planificación se relaciona con la
pregunta original
b) Puede ayudar a la selección de las parcelas y los tratamientos
e) Puede aconsejar en la elección de un diseño
d) Puede visualizar cual va a ser el análisis estadístico requerido
7. El estadístico debe permanecer involucrado a través de todo el proceso
a) Puede aconsejar en el proceso de medición de las variables
b) Puede ayudar en el análisis de datos
e) Puede ayudar a interpretar los resultados
d) Puede ayudar en la escritura del reporte final
8. No espere que cada experimento sea un éxito
a) Recuerde que existe un fuerte efecto ambiental en el campo
9. Es necesario planificar debidamente cada experimento para que las
probabilidades iniciales de éxito sean altas
15 INPOFOS
Estadística en la invest igación del uso de fertilizantes
10. Se debe añadir que generalmente cada experimento tiene un proceso separado
de planificación. Los planes no pueden ser transferidos de un experimento a
otro
Preguntas importantes en relación con los experimentos de fertilidad de suelo
1. Están los experimentos localizados en lotes que presenten respuesta?
2. Existe un excesivo número de factores en el experimento?
3. Es correcto el rango de las dosis?
4. Es el espaciamiento entre dosis igualo desigual?
5. Está el experimento diseñado para encontrar el óptimo agronómico o el mejor
modelo o ambos?
6. Existe un mínimo de 10 grados de libertad para estimar el error?
El tamaño de las parcelas experimentales afecta la precis ión del experimento.
Generalmente, se utilizan parcelas pequeñas y por eso se debe replicar más.
Parcelas largas y angostas en la dirección del gradiente son las mejores para
muchas situaciones. Sin embargo, existen excepciones. Es mejor estudiar la
precisión tratando de mejorarla a través del tiempo, cambiando el tamaño de la
parcela, el número de réplicas y posiblemente la forma y orientación de la parcela.
En cualquier discusión acerca de cómo evitar errores, se debe mencionar los
problemas de comparaciones múltiples (Nueva Prueba de Rango Múltiple de
Duncan, DMS, prueba de Tukey, etc.) . Ha habido excesivo e incorrecto uso de
estos procedimientos en las revistas científicas por algunos años. A continuación
se citan partes de artículos de tres prominentes estadísticos que discuten
ampliamente este aspecto:
Plackett, R.L. "Muchos de los aspectos de las comparaciones múltiples sor.
esencialmente artificiales" .
Nelder, J.A. . "Los métodos de comparación múltiple no tienen lugar en la
interpreta ción de datos" .
Anderson, R.L. "El perjuicio más grande para la profesión de la estadística ha sido
la creación de los procedimient os de comparación múltiple" .
Estos procedimientos tienen poco o ningún uso en el análisis de los datos de
experimentos de repuesta de fertilizantes , debido a que el primer interés está
centrado en la superficie o curva de respuesta, que relaciona la respuesta de
rendimiento con las dosis de fertilizante. A pesar de esto, todavia se usan estos
procedimientos al analizar datos de respuesta a la aplicación de fertilizantes.
INPOFOS 16
Estadística en la investigación del uso de fertilizantes
Referencias
Cochran, W. G. and G. M. Cox. 1957. Experimental designs, 2"d. Ed., Wi1ey, New
York.
Cox, D. R. 1958. P1anning ofexperiments. Wi1ey, New York.
17 INPOFOS
Estadística en la investigación del uso de fertilizantes
Capítulo - 4
Determinación de las dosis óptimas, estadísticas y económicas, en base a
los datos experimentales: Diseño de los tratamientos, modelos, análisi s e
interpretación
Gran parte del éxito de la investigación en el cual se basan las recomendaciones de
las dosis de fertilización dependen de la buena planific ación. El análisis de datos y
la interpretación dependen mucho de la manera como fue diseñado el experimento,
asi que es necesario tomar en cuenta estos aspectos cuando se plani fica el
experimento .
La importancia de planificar en el proceso de experim entación
La planificación de un experimento debe relacionarse con los objetivos originales.
De otra manera, se puede tener un excelente experimento que contesta las
preguntas equivocadas. Se debe recordar siempre que una opción es la de no
realizar el experimento si no se lo puede diseñar para lograr los objetivos
planteados.
A menudo, se establece un grupo de especificaciones preliminares que después de
pensarlas cuidadosamente se corrigen . La discusión con un consultor en estadistica
también es de mucha ayuda. Este es un proceso iterativo, el cientifico agrónomo
hace un plan preliminar y lo discute con el estadístico. El científico regresa a su
oficina y 10 vuelve a pensar para regresar nuevamente con el estadístico. El tiempo
utilizado en este proceso se justifica porque el tiempo del experimento en el campo
es largo y cualquier defecto en la planificación será costosodesde el punto de vista
de tiempo y trabajo.
Uno de los objetivos es evitar que se diseñen fracasos que impidan que el
experimento logre sus objet ivos, o en algunos casos que sea un fracaso total. El
evitar el mal diseño no garantiza el éxito, pero al menos elimina los fracasos
producto de un mal diseño.
