Relación gráfica entre variables

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Relación gráfica entre variables
Karina Albán, Mayté Betancourt
Departamento de ciencias exactas, Universidad de las Fuerzas Armadas “ESPE”, Av. General Rumiñahui y Ambato, Sangolquí – Ecuador
25 de abril del 2019
Resumen
El presente documento presenta el análisis de las diferentes representaciones gráficas de las dependencias funcionales entre variables, aquí también se estudia muchas de las leyes físicas de dependencia funcional como Relaciones o Proporciones Directas, Variación Lineal, Relación Exponencial. En este caso se utiliza un carril de aire de laboratorio para representar un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado, el mecanismo que se emplea en sí es de un carril de aire que desliza al cuerpo por un la barrera fotoeléctrica contadora, enviando los datos al Software Measure, gracias a éste se encuentra la ecuación que define el movimiento así como también los datos que se utiliza para generar la misma, origina las gráficas de distancia, velocidad, aceleración y todas éstas respecto al tiempo que define el momento. 
Palabras clave: Variables, Movimiento, Distancia, Velocidad, Aceleración. 
Abstract 
This document presents the analysis of the different graphical representations of functional dependencies between variables, here we also study many of the physical laws of functional dependence such as Relations or Direct Proportions, Linear Variation, Exponential Relationship. In this case a laboratory air rail is used to represent a Uniformly Varied Rectilinear Movement, the mechanism used is itself an air rail that slides the body through a photoelectric counter, sending the data to the Software Measure, thanks to this is the equation that defines the movement as well as the data used to generate the same, originates the graphs of distance, speed, acceleration and all these with respect to the time that defines the moment.
Keywords: Variables, Movement, Distance, Speed, Acceleration. 
I. 
II. INTRODUCCIÓN 
Para hablar de reposo o movimiento hay que elegir un sistema de referencia. Un sistema de referencia es un punto respecto al que referimos el movimiento de los cuerpos, dotado de unos ejes respecto a los cuales damos la posición del cuerpo.
Para describir un movimiento es suficiente con indicar la trayectoria y la relación entre la posición y el tiempo (x-t) que puede ser una gráfica o la ecuación del movimiento.
Los movimientos quedan determinados por la trayectoria y por el módulo de la velocidad; por tanto, se pueden clasificar de acuerdo a dos criterios: - según sea la trayectoria, el movimiento puede ser rectilíneo o curvilíneo. En el movimiento rectilíneo, el vector velocidad tendrá siempre la misma dirección, la de la recta. En el curvilíneo el vector velocidad cambia de dirección para ser tangente a la trayectoria en cada instante. - Según el módulo de la velocidad, el movimiento puede ser uniforme o variado. Si el módulo de la velocidad permanece constante, será uniforme; si varía el módulo de la velocidad, el movimiento será variado o acelerado.
Si varía el módulo de la velocidad se dice que hay aceleración. La aceleración es la magnitud que describe cómo de rápido varía la velocidad. Por tanto, es la variación de la velocidad por la unidad de tiempo. Su unidad en el SI es el m/s2.
En los movimientos rectilíneos la aceleración se representa por un vector tangente a la trayectoria, en el sentido de la velocidad si aumenta su valor y en sentido contrario si disminuye. El signo de la aceleración será negativo si se dirige hacia la izquierda del sistema de referencia o positiva si se dirige hacia la derecha del sistema de referencia.
Un modo de describir y estudiar los movimientos es mediante gráficas que representan distancia-tiempo, velocidad-tiempo y aceleración-tiempo.
III. OBJETIVOS
· Analizar de manera profunda la representación gráfica de las principales formas de dependencia funcional entre variables, mediante cálculos experimentales de un movimiento. Examinar las diferentes formas de encontrar las leyes físicas en éste movimiento de las diferentes dependencias funciones. 
· Identificar el tipo de relación dada por posición-tiempo (posición con respecto al tiempo), velocidad-tiempo (velocidad con respecto al tiempo) y aceleración-tiempo (aceleración con respecto al tiempo) en un movimiento rectilíneo uniformemente variado originado por el carril de aire. 
IV. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
 En el mundo vemos que la información científica viene suministrada a través de gráficos, talque se describe u fenómeno de una manera más comprensible. 
 El concepto físico queda perfectamente comprendido a través de la definición, donde se puede expresar en una ecuación y en consecuencia lo representamos gráficamente, y observamos detenidamente como varia una magnitud respeto a la otra. 
