Física II - Unidad 4

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Esp. Ing. Francisco A. Gómez López 
Física II, Unidad 4 – Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Tucumán / Edición 2019 
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CAPÍTULO 
 04 
MAGNETOSTÁTICA 
 
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Unidad 4 
Magnetostática 
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4.1 Introducción 
 
En nuestro mundo moderno, todos utilizamos fuerzas magnéticas. Están en el 
interior de los motores eléctricos, hornos de microondas, parlantes, impresoras, etc. Los 
aspectos más familiares del magnetismo son aquellos asociados con los imanes 
permanentes, que atraen objetos de hierro que no son magnéticos, y que atraen o 
repelen otros imanes. Ejemplo de esta interacción es la aguja de una brújula que se 
alinea con el magnetismo terrestre. Las aplicaciones de campos magnéticos y fuerzas 
magnéticas son innumerables y van cambiando rápidamente cada año. Durante 
décadas, la industria del entretenimiento estuvo sustentada por la grabación magnética 
de música e imágenes en cintas de audio y video. Aunque la tecnología digital ha 
reemplazado en gran medida la grabación magnética, la industria aún depende de los 
imanes que controlan las unidades lectoras CDs, reproductores de DVD y discos duros 
de computadoras. La mayoría de los sistemas de alarma de seguridad, timbres y cierres 
automáticos de puertas emplean imanes, sin nombrar la gran variedad de sensores que 
se utilizan en la industria para todo tipo de procesos. En resumen, estamos rodeado de 
imanes. 
 
La ciencia de los campos magnéticos es física; la aplicación de campos magnéticos 
es ingeniería. 
 
No obstante, la naturaleza fundamental del magnetismo es la interacción de las 
cargas eléctricas en movimiento. A diferencia de las fuerzas eléctricas, que actúan sobre 
las cargas eléctricas estén en movimiento o no, las fuerzas magnéticas sólo actúan sobre 
cargas que se mueven. 
Aunque las fuerzas eléctricas y magnéticas son muy diferentes unas de otras, para 
describir ambos tipos usaremos la idea de campo. En la unidad 1 vimos que las fuerzas 
eléctricas ocurren en dos etapas: 
 
1) Una carga produce un campo eléctrico en el espacio que la rodea; 
2) Una segunda carga responde a este campo. 
 
Las fuerzas magnéticas también ocurren en dos etapas. En primer lugar, una carga 
o conjunto de cargas en movimiento (es decir, una corriente eléctrica) producen un 
campo magnético. A continuación, una segunda corriente o carga en movimiento 
responde a ese campo magnético, con lo que experimenta una fuerza magnética. En 
esta unidad estudiaremos la segunda etapa de la interacción magnética (es decir, el 
modo en que las cargas y corrientes responden a los campos magnéticos). En particular, 
veremos la forma de calcular fuerzas y pares de torsión magnéticos, y descubriremos 
por qué los imanes son capaces de levantar objetos de hierro. En la unidad 5 
terminaremos el panorama de la interacción magnética con el estudio de cómo las 
cargas y corrientes en movimiento producen campos magnéticos. 
 
 
4.2 Magnetismo 
 
Los fenómenos magnéticos fueron observados por primera vez al menos hace 
2.500 años, con fragmentos de mineral de hierro magnetizado cerca de la antigua ciudad 
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de Magnesia (hoy Manisa, en Turquía occidental). Esos trozos eran ejemplos de lo que 
ahora llamamos imanes permanentes. Cuando una varilla de hierro entra en contacto 
con un imán natural, esta se magnetiza, y si la varilla se suspende de un hilo por el medio, 
tiende a alinearse con la dirección norte-sur de la tierra. La aguja de una brújula 
ordinaria no es más que un trozo de hierro magnetizado. 
 
Antes de que se entendiera la relación que había entre las interacciones 
magnéticas y las cargas en movimiento, las interacciones de los imanes permanentes y 
las agujas de las brújulas se describían en términos de polos magnéticos. 
 
 Si un imán permanente en forma de barra (figura 4.1), tiene libertad para girar, 
uno de sus extremos señalará al norte. Este extremo se llama polo norte (N); el otro 
extremo es el polo sur (S). 
 
 
 
 
 
Figura 4.1 Imán permanente 
 
Los polos opuestos se atraen y los polos iguales se rechazan (figura 4.2). Un 
objeto que contenga hierro pero no esté magnetizado, será atraído por cualquiera de 
los polos de un imán permanente (figura 4.3). Ésta es la atracción que actúa entre un 
imán y la puerta de acero no magnetizada de una heladera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.2 Atracción y repulsión de imanes permanentes 
 
Por analogía con las interacciones eléctricas, describimos las interacciones en las 
figuras 4.2 y 4.3 como un imán de barra que genera un campo magnético en el espacio 
que la rodea y un segundo cuerpo responde a dicho campo. La aguja de una brújula 
tiende a alinearse con el campo magnético en la posición de la aguja. 
La Tierra misma es un imán. Su polo norte geográfico está cerca del polo sur 
magnético, lo cual es la razón por la que el polo norte de la aguja de una brújula señala 
al norte terrestre. El eje magnético de nuestro planeta no es del todo paralelo a su eje 
N S 
N S N S 
N S N S 
N S N S 
ATRACCIÓN 
REPULSIÓN 
REPULSIÓN 
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geográfico (el eje de rotación), así que la lectura de una brújula se desvía un poco del 
norte geográfico. Tal desviación, que varía con la ubicación, se llama declinación 
magnética o variación magnética. Asimismo, el campo magnético no es horizontal en la 
mayoría de los puntos de la superficie terrestre; su ángulo hacia arriba o hacia abajo se 
denomina inclinación magnética. En los polos magnéticos, el campo magnético es 
vertical. 
Figura 4.3 Cualquiera de los polos de un imán de barra atrae a un objeto no magnetizado que contenga 
hierro, como un clavo. 
 
La figura 4.4 es un esquema del campo magnético terrestre. Las líneas, llamadas 
líneas de campo magnético, muestran la dirección que señalaría una brújula que 
estuviera en cada sitio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.4 Esquema del campo magnético terrestre 
Polo Sur magnético de la 
tierra 
Polo Norte magnético de la 
tierra 
Polo Norte geográfico de la 
tierra 
Polo Sur geográfico de la 
tierra 
El eje magnético tiene una 
desviación con respecto al 
eje geográfico 
Representación del 
magnetismo de la tierra. 
El campo magnético de la 
tierra es creado por 
corrientes eléctricas en el 
núcleo de la tierra. 
Brújula 
Líneas de campo 
magnético 
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Tal vez el concepto de polos magnéticos resulte similar al de cargas eléctricas, y 
los polos norte y sur parezcan análogos a la carga positiva y negativa. No obstante, esta 
analogía puede ser errónea. Si bien las cargas positiva y negativa existen aisladas, no hay 
evidencia experimental de que exista un polo magnético aislado; los polos siempre 
ocurren por pares. Si un imán de barra se parte en dos, cada parte se convierte en un 
imán de dos polos. La existencia de un polo magnético aislado, o monopolo magnético, 
tendría implicaciones significativas para la física teórica. 
La primera evidencia de la relación que hay entre el magnetismo y las cargas en 
movimiento la descubrió, en 1820, el científico danés Hans Christian Oersted, quien 
encontró que un conductor con corriente desviaba la aguja de una brújula. 
Investigaciones similares fueron llevadas a cabo en Francia por André Ampère. Unos 
años más tarde, Michael Faraday, en Inglaterra, y Joseph Henry, en Estados Unidos, 
descubrieronque un imán que se mueve cerca de una espira conductora genera una 
corriente en la espira. 
 
Ahora sabemos que las fuerzas magnéticas entre dos cuerpos se deben 
fundamentalmente a interacciones entre los electrones en movimiento en los átomos de 
los cuerpos. 
 
 También hay interacciones eléctricas entre los dos cuerpos, pero éstas son más 
débiles que las interacciones magnéticas debido a que los dos cuerpos son 
eléctricamente neutros. En el interior de un material magnetizado, como un imán 
permanente, hay un movimiento coordinado de algunos electrones atómicos; en un 
material no magnetizado, los movimientos no están coordinados. En la siguiente 
describiremos con más detalle dichos movimientos, y veremos cómo surgen las 
interacciones que se muestran en las figuras 4.2 y 4.3). 
Las interacciones eléctricas y magnéticas están íntimamente relacionadas. En las 
siguientes unidades se desarrollarán los principios unificadores del electromagnetismo, 
culminando con la expresión de tales principios en las ecuaciones de Maxwell, las cuales 
representan la síntesis del electromagnetismo, del mismo modo que las leyes de 
Newton son la síntesis de la mecánica, e igual que éstas representan un logro cumbre 
del intelecto humano. 
 
 
4.3 Campo Magnético 
 
Para introducir el concepto de campo magnético repasaremos nuestra 
formulación de las interacciones eléctricas de la unidad 1, donde introdujimos el 
concepto de campo eléctrico. Representamos las interacciones eléctricas en dos etapas: 
 
1. Una distribución de carga eléctrica en reposo crea un campo eléctrico en el espacio 
circundante. 
2. El campo eléctrico ejerce una fuerza sobre cualquier otra carga q que esté presente 
en el campo. 
 
Describimos las interacciones magnéticas de manera similar: 
1. Una carga o corriente móvil crea un campo magnético en el espacio circundante 
(además de su campo eléctrico). 
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Magnitud de la Fuerza 
Magnética 
2. El campo magnético ejerce una fuerza sobre cualquier otra carga o corriente en 
movimiento presente en el campo. 
 
Ahora nos centraremos en el segundo aspecto de la interacción: dada la 
presencia de un campo magnético, ¿qué fuerza ejerce éste sobre una carga o una 
corriente en movimiento? 
 
Al igual que el campo eléctrico, el magnético es un campo vectorial, es decir, una 
cantidad vectorial asociada con cada punto del espacio. Usaremos el símbolo B con 
negrita para representar el campo magnético (vector). En cualquier posición, la dirección 
de B se define como aquella en la que tiende a apuntar el polo norte de la aguja de una 
brújula. Para cualquier imán, B apunta hacia fuera de su polo norte y hacia adentro de 
su polo sur. 
 