Un área que realmente necesita cuidadoso razonamiento es el tamaño del
experimento, en realidad, el número de repeticion es. Si se diseña un experimento
muy pequeño, éste tendrá tan poco poder que sería mejor no realizarlo. Si el
experimento es muy grande, éste será costoso. Es posible estimar, con bastante
precisi ón, el tamaño de un experimento si se conoce que tamaño de diferencias
entre medias es necesario, y se tiene, por experiencia, una estimación del
coeficiente de variación. Se necesita también seleccionar el nivel de confianza
requerido. Esto se refiere a las tablas de números de repeticiones en el capítulo 2
INI'OFOS 18
Estadi stica en la investigación del uso de fertilizantes
del texto de diseño experimental de Cochran y Cox (1957). Una manera de evitar
los problemas de experimentos pequeños es el combinar experimentos de un factor
en factoriales. Si se debe tener un número pequeño de tratamientos en
experimentos de un factor a la vez, quizá sean necesarias más repeticiones. Las
experiencias del autor con dos repeticiones nunca han sido buenas, pero tampoco
hay nada mágico con tres o cuatro. Si se desea alcanzar la precisión necesaria, se
puede necesitar hasta cinco o seis repeticiones. Una regla general con respecto al
número mínimo de repeticiones es que los grados de libertad para estimar el error
experimental deberían ser por lo menos 10. De este modo, un experimento con 5
tratamientos y 3 repeticiones será muy pequeño para cumplir con este
requerimiento.
Se debe diseñar un experimento teniendo en cuenta el futuro análisis de los datos.
Es posible probar el análisis en un grupo de datos simulados aun en la etapa de
planificación, para asegurarse que los datos serán analizables.
Algunas características especiales de los experimentos con fertilizantes son:
l . Se ajustan superficies a las respuestas obtenidas
2. A menudo existe un excesivo número de tratamientos
3. Es dificil separar el efecto de la adición de nutrientes del efecto del contenido
nativo de nutrientes en el suelo
4. Involucra una serie de experimentos del mismo tipo
Algunas consideraciones sobre modelos de ajuste que deben tomarse en cuenta en
la etapa de planificación son:
l . Número de parámetros a ser estimados
2. Sesgo resultante de ciertos diseños de tratamientos y de ciertos modelos
3. Debe haber un control separado en el experimento?
Aspectos del diseño experimental
Un experimento se define como una "Experiencia Planificada". Los cuatro
pnncipios del diseño experimental son:
1. Replicación
2. Randomización
3. Control local o bloqueo
4. Uso del diseño más simple posible para lograr los objetivos
Los criterios para seleccionar un diseño experimental son:
19 INPOFOS
Estadistica en la investigación del uso de fertilizantes
1. Sencillez
2. Conveniencia
, Control del error
~ . Flexibilidad
5. Facilidad de análisi s de los datos del experimento
Los diseños experimentales normalmente utilizados en experimentos con
fertilizantes son:
1. Bloques al azar
2. Parcela divida
3. Bloques incompletos
4. Cuadrado Latino.
Probablemente el diseño de bloques al azar es el más común, seguido por parcela
dividida. Existen casos donde se ha utilizado el diseño de parcela divida cuando lo
correcto hubiese sido utilizar un diseño de bloques completos al azar. A menudo, el
diseño de parcela dividida no brinda suficiente precisión en la parcela grande.
Una pregunta aparece reiteradamente con respecto a experimento s con fertilizantes.
Si se involucran una serie de sitios, es mejor tener una repetición por sitio en más
sitios, o es mejor replicar dentro de cada sitio? La segunda alternativa es mejor
porque permite hacer conclusiones por sitio antes que solamente una conclusión
general sobre todos los sitios. Además, teniendo repeticiones en los experimentos
en cada sitio se pueden encontrar lugares en los cuales existen problemas con los
datos . Esto no es posible con experimentos de una sola réplica por sitio.
Cuando se han muestreado una serie de sitios, la pregunta es: se debe muestrear la
población de sitios al azar o es deseable un enfoque más sistemático? E~
aconsejable un enfoque más sistemático que asegure que todo el rango de las
variables que definen la población esté representado. En la Figura 3 se presenta un
ejem plo donde se cubre un rango de combinaciones entre pH y contenidos de P.
Cuando se tiene una serie de experimentos, es importante estandarizar en lo posible
todos los factores (diseño experimental, dosis, fechas de ejecución de actividades,
variedades, etc.). Generalmente, existe dificultad con la determinación de niveles
de fertilizante ha utilizarse para lograr un grupo de dosis que sea apropi ado para
todos los sitios.
Se debe esperar una variación muy grande por efecto del ambiente, que a menudo
es mayor que la variación que se espera como efecto de los tratamientos. Aquí
surge una pregunta: se debe calcular el óptimo para cada sitio y de allí promediar, o
se debe calcular un solo óptimo para todos los sitios en un análisis combinado? Se
I!'IPOFOS 20
Estadística en la investigación del uso de fertilizantes
x X X
o
""~
" X"D X X::c:
e,
X X X
•
Contenido de P en el suelo
Figura 3. Rango de pH y contenido de P en el suelo cubierto con muestreo
sistemático.
deben analizar los datos a medida que van llegando para asegurar que los niveles
escogidos son apropiados. Si se detecta un problema serio con el diseño, éste puede
ser cambiado de un año al siguiente. Esto hace el análisis combinado más difícil,
pero por lo menos no se persiste con un trabajo con errores.
Diseño de los tratamientos
El arreglo de los tratamientos es muy importante en ios experimentos con
fertilizantes y este aspecto es independiente del diseño experimental. Algunos de
los criterios para seleccionar el diseño de tratamientos son:
1. Los datos deben ser interpretables sin necesidad de un análisis extensivo
2. Limitar el número de tratamientos
3. Promover la baja varianza de los coeficientes estimados
4. Promover la baja varianza de los valores predichos
5. La varianza de la pendiente de funciones de respuesta estimadas deben ser
pequeñas en la parte central del espacio del factor
6. Bajo sesgo en la superficie ajustada
7. Disponer de una medida de falta de ajuste
8. Incluir una parcela testigo
21 INPOFOS
Estadística en la investigación del uso de fertilizantes
Con respecto al diseño de tratamientos, es posible evaluar propiedades estadísticas
(por varianzas) antes de correr el experimento. De allí se puede escoger el diseño
de tratamientos que tenga las mejores propiedades.