 Existen diferentes tipos de gráficos que varían de acuerdo a la naturaleza del comportamiento de las variables involucradas y de la representación explicita que quisiéramos dar. 
 El proceso de investigacion es frecuente que tengamos que medir algunas variables vinculadas entre sí por una función y del análisis de un conjunto de variables x; donde encontraremos su debida función o a la vez podremos verificarla. 
 La medición realizada de las variables estudiadas es conveniente ordenarlas en un cuadro o tabla de valores, donde su análisis puede permitirnos intuir la relación que puede existir entre ellas.
En el proceso de desarrollo de datos es frecuente que la utilización de un sistema de coordenadas cartesianas, cuya abscisa presentamos la variable independiente x, que no es sino aquella que puede ser ajustada a a voluntad del operador; en un gran número de casos suele ser el tiempo y en la ordenada la variable dependiente y.
 Es importante representar los datos experimentales en escalas de manera que el grafico sea lo más representativo posible, donde está bien centrado y de acuerdo a su tamaño. No necesariamente, debe utilizarse la misma escala en ambos ejes cartesianos, esto dependerá del rango de variación de los datos en cada uno de ellos. 
 La satisfacción de disponer de informacion en el origen, ya que esto permitirá estudiar ala grafica con mayor facilidad y precisión, además facilita el cálculo de la función matemática. 
 Los valores tabulados se trasladan a este sistema de coordenadas cartesianas, donde marcaremos los puntos obtenidos y los iremos uniendo mediante un alinea suave y continua, Esta no necesariamente debe pasar por los puntos, pero el desvió que presente respecto a dichos puntos debe ser pequeño, tratando de ir compensando los puntos por encima y debajo de la curva. No es correcto unir mediante retas a los puntos contiguos. 
 Los gráficos se representan frecuentemente en papel milimetrado, pero no excluye la utilización de grafico semi logarítmico o logarítmico, en papeles correspondientes. 
 Este análisis preliminar de los datos y la curva se caracterizan del grafico que permitirá establecer la correlación funcional en variables y plantear la ecuación respectiva.
 Los datos de la variable se muestran en una modificación dado y esto ocasiona que también la otra lo haga, de tal forma que los cocientes entre pares correspondientes de ellos permanezcan contantes, nos indicara que se trata de una Relación o Proporción Directa y diremos entones que es directamente proporcional a x o lo que es lo mismo y αx.
 Esta representación gráfica de las partes de valores (x;y) nos dará un punto, El conjunto de los puntos obtenidos sugiere la forma de una curva y este caos en concreto, se trata de una recta que parte del origen y en consecuencia a su ecuación será y=ax.
 En algunas ocasiones las variables se relacionan de tal manera que cuando una de ellas es nula, la otra tiene un valor diferente de cero. El grafico correspondientes también será una línea recta, solo que no partirá del origen, entonces diremos que las dos magnitudes existen una variación. 
Figura 1: Representación gráfica lineal. Obtenido: http://el-estudihambre.over-blog.com/2018/01/6.diagrama-de-dispersion.htmlLa ecuación de su grafica será: 
 Este tipo, se establecerá como magnitud varia con el cuadro o con el cubo de la otra. En estos casos la grafico se representará con una parábola i en general una curva entonces se afirma que:
 Donde varia con el exponente x. Este caso especial de dependencia, cuando el aumentar una variable ocasiona que la otra disminuya tal que el producto entre dos pares de valores correspondientes es sistema constante. Tendremos entones que es inversamente proporcional a x, esto es: 
 La representación graficas será entonces, una curva o una hipérbola. Encontramos la relación con el inverso del elevado de x.
Donde la representación es una curva. 
Figura 2: Representación de una curva. Obtenido: http://www.scielo.org.ve/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0254-07702003000200005
 A este campo se utiliza en el campo de dinámica energía, entre otras, donde la relación polinómica tiene una relación directamente proporcional o inversamente proporcional.
 Podemos graficar en papel de logarítmico y encontrar las constante u encontrar la ley de física. 
 En estos campos de la física son la electricidad, radioactividad y otros, puede ser útil la Relación potencial: , donde su base de logaritmos naturales a y b son .
 Es a una recta, cuyo parámetro lineal es log a y el coeficiente ángulos es b log e.
