SOLUCIONARIO 11

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Departamento de Ciencias Matematica Basica Ingeniería
SESIÓN 11
Funciones Reales de Variable Real – Modelos funcionales 2
1. Determine el dominio y el rango de la siguiente función:
	
Solución:
Factorizando por aspa simple el numerador de la función, tenemos:
Simplificando la expresión, siempre que x sea diferente de 1, 
; 
Luego el dominio de la función sería todos los reales, excepto el 1, 	
Para hallar el rango de la función despejamos x en función de y, 
Por lo tanto el rango de la función es:
2. Determine el dominio de las siguientes funciones:
a) 
Solución:
La función está bien definida, si la expresión que está dentro de la raíz es positiva, entonces
Para resolver la inecuación, recordamos que
Entonces
 	 				
Luego el dominio de la función será: 
b) 
Solución:
Como en el denominador aparece el valor absoluto, luego la expresión siempre es diferente de cero, para cualquier , entonces el dominio lo obtenemos a partir de la expresión que está dentro de la raíz cuadrada, es decir la función estará bien definida si está expresión es mayor o igual a cero.
Resolviendo la inecuación, usando los puntos críticos -3 y 1.
-3
1
 +
–
 +
Luego: 
–2
0
2
+
–
+
–
+
–
3. Determine el dominio y rango de la siguiente función:
Solución:
La función definida por partes, la podemos escribir como
· Dominio de la función
El dominio de la función f está dado por la unión de los dominios de cada parte, es decir 
· Rango de la función
Para hallar el rango de la función f, hallaremos primero el rango de cada parte
Usamos el dominio para hallar el rango de 
Sumamos 3, a la desigualdad: 
Usamos el dominio para hallar el rango de 
Elevamos al cuadrado la desigualdad: 
 
Usamos el dominio para hallar el rango de
Multiplicamos por -2 a la desigualdad: 
Por lo tanto el rango deserá: 
4. Grafique y determine su dominio y rango, de las siguientes funciones:
a) 
Solución:
Usando la definición de valor absoluto,
Tenemos,
Para hallar el dominio y el rango de la función, primero es necesario hallar los valores críticos, estos se obtienen igualando a cero cada valor absoluto:
Colocamos los puntos críticos 1 y -1 en el eje real, y tenemos el siguiente gráfico
-1
1
 
 
Luego tenemos que averiguar como es la regla de correspondencia de la función en cada intervalo del eje real, para ello tengamos en cuenta los valores de y dadas anteriormente. Así:
· 
Si 	
· 
Si 	
· 
Si 	
Por lo que la regla de correspondencia de f será:
Y el gráfico de esta función definida por partes, sería
El dominio de la función es la unión de los dominios de cada parte, es decir el dominio será el conjunto de los números reales: 
Del gráfico observamos que el rango será desde 2 hasta el infinito, 
Por lo tanto, 
b) 
Solución:
Por definición de valor absoluto, tenemos:
Por lo que la regla de la función, sería:
El gráfico será la función constante 1 si x es mayor que cero y -1 si x es menor que cero
Del gráfico observamos que el dominio será todos los números reales, excepto el cero y el rango solo incluyen los números -1 y 1.
c) 
Dominio (f)=R
La grafica es simétrica con respecto al eje Y
Rango (f)= 
 
5. Grafique las funciones definida por partes.
a) 
Solución:
Reescribiendo la función usando la definición de valor absoluto,
	Observamos que la función es lineal en todos los tramos, graficando tenemos
b) 
Solución:
Primero graficamos , para ello, observe que se ha procedido a graficar inicialmente la función , luego se ha reflejado en el eje x para obtener , de allí para obtener se ha desplazado la gráfica verticalmente 3 posiciones hacia arriba.
X
Y
0
x2
X
Y
0
_ x2
X
Y
0
_ x2+3
3
Finalmente tome de la última gráfica la parte negativa de x, es decir cuando .
Gráfica de f1X
Y
0
3
Ahora grafiquemos para ello, observe que se ha procedido a graficar inicialmente la función identidad , luego se ha desplazado la gráfica verticalmente 1 posición hacia arriba. 
X
Y
0
x+1
1
X
Y
0
x
Finalmente tome de la última gráfica lo que corresponde al intervalo .
Gráfica de f2
X
Y
0
4
5
Ahora grafiquemos para ello, observe que se ha procedido a graficar inicialmente la función raíz cuadrada, luego se ha desplazado la gráfica horizontalmente 1 posición hacia la izquierda. 
Finalmente tome de la última gráfica lo que corresponde al intervalo .
Gráfica de f3 
X
Y
0
4
2
Ahora unimos todas las gráficas es decir , esto resulta.
Gráfica de f 
X
Y
0
4
3
5
6. Grafique las funciones racionales. Muestre de manera clara las intersecciones y las asíntotas.
a) 
 
Solución:
· Dominio 
El dominio de la función son todos los números reales, excepto donde el denominador sea cero. Por tanto el dominio será:
Para hallar una Asíntota Vertical, hacemos: 
Luego, existe una asíntota vertical en 
· Rango: 
Para hallar el rango de la función despejamos la variable x, luego analizamos los valores posibles de la variable y.
Se observa que y puede tomar cualquier valor real, excepto cuando el denominador es cero, luego, el rango será:
Para hallar una Asíntota Horizontal, hacemos: 
Luego existe una asíntota horizontal cuando y = 1/2.
 