 
4.4 Fuerzas magnéticas sobre cargas móviles 
 
La fuerza magnética ejercida sobre una carga en movimiento se obtuvo 
empíricamente, o sea, basada en la observación experimental y tiene cuatro 
características esenciales. La primera es que su magnitud es proporcional a la magnitud 
de la carga; la segunda, es que la magnitud de la fuerza también es proporcional a la 
magnitud, o “intensidad”, del campo; si duplicamos la magnitud del campo sin cambiar 
la carga o su velocidad, la fuerza se duplicará; la tercera característica es que la fuerza 
magnética depende de la velocidad de la partícula. Una partícula cargada en reposo no 
experimenta fuerza magnética. Esto es muy distinto de lo que sucede con la fuerza 
eléctrica, que actúa sin que importe si la carga se mueve o no. Y la cuarta característica 
es que la fuerza magnética F no tiene la misma dirección que el campo magnético , sino 
que siempre es perpendicular tanto a B como a la velocidad v. 
 
La magnitud F de la fuerza es proporcional a la componente de v perpendicular 
al campo; cuando esa componente es igual a cero (es decir, cuando y son paralelas o 
antiparalelas), la fuerza es igual a cero. 
 
La figura 4.5 ilustra estas relaciones. La dirección de F siempre es perpendicular 
al plano que contiene v y B. Su magnitud está dada por: 
 
 
 
 
 
Donde |q| es la magnitud de la carga y  es el ángulo medido desde la dirección de v 
hacia la dirección de B, como se muestra en la figura 4.5. 
Sin embargo esta descripción no especifica el sentido de F, ya que existen dos 
sentidos opuestos entre sí, que se encuentran en la misma dirección perpendicular al 
plano de v y de B. Para completar la descripción se utiliza la misma regla de la mano 
derecha que se emplea para definir el producto vectorial. 
(4.1) vBsenqBvqF  
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Figura 4.5 Representación de la fuerza magnética sobre una carga en movimiento 
 
Imagine que gira v hasta que apunta en dirección de B (gire por el más pequeño de los 
dos ángulos posibles). Doble los dedos de su mano derecha en torno a la línea 
perpendicular al plano de v y B, de modo que se enrosquen con el sentido de rotación 
de v a B. Entonces, su pulgar apunta en sentido de la fuerza sobre una carga positiva 
(figura 4.6). En forma alternativa, el sentido de la fuerza sobre una carga positiva es 
aquella en que un tornillo de rosca derecha avanzaría si se girara del mismo modo. 
Resumiendo, la fuerza sobre una carga q que se mueve con velocidad v en un 
campo magnético B está dada, tanto en magnitud como en dirección, por: 
 
 
 
 
Es importante notar que la ecuación (4.2) no se deduce teóricamente, sino que es una 
observación basada en la experimentación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.6 Obtención de la fuerza magnética utilizando la regla de la mano derecha 
 
La ecuación (4.2) es válida tanto para cargas positivas como negativas. Cuando q es 
negativa, el sentido de la fuerza F es opuesta a la de la figura 4.5. Si dos cargas con igual 
magnitud y signos contrarios se mueven con la misma velocidad en el mismo campo B 
(figura 4.7), las fuerzas tienen igual magnitud, dirección y sentidos opuestos. 
Puesto que  es el ángulo entre la dirección de los vectores v y B se puede interpretar 
al producto Bsen como la componente de B perpendicular a v, es decir, B. Con esta 
notación, la magnitud de la fuerza es: F = |q|vB. 
 
(4.2) 
Expresión Vectorial de 
la Fuerza Magnética 

 BxvqF
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Figura 4.7 Fuerza magnética sobre una carga positiva y negativa 
 
Hay veces en que esta forma es más conveniente, en especial en problemas que 
incluyen corrientes en vez de partículas individuales. Más adelante, en esta unidad 
estudiaremos fuerzas sobre corrientes. 
 
De la ecuación (4.1) podemos notar que las unidades de B deben ser las mismas 
que las unidades de F/qv. Por lo tanto, la unidad del SI para B es equivalente a Ns/Cm, 
o bien, ya que un ampere es un coulomb por segundo (A = C/s), nos queda N/Am 
(newton por amper-metro). Esta unidad recibe el nombre de tesla (T), en honor a Nikola 
Tesla, prominente científico e inventor serbio-estadounidense: 
 
 
 
   
 
 
 
 T
Am
N
Cm
Ns
s
m
C
N
qv
F
B 






 
Entonces: 
 
  






Am
N
T 
 
Otra unidad de B que también es de uso común es el gauss (1 G = 10-4 T). Los 
instrumentos para medir campos magnéticos en ocasiones se llaman gausímetros. 
El campo magnético de la Tierra es del orden de 10-4 T, o bien, 1 G. En el interior 
de los átomos ocurren campos magnéticos del orden de 10 T, los cuales son importantes 
en el análisis de los espectros atómicos. El campo magnético más estable que se haya 
producido hasta el presente en un laboratorio es de aproximadamente 45 T. Algunos 
electroimanes de pulsos de corriente generan campos de 120 T, aproximadamente, 
durante intervalos breves de tiempo de alrededor de 1 milisegundo.Se cree que el 
campo magnético en la superficie de una estrella de neutrones es de unos 108 T. 
 
 
 
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4.5 Líneas de campo magnético 
 
Cualquier campo magnético se representa usando líneas de campo. La idea es la 
misma que para las líneas de campo eléctrico. Se dibujan las líneas de modo que la línea 
que pasa a través de cualquier punto sea tangente al vector del campo magnético en 
ese punto (figura 4.8). Igual que hicimos con las líneas de campo eléctrico, tan sólo 
dibujamos unas cuantas líneas que sean representativas pues, de otra manera, 
ocuparían todo el espacio. Donde las líneas de campo adyacentes están cerca entre sí, 
la magnitud del campo es grande; donde tales líneas están separadas, la magnitud del 
campo es pequeña. Asimismo, debido a que la dirección de en cada punto es única, las 
líneas de campo nunca se cruzan. 
 
 
Figura 4.8 Líneas de campo magnético de un imán permanente 
 
Como puede apreciarse en la figura 4.9, en el espacio entre los polos del imán, 
las líneas de campo son aproximadamente rectas y paralelas, y están igualmente 
espaciadas, lo cual demuestra que el campo magnético en esta región es 
aproximadamente uniforme (es decir, tiene magnitud y dirección constantes). 
 
 
Figura 4.9 Campo magnético de un imán permanente en forma de C 
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Como el campo magnético es tridimensional, con frecuencia es necesario dibujar 
líneas de campo magnético que apunten hacia dentro o hacia fuera del plano de un 
dibujo. Para hacer esto se usa un punto que representa un vector dirigido hacia fuera 
del plano, y una cruz que denota que el vector se dirige hacia el plano. 
Las limaduras de hierro, como las agujas de brújula, tienden a alinearse con las 
líneas de campo magnético, por lo que brindan una forma sencilla de visualizar las líneas 
de campo magnético (figura 4.10). 
 
 
Figura 4.10 Imán permanente con limadura de hierro para ver las líneas de campo 
 
 
4.6 Flujo magnético 
 
Definimos el flujo magnético B a través de una superficie del mismo modo que 
definimos el flujo eléctrico. Se puede dividir cualquier superficie en elementos de área 
dA (figura 4.11). Para cada elemento se determina B, la componente de B normal a la 
superficie en la posición de ese elemento. De la figura, B = Bsen, donde  es el ángulo 
entre la dirección de B y una línea perpendicular a la superficie. En general, esta 
componente varía de un punto a otro de la superficie. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.11 Flujo magnético a través de un elemento de área 
 
 
 
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Definimos el flujo magnético dB a través de esta área normal como: 
 

  dABdABdABd B cos 
 
El flujo magnético total a través de la superficie es la suma de las contribuciones 
desde los elementos de área individuales: 
 


  dABdABdABB cos 
 
Como es evidente, el flujo magnético es una cantidad escalar. En el caso especial 
en que B es uniforme sobre la superficie de un plano con área total A, B y  son los 
mismos en todos los puntos de la superficie, entonces: 
 
cosBAABB   
 
Si B fuera perpendicular a la superficie, entonces cos = 1 y la ecuación anterior 
se reduce a: 
 
BAB  
 
La unidad del SI para el flujo magnético es igual a la unidad del campo magnético 
(T) multiplicada por la unidad de área (m2). Esta unidad se llama weber (Wb), en honor 
del físico alemán Wilhelm Weber: 
 
    






A
Nm
TmWb 2 
 
 
 
4.7 Ley de Gauss del magnetismo 
 
En la ley de Gauss, el flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada es 
proporcional a la carga eléctrica total encerrada por la superficie. Entonces, si la 
superficie cerrada contiene un dipolo eléctrico, el flujo eléctrico total es igual a cero 
porque la carga total es cero (en otras palabras, el flujo positivo que sale de la superficie 
gaussiana provocado por la carga positiva, es igual al flujo negativo que entra a la 
superficie gaussiana como consecuencia de la carga negativa, por lo tanto el flujo total 
es cero). 
 
Como ya expusimos, no existe un monopolo magnético (o mejor dicho, hasta el 
momento no existe a pesar de la intensa búsqueda que se hace de él), por lo tanto el 
flujo magnético total a través de una superficie cerrada será proporcional a la carga 
magnética total encerrada. Con lo cual se concluye lo siguiente: 
 
El flujo magnético total a través de una superficie cerrada siempre es igual a cero. 
(4.3) 
(4.4) 
(4.5) 
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Dicho esto matemáticamente será: 
 
0 

ABB 
 
 
Esta ecuación recibe el nombre de ley de Gauss del magnetismo. Se puede 
comprobar analizando la figura 4.8; si se dibuja una superficie cerrada que contenga al 
imán permanente, se verá que toda línea de campo que penetra la superficie también 
sale de ella; el flujo neto a través de la superficie es igual a cero. De la ecuación (4.6) se 
concluye también que las líneas de campo magnético siempre forman espiras cerradas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.12 Flujo magnético a través de una superficie gaussiana 
 
Vale la pena remarcar un aspecto muy importante, a diferencia de las líneas de 
campo eléctrico, que comienzan y terminan en cargas eléctricas, las líneas de campo 
magnético nunca tienen extremos; si los tuviera indicarían la presencia de un monopolo. 
Uno puede pensar que las líneas de campo magnético comienzan en el polo norte de un 
imán y terminen en el polo sur. No obstante, como se observa en la figura 4.6, las líneas 
de campo de un imán en realidad pasan por el interior de éste. Al igual que todas las 
demás líneas de campo magnético, forman espiras cerradas. 
 
 
4.8 Movimiento de partículas cargadas dentro de un campo 
magnético 
 
Cuando una partícula cargada se mueve dentro de un campo magnético, actúa 
sobre ella una fuerza magnética, y su movimiento estará determinado por las leyes de 
Newton. La figura 4.13 muestra un ejemplo sencillo. Una partícula con carga positiva q 
se dispara desde el punto O, moviéndose con velocidad v en un campo magnético 
uniforme B dirigido hacia el plano de la figura. Los vectores v y B son perpendiculares, 
por lo que la fuerza magnética F = vxB tiene una magnitud F = qvB y la dirección que se 
indica en la figura. La fuerza siempre es perpendicular a v por lo que no puede cambiar 
la magnitud de la velocidad, únicamente su dirección. 
 
