Algebra-TyP-Sn Marcos VS

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M ìkhaild Flores P.
RLGEBRH
Teoria y práctica
► Exámenes UNI desarrollados ►Actualizado según últimos ►Desarrollo completo 
por temas v con claves prospectos de todo el curso
► Nuevos problemas resueltos »claves para todos los 
V propuestos tipo UNI problemas propuestos
COLECCION
U N n iE N O A
Mikhaild Flores R
RLGEBRO
Teoría y práctica
E d ito r ia l 
COLECCIÓN;#LEC C
J l \ l E ^'üU N I I I E N C I A5 A R I E N S M 4M
Á lg h b r a ; T e o r ìa y práctica 
C olección U n ic ie n c ia Sapiens 
M ik h a il d F lores P.
© Mikhaild Flores R, 2007
Asesoría académica: Salvador Timoteo V.
© Editorial San Marcos E. I. R. L., editor 
Jr. Dávalos Lissón 135, Lima, Lima, Lima 
Teléfono; 331-1522 
RUC: 20260100808
E-mail: informes@editorialsanmarcos.com
Diseño de portada; Gustavo Tuppia 
Composición de interiores: Gina Condori 
Responsable de edición; Alex Cubas
Primera edición; 2007 
Segunda edición; 2014 
Tercera edición: 2015 
Primera reimpresión; abril de 2018 
Tiraje; 500 ejemplares
Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú
N.° 2018-03930
ISBN: 978-612-315-276-5
Registro de proyecto editorial N.° 31501011800267
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra 
sin la previa autorización escrita del autor y el editor.
Impreso en el Perú / Printed in Peru
Pedidos:
Jr. Dávalos Lissón 135, Lima 
Teléfono: 433-7611
E-mail: ventasoficina@editorialsanmarcos.com 
www.editorialsanmarcos.com
Impresión;
Editorial San Marcos de Aníbal Jesús Paredes Galván
Av. Las Lomas 1600, Urb. Mangomarca, San Juan de Lurigancho, Lima, Lima
RUC; 10090984344
Publicado en mayo de 2018
mailto:informes@editorialsanmarcos.com
mailto:ventasoficina@editorialsanmarcos.com
http://www.editorialsanmarcos.com
INDICE
Presentación................................................................................................................................................. 11
CAPÍTULO 01: LÓGICA PROPOSICIONAL
Biografía: Gottlob Frege............................................................................................................................... 13
Enunciado..................................................................................................................................................... 14
Proposición................................................................................................................................................... 14
Variables lógicas........................................................................................................................................... 14
Clases de proposiciones............................................................................................................................... 14
Conectivos lógicos........................................................................................................................................ 14
Tablas de verdad o Wilttgenstein.................................................................................................................. 14
Estudio de los conectivos lógicos................................................................................................................. 14
Tautología, contradicción y contingencia...................................................................................................... 15
Problemas resueltos..................................................................................................................................... 17
Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 29
Problemas propuestos.................................................................................................................................. 32
CAPÍTULO 02; CONJUNTOS
Biografía: Georg Cantor............................................................................................................................... 39
Definición...................................................................................................................................................... 40
Nomenclatura............................................................................................................................................... 40
Relación de pertenencia (e )......................................................................................................................... 40
Determinación de un conjunto...................................................................................................................... 40
Clases de conjuntos...................................................................................................................................... 40
Relaciones entre conjuntos.......................................................................................................................... 40
Comparación entre conjuntos....................................................................................................................... 41
Representación gráfica de los conjuntos...................................................................................................... 41
Operaciones con conjuntos........................................................................................................................... 41
Número de elementos de un conjunto.......................................................................................................... 43
Problemas resueltos..................................................................................................................................... 45
Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 58
Problemas propuestos.................................................................................................................................. 60
CAPÍTULO 03: EXPONENTES Y RADICALES EN IB
Biografía; Christoph Rudolff......................................................................................................................... 67
Leyes de exponentes.................................................................................................................................... 68
Ecuaciones exponenciales........................................................................................................................... 70
Problemas resueltos..................................................................................................................................... 71
Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 82
Problemas pospuestos.................................................................................................................................. 84
CAPÍTULO 04: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Biografía; Jean D’AIembert........................................................................................................................... 89
Conceptos previos........................................................................................................................................ 90
Expresiones algebraicas............................................................................................................................... 90
Expresiones trascendentes........................................................................................................................... 91
Término algebraico....................................................................................................................................... 91
Clasificación de las expresiones algebraicas............................................................................................... 91
Valor numérico de un polinomio y cambio de variables............................................................................... 91
Problemasresueltos..................................................................................................................................... 93
Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 97
Problemas propuestos.................................................................................................................................. 98
CAPÍTULO 05: GRADOS
Biografía: Simón Stevin................................................................................................................................ 101
Definición...................................................................................................................................................... 102
Clases de grados.......................................................................................................................................... 102
Problemas resueltos..................................................................................................................................... 104
Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 108
Problemas propuestos.................................................................................................................................. 109
CAPÍTULO 06: POLINOMIOS ESPECIALES
Biografía: Évariste Galois............................................................................................................................. 113
Definición...................................................................................................................................................... 114
Polinomio homogéneo.................................................................................................................................. 114
Polinomio ordenado...................................................................................................................................... 114
Polinomio completo....................................................................................................................................... 114
Polinomio completo y ordenado............................................................................ ....................................... 114
Polinomios idénticos..................................................................................................................................... 114
Polinomios idénticamente nulos................................................................................................................... 114
Problemas resueltos..................................................................................................................................... 116
Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 120
Problemas propuestos.................................................................................................................................. 123
CAPÍTULO 07: MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA - PRODUCTOS NOTABLES
Biografía: Adrien-Marie Legendre................................................................................................................. 127
Mulliplicación algebraica............................................................................................................................... 128
Productos notables....................................................................................................................................... 128
Problemas resueltos..................................................................................................................................... 131
Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 143
Problemas propuestos.................................................................................................................................. 144
CAPÍTULO 08: DIVISIÓN ALGEBRAICA - COCIENTES NOTABLES
Biografía: Paolo Ruffini......................................................... 149
División algebraica....................................................................................................................................... 150
División de polinomios.................................................................................................................................. 150
Regla de Ruffini............................................................................................................................................ 152
Teorema del residuo...................................................................................................................................... 153
Divisibilidad poiinómica................................................................................................................................. 154
Residuos especiales..................................................................................................................................... 155