Los diseños de tratamientos comúnmente usados son:
l . Factorial completo
2. Una repe tición de un factoria l grande (5 x 5 o más grande),
3. Factorial fraccionado
4. Superficie de respuesta
Adicionalmente, se han desarrollado vano s diseños ad hoc que son también
utilizados. Estos son:
l . Diseño Escobar
2. Diseño San Cristobal
3. Cuadrado Doble
Existen algunos aspectos que deben tomarse en cuenta y que pueden estar o no
relacionados con el diseño de tratamientos escogido. Uno de éstos es el rango total
de las dosis de fertilizante. Si este rango no se escoge bien puede exclu irse el
óptimo o puede contener un gran porción de puntos en la meseta de respuesta. La
experiencia ayuda, pero los efectos de una temporada en particular pueden hacer
que las dosis escogidas sean inapropiadas .
El número de dosis es importante. Si hay necesidad de confirmar un modelo de
respuesta, tres niveles son muy pocos. Cinco serían mucho mejor, pero por
supuesto, el número de tratamientos se hace más grande.
Con relación al espaciamiento de las dosis, es preferible usar espacios iguales en
vez de espacios geométricos. Esto asegura que no se produzcauna brecha grande
en el área donde se localiza el óptimo. Aun utilizando el diseño de superficies de
respuesta quizá sea necesa rio alterar un poco el espaciamiento para asegurar que
ciertos tratamientos no queden muy cerca. Esto generalmente afecta poco las
propiedad es del diseño de superficies de respuesta.
Desarrollo de modelos
Existe una varieda d de modelos que han sido usados en la evaluación de la
respuesta a la aplicac ión de fertilizantes. Los modelos asintóticos (por ejemplo la
ecuación Mitscherlich) que requieren ajuste iterativo han perdido campo frente a
los modelos polinomiales que son más convenientes, particularmente en el caso de
experimentación en mu1ti - sitios. No solamente existe el modelo cuadrático, sino
INPOFOS 22
Estadística en la investigación del uso de fertilizantes
que también se puede usar polinomios con la variable transformada (ejemplo raíz
cuadrada).
Se debe recordar que no existe un modelo ideal. Hay que tener mucho cuidado para
evitar que el modelo escogido produzca estimaciones sesgadas del óptimo. Este es
probablemente un criterio más importante que el tamaño del R' (coeficiente de
determinación multiple) ya que muchos modelos producen R2 similares, pero el
óptimo estimado por cada uno de ellos es muy diferente.
Siempre existe el problema de como manejar el contenido de nutrientes nativos del
suelo dentro del modelo. El cultivo responde tanto a los nutrientes nativos del suelo
como a los nutrientes añadidos con los fertilizantes. Existen dos enfoques. El
primero es incluir el contenido del nutriente en el suelo (determinado por análisis)
como una variable separada en el modelo (covariable). El segundo es intentar
combinar las dos en una sola variable, (X + d), donde X es el nutriente añadido y d
es el nutriente nativo del suelo. Si d es estimado mediante el análisis de suelo (t),
éste no estará en las mismas unidades de disponibilidad que X, de modo que
generalmente se usa un multiplicador para disponibilidad, por ejemplo (X + At),
donde Aes el coeficiente de eficiencia (que debe ser estimado a partir de los datos).
La ventaja de combinar las dos fuentes de nutrientes en un solo término es que le
da al nutriente un rango mayor y de este modo su coeficiente es estimado más
eficientemente (varianza más baja).
Es necesario mencionar que se presentan problemas con los modelos tradicionales
cuando la respuesta forma una meseta. En esta situación, los modelos cuadratico,
raíz cuadrada y Mitscherlich sobreestiman la cantidad optima de nutriente así como
el rendimiento estimado en este punto óptimo. Esto se debe a que el ajuste
matemático de los datos mueve el óptimo hacia la derecha como se observa en la
Figura 4.
Anderson y Nelson (1975), desarrollaron los modelos discontinuos (línea - meseta)
para usarse en estas situaciones. El mejor ajuste se selecciona de un conjunto de
ocho submodelos. El análisis económico se lleva a cabo en este último modelo y
consiste en la comparación de la pendiente de la parte lineal con la relación
costo/precio (r). Si la pendiente excede r, se añade fertilizante para llegar a la
intersección de la pendiente con la meseta. Generalmente, los modelos
discontinuos producen estimados conservadores del óptimo.
En general, es preferible un modelo con un limitado número de parámetros que es
fácil de ajustar y que no produce sesgo en la estimación del óptimo.
23 INPOFOS
Estadistica en la investigación del uso de fertilizantes
... ...~ ...
I Y' = a + bK • CK21
Para K < O.29 = 12.63 + 275.78 K
Para K > 0.29 '" 92.63
0.60.50.40.3
¡
•0.29
0.20.1
100
;? 90•
o
> 80:;;
~
o 70
<:
. ~
E 60'i5
e
~
" 50
40
O
K en el sue lo (meq/l OO g)
Figura 4. Ajuste de datos de la respuesta de plátano a la aplicación de K
con el modelo cuadrático y con un modelo discontinuo en suelos de las
áreas plataneras de Colombia (adaptado de Espinosa et al., 1998).
Análisis de Datos
En general, los análisis estadísticos apropiados son el análisis de la varianza y el
ajuste de regresiones de una curva o superficie de respuesta. Luego se pueden usar
los parámetro s estimados, obtenidos en el ajuste estadistico, con la relación
costo/precio para estimar la dosis óptima económica.
