AnalisisReal2020-Notas

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Notas de Análisis Real
Segundo cuatrimestre de 2020
Cursada a distancia
Ezequiel Rela
Notas actualizadas al 31 de agosto de 2020
2 ÍNDICE
Índice
1. Introducción / Motivación 4
2. Medida exterior de Lebesgue 7
2.1. Conjuntos de medida exterior cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1. El conjunto ternario de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Propiedades métricas de la medida exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3. Aproximación por abiertos y conjuntos Gδ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3. Conjuntos medibles 16
3.1. Algunos ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. Sigma álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3. σ-aditividad de conjuntos medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4. Sucesiones de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5. Condición de Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.6. Traslaciones y dilataciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.7. Transformaciones Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.8. Un conjunto no medible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.9. El conjunto de diferencias de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4. Funciones medibles 39
4.1. Sucesiones de funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2. Aproximación puntual de funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3. Algunos comentarios sobre σ-álgebras, conjuntos y funciones medibles. . . 47
4.4. Función de Cantor-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5. Funciones escalón o step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.6. Teorema de Egorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.7. Teorema de Lusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.8. Convergencia en medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.9. Sucesiones de Cauchy en medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5. Integración 64
5.1. Teoremas de paso al límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2. Integral de funciones con signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3. Aplicación: derivación bajo el signo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4. Absoluta continuidad de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.5. El espacio de funciones absolutamente integrables . . . . . . . . . . . . . . 82
5.6. Resultados de densidad en L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.7. Continuidad en L1 del operador de traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.8. Riemann versus Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6. Integrales múltiples 91
6.1. El Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.2. Teorema de Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.3. Aplicaciones del Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.3.1. Equivalencia medible ⇐⇒ integrable. . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2
3 ÍNDICE
6.3.2. ”Layer cake” formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3.3. Convoluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.3.4. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.4. Productos de conjuntos medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7. Espacios Lp 108
7.1. Normas débiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.2. Desigualdad integral de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.3. Desigualdad de Hölder generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.4. Otra desigualdad de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8. Aproximaciones de la identidad 123
8.1. Aproximaciones de la identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.2. Resultados de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9. Diferenciación 129
9.1. La función maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.2. El teorema de diferenciación de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.3. Puntos de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.4. Puntos de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.5. Familias que se contraen regularmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.6. Diferenciación de funciones en la recta real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.6.1. El lema 5R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.6.2. El lema de cubrimiento de Vitali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.7. Diferenciación de funciones monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.8. Funciones de variación acotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.9. Funciones absolutamente continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.Teorema del cambio de variables 159
10.1. Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10.2. El teorema de cambio de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11.Medida abstracta 167
11.1. Espacios de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11.2. Variación de una función aditiva de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 169
11.3. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
11.4. Integración en espacios abstractos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
11.5. Medidas absolutamente continuas y singulares . . . . . . . . . . . . . . . . 180
11.6. El teorema de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
11.7. El teorema de descomposición de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
11.8. Una aplicación: el dual de Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
11.9. Otra prueba de Lebesgue-Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
12.Medidas y dimensión de Hausdorff 197
12.1. Medidas de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
12.2. Dimensión de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
12.3. Medidas de Hausdorff y transformaciones Lipschitz . . . . . . . . . . . . . 204
12.4. Algunos ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
12.5. Difference sets y dimensión de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
3
4 1 INTRODUCCIÓN / MOTIVACIÓN
Clase 1
31/08/2020
1. Introducción / Motivación
El objetivo de este curso es presentar la teoría de la medida e integral de Lebesgue
en Rn y su generalización a espacios de medida abstractos (que serán apropiadamente
definidos en su momento). La organización del curso se basa mayormente en el libro de
Wheeden-Zygmund [WZ15]. Dado que todos conocemos bien la teoría de la integral de
Riemann, la primera pregunta que cabe hacerse es: ¿para qué uno querría is más allá de
la integral de Riemann? A modo de respuesta parcial a esta pregunta y como disparador
de lo que veremos durante el curso, proponemos acá algunas ideas.
Problema 1: Preservación de la integrabilidad vía límite.
Recordemos un hecho elemental sobre límite de funciones sobre intervalos compactos.
Supongamos que tenemos una sucesión de funciones continuas fk : [0, 1] → R. Sabemos
que la continuidad nos garantiza que las integrales (de Riemann, aclaramos, aunque por
ahora no haya otro tipo de integral a considerar) existen y son finitas. Si además tenemos
que esta sucesión converge uniformemente a una función límite f : [0, 1] → R, entonces
podemos asegurar que la sucesión numérica dada por las integrales converge y, como es
de desear, lo hace a la integral de la función límite.Es decir
ĺım
k→∞
∫ 1
0
fk(x)dx =
∫ 1
0
ĺım
k→∞
fk(x)dx. (1)
En la jerga del análisis real, nos referimos a esta propiedad diciendo que la integral
cumple la propiedad de paso al límite. Hasta acá no parece haber nada sorprendente, pero
en el camino usamos el hecho de que la función límite f es integrable, pues es continua. Y
acá está el detalle: puede ocurrir que si el límite no es uniforme, no podamos garantizar
la continuidad de la función límite. Entonces, en principio, no tenemos la certeza de que
la función límite sea siquiera integrable! Mucho menos se puede testear la propiedad de
paso al límite.
Pregunta del estudiante interesado y desconfiado: Hay ejemplo? Sí, hay ejemplo:
Ejemplo 1.1. (Se puede encontrar en el libro de Stein-Shakarchi [SS05], Ejercicio 10,
página 40) Se puede construir una sucesión de funciones {fk}k∈N continuas en el intervalo
[0, 1] tales que:
1. 0 ≤ fk(x) ≤ 1 para todo x ∈ [0, 1].
2. fk(x) ≥ fk+1(x) para todo x ∈ [0, 1]
Notemos hasta acá, con 1. y 2. tenemos convergencia puntual! Más aún: la sucesión
de las integrales
∫ 1
0
fk también converge.
Ejercicio 1.2. Probar estos dos hechos.
3. Sin embargo, la función límite f = ĺımk→∞ fk no es integrable en el sentido de
Riemann. Esto se debe a que la función límite tiene demasiadas discontinuidades.
¿Pero qué significa demasiadas? La respuesta a esa pregunta será dada una vez que
tengamos la teoría de la medida de Lebesgue a nuestra disposición. Recordar esto
y reclamar la construcción de este ejemplo cuando corresponda!!
4
5 1 INTRODUCCIÓN / MOTIVACIÓN
Problema 2: Teorema fundamental del cálculo y regla de Barrow.
Aprendimos hace mucho que si integramos una función continua ”ganamos” en regula-
ridad (o suavidad) en el siguiente sentido: si f : [a, b]→ R es continua, entonces la función
F : [a, b]→ R definida por
F (x) =
∫ x
a
f(t)dt (2)
es derivable en todo x ∈ (a, b). Más aún, tenemos que la derivada de F es precisamente
f :
F ′(x) = ĺım
h→0+
1
h
∫ x+h
x
f(t)dt = f(x). (3)
Es inmediato que este resultado vale aunque la función f no sea continua en todo su
dominio, pero la fórmula (3) será válida en los puntos de continuidad de f .
Ejercicio 1.3. ¿Podemos decir que la fórmula (3) es válida sólo en los puntos de conti-
nuidad de f?. En otras palabras, ¿es posible que valga la fórmula (3) en un punto x donde
la función f no sea continua?
Durante este curso resolveremos un problema de diferenciación de la integral, mos-
trando una clase decente de funciones para las que la propiedad (3) vale en el sentido
más amplio esperable. Se podría objetar que la frase anterior es inaceptable por vaga e
imprecisa. Y estarían en lo cierto! Pero para enunciar y probar el resultado necesitamos
desarrollar la teoría con más detalle. Volveremos a esta página inicial del curso en su
momento.
Volviendo al problema general, otra versión elemental de la conexión entre derivación
e integración es la ”regla de Barrow”:
F (b)− F (a) =
∫ b
a
F ′(t)dt (4)
Si recuerdan la prueba de (4), el paso final es probar que una función derivable en
todo punto, con derivada cero en todo punto, tiene que ser constante. Si la función F es
suficientemente buena, entonces la prueba de (4) sale fácil. Pero hay funciones continuas
con muy malas propiedades de derivabilidad. Por ejemplo, veremos un ejemplo de una
función continua en [0, 1], monótona creciente tomando los valores F (0) = 0 y F (1) = 1
y derivable en casi todos lados pero con F ′(x) = 0 en todos los lugares en donde exista
la derivada. Entonces (y acá volvemos a dejar de lado la formalidad y la precisión), si
pudiéramos integrar esta derivada descartando los pocos lugares en donde la derivada no
existe, tendríamos que
1 = F (1)− F (0) =
∫ 1
0
F ′(t)dt = 0. (5)
Vemos que la última igualdad no puede ser cierta, así que algo hay que hacer para poner
un poco de orden. Otro de los objetivos principales de este curso es, una vez definida la
integral de Lebesgue, caracterizar la familia de funciones para las que vale la igualdad en
(4).
Problema 3: Integrando la función de Dirichlet.
La función de Dirichlet f : [0, 1]→ R definida como
f(x) =

1 si x ∈ Q
0 si x /∈ Q
(6)
5
6 1 INTRODUCCIÓN / MOTIVACIÓN
es el ejemplo canónico de función no integrable. El problema es claro: es discontinua en
todo punto y las sumas superiores e inferiores de Riemann nunca van a estar cerca entre
ellas. Esto es así porque siempre que tengamos una partición del [0, 1], en cada intervalo
de la partición nos vamos a encontrar puntos racionales e irracionales. Sin embargo, uno
puede notar que la función vale cero salvo en los racionales. Y los racionales forman, en
muchos sentidos, un conjunto mucho más chico que los irracionales. Para empezar (y por
ahora esto será suficiente) son numerables, lo que permite escribirlos en forma de sucesión
{qk}k∈N. Consideremos ahora la colección de intervalos abiertos de la forma
Ik =
(
qk −
ε
2k
; qk +
ε
2k
)
. (7)
Está claro que todos los racionales del intervalo unitario están contenidos en la unión de
esta familia,
Q ∩ [0, 1] ⊂ G :=
⋃
k
Ik. (8)
Si quisiéramos tener una idea de cuán grande es el conjunto abierto G, tenemos un proble-
ma, justamente porque no tenemos una noción adecuada de medida (o longitud) a nuestra
disposición. Pero (y acá es donde hacemos un poco de trampa) cualquier noción de tamaño
que podamos usar debería ser consistente con la idea de que una cota superior está dada
por la suma de todas las longitudes de los intervalos Ik. Para los intervalos sí tenemos una
noción perfectamente válida de longitud. Entonces, nos quedaría una expresión del tipo
m(Q ∩ [0, 1]) ≤
∞∑
k=1
ε
2k
≤ ε, (9)
donde m(E) representa la noción de medida que queremos encontrar. Conclusión: los
racionales del [0, 1] se pueden meter dentro de un conjunto abierto que se puede cubrir
con una colección de intervalos que tienen longitudes que suman, en total, menos que ε > 0
arbitrario. ¿A dónde vamos con todo esto? A que en términos de integrales, parecería que
el lugar en donde la función de Dirichlet no vale cero es tan pequeño como uno desee!!
Spoiler alert: con la integral de Lebesgue la función de Dirichlet definida acá integra 0.
La intención al plantear estos tres problemas es motivar lo que haremos a continuación,
que es empezar a construir sistemáticamente la medida de Lebesgue en Rn. Veremos
enseguida que la idea informal sobre el tamaño de los racionales es correcta. Los primeros
dos problemas nos llevarán bastante más trabajo.