Cocientes notables....................................................................................................................................... 155
Probiemas resueltos..................................................................................................................................... 157
Problemas de examen de admisión UNI............................................................................................... 169
Problemas propuestos.................................................................................................................................. 171
CAPÍTULO 09: FACTORÍZACÍÓN
Biografía: Jean-Robert Argand..................................................................................................................... 177
Definición...................................................................................................................................................... 178
Polinomio primo................................................................................................................................................. 178
Métodos de faetorización.............................................................................................................................. 178
Faetorización reciproca o recurrente............................................................................................................ 184
Método de los artificios................................................................................................................................. 186
Faetorización simétrica y alternativa............................................................................................................ 187
Problemas resueltos..................................................................................................................................... 189
 _________________ A lgebra ■
Problemas de examen de admisión UNI................ 198
Problemas propuestos.................................................................................................................................. 200
CAPÍTULO 10: MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Biografìa: William Homer.............................................................................................................................. 205
Máximo común divisor (MCD)....................................................................................................................... 206
Mínimo común múltiplo (MCM)..................................................................................................................... 206
Fracciones algebraicas.................................................................................................................................208
Problemas resueltos..................................................................................................................................... 213
Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 218
Problemas propuestos.................................................................................................................................. 219
CAPÍTULO 11: POTENCIACIÓN • BINOMIO OE NEWTON
Biografía: Isaac Newtori............................................................................................................................... 225
Factorial de un número entero y positivo..................................................................................................... 226
Cofactorial o semifactorial............................................................................................................................ 226
Análisis combinatorio.................................................................................................................................... 227
Binomio de Newton...................................................................................................................................... 232
El triángulo de Pascal o Tartaglia................................................................................................................. 237
Problemas resueltos..................................................................................................................................... 239
Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 250
Problemas propuestos.................................................................................................................................. 252
CAPÍTULO 12; RADICACIÓN
Biografía: Gerolamo Cardano....................................................................................................................... 257
Definición...................................................................................................................................................... 258
Clasificación.................................................................................................................................................. 258
Homogeneización de radicales..................................................................................................................... 258
Valor aritmético de un radical....................................................................................................................... 258
Valor algebraico de un radical...................................................................................................................... 258
Raíz cuadrada de polinomios....................................................................................................................... 258
Transformación de radicales dobles a suma o diferencia de radicales simples o sencillos........................ 259
Racionalización............................................................................................................................................ 261
Problemas resueltos..................................................................................................................................... 263
Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 273
Problemas propuestos.................................................................................................................................. 275
CAPÍTULO 13: NÚMEROS COMPLEJOS
Biografía: Lodovico Ferrari........................................................................................................................... 281
Cantidades imaginarias................................................................................................................................ 282
Potencias de la ur\idad imaginaria................................................................................................................ 282
Número complejo......................................................................................................................................... 282
Representación gráfica de los números complejos...................................................................................... 283
Operaciones con números complejos.......................................................................................................... 283
Propiedades de las raíces cúbicas de la unidad.......................................................................................... 285
Fórmula de Euler........................................................................................................................................... 285
Problemas resueltos..................................................................................................................................... 288
Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 300
Problemas propuestos.................................................................................................................................. 303
CAPÍTULO 14: MATRICES Y DETERMINANTES
Biografía: Gabriel Cramer............................................................................................................................. 309
Matrices......................................................................................................................................................... 310
Orden de una matriz..................................................................................................................................... 310
Matrices especiales...................................................................................................................................... 310
Igualdad de matrices.................................................................................................................................... 310
Operaciones con matrices............................................................................................................................ 310
Transpuesta de una matriz........................................................................................................................... 311
Taza de una matriz A [TrazíA)]..................................................................................................................... 312
Matrices cuadradas especiales.................................................................................................................... 312
Caracteristicas notables de algunas matrices cuadradas............................................................................ 312
Determinantes.............................................................................................................................................. 312
Menor complementario de una componente................................................................................................ 313
Determinante de Vandennonde.................................................................................................................... 313
Matriz inversa............................................................................................................................................... 313
Problemas resueltos..................................................................................................................................... 316
Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 331
Problemas propuestos..................................................................................................................................333
CAPÍTULO 15: TEORÍA DE ECUACIONES
Biografía: Al-Juarismi ............................................................................................................................... 341
Igualdad......................................................................................................................................................... 342
Clasificación................................................................................................................................................. 342
Conjunto solución de una ecuación (CS)..................................................................................................... 342
Clases de ecuaciones.................................................................................................................................. 342
Teorema para transformar ecuaciones en equivalentes............................................................................... 342
Ecuaciones de primer grado......................................................................................................................... 343
Sistemas de ecuaciones............................................................................................................................... 347
Sistema de ecuaciones lineales o de primer grado...................................................................................... 348
Sistemas lineales: el método de eliminación de Gauss y Gauss-Jordan................................ 354
Ecuaciones de segundo grado..................................................................................................................... 360
Ecuaciones de grado superior...................................................................................................................... 365
Ecuaciones recíprocas................................................................................................................................. 367
Sistemas de ecuaciones de segundo grado y grado superior...................................................................... 368
Ecuaciones cúbicas y cuárticas.................................................................................................................... 369
Problemas resueltos..................................................................................................................................... 373
Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 386
Problemas propuestos.................................................................................................................................. 389
CAPÍTULO 16: DESIGUALDADES - INECUACIONES - VALOR ABSOLUTO
Biografía: Bernhard Riemann....................................................................................................................... 401
Desigualdades.............................................................................................................................................. 402
Axiomas de relación de orden...................................................................................................................... 402
Relaciones que expresan desigualdades..................................................................................................... 402
Clases de desigualdades............................................................................................................................. 402
Intervaio......................................................................................................................................................... 403
Propiedades generales de las desigualdades.............................................................................................. 403
Inecuaciones................................................................................................................................................ 404
Gráfica de desigualdades con dos variables................................................................................................ 407
Valor absoluto............................................................................................................................................... 411
Ecuaciones con valor absoluto..................................................................................................................... 411
Inecuaciones con valor absoluto.................................................................................................................. 412
Problemas resueltos..................................................................................................................................... 415
Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 429
Problemas propuestos.................................................................................................................................. 432
CAPÍTULO 17: PROGRAMACIÓN LINEAL
Biografía: George Dantzig............................................................................................................................ 443
Definición............... 444
Desigualdades lineales.................................................................................................................................. 444
Sistema de inecuaciones.............................................................................................................................. 444
Problema general.......................................................................................................................................... 446
Problemas resueitos...................................................................................................................................... 452
Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 462
Problemas propuestos................................................................................................................................... 465
c a p ít u l o 18: SUCESIONES Y SERIES
Biografía: Gustav Dirichiet............................................................................................................................ 469
Sucesiones.................................................................................................................................................... 470
Series............................................................................................................................................................ 470
Problemas resueltos...................................................................................................................................... 474
Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 483
Problemas propuestos.................................................................................................................................. 485
CAPÍTULO 19: PROGRESIONES
Biografía: Fibonacci....................................................................................................................................... 491
Progresión..................................................................................................................................................... 492
Progresiones aritméticas (PA)...................................................................................................................... 492
Progresiones geométricas (PG)................................................................................................................... 495
Problemas resueltos...................................................................................................................................... 499
Problemas de examende admisión UNI...................................................................................................... 506
Problemas propuestos..i............................................................................................................................... 508
CAPÍTULO 20: RELACIONES Y FUNCIONES
Biografía: Leonhard Euler............................................................................................................................. 513
Definiciones previas..................................................................................................................................... 514
Relación......................................................................................................................................................... 514
Función......................................................................................................................................................... 514
Dominio y rango de una función................................................................................................................... 514
Función de variable real............................................................................................................................... 515
Funciones especiales y representación gráfica............................................................................................ 517
Gráfica de funciones de fonmas especiales.................................................................................................. 518
Tipos de funciones: inyectiva, suryectiva, biyectiva..................................................................................... 519
Operaciones con funciones.......................................................................................................................... 520
Composición de funciones........................................................................................................................... 520
Funciones monótonas crecientes y decrecientes......................................................................................... 520
Función inversa............................................................................................................................................ 521
Función exponencial..................................................................................................................................... 521
Gráfica de la función exponencial................................................................................................................ 521
Función exponencial de base e .................................................................................................................... 522
Inecuaciones exponenciales........................................................................................................................ 522
Función logarítmica...................................................................................................................................... 523
Gráfica de la función logarítmica.................................................................................................................. 523
Problemas resueltos..................................................................................................................................... 525
Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 536
Problemas propuestos.................................................................................................................................. 538
CAPÍTULO 21: LOGARITMOS
Biografía: John Napier.................................................................................................................................. 547
Definición...................................................................................................................................................... 548
Igualdades fundamentales........................................................................................................................... 548
Propiedades generales................................................................................................................................. 548
Cologaritmo (colog)...................................................................................................................................... 549
Antilogaritmo (antilog)................................................ .................................................................................. 549
Logaritmos cxtmo progresiones..................................................................................................................... 549
Sistema de logaritmos................................................................................................................................... 549
Logaritmos de números negativos................................................................................................................ 550
Operaciones con logaritmos decimales........................................................................................................ 551
El número e y los logaritmos naturales........................................................................................................ 552
Problemas resueltos...................................................................................................................................... 555
Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 562
Problemas propuestos................................................................................................................................... 564
CAPÍTULO 22: LÍMITES Y DERIVADAS
Biografía; Gottfried Leibniz............................................................................................................................ 569
Limite............................................................................................................................................................. 570
Formas determinadas.................................................................................................................................... 570
Formas indeterminadas................................................................................................................................. 570
Derivadas...................................................................................................................................................... 571
Regla de L'Hospital-Bernoulli....................................................................................................................... 572
Máximos, mínimos y representación gráfica de funciones........................................................................... 575
Problemas resueltos...................................................................................................................................... 576
Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... 588
Problemas propuestos............................................................................................... 590
PRESENTACION
Este texto propone el desarrollo de los conceptos más elementales del curso, para llegar a temas 
recientemente incorporados en los exámenes de admisión, según el prospecto de la UNI . En suma, la 
intención es que el estudiante encuentre un curso completo de Álgebra elemental de acuerdo a las últimas 
exigencias.