Cuando se trabaja con datos de una serie de experimentos, es necesario realizar
primero un análi sis de varianza por lugar y/o año y luego conducir un análisis de
varianza combinado. El procedimiento del análisis de la varianza dependerá de
cuales factores son fijos y de cuales son al azar. Se intentará ajustar una sola
superficie de respuesta para todos los sitios, pero con términos que representen las
diferencias entre sitios y la interacción de estos términos con las variables del sitio.
La ventaja de ajustar este modelo para todos los sitios es la generalidad, así como
la estabilidad, debido al tamaño adicion al.
Un formato común para el análisis combinado para una serie de sitios dentro de un
mismo año es la siguiente:
INPOFOS 24
Estadística en la investigación del uso de fertilizantes
Fuente
Sitio
Rep (Sitio)
Tratamientos
SxT
Error
d.f.
s-l
ser~ 1)
t - 1
(s >- 1 )(t-l)
s(t~l)(r~l)
En este esquema, s es el número de sitios, r el número de repeticiones y t el número
de tratamientos. Usualmente, Sitio se considera un factor al azar y Tratamiento un
factor fijo, de manera que se puede probar el cuadrado medio de los tratamientos
usando el cuadrado medio de la interacción S x T (una prueba conservadora). En la
etapa de modelaje se podrían colocar variables fisicas (fertilidad u otras
propiedades del suelo) que explicarían la variación entre sitios. Se estaría ajustando
las medias de la interacción en vez de las observaciones individuales de las
repeticiones a las variables independientes. En un experimento N ~ K - P, el
modelo podría aparecer de la siguiente forma:
y = ba + b.N + b2P + b3K + b llN2 + b22P2 + b33K2 + b12NP + b 13NK + b23PK +
b, P del suelo + b, K del suelo + b, pH del suelo, donde:
y ~ rendimiento estimado
ba ~ intercepto
b, ~ coeficientes de regresión parcial
N, P YK ~ niveles de nutrientes añadidos
N', p2 YK' ~ términos cuadráticos
NP, NK YPK = términos de interacción
P del Suelo, K del Suelo y pH del Suelo ~ niveles iniciales de fertilidad del suelo
(covariables)
Las variables de Sitio en el modelo serán probadas por el cuadrado medio residual
del Sitio y las variables de fertilizante por el cuadrado medio de la interacción Sitio
x Tratamiento., ambos provenientes del análisis de la varianza. Se debe prestar
atención a los signos de los coeficientes ya que sería imposible obtener un máximo
si los signos de los coeficientes no son correctos. Normalmente, los términos
lineales deben ser positivos y los términos cuadráticos negativos. En general, las
computadoras y los paquetes de estadística han hecho el análisis e interpretación
mucho más fáciles y posiblemente más exactos.
Para encontrar la combinación económica óptima en el caso anterior, es necesario
encontrar las tres derivadas parciales e igualarlas a las tres relaciones costo/precio
de la siguiente forma:
25 INPOFOS
Estadística en la jnvestjgactén del uso de fertilizantes
av I aN = b, + 2b"N + b12P + b13K = ro
av lap
av l aK
aV/aN
aVlap
8V/aK
= b, + 2b;,2P+ b12N + b" K = rp
= b, + 2bl3K + b13N + b"P = rk, donde:
= derivada parcial del rendimiento con respecto al nitrógeno
derivada parcial de l rendimiento con respecto al fósforo
derivada parcial del rendimiento con respecto al potasi o
= relaciones costo/precio para N, P Y K, respectivamente
Luego se resuelven las tres ecuaciones simultáneamente para la combinación única
de N, P Y K. Si el modelo original hubiese tenido interacciones entre nutrientes de
suelo y nutrientes añadidos, se necesitaría ínvolucrar algunos términos adicionales
en las derivadas .
Se pueden usar paquetes estadístícos de computadora para conducir los cálculos
anteriores, pero su uso puede ser complicado por el hecho de que se está
encontrando el opt imo para una serie de sitios y a que se tiene alguna s covariables
en el modelo. El procedimiento"Response Surface Regression" (RSREG) en SAS
(1989) fue diseñado más para calcular automáticamente la combinación óptima
para rendimiento físico máx imo, antes que para calcular el óptimo económico de
un solo sitio.
Referencias
Anderson, R. L. and L. A. Nelson. 1975. A family of models involving
intersecting straight lines and concorn itant experimental designs used in
evaluating respon se to fertil izer nutrients. Biometrics 31: 303-318 .
Baum, E. L. ; E. O. Heady and John Blackmore. 1956. Methodological procedures
in the economic analysis of fertilizer use data . The Iowa State Univ. Press ,
Ames.
Baum, E. L. ; E. O. Heady and C. G. Hildreth. 1957. Economic and technical
analysis of fertili zer innovations and resource use. Iowa State. Univ. Press,
Ames.
Cochran, W. G. and G. M. Cox. 1957. Experimental designs, 2nd Ed. Wiley, New
York.
Espinosa, J., S. Belalcazar, A. Chacón y D. Suarez. 1998. Fertilización del plátano
en altas densidades. En Memorias de la XIII Reunión de ACROB AT, Ecuador
98. Guayaquil - Ecuad or.
Heady, E. O.; J. T. Pesek and W. G. Brown. 1955. Crop response surfaces and
economic optima in fertilizer use . Iowa Agr . Expr. Stat, Res. Bu!. 424.
INPOFOS 26
-
Estadística en la io\'estigaci6n del uso de fertilizantes
National Acaderny of Sciences , National Research Council. 1961. Status and
methods of research in econornic and agronornic aspects of fertilizer response
and use. Publication 918.
SAS Institute Inc., 1989. SAS/STAT® User 's guide, (vol. 1; 4th ed.) Cary, North
Carolina.
