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ondas planas

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Ondas em Planas
 Se asumirá que los 
vectores para los campos 
eléctrico y magnético en 
una onda em tienen un 
comportamiento específico 
espacio-tiempo, que es 
consistente con las 
ecuaciones de Maxwell
 Asuma una onda em que 
viaja en la dirección x con
y como se muestranE

B

Ondas em Planas, cont.
 La dirección x es la dirección de propagación
 se asume que está en la dirección y, y 
en la dirección z
 Ondas en las que los campos eléctrico y 
magnético están restringidos a ser paralelos 
a un par de ejes perpendiculares son 
llamadas ondas linealmente polarizadas
 También se asume que en cualquier punto 
del espacio, las magnitudes y 
de los campos depende de x, y de t
únicamente.
E

B

E E=

B B=

Rayos
 Un rayo es una línea a lo largo de la cual la onda 
viaja
 Todos los rayos para el tipo de ondas linealmente 
polarizadas que han sido discutidas son paralelos
 La colección de ondas es llamada una onda 
plana
 Una superficie que conecta los puntos de igual 
fase para todas las ondas, se llama un frente de 
onda, es un plano geométrico
Propiedades de las Ondas em
 La soluciones de la tercera y cuarta ecuación 
de Maxwell son onduladas, con ambos y 
que satisfacen la ecuación de onda.
 Ondas electromagnéticas viajan a la rapidez 
de la luz:
 Este es un resultado directo de la solución de las 
ecuaciones de Maxwell.
E B
1
o o
c
µ ε
=
Propiedades de las Ondas em, 2
 Los componentes de los campos eléctrico 
y magnético de las ondas planas 
electromagnéticas son perpendiculares 
entre sí y perpendiculares a la dirección 
de propagación.
 Esto puede resumirse diciendo que las 
ondas electromagnéticas son ondas 
transversales.
Propiedades de las Ondas em, 3
 Las magnitudes de y en el 
espacio vacío están relacionadas por la 
expresión:
 Esto también proviene de la solución de 
los diferenciales parciales obtenidos de las 
ecuaciones de Maxwell.
 Las ondas electromagnéticas obedecen 
al principio de superposición.
Ec
B
=
E

B

Derivación de la rapidez –
Algunos detalles 
 De las ecuaciones de Maxwell aplicadas al 
espacio vacío, las siguientes derivadas 
parciales pueden encontrarse:
 Estas tienen la forma de una ecuación 
general de onda con:
 Substituyendo los valores para μo y εo da c = 2.99792 x 108 m/s
2 2
2 2o o
BB
t x
ε µ ∂ ∂=
∂ ∂


2 2
2 2o o
EE
t x
ε µ ∂ ∂=
∂ ∂


1
o o
v c
µ ε
= =
Razón E sobre B
Algunos detalles
 La solución más simple de las ecuaciones 
diferenciales parciales es una onda 
sinusoidal:


 El número de onda angular es 
 es la longitud de onda
 La frecuencia angular es 
 es la frecuencia de la onda
( )
2 2
2 m2 ax coso o E E kx t
EE
t x
jω ϕε µ ∂ ∂= ⇒ +
∂
−
∂
=

 

( )max cosB B kx t kω ϕ= − +
  
2k π
λ
=
λ
f
2 fω π=
Razón E sobre B
Algunos detalles, Cont.
 La rapidez de la onda electromagnética 
es,
 Tomando derivadas parciales también se 
obtiene,
2
2
f f c
k
ω π λ
π
λ
= = =
max
max
EE f c
B B k
ω λ= = = =
Representación de Ondas em
 Esta es una representación 
pictórica (fotografía), en un 
instante, de la sinusoide, 
una onda plana linealmente 
polarizada moviéndose en 
la dirección x
 y varían 
sinusoidalmente con x
E B
Secuencia temporal de una 
Onda em
Ecuación de Onda 
Electromagnética en el vacío
 En ausencia de fuentes, y
 De la identidad vectorial:
 Para las ecuaciones de Maxwell:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )× × = ⋅ − ⋅ ⇒∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇ ⋅∇               A B C B A C C A B E E E
0 0 o oE B E B B Et t
ε µ∂ ∂∇ ⋅ = ∇ ⋅ = ∇× = − ∇× = +
∂ ∂
        
0ρ = 0J =

( )0B E
t
∂ ∇× − = ∇ −∇ ⋅∇ ∂ 
     
Ecuación de Onda Electromagnética 
en el vacío, Cont.
 En ausencia de fuentes,
 Se reconoce inmediatamente la ecuación de la 
onda de campo eléctrico. 
 Similarmente,
( ) 2B E B Et t
∂ ∂ ∇× − = −∇ ⋅∇ ⇒ − ∇× = −∇ ∂ ∂ 
       
2
2 2
2o o o oE E E Et t t
ε µ ε µ∂ ∂ ∂  = ∇ ⇒ = ∇ ∂ ∂ ∂ 
   
2
2
2o o B Bt
ε µ ∂ =⇒ ∇
∂
 
82.99792 11 0
o o
mc
sε µ
= = ×
 Solución general (convención de la parte 
real):
 es un vector constante, independiente de
bajo la hipótesis de onda plana ilimitada.
 Es solución de la ecuación de onda del 
campo eléctrico con:
 dirección
de propagación.
Solución de la Ecuación de Onda 
Electromagnética en el vacío. Onda Plana.
,y z
( )i kx t
maxE E e
ω ϕ− +=
 
1
o o
c
k
ω
ε µ
= =
c ci=


maxE

 Con:
 Similarmente:
 Campo eléctrico y
magnético son ondas
transversales
Onda Plana, Cont.
( )i kx t
maxE E e
ω ϕ− +=
 
max max x max y max zE E i E j E k= + +
 
 
( )i kx t
max max max x max y max zB B e B B i B j B k
ω ϕ− += ⇒ = + +
   
 
0 0
0 0
max x
max x
E E
B B
∇⋅ = → =
∇⋅ = → =
 
 
 y
 Significa que pueden ser polarizadas.
Onda Plana, Cont.
( ) ,i kx tmax max max y max zE E e E E j E k
ω ϕ− += = +
   

( ) ,i kx tmax max max y max zB B e B B j B k
ω ϕ− += = +
   

max y max z
o o max z max y
E B E cB
t
B E E cB
t
ε µ
∂
∇× = − → =
∂
∂
∇× = + → = −
∂
  
  
 Onda plana polarizada linealmente en el eje y:
 Convención de parte real:
Onda Plana, Cont.
( ) ,i kx tmax max max yE E e E E j
ω ϕ− += =
  

0max y max z max z max yE cB E cB= = − =
( ) ,i kx tmax max max zB B e B B k
ω ϕ− += =
   
( )( ) cos ,i kx tmax max max max yE E e E E kx t E E jω ϕ ω ϕ− += → = − + =
    

 Impedancia de la onda 
electromagnética:
 Igual que la impedancia para un circuito eléctrico:
 Y en presencia de medios materiales, se utiliza el 
campo magnético a cambio del campo de 
inducción magnética:
Onda Plana, Cont.
máx máxV I Z∆ =
0 0 0
000
E E E
E H Z Z v
BBH
µ µ
µ
≡ ⇒ = = = =
 
 
 

 

B H←
 
 Impedancia de la onda 
electromagnética en el vacío:
Onda Plana, Cont.
0 0 0
0 0 0
0 00
0
377
E E
Z Z Z c
H B
µ
µ
ε
µ
= ⇒ = = = = ≈ Ω
 
 
 

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