En cuanto a la propuesta pedagógica de cada tema, el joven estudiante encontrará la teoría respectiva 
y luego su parte práctica, es decir, una primera que consta de ejercicios de aplicación y la otra, donde se 
proponen problemas resueltos, probiemas de examen de admisión UNI y problemaspropuestos con claves.
La sección de ejercicios de aplicación, se ha considerado en aquelios capítulos que, según nuestra 
experiencia, ofrecen cierta dificultad en su comprensión; son ejercicios bastante sencillos. Y tienen como in­
tención que el estudiante vaya familiarizándose con esta parte de la ciencia matemática sin problemas. Inclu­
sive puede servir de material de aula a los profesores de educación secundaria, ya que están dosificados de 
menor a mayor grado de dificultad, además de contar con sus respuestas respectivas después de los enun­
ciados. En cuanto a la sección de problemas resueltos y propuestos, estos están presentados de acuerdo al 
grado de dificultad de los mismos. Las repuestas de estos últimos, se encuentran al fínal de cada capítulo.
Se ha sido cuidadoso en cuanto a la teoría expuesta, respetando la rigurosidad matemática, pero a 
su vez se ha sido concreto en muchos aspectos ya que (como se entenderá) la dimensión del libro no lo 
permite; de ia misma manera, se emplea un lenguaje sencillo en cuanto a la explicación teórica y en la parte 
práctica se ha utilizado el criterio de lo fácil a lo complejo, por eso es que sí el lector da un recorrido visual 
a las páginas, notará que (en la parte de ejercicios, problemas resueltos y propuestos) los primeros de ellos 
son muy fáciles y progresivamente se van haciendo un poco más difíciles en cuanto a su resolución, es decir, 
el libro es para estudiantes de todo nivel.
En cuanto a los capítulos, el estudiante podrá encontrar los temas ciásicos de: iógica proposicional, 
conjuntos, exponentes y radicales en IR, expresiones algebraicas, grados, polinomios especiales, multipli­
cación algebraica, productos notables, división algebraica, cocientes notables, factorízacíón, MCD y MCM, 
fracciones algebraicas, potenciación, binomio de Newton, radicación, números complejos, teoría de ecua­
ciones, desigualdades, inecuaciones, sucesiones y series, progresiones, logaritmos. Se han incluido los 
capítulos de: matrices y determinantes, programación lineal, relaciones y funciones, límites y derivadas.
Esperamos que esta publicación logre convertirse en un importante auxiliar pedagógico para todos los 
estudiantes de educación secundaria, preuniversitaria y superior, además que logre aportar en su prepara­
ción para afrontar con éxito el examen de admisión y en su posterior desarrollo profesional. Si este texto 
logra ser parte fundamental en la construcción de un futuro profesional peruano, entonces nos daremos por 
satisfechos.
El Editor
Lógica 
proposicional
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a
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o
Friedrich Ludwig Gottlob Fre§e 
nació el 8 de noviembre de 1848 
en Wismar y murió el 26 de ju­
lio de 1925 en Bad Kleinen. Fue 
un matemático. lógico y filósofo 
alemán, padre de la lógica ma­
temática y la filosofía analítica.
Frege es am pliam ente reconoci­
do como el m ayor lógico desde 
Aristóteles. Comenzó sus estu­
dios en la Universidad de Jena 
en 1869 trasladándose a Gotinga 
para com pletar sus estudios de 
Física. Química, Filosofía y Ma­
temáticas. licenciándose en esta 
última en 1873.
En 1879. Frege publicó su revo­
lucionaria obra titulada Concep- 
tografía o Escritura de concep­
tos. en la que sentó las bases de 
la lógica m atem ática m oderna.
Mediante la introducción de una 
nueva sintaxis, con la inclusión de los llamados cuantificadores «para todo» o «para ai menos 
un» permitió formalizar una enorm e cantidad de nuevos argumentos. También fue el primero 
en distinguir la caracterización formal de las leyes lógicas de su contenido semántico.
Frege fue un defensor deí logícismo y de la ¡dea de que las m atem áticas son reducibles a la 
lógica, en el sentido de que las verdades de la m atem ática son deducibles de las verdades de 
la lógica. Sin embargo, su defensa del logicismo era de alcance limitado, aplicándola solo a la 
aritmética y a la teoría de conjuntos, puesto que Frege perm aneció en gran m edida feantiano 
respecto de la geometría. Su obra titulada Leyes básicas de la aritmética fue un intenio de llevar 
a cabo el proyecto logicista.
Fuente: Wifeipedia
<4 ENUNCIADO
Es toda frase u oración (escrita o hablada).
Ejemplos;
El muro está hecho de ladrillo 
Quiero ese juguete.
¡Fuera!
¿Quién es?
2 + 3 = 5
<<l PROPOSICIÓN
Es aquel enunciado al que se le puede asignar sola­
mente uno de los llamados valores de verdad (verda­
dero o falso).