6
7 2 MEDIDA EXTERIOR DE LEBESGUE
2. Medida exterior de Lebesgue
Nuestro objetivo acá es definir una noción de medida (longitud, área, volumen, tamaño
en general) para conjuntos en Rn. La idea intuitiva es partir de objetos elementales para
los que tenemos una noción clara de tamaño y a partir de ahí tratar de aproximar a
cualquier conjunto en Rn. Empecemos entonces por definir el volumen de intervalos.
Definición 2.1 (Volumen de intervalos ). Un intervalo cerrado en Rn es un producto de
intervalos de R de la forma
I =
n∏
j=1
[aj, bj], aj, bj ∈ R. (10)
El volumen de dicho intervalo se define como
v(I) =
n∏
j=1
(bj − aj) (11)
Ahora, lo natural es considerar uniones finitas o numerables de intervalos como el
objeto natural para acercarse a la noción de medida de un conjunto arbitrario.
Definición 2.2 (Tamaño de una unión de intervalos). Dada una colección S = {Ik}k≥1
de intervalos, llamamos tamaño de la colección a la cantidad
σ(S) =
∑
k
v(Ik) (12)
Notemos que de la definición se desprende que 0 ≤ σ(S) ≤ +∞ y que además se
permite cualquier tipo de solapamiento! Vamos a empezar desde acá a llamar cubrimiento
a la colección S, aunque todavía no hayamos cubierto nada. Pero se puede ver para dónde
va la cosa: usaremos estas familias para cubrir conjuntos y medir su tamaño.
Definición 2.3 (Medida exterior de Lebesgue). Dado un conjunto arbitrario E ⊂ Rn,
definimos su medida exterior como
|E|e = ı́nf
{∑
k
v(Ik) : E ⊂
⋃
k
Ik
}
, (13)
donde el ínfimo se toma sobre todos los cubrimientos del conjuntoE (ver Figura 2)
Algunas consideraciones antes de seguir:
Siempre vamos a suponer que todos los intervalos de un cubrimiento tienen in-
tersección no vacía con el conjunto que estamos cubriendo. La medida exterior está
dada por el ínfimo, así que podemos tirar los intervalos que no tocan al conjunto y
seguimos teniendo un cubrimiento con menor tamaño.
La medida exterior de Lebesgue está definida para cualquier subconjunto de Rn.
Llamarle medida exterior indica que pronto definiremos otra noción de medida.
Además refleja que estamos definiendo una cantidad para cada conjunto a partir de
cubrimientos del conjunto.
7
8 2 MEDIDA EXTERIOR DE LEBESGUE
Figura 1: Un cubrimiento por intervalos
Los intervalos en un cubrimiento pueden estar solapados, nada impide eso. Pero,
moralmente, el ínfimo lo que hace es detectar los cubrimientos óptimos.
Esta noción de medida exterior debería resistir un consistency check : si aplicamos
| · |e a un intervalo I, ¿qué debería pasar?
La respuesta al último item está en la siguiente proposición.
Proposición 2.4. Sea I un intervalo en Rn. Entonces |I|e = v(I).
Demostración. Como siempre, probaremos las dos desigualdades. Una es inmediata:
|I|e = ı́nf
{∑
k
v(Ik) : I ⊂
⋃
k
Ik
}
≤ v(I),
pues el propio intervalo es un posible cubrimiento de sí mismo.
Para la desigualdad opuesta tomemos un cubrimiento de I por intervalos cerrados
S = {Ik}k∈N. Para cada uno de ellos, podemos encontrar un intervalo que lo contenga en
su interior y apenas un poco más grande. Más precisamente, fijado un ε > 0, queremos
un I∗k tal que
Ik ⊂ (I∗k)
◦ y además v(I∗k) ≤ (1 + ε)v(Ik) (14)
Ejercicio 2.5. Mostrar cómo construir, para un intervalo genérico I =
∏n
j=1[aj, bj], su
correspondiente I∗ =
∏n
j=1[a
∗
j , b
∗
j ] como en (14). Pista: definir a∗j = aj − δ(bj − aj) y
b∗j = bj + δ(bj − aj) con un δ > 0 apropiadamente pequeño. Calcular el volumen de I∗ y
forzar la condición en (14) para encontrar el δ adecuado.
Figura 2: Agrandamos cada intervalo para conseguir un abierto no mucho más grande.
Bien, una vez que tenemos los (I∗k)
◦ abiertos, nos podemos quedar con una cantidad
finita (¿por qué?) de los I∗k para cubrir al intervalo I. Es decir, existe un N ∈ N tal que
I ⊂
N⋃
k=1
I∗k
8
9 2 MEDIDA EXTERIOR DE LEBESGUE
De ahí concluimos que
v(I) ≤
N∑
k=1
v(I∗k) ≤
N∑
k=1
(1 + ε)v(Ik) ≤ (1 + ε)σ(S). (15)
Como esto vale para cualquier ε > 0, entonces necesariamente se tiene que v(I) ≤ σ(S)
(pensar que si esto no fuera cierto, entonces v(I) > σ(S) y ahí tenemos un poco de lugar
para meter un ε > 0 y contradecir lo que acabamos de probar). Tenemos entonces que
v(I) es una cota inferior para el tamaño de cualquier cubrimiento de I. Por definición de
| · |e (o más bien por la definición de ínfimo), se tiene que v(I) ≤ |I|e. Sólo falta ver por
qué la primera desigualdad en (15) está en rojo. A pesar de ser una propiedad fácilmente
creíble, notar que el volumen es una cantidad definida en términos de coordenadas de los
intervalos unidimensionales que definen a un intervalo I. De modo que, a pesar de que
nos lo creemos, hay que verificar el siguiente lema.
Lema 2.6. Sea I un intervalo que se puede escribir como la unión casi disjunta (esto
quiere decir que los interiores son disjuntos) de una cantidad finita de intervalos. Es decir,
I =
N⋃
k=1
Ik,
donde los Ik son intervalos tales que (Ik)
◦ ∩ (Ij)◦ = ∅ si k 6= j. Entonces
v(I) =
N∑
k=1
v(Ik) (16)
Para probar el lema, consideremos la colección de intervalos {Ĩj}Mj=1 que se obtiene al
extender los lados de los intervalos Ik como en la Figura 3.
Figura 3: Pasamos de una partición irregular a una grilla regular.
Para cada k ∈ {1, 2, . . . , N}, consideramos el conjunto de índices Jk = {j : Ĩj ⊂ Ik}.
La colección J1, J2, . . . , JN es una partición del conjunto de índices {1, 2, . . . ,M} y además
nos queda que
Ik =
⋃
j∈Jk
Ĩj.
9
10 2 MEDIDA EXTERIOR DE LEBESGUE
Para ilustrar esto, escribamos los conjuntos asociados al dibujo en la Figura 3. Tendríamos
que
J1 = {1, 2, 3} J2 = {4} J3 = {5} J4 = {6, 9} J5 = {7, 8}
Además tenemos que
v(I) =
M∑
j=1
v(Ĩj) y v(Ik) =
∑
j∈Jk
v(Ĩj)
Notemos que estas dos últimas identidades son de verdad nada más que la propiedad
distributiva! Finalmente,
v(I) =
M∑
j=1
v(Ĩj) =
N∑
k=1
∑
j∈Jk
v(Ĩj) =
N∑
k=1
v(Ik)
Ejercicio 2.7. Probar que si un intervalo I está contenido en una unión finita (arbitraria)
de intervalos
⋃N
k=1 Ik, entonces
v(I) ≤
N∑
k=1
v(Ik)
Si resuelven el ejercicio entonces terminamos con la prueba de la proposición. La
sugerencia es extender la prueba del resultado anterior pero teniendo en cuenta que los
conjuntos Jk de antes ya no tienen por qué ser disjuntos.
Vamos a pasar ahora a enunciar y probar algunas propiedades básicas pero importantes
de la medida exterior.
Proposición 2.8. Propiedades de la medida exterior:
1. Monotonía: si E ⊂ F entonces |E|e ≤ |F |e.
2. σ-subaditividad (subaditividad numerable): Si E =
⋃∞
k=1Ek, entonces
|E|e ≤
∞∑
k=1
|Ek|e (17)
Demostración. La prueba de 1. es inmediata, cualquier cubrimiento de F será también
un cubrimiento de E. Para probar 2. supongamos que la medida exterior de cada Ek es
finita (si no, el resultado es claramente cierto). Bajo esta suposición, dado un ε > 0 fijo,
podemos elegir para cada k ∈ N un cubrimiento por intervalos {Ijk}j∈N cercanos a realizar
el ínfimo que define a cada |Ek|e. Es decir, podemos elegir los cubrimientos de manera
que
∞∑
j=1
v(Ijk) ≤ |Ek|e +
ε
2k
Verificar que la colección {Ijk}∞j,k=1 es un cubrimiento de E, así que tenemos, por la defi-
nición de medida exterior, que
|E|e ≤
∞∑
j,k=1
v(Ijk) =
∞∑
k=1
∞∑
j=1
v(Ijk) ≤
∞∑
k=1
|Ek|e +
ε
2k
=
∞∑
k=1
|Ek|e + ε
Como antes (y como haremos muchas veces más) probamos una desigualdad del tipo
A ≤ B + ε para cualquier ε > 0 arbitrario (fijo, pero arbitrario). Concluimos entonces
que A ≤ B y termina la prueba de la proposición.
10
11 2 MEDIDA EXTERIOR DE LEBESGUE
2.1. Conjuntos de medida exterior cero
Incluimos acá algunos ejemplos relacionados con la idea de medida cero. Aunque rigu-
rosamente hablando ”medida” y ”medida exterior’ son cosas diferentes, podemos abusar
del lenguaje y omitir la palabra ”exterior”, ya veremos más adelante por qué.
Ejemplo 2.9.
1. Los singletons tienen medida cero. Es decir, si E = {x}, entonces |E|e = 0.
2. Si {Ek}k∈N es una colección numerable de conjuntos de medida cero, entonces la
unión tiene medida cero, es decir, |
⋃
k Ek|e = 0.
3. Cualquier conjunto numerable tiene medida cero. En particular |Q|e = 0.
4. Si E ⊂ F y |F |e = 0, entonces |E|e = 0.
Demostración. La demostración de 1 es inmediata, considerar ε > 0 y el cubrimiento
dado por un único rectángulo I =
∏n
j=1[xj − ε, xj + ε]. El volumen de este intervalo
es v(I) = 2nεn y de ahí que |E|e = 0. La demostración de 2 es consecuencia de la σ-
subaditividad. El punto 3 es corolario de la propiedad anterior y el punto 4 es consecuencia
de la monotonía.
Acá vemos la respuesta formal al Problema 3 que planteamos al principio de estas
notas. El tamaño de los racionales es cero! Es razonable creer que los valores que tome
una función sobre estos puntos son completamente irrelevantes desde el punto de vista
de la integral (de Lebesgue, que todavía no definimos). Para tener una idea más o menos
parecida, comparar esto con la idea de ”contenido cero” que vimos en Análisis I cuando
se definió la integral doble sobre regiones más generales que rectángulos.
Ejercicio 2.10. Antes de seguir leyendo, pensar o conjeturar si es verdad que los conjuntos
numerables son todos los posibles conjuntos de medida exterior cero.
2.1.1. El conjunto ternario de Cantor
Vamos a presentar acá un conjunto definido dentro del intervalo [0, 1] conocido como el
Conjunto ternario de Cantor 1. Su fama es tan grande que merece una subsección propia.