(4.6) 
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Para decirlo de manera diferente, la fuerza magnética nunca tiene una 
componente paralela al movimiento de la partícula, de modo que la fuerza magnética 
nunca realiza trabajo sobre la partícula. Esto se cumple aun si el campo magnético no es 
uniforme. 
 
Figura 4.13 Movimiento circular uniforme de una partícula cargada 
 
El movimiento de una partícula cargada bajo la sola influencia de un campo 
magnético siempre ocurre con rapidez constante. 
 
Con este principio, se observa que para la situación ilustrada en la figura 4.13 la 
magnitud tanto de F como de v son constantes. En puntos tales como P y S, las 
direcciones de fuerza y velocidad han cambiado como se muestra, pero sus magnitudes 
son las mismas. Por lo tanto, la partícula se mueve bajo la influencia de una fuerza de 
magnitud constante que siempre forma ángulos rectos con la velocidad de la partícula. 
Si se comparan estas condiciones con el análisis del movimiento circular, se observa que 
la trayectoriade la partícula es un círculo, a velocidad constante v. La aceleración 
centrípeta es v2/R, y la única fuerza que actúa es la fuerza magnética, por lo que de 
acuerdo con la segunda ley de Newton: 
 
𝐹 = |𝑞|𝑣𝐵 = 𝑚𝑎 𝑦 𝑎 =
𝑣2
𝑅
 
 
|𝑞|𝑣𝐵 = 𝑚
𝑣2
𝑅
 
 
𝑅 =
𝑚𝑣
|𝑞|𝐵
 
 
Donde m es la masa de la partícula. Y R el radio de la trayectoria circular. La 
ecuación 4.7 también se puede escribir como: 
 
𝑅 =
𝑝
|𝑞|𝐵
 
 
Donde p = mv es la magnitud de la cantidad de movimiento de la partícula. Si la 
carga q es negativa, en la figura 4.13 la partícula se mueve en sentido horario alrededor 
de la órbita. 
(4.7) 
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La rapidez angular  de la partícula se calcula con la ecuación: 
 
 =
𝑣
𝑅
=
𝑣|𝑞|𝐵
𝑚𝑣
=
|𝑞|𝐵
𝑚
 
 
 =
|𝑞|𝐵
𝑚
 
 
 
Utilizando convenientemente la ecuación 4.7 podemos averiguar cualquiera de 
las variables que ella incluye. 
 
El número de revoluciones por unidad de tiempo es f = /2. Esta frecuencia f 
es independiente del radio R de la trayectoria. Se denomina frecuencia del ciclotrón; en 
un acelerador de partículas llamado ciclotrón, las partículas que se mueven en 
trayectorias casi circulares reciben un impulso al doble en cada revolución, lo cual 
incrementa su energía y sus radios orbitales, pero no su rapidez angular o frecuencia. 
 
Si la dirección de la velocidad inicial no es perpendicular al campo, podemos 
descomponer la velocidad en una parte paralela y otra perpendicular al campo. La 
componente de la velocidad paralela al campo es uniforme porque no genera fuerza 
magnética. Sin embargo, la componente perpendicular al campo genera una fuerza 
magnética que la obliga a moverse en forma circular, así, con la influencia de las dos 
velocidades la partícula se mueve describiendo una trayectoria helicoidal, figura 4.13a. 
El radio de la hélice está dado por la ecuación (4.7), donde v ahora es la componente de 
la velocidad perpendicular al campo. 
 
 
Figura 4.13a Trayectoria helicoidal de una partícula cargada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(4.8) 
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4.9 Fuerzas magnéticas sobre conductores con corriente 
 
 Cuando un conductor que conduce corriente está inmerso dentro de un campo 
magnético, actúan fuerzas magnéticas sobre las cargas móviles del interior del 
conductor. Estas fuerzas se transmiten al material del conductor, y éste experimenta 
una fuerza distribuida por toda su longitud. 
 
El funcionamiento del motor eléctrico y del galvanómetro de bobina móvil, 
dependen de las fuerzas magnéticas que actúan sobre los conductores que transportan 
la corriente. 
 
 La figura 4.14 representa un tramo de un conductor de longitud l y sección 
transversal A, en el cual la densidad de corriente J está dirigida de izquierda a derecha. 
El conductor se encuentra dentro de un campo magnético B, perpendicular al plano de 
la hoja y dirigido hacia la misma. Sobre una carga q positiva en el interior del conductor, 
que se mueve con una velocidad de deriva vd, actúa una fuerza F, dada por la ecuación 
F = qvxB. Según muestra la figura, la dirección de esta fuerza es hacia arriba, y como 
en este caso vd y B son perpendiculares, la magnitud de la fuerza es: 
 
𝐹 = 𝑞𝑣𝑑𝐵 
 
 
Figura 4.14 Fuerzas que actúan sobre las cargas móviles de un conductor con corriente 
 
 Por lo tanto la fuerza total sobre todas las cargas móviles existentes en la 
longitud l del conductor puede expresarse en función de la corriente de la siguiente 
manera. Sea n el número de cargas positivas por unidad de volumen. Entonces el 
número de portadores en el tramo considerado es nAl; y la fuerza total F sobre ellos, y 
por consiguiente la fuerza total sobre el conductor tiene una magnitud: 
 
𝐹 = (𝑛𝐴𝑙)𝑞𝑣𝑑𝐵 
Pero como: 
𝐼 = 𝑛𝑞𝑣𝑑𝐴 
Reemplazando: 
𝐹 = (𝑛𝑞𝑣𝑑𝐴)𝑙𝐵 = 𝐼𝑙𝐵 
Por lo tanto: 
 
𝐹 = 𝐼𝑙𝐵 
 
+ 
F1 
J J 
q1 vd 
B 
l 
(4.9) 
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17 
Si el campo B no es perpendicular al alambre sino que forma un ángulo  con él, 
la situación se maneja como se hizo para una sola carga. Sólo la componente de B 
perpendicular al alambre (y a las velocidades de deriva de las cargas) ejerce una fuerza; 
tal componente es B = Bsen. Entonces, la fuerza magnética sobre el segmento de 
alambre es: 
 
𝐹 = 𝐼𝑙𝐵 = 𝐼𝑙𝐵𝑠𝑒𝑛 
 
 
La fuerza siempre es perpendicular tanto al conductor como al campo, con la dirección 
determinada por la misma regla de la mano derecha que se usó para una carga móvil 
positiva (figura 4.15). Por lo tanto, esta fuerza se expresa como producto vectorial, al 
igual que la fuerza sobre una sola carga en movimiento. 
 
 
Figura 4.15 Fuerza que actúa sobre un conductor con corriente dentro de un campo B 
 
 
El segmento de alambre se representa con un vector l a lo largo del alambre y en 
dirección de la corriente; entonces, la fuerza F sobre este segmento es: 
 
 
�⃗� = 𝐼𝑙𝑥�⃗⃗� 
 
La figura 4.16 ilustra las direcciones de B, l y F para varios casos. 
 
 
(4.10) 
(4.11) 
Figura 4.16 Fuerza sobre un conductor que transporta corriente 
 
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18 
Algo importante para tener en cuenta es que cuando las cargas móviles son 
negativas, como los electrones en un metal, de acuerdo a la figura 4.14 la corriente iría 
de derecha a izquierda, o sea la velocidad de deriva tendría la dirección de derecha a 
izquierda, pero como las cargas son negativas, la dirección de la fuerza sería la misma 
que para las cargas positivas. Así, las ecuaciones (4.9) a (4.11) son válidas tanto para 
cargas positivas como para negativas, e incluso cuando los dos signos de carga están 
presentes a la vez. Esto es lo que ocurre en ciertos materiales semiconductores y en 
soluciones iónicas. 
 
 
Aplicaciones 
 
Altavoz dinámico de imán permanente 
 
Un altavoz o parlante se divide en dos sistemas, uno es el de excitación y el otro 
el acústico. 
El sistema de excitación, también conocido como motor del altavoz, está 
constituido básicamente por un imán permanente que posee un fuerte campo 
magnético, dentro de ese campo magnético está situada una bobina unida al cuello del 
cono, que pertenece al sistema acústico. 
Su funcionamiento se basa en que al circular una corriente eléctrica por la 
bobina, la cual está situada dentro de la acción de un campo magnético radial intenso, 
dependiendo del sentido de la corriente, ésta experimentara una fuerza hacia adelante 
o hacia tras, proporcional a la corriente de la bobina. O lo que es lo mismo, se desplazará 
en sentido longitudinal a la propia bobina. 
El sistema acústico tiene por finalidad trasmitir una presión al aire que lo rodea, 
convirtiendo en sonido la señal eléctrica entregada al altavoz por el equipo amplificador. 
La señal eléctrica hace que se desplace la bobina y ésta mueva el cono. Montado en un 
armazón metálico y en su borde exterior sujeto a un elemento flexible, el cono posee en 
su centro un dispositivo (centrador) encargado de que la bobina se mantenga en el 
centro del campo magnético. 
 
 
 
Figura 4.17 Partes constructivas de un altavoz 
 
 
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19 
4.10 Par de torsión en una espira con corriente 
 
Un conductor dispuesto en forma rectangular como la figura 4.18 recibe el 
nombre de espira cerrada. Cuando la espira se encuentra dentro de un campo 
magnético y circula corriente por ella, aparecerán fuerzas magnéticas que le aplicarán 
un torque o par de torsión que lahará girar sobre un determinado eje. Éste fenómeno 
expuesto así es el principio de funcionamiento de motores eléctricos, instrumentos de 
medición como el de bobina móvil e imán permanente, altavoces, etc. Los resultados de 
esta sección tienen mucha importancia práctica y también ayudará a entender el 
comportamiento de los imanes de barra expuestos en la sección 4.2. 
 
