Polinomio_Villarreal

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Polinomio de Federico Villarreal
Matemática Computacional I
Prof. Varillas Rodriguez Gabriel
Villalba Salazar, Raul
Suárez Fretell, Eduardo
Quispe Loza, Alexander
Quispe Ramirez, Jose
Manturano Mayo, Juan
1 de agosto del 2020
Estructura de la exposición:
VILLALBA SALAZAR RAUL =⇒ Resumen, teorema y demostración del
Polinomio de Villarreal.
SUAREZ FRETELL EDUARDO =⇒ Proposiciones y corolarios con sus
respectivas demostraciones.
QUISPE LOZA ALEXANDER =⇒ Ejemplo para el caso finito.
MANTURANO MAYO JUAN =⇒ Ejemplo para el caso infinito.
QUISPE RAMIREZ JOSE =⇒ Ejemplos varios realizados en MATLAB.
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Resumen:
La búsqueda de una fórmula para calcular los términos del desarrollo de la
potencia m−ésima de un polinomio P(x) fue resuelta por el egregio mate-
mático peruano Federico Villarreal, a través del estudio de series infinitas,
mostrando el resultado inclusive para una potencia compleja. Este novedoso
método no es una generalización del binomio de Newton, pues este últi-
mo ya se encuentra generalizado, además ambos métodos se desarrollan en
circunstancias y tiempos distantes.
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Teorema: (Polinomio de Villarreal)
Sea n ∈ N. Considere un polinomio en la variable x;
P(x) = a0 + a1x + . . . + anxn, un polinomio de grado n con
a0, a1, . . . , an ∈ R, a0 6= 0 y m ∈ R.
Entonces:
[P(x)]m = b0 +
∞∑
k=1
bkxk
Con:
b0 = am0
bk =
n∑
j=1
j≤k
bk−jCj
(Dj
k − 1
)
∀k ≥ 1
Siendo:
Cj =
aj
a0
, Dj = j(m + 1) ∀j = 1, 2, . . . , n
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Demostración:
Sea Q(x) = [P(x)]m, sabemos que tanto P(x) como Q(x) son
diferenciables, así:
Q(x) = [P(x)]m
Q′(x) = m [P(x)]m−1 P ′(x)
P(x)Q′(x) = m [P(x)]m P ′(x)
Tenemos:
P(x)Q′(x) = mQ(x)P ′(x)
Considerando:
P(x) = a0 + a1x + . . . + anxn =
n∑
i=0
aix i
P ′(x) = a1 + 2a2x + . . . + nanxn−1 =
n∑
i=1
iaix i−1
Q(x) = [P(x)]m =
∞∑
k=0
bkxk b0 = am0
Q′(x) =
∞∑
k=1
kbkxk−1
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Demostración:
Reemplazando en la ecuación anterior:
P(x)Q′(x) = mQ(x)P ′(x)( n∑
i=0
aix i
)( ∞∑
k=1
kbkxk−1
)
= m
( ∞∑
k=0
bkxk
)( n∑
i=1
iaix i−1
)
Reagrupando según las potencias de x:
∞∑
k=0
(k+1∑
i=1
iak+1−ibi
)
xk = m
∞∑
k=0
( k∑
i=1
(k + 1− i) ak+1−ibi
)
xk
∞∑
k=0
( k∑
i=0
(i + 1)ak−ibi+1
)
xk =
∞∑
k=0
( k∑
i=0
m(k + 1− i)ak+1−ibi
)
xk
Pasando a restar a uno de los miembros:
0 =
∞∑
k=0
[ k∑
i=0
m(k + 1− i)ak+1−ibi −
k∑
i=0
(i + 1)ak−ibi+1
]
xk
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Demostración:
Por tanto los coeficientes de esta última serie deben ser todos nulos, es
decir: 0 =
k∑
i=0
m(k + 1− i)ak+1−ibi −
k∑
i=0
(i + 1)ak−ibi+1
0 =
k∑
i=0
m(k + 1− i)ak+1−ibi −
k−1∑
i=0
(i + 1)ak−ibi+1 − (k + 1)a0bk+1
(k + 1)a0bk+1 =
k∑
i=0
m(k + 1− i)ak+1−ibi −
k−1∑
i=0
(i + 1)ak−ibi+1
(k+1)a0bk+1 = m(k+1)ak+1b0+
k∑
i=1
m(k+1−i)ak+1−ibi−
k∑
i=1
iak−i+1bi
(k + 1)a0bk+1 = m(k + 1)ak+1b0 +
k∑
i=1
[m(k + 1− i)] ak−i+1bi
(k + 1)a0bk+1 =
k∑
i=0
[m(k + 1)− i(m + 1)] ak−i+1bi
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Demostración:
bk+1 =
k∑
i=0
[m(k + 1)− i(m + 1)
k + 1
](ak−i+1
a0
)
bi
bk =
k−1∑
i=0
bi
(ak−i
a0
)[mk − i(m + 1)
k
]
Luego: Q(x) =
∞∑
k=0
bkxk , donde b0 = am0 , para k ≥ 1:
bk =
k−1∑
i=0
bi
(ak−i
a0
)[mk − i(m + 1)
k
]
Ahora bien, solo los últimos n−sumandos son no nulos, por lo tanto
eliminando aquellos términos nulos podemos reescribir esta sumatoria de la
siguiente forma:
bk =
k−1∑
i=k−n
bi
(ak−i
a0
)[mk − i(m + 1)
k
]
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Demostración:
Haciendo la sustitución j = k − i , podemos reescribir la sumatoria:
bk =
n∑
j=1
j≤k
bk−j
( aj
a0
)[ j(m + 1)− k
k
]
Definiendo Cj =
aj
a0
, Dj = j(m + 1), ∀j = 1, . . . , n, se tiene que:
[P(x)]m = am0 +
∞∑
k=0
bkxk
donde:
bk =
n∑
j=1
j≤k
bk−jCj
(Dj
k − 1
)
∀k ≥ 1
�
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Proposición:
Sea P(x) un polinomio en la variable x de grado n. Entonces
deg ([P(x)]m) = mn, para todo m ∈ N.
Demostración:
Sea el conjunto X = {s ∈ N : deg ([P(x)]s) = sn} ⊂ N. Dado que
deg
(
[P(x)]1
)
= deg(P(x)) = n = 1 · n, 1 ∈ X .
Considere s ∈ X , vamos a probar que s + 1 ∈ X .
Dado que:
deg
(
[P(x)]s+1
)
= deg (P(x) · [P(x)]s)
= deg(P(x)) + deg ([P(x)]s) = n + sn = (s + 1)n
Luego, s + 1 ∈ X , y por tanto X = N, es decir:
deg ([P(x)]m) = mn ∀m ∈ N
�
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Corolario:
Sea n ∈ N y sea P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + ann un polinomio de grado
n en la variable x . Entonces:
[P(x)]m = am0 +
mn∑
k=1
bkxk
tal que para k ≥ 1:
bk =
n∑
j=1
j≤k
bk−jCj
(Dj
k − 1
)
donde Cj =
aj
a0
, Dj = j(m + 1), ∀j = 1, 2, . . . , n
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Demostración:
Por el método del polinomio de Villarreal se tiene que:
[P(x)]m = am0 +
∞∑
k=1
bkxk
Suponga que para p > mn se tiene que bp 6= 0, entonces
deg ([P(x)]m) ≥ p > mn
Lo cual contradice la proposición anterior, por tanto para p > mn se tiene
que bp = 0 y se comprueba el resultado.
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