27 INPOFOS
Estadística en la investigación del uso de fertilizantes
_ _ _ _ _ _ _ _C--'--'-apítulo - 5
Arte y ciencia del análisis e interpretación de los datos de los
experimentos con fertilizantes
En primer lugar, se debe indicar que lo que se discute a continuación no es único
para los datos de experimentos de respuesta a fertilizantes. Existen otras disciplinas
biológicas y agrícolas que utilizan experimentos con variables cuantitativas en las
cuales se aplican también los comentarios que se presentan a continuación.
La estadistica aplicada a los problemas de ciencia del suelo tiene las siguientes
ventajas:
1. Ayuda a aclarar la concepción del problema básico y los objetivos del
experimento
2. Permite el uso eficiente de los recursos
3. Permite adaptarse o tomar ventaja de las limitaciones
4. Separa las características esenciales de los datos de características debidas al
azar
5. Condensa los resultados
6. Juzga sí los resultados observados se deben a la casualidad
La conducción de experimentos de fertilidad de suelo requiere de un enfoque
mtegrado que debe considerar los siguientes aspectos:
l. Involucrar al estadístico en la etapa inicial del proceso
2. Relacionar conjuntamente el diseño experimental, análisis de datos y la
interpretación
3. Seleccionar bien los tratamientos
4. Estimar el tamaño apropiado del experimento
5. Confirmar la calidad de los datos experimentales
6. Desarrollar programas educacionales para los técnicos y científicos
involucrados
7. Establecer una relación profunda y de largo plazo entre el estadístico y el
cientifico de suelos
Algunos puntos sobresalientes del análisis estadístico son los siguientes:
l . El análisis de la varianza no es el único método de análisis
2. El análisís de la varianza debe estar relacionado con las comparaciones
originalmente planeadas
INPOFOS 28
Estadística en la investigación del uso de fertilizantes
3. Se debe incorporar en el análisis de la var ianza comparaciones de un grado de
libertad
4. Se debe rep ortar la rea l significación estadística en lugar de colocar asteríscos
Nelson y Rawlings ( 1983) discutieron los diez usos indebidos más comunes de la
estadística en la inve stigación agronómica y en la presentación de reportes.
Además, discutieron como debería haberse realizad o el diseño, análisis,
interpretación y reportes con varios ejemplos. Este documento puede ser usado
como una guía para el análisis e interpretación de datos de experimentación
agrícola.
Un ejemplo de un análisis de varianza de un diseño de parcela dividida que
dem uestra la subdivisión de la suma de cuadrados de los tratamientos en contrastes
lógicos de un grado de libertad se presenta a continuación:
Fuente g.l. ¡ CM F : P>F:
Bloque s 3
:
523333
:
Ca l (C) 1 : 892000 6.59 0.083
Error (a) 3 135333
Nitrógeno (N) 3 273333 2.95 0.061
NL 1 152000 1.64 0.217
I NQ l 650000 7.02 0.0 16
I
NFa1ta de aj uste 1 18000 : 0.19 0.670
C x N 3 : 313000 3.38 0.041, Error (b) 18 92500
I Total (correg ido) 31
Con este desglosamiento especi fico de los grados de libertad, la interpretación es
más clara. La Cal interacciona con el Nitrógeno y por esta razón es necesar io
ajustar una curva separada de Nitrógeno por cada nivel de Cal. Se debe anotar que
para obtener aun más claridad, se puede desglosar la interacc ión de C x N en
componentes simples de un grado de libertad. Con las ecuaciones resultantes se
puede estimar la dosis óptima de ferti lizante o se puede predecir el rend imiento a
obtenerse con una comb inac ión de nutrientes dada.
Si se está trabajando con una serie de sitios (y/o año s), existen dos tipos de análisis.
Primero un análisi s por cada experimento individual y luego un análisis
combinado . El análisis combinado se cubre con detalle más adelante.
En este punto es importante discutir el uso y mal uso de las pruebas de
comparación mú ltiples (Nueva Prueba de Rango Múltiple de Duncan, DMS , etc.),
29 INPOFOS
Estadística en la invest igaci én del uso de Iert ñíza ntes
ya que esto se aplica bien al tópico en discusión. Los procedimientos de
comparación múltiple fueron desarrollados para casos donde no se tiene una buena
idea de cuales comparaciones son lógicas . Por ejemplo, son usados en
experimentos con variedades. Sin embargo, en muchas otras situaciones se tiene
una buena idea debido a que se diseñó el experimento para hacer contrastes
específicos. Existen dos situaciones en particular donde no se deben utilizar
comparaciones múlt iples:
l . Cuando se comparan media s de combinaciones factoriales en un experimento
factorial
2. Cuando se comparan medias de niveles de un factor cuantitativo
Ejemplo del primer caso es el siguiente:
Tratamientos
Variedades Dosis de inócu lo :
Ladak
Rambler
o
10
20
40
O
10
20
40
Medias del rendimiento
1.17 a b
1.28 a b
1.08 a
1.43 b e
0.94 a
1.42 b e
1.54 e
1.25 a b
En este ejemplo, si se tiene en cuenta que el diseño de tratamientos es un factorial
de 2 x 4, se debe conducir un análisis de varianza con subdivisión factorial de
tratamientos . La comparac ión múltiple utilizada no es apropiada. Si el análisis de la
varianza demuestra que las dosis de inóculo son importantes, se deben ajustar
curvas de respuesta por variedad o una curva combinada de las dos variedades.
Ejemplo del segundo caso se presenta a continuación :
INPOFOS
Al añadido
ppm
o
10
20
40
30
Al extraído
ppm
33 a
44 a b
48 b e
55 c
1
I
r
1
Estadistica en la investigación del uso de fertilizantes .