Considerar la siguiente familia de subconjuntos del intervalo [0, 1]:
F0 = [0, 1]
F1 =
[
0,
1
3
]
∪
[
2
3
, 1
]
F2 =
[
0,
1
9
]
∪
[
2
9
;
3
9
]
∪
[
6
9
,
7
9
]
∪
[
8
9
, 1
]
Cada conjuntoFk se obtiene dividiendo cada intervalo de Fk−1 en tres partes iguales
y removiendo el intervalo abierto central. En la Figura 4 se muestran los primeros 3 pasos.
1Vale la pena mirar https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_set
11
https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_set
12 2 MEDIDA EXTERIOR DE LEBESGUE
Cada conjunto Fk consta de 2k intervalos de longitud 3−k. El conjunto ternario de Cantor
se define como
C =
∞⋂
k=0
Fk (18)
que resulta ser un conjunto perfecto. Notar que el conjunto C es el conjunto de los números
reales en el intervalo [0, 1] cuya expansión decimal en base 3 no requiere el uso del dígito 1.
Otra observación útil es que si tomamos dos intervalos cualesquiera en esta construcción
(eventualmente de distintos Fk) son disjuntos o están contenidos uno en el otro.
Figura 4: Primeros pasos de la construcción del conjunto Cantor.
Para estimar su medida exterior, podemos usar cada nivel de la construcción como
cubrimiento, pues C está contenido en cada uno de los conjuntos Fk, que son uniones de
intervalos así que son cubrimientos válidos para la estimación de |C|e. Calcular el tamaño
de estos cubrimientos es fácil, porque son todos intervalos del mismo tamaño y sabemos
cuántos son y cuánto mide el volumen de cada intervalito. Para poder escribirlo bien,
usemos la notación:
Fk =
2k⋃
j=1
Ikj .
Además es fácil ver que v(Ikj ) = 3−k, así que
|C|e ≤ σ(Fk) =
2k
3k
para todo k ∈ N.
Concluimos entonces que |C|e = 0. Como es perfecto, sabemos que tiene que ser no
numerable, así que tenemos un ejemplo de un conjunto no numerable de medida cero.
2.2. Propiedades métricas de la medida exterior
Necesitamos recordar la noción de distancia entre conjuntos en Rn para introducir la
noción de conjuntos métricamente separados.
Definición 2.11. Decimos que dos conjuntos A,B ⊂ Rn están positivamente separados
(vamos a decir separados nada más) si
0 < d(A,B) := ı́nf{|x− y| : x ∈ A, y ∈ B}.
12
13 2 MEDIDA EXTERIOR DE LEBESGUE
La propiedad que vamos a probar a continuación dice que la medida exterior separa
bien a los conjuntos que están, justamente, separados. Cuando esto ocurre se dice que la
medida es métrica.
Proposición 2.12. Sean A,B ⊂ Rn separados. Entonces
|A ∪B|e = |A|e + |B|e
Demostración. Antes de empezar, tomarse un minuto para imaginar la geometría del
problema. Dado que las cantidades |A ∪ B|e, |A|e y |B|e están definidas en términos de
cubrimientos, lo que tenemos que lograr es separar un cubrimiento de la unión en dos
cubrimientos disjuntos de A y B. La clave estará en que si un elemento del cubrimiento
es suficientemente pequeño y toca a A, entonces no puede tocar a B.
Figura 5: Un cubrimiento de A ∪B con intervalos chicos se puede separar.
Empecemos con la prueba. Como (casi) siempre, vamos a probar las dos desigualdades.
La desigualdad
|A ∪B|e ≤ |A|e + |B|e
es inmediata a partir de la σ-subaditividad. La difícil es la otra.
Igual que otras veces, tomemos un ε > 0 y tratemos de probar que
|A|e + |B|e ≤ |A ∪B|e + ε
Consideremos un cubrimiento de A ∪ B por intervalos S = {Ik}∞k=1 cuyo tamaño esté
suficientemente cerca de |A ∪ B|e. Más precisamente, elegimos un cubrimiento S que
cumpla
σ(S) =
∞∑
k=1
v(Ik) < |A ∪B|e + ε
Podemos suponer además que diam(Ik) < δ = d(A,B) para todo k ∈ N. Si esto no
ocurriese, podemos dividir cada intervalo de diámetro grande en una cantidad finita de
intervalos de diámetro menor que δ y usar el hecho de que esto no cambia el tamaño σ(S)
del cubrimiento gracias a la propiedad (16) probada en el Lema 2.6 (en palabras, quiere
decir que el volumen de intervalos se descompone bien respecto a uniones de subintervalos).
Formalicemos ahora la idea de separar los cubrimientos, definiendo los conjuntos de índices
J1 = {k ∈ N : Ik ∩ A 6= ∅} y J2 = {k ∈ N : Ik ∩B 6= ∅}
13
14 2 MEDIDA EXTERIOR DE LEBESGUE
Ahora, como {Ik}k∈N es un cubrimiento de A ∪ B, entonces {Ik}k∈J1 es un cubrimiento
de A y {Ik}k∈J2 es un cubrimiento de B. Podemos escribir entonces que
|A|e + |B|e ≤
∑
k∈J1
v(Ik) +
∑
k∈J2
v(Ik) =
∑
k∈N
v(Ik) < |A ∪B|e + ε
Ejercicio 2.13. Meditar sobre cuál sería el obstáculo si los conjuntos no estuvieran se-
parados. ¿Dónde falla el argumento anterior?
Observación 2.14. En general no vale que
|A ∪B|e = |A|e + |B|e,
incluso aunque los conjuntos A y B sean disjuntos.
2.3. Aproximación por abiertos y conjuntos Gδ
Vamos a ver ahora una propiedad muy útil en muchos resultados teóricos y prácticos.
Vamos a ver que para cualquier conjunto E ⊂ Rn podemos encontrar un conjunto abierto
que lo contiene y de medida exterior tan parecida como se desee.
Proposición 2.15. Sea E ⊂ Rn y sea ε > 0. Existe un conjunto abierto G tal que E ⊂ G
y |G|e < |E|e + ε.
Demostración. Van a reconocer el estilo de argumento que usaremos. A partir de la de-
finición de medida exterior, podemos encontrar un cubrimiento S = {Ik}∞k=1 con tamaño
cercano a |E|e:
σ(S) =
∞∑
k=1
v(Ik) < |E|e +
ε
2
(19)
Ahora, agrandemos un poco los intervalos Ik para hacerlos abiertos pero sin ganar mucho
volumen. Podemos definir intervalos I∗k tales que
Ik ⊂ (I∗k)
◦ y además v(I∗k) ≤ v(Ik) +
ε
2k+1
Si ponemos ahora G =
⋃
k∈N (I
∗
k)
◦, tenemos que E ⊂ G, G es efectivamente abierto y
|G|e ≤
∞∑
k=1
v(I∗k) ≤
∞∑
k=1
v(Ik) +
ε
2k+1
≤
∞∑
k=1
v(Ik) +
ε
2
≤ |E|e + ε.
Como primer corolario, tenemos que podemos escribir la medida exterior como
|E|e = ı́nf |G|e, (20)
donde el ínfimo se considera sobre todos los abiertos que contienen a E. Para lo que sigue
necesitamos recordar un par de definiciones.
14
15 2 MEDIDA EXTERIOR DE LEBESGUE
Definición 2.16. Decimos que un conjunto H es de tipo Gδ si
H =
∞⋂
k=1
Gk ; con Gk abierto
y decimos que un conjunto H es de tipo Fσ si
H =
∞⋃
k=1
Fk ; con Fk cerrado
Otra consecuencia de la Proposición 2.15 es el siguiente resultado muy útil.
Corolario 2.17. Dado un conjunto E ⊂ Rn, existe un conjunto H de tipo Gδ tal que
E ⊂ H y |E|e = |H|e.
Demostración. Consideremos, para cada k ≥ 1, un conjunto Gk abierto tal que
|Gk|e < |E|e +
1
k
.
Con estos conjuntos construimos el conjunto de tipo Gδ como H :=
⋂∞
k=1Gk. Es claro que
E ⊂ H, pues E está contenido en todos los Gk. Por la monotonía de la medida exterior,
tenemos que
|E|e ≤ |H|e ≤ |Gk|e < |E|e +
1
k
para todo k ≥ 1. Conclusión: |E|e = |H|e.
Les dejo un ejercicio bastante elemental para que vean cómo usar las propiedades de
la medida exterior que vimos hasta ahora.
Ejercicio 2.18. Considerar el intervalo abierto I = (a, b). Calcular |I|e.
15
16 3 CONJUNTOS MEDIBLES
Clase 2
3/9/2020
Recordemos de la clase anterior que pudimos probar que la medida exterior separa
bien a los conjuntos que tienen una distancia positiva entre ellos. Es decir,
|A ∪B|e = |A|e + |B|e
siempre que A y B estén separados por una distancia positiva. Esto NO es cierto en general
para cualquier par arbitrario de conjuntos disjuntos. En lo que sigue, vamos a definir
una subclase de conjuntos en Rn para los que la igualdad de arriba es cierta (siempre que
A y B sean disjuntos, claro). A estos conjuntos se los llamará medibles
3. Conjuntos medibles
Empezamos directamente con la definición
Definición 3.1. Un conjunto E ⊂ Rn se dice medible si para cada ε > 0 existe un
conjunto abierto G (que depende claramente de E y de ε) tal que E ⊂ G y además
|G \ E|e < ε (21)
Cuando esta condición se cumple sobre el conjunto E, entonces la medida exterior
de E se llama simplemente medida de Lebesgue o simplemente medida y usamos la
notación
|E|e = |E| (22)
Observemos que la condición (21) se parece bastante a lo que probamos en la Propo-
sición 2.15. La sutileza está en lo siguiente: de la mencionada proposición sabemos que
dado el conjunto E (arbitrario) y la tolerancia ε > 0, tenemos un abierto G ⊃ E tal que
|G|e < |E|e + ε. Por otro lado, la subaditividad nos da siempre la desigualdad
|G|e ≤ |E|e + |G \ E|e
Si supiéramos que vale la igualdad en la desigualdad de arriba, podríamos concluir que
|E|e + |G \ E|e = |G|e < |E|e + ε =⇒ |G \ E|e < ε.
Sin embargo, sólo tenemos la desigualdad de la subaditividada nuestra disposición. Más
precisamente, la Proposición 2.15 nos da un abierto que contiene a E de medida parecida.
La definición de medible nos da también un abierto que contiene a E pero tal que la
medida de los que está en G pero no en E tiene medida pequeña.
Lo que tenemos hasta ahora entonces es que si la medida exterior separara bien a
cualquier par de conjuntos, entonces el abierto G de la Proposición 2.15 cumpliría también
la condición de la Definición 3.1. La definición entonces cobra sentido cuando recordamos
que la medida exterior efectivamente NO separa bien a todos los pares de conjuntos. Si
lo hiciera, no tendría sentido tener una definición de conjuntos medibles, pues todos los
subconjuntos de Rn lo serían.
Sería ideal en este punto tener algunos ejemplos de conjuntos medibles y no medibles.
Pero no es tan sencillo. Lo que vamos a hacer es dar unas cuantas propiedades y ejemplos
de conjuntos medibles y una caracterización muy importante en términos de esta idea de
”separar bien la medida”. En la dirección de hablar de conjuntos no medibles, lo curioso es
que es extremadamente difícil hallar uno. Y de hecho la construcción del único conjunto
no medible que veremos dependerá del Axioma de elección!!
16
17 3 CONJUNTOS MEDIBLES
3.1. Algunos ejemplos
En la siguiente proposición listamos tres ejemplos básicos sobre conjuntos medibles
Proposición 3.2.
1. Todo conjunto abierto es medible
2. Todo conjunto de medida exterior cero es medible (y su medida es cero, naturalmen-
te).
3. Si {Ek}k∈N es una colección numerable de conjuntos medibles, entonces la unión
E =
⋃∞
k=1Ek es medible.