 
Figura 4.18 Espira rectangular dentro de un campo magnético 
 
Analicemos ahora, una espira rectangular que conduce una corriente I dentro de 
un campo magnético uniforme. Podemos representar la espira como una serie de 
segmentos rectilíneos. 
Supongamos que la espira tiene lados de longitudes a y b como lo muestra la 
figura 4.19. Una línea perpendicular al plano de la espira (esto es, una normal al plano) 
forma un ángulo  con la dirección del campo magnético B (por razones de sencillez se 
omiten en el diagrama los conductores que conducen la corriente de entrada y salida a 
la espira así como también la fuente de tensión). 
La fuerza F1 sobre el lado derecho de la espira de longitud a va hacia la derecha, 
en la dirección +x, como se ilustra. Sobre este lado, B es perpendicular a la dirección de 
la corriente, y la fuerza sobre este lado tiene una magnitud: 
 
𝐹 = 𝐼𝑎𝐵 
 
Sobre el lado opuesto de la espira actúa una fuerza F2 con la misma magnitud 
pero dirección opuesta. 
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20 
En los lados con longitud b actúan sobre el eje y las fuerzas F3 y F4 de igual 
dirección y magnitud pero de sentidos distintos, por lo que se anulan mutuamente. 
 
 
 
Figura 4.19 Espira rectangular dentro de un campo magnético 
 
Como las fuerzas F1 y F2 no están en la misma línea de acción, ambas originaran 
un par de torsión con respecto al eje y. Para determinar la dirección de los pares de 
torsión de ambas fuerzas, utilizamos la regla de la mano derecha. Los pares de torsión 
vectoriales debidos a F1 y F2 están, ambos, en la dirección +y; de ahí que el par de 
torsión vectorial total  también esté en la dirección +y. El brazo de palanca del 
momento para cada una de estas fuerzas es igual a la distancia perpendicular desde el 
eje de rotación hasta la línea de acción de la fuerza, o sea: 
 
𝑏
2
𝑠𝑒𝑛 
 
Así que el par de torsión debido a cada fuerza tiene magnitud: 
 
1 = 𝐹1
𝑏
2
𝑠𝑒𝑛 𝑦 2 = 𝐹2
𝑏
2
𝑠𝑒𝑛 
 
Por lo tanto el torque total o par de torsión total  debido a las dos fuerzas será: 
 
 = 1 + 2 = (𝐼𝐵𝑎)
𝑏
2
𝑠𝑒𝑛 + (𝐼𝐵𝑎)
𝑏
2
𝑠𝑒𝑛 
 
 = (𝐼𝐵𝑎)𝑏𝑠𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑎𝑏 = 𝐴 
 
 = 𝐼𝐵𝐴𝑠𝑒𝑛 
 
El producto IA se denomina momento dipolar magnético o momento magnético 
de la espira, el cual se denota con el símbolo µ: 
 
(4.12) 
Magnitud del par de 
torsión de una espira 
1 
2 
3 
4 
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21 
µ = 𝐼𝐴 
 
Es análogo al momento dipolar eléctrico que se estudió en la sección 1.8.1. En 
términos de µ, la magnitud del par de torsión sobre una espira de corriente es: 
 
 = µ𝐵𝑠𝑒𝑛 
 
Donde  es el ángulo entre la normal a la espira (dirección del área vectorial A) y B. El 
par de torsión tiende a hacer girar la espira en la dirección en que disminuye, es decir, 
hacia su posición de equilibrio estable donde la espira queda en el plano xy 
perpendicular a la dirección del campo. Una espira de corriente, o cualquier otro cuerpo 
que experimente un par de torsión magnético dado por la ecuación (4.14), también 
recibe el nombre de dipolo magnético. 
 
Definamos ahora el momento magnético vectorial µ con magnitud IA; éste se 
ilustra en la figura 4.20. La dirección de µ se define como la perpendicular al plano de la 
espira, con sentido determinado por la regla de la mano derecha en la dirección de la 
corriente, como se observa en la figura. µ También está en la dirección del vector área 
A. O sea: 
 
µ⃗⃗ = 𝐼𝐴 
 
 
 
Figura 4.20 Espira rectangular dentro de un campo magnético 
 
Queda claro que el par de torsión es máximo cuando el momento magnético y el campo 
magnético son perpendiculares, y es igual a cero cuando son paralelos o antiparalelos. 
En la posición de equilibrio estable, µ y B son paralelos. Expresando la ecuación 4.60 en 
forma vectorial resulta: 
 
 ⃗⃗⃗ = µ⃗⃗𝑥�⃗⃗� 
 
 
 
 
 
 
 
 
(4.14) 
(4.13) Momento Magnético 
(4.15) 
(4.16) 
Par de Torsión Vectorial 
sobre una espira 
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22 
4.11 El motor de corriente continua (CC) 
 
Los motores eléctricos juegan un papel importante en la sociedad 
contemporánea. En un motor, un par de torsión magnético actúa sobre una espira 
conductora que transporta corriente, convirtiendo la energía eléctrica en energía 
mecánica. Estudiaremos el tipo más sencillo de motor eléctrico, el de corriente continua 
o CC (también, Corriente Directa CD, o por sus siglas en inglés, DC, por Direct Current). 
La figura 4.21 ilustra un esquema senillo, donde se considera tan solo una espira. La 
parte móvil del motor se denomina rotor, en éste, se alojan las espiras de extremos 
abiertos que tienen libertad para girar alrededor de un eje. Los extremos de las espiras 
del rotor están conectadas a las delgas, conductores semicirculares que forman un 
conmutador. Cada una de las delgas del conmutador hace contacto con una de las 
escobillas (conductor de carbón), de un circuito externo que incluye una fuente de 
tensión. Esto ocasiona que circule una corriente por la espira, entrando por el lado de 
color rojo, y saliendo por el otro lado azul. Por consiguiente, el rotor es una espira de 
corriente con momento magnético µ. El rotor queda entre los polos opuestos de un imán 
permanente, por lo que hay un campo magnético B que ejerce un par de torsión sobre 
el rotor: 
 ⃗⃗⃗ = µ⃗⃗𝑥�⃗⃗� 
 
Para la orientación del rotor que se aprecia en la figura 4.21, el par de torsión 
hace que el rotor gire en sentido antihorario, en una dirección que alineará al momento 
magnético con el campo magnético. 
 
 
Figura 4.21 Diagrama esquemático de un motor de corriente continua 
Para este instante, las escobillas están alineadas con las delgas del conmutador 
En esta posición el par de torsión es máximo 
 
En la figura 4.22, el rotor ha girado 90° a partir de su orientación en la figura 4.21. 
En este instante, si hubiera corriente por el rotor, éste se hallaría en su posición de 
equilibrio debido a que las fuerzas magnéticas sobre los lados de la espira serían 
opuestas por lo que simplemente oscilaría en torno de esta posición y luego se detendría 
firmemente. Pero aquí es donde entra en juego el conmutador; cada escobilla ahora 
está en contacto con las dos delgas del conmutador, por lo que en este instante no fluye 
corriente por la espira del rotor y el momento magnético es igual a cero. Por lo tanto, 
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23 
debido a su inercia, el rotor continúa girando en sentido antihorario, y otra vez fluye 
corriente a través de él, como se aprecia en la figura 4.23. 
 
 
Figura 4.22 Diagrama esquemático de un motor de corriente continua 
Para este instante, el rotor ha girado 90 grados 
En esta posición el par de torsión nulo 
 
Pero ahora hay corriente que entra en el lado azul del rotor y sale por el lado 
rojo, exactamente la situación opuesta a la situación de la figura 4.21. Aun cuando la 
dirección de la corriente se haya invertido con respecto a la espira, éste ha girado 180° 
y el momento magnético µ vuelve a ser máximo. 
 
 
Figura 4.23 Diagrama esquemático de un motor de corriente continua 
Para este instante, el rotor ha girado 180 grados 
En esta posiciónel par de torsión vuelve a ser máximo 
 
Gracias al conmutador, la corriente se invierte cada 180° de giro, así que el par 
de torsión siempre tiene la dirección que hace que el rotor gire en sentido antihorario. 
Cuando el motor “aumenta su rapidez”, el par de torsión magnético promedio está 
apenas compensado por un par de torsión opuesto debido a la resistencia del aire, la 
fricción en los cojinetes del rotor, y la fricción entre el conmutador y las escobillas. 
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24 
El motor de corriente continua que hemos descripto hasta aquí tiene tan solo una espira 
de un solo conductor en su rotor. No obstante, en los motores reales, el rotor posee 
muchas espiras con muchos conductores. El número de conductores por espiras 
incrementa el momento magnético; y el uso de varias espiras orientadas con diferentes 
ángulos consigue un par de torsión magnética uniforme ya que con una sola espira, la 
magnitud del par de torsión aumenta y disminuye a medida que gira el rotor. Podemos 
también incrementar el par de torsión si se utiliza un campo magnético más intenso, 
razón por la cual los motores de potencia media y grande utilizan electroimanes en vez 
de un imán permanente. 
 
 
4.12 Efecto Hall 
 
La realidad de las fuerzas que actúan sobre las cargas en movimiento de un 
conductor dentro de un campo magnético queda demostrada de manera sorprendente 
por el efecto Hall: se trata de un efecto similar a la desviación transversal de un haz de 
electrones en un campo magnético en el vacío. (El efecto fue descubierto por el físico 
estadounidense Edwin Hall en 1879 cuando todavía era estudiante de posgrado). Para 
describir dicho efecto, consideremos un conductor en forma plana, como se ilustra en 
la figura 2.24. La corriente está en dirección del eje +x y existe un campo magnético 
uniforme B perpendicular al plano del conductor, en la dirección +y. La velocidad de 
deriva de las cargas en movimiento (magnitud de la carga, |q|) tiene una magnitud vd. 
La figura 2.24 muestra las cargas positivas, sin embargo si fueran cargas negativas, en 
ambos casos, la fuerza magnética iría hacia arriba, del mismo modo en que la fuerza 
magnética en un conductor es la misma sin que importe que las cargas en movimiento 
sean positivas o negativas. En cualquier caso, una carga móvil es impulsada hacia el 
borde superior de la pletina por la fuerza magnética Fz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.24 Efecto Hall: fuerzas magnéticas sobre las cargas en un conductor 
 
Si las cargas son positivas, se acumulará un exceso de carga positiva en el borde 
superior del conductor, lo cual deja un exceso de carga negativa en el borde inferior. 
Caso contrario, si las cargas son electrones, se acumulará un exceso de carga negativa 
en el borde superior del conductor, lo cual deja un exceso de carga positiva en el borde 
inferior. Esta acumulación continúa hasta que el campo electrostático transversal 
resultante, Ee se hace suficientemente grande como para generar una fuerza |q|Ee que 
sea igual y opuesta a la fuerza magnética |q|vd B. Después de eso, ya no hay ninguna 
fuerza transversal neta que desvíe las cargas móviles. Este campo eléctrico provoca una 
L 
Esp. Ing. Francisco A. Gómez López 
Física II, Unidad 4 – Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Tucumán / Edición 2019 
25 
diferencia de potencial transversal entre los bordes opuestos del conductor, llamada 
Voltaje Hall o Fem de Hall. La polaridad depende de si las cargas móviles son positivas 
o negativas. 
 