Ejemplos:
El azufre es de color amarillo.
Los mamíferos son vertebrados.
Los canguros se encuentran en Australia.
No se consideran proposiciones a las preguntas, inter­
jecciones, mandatos, deseos, dudas o a cualquier otro 
enunciado que no indique una vendad o falsedad. 
Ejemplos:
¿Cuál es tu nombre?
¡Eder, ayúdame!
Apaga el ventilador 
¡Fuera!
<4 VARIABLES LÓGICAS
En el lenguaje de ia lógica las proposiciones se denotan 
por lo general con las siguientes letras del alfabeto: p, 
q. r, s, t, etc.
Ejemplos:
P : Felipe es futbolista 
P
Q: Mario es ingeniero y Rosa es doctora
p q
^ CLASES DE PROPOSICIONES 
Simples o atómicas
Son aquellas que están compuestas de una sola pro­
posición.
Ejemplos:
p: Roberto estudia.
q; La mesa es de color manrón.
Pueden ser de dos tipos:
I. Predicativa; cuando establece una característica 
o cualidad del sujeto.
Ejemplo:
p: Pedro es basquetbolista.
ti. Relacionante: cuando establece una comparación 
entre dos o más sujetos.
Ejemplo:
q: Eder es más fuerte que Jorge.
Compuestas o moleculares
Aquellas que están compuestas de dos o más propo­
siciones.
Ejemplos:
Pedro es marino y Raúl es gimnasta
p q
Luis se encuentra en Lima o se encuentra en Europa 
P q
<4 CONECTIVOS LÓGICOS
Son símbolos que permiten ligar o enlazar una proposi­
ción con otra. Entre los cuales tenemos:
Símbolo Operación Significado
negación no p
V disyunción inclusiva p o q
y o A disyunción exclusiva 0 p 0 q
A conjunción p y q
condicional p entonces q
O blcondicional p si y solo si q
^ TABLAS DE VERDAD O WITTGENSTEIN
Toda variable lógica p puede ser sustituida por cual­
quier enunciado y sus posibles valores de verdad son; 
Verdadero (V)
Falso (F)
Para dos variables:
P q
V V
V F
F V
F F
Para tres variables:
P q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
De donde: N = 2"; (n = n.® de variables)
^ ESTUDIO DE LOS CONECTIVOS LÓGICOS 
Negación (~)
Tiene como significado no; no es cierto que; es fólso 
que, etc.
Ejemplo:
Sea p: La nube es blanca.
Su negación será ~p: La nube no es bianca. 
Siendo su tabla de verdad:
p ~P
V F
F V
Disyunción (V)
Disyunción débil o Inclusiva (v). Tiene como signi­
ficado (O), indica dentro de ia proposición que la ocu­
rrencia de uno de elios no descarta la ocurrencia del 
otro.
Ejemplo:
El veneno es mortal o dañino
Su tabla de verdad es:
P q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F
Fuerte o exclusiva (A o v ) . Tiene como significado 
(O... O-..). Indica dentro de una proposición molecular 
la ocurrencia de uno de ios hechos más no la de ambos. 
Ejemplo:
O Luis se encuentra en Lima o se encuentra en Brasii
Su tabla de verdad es:
P q p A q
V V F
V F V
F V V
F F F
Conjunción (a)
Cuando se usa ei término de enlace (y), también puede 
hacerse ta consideración para las siguientes palabras: 
pero, sin embargo, además, aunque, a la vez, no obs­
tante, dado que, etc.
Ejemplo:
Su tabla de verdad es:
2 + 2 = 4 3 + 4 = 7
P q p A q
V V V
V F F
F V F
F F F
Condicional (=»)
Cuando se usa el conectivo (entonces) y se puede cam­
biar por: luego, por lo tanto, ya que, es consecuencia. 
Ejemplo:
Si estudias entonces apruebas.
p =» q
Su tabla de verdad es;
P q p =» q
V V V
V F F
F V V
F F V
Bicondicionai («»)
Está representado por el (si y solo si).
Ejemplo:
Todo número es par si y solo si es divisible por 2. 
P q
Su tabla de verdad es:
P q p « q
V V V
V F F
F V F
F F V
El valor de verdad de las proposiciones compuestas se 
puede determinar a partir del valor de verdad de sus 
componentes.
<4 TAUTOLOGÍA. CONTRADICCIÓN Y CONTIN­
GENCIA
Evaluar una fórmula proposicional consiste en haliar su 
tabla de valores de verdad, pueden ser:Tautología
Si todos los valores de verdad son verdaderos. 
Contradicción
Si todos los valores de verdad son falsos. 
Contingencia
Si algunos valores de verdad son verdaderos y otros 
falsos.
Ejemplo:
1. De las siguientes proposiciones:
I. Tol<ío es la capital de Japón, es una proposición 
verdadera.
II, Ricardo Palma fue arequipeño, es una contra* 
dicción.
III. - p v q tiene la misma tabla de valores de ver­
dad que p q.
IV. ¡Vamos Boysl, es una proposición.
Determinar sus valores de verdad.
Resolución:
I. Verdadera
II. Faisa. es una afirmación.
p q ~P V q p q
V V F T v l V V T v l V
V F F 1 ^ 1 F V 1 P 1 F
F V V 1V 1 V F 1 v 1 V
F F V lV j F F lV j F
‘----- iguales— '
Verdadera, tiene la misma tabla de valores de 
verdad.