Relación exponencial:
 Otro caso particular de mucho interés es el de una relación exponencial entre dos variables. Para fijar ideas supongamos que estamos considerando dos variables, Y1 e Y2, como función de t. Si las relaciones entre estas variables son:
Y1(t)=Ae-kt
Y2(t)=A(1-e-kt)
 Es fácil notar que, que la primera de estas relaciones (Y1) se “linealiza” en escala semi logarítmica pero la segunda (Y2) no.
Para esto existe un método de mínimos cuadros donde utilizaremos Excel o un lenguaje de programación.
· Para una relación lineal 
· Si tenemos datos sus ecuaciones serán:
Para la otra ecuación quedara al multiplicar toda la ecuación por x quedando 
Y poniendo como sumatorias:
 Resolviendo el sistema encontramos las contantes a y b y obtenemos la ley física igual analogía y lo hacemos con las rectas logarítmicas.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
 Movimiento es el cambio de posición de un cuerpo con respecto a otro, donde el tiempo transcurre en el tiempo. 
 Si la velocidad cambia con el tiempo se dice que tiene aceleración. 
 La aceleración media a se define como el cambio de la velocidad entre el intervalo de tiempo. 
 Los diferentes intervalos de tiempo, permaneces constantes en relación del cambio de velocidad con respecto al tiempo transcurrido. 
Tenemos la aceleración constantes 
 La aceleración de una partícula es cualquier instante de tiempo es la aceleración instantánea y se define como el intervalo de tiempo que tiende a cero, la derivada de la velocidad respecto al tiempo o también la segunda derivada del desplazamiento respecto al tiempo. 
 Existes varios movimientos que son cariado, acelerado o retardado, cuya rapidez experimenta variaciones iguales en lapsos de tiempo. 
 Este movimiento tiene una trayectoria circunferencial y su aceleración es constante con esto podemos encontrar la velocidad y el desplazamiento utilizando calculo diferencial e integral quedando las siguientes cinemáticas. 
Sus graficas correspondientes si decimos que se mueve en un solo eje en este caso el eje x serán: 
Figura 3: Graficas del MRUV. Fuente: Internet 
Figura 4: Graficas del MURV. Obtenido: https://fisicadelmovimiento.wordpress.com/cinematica/mapa-conceptual/velocidad-2/movimiento-rectilineo-uniformemente-acelerado/
 Por lo tanto, la velocidad de una partícula para un momento dado puede obtenerse del siguiente modo. 
 Si y sabemos que , reemplazamos y despejamos la velocidad final tomando en cuenta que ( y que el tiempo inicial es 0. Dando como resultado:
La ecuación de la posición.
 Ahora vamos a ver las ecuaciones del MRUV de forma general
· 
· ;Donde 
· 
· 
V. MATERIALES Y EQUIPOS
Materiales
· Carril de aire.- Soplador.
· Aerodeslizador
· Arrancador mecánico
· Tope
· Barrera fotoeléctrica contadora
· Pesas
· Material de montaje
Herramientas
· Interface, - Computadora. - Software Measure
VI. PROCEDIMIENTO 
1. Disponga horizontalmente el carril de aire perfectamente nivelado y coloque sobre él, en él un extremo el arrancador mecánico, luego el aerodeslizador, en la mitad del carril el tope y al final la barrera fotoeléctrica contadora, esta deberá estar conectada a la interface y esta a su vez a la computadora con el programa Measure. 
Figura 5 Auto deslizador en su punto inicial
2. El aerodeslizador se acoplará a una pesa a través de un hilo, el cual deberá pasar por la polea de la barrera fotoeléctrica. En consecuencia, el móvil deberá moverse a partir del reposo, arrastrado por la pesa que desciende. 
Figura 6 Arrancador mecánico conectado al carril de aire.
Figura 7 Conexiones a la computadora
3. La barrera fotoeléctrica medirá el movimiento del aerodeslizador, a través del número de vueltas de la polea, estos datos pasan por la interface a la computadora. 