Demostración.
1. Si el conjunto E es abierto, entonces elegimos al mismo E como el abierto G de la
definición de medible y tenemos la condición (21) para ε = 0.
2. Si |E|e = 0, entonces para cualquier ε > 0 la Proposición 2.15 nos da un abierto que
contiene a E tal que |G|e < |E|e + ε = ε. Entonces claramente |G \ E|e ≤ |G|e < ε.
3. Para la unión numerable, el truco es otra vez permitir un pequeño error en la
aproximación de cada uno de los Ek por un abiertoGk de la definición de medibilidad
de tal manera que la suma total de todos los errores acumulados sea aún pequeña.
Los detalles: tenemos el ε > 0 de la definición de medible que queremos verificar
para la unión E. Por hipótesis, tenemos que para cada k ∈ N tenemos un abierto
Gk que contiene a Ek cumpliendo la condición
|Gk \ Ek|e <
ε
2k
.
Acá ven otra vez el truco de usar una colección sumable de ”pequeños errores”.
El abierto adecuado para nuestro conjunto E será la unión de los Gk: definimos
G :=
⋃∞
k=1 Gk. Entonces G es abierto (pues es unión de abiertos) y claramente
contiene a E:
x ∈ E =⇒ ∃k ∈ N : x ∈ Ek =⇒ x ∈ Gk =⇒ x ∈
∞⋃
k=1
Gk = G
Además, podemos usar la σ-subaditividad para ver que
|G \ E|e ≤
∣∣∣∣∣
∞⋃
k=1
Gk \ Ek
∣∣∣∣∣
e
≤
∞∑
k=1
|Gk \ Ek|e <
∞∑
k=1
ε
2k
= ε.
De modo que encontramos el abierto G que muestra que E es medible.
Ejercicio 3.3. Verificar que la desigualdad en rojo es correcta.
Hasta ahora tenemos que abiertos, conjuntos de medida cero y uniones numerables
entre esas dos clases son conjuntos medibles. Con esto ya podemos probar algo esperable:
los intervalos cerrados son medibles.
17
18 3 CONJUNTOS MEDIBLES
Ejemplo 3.4. Si I =
∏n
k=1[ak, bk] es un intervalo cerrado entonces es medible. La idea es
descomponer el intervalo en interior y borde, de modo que tenemos
I = I◦ ∪ ∂I.
La parte de I◦ es trivial porque es un conjunto abierto. Sólo falta verificar que |∂I| = 0
(notar que ya estamos usando la notación de medida y no de medida exterior cuando ya
sabemos que el conjunto es medible). Podemos describir al borde como la unión de los
pares de caras opuestas:
∂I =
n⋃
k=1
C−k ∪ C
+
k ,
donde
C−k = {(x1, . . . , xn) ∈ I : xk = ak} y C
+
k = {(x1, . . . , xn) ∈ I : xk = bk}
Sólo resta cubrir cada una de las caras C±k para 1 ≤ k ≤ n para terminar de ver que el
borde tiene medida cero. Miremos las caras C−k : podemos taparlas así. Fijado un ε > 0
cualquiera, podemos definir los ε-engordados de cada cara:
C−k ⊂ C̃
−
k :=
k−1∏
j=1
[aj, bj]× [ak − ε, ak + ε]×
n∏
j=k+1
[aj, bj]
La misma idea se puede usar para las caras C+k :
C+k ⊂ C̃
+
k :=
k−1∏
j=1
[aj, bj]× [bk − ε, bk + ε]×
n∏
j=k+1
[aj, bj]
Figura 6: Cubrimos cada cara con un ε-engordado.
Podemos calcular el volumen del cubrimiento C̃±k como
v(C̃±k ) = 2ε .
n∏
j=1,j 6=k
(bj − aj)
Con esto podemos concluir que podemos cubrir ∂I con un cubrimiento S cuyo tamaño es
σ(S) ≤ 4ε
n∑
k=1
n∏
j=1,j 6=k
(bj − aj). (23)
18
19 3 CONJUNTOS MEDIBLES
Lo único importante acá es que todas las cantidades estan quietas y dependen de I salvo
el ε que lo podemos hacer tan chico como nos guste. De modo que queda
|∂I|e ≤ σ(S) ≤ Cε
y de ahí que |∂I| = 0 (notar que la primera estimación la hicimos con la medida exterior
pero ahora que sabemos que es cero podemos poner directamente la medida). Finalmente,
concluimos que I es medible y como ya teníamos calculada la medida exterior de los
intervalos, queda que
v(I) = |I|e = |I|
Podemos extender este resultado al caso de uniones numerables de intervalos casi
disjuntos.
Lema 3.5. Sea E la unión casi disjunta de una familia numerable de intervalos {Ik}, es
decir E =
⋃∞
k=1 Ik. Entonces E es medible y además vale que
|E| =
∞∑
k=1
v(Ik) (24)
Demostración. Empecemos por la medibilidad: como cada intervalo es medible (lo pro-
bamos en el Ejemplo 3.4), entonces E es medible por ser unión numerable de conjuntos
medibles (Proposición 3.2, punto 3). A partir de acá ya podemos trabajar con la notación
| · | porque todo es medible. Una de las dos desigualdades la tenemos gratis por la σ
aditividad. Tenemos que probar que
∞∑
k=1
v(Ik) ≤ |E|.
Para eso fijemos un ε > 0 y tomemos, para cada k ∈ N, un intervalo cerrado I∗k ⊂ Ik tal
que
|Ik| < |I∗k |+
ε
2k
(el truco es achicar un poquito cada lado, ya sabemos cómo hacer eso). Lo bueno es
que ahora todos los intervalos están positivamente separados! Entonces aunque no fueran
medibles podemos usar la propiedad métrica de la medida exterior para calcular la medida
de la unión. Más precisamente, para cualquier cantidad finita N tenemos que:
|E| ≥
∣∣∣∣∣
N⋃
k=1
I∗k
∣∣∣∣∣=
N∑
k=1
|I∗k | ≥
N∑
k=1
(
|Ik| −
ε
2k
)
≥
N∑
k=1
|Ik| − ε (25)
La igualdad en rojo es válida justamente gracias a la separación positiva entre los I∗k .
Haciendo que N →∞, nos queda
∞∑
k=1
|Ik| ≤ |E|+ ε (26)
Como vale para cualquier ε > 0, tenemos que
∑∞
k=1 |Ik| ≤ |E| y con eso terminamos la
prueba del lema (recordar que para intervalos ya probamos que v(I) = |I|).
Pasamos ahora al siguiente ejemplo de conjunto medible: los conjuntos cerrados.
19
20 3 CONJUNTOS MEDIBLES
Proposición 3.6. Si F es un conjunto cerrado, entonces es medible.
Para la prueba necesitamos dos lemas intermedios. Un resultado que deberían saber
ya de antes y otro que es una idea interesante más allá de los objetivos de esta materia.
El primero tiene que ver con la posibilidad de separar positivamente un cerrado de un
compacto:
Lema 3.7. Sean E,F ⊂ Rn dos conjuntos cerrados y disjuntos. Si alguno de ellos es
compacto, entonces d(E,F ) > 0.
Ejercicio 3.8.
1. Probar el Lema 3.7.
2. Probar que no podemos remover la condición de compacidad. Es decir, encontrar
dos conjuntos cerrados y disjuntos tales que la distancia entre ellos sea 0.
El siguiente resultado es una interesante representación de conjuntos abiertos en Rn.
Lema 3.9. Todo conjunto abierto O ⊂ Rn puede escribirse como una unión de cubos
cerrados casi disjuntos (esto quiere decir que sólo se tocan en los bordes, los interiores
son disjuntos).
Figura 7: Dos etapas de la grilla diádica.
Incluimos la prueba de este lema por que es una idea interesante y útil.
Demostración. Empezamos usando la grilla de coordenadas enteras Zn para definir una
familia de cubos diádicos de nivel 0 formada por cubos de lado 1. La llamamos Q0 y
notamos
Q0 =
{
Q0j
}∞
j=1
La idea ahora es quedarnos con todos aquellos cubos que están totalmente contenidos
en elabierto O. Notemos que tenemos tres clases de cubos, IN, BORDER, OUT:
I0 = {Q ∈ Q0 : Q ⊂ O}
B0 = {Q ∈ Q0 : Q ∩ O 6= ∅ ∧Q ∩ Oc 6= ∅}
O0 = {Q ∈ Q0 : Q ∩ O = ∅}
20
21 3 CONJUNTOS MEDIBLES
El procedimiento ahora es dejar tranquilos a los cubos de I0 y también a los de O0,
pero seguir dividiendo a los que tocan adentro y afuera a la vez. Entonces dividimos todos
los lados de los cubos en 2 y generamos la segunda generación de cubos diádicos de lado
1
2
. Y así sucesivamente generamos las familias diádicas Qj formadas por cubos de lados
de longitud 2−j para todo j ∈ N. Las familias que nos interesan son
Ij = {Q ∈ Qj : Q ⊂ O ∧Q ⊆ P para algún P ∈ Bj−1}
En palabras: en cada Ij tenemos, para empezar, sólo cubos de lado 12j . Y de toda la grilla
diádica de ese nivel, sólo nos quedamos con los cubos que caen dentro del abierto O pero
que son hijos de un cubo del nivel anterior que no fue ni guardado ni desechado, era uno
de los que había que subdividir para poder quedarse con la parte que caía adentro.
Ahora, veamos que
O =
∞⋃
j=1
⋃
Q∈Ij
Q
y que dicha unión es una unión de cubos casi disjuntos. Dados dos cubos en esta unión,
pueden pertenecer a dos niveles iguales o distintos. Si son del mismo nivel j ∈ N, entonces
son casi disjuntos por construcción de la grilla Qj. Si son de distinto nivel, digamos que
son Q ∈ Ij y P ∈ Ik con j > k. Entonces el cubo P que corresponde al nivel más chico
k (el del lado más grande) fue elegido primero por estar completamente contenido en el
abierto O. El cubo Q entonces es hijo de algún cubo de nivel j que fue analizado más
tarde, de modo que es casi disjunto del cubo P .
Ahora, dado cualquier x ∈ O, tiene una cubito (no necesariamente diádico) abierto de
lado δ, llamémoslo Q(x, δ) totalmente contenido en O. Como la grilla Z∞ :=
⋃∞
j=0 2
−jZn
es densa en Rn, podemos encontrar un cubito diádico Q que contiene a x y que pertenece
a una grilla Qj que está completamente contenido en Q(x, δ) y por lo tanto en O. Para
este cubo de la grilla diádica hay dos posibilidades: o bien es el hijo (descendiente) de un
cubo diádico más grande que fue elegido en algún paso o bien fue elegido en el paso j,
cuando le tocó ser analizado. Esto muestra que los cubos seleccionados cubren al abierto
O y, por supuesto, todos los que fueron seleccionados están contenidos en el abierto.
Ejercicio 3.10. Precisar en términos de coordenadas del punto x = (x1, . . . , xn), el nivel
j y el lado δ la construcción del cubo Q del párrafo anterior. Pista: dado que el δ esta
fijado (por la distancia entre el punto x y el borde del abierto), elegir el nivel j de modo
que 2−j < δ
2
. Entonces se puede encontrar, para cada coordenada xi del punto x, un entero
ni tal que ni2−j < xi ≤ (n+ 1)2−j.
El siguiente ejercicio no tiene absolutamente nada que ver con la materia, pero sí con
el resultado anterior. Es totalmente opcional.
Ejercicio 3.11. Decidir si es posible escribir la bola unitaria cerrada B(0, 1) como la
unión de una familia numerable de cubos cerrados casi disjuntos. Pista: relacionar la
frontera de la bola con los vértices de los cubos.