Los experimentos demuestran que para la mayoría de los metales, el borde superior del 
conductor se carga negativamente, lo cual demuestra que los portadores de carga en la 
mayoría de los metales son en verdad electrones. 
 
Lo expresado anteriormente está en concordancia con los experimentos 
realizados con metales como el litio (Li), el sodio (Na), el cobre (Cu) y la plata (Ag), cuyos 
átomos ceden cada uno un electrón para actuar como portadores de corriente. En este 
caso, n es aproximadamente igual al número de electrones conductores por unidad de 
volumen. Este modelo clásico no resulta válido para metales como el hierro (Fe), el 
bismuto (Bi) y el cadmio (Cd) o para los semiconductores. 
 
Sin embargo, si las cargas son positivas, en el borde superior se acumula carga 
positiva, y la diferencia de potencial es opuesta a la situación con cargas negativas. Se 
observó que ciertos materiales, en particular algunos semiconductores, mostraban una 
fem de Hall opuesta a la de los metales, como si sus portadores de carga estuvieran 
cargados positivamente. Ahora se sabe que estos materiales conducen mediante un 
proceso conocido como conducción de huecos. Dentro de tales materiales hay sitios, 
llamados huecos, que normalmente estarían ocupados por un electrón pero en realidad 
están vacíos. Una carga negativa faltante equivale a una carga positiva. Cuando un 
electrón se mueve en una dirección para llenar un hueco, deja otro hueco tras de sí. El 
hueco emigra en dirección opuesta a la del electrón. 
 
Entonces, matemáticamente lo expresado anteriormente sería: 
 
𝐹𝑧 = 𝐹𝑒 
 
|𝑞|𝑣𝑑𝐵 = |𝑞|𝐸𝑒 
 
𝐸𝑒 = 𝑣𝑑𝐵 
 
Si L es la altura del conductor, el voltaje Hall VH resulta: 
 
𝑉𝐻 = 𝐸𝑒𝐿 
 
 
Si multiplicamos por L la ecuación (4.17) tenemos: 
 
𝐿𝐸𝑒 = 𝑣𝑑𝐵𝐿 𝑜 𝑉𝐻 = 𝑣𝑑𝐵𝐿 
 
𝑣𝑑 =
𝑉𝐻
𝐵𝐿
 
 
 
Como consecuencia, midiendo el voltaje Hall y conociendo el campo magnético 
B y L puedo podemos averiguar la velocidad de deriva de los electrones en los metales. 
(4.17) 
(4.18) 
(4.19) 
Esp. Ing. Francisco A. Gómez López 
Física II, Unidad 4 – Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Tucumán / Edición 2019 
26 
Como vimos en la unidad 3, esta rapidez es muy pequeña, con frecuencia del orden de 
1 mm/s o menos. Si movemos todo el conductor en dirección opuesta a la corriente con 
una velocidad igual a la velocidad de deriva, los electrones estarían en reposo relativo 
con respecto al campo magnético, por lo tanto la fem de Hall desaparecería. Así, la 
velocidad del conductor necesaria para hacer que la fem de Hall desaparezca es igual a 
la velocidad de deriva. 
 
Por otro lado, como a la velocidad de deriva puedo expresarla como: 
 
𝑣𝑑 =
𝐽
𝑛|𝑞|
 
Reemplazando en (4.17): 
 
𝐸𝑒 =
𝐽
𝑛𝑞
𝐵 
Despejando n : 
 
𝑛 =
𝐽𝐵
𝑞𝐸𝑒
 
 
 
Observe que este resultado, así como todo el proceso de obtención, es válido 
para q tanto positiva como negativa. J, B y Ee se pueden medir, por lo que es posible 
calcular n. Tanto en metales como en semiconductores, q es igual en magnitud a la carga 
del electrón, por lo que el efecto Hall permite el cálculo directo de n, la concentración 
de cargas portadoras de corriente en el material. El signo de las cargas está determinado 
por la polaridad de la fem de Hall, como se describió. 
 
Por último, a partir de la ecuación (4.20) podemos, conociendo la concentración 
de cargas n de un conductor y calculando los otros parámetros, obtener la magnitud de 
un campo magnético desconocido. 
 
𝐵 =
𝑛𝑞𝐸𝑒
𝐽
 
 
 
La diferencia de potencial producida por el efecto Hall en los conductores 
metálicos es muy pequeña, siendo a menudo enmascarada por el ruido eléctrico. Por 
esto, los dispositivos comerciales usan materiales semiconductores especiales, donde el 
efecto Hall es más notable. En estos casos, el elemento básico es generalmente una tira 
de arseniuro de galio (GaAs) o de indio (InAs) la cual, cuando se polariza mediante una 
corriente constante y se sumerge en un campo magnético transversal a su superficie, 
genera un voltaje proporcional a la intensidad del campo. Este voltaje es reforzado por 
un amplificador operacional incorporado en el dispositivo y se procesa para 
proporcionar una señal de salida útil. 
 
 
 
 
(4.20) 
(4.21) 
Esp. Ing. Francisco A. Gómez López 
FísicaII, Unidad 4 – Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Tucumán / Edición 2019 
27 
4.13 Fuentes de Campos Magnéticos 
 
Hasta aquí estudiamos las fuerzas ejercidas sobre cargas en movimiento y 
conductores que transportan corriente dentro de un campo magnético, sin importar 
como o quien generaba el campo magnético. Pero, ¿cómo se crean los campos 
magnéticos? Sabemos que los imanes permanentes crean campos magnéticos. Ahora 
estudiaremos las fuentes de campo magnético. 
Una carga eléctrica crea un campo eléctrico y éste puede ejercer una fuerza 
sobre otra carga. Un campo magnético ejerce una fuerza sólo sobre una carga en 
movimiento. Del mismo modo, estudiaremos el campo magnético creado por una sola 
carga puntual en movimiento, lo cual nos servirá para determinar el campo creado por 
un segmento pequeño de un conductor que transporta corriente. Así, es posible 
encontrar el campo magnético producido por un conductor de cualquier forma. 
La ley de Ampere, en el magnetismo, desempeña un papel análogo al de la ley de Gauss 
en la electrostática, y permite aprovechar las propiedades de la simetría para relacionar 
los campos magnéticos con sus fuentes. Las partículas móviles con carga dentro de los 
átomos responden a los campos magnéticos y actúan como fuentes del campo 
magnético. Usaremos estas ideas para comprender cómo se emplean ciertos materiales 
magnéticos para intensificar los campos magnéticos, y por qué algunos materiales, 
como el hierro, actúan como imanes permanentes. 
 
 
4.13.1 Campo magnético de una carga en movimiento 
 
Comenzaremos con lo fundamental: el campo magnético de una sola carga 
puntual q que se mueve con velocidad constante v. En las aplicaciones prácticas, los 
campos magnéticos son producto de un número enorme de partículas con carga que se 
desplazan en una corriente. Pero una vez comprendida la forma de calcular el campo 
debido a una sola carga puntual, bastará un pequeño paso para calcular el campo 
producido por un conductor o un conjunto de conductor que transportan corriente. 
Al igual que hicimos en el caso de los campos eléctricos, llamaremos punto de 
fuente o generatriz a la ubicación de la carga en movimiento en un instante dado, y 
punto de campo al punto P donde pretendemos calcular el campo. 
Experimentalmente se demostró que la magnitud de B es proporcional a |q| y a 
1/r2. Que la dirección de B es perpendicular al plano donde se encuentran la línea entre 
la carga y el punto P, y a la vector velocidad, de la partícula, como se ilustra en la figura 
4.25. Además, la magnitud B del campo también es proporcional a la rapidez v de la 
partícula y al seno del ángulo . Así, la magnitud del campo magnético en el punto P 
está dada por: 
 
𝐵  
|𝑞|𝑣𝑠𝑒𝑛
𝑟2
 
 
𝐵 =
µ0
4
|𝑞|𝑣𝑠𝑒𝑛
𝑟2
 
 
(4.22) 
Esp. Ing. Francisco A. Gómez López 
Física II, Unidad 4 – Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Tucumán / Edición 2019 
28 
Donde µ0/4π es una constante de proporcionalidad (el símbolo µ0 se lee “mu sub 
cero”). Hicimos algo similar en relación con la ley de Coulomb. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.25 Vectores de campo magnético debidos a una carga puntual positiva en movimiento 
 
Es posible incorporar tanto la magnitud como la dirección de �⃗⃗� en una sola 
ecuación vectorial utilizando el producto vectorial. Para evitar tener que decir “la 
dirección desde la fuente q al punto P del campo”, introduciremos un vector unitario �̂� 
que apunte desde el punto de fuente al punto donde queremos averiguar el campo. 
Este vector unitario es igual al vector: 
�̂� = 
𝑟
|𝑟|
 
 
Así, el campo de una carga puntual en movimiento es: 
 
�⃗⃗⃗� =
µ0
4
𝑞�⃗⃗⃗� 𝑥 �̂�
𝑟2
 
 
 
La figura 4.25 muestra la relación que hay entre �̂� y P, y también el campo 
magnético �⃗⃗� en varios puntos en la región próxima a la carga. En todos los puntos a lo 
largo de una línea que pase por la carga y sea paralela a la velocidad �⃗�, el campo es igual 
a cero porque sen  = 0 en todos ellos. A cualquier distancia r desde q, �⃗⃗� alcanza su 
magnitud máxima en los puntos localizados en un plano perpendicular a �⃗� porque, en 
todos ellos,  = 90° y sen  = 1. Si la carga q es negativa, las direcciones de �⃗⃗� son 
opuestas a las que se ilustran en la figura 4.25. 
 
Las ecuaciones (4.22) y (4.23) describen el campo magnético de una carga 
puntual que se mueve con velocidad uniforme. Si la carga acelera, el campo es mucho 
más complejo de calcular. Para fines prácticos en ingeniería, este caso en particular se 
encuentra fuera del alcance de estudio, puesto que las partículas con carga que 
constituyen una corriente en un conductor se mueven a una velocidad de deriva 
uniforme. 
 
