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Problema 1.16 Calcular: ĺım n→∞ ˆ π 0 sen(x) 1 + cos2(nx) dx ■ solución: Consideremos: An = ˆ π 0 sen x 1 + cos2 nx = n ∑ k=1 Ik, Ik = ˆ kn π (k−1)π n sen x 1 + cos2 x dx Y Bn = n ∑ k=1 Jk, Jk = ˆ kπ n (k−1)π n sen kπ n 1 + cos2 nx dx Entonces debemos probamos: ĺım n→∞ (An − Bn) = 0 (1.5) Para la diferencia tenemos entonces: |Ik − Jk| ≤ ˆ kπ n (k−1)π n | sen x− sen kπ n | 1 + cos2 nx ≤ ˆ kπ n (k−1)π n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 sen( kπ n − x 2 ) cos( kπ n + x 2 ) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ≤ ≤ ˆ kπ n (k−1)π n 2 sen kπ n − x 2 dx ≤ ˆ kπ n (k−1)π n ( kπ n − x ) dx = [ kπ n x− x 2 2 ] kπ n (k−1)π = π2 2n2 Por tanto: |An − Bn| = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ n ∑ k=1 (Ik − Jk) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ≤ n ∑ k=1 |Ik − Jk| ≤ n π2 2n2 = π2 2n Por tanto (1.5) se cumple y tanto el limite de An como Bn son iguales, ahora: Bn = 1 n n ∑ k=1 sin kπ n ˆ π 0 1 1 + cos2 x dx Cómo: ĺım n→∞ 1 n n ∑ k=1 sin kπ n − 1 π ˆ π 0 sin xdx = 2 π , ˆ π 0 1 1 + cos2 x dx = π√ 2 ⇒ ĺım n→∞ Bn = 2 π − π√ 2 = √ 2 ∴ ĺım n→∞ ˆ π 0 sin x 1 + cos2 nx dx = √ 2 Propiedad 1 En general, por el trabajo de L. Fejér, para f, g integrables en el intervalo (0, 2π) y g con periodo 2π : (La prueba es similar a la resolución) ĺım n→∞ ˆ 2π 0 f(x)g(nx)dx = ˆ 2π 0 f(x)dx ˆ 2π 0 g(x)dx
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