Ahora sí podemos pasar a la prueba de la Proposición 3.6, que dice que todo cerrado
es medible.
Demostración de la Proposición 3.6. Empecemos por considerar un conjunto cerrado F
que es, además, compacto. Entonces está acotado y por lo tanto tiene medida exterior
finita. Fijemos un ε > 0 y tratemos de encontrar el abierto G de la Definición 3.1. Lo que
21
22 3 CONJUNTOS MEDIBLES
seguro tenemos es un abierto G ⊃ F tal que |G| < |F |e+ε. Como G\F es abierto (acá es
donde es crucial tener la hipótesis sobre F ), podemos escribir esa diferencia de conjuntos
como la unión numerable de intervalos casi disjuntos:
G \ F =
∞⋃
k=1
Ik (27)
Ahora, para cualquier N ∈ N, tenemos la relación
G = F ∪
∞⋃
k=1
Ik ⊃ F ∪
N⋃
k=1
Ik
De ahí que, computando la medida exterior,
|G| ≥
∣∣∣∣∣F ∪
N⋃
k=1
Ik
∣∣∣∣∣
e
= |F |e +
∣∣∣∣∣
N⋃
k=1
Ik
∣∣∣∣∣ .
Pudimos separar la medida exterior pues tanto F como
⋃N
k=1 Ik son compactos y además
disjuntos (¿por qué arrancamos con F compacto si acá no hace falta?). Entonces, tenemos
que
|G| − |F |e ≥
∣∣∣∣∣
N⋃
k=1
Ik
∣∣∣∣∣ ,
donde la desigualdad vale para todo N ∈ N. Concluimos que∣∣∣∣∣
N⋃
k=1
Ik
∣∣∣∣∣ ≤ |G| − |F |e < ε ∀N ∈ N.
Si juntamos esto con la condición (27) nos queda que
|G \ F |e ≤
∣∣∣∣∣
∞⋃
k=1
Ik
∣∣∣∣∣ < ε (28)
y terminamos de probar que el abierto G efectivamente es el que cumple la condición de
medibilidad. Meditar acerca de la pregunta en azul y entender por qué hay que pedir F
compacto para que todo el argumento funcione.
Queda un poquito más por demostrar: el caso en que F no es acotado (compacto). En
ese caso, aplicamos un truco que nos va a ayudar durante toda la materia: descomponemos
a F como una unión de conjuntos compactos: para cada k ∈ N, definimos
Fk := F ∩B(0, k)
donde B(0, k) es la bola cerrada de centro 0 y radio k. Está claro que Fk es compacto
para todo k ≥ 1, de modo que por lo que acabamos de probar Fk es medible. Entonces,
como F =
⋃∞
k=1 Fk, la Proposición 3.2 (unión numerable de medibles es medible) nos da
la medibilidad de F .
Con este resultado a mano, podemos probar la propiedad que nos falta para mostrar
que la colección de todos los conjuntos medibles en Rn tiene cierta estructura que se llama
de σ-álgebra.
22
23 3 CONJUNTOS MEDIBLES
Lema 3.12. Si E ⊂ Rn es un conjunto medible, entonces Ec es también medible.
Demostración. Como E es medible, para cada k ≥ 1 podemos encontrar un abierto Gk
que contiene a E y tal que
|Gk \ E| <
1
k
Como los Gk son abiertos, sus complementos Fk := Gck son cerrados y acabamos de probar
que son medibles. Definamos ahoraH =
⋃∞
k=1 Fk. Este conjunto es también medible (unión
de medibles) y está contenido en Ec. Entonces podemos escribir
Ec = H ∪ Z
que no es más que ponerle nombre a lo que está en Ec pero no queda cubierto por el
conjunto H que acabamos de definir. La idea que usamos es bastante común en el área:
queremos probar que el conjunto Ec es medible. Y hasta ahora sabemos que hay ciertos
conjuntos que son medibles y que hay ciertas operaciones que mantienen la medibilidad.
Entonces lo que tratamos de hacer es escribir a nuestro conjunto usando objetos válidos
y operaciones válidas. Sigamos: vamos a probar que el conjunto Z es medible por ser un
conjunto de medida cero. De la definición de Z se deduce que
Z ⊂ Ec ∩Hc = Ec ∩
∞⋂
k=1
Gk ⊂ Ec ∩Gk ∀k ≥ 1.
En otras palabras, se tiene que
Z ⊂ Gk \ E ∀k ≥ 1.
Como tenemos la estimación |Gk \E| < 1/k, resulta que |Z| = 0 y de ahí que es medible.
Entonces nuestro conjunto Ec es la unión de conjuntos medibles, lo que lo hace también
medible.
Como corolario elemental tenemos que si E,F son medibles, entonces E\F es también
medible.
3.2. Sigma álgebras
Todo lo que probamos hasta ahora nos permite concluir que la familia de conjuntos
medibles Lebesgue en Rn tiene estructura de σ-álgebra. Para entender de qué se trata
esto, introducimos la definición:
Definición 3.13. Sea U un cierto conjunto universal de donde sacaremos los subconjuntos
a estudiar. Una familia o colección no vacía de conjuntos Σ se llamará σ-álgebra de
conjuntos si se cumplen las siguientes dos condiciones:
1. Si E ∈ Σ, entonces Ec ∈ Σ.
2. Si {Ek}∞k=1 es una colección de conjuntos en Σ, entonces
⋃∞
k=1 Ek ∈ Σ.
Es decir, la familia Σ es cerrada por complementos y uniones numerables.
Un ejemplo particular de esta estructura es en efecto la familia de conjuntos medibles
Lebesgue.
23
24 3 CONJUNTOS MEDIBLES
Definición 3.14. LlamaremosM a la σ-álgebra de conjuntos medibles Lebesgue en Rn.
Para terminar, podemos definir el concepto de ”menor σ-álgebra que contiene a una
cierta familia de conjuntos”.
Definición 3.15. Sea C una familia de conjuntos. Podemos definir la familia
F = {Σ, σ-álgebra : C ⊂ Σ} .
Es decir, F es la familia de todas las σ-álgebras de conjuntos que contienen a C.
Ejercicio 3.16. Definir
A =
⋂
Σ∈F
Σ
y probar que A es una σ-álgebra.
En este caso, decimos que A es la la menor σ-álgebraque contiene a C. Esto quiere
decir, obviamente, que la colección C está contenida en A. Además, si hubiera otra σ-
álgebra H que contiene también a C, entonces A ⊂ H.
Un ejemplo interesante y muy útil es el de la sigma-álgebra de Borel B. Esta familia es,
por definición, la menor σ-álgebra que contiene a la familia de abiertos en Rn. Llamamos
borelianos a los elementos de B.
Como vimos antes, todo abierto es medible, de modo que si G es abierto, entonces
G ∈M. De ahí que se tenga la inclusión B ⊂M. En palabras, todo boreliano es medible.
Pregunta: ¿serán estas dos σ-álgebras iguales? Es decir, ¿existe algún conjunto medible
que NO sea boreliano?
3.3. σ-aditividad de conjuntos medibles
Ahora que sabemos que la unión numerable de medibles es también medible, el si-
guiente paso es ver que sobre esta clase la medida de la unión disjunta es efectivamente
la suma de las medidas. Necesitamos antes un lema sobre aproximación de conjuntos por
conjuntos cerrados desde dentro.
Lema 3.17. Sea E ⊂ Rn. Ees medible si y sólo si para cada ε > 0, existe un conjunto
cerrado F ⊂ E tal que |E \ F |e < ε.
Demostración. La prueba se basa en que tomar complementos nos mantiene dentro de la
sigma-álgebra de medibles. Más precisamente, E es medible si y sólo si Ec es mebible.
Esto es equivalente a la existencia de un abierto G ⊃ Ec tal que |G \ Ec|e < ε. Ahora, G
abierto conteniendo a Ec es equivalente a F = Gc cerrado contenido en E. Finalmente,
|G \ Ec|e < ε es equivalente a |E \ F |e < ε. Pensar en que G \ Ec = E \ F .
Ahora podemos probar la σ-aditividad de la medida de Lebesgue.
Proposición 3.18. Sea {Ek}∞k=1 una colección numerable de conjuntos medibles disjuntos.
Entonces ∣∣∣∣∣
∞⋃
k=1
Ek
∣∣∣∣∣ =
∞∑
k=1
|Ek| (29)
24
25 3 CONJUNTOS MEDIBLES
Demostración. Como siempre, una de las dos desigualdades es gratis por la subaditividad
(la desigualdad ”≤” en (29)) . Fijemos ahora un ε > 0 para probar la desigualdad ”≥
en (29), empezando por el caso en que todos los conjuntos Ek son acotados. Del lema
anterior tenemos que existen conjuntos cerrados Fk contenidos en cada Ek (de modo que
son compactos y disjuntos) tales que
|Ek \ Fk| <
ε
2k
Observemos además que:
|Ek| = |(Ek \ Fk) ∪ Fk| ≤ |Ek \ Fk|+ |Fk| <
ε
2k
+ |Fk|
Además, al ser los Fk positivamente separados (compactos y disjuntos), podemos calcular
la medida de la unión de los primeros N ∈ N cerrados así:
N∑
k=1
|Fk| =
∣∣∣∣∣
N⋃
k=1
Fk
∣∣∣∣∣ ≤
∣∣∣∣∣
N⋃
k=1
Ek
∣∣∣∣∣ ≤
∣∣∣∣∣
∞⋃
k=1
Ek
∣∣∣∣∣ .
Entonces, ∣∣∣∣∣
∞⋃
k=1
Ek
∣∣∣∣∣ ≥
N∑
k=1
|Fk| >
N∑
k=1
(
|Ek| −
ε
2k
)
=
N∑
k=1
|Ek| − ε.
Esto vale para cualquier N así que podemos concluir que
∞∑
k=1
|Ek| ≤
∣∣∣∣∣
∞⋃
k=1
Ek
∣∣∣∣∣+ ε.
que es lo que necesitábamos probar.
Ahora, veamos el caso en que los Ek no están acotados. En ese caso, vamos a descompo-
ner el espacio total Rn en anillos. Para eso, consideremos una colección de cubos centrados
en el origen creciendo hacia Rn. Por ejemplo, podemos usar los cubos Ij = [−j, j]n para
j ∈ Rn. Está claro que Ij ⊂ Ij+1 y que Rn =
⋃∞
j=1 Ij. Definimos ahora los conjuntos
S1 = I1, Sj = Ij \ Ij−1 j ≥ 2
Usando estos ”anillos”, podemos descomponer a nuestros Ek como sigue:
Ek,j := Ek ∩ Sj
Entonces ∣∣∣∣∣
∞⋃
k=1
Ek
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∞⋃
k,j=1
Ek,j
∣∣∣∣∣ =
∞∑
j,k=1
|Ek,j| =
∞∑
k=1
∞∑
j=1
|Ek,j| =
∞∑
k=1
|Ek| (30)
25
26 3 CONJUNTOS MEDIBLES
Clase 3
7/9/2020
Empecemos con un breve resumen de lo que tenemos hasta ahora:
Definimos la medida exterior | · |e para cualquier conjunto en Rn. Esta medida
exterior es σ-subaditiva, monótona y aditiva sobre pares de conjuntos positivamente
separados.
Definimos la clase M de conjuntos medibles Lebesgue y probamos todo lo nece-
sario para probar que esta clase es una σ-álgebra: cerrada por las operaciones de
complemento y uniones numerables.
Probamos también que la medida de Lebesgue es σ- aditiva sobre uniones numerables
de conjuntos medibles y disjuntos.
En la clase de hoy vamos seguir estudiando propiedades de la medida de Lebesgue.