El símbolo X indica 
que la carga se mu-
eve hacia el plano 
de la página (se 
aleja del lector). 
Línea de campo 
magnético 
(4.23) 
Campo magnético de 
una carga puntual con 
velocidad uniforme 
Esp. Ing. Francisco A. Gómez López 
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29 
Podemos hacer un análisis dimensional para determinar las unidades de µ0 a 
partir de la ecuación 4.22: 
 
[µ0] =
Tm2
C
m
s
=
Tms
C
=
Tm
A
 
 
En unidades del SI, el valor numérico de µ0 es exactamente 4x10-7. Por lo tanto: 
 
µ0 = 4𝑥10
−7 
Tm
A
 
 
 
4.13.1.1| Líneas de campo magnético de una carga en movimiento 
 
El análisis anterior indica que para una carga puntual que se mueva con velocidad 
�⃗� las líneas de campo magnético son círculos con centro en una la línea paralela a la 
dirección de �⃗� y que yacen en planos perpendiculares a esta línea. Las direcciones de las 
líneas de campo para una carga positiva están dadas por la regla de la mano derecha. 
Tomando como referencia el vector velocidad �⃗�, con su mano derecha apunte con el 
pulgar en la dirección de �⃗� luego, cierre sus dedos alrededor de la línea de �⃗� en el mismo 
sentido que las líneas de campo magnético, suponiendo que q es positiva. 
 La figura 4.25 muestra ¼ de algunas líneas de campo; la figura 4.26 presenta 
algunas líneas de campo en un plano a través de q, perpendiculares a como se verían al 
mirar en dirección de �⃗� entrando a la hoja. Si la carga puntual es negativa, las direcciones 
del campo y líneas de campo son las opuestas de las que se ilustran en la figura 4.26. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.26 Líneas de campo magnético de una carga positiva 
 
Note que se aclara que es el campo magnético de una carga puntual con 
velocidad uniforme. Esto implica que la velocidad no cambia de dirección, ni de sentido 
y que se mueve con la misma rapidez. Esto permite conocer su trayectoria y poder 
predecir cómo serán las líneas de campo y por consiguiente la dirección y sentido del 
campo en cualquier punto sobre ella. Así, cualquier punto del espacio donde desee 
averiguar el campo, deberá pertenecer a una línea de campo circular cuyo eje 
perpendicular al círculo, deberá ser la trayectoria de la partícula cargada. 
Carga puntual moviéndose 
en dirección perpendicular 
al plano de la hoja. 
Permeabilidad de vacío 
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30 
4.13.2 Campo magnético de un elemento de corriente 
 
Igual que para el campo eléctrico, hay un principio de superposición de campos 
magnéticos: 
 
El campo magnético total generado por varias cargas en movimiento es la suma 
vectorial de los campos generados por las cargas individuales. 
 
Este principio se puede utilizar con los resultados de la sección 4.13.1 para 
encontrar el campo magnético producido por una corriente en un conductor. 
Comenzamos con el cálculo del campo magnético ocasionado por un segmento corto 𝑑𝑙⃗⃗⃗⃗ 
de un conductor que transporta corriente, como se ilustra en la figura 4.27. El volumen 
del segmento es Adl, donde A es el área de la sección transversal del conductor. Si hay 
n partículas con cargaen movimiento por unidad de volumen, cada una con una carga 
q, la carga total dQ que se mueve en el segmento es: 
 
𝑑𝑄 = 𝑛𝑞𝐴𝑑𝑙 
 
Las cargas en movimiento en este segmento son equivalentes a una sola carga 
dQ que viaja con una velocidad igual a la velocidad de deriva (Los campos magnéticos 
debidos a los movimientos al azar de las cargas, en promedio, se cancelarán en cada 
punto) De acuerdo con la ecuación (4.22), la magnitud del campo resultante en cualquier 
punto P resulta: 
𝑑𝐵 =
µ0
4
|𝑑𝑄|𝑣𝑑𝑠𝑒𝑛
𝑟2
 
 
𝑑𝐵 =
µ0
4
𝑛|𝑞|𝑣𝑑𝐴𝑑𝑙 𝑠𝑒𝑛
𝑟2
 
Como: 
𝐼 = 𝑛|𝑞|𝑣𝑑𝐴 
 
𝑑𝐵 =
µ0
4
𝐼𝑑𝑙 𝑠𝑒𝑛
𝑟2
 
 
En forma vectorial: 
 
𝑑�⃗⃗⃗� =
µ0
4
𝐼𝑑𝒍 𝑥 �̂�
𝑟2
 
 
 
 Donde 𝑑𝑙 es un vector con longitud dl, en la misma dirección que la corriente en 
el conductor. Las ecuaciones (4.24) y (4.25) constituyen la ley de Biot y Savart. Esta ley 
se utiliza para calcular el campo magnético total debido a la corriente en un circuito 
completo en cualquier punto en el espacio. Para hacerlo, se integra la ecuación (4.25) 
con respecto a todos los segmentos 𝑑𝑙 que conduzcan corriente. 
 
 
(4.24) 
Magnitud del Campo 
magnético de un 
elemento de corriente 
(4.25) 
Campo magnético de 
un elemento de 
corriente 
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31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.27 Vectores de campo magnético debidos a un elemento de corriente positivo dl 
 
 
4.13.3 Campo magnético de un conductor 
 
Una aplicación importante de la ley de Biot y Savart es el cálculo del campo 
magnético producido por una corriente a través de un conductor recto. Este resultado 
es muy importante debido a que prácticamente en todos los aparatos eléctricos y 
electrónicos se encuentran conductores rectos. La figura 4.28 muestra un conductor con 
longitud 2a que conduce una corriente I. Encontremos �⃗⃗� en un punto P a una distancia 
x del conductor, sobre su bisectriz perpendicular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Primero usamos la ley de Biot y Savart, ecuación (4.24) para encontrar el campo 
𝑑�⃗⃗� generado por el elemento de conductor con longitud dl = dy que se ilustra en la 
figura 4.28. De acuerdo con la figura: 
 
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 
 
Corriente dirigida 
hacia el plano de la 
página 
Figura 4.28 Campo magnético producido por un conductor recto 
portador de corriente de longitud 2a 
Esp. Ing. Francisco A. Gómez López 
Física II, Unidad 4 – Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Tucumán / Edición 2019 
32 
De acuerdo a la relación entre ángulos suplementarios podemos escribir: 
 
𝑠𝑒𝑛  = 𝑠𝑒𝑛 ( − ) =
𝑥
√𝑥2 + 𝑦2
 
 
Reemplazando en la ecuación 4.22: 
 
𝑑𝐵 =
µ0
4
𝐼𝑑𝑙 𝑠𝑒𝑛
𝑟2
=
µ0
4
𝐼𝑑𝑦 
(𝑥2 + 𝑦2)
𝑥
√𝑥2 + 𝑦2
 
 
𝑑𝐵 =
µ0𝐼
4
𝑥𝑑𝑦 
(𝑥2 + 𝑦2)
3
2⁄
 
 
La regla de la mano derecha para el producto vectorial 𝑑𝑙𝑥�̂� indica que la 
dirección de 𝑑�⃗⃗� es perpendicular al plano de la figura. Así, para obtener la magnitud 
total del campo en el punto P debemos sumar todos los aportes de los diferenciales de 
longitud dy, o sea, debemos integrar la ecuación (4.26) de –a a a, o sea: 
 
𝐵 =
µ0𝐼𝑥
4
∫
𝑑𝑦 
(𝑥2 + 𝑦2)
3
2⁄
𝑎
−𝑎
 
 
Resolviendo por sustitución trigonométrica: 
 
𝑦 = 𝑥 𝑡𝑎𝑛 
𝑑𝑦
𝑑
= 𝑥 𝑠𝑒𝑐2 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑠𝑒𝑐2 𝑑 
 
 
𝐵 =
µ0𝐼𝑥
4
∫
𝑥 𝑠𝑒𝑐2 𝑑 
(𝑥2 + 𝑥2𝑡𝑎𝑛2)
3
2⁄
𝑎
−𝑎
=
µ0𝐼𝑥
2
4
∫
 𝑠𝑒𝑐2 𝑑 
𝑥3(1 + 𝑡𝑎𝑛2)
3
2⁄
𝑎
−𝑎
 
 
𝐵 =
µ0𝐼
4 𝑥
∫
 𝑠𝑒𝑐2 𝑑 
(1 + 𝑡𝑎𝑛2)
3
2⁄
𝑎
−𝑎
=
µ0𝐼
4 𝑥
∫
 𝑠𝑒𝑐2 𝑑 
(𝑠𝑒𝑐2)
3
2⁄
𝑎
−𝑎
 
 
𝐵 =
µ0𝐼
4 𝑥
∫
 𝑑 
𝑠𝑒𝑐
𝑎
−𝑎
 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑜𝑠 =
1
𝑠𝑒𝑐
 
 
𝐵 =
µ0𝐼
4 𝑥
∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑑
𝑎
−𝑎
=
µ0𝐼
4 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑒𝑛 =
𝑦
√𝑥2 + 𝑦2
 
 
𝐵 =
µ0𝐼
4 𝑥
[
𝑦
√𝑥2 + 𝑦2
]
−𝑎
𝑎
=
µ0𝐼
4 𝑥
[
𝑎
√𝑥2 + 𝑎2
− (
−𝑎
√𝑥2 + 𝑎2
)] 
 
 
𝐵 =
µ0𝐼
4 𝑥
2𝑎
√𝑥2 + 𝑎2
 
(4.26) 
(4.27) 
Magnitud del campo 
magnético de un conductor 
de longitud 2a 
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Física II, Unidad 4 – Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Tucumán / Edición 2019 
33 
Cuando la longitud 2a del conductor es muy grande en comparación con su 
distancia x desde el punto P, se puede considerar infinitamente larga. Cuando a es 
mucho mayor que x: 
 
𝑠𝑖 𝑎 ≫ 𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 √𝑥2 + 𝑎2 ≈ √𝑎2 = 𝑎 
 
Entonces, cuando a   la ecuación (4.27) queda: 
 
𝐵 =
µ0𝐼
4 𝑥
2𝑎
𝑎
 
 
𝐵 =
µ0𝐼
2 𝑥
 
 
La situación física tiene simetría axial con respecto del eje y. Por lo tanto, �⃗⃗� debe 
tener la misma magnitud en todos los puntos de un círculo con centro en el conductor 
y que yace en un plano perpendicular a él, y la dirección de �⃗⃗� debe ser tangente en cada 
punto de este círculo. Así, en todos los puntos de un círculo de radio r alrededor del 
conductor, la magnitud B es: 
 
𝐵 =
µ0𝐼
2 𝑟
 
 
 
En la figura 4.29 se ilustra parte del campo magnético alrededor de un conductor 
largo, recto por el cual circula corriente. La geometría de este problema es similar a la 
del campo eléctrico generado por una línea infinita de carga. En ambos casos las 
magnitudes del campo son proporcionales a 1/r. Pero las líneas de �⃗⃗� en el problema del 
magnetismo tienen formas completamente diferentes a las del campo eléctrico. Las 
líneas de campo eléctrico irradian hacia fuera desde una distribución lineal de carga 
positiva (hacia dentro en el caso de cargas negativas). En contraste, las líneas de campo 
magnético circundan la corriente que actúa como su fuente. Las líneas de campo 
eléctrico debidas a las cargas comienzan y terminan en otras cargas, pero las líneas del 
campo magnético forman círculos cerrados, sin importar la forma del conductor 
portador de corriente que genera el campo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.29 Campo magnético producido 
por un conductor largo y recto portador 
de corriente 
(4.28) 
Magnitud del campo cerca 
de un conductor largo y 
recto 
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Física II, Unidad 4 – Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Tucumán / Edición 2019 
34 
4.13.4 Fuerza entre conductores paralelos 
 