IV. Falsa, las exclamaciones no son proposiciones.
2. Al evaluarla fórmula lógica: [(p a q) v ~p] » p 
Se obtiene que su tabla de valores de verdad es 
equivalente a:
I. q II. pA q fll. ~q
IV. p V. -p
Resolución:
Evaluando la fórmula, se tendrá:
P q [(P A q) V ~P] P
V V V V F V V
V F F F F V V
F V F V V F F
F F F V V F F
(1) (3) (2) (4)
Et resultado (4) es equivalente a la proposición p. 
Respuesta (IV).
3. De las proposiciones:
I. 3 + 4 = 7, es una tautologia, 
li. jArríba Perú!, es una proposición.
III. José es un buen estudiante, aprobará el ciclo 
en ía universidad, es una disyunción.
IV. (p =» q) V (~r =» t), es una contingencia. 
Determinar sus valores de verdad.
Resolución:
I. Falsa, es una proposición.
II. Falsa, es un enunciado.
III. Falsa, la coma (.) intermedia indica (entonces), 
luego se trata de una condicional.
IV. Verdadera, ya que:
P q r t (P =» -q) V (~r ^ t)
V V V V F V V
V V V F F V V
V V F V F V V
V V F F F F F
V F V V V F
V F V F V V
V F F V V •
V F F F V •
F V V V V •
F V V F V •
• • •
. ;
Se trata de una 
contingencia.
La proposición es 
verdadera.
4. Si la proposición compuesta;
[(p « q) V (q V ~r)] es falsa; determine los valores 
de verdad de p; q y r.
Resolución:
Por condición:
[(p =» q) V (q V ~r)l = F 
Entonces;
(p =» q) = F; donde solo se cumple si p = V y q = F. 
(q V ~r) = F; de lo anterior se sabe que q = F; luego 
~r debe ser F, entonces r = V. 
Finalmente: p = V;q = F y r = V
5. Si la proposición compuesta:
(p ^ q) V ~[(q A ~r) v (r a ~q)] v ~(p v r) es falsa, 
determine los valores de verdad de p, q y r.
Resolución:
Sea: a = (p =» q); b = ~[{q a ~r) v (r a ~q)] y c = ~(p v r) 
Entonces se tendrá:
a V b V c = F; donde soío es posible sí a = F; b = F 
y c = F.
Entonces: a = (p ^ q) = F (así: p = v y q = F) 
b = ~l(q A ~ r ) v ( r A ~ q ) l = F y c = ~ ( p v r ) s F 
í(q A ~ r) V ( r a ~ q ) ] = V p v r = V 
F F V V como p = V
F V r = V o F
Finalmente; p = V; q = F; r = V
6. Determine si estas proposiciones son motecutares 
o atómicas.
I. La teoría de Newton es correcta pero la de 
Einstein más moderna.
II. Sí una persona se corta la yugular por lo tanto 
se desangra.
III. X + 1 = 3
IV. Fortunato cobra su sueldo y no trabaja. 
Resolución:
I. 2 proposiciones » Molecular 
1 conjunción (pero)
II. 2 proposiciones ^ Molecular 
1 condicional (por lo tanto)
III. 1 proposición » Atómica
IV. 2 proposiciones =» Molecular 
1 conjunción (y)
7. De las siguientes proposiciones compuestas:
• Si; 5 + 3 = 7, entonces 7 < 6
• 8 es mayor que 4 o 7 es menor que 5.
. /Te = 4 y -3^ = 9
. 2 < 4 » 1 2 + 5 < 4 + 5 
Determine sus valores de verdad.
Resolución:
• Si: 5 + 3 = 7. entonces 7 < 6
F =» F = V
• 8 es mayor que 4 o 7 es menor que 5
V V F = V
. VÌ6 = 4 y -3^ = 9
V T = F
• 2 < 4 «^12 + 5 < 4 + 5
V «• F = F WFF
8. Se sabe que; (p a q) = V; (q t) = F y se arirma:
I. ~ H q A p ) A p ]
II. ~ ( ~ p v t ) v q
lil. [~p V (q A M)] « ~(q => t)
Determinar cuáles son verdaderas.
Resolución :
De; p A q = V » p = V ; q = V
Pero: q =» t = F
Entonces; q = V; t = F
Enl: ~[~(VAV)AV] = ~[~(V)AV] = ~tFAV]=~F = V
En H: V F) V V = ~F v V = V V V = V
Enlll: [Fv(VAV)]o~(V=»F) = [V ] «V = V 
V F
Todas son verdaderas
9. Si la pnDposición: ~[(~p A q) (~r =» ~s)] es ver­
dadera, determinar ̂ valor de verdad de p, q, r, s.
Resolución:
~t(~p A q) =» (~r => ~s)l = V 
(~p A q) =*■ (~r =» ~s) = F
F
Donde: ~p a q = V
p = F;q = V
También:
~r =3 ~s = F r = F; s = V
V T
10. Dadas las proposiciones;
I. p A ( ~ q v r ) ; r = V
II. (pvq) « ~ (qvp) :q = V
III. (~p vq ) =»r; r = V
Determinar si la información es suficiente o no para 
hallar el valor de verdad de ias proposiciones.
Resolución:
I. p a (~q V r) : r = V
T
V No es suficiente
II. (pvq) ~ (qvp) : q = V
F Si es suficiente
I. (~p V q) =» r : V(r) = V
V
V Si es suficiente
.-. Solo 11 y lll cumplen la condición.