En este ejemplo, el Al añadido es un factor cuantitativo y la comparación múltiple
no es apropiada. En este caso, se debe ajustar una curva y desarrollar una ecuación
en lugar de comparar todos los pares de medias. Las comparaciones múltiples se
deben evitar en todos los casos en los cuales se conoce que existe un modelo
lógico, como una respuesta curvilínea a las dosis de fertilizantes. La comparación
especifica de interés no tiene suficiente poder porque el poder se divide entre todas
las comparaciones.
Un ejercicio que demuestra los problemas de las comparaciones múltiples consiste
en aplicar diferentes procedimi entos de comparación múltiple en un mismo grupo
de datos. Los resultados son generalmente muy reveladores. Las pruebas más
conservadoras (que no encuentran muchas diferencias), tales como Tukey y
Scheffe, muestran solo un grupo, mientras que las pruebas sensitivas (que
encuentran más diferenc ias), como el DMS, muestran varios grupos. Esto
demuestra claramente cuan arbitrario es todo el conceptode comparaciones
múltiples. Algunos artículos útiles en el uso y mal uso de las comparaciones
múltiple son: Chew, V. (1976, 1977 y 1980) y Little, T.M. (1978 y 1981).
El mal uso de las pruebas de comparación múltiple y el reporte resultante solo
producirá mala información y propagará más el mal uso de estos procedimientos.
Análisis factorial e interpretación
Muchos de los experimentos que se conducen en suelos y fertilizantes son
factoriales por naturaleza. El arreglo factorial de los tratamientos es muy
estructurado lo que implica una subdivisión factorial de la suma de cuadrados de
los tratamientos en el análisis de varianza. Esto es el primer y obligado paso en el
análisis de datos. Una gran parte de la interpretación depende de si existe una
interacción significativa o no. Si la interacción no es grande e importante, se puede
. proceder a realizar la interpretación de las medias del efecto principal y éstas son
las que deben reportarse en el informe de los resultados.
Sin embargo, existe mucha confusión y se encuentra que mucha gente no
aprovecha la descomposición factorial como parte del análisis de la varianza, o no
se es 10 suficientemente especifico en el informe con respecto a la descomposición
factorial (fue la interacción importante?). La estructura factorial de los tratamientos
hace que el informe sea algo dificil porque cada caso es más o menos único. Es
dificil delinear reglas generales sobre el formato de presentación del informe.
La tendencia de las revistas científicas de biología y agricultura en los Estados
Unidos ha sido la de reportar solo las medias y presentar los resultados de las
comparaciones múltiples. Si se enfat iza primero el análisis factorial y luego se hace
en el ajuste de curvas, o la comparación de medias de factores cualitativos con
31 lNPOFOS
Estadistica en la investigación del uso de fertlllzan tes
contrastes, dependiendo de los resultados del análisis factorial , se necesita más
especificidad en el informe. Es aconsejable la inclusión de una tabla de varianza
simple luego de la tablas de medias para presentar un resumen de lo que pasó en el
análisis. Esto se contrapone un poco con la tradición de las revistas científicas ya
que los editores tratan de conservar espacio, sin embargo, esto es importante para
presentar un breve reporte de lo que paso en el análisis. El siguiente ejemplo
muestra el uso y benefic io de presentar un breve análisis de la varianza bajo la
tabla de medias .
Series de Suelo Cultivar Conteo de población'
Alford A 24
B 21
C 23
D 26
Hosmer A 21
B 27
C 20
D 28
Win A 23
B 27
C
i
25
D 27
* Media de tres observaciones en un disefio completamente al al ar
¡ Anális is de varianza,
:
Fuente g.l. C.M. F Prob>F
Suelo 2 4.34 i .09
Cultivar 3 13.11 3.28 0.038
D vs (ABC) l 28.44 7.11 0.014
C vs (AB) .: 1 2.72 0.68 0.4 18
B vsA . I 8.17 2.04 0.166
I
Suelo x Cultivar 6 5.78 1.45 0.237
Error 24 4.00
!
El análisis de varianza presentado debajo del grupo de medias de los tratamientos
claramente demuestra que las medias del conteo de población de cultivar D es
diferente de la media de los otros tres cultivares combinados. No existe ninguna
diferencia entre suelos y tampoco existe interacción entre suelos y cultivares. Esta
INPOFOS 32
Estadística en la tavesngaetón de. uso de Iertilizantes
interpretación no seria evidente solo mirando las medias o usando una prueba de
comparación múltiple.
Uso de sola mente parte de los datos para estimar el error de varianza
Una de las tendencias de muchos artículos de revistas científicas ha sido calcular y
reportar solamente la desviación estándar de cada tratamiento. El problema con
ésto es que las desviaciones estándares son muy inestables porque se basan en
pocas observaciones (3 ó 4). Además, en el caso de un diseño de bloques al azar,
no se remueve el efecto de bloque. Por esta razón, se debe reportar comúnmente
una sola desviación estándar o el error estándar de la media para todo el grupo de
datos, a menos que exista una razón para creer que el error no es homogéneo y
cambia con las dosis de un factor cuantitativo tal como la dosis de fertilizantes (o
tiempo). Esto se aplica tanto a tablas como a gráficos. El gráfico que muestra la
desviación estándar para cada nivel no es apropiado (Figura 5).
En la Figura 5 no están bien dos cosas. Primero, se debe presentar una sola barra
que represente la desviación estándar calculada en base a todos los datos, en lugar
de la desviación de cada una de las dosis. Segundo, se debe dibujar una curva
ajustada con algún tipo de modelo en lugar de conectar cada par de medias con
una línea recta.