Figura 8 Barrera fotoeléctrica a punto de medir el movimiento
4. Dispuesto el aerodeslizador junto al arrancador mecánico, active la señal de medida en la computadora al mismo tiempo que el aire dentro del carril. Suelte el arrancador y el aerodeslizador se moverá, excluyendo los iniciales y los finales, le serán proporcionados para desarrollar su informe (exporte los datos a Excel)
Figura 9 Barrera fotoeléctrica a punto de medir el movimiento
VII. TABULACIÓN DE DATOS
Tabla V. Datos del MRUV
	x
	t
	v
	a
	0.5
	0.051
	0,236
	0,419
	0.55
	0.059
	0,283
	0,419
	0.6
	0.068
	0,361
	0,471
	0.69
	0.086
	0,408
	0,367
	0,075
	0.098
	0,440
	0,419
 
VIII. ACTIVIDADES- PREGUNTAS
A.- Realice un gráfico: Posición-Tiempo y analice.
 Análisis: (de variables matemático, unidades, ley física)
t
Figura 10: Gráfico posición-tiempo del MRUV
1.- Relación de Variables:
La posición es directamente proporcional a la variable del tiempo elevado a una potencia.
 X=A 
2.- Análisis matemático 
𝐶 = 𝑇𝑎𝑛 (𝛼) = = = m
x – o𝑡 = 𝑪
 3.- Análisis de unidades
 [𝐴] = [ ] = [𝐿 ] 
4.- Ley Física 
x = 0.15t2.15
B.- Linealice la curva: Posición-Tiempo utilizando papel logarítmico. 
Figura 11: Gráfica Posición- Tiempo del MRUV
C.- Determine la ecuación de esta curva ajustando por mínimos cuadrados y dibuje la misma en el grafico anterior. 
Tabla VI. Datos de Posición-Tiempo en mínimos cuadrados del MRUV
	log t
	log x
	(log t)2
	log t log x
	-0.3010299
	-1.2924298
	0,0906190
	0.389060013
	-0.2596373
	-1.2291479
	0,0674115
	0.319132642
	-0.2218487
	-1.0655015
	0.0492168
	0.236380123
	-0.1611509
	-1.0087739
	0,0259696
	0.162564822
	0.10037055
	-0.9469215
	0,0100742
	-0.095043032
	-0.84329625
	-5.5427746
	-0.0492168
	-1.012094568
Descripción: Se realiza hacer un análisis respectivo para tener valores más próximos y determinar la ecuación de la recta. 
 
b= -1.24864
Ecuación ajustada: 
D.- Grafique: Rapidez – Tiempo y examine. Además, con el ajuste de datos por mínimos cuadrados del literal E, grafique nuevamente esta recta ajustada. Proceda a estudiar los mismos.
m/s
t
Figura 12: Grafico rapidez-tiempo del MRUV
Análisis de la Gráfica: Velocidad – Tiempo
 1.- Relación de Variables
 La velocidad es directamente proporcional al Tiempo.
 V = ct
 2.- Análisis matemático
 𝑚 = 𝑇𝑎𝑛 (𝛼) = = = = 𝑪 
3.- análisis de unidades 
[𝐶] = [] = [ ] = [𝐿 ] 
4.- Ley Física
v =0.5t-0.512
E.- Determine la ecuación de esta curva ajustando por mínimos cuadrados.
Tabla VII. Datos de Rapidez-Tiempo en mínimos cuadrados del MRVU
	t(s)
	v(m/s)
	t^2
	t.v
	0.500
	0.236
	0.250
	0.0590000
	0.550
	0.267
	0.303
	0.0807675
	0.600
	0.283
	0.360
	0.1018800
	0.690
	0.314
	0.476
	0.1494954
	0.750
	0.330
	0.5630.1856250
	3.09000
	1.4300
	1.95110
	0.5767679
Descripción: Se procede analizar los datos del tiempo y la velocidad para determinar la ecuación de la recta con menos errores. 
 
 
b= 0,9671835
Ecuación ajustada: y= -1.02238x+0.96718
 F. - Compare las constantes de proporcionalidad obtenidos en los gráficos B y D 
Ecuación B 
x = 0.15t2.15 
Ecuación D
v= 0.5tx-0.512
G.- Partiendo del gráfico v-t deduzca las experiencias cinemáticas que determinan el Movimiento rectilíneo Uniforme Variado 
MRUV
V=
x= 
Utilizamos la expresión de la aceleración:
a==
Multiplicamos ambos miembros:
a=V-m/s2
Sabemos que en un MRUA el espacio se puede definir así:
Entonces, teniendo en cuenta la fórmula anterior, sabemos que:
 V= 
Introducimos la expresión: 
H.- Construya un gráfico: Aceleración-Tiempo y estudie. 