PRO BLEM AS RESUELTOS B " " *
1. Simbolizar: ‘ Si Julieta es española entonces es afi­
cionada a la fiesta brava y Julieta no es aficionada 
a la fiesta brava por lo tanto, no es española". De­
terminar su tabla de venilad.
Resolución:
Sea p: Julieta es española 
q: Es aficionada a la fiesta brava
[(p =» q) A ~q]
V 
F
V
V 
(1)
F F V 
F V V 
F F V 
V V V 
(3) (2) (4) 
Tautología
2. Sabiendo que ia proposición: (p ^ ~q) v {~r => s) 
es falsa; reduzca el vaior de verdad de;
[(~ r V q) A q] « [(~ q v r) A s] 
Resolución:
(p=»~q)v(~r=»s) = F 
1 1
V F
y T V F
F F
Entonces;
[(~r V q) A q] » [(~q v r) a s] = [(V vV) a V]
« [(F V F) A F] 
= V « F = F
3. Si p jj q se define por (~p) a (~q). Haiiar el equiva­
lente de ~(p q).
Resolución:
~(p q) = ~[(p =3 q) A (q =» p)]
s~[(~p V q) A (~q V p)] = (p A ~q) v (q a ~p)
Se tiene:
(p il q) = (~P) A (~q )
Entonces;
( p A ~ q ) v ( q A ~ p ) = ( - p l l q ) v { ~ q ) l p )
4. ¿Cuái de ias siguientes proposiciones es equiva­
lente de; "Es necesario pagar 10 soles y ser socio 
para ingresar ai teatro”?
I. No ingresar ai teatro o pagar 10 soles y ser 
socio.
II. Pagar 10 soles o ser socio, y no ingresar al 
teatro.
III. Pagar 10 soles y ser socio, o no ingresar al 
teatro.
IV. Pagar 10 soles o ser socio, e ingresar al teatro. 
Resolución:
p ; pagar 10 soles 
q ; ser socio 
r ; ingresar al teatro
r = ( p A q ) s ~ r v ( p A q )
Pagar 10 soles y ser socio, o no ingresar ai teatro.
5. Si (~(q » p)) =» (s r) es felsa, determinar el valor 
veritativo de ias proposiciones adjuntas; siendo w y 
t proposiciones lógicas.
I. (~ r« p )= . t
II. q v ( t= » w ) 
Ili. (p » r) » (q « s)
Resolución:
~(q ^ p) ^ (s =9 r) es F 
Entonces: ~(q =» p) es V y s r es F 
De donde; (q ^ p) es F 
Es decir: q es V y p es F; s es V y r es F.
I. <=> p) « t 
V ^
F ^ ? .
V
II. q v(t=»w/)
V V ?
V
III. (p «=» r) <=» (q « s)
F « F V » V
V V
V W
6. Clasificar las siguientes proposiciones:
I. ( p A q ) « ( q A ~ p )
II. [ p A ( p V t ) ] A H v p )
III. (p=»q)^q
Como tautología (T), contradicción (F) o contingen­
cia (C).
Resolución:
Hagamos la tabla de verdad en cada caso; 
i.
til.
p q (p A q) « (q A ~p)
V V F ¡ F 1 V
V F V ! F 1 F
F V V : F F
F F F ! F :
' í '
V
Es una contradicción (F)
P t [P A (pVt)] A ( - t V
V V F V V
V F F V V
F V V V F
F F F V
t
V
Es una tautología (T)
P q (p=*q) = q
V V V ; V : V
V F F ¡ \ ¡ F
F V V ¡ V ! V
F F V 1 F
' 1
1 F
Es
*C
una contingencia (C)
7. Señale la secuencia correcta, al determinar 
si la proposición es verdadera (V) o falsa (F), 
si (p A q) A p es verdadera:
I. pA(~q=»p)
II. p =. [(~p V q) A {p A q)3
III. (p A ~q) =» (p A ~q)
Resolución:
(p A q) A p es V, entonces (p A q) es V y p es V; 
qesF.
I. p A ( ^ =» p)
V =» V
V A V 
F
II. P = » [ ( ^ V q ) A ( £ _ ^ ) ]
F V F V 
F A V.
V
V
lll. ( p A ^ ) = 
V A V
 V
( p A ^ ) 
V A V
FVF
8. Si la siguiente proposición: (p a ~q) » (r ^ t), es 
fóisa, indicar el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones;
I. (r «91) V ~ r
II. [{ r ** p) A (t V r)] V H )
III. ( ~ p « r ) v ~ t
Resolución:
(p A ~q) => (r =» t) es F
entonces: (p A ~q) es V y (r =» t) es F,
entonces; p es V; q es F; r es V y t es F
I. { r * * t ) v ~ r = ( V « F ) v F = {F )vF = F
II. [ { r « p ) A ( t v r ) l v ( ~ t )
= [(V V) a (F V V)] V (V)
=((V) A (V)] v V = V
III. (~p =» r) V ~t = (F =» V) W = (V) v V = V 
FW
9. Dada la siguiente fónmula iógica S: (r=» p)«»(-q » r); 
Indique el valor de verdad de las siguientes afirma- 
dones:
I. Si p y q son verdaderas, para que S sea verda­
dera el valor de verdad de r siempre es F.
Ii. Si r es falsa y S es falsa, entonces q es F. 
ill. Si r es venjadera y P es falsa, entonces S es V.
