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Problema 1.16 Calcular:
ĺım
n→∞
ˆ
π
0
sen(x)
1 + cos2(nx)
dx
■
solución:
Consideremos:
An =
ˆ
π
0
sen x
1 + cos2 nx
=
n
∑
k=1
Ik, Ik =
ˆ
kn
π
(k−1)π
n
sen x
1 + cos2 x
dx
Y Bn =
n
∑
k=1
Jk, Jk =
ˆ
kπ
n
(k−1)π
n
sen kπ
n
1 + cos2 nx
dx
Entonces debemos probamos:
ĺım
n→∞
(An − Bn) = 0 (1.5)
Para la diferencia tenemos entonces:
|Ik − Jk| ≤
ˆ
kπ
n
(k−1)π
n
| sen x− sen kπ
n
|
1 + cos2 nx
≤
ˆ
kπ
n
(k−1)π
n
∣
∣
∣
∣
∣
2 sen(
kπ
n
− x
2
) cos(
kπ
n
+ x
2
)
∣
∣
∣
∣
∣
≤
≤
ˆ
kπ
n
(k−1)π
n
2 sen
kπ
n
− x
2
dx ≤
ˆ
kπ
n
(k−1)π
n
(
kπ
n
− x
)
dx =
[
kπ
n
x− x
2
2
]
kπ
n
(k−1)π
=
π2
2n2
Por tanto:
|An − Bn| =
∣
∣
∣
∣
∣
n
∑
k=1
(Ik − Jk)
∣
∣
∣
∣
∣
≤
n
∑
k=1
|Ik − Jk| ≤ n
π2
2n2
=
π2
2n
Por tanto (1.5) se cumple y tanto el limite de An como Bn son iguales, ahora:
Bn =
1
n
n
∑
k=1
sin
kπ
n
ˆ
π
0
1
1 + cos2 x
dx
Cómo: ĺım
n→∞
1
n
n
∑
k=1
sin
kπ
n
− 1
π
ˆ
π
0
sin xdx =
2
π
,
ˆ
π
0
1
1 + cos2 x
dx =
π√
2
⇒ ĺım
n→∞
Bn =
2
π
− π√
2
=
√
2 ∴ ĺım
n→∞
ˆ
π
0
sin x
1 + cos2 nx
dx =
√
2
Propiedad 1 En general, por el trabajo de L. Fejér, para f, g integrables en el
intervalo (0, 2π) y g con periodo 2π : (La prueba es similar a la resolución)
ĺım
n→∞
ˆ 2π
0
f(x)g(nx)dx =
ˆ 2π
0
f(x)dx
ˆ 2π
0
g(x)dx

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