t
Figura 13: Gráfico aceleración-tiempo del MRUV
1.- Relación de Variables 
La aceleración es un valor cualquiera, pero es aproximado.
a =0x + t
 2.- Ley Física
 𝑎 = 0,471 [
IX. RESULTADO DE APRENDIZAJE
Está practica de laboratorio abrió nuestro conocimiento y entendimiento para conocer porque las dependencias funcionales entre variables , permitió que identificáramos cada una de las relaciones que se presentan entre estas, sus características, cualidades y usos, los cual nos brindó conocimiento para posteriormente a esto poder utilizarlo en la realización de gráficas del movimiento que describimos, el cual originamos mediante el instrumento de laboratorio y así pudimos analizar y llevar acabo nuestros cálculos y nuestras representaciones gráficas. 
X. CONCLUSIONES
· La curva del movimiento puede ser representada de forma lineal gracias a la utilización de logaritmos y papel logarítmico.
· La aceleración y velocidad del aerodeslizador aumenta constantemente dependiendo del paso del tiempo y la trayectoria que describa la partícula. 
· La se mantiene constante en todo el momento. 
XI. RECOMENDACIONES
· Se recomienda realizar repetición en la medida del movimiento, de esta forma lograremos aproximarnos más a un valor más o menos preciso y disminuir el margen de error.
· Una recomendación importante es fijarse que el colchón de aire se mantenga encendido, así se conservará en buen estado el aerodeslizador que puede desgastarse. 
· El aerodeslizador debe mantener una presión constante y a la vez elevada para evitar en lo posible el rozamiento del instrumento con la superficie. 
XII. BIBLIOGRAFÍA
Beer. F y Clausen. W. Mecánica Vectorial para Ingenieros Dinámica. Octava Edición. México. Mc Graw Hill 
A.A (2013) Relación entre variables. Recuperado de : https://www.oas.org/DSD/publications/Unit/oea35s/ch39.htm
Zuñiga, A(2008) Ajuste de una recta por mínimos cuadrados. Recuperado de: http://www.uv.es/zuniga/08_Ajuste_de_una_recta_por_minimos_cuadrados.pdf
ANEXOS:
Registre los datos dados por el software measure de posición, velocidad y aceleración en los tiempos proporcionales en la hoja técnica de datos. 
Figura 14: Integrantes del grupo al finalizar la práctica.
Figura 15: Tabla de datos con la utilización de Measure.
Figura 16: Gráfica posición, aceleración, velocidad. Obtenida por el software measure. 
POSICIÓN	0.5	0.55000000000000004	0.6	0.69	0.75	0.8	0.85	0.9	0.95	1	1.05	1.25	1.3	1.4	1.45	1.5	5.0999999999999997E-2	5.8999999999999997E-2	6.8000000000000005E-2	8.5999999999999993E-2	9.8000000000000004E-2	0.113	0.128	0.14699999999999999	0.16200000000000001	0.19	0.21	0.28899999999999998	0.31	0.37	0.40699999999999997	0.46600000000000003	Tiempo
Posición
POSICIÓN	0.5	0.55000000000000004	0.6	0.69	0.75	0.8	0.85	0.9	0.95	1	1.05	1.25	1.3	1.4	1.45	1.5	5.0999999999999997E-2	5.8999999999999997E-2	6.8000000000000005E-2	8.5999999999999993E-2	9.8000000000000004E-2	0.113	0.128	0.14699999999999999	0.16200000000000001	0.19	0.21	0.28	899999999999998	0.31	0.3	7	0.40699999999999997	0.46600000000000003	Tiempo
Posición
Velocidad	0.5	0.55000000000000004	0.6	0.69	0.75	0.8	0.85	0.9	0.95	1	1.05	1.25	1.3	1.4	1.45	1.5	0.23599999999999999	0.26700000000000002	0.28299999999999997	0.314	0.33	0.36099999999999999	0.379	0.38700000000000001	0.39600000000000002	0.42499999999999999	0.436	0.47899999999999998	0.499	0.52900000000000003	0.55800000000000005	0.59699999999999998	Tiempo 
Rapidez
Valores Y	0.5	0.55000000000000004	0.6	0.69	0.75	0.41899999999999998	0.314	0.41899999999999998	0.47099999999999997	0.36699999999999999	Tiempo
Aceleración