PRACTICA B ANALISSIS - ARQUITECTURA

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PRACTICA DE ANALISIS MATEMATICO 
 
1. Un rectángulo mide 10 metros de altura por 20 metros de base. Si la base aumenta a razón constante 
de un metro por minuto y la altura disminuye a una razón constante de dos metros por minuto, ¿con 
qué velocidad varía el área del rectángulo? El área, ¿aumenta o disminuye? 
2. De un recipiente, que tiene la forma de una pirámide truncada invertida de base cuadrada, de 10 
metros de altura, de 10 metros el lado del cuadrado más grande y de 5 metros el lado del cuadrado más 
pequeño, y que está lleno de agua a media altura, se extrae el líquido a una razón constante de un metro 
cúbico por minuto. (a) ¿Con qué rapidez baja el nivel del agua? (b) Si, por otro lado, el nivel del agua 
sube un metro por hora al bombear agua en el reservorio cuando está lleno hasta la mitad, ¿cuál es el 
caudal de agua que se introduce? 
3. ¿Con qué rapidez varía el área de la corona que queda entre dos circunferencias concéntricas de radios 
10 metros y 20 metros respectivamente, si el diámetro de la más pequeña aumenta un metro por hora 
y el diámetro de la más grande disminuye dos metros por hora? 
4. Una partícula se mueve en una trayectoria elíptica cuya forma está dada por la ecuación por 
(
𝑥
3
)
2
 + (
𝑦
2
)
2
 = 1. Supongamos que las longitudes están expresadas en metros. Si se sabe que en punto 
de la abscisa 1, ésta se incrementa a una razón de dos metros por segundo, ¿qué sucede con la ordenada 
del punto con la abscisa dada? Considere los casos que se derivan según los cuadrantes en los que se 
halla la ordenada. 
5. Halle los valores de α y β en R de modo que la función f definida por 
𝑓(𝑥) = {|𝑥|𝛼 𝑠𝑖𝑛
1
|𝑥|
𝛽 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0 𝑦 0 𝑠𝑖 𝑥 = 0, sea continua en 0 y derivable en 0. 
6. Halle el valor de α elemento de R de modo que la función f definida por 
𝑓(𝑥) = {|𝑥|𝛼 𝑠𝑖𝑛
1
|𝑥|
 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0 𝑦 0 𝑠𝑖 𝑥 = 0, sea continua en 0 y derivable en 0. 
7. Analizar y graficar 𝑓(𝑥) = 2𝑥5∕3 − 5𝑥4∕3 
8. Proporcionar la definición de un punto crítico y representar gráficamente una función ƒ que muestre 
los diferentes tipos de puntos críticos. 
9. Dado un triángulo isósceles cuya base mide 16 cm. y cuyos lados congruentes están disminuyendo a 
razón de 3 mm/seg. , ¿a qué razón está variando el área de éste, cuando la longitud de los lados 
congruentes es de 10 cm. ? 
10. La ordenada del punto que describe la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 = 25 decrece a una velocidad de 
3/2 cm/seg ¿A qué velocidad varía la abscisa del punto cuando la ordenada llega a ser igual a 4 cm ? 
11. Se extrae el agua de un reservorio cónico de 8 pies de diámetro y 10 pies de profundidad (vértice 
hacia abajo) a la velocidad constante de 5 pies3 /min. ¿Qué tan rápido está bajando el nivel del agua 
cuando la profundidad del agua en el reservorio es de 6 pies?. 
12. Un niño vuela un cometa a una altura de 300 pies mientras el viento aleja el cometa del niño 
horizontalmente a una velocidad de 25 pies/seg. ¿Con qué rapidez está el niño soltando la cuerda 
cuando el cometa se encuentra a 500 pies de él?. 
13. Un policía en un carro de patrulla se aproxima a una intersección a una velocidad de 40 m/seg . Cuando 
se encuentra a 125 m. de la intersección, un carro la atraviesa viajando perpendicularmente al policía a 
una velocidad de 30 m/seg. Si el policía enfoca su luz sobre el carro, ¿con qué rapidez está girando su 
luz dos segundos después, suponiendo que ambos vehículos continúan con sus velocidades originales? 
14. Demuestre que la derivada de una función par es una función impar, y que la derivada de una función 
impar es una función par. Analizar el reciproco de ambas afirmaciones. 
15. Una escalera de 25 pies de largo se apoya· contra una pared vertical. Si la base de la escalera se tira 
horizontalmente alejándola de la pared a 4 p/seg. , ¿qué rápido resbala la parte superior de la escalera 
cuando la base se encuentra a 1 5 pies de la pared?. 
16. . Una persona está caminando sobre un puente a razón de 5 pies/seg mientras que una barca pasa por 
debajo del puente inmediatamente debajo de él a 10 pies/seg. El puente está a 20 pies sobre la barca. 
¿Con qué rapidez se están alejando el hombre y la barca 2 segundos después? 
17. Sean ƒ y g dos funciones. Demostrar que si ƒ y g son cóncavas hacia arriba en el intervalo (a, b), 
entonces ƒ + g es también cóncava 
18. Demostrar que si ƒ y g son positivas, crecientes y cóncavas hacia arriba en el intervalo (a, b), entonces 
ƒg es también cóncava. 
19. En los ejercicios 1 a 4, determinar si el enunciado es verdadero o falso. Si es falso, explicar la razón o 
proporcionar un contraejemplo. 
1. La gráfica de todo polinomio cúbico tiene precisamente un punto de cambio de tipo de concavidad. 
2. La gráfica de ƒ(x) igual a 1/x es cóncava hacia abajo para x menor que 0 y cóncava hacia arriba para x 
mayor que 0, y por ello tiene un punto de inflexión en x igual a 0. 
3. Si ƒ prima de (c) es mayor que 0, entonces ƒ es cóncava hacia arriba en x igual a c. 
4. Si ƒ dos prima en (2) es mayor que 0, entonces la gráfica de ƒ debe tener un punto de cambio de tipo 
de concavidad en x igual a 2.