Resolución:
Si (r =» p )« (- q=»r)
I. p e s V y q e s V
S = (r=»V)«»(F=»r)
= (V)o(V) = V
S siempre es V, para cualquier valor de r. (F)
II. r es F y 8 es F, se tiene:
{ F - p ) « ( - q « F) = F 
(V ) « ( ~ q » F ) = F
^ (~q=,F) = F
=► ~q = V; q es F (V)
MI. r es V y p es F, se tiene:
S = (V =» F) « (~q « V)
S = (F)«(V) = F (F)
FVF
10. Simplificar la siguiente proposición compuesta: 
[p « (q V ~r)] a { [p ^ (q a ~r)] a [p A (q r)]}.
Resolución:
[p « (q V ~ r)] A { [p =í (q A -r)] A [p A {q =» r)]} = S 
Nótese que:
p =» (q A ~r) A p = ~(~q v r)
= p =» ~(q r)
= ~p V -(q =» r)
= ~[p a (q =» r)]
Luego, S quedará asi: ^
S = [p « (q V ~r)] A {-[p A (q « r)] a [p a (q - r)]}
S = [p « (q V ~r)] A {~t A t} 
S = [p » (q V ~r)] A F = F
t
11. S im p lifica r la s igu ien te p roposic ión com puesta: 
~ { [{~ q =* ~P ) A ~ (~ p ^ ~ q ) ] V (p =9 ~q)}.
Resolución:
~ {[{~ q =* ^ p ) A ~ (~ p =» ~ q )] V (p =» ~ q )}
= ~ {[(q V ~ p ) A ~ (p V ~ q ) ] V (~ p V ~ q )}
= - {[(q V ~ p ) A (~ p A q ) l V (~ p V ~ q )}
= - {[(q V ~ p ) A ~ p ] A q ) V (~ p V ~ q )}
= ~ {( [ ~ p ] A q ) v (~ p V ~ q )} 
pues: (q v ~ p ) a ~ p = ~ p 
= ~ { ( ( ~ p A q ) v ~ p ] v ~ q }
= ~ { ( ~ p ) v ~ q }
= ~ ( ~ p ) A ~ ( ~ q ) = p A q
12. S im p lifica r la s igu ien te p roposic ión com puesta:
[~ p ^ ~ (p ^ q)] V [(p A (p « q )) => p].
Resolución:
[~ p =» ~ (p =» q )] V [(p A (p =» q )) =» p]
= [ ~ p =» ~ (~ p V q ) ] V [(p A (~ p V q )) =» p]
= h p =» (p A ~ q ) l V [((p A - p ) V (p A q ) ) =» p ] 
= [p V (p A ~ q ) ] V ((F V (p A q )) =* p j 
= (P) ((P A q ) « p]
pues: p V (p A ~ q ) = p; F v (p a q ) = p a q 
= p V h ( p A q ) V p]
= p v [ ( ~ p v ~ q ) v p ]
= p V [V V - q ] : pu es ~ p v p = V 
= p v l V ] = V
13. Si # es un operador lógico definido por: 
p # q = {p V [(r « p) A p]} A {q A (p « ~p)} 
Haiiar p # q
Resolución:
p # q = { p v í ( r p )Ap] } A { q A ( p * * ~ p ) }
. p # q = {p V I (~ r V p ) A p ] } A F 
p # q = {p V (p)} A F = p A F
p # q = p
14. Si ~(~(p A q)) =» ~(r A p) es una proposición com­
puesta fóisa, determine ¿cuái(es) de ias siguientes 
proposiciones son verdaderas? 
i. (~pAm)=»{x«y)
ll. (p r) =» (8 A q) 
iii. ( x v - y ) = * ( p A r A ~ q )
Resolución:
~(~(p A q)) ~(r A p) es F
Entonces: p A q es V y ~(r a p) es F
De donde: r a p es V; es decir: r es V y p es V; como
p A q es V, entonces q es F.
i. (~p A m) ^ (x «> y)
F =» ?
(P « r) 
V » V
(SAq) 
? A F
l l l . (X V ~ y ) =» ( p _ ^ A
V A V
q )
V
Son verdaderas I y iii.
15. De las siguientes proposiciones'.
I. p « ( p v q )
II. (pAq)=»p
IIL (p=.q)<»(~q=»~p)
IV. A (~p =» q)] V ~p 
Son tautológicas.
Resolución:
I. p=»(pvq) = ~ p v ( p v q )
= ( ~ p v p ) v q = V v q = V 
Es una tautología
II. (pAq)=>p = ~ ( p A q ) v p
= ( ~ p v ~ q ) v p = { ~ p v p ) v ~ q 
= (V) V ~q = V 
Es una tautología
Ili. Como ~q =» --p = p s» q, entonces;
(p =» q ) « (~q =» ~p)
- ** ^=»_q)
= r » r = V 
Es una tautología
IV. [p A (~p q)] V ~p
= [p A (p V q)] V ~p 
= (p)v~p = V 
Es una tautología
1,11, ili y IV
16. En relación a la proposición compuesta:
T; Ip =» (q A r)l A [p A (~q V ~r)l 
indique cuál de los siguientes enunciados son co­
rrectos:
I. S es una contradicción.
II. S es una contingencia.
III. S es una tautologia.
Resolución:
La proposición T se puede mejorar así:
T : Ip =» (q A r)] A [p A ~(q A r)]
= [p =» (q A