-~
1-.'.··1 ---- ---fo /<=~§ ,/ - -"C
~ /~
e; /
/
I I I I
O so 100 ISO 200
Dosi s de ferti lizante s
Figura 5. Uso inapropiado de la desviación está ndar al grafiear respuestas
a dosis de fertilizantes.
33 INPO FOS
Estadistica en la investigación del uso de fertilizantes
Uso de un apropiado término de error para probar los
parámetros de los modelos
Se debe tener mucho cuidado al probar los parámetros en un modelo de respuesta a .
fertilizantes con el aprop iado término de error. Existe un error puro en este análi sis,
pero generalmente hay también una estimación de falta de ajuste (el residuo de la
suma de cuadrados de los tratamientos después de que se han removido todas las
sumas de cuadrados para los términos del modelo). Con los paquetes de
computadora corno SAS (1989), se debe tener cuidado' al programar de modo que
se utilice el error puro al probar cada efecto (incluyendo la falta de ajuste) y no el
cuadrado medio del error de falta de ajuste o el cuadrado medio combinado de falta
de ajuste con el error puro. El uso de un término de error incorrecto puede llevar a
interpretaciones completamente diferentes de lo que realmente pasó en el
experimento.
Análisis económico e interpretación
El aná lisis de la varianza y el ajuste de modelos son los procedimientos de análisis
estadístico usados en el tratamiento de los datos de respuesta a fertilizantes. A
continuación debería incluirse un análisis económico. Esto generalmente incluye
el encontrar el punto en el cual el costo marginal es igual al retom o marginal. En
términos operacionales, se debe calcular la razón (costo de la unidad de nutriente
en el fertilizantcj/tvalor unitario del producto) e igualarla con la derivada del
rendimiento con respecto a la dosis de fertilizante añadido. No es recomendable
fertilizar mas allá del punto en el cual la relación costo/precio, r ~ ayfax (Y ~
rendimiento y X ~ dosis de adición) . Por ejemp lo, si r ~ 0.5 Y la ecuación de
regresión es Y ~ 7.5 + 7.15X - 1.07X' (ecuación de ajuste de la curva), los cálculos
son los siguientes:
Y
aYI8X
r -7.15
0.5 - 7.15
X
7.5 + 7.15X - 1.07X'
7.15 - 2(1.07)X ~ r
- 2.14 X
- 2.14 X
3.1 unidade s del fertilizante
En el caso de dos o tres nutrientes, se toman las derivadas parciales y se las iguala a
la relación costoibenefic io apropiada y se resuelven las ecuaciones simultáneas
resultantes. Existen programas de computadora que calculan automáticamente por
lo menos parte del anális is económ ico y esto es importante cuando se involucran
varios nutrientes. Uno de estos programas es RSREG en SAS (1989).
INPOFOS 34
Estadística en la investigación del uso de fertilizantes
La discusión anterior asume un modelo polinomia!. Este modelo es conveniente en
casos donde se analiza una serie de experimentos, particularmente cuando los
tratamientos tienen arreglos factoriales. El análisis económico es directo. Se han
encontrado casos, en países en desarrollo, donde la respuesta tenía una apariencia
de meseta. En estos casos la familia de modelos de Anderson y Nelson (1975)
proporcionan una estimación más conservadora y probablemente más realista del
optimo fisico y económico. La idea es ajustar una serie de 8 modelos (y sus sub -
modelos) a la respuesta al fertilizante y escoger el modelo que mejor se ajust e.
Estos modelos consisten en lineas rectas que se interceptan, antes que curvas
continuas. La interpretación económicageneralmente recomienda aplicar el
nutriente hasta llegar al punto de la intersección de las dos lineas y sobre este punto
añadir solamente lo extraído en la cosecha o no añadir nada. Los modelos
discontinuos son un tanto más dificiles de ajustar e interpretar cuando hay varios
nutrientes y cuando se analizan los datos de algunos sitios en un análisis
combinado.
Reporte de los resultados
El reporte de los resultados se relaciona mucho con la interpretación. Existen
reportes que tienen problemas. A menudo, los investigadores no describen en
detalle los procedimientos estadísticos utilizados en la sección de materiales y
métodos del informe o artículo científico. Se muestran figuras donde las medias de
la respuesta a las dosis de fertilizante se conectan con lineas rectas en lugar de
ajustar las curvas y presentar la ecuación resultante. En algunos casos hasta se
presentan las medias de respuesta con las letras de una prueba de Duncan. En este
tipo de trabajo , es mejor reportar la ecuación de regresión y el óptimo fisico y
económico para cada situación (año o lugar). Una superficie de respuesta también
hace una figura apropiada y en este caso no se necesíta reportar las medias
individuales en las cuales se basó el cálculo.
De nuevo, es necesario puntualizar que si se presenta un reporte con buen formato,
otros en el futuro pueden seguir el ejemplo.
Referencias
Anderson, R. L. and L. A. Nelson 1975. A family of models involving intersecting
straight lines and concomitant experimental designs useful in evaluating
response to fertilizer nutrients. Biometrics 31: 303-318.
Chew, V. 1976". Comparing treatrnent means: A compendium. HortScience 11:
348-357.
Chew, V. 1976b. Use and abuse of Duncan' s multiple range test. Proc. Florida
State Hort. Soco89: 251-253.
35 INPOFOS
•
Estadística en la investigación del uso de fertilizantes
Chew, V. 1977. Compatisons among treatment means in an analysis of variance.
ARSI1JSDA Bu!. ARS/H/6.
Little, T. M. 1978. If Galileo published in HortScience. HortScience 13: 504-506.
Little, T. M. 1981. Interprctation and presentation of results. HortScience 16: 637-
640.
Nelson, 1. A. and J. O. Rawlings. 1983. Ten common misuses of statistics in
agronomic research and reporting. J. Agron. Ed. 12: lOO-lOS.