Suponga que se tienen dos conductores rectos largos y paralelos que transportan 
corrientes de igual magnitud en el mismo sentido. Un aspecto importante de esta 
configuración es la fuerza de interacción entre los conductores. Esta fuerza desempeña 
un papel importante en muchas situaciones prácticas en las que los conductores que 
transportan corriente se hallan muy cerca uno del otro, y también tiene importancia 
esencial en relación con la definición de ampere. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.30 Conductores paralelos largos y rectos portadores de corriente que se atraen entre sí 
 
La figura 4.30 representa dos segmentos de los conductores separados por una 
distancia r y que conducen las corrientes I e I´ en el mismo sentido. Cada conductor se 
encuentra en el campo magnético producido por el otro, por lo que cada uno 
experimentará una fuerza. El diagrama ilustra algunas de las líneas de campo generadas 
por la corriente en el conductor de la parte inferior. 
De acuerdo con la ecuación (4.28), el conductor inferior produce un campo �⃗⃗� 
que, en la posición del conductor de arriba, tiene una magnitud de: 
 
𝐵 =
µ0𝐼
2 𝑟
 
 
La fuerza que ejerce este campo sobre una longitud L del conductor superior es: 
 
�⃗� = 𝐼´�⃗⃗�𝑥�⃗⃗� 
 
Donde el vector �⃗⃗� está en dirección de la corriente I´ y tiene magnitud L. Como 
�⃗⃗� es perpendicular a la longitud del conductor y, por lo tanto, a �⃗⃗�, la magnitud de esta 
fuerza es: 
𝐹 = 𝐼´𝐿𝐵 = 𝐼´𝐿 (
µ0𝐼
2 𝑟
) 
 
Y la fuerza por unidad de longitud F/L es: 
 
𝐹
𝐿
=
µ0𝐼𝐼´
2 𝑟
 (4.29) 
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Física II, Unidad 4 – UniversidadTecnológica Nacional, Facultad Regional Tucumán / Edición 2019 
35 
La aplicación de la regla de la mano derecha indica que la fuerza sobre el 
conductor de arriba está dirigida hacia abajo. 
La corriente en el conductor superior también origina un campo en la posición 
del inferior. Dos aplicaciones sucesivas de la regla de la mano derecha para productos 
vectoriales (una para encontrar la dirección del campo debido al conductor superior, y 
otra para determinar la dirección de la fuerza que ejerce este campo sobre el conductor 
inferior) demuestran que la fuerza sobre el conductor inferior va hacia arriba. Así, dos 
conductores paralelos que transportan corrientes en el mismo sentido se atraen uno 
al otro. Si se invierte el sentido de cualquiera de las corrientes, las fuerzas también se 
invertirán. Dos conductores paralelos que transportan corrientes en sentido opuestos 
se repelen entre sí. 
 
 
4.13.5 Campo magnético de una espira circular 
 
Un transformador, un motor eléctrico o un electroimán, se encuentran 
construidos por bobinas de alambre con un gran número de vueltas, dispuestas tan 
estrechamente que cada vuelta se la puede considerar como una espira circular plana. 
En estas bobinas se utiliza una corriente para establecer un campo magnético. Por ello, 
es de importancia obtener una expresión para el campo magnético que produce una 
sola espira conductora circular que conduce corriente, o para las N espiras circulares 
estrechamente espaciadas que forman la bobina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.31 Campo magnético en el eje de una espira circular 
 
La figura 4.31 presenta un conductor circular con radio a que conduce una 
corriente I. La corriente es llevada hacia dentro y fuera de la espira a través de dos 
alambres largos y rectos colocados lado a lado; las corrientes en estos alambres rectos 
van en sentidos opuestos, y sus campos magnéticos casi se cancelan entre sí. 
 Para encontrar el campo magnético en el punto P sobre el eje de la espira, a una 
distancia x del centro, se usa la ley de Biot y Savart, ecuación (4.24) o (4.25). Como se 
observa en la figura, 𝑑𝑙 y �̂� son perpendiculares (sen = 1), y la dirección del campo 𝑑�⃗⃗� 
generado por el elemento 𝑑𝑙 se encuentra en el plano xy. Como: 
 
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑎2 
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36 
𝑑𝐵 =
µ0
4
𝐼𝑑𝑙 𝑠𝑒𝑛
𝑟2
=
µ0
4
𝐼𝑑𝑙
(𝑥2 + 𝑎2)
 
 
La componente x del vector 𝑑�⃗⃗� es: 
 
𝑑𝐵𝑥 = 𝑑𝐵 cos  𝑐𝑜𝑚𝑜 cos  =
𝑎
(𝑥2 + 𝑎2)
1
2⁄
 
 
𝑑𝐵𝑥 =
µ0
4
𝐼𝑑𝑙
(𝑥2 + 𝑎2)
𝑎
(𝑥2 + 𝑎2)
1
2⁄
 
 
𝑑𝐵𝑥 =
µ0𝐼𝑎
4
𝑑𝑙
(𝑥2 + 𝑎2)
3
2⁄
 
 
𝐵𝑥 =
µ0𝐼𝑎
4
1
(𝑥2 + 𝑎2)
3
2⁄
∫ 𝑑𝑙 =
µ0𝐼𝑎
4
2 𝑎
(𝑥2 + 𝑎2)
3
2⁄
 
 
𝐵𝑥 =
µ0𝐼𝑎
2
2(𝑥2 + 𝑎2)
3
2⁄
 
 
 
 La ecuación 4.30 es la suma de todas las contribuciones en el eje x de los 
elementos 𝑑𝑙 y se utiliza para calcular la magnitud el campo sobre cualquier punto sobre 
el eje de la espira y en ninguna otra región más. Note que no se calculó la componente 
dBy debido a la simetría rotacional con respecto al eje x, razón por la cual no puede 
haber una componente del campo total perpendicular a este eje. Observe que para cada 
elemento 𝑑𝑙 hay otro elemento correspondiente en el lado opuesto de la espira, con 
dirección opuesta. Estos dos elementos hacen contribuciones iguales a la componente 
x de 𝑑�⃗⃗� pero dan componentes dBy opuestas perpendiculares al eje x. Así, todas las 
componentes perpendiculares dBy se cancelan y sólo quedan las componentes dBx en la 
misma dirección y sentido. 
La dirección del campo magnético sobre el eje de una espira que transporta 
corriente está dada por la regla de la mano derecha. Si se cierran los dedos de la mano 
derecha alrededor de la espira en la dirección de la corriente, el pulgar derecho apunta 
en la dirección del campo (figura 4.32). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.32 Regla de la mano derecha para la dirección del campo 
magnético producido sobre el eje de una bobina que conduce corriente 
 
 
 
(4.30) Magnitud del campo sobre el eje de una espira circular 
Esp. Ing. Francisco A. Gómez López 
Física II, Unidad 4 – Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Tucumán / Edición 2019 
37 
4.13.6 Campo magnético sobre el eje de una bobina 
 
Ahora suponga que en vez de una sola espira en la figura 4.31, se tiene una 
bobina que consiste en N espiras, todas con el mismo radio como indica la figura 4.33. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.33 Campo magnético generado por una bobina circular de N espiras 
 
Las espiras se encuentran una al lado de la otra de manera que el plano de cada 
una está prácticamente a la misma distancia x del punto P donde queremos encontrar 
el campo. Cada espira contribuye por igual al campo, y el campo total es N veces el 
campo producido por una sola espira: 
 
𝐵𝑥 =
µ0𝑁𝐼𝑎
2
2(𝑥2 + 𝑎2)
3
2⁄
 
 
El factor N en la ecuación (4.31) es la razón por la que se utilizan bobinas para 
producir campos magnéticos intensos; para obtener una intensidad de campo deseada, 
el uso de una sola espira requeriría una corriente I tan grande que superaría la capacidad 
de transporte de corriente nominal del conductor de la espira. 
La figura 4.34 muestra una gráfica de Bx como función de x. El valor máximo del campo 
está en x = 0, el centro de la espira o bobina: 
 
𝐵𝑥 =
µ0𝑁𝐼
2𝑎
 
 
Conforme se avanza a lo largo del eje, la magnitud del campo disminuye. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.34 Gráfica del campo magnético a lo largo del 
eje de una bobina circular con N espiras. Cuando x es 
mucho más grande que a, la magnitud del campo 
disminuye aproximadamente con 1/3 
 
(4.31) 
(4.32) 
Esp. Ing. Francisco A. Gómez López 
Física II, Unidad 4 – Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Tucumán / Edición 2019 
38 
4.14 Ley de Ampère 
 
Hasta este momento, el cálculo del campo magnético debido a una corriente ha 
implicado la obtención del campo infinitesimal 𝑑�⃗⃗� debido a un elemento de corriente, 
y luego integrar para determinar el campo total. Este enfoque es directamente análogo 
a los cálculos para el campo eléctrico que efectuamos en el capítulo 1. 
Para el campo eléctrico, se vio que en situaciones en las que había una 
distribución de carga con un alto grado de simetría, con frecuencia era más fácil usar la 
ley de Gauss para encontrar el campo. De igual modo, existe una ley que nos permite 
obtener con facilidad los campos magnéticos generados por distribuciones de corriente 
con un alto grado de simetría. La ley que nos permite hacer esto se denomina ley de 
Ampère. Esta ley es de carácter muy distinta a la ley de Gauss. 
La ley de Gauss para campos eléctricos implica que el flujo eléctrico a través de 
una superficie cerrada es igual a la carga total encerrada dentro de la superficie, dividida 
por la constante 0. En contraste, la ley de Gauss para campos magnéticos, la ecuación 
(4.6), no es una relación entre campos magnéticos y distribuciones de corriente; plantea 
que el flujo magnético a través de cualquier superficie cerrada siempre es igual a cero, 
haya o no una corriente dentro de la superficie. 
 
La ley de Ampère está formulada en términos de una integral de línea de �⃗⃗� 
alrededor de una trayectoria cerrada y proporciona una relación entre la corriente en 
un conductor con forma arbitraria y el campo magnético producido por el conductor. 
 