· Para hallar los Interceptos con el eje “x” (hacemos y = 0)
· Para hallar los Interceptos con el eje “y” (hacemos x =0)
La gráfica de la función quedará, así:
b) 
Solución:
· Dominio de “f”
El dominio de la función son todos los números reales, excepto donde el denominador sea cero. Por tanto el dominio será:
Para hallar una Asíntota Vertical, hacemos: 
Luego, existe una asíntota vertical en 
· Rango de “f”
Para hallar el rango de la función despejamos la variable x, luego analizamos los valores posibles de la variable y.
Se observa que y puede tomar cualquier valor real, excepto cuando el denominador es cero, luego, el rango será:
Para hallar una Asíntota Horizontal, hacemos: 
Luego existe una asíntota horizontal cuando y = _1.
· Para hallar los Interceptos con el eje “x” (hacemos y = 0)
· Para hallar los Interceptos con el eje “y” (hacemos x =0)
La gráfica de la función quedará, así:
7. Según las fuentes de la industria, el ingreso correspondiente a la industria de ventas a domicilio durante los años posteriores a su introducción, se puede aproximar mediante la función:
Donde I(t) mide el ingreso en miles de millones de soles y t se mide en años con t=0, correspondiente al año 2000. Calcule el ingreso al inicio de 2009.
Solución:
Datos:
I (t): Ingreso en miles de millones de soles
t : años
t = 0 (corresponde al año 2000)
t = 9 (corresponde al año 2009)
Nos piden el ingreso en el año 2009, entonces usamos la regla de correspondencia .
Por lo tanto el ingreso para el año 2009 será de 4,5 millones
8. Un cuerpo está en Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV). Su variación de velocidad respecto al tiempo está dado en la gráfica, abajo. Escribir la velocidad como un modelo funcional respecto al tiempo.
Solución:
Nos piden encontrar una función velocidad que dependa del tiempo, es decir
Velocidad = f (tiempo)
Vamos a escribir la función velocidad por tramos, teniendo en cuenta que es lineal en todas partes.
· 
Si entonces se ve del gráfico que: 
Como la función es lineal en este tramo, entonces suponemos que es de la forma:
Ahora evaluamos cuando t = 0 y t = 5 en la ecuación anterior.
Si t = 0, se tiene sustituyendo 
Si t = 5, se tiene sustituyendo 
Pero , entonces 
Así obtenemos: m = 6
Sustituyendo m y b en V1, obtenemos la función en el primer tramo:
· 
Si entonces se ve del gráfico que 	
Como la función es lineal en
este tramo, entonces suponemos que es de la forma:
Ahora evaluamos cuando t = 5 y t = 12,5 en la ecuación anterior.
Si t = 5, se tiene sustituyendo 
Si t = 12,5 se tiene sustituyendo 
Ahora al solucionar el sistema de ecuaciones lineales
Obtenemos: 
Sustituyendo m y b en V2, obtenemos la función en el segundo tramo:
· 
Si entonces se ve del gráfico que 
Como la función es lineal en este tramo, entonces suponemos que es de la forma:
Resolvemos como los casos anteriores y obtenemos la función en el tercer tramo: 
Por lo tanto la función quedaría:
9. En el concierto de Juanes los organizadores del concierto han establecido el siguiente esquema de pagos para VIP, costo por una entrada S/160. Si se compran 3 entradas se ofrece un descuento del 10% sobre el total, si se compran de 4 a más se ofrece un descuento del 40% sobre el total. Para realizar una proyección de los ingresos que podrían recibir los organizadores necesitan:
a) Establecer una relación entre el precio y el número de asistentes.
b) Indicar cual se considera una variable independiente y cual dependiente.
c) Graficar la relación establecida.
d) Si un grupo de 7 jóvenes se acercan a comprar su entrada ¿cuánto tendrían que pagar?
Solución:
Datos:
· El costo de 1 entrada = S/. 160.
· Por la compra de 3 entradas se da un descuento del 10% del total, es decir pagan sólo el 90% total.
· Po la compra de 4 a más entradas se da un descuento del 40% de total, es decir pagan sólo el 60% total.
· Asuma que x sea el número de asistentes.
a) Entonces la relación entre el precio y el número de asistentes está dada por la función:
Reescribiendo la función, tenemos:
b) x : número de asistentes (variable independiente)
P: precio de entrada (variable dependiente)
c) 
Gráfica
	
d) 
; los 7 jóvenes tendrán que pagar S/. 672.
17
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