SAS Institute, Inc. 1989. SA S/STAT'" User 's guide. Vol. 1; 4'h ed. Cary, N.
Carolina.
INP OFOS 36
37
Estadistica en la investigación del uso de fertilizantes
Capítulo - 6
Diseño y análisis de nna serie de experimentos en diferentes lugares y
años (análisis combinado)
Para cierto tipo de investigación (como estudios fuertemente influenciados por
factores ambientales), un experimento individual está severamente limitado porque
los resultados son estrictamente aplica bles solamente a ese sitio y año en
particular. Es difícil extrapolar resultados a otras situaciones considerando la
variación en suelos, drenaje, manejo del cultivo e incert idumbre del clima. Se
pueden hacer algunas extrapolaciones ya que los resultado s de experimentos deben
aplicarse lo más ampliamente posible. Sin embargo, un experimento individua l
puede ser de poco valor y las recomendaciones prácticas se basan solamente en los
resultados de una serie de experim entos. Otra razón por la que ciertos experimentos
deben ser repetidos es que los resultados de un sitio individual, aunque
significativos, pueden no ser confiables. Por ejemplo, una de veinte diferencias en
los tratamientos (usando un nivel de .05 de significancia) podria deberse a la
casualidad y el investigado r no sabe cual es. Además , podría ser que algún factor
desconocido esté actua ndo diferencialmente en los tratamientos haciendo que una
proporción aun más grande de los resultados no sea muy confiable. De cualquier
manera, 1 posibilidad en 20 de que las diferencias sean por casualidad no se debe
permitir y la mejor seguridad en contra de la casualidad es repetir el experimento.
Trabajando con una serie de experimentos se puede también determinar si los
tratamientos están interactuando con los sitios.
Una serie de sitios debe representar la población sobre la cual se van a delinear
conclusiones. Cierta selección aleatoria del sitio es deseable , pero a menudo esto
no es posible porque se deben usar los sitios disponibles. En algunos casos, cuando
se escogen los sitios experimentales, se puede hacer un íntento deliberad o para
seleccionar sistemáticamente rangos de uno o más factores ambientales.
El experimento debe mantenerse en el campo por lo menos por tres años, para así
obtener una razonable muestra del clima . Aun con este periodo de tiempo no se
asegura un muestreo del clima típico del sitio.
Uniformidad del diseño y arreglo de los experimentos en el campo
Por razones estadísticas, el diseño experimental debe ser común para todos los
sitios y las demá s especificaciones deben ser uniformes (número de repeticiones,
tratamientos, tamaño y forma de la parcela). El arreglo en el campo de los
experimentos debe ser idéntico de sitio a sitio, aun cuando la randomización debe
hacerse separadamente en cada experimento. Sín embargo, la estandarizacíón de
I!'iPOFOS
p
Estadística en la investigación del uso de fertilizantes
tratamientos no es siempre práctica desde el punto de vista de fertilidad del suelo
ya que algunos nutrientes pueden ser deficientes en un suelo y en otro no. El hacer
aplicaciones complementarias de los nutrientes deficientes a todo el experimento
en los sitios donde se detectan problemas puede ser la solución, siempre y cuando
no exista interacción de estos nutrientes con los nutrientes bajo estudio. La clave
para un análisis combinado es estrechar el rango de la serie de experimentos. de
modo que se pueda usar un grupo común de tratamientos. Si esto no es posible, el
análisis combinado de datos será más complicado y a veces imposible.
Experimentos con repeticiones desiguales pueden ser manejados en análisis
combinado, pero el proceso se hace más dificil.
Las combinaciones sitio-año pueden ser consideradas como ambientes. Algunas
configuraciones de series de experimentos para muestreo de estos ambientes son
las siguientes:
l. Cada uno de los sitios se usa año tras año
Sitios - Años (Ambientes)
Sitios
Años
Sitios x Años
Si no hay randomización cada año, éste es un experimento perenne
2, Los sitios se cambian de año a año
Sitio - Años (Ambientes)
Años
Sitios (en Años)
3. Se usan los mismos sitios a través del tiempo pero diferentes años representan
cada sitio
Sitio - Años (Ambientes)
Sitio,
Años (en Sitios)
Es posible determinar si los tratamientos reaccionan en forma diferente en distintos
ambientes usando un análisis combinado de varianza para una serie de
experimentos. Por supuesto, esto se hace después del análisis individual por
ambiente. La presencia de una interacción entre tratamientos y ambientes en un
análisis combinado indica que es dificil generalizar las recomendaciones en todos
los ambientes representados en el estudio. Esta interacciones ocurren
frecuentemente en la práctica, lo que quiere decir que se debe tener cuidado al
IlW OFOS 38
-
Estadística en la investigación del uso de fertiliza nles
hacer recomendaciones generales. Se espera cierto incremento en precisión al
combinar los datos de una serie de experimentos.
Mecanismos de cálcnlo de la suma de cuadrados para el análisis de la
varianza combinado
A partir del agregado de las Suma de Cuadrados (SC) de los Tratamientos (T) para
cada ambiente (Sitios), se puede obtener las SC de Tratamientos y la SC de
Tratamientos x Sitio (T x S) para el análisis combinado de todos los sitios . Para
obtener la SC de T x S se sustrae, del agregado de las SC de Tratamientos para
cada sitio, la SC de Tratam ientos calculada sobre todo s los sitios combinados.
Sumas de cuadrados necesarias para el análisis combinado:
SC de Sitios = ([S¡J' + - - - + [S,]2) / tb - FC
SC de Tratamientos para el análisis combinado = ([T¡J' + - - - + [T.]' ) / sb - Fe
se de T x S para el análi sis combinado = Agregado de las SC de T para cada sitio