 
4.14.1 Ley de Ampère para un conductor largo y recto 
 
Consideremos otra vez al campo magnético generado por un conductor largo y recto 
que transporta una corriente I. En la sección 4.13.3 se vio que el campo a una distancia 
r del conductor tiene una magnitud de: 
𝐵 =
µ0𝐼
2 𝑟
 
 
y que las líneas de campo magnético son círculos con centro en el conductor. 
Consideremos una trayectoria cerrada arbitraria que rodee la corriente I, por ejemplo, 
podríamos tomar la integral de línea de �⃗⃗� alrededorde una de las líneas de campo 
circulares con radio r, como se observa en la figura 4.35. 
 
 
 
 
 
Figura 4.35 Trayectoria para la integral de línea de �⃗⃗� en la 
vecindad de un conductor largo y recto que transporta una 
corriente I, hacia fuera del plano de la página (como lo 
indica el círculo con un punto). El conductor se ve desde un 
extremo. La integración recorre el círculo en sentido 
antihorario. 
(4.28) 
Esp. Ing. Francisco A. Gómez López 
Física II, Unidad 4 – Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Tucumán / Edición 2019 
39 
Para evaluar esta integral de línea cerrada, se divide la trayectoria en segmentos 
infinitesimales 𝑑𝑙 para cada uno de los cuales se calcula el producto escalar �⃗⃗�. 𝑑𝑙, y se 
suman los resultados. En general, �⃗⃗� varía de un punto al otro, y se debe emplear el valor 
de �⃗⃗� en la ubicación de cada 𝑑𝑙. En realidad lo que importa es la componente de �⃗⃗� 
paralela a 𝑑𝑙 por lo que se puede denotar de la siguiente manera: 
 
�⃗⃗�. 𝑑𝑙 = �⃗⃗� 𝑑𝑙 = 𝐵𝑐𝑜𝑠 𝑑𝑙 
 
En cada punto del círculo, �⃗⃗� y 𝑑𝑙 son paralelos, por lo que cos = 1 y: 
 
�⃗⃗�. 𝑑𝑙 = 𝐵𝑑𝑙 
 
Sumando los productos de Bdl o sea, aplicando la integral de línea cerrada: 
 
∮ �⃗⃗�. 𝑑𝑙 = ∮ 𝐵𝑑𝑙 
 
 Como r es constante alrededor del círculo, B también es constante y es igual a 
la ecuación (4.28). Alternativamente, podemos decir que B es constante e igual a B en 
cada punto del círculo. Por lo tanto, podemos sacar a B de la integral. La integral restante 
es simplemente la longitud de la circunferencia, por lo que: 
 
∮ 𝐵𝑑𝑙 = 𝐵 ∮ 𝑑𝑙 =
µ0𝐼
2 𝑟
(2 𝑟) = µ0𝐼 
 
∮ �⃗⃗�. 𝑑𝑙 = µ0𝐼 
 
 
Así, la integral de línea es independiente del radio del círculo e igual a µ0 
multiplicado por la corriente I que pasa a través del área limitada por el círculo. 
 
El círculo sobre el signo de la integral indica que ésta se calcula siempre para una 
trayectoria cerrada, es decir, una trayectoria cuyos puntos inicial y final son iguales. 
 
En la figura 4.36, la situación es la misma, pero ahora la trayectoria de integración 
va alrededor del círculo en sentido opuesto. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.36 Trayectoria para la integral de línea de �⃗⃗� en 
la vecindad de un conductor largo y recto que transporta 
una corriente I, hacia fuera del plano de la página (como 
lo indica el círculo con un punto). El conductor se ve desde 
un extremo. La integración recorre el círculo en sentido 
horario. 
 
(4.33) Ley de Ampere para un 
conductor largo y recto 
Esp. Ing. Francisco A. Gómez López 
Física II, Unidad 4 – Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Tucumán / Edición 2019 
40 
Ahora, en cada punto del círculo, �⃗⃗� y 𝑑𝑙 son antiparalelos, por lo que cos = -1: 
 
�⃗⃗�. 𝑑𝑙 = −𝐵𝑑𝑙 
 
Aplicando la integral de línea cerrada: 
 
∮ �⃗⃗�. 𝑑𝑙 = − ∮ 𝐵𝑑𝑙 
 
 Como r y B son constantes: 
 
− ∮ 𝐵𝑑𝑙 = −𝐵 ∮ 𝑑𝑙 = −
µ0𝐼
2 𝑟
(2 𝑟) = −µ0𝐼 
 
∮ �⃗⃗�. 𝑑𝑙 = −µ0𝐼 
 
Como se observa, se obtuvo el mismo resultado que el de la trayectoria de 
integración de la figura 4.35, pero con la dirección de la corriente invertida. 
 
Así, la integral de línea es igual a µ0 multiplicado por la corriente I que pasa a 
través del área limitada por la trayectoria de integración, con signo positivo o negativo 
en función de la dirección de la corriente con respecto a la dirección de integración. 
 
 
Hay una regla muy simple para determinar el signo de la corriente. Doble los 
dedos de su mano derecha alrededor de la trayectoria de integración en la dirección de 
esta última (es decir, la dirección que usa para evaluar la integral) En esta condición, su 
pulgar derecho indica la dirección de la corriente positiva (figura 4.37). Las corrientes 
que pasan a través de la trayectoria de integración en esta dirección son positivas; 
aquéllas en dirección opuesta son negativas. Con esta regla, usted podrá confirmar que 
la corriente es positiva en la figura 4.35, y negativa en la figura 4.36. Otra manera de 
decir lo mismo es la siguiente: mirando hacia el área limitada por la trayectoria de 
integración, integre alrededor de ésta en sentido antihorario; las corrientes que se 
mueven hacia usted a través del área son positivas, y las que se alejan de usted son 
negativas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.37 Regla de la mano derecha para determinar el sentido de 
la corriente debido a un alambre largo recto. 
(4.33) 
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41 
En la figura 4.38 se utiliza una trayectoria de integración que no encierra al 
conductor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.38 Trayectoria de integración que no encierra 
al conductor largo y recto que transporta una corriente 
 
 
Analicemos la trayectoria cerrada en cuatro tramos. Primero, la trayectoria a lo 
largo del arco circular ab de radio r1, donde �⃗⃗� y 𝑑𝑙 son paralelos, por lo tanto: 
 
𝐵 = 𝐵1 =
µ0𝐼
2 𝑟1
 
 
 Segundo, a lo largo del arco circular cd de radio r2, �⃗⃗� y 𝑑𝑙 son antiparalelos, 
entonces: 
𝐵 = −𝐵2 = −
µ0𝐼
2 𝑟2
 
 
Por último, el campo �⃗⃗� es perpendicular a 𝑑𝑙 en cada punto de las secciones 
rectas bc y da, por lo tanto que B = 0, ya que cos = 0. Estas secciones no contribuyen 
a la integral de línea, que en total será: 
 
∮ �⃗⃗�. 𝑑𝑙 = ∮ 𝐵 𝑑𝑙 = 𝐵1 ∫ 𝑑𝑙
𝑏
𝑎
+ (0) ∫ 𝑑𝑙
𝑐
𝑏
+ (−𝐵2) ∫ 𝑑𝑙
𝑑
𝑐
+ (0) ∫ 𝑑𝑙
𝑎
𝑑
 
 
∮ �⃗⃗�. 𝑑𝑙 = 𝐵1 ∫ 𝑑𝑙
𝑏
𝑎
− 𝐵2 ∫ 𝑑𝑙
𝑑
𝑐
 
 
∮ �⃗⃗�. 𝑑𝑙 =
µ0𝐼
2 𝑟1
∫ 𝑑𝑙
𝑏
𝑎
−
µ0𝐼
2 𝑟2
∫ 𝑑𝑙
𝑑
𝑐
 
 
Como la longitud del arco ab = r1 y la del arco cd = r2, entonces: 
 
∮ �⃗⃗�. 𝑑𝑙 =
µ0𝐼
2 𝑟1
(𝑟1) −
µ0𝐼
2 𝑟2
(𝑟2) 
 
∮ �⃗⃗�. 𝑑𝑙 =
µ0𝐼
2 
 −
µ0𝐼
2 
 
 
∮ �⃗⃗�. 𝑑𝑙 = 0 (4.33) 
Esp. Ing. Francisco A. Gómez López 
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42 
Como puede intuirse, la magnitud del campo es mayor en el arco cd que en el 
ab, pero la longitud del arco es menor, por lo que las contribuciones de los dos arcos se 
cancelan exactamente. 
 
 Aun cuando hay un campo magnético en cada punto de la trayectoria de 
integración, la integral de línea es igual a cero si no hay corriente que pase a través del 
área limitada por la trayectoria. 
 
 
Hasta aquí hemos utilizado para el análisis trayectorias cerradas de integración 
simétricas con respecto al conductor que transporta corriente. Sin embargo, estos 
resultados también se pueden obtener para trayectorias de integración más generales 
o asimétricas, como la que se presenta en la figura 4.39. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En la posición del elemento de línea 𝑑𝑙, el ángulo entre 𝑑𝑙 y �⃗⃗� es , entonces: 
 
�⃗⃗�. 𝑑𝑙 = 𝐵𝑑𝑙 𝑐𝑜𝑠 
 
Observe que de acuerdo con la figura 4.39, rd es la proyección de dl sobre una 
trayectoria de integración circular, del mismo modo que se proyectaba el diferencial de 
área dA de la superficie irregular sobre la esfera en la ley de Gauss. Entonces, como la 
componente paralela de B es dlcos y esta a su vez es igual a la longitud del arco rd 
nos queda: 
 
𝑑𝑙 𝑐𝑜𝑠 = 𝑟 𝑑 
 
∮ �⃗⃗�. 𝑑𝑙 = ∮ 𝐵𝑑𝑙 𝑐𝑜𝑠 = ∮
µ0𝐼
2 𝑟
(𝑟𝑑) 
 
∮ �⃗⃗�. 𝑑𝑙 =
µ0𝐼
2 
∮ 𝑑 
 
Figura 4.39 Trayectoria de integración irregular que 
encierra un conductor largo y recto que transporta una 
corriente I, hacia fuera del plano de la página (como lo 
indica el círculo con un punto). El conductor se ve desde 
un extremo. La integración recorre la trayectoria 
irregular en sentido antihorario. 
 
I 
�⃗⃗⃗� 
d 
r d 
r 
 
𝑑𝒍 
Esp. Ing. Francisco A. Gómez López 
Física II, Unidad 4 – Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Tucumán / Edición 2019 
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Como la integral de d es 2, o sea, el ángulo total barrido por la línea radial que 
va desde el conductor hasta 𝑑𝑙 durante un recorrido completo alrededor de la 
trayectoria. De esta