Empecemos por un ejemplo muy sencillo.
Ejemplo 3.19. Si E es un conjunto medible, entonces para todo F ⊂ E medible tal que
|F | <∞, vale que
|E \ F | = |E| − |F | (31)
Esto sale directo de la aditividad:
|E| = |(E \ F ) ∪ F | = |(E \ F )|+ |F |
Esta igualdad siempre es cierta, incluso sin la hipótesis de medida finita sobre F . Pero si
F tiene medida finita podemos obtener (31).
3.4. Sucesiones de conjuntos
Vamos a introducir la siguiente notación.
Definición 3.20. Sea {Ek}∞k=1 una sucesión de conjuntos (medibles o no).
1. Si Ek ⊂ Ek+1 para todo k ≥ 1, decimos que Ek ↗ E =
⋃∞
k=1 Ek.
2. Si Ek ⊃ Ek+1 para todo k ≥ 1, decimos que Ek ↘ E =
⋂∞
k=1 Ek.
Tenemos entonces la siguiente propiedad muy útil de los conjuntos medibles:
Lema 3.21. Sea {Ek}∞k=1 una sucesión de conjuntos medibles.
1. Si Ek ↗ E =
⋃∞
k=1Ek, entonces
ĺım
k→∞
|Ek| = |E|. (32)
.
2. Si Ek ↘ E =
⋂∞
k=1 Ek y además alguno de los conjuntos tiene medida finita, enton-
ces
ĺım
k→∞
|Ek| = |E|. (33)
.
26
27 3 CONJUNTOS MEDIBLES
Demostración. La demostración se basa en usar, otra vez, un truco de disjuntar los con-
juntos involucrados. Para la prueba de 1, pensemos primero qué pasa si para algún k0 el
correspondiente Ek0 tiene medida infinita. Entonces a partir de ese momento, todos los
Ek, k ≥ 0 tienen también medida infinita, como así también las unión E. De ahí que el
resultado es trivial en el caso de medida infinita.
Supongamos entonces que |Ek| < ∞ para todo k. Escribimos al conjunto E de la
siguiente manera:
E = E1 ∪ (E2 \ E1) ∪ (E3 \ E2) ∪ . . . (Ek \ Ek−1) · · · = E1 ∪
∞⋃
k=2
Ek \ Ek−1
Figura 8: Disjuntamos una sucesión creciente de conjuntos.
Usando la aditividad de la medida y la ecuación (31) en cada término, obtenemos que
|E| = |E1|+
∞∑
k=2
|Ek| − |Ek−1| = |E1| − |E1|+ ĺım
k→∞
|Ek|
y tenemos el punto 1 probado.
Para probar el punto 2, podemos suponer que |E|1 es el que tiene medida finita.
Recordar que nos interesa el valor del límite de las medidas cuando k → ∞. Además, si
el primero que tiene medida finita no es E1 sino que es un cierto Ek0 , entonces podemos
poner
E =
∞⋂
k=1
Ek =
∞⋂
k=1
(Ek ∩ Ek0)
y entonces ahí todos tienen medida finita. Es decir, podemos suponer que tiramos todos
los primeros conjuntos y arrancar en Ek0 . Dicho esto, podemos suponer que esto pasa
para E1 y hacer las disjunción del conjunto E1 de la siguiente manera:
Figura 9: Disjuntamos una sucesión decreciente de conjuntos
27
28 3 CONJUNTOS MEDIBLES
E1 = E ∪ (E1 \ E2) ∪ (E2 \ E3) ∪ . . . (Ek \ Ek+1) · · · = E ∪
∞⋃
k=1
(Ek \ Ek+1)
Entonces, tomando medida como antes nos queda
|E1| = |E|+
∞∑
k=1
|Ek| − |Ek+1| = |E|+ |E1| − ĺım
k→∞
|Ek|. (34)
El último paso consiste en manipular estas cantidades para obtener la igualdad en (33).
Para eso usamos la hipótesis sobre la medida finita de E1.
Ejercicio muy natural de plantear en este punto:
Ejercicio 3.22. Dar una ejemplo de una sucesión decreciente de conjuntos medibles para
los que la igualdad (33) no valga. Pista: remover alguna de las hipótesis del lema.
Vamos a probar ahora que la propiedad en (32) vale incluso sin la condición de medibi-
lidad. Es un resultado útil en sí mismo pero además la prueba es técnicamente instructiva.
Ejemplo 3.23. Si Ek ↗ E =
⋃∞
k=1Ek, entonces
ĺım
k→∞
|Ek|e = |E|e. (35)
.
Demostración. Antes que nada, notemos que como Ek ⊂ E para todo k ≥ 1, tenemos la
desigualdad
ĺım
k→∞
|Ek|e ≤ |E|e.
.
Para obtener la otra desigualdad, el truco será tratar de cambiar nuestros conjuntos
no necesariamente medibles por otros conjuntos que sí sean medibles y tengan la misma
medida exterior. Esto es justamente el contenido del Corolario 2.17. Tomemos entonces,
para cada k ≥ 1, un conjunto Hk ∈ M (recordemos que vamos a usar esta notación
para indicar medibilidad) tal que Ek ⊂ Hk y |Hk| = |Ek|e. Para los Hk podríamos usar
tranquilamente la propiedad (32)... si fuera una sucesión creciente!!. Esto no tiene
por qué ser cierto, como se ve en la Figura 10.
Para arreglar este problema definimos, para cada m∈ N, los conjuntos
Vm :=
∞⋂
k=m
Hk
Dicho en palabras, Vm consiste en quedarse con el conjunto más chico que podemos armar
que contenga a todos los Ek a partir de k = m.
Para la sucesión {Vm}∞m=1 podemos afirmar
1. Todos los Vm son medibles (pues los Hk lo son).
2. Vm ⊂ Vm+1, pues son intersecciones cada vez más chicas. Entonces
Vm ↗ V :=
∞⋃
m=1
Vm
28
29 3 CONJUNTOS MEDIBLES
Figura 10: Los Hk pueden no estar anidados.
3. Se concluye de lo anterior que
ĺım
m→∞
|Vm| = |V |
Veamos ahora cómo se relaciona la medida de los Vm y los Em. Notemos que para
cualquier m ≥ 1 se tiene que
Em ⊂ Vm ⊂ Hm.
La segunda inclusión es por la definición de Vm. Para verificar la primera, hay que chequear
que Em ⊂ Hk para todo k ≥ m (esto es para que Em esté dentro de Vm que es la
intersección de todos los Hk que vienen más adelante). Y esto último es cierto pues los
conjuntos Ek están anidados de forma creciente, de manera que como Hk contiene a Ek,
entonces también contiene a Em para cualquier m ≤ k. Conclusión:
|Em|e = |Vm| = |Hm|.
Es decir que la sucesión numérica de las medidas |Vm| es la misma sucesión numérica de
los números dados por los |Em|e, así que
ĺım
m→∞
|Em|e = |V | ≥ |E|e.
¿Por qué vale la última desigualdad? Porque V ⊃ Vm ⊃ Em para todo m ≥ 1. Entonces V
tiene que contener a la unión de todos los Em que es, justamente, E. Con esto terminamos
la demostración, pues la otra desigualdad es trivial y lo mencionamos al principio de la
demostración.
Presentamos ahora una caracterización de medibilidad como consecuencia de todo lo
estudiado hasta ahora.
Proposición 3.24. Sea E ⊂ Rn un conjunto. Entonces
1. E ∈M si y sólo si E = H \ Z con H ∈ Gδ y |Z| = 0.
2. E ∈M si y sólo si E = H ∪ Z con H ∈ Fσ y |Z| = 0.
Demostración. Observemos primero que la implicación ⇐ en cualquiera de los dos pun-
tos es inmediata, pues son operaciones que preservan medibilidad aplicadas a conjuntos
medibles (Gδ, Fσ o de medida cero). Para la implicación⇒, la prueba es esencialmente la
29
30 3 CONJUNTOS MEDIBLES
misma idea que en el Corolario 2.17. Para el punto 1, considerar la colección de conjuntos
abiertos Gk, k ∈ N tales que
E ⊂ Gk , |Gk \ E| <
1
k
.
Basta definir ahora H =
⋂∞
k=1Gk y verificar que
E = H \ (H \ E)
Esto se verifica fácilmente escribiendo
H \ (H \ E) = H ∩ (H \ E)c = H ∩ (H ∩ Ec)c = H ∩ (Hc ∪ E) = E.
Pongamos ahora Z := H \ E y usemos que Z ⊂ Gk \ E para todo k ≥ 1. Entonces
|Z| ≤ |Gk \ E| <
1
k
∀k ≥ 1,
así que |Z| = 0. La prueba del punto 2 se obtiene directamente del punto 1 aplicado al
conjunto Ec y tomando complementos (hacerlo!).
3.5. Condición de Carathéodory
Hasta ahora, hemos trabajado con una noción de medibilidad de un conjunto E aso-
ciada a la existencia de un abierto aproximante G ⊃ E. Y esta noción de aproximación
está cuantificada en términos de cuán chica es la medida exterior de G \ E, cosa que se
logra computar usando cubrimientos por intervalos adecuadamente elegidos. En resumen,
todo depende de la estructura de Rn y la noción de volumen de un intervalo.
Presentaremos ahora una caracterización de la condición de medibilidad más cercana a
la motivación que discutimos acerca de ”separar bien a los conjuntos disjuntos”. La ventaja
de esta caracterización es que es en algún sentido independiente del espacio y su métrica,
topología o cualquier otra cualidad. Será muy útil cuando extendamos toda la teoría de
la medida más allá del espacio euclídeo Rn.
Teorema 3.25 (Carathéodory). Sea E ⊂ Rn. Entonces E ∈ M si y sólo si para todo
conjunto A ⊂ Rn se tiene que
|A|e = |A ∩ E|e + |A ∩ Ec|e (36)
Demostración. Vayamos por partes. Primero probaremos la implicación ⇒. Para eso,
hay que probar dos desigualdades. La desigualdad ≤ es gratis por la subaditividad de la
medida exterior. Para la otra, sería trivial si A fuera también medible. Como no podemos
contar con eso, tomemos un conjunto medible H ⊃ A de la misma medida: |H| = |A|e.
Entonces,
|A|e = |H| = |H ∩ E|+ |H ∩ Ec| ≥ |A ∩ E|e + |A ∩ Ec|e,
de manera que tenemos las dos desigualdades y vale que |A|e = |A ∩ E|e + |A ∩ Ec|e.
Vamos ahora la implicación ⇐, supongamos que tenemos un conjunto E que cumple
la condición (36) y que además es de medida exterior finita. En este caso, tomamos
un conjunto H de tipo Gδ tal que H ⊃ E con |H| = |E|e. Entonces escribimos
H = E ∪H \ E.
30
31 3 CONJUNTOS MEDIBLES
La condición de Carathéodory nos da entonces que, eligiendo como conjunto A al
mismo H, la medida de H se puede escribir como (recordar que E ⊂ H)
|H| = |E|e + |H \ E|e (37)
Como podemos manipular las medidas de estos conjuntos (porque son finitas), podemos
concluir que |H \ E|e = 0. Entonces
E = H \ (H \ E)
y por la caracterización de la Proposición 3.24 resulta que E tiene que ser medible.
Ahora hay que tratar el caso en que la medida de E no es finita. En este caso, volvemos
a usar el truco de cortar a nuestro conjunto E con bolas centradas en el origen. Para cada
k ≥ 1, definimos
Ek = E ∩B(0, k).
Cada Ek está acotado y claramente E =
⋃∞
k=1Ek.
Pregunta: ¿Podemos usar el caso anterior sobre los Ek y concluir que E es medible
porque es unión de medibles?
Respuesta: NO
Si ya pensaron un rato en por qué la respuesta es NO, pueden seguir leyendo. El
problema es que no tenemos ninguna razón para confiar en que los Ek también cumplen
la condición de Carathéodory. De todos modos, el método es similar: tomemos para cada
k ∈ N un conjunto medible Hk ⊃ Ek tal que |Hk| = |Ek|e. Usemos ahora la condición de
Carathéodory que cumple E con cada conjunto Hk. Entonces
|Hk| = |Hk ∩ E|e + |Hk ∩ Ec|e ≥ |Ek|e + |Hk ∩ Ec|e.
Como las medidas exteriores de Hk y Ek son finitas e iguales, podemos concluir que
|Hk ∩ Ec|e = 0
Ahora podemos juntar todos los Hk∩Ec, total son todos de medida cero, así que su unión
será medible y de medida cero. Más precisamente, definamos H =
⋃∞
k=1Hk. Entonces
H ∈ M (pues es unión numerable de medibles). También se ve claro que E ⊂ H, pues
E =
⋃∞
k=1Ek y cada Ek está dentro de Hk. Finalmente, otra vez tenemos que
E = H \ (H \ E).
Y para H \ E tenemos la estimación
|H \ E|e =
∣∣∣∣∣
∞⋃
k=1
(Hk \ E)
∣∣∣∣∣
e
≤
∞∑
k=1
|Hk \ E|e = 0
Con esto concluimos que E es medible por ser diferencia de conjuntos medibles.
3.6. Traslaciones y dilataciones
El objetivo de esta sección es estudiar qué pasa con la medibilidad de un conjun-
to a través de ciertas transformaciones. Vamos a analizar el caso de las traslaciones y
dilataciones.
31
32 3 CONJUNTOS MEDIBLES
Proposición 3.26. Para h ∈ Rn fijo, definimos las traslación por h de la manera usual
T : Rn → Rn T (x) = x+ h.
Para cada E ∈M se tiene que T (E) = E + h ∈M y |T (E)| = |E + h| = |E|.
Demostración. Empecemos por tratar de probar la medibilidad de E + h y veamos hasta
dónde podemos llegar. Como E es medible, dado un ε > 0 podemos elegir un abierto
G ⊃ E tal que |G \ E|e < ε. ¿Con qué podemos cubrir E + h? Pues con G + h, que
también es abierto (explicar por qué!) y claramente G+h ⊃ E+h. Sólo basta probar que
|G+ h \ E + h|e < ε.
Pero para probar esto último, vamos a probar en realidad que, para cualquier conjunto
A ⊂ Rn, vale que
|A+ h|e = |A|e. (38)
Esto, que es en realidad la segunda parte de la prueba, va a terminar con toda la de-
mostración de un solo paso, completando la prueba de la medibilidad del trasladado y la
igualdad de las medidas.
Para probar esto último vamos a usar una técnica (por primera vez en el curso) que es
muy habitual: probar cierta propiedad para objetos muy simples y luego tratar de pasar
a objetos de complejidad cada vez mayor. Empecemos entonces por verificar la propiedad
(38) para intervalos.
Sea I =
∏n
i=1[ai, bi] un intervalo. En este caso es claro que T (I) = I+h =
∏n
i=1[ai+
hi, bi+hi], donde h = (h1, . . . , hn). Entonces simplemente calculando ambas medidas
vemos que |T (I)| = |I|.
Consideremos ahora un conjunto abierto G ⊂ Rn. Vimos antes (Lema 3.9) que se
puede escribir como una unión casi disjunta de intervalos cerrados,
G =
∞⋃
k=1
Ik.
Entonces
T (G) =
∞⋃
k=1
T (Ik)
y de ahíque, usando el Lema 3.5, podemos calcular la medida como
|T (G)| =
∞∑
k=1
|T (Ik)| =
∞∑
k=1
|Ik| = |G|
Para terminar, sea A un conjunto arbitrario y sea G un conjunto abierto que lo
contenga. Entonces A+ h ⊂ G+ h y de ahí que
|A+ h|e ≤ |G+ h| = |G|.
Esta desigualdad nos dice que |A + h|e es una cota inferior para la medida de
cualquier abierto G que contenga a A. Revisar la propiedad (20) y concluir que
|A+ h|e ≤ ı́nf{|G| : G ⊃ A} = |A|e
32
33 3 CONJUNTOS MEDIBLES
Ahora, basta aplicar la misma idea para A = (A+ h) + (−h). Entonces
|A|e ≤ |A+ h|e
y de ahí que |A|e = |A+ h|e para cualquier A ⊂ Rn. Era lo único que faltaba para
terminar la demostración.
Ejercicio 3.27. De la misma manera que en el caso de las traslaciones se puede probar
un resultado similar para una dilatación del tipo
D : Rn → Rn , D(x) = (δ1x1, . . . , δnxn).
Probar que si E es un conjunto medible, entonces D(E) es también medible y
|D(E)| = |δ1δ2 . . . δn||E|
Tener en cuenta que puede ocurrir que δ1δ2 . . . δn = 0 como así también que |E| =∞.
3.7. Transformaciones Lipschitz
Una condición de regularidad de funciones muy importante que estudiaremos ahora
es la condición de Lipschitz-L.
Definición 3.28. Una función f : A→ B se dice Lipschitz si existe una constante C tal
que
|f(x)− f(y)| ≤ C|x− y| (39)
para todo par de x, y en A. La constante de Lipschitz de la función f se define como la
menor de todas las posibles constantes en la desigualdad anterior, o bien
L := sup
x 6=y
|f(x)− f(y)|
|x− y|
(40)
De ahí que usemos el nombre Lipschitz-L.
Una observación obvia pero necesaria acá es que cualquier función Lipschitz es conti-
nua. En relación la noción de medibilidad, tenemos el siguiente teorema.
Teorema 3.29. Sea f : Rn → Rn una función Lipschitz. Entonces E ∈M⇒ f(E) ∈M.
Demostración. La prueba se basa en ver que una función Lipschitz preserva ciertas es-
tructuras. Separamos el análisis en dos partes:
Primer paso: conjuntos Fσ: Si H es un conjunto de clase Fσ entonces f(H) también
es de clase Fσ. Esto es en realidad consecuencia de la continuidad y nada más. Si F es
un conjunto cerrado, entonces se puede escribir como unión numerable de compactos
F =
⋃∞
k=1 Fk. Entonces
f(F ) =
∞⋃
k=1
f(Fk). (41)
Como f es continua, f(Fk) es compacto y por lo tanto f(F ) de clase Fσ. Si usamos otra
vez la relación (41) (que vale para cualquier función y cualquier colección de conjuntos),
concluimos que f manda conjuntos de clase Fσ en conjuntos de clase Fσ.
33
34 3 CONJUNTOS MEDIBLES
Segundo paso: conjuntos de medida cero: Si Z es un conjunto de medida cero,
entonces f(Z) también lo es. Empecemos por tratar de entender qué tenemos y qué
queremos:
Cualitativamente: Tenemos que |Z| = 0 y queremos que |f(Z)| = 0.
Cuantitativamente: Sabemos que dado ε > 0 podemos cubrir a Z con una unión de
intervalos cuyo tamaño es menor que ε. Queremos lo mismo para el conjunto f(Z).
Idea: Como la función f no puede agrandar mucho las distancias, entonces suena
razonable usar el cubrimiento de Z para transformar cada rectangulito y cubrir f(Z) con
rectángulos apropiados que contengan a los rectángulos transformados.
Para precisar esto último, dado un rectángulo I tenemos que tener control sobre la
medida |f(I)| en términos de |I|. Recordar que nuestro dato de entrada es que tenemos
un cubrimiento de Z por intervalos de la forma S = {Ik}∞k=1 tal que
σ(S) =
∞∑
k=1
|Ik| < ε.
Así que el problema es cómo controlar la suma de las imágenes de estos intervalos que
usaremos para cubrir a f(Z). Sería ideal probar algo como
|f(Z)| ≤
∞∑
k=1
|f(Ik)| < ε.
¿Por qué es un problema? Porque la información disponible sobre la f es acerca de cómo
deforma las distancias o, lo que en realidad usaremos, los diámetros de los conjuntos.
Pero la información requerida sobre f(Ik) es acerca de la medida. Y en general, diámetro
y medida no tienen por qué ir de la mano.
Cuentas: Vamos a probar que existe una constante C tal que para cualquier intervalo
I se tiene que
|f(I)| ≤ C|I|.
Figura 11: La medida de un CUBO es proporcional a su diámetro.
Empecemos por el caso de un cubo Q. Como la condición Lipschitz (con constante L)
nos dice que
|f(x)− f(y)| ≤ L |x− y|
34
35 3 CONJUNTOS MEDIBLES
tenemos que la imagen de Q por f está contenida en un cubo Q̃ de lado Ldiam(Q).
Notemos con `(Q) al lado de un cubo Q. Si recordamos la relación entre el lado de un
cubo en Rn y su diámetro, tenemos que
|f(Q)| ≤ |Q̃| = `(Q̃)n = (Ldiam(Q))n = Ln
√
n
n|Q|
El problema ahora es lidiar con el caso de un intervalo general I. Lo que pasa acá
es que aunque sepamos que f(I) cae dentro de un cubo, la medida de ese cubo no tiene
nada que ver, en principio, con la medida del intervalo I. Podremos controlar la medida
de f(I) en términos del diámetro de I, pero esta última cantidad no es equivalente a la
medida de I.
Figura 12: La medida de un INTERVALO NO es proporcional a su diámetro.
La manera de resolver este problema es tratar de descomponer a nuestro intervalo I
en cubitos. Y eso sabemos cómo hacerlo! Pero necesitamos un abierto para poder usar
el Lema 3.9 (aunque dado que el conjunto I es un intervalo, podríamos tratar de hacer
una descomposición a mano para este caso). En definitiva, consideremos un intervalo J
tal que I ⊂ J◦. Entonces, como podemos descomponer a J◦ en cubitos:
J◦ =
∞⋃
k=1
Qk,
podemos aplicar la f y el resultado para cubos y nos queda:
|f(I)| ≤ |f(J◦)| =
∣∣∣∣∣
∞⋃
k=1
f(Qk)
∣∣∣∣∣ ≤
∞∑
k=1
|f(Qk)| ≤
∞∑
k=1
C|Qk| = C|J |
Como esto vale para cualquier J que contenga a I en su interior, podemos concluir que
|f(I)| ≤ C|I| ahora para cualquier intervalo. Con esto a mano, podemos probar final-
mente que si Z tiene medida cero entonces f(Z) también tiene medida cero. Sea ε > 0 y
sea {Ik}∞k=1 un cubrimiento de Z tal que
∞∑
k=1
|Ik| <
ε
C
,
35
36 3 CONJUNTOS MEDIBLES
donde C es la constante que acabamos de encontrar que satisface que |f(Ik)| ≤ C|Ik|.
Entonces ahora sí podemos estimar la medida |f(Z)| como
|f(Z)| ≤
∣∣∣∣∣
∞⋃
k=1
f(Ik)
∣∣∣∣∣ ≤
∞∑
k=1
|f(Ik)| ≤
∞∑
k=1
C|Ik| < ε.
¿Alguien se preguntó por qué podemos poner tranquilamente la medida de f(I) en
vez de la medida exterior? ¿Quién nos asegura la medibilidad de f(I)? Pensarlo antes de
seguir.
Ahora podemos concluir con la prueba del teorema. Si E es medible, entonces admite
una escritura del tipo
E = H ∪ Z
con H de tipo Fσ yZ de medida cero. Entonces
f(E) = f(H) ∪ f(Z)
Acabamos de probar que en estas condiciones, f(H) sigue siendo de clase Fσ y f(Z) tiene
medida cero. Eso muestra que f(E) es también medible.
3.8. Un conjunto no medible
En esta sección presentaremos la construcción de un conjunto que NO es medible
Lebesgue. Como se anticipó, su construcción depende del Axioma de elección. La cons-
trucción se debe al matemático italiano Giuseppe Vitali, de ahí que este conjunto se
conozca mundialmente como ”Conjunto de Vitali”.
Empezamos definiendo una relación de equivalencia en el conjunto (0, 1) ⊂ R. Decimos
que x ∼ y si y sólo si x− y ∈ Q. Está bastante claro que esta relación es, efectivamente,
de equivalencia (si no está claro, probarlo!). Notemos con Cx a cada clase de equivalencia
dada por esta relación. Entonces las clases
Cx = {x+ r : x+ r ∈ (0, 1), r es racional}
son iguales o disjuntas, dando una partición del intervalo (0, 1). Acá es donde entra en
juego el axioma de elección. Vamos a definir un conjunto V que consista de un elemento
de cada una de las (no numerables) clases de equivalencia. Consideremos una enumeración
de todos los racionales del intervalo (−1, 1) denotada por {rk}∞k=1. Afirmamos ahora que
los conjuntos
Vk := V + rk
son disjuntos, es decir Vk ∩ Vj = ∅ si j 6= k. Si no lo fueran, pongamos que z ∈ Vk ∩ Vj
con k 6= j. Entonces
z = zx + rk = zy + rj (42)
con zx ∈ Cx, zy ∈ Cy y rk, rj ∈ Q. Lo que tenemos que probar es que estas dos escrituras
son en realidad la misma. De esta ecuación se deduce que
zx − zy = rj − rk ∈ Q
y eso implica que zx ∼ zy. Pero tanto zx como zy están en V y, como en V sólo hay un
representante de cada clasede equivalencia, se tiene que zx = zy. Y entonces rk = rj y de
ahí que las dos representaciones en (42) son en realidad la misma.
36
37 3 CONJUNTOS MEDIBLES
Ahora, viene la suposición que será clave. Supongamos que V fuera medible. Entonces
todas las traslaciones V + rk tienen que ser medibles también y la medida es siempre la
misma (lo vimos en la Proposición 3.26):
|V | = |V + rk|.
Podemos ver que
(0, 1) ⊂
∞⋃
k=1
Vk ⊂ (−1, 2). (43)
La primera inclusión es porque todo x ∈ (0, 1) tiene un representante x′ ∈ V , así que
x − x′ = r donde r es un racional en el (−1, 1). Y todos los racionales de ese intervalo
están listados en el conjunto {rk}∞k=1. Entonces x = x′+ rk para algún k ∈ N. La segunda
inclusión es porque
Vk ⊂ (0, 1) + (−1, 1)
para cualquier k ∈ N. Recordar que la suma entre dos conjuntos A,B se define como
A+B = {x+ y : x ∈ A, y ∈ B}.
También bajo la suposición de que V es medible, resulta entonces que de la relación (43)
se deduce la cadena de desigualdades
1 = |(0, 1)| ≤
∣∣∣∣∣
∞⋃
k=1
Vk
∣∣∣∣∣ ≤ |(−1, 2)| = 3.
Y con los Vk dusjuntos, medibles y todos de igual medida queda
1 ≤
∞∑
k=1
|V | ≤ 3.
¿Qué posibilidades caben ahora para el número |V |? No puede ser ni cero ni positivo.
Concluimos que entonces el conjunto V no puede ser medible.
3.9. El conjunto de diferencias de un conjunto
Incluimos acá un resultado interesante sobre los conjuntos medibles de medida positiva
en la recta real. El conjunto de diferencias de un conjunto E ⊂ R se define como
D(E) := {x− y : x, y ∈ E}
Proposición 3.30. Sea E un conjunto medible tal que |E| > 0. Entonces existe un δ > 0
tal que
(−δ, δ) ⊂ D(E).
Demostración. Para cualquier ε > 0, podemos encontrar un conjunto abierto G ⊃ E tal
que
|G| < (1 + ε)|E|
Notar que si E tiene medida cero ya este paso no se puede hacer. Una vez más, podemos
descomponer a G en intervalos casi disjuntos (estamos en R)
G =
∞⋃
k=1
Ik
37
38 3 CONJUNTOS MEDIBLES
Con estos intervalos descomponemos a E =
⋃∞
k=1Ek con Ek = E ∩ Ik. Entonces los Ek
son todos medibles y tienen a lo sumo un punto en común (los extremos de los intervalos
Ik en caso de que haya dos adyacentes). Notemos ahora que
∞∑
k=1
|Ik| = |G| < (1 + ε)|E| = (1 + ε)
∞∑
k=1
|Ek|
Acá usamos que los Ek son todos medibles y con sólo un punto en común dado que E es
medible y los intervalos Ik son casi disjuntos. Necesariamente, tiene que haber algún k0
tal que
|Ik0| ≤ (1 + ε)|Ek0|
(pensar qué pasaría si para todo k valiera la desigualdad contraria). Podemos ahora tomar
simplemente ε = 1
3
, de modo que
3
4
|Ik0| ≤ |Ek0|. (44)
Una manera de ver esto es que el conjunto Ek ocupa una parte razonablemente grande del
intervalo Ik que lo contiene. Tomemos ahora cualquier número real θ tal que |θ| < 12 |Ik0 |.
Claim: Bajo estas condiciones,
Ek0 ∩ Ek0 + θ 6= ∅. (45)
Si así no fuera (si estos dos conjuntos fueran disjuntos), entonces
|Ek0 ∪ (Ek0 + θ)| = |Ek0|+ |Ek0 + θ| = 2|Ek0 |
Pero además tenemos que esta unión está contenida en un intervalo J de longitud |Ik0|+|θ|,
porque Ek0 está dentro de Ik0 y para poder meter también a Ek0 +θ basta agregar pegado
un intervalo de longitud |θ|. Finalmente, estas dos últimas observaciones implican, junto
con (44), que
3
2
|Ik0| ≤ 2|Ek0| = |Ek0 ∪ (Ek0 + θ)| ≤ |Ik0|+ |θ|
Lo que conduce a la contradicción
1
2
|Ik0 | ≤ |θ|.
La afirmación en (45) es entonces cierta y para cualquier θ tal que |θ| < 1
2
|Ik0| tenemos
que existe alguien en la intersección Ek0 ∩ Ek0 + θ. Esto es lo mismo que decir que para
todo |θ| < 1
2
|Ik0| existe x, y ∈ E, x = y + θ, que a su vez es lo mismo que decir que
x− y = θ. Esto prueba la proposición con δ = 1
2
|Ik0 |.
38
39 4 FUNCIONES MEDIBLES
Clase 4
10/9/2020
4. Funciones medibles
Ahora que tenemos la noción de medida disponible, podemos intentar acercarnos al
concepto de integral. Pensemos primero en el caso de funciones no negativas de una
variable, f : [a, b]→ [0,∞] (vamos a permitir que la función tome incluso el valor +∞). Lo
que aprendimos hace tiempo es que la integral es el ”área bajo la curva”. En su momento,
como no teníamos una teoría de la medida disponible, lo que hicimos fue medir con
rectángulos cada vez más finitos y por eso estudiamos sumas de Riemann. Pero si vemos
que el área bajo la curva es la medida en R2 del conjunto
R([a, b], f) := {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b; 0 ≤ y ≤ f(x)},
entonces basta tomar la medida de Lebesgue del conjunto R. La posibilidad de hacer
eso, que es en otras palabras decidir si el conjunto R es medible en R2, dependerá de la
regularidad de la función f .
Dejemos de lado por un tiempo la noción de integral y pasemos a introducir la noción
de función medible, que viene a responder la cuestión de medibilidad del conjunto R
definido antes. Vamos a trabajar con funciones
f : Rn → R,
donde R es la recta extendida [−∞,+∞].
Definición 4.1. Dada una función definida sobre un conjunto medible E ⊂ Rn, para
cada a ∈ R definimos el conjunto
E(f, a) = {x ∈ E : f(x) > a} . (46)
Diremos que f es medible Lebesgue (o simplemente medible) si E(f, a) ∈ M para todo
a ∈ R. A veces escribimos para abreviar simplemente {f > a} cuando no hay dudas
acerca del dominio de definición de la f .
Observación 4.2. En general, la noción de medibilidad se traduce en la pertenencia a
una determinada σ-álgebra. Dependiendo de a cuál σ-álgebra A pertenezca el conjunto
E(f, a), diremos que la función f es A-medible. Por ejemplo, si miramos una función
continua f : Rn → R, entonces el conjunto E(f, a) es siempre abierto, lo que implica que
es boreliano (perteneciente a la σ-álgebra de Borel B) y de ahí que también es medible.
Como primera cuenta, podemos ver que la elección del signo > no es demasiado rele-
vante.
Lema 4.3. Sea E ∈ M y f : E → R. Entonces f es medible si y sólo si vale cualquiera
de las siguientes condiciones.
1. {f ≥ a} ∈ M.
2. {f < a} ∈ M.
3. {f ≤ a} ∈ M.
39
40 4 FUNCIONES MEDIBLES
Demostración. La demostración es un buen ejemplo de cómo probar medibilidad a partir
de las propiedades que venimos estudiando. Llamemos (H) a la hipótesis de medibilidad
de f . Vamos a probar las implicaciones en orden para probar el lema.
(H)⇒ 1) Sale de la igualdad
{f ≥ a} =
∞⋂
k=1
{
f > a− 1
k
}
Cada uno de los conjuntos intersecados es medible por hipótesis, así que la intersección
numerable debe serlo también.
1⇒ 2) Sale de la igualdad
{f < a} = {f ≥ a}c,
pues acabamos de probar que {f ≥ a} es medible.
2⇒ 3) Similar a lo anterior:
{f ≤ a} =
∞⋂
k=1
{
f < a+
1
k
}
3⇒ (H) Tomar complemento.
Como consecuencia de esto, aplicando operaciones entre conjuntos, tenemos el siguien-
te corolario.
Corolario 4.4. Si f es una función medible definida en un conjunto medible E, entonces
{f = a}, {a ≤ f ≤ b}, {f < +∞}, {f > −∞}, {f = +∞} son todos conjuntos medibles,
para toda elección de a, b ∈ R.
Demostración. Ejercicio!! Escribir a cada uno de los conjuntos de manera similar a como
lo hicimos en el lema anterior.
Ejercicio 4.5. Mostrar con un ejemplo que la condición {f = a} ∈ M para todo a ∈ R
NO es suficiente para asegurar la medibilidad de la función f . Pista: Si queremos ver que
una función no es medible, hay que encontrar un a ∈ R tal que el conjunto {f > a} no
sea medible. ¿Cuántos conjuntos no medibles conocen?
Tenemos otra caracterización de funciones medibles.
Lema 4.6. Sea f : E → R medible tal que {a < f < ∞} es medible para todo a ∈ R y
alguno de los conjuntos {f = +∞} o {f = −∞} es medible, entonces f es medible.
Demostración. Sabemos que si {f > a} es medible, entonces la función f es medible. La
sutileza entonces está en ver que la diferencia entre {f > a} y {a < f <∞} es justamente
el conjunto {f = +∞}. De modo que si este conjunto es medible no hay nada más que
probar. Pero ¿qué pasa si sólo sabemos que el que es medible es {f = −∞}? En ese caso,
notemos que
E =
⋃
a∈Z
{a < f <∞} ∪ {f = +∞} ∪ {f = −∞}
Como E es medible y {a < f < ∞} también, basta con alguno de los dos últimos
para terminar concluyendo la medibilidad de todos los conjuntos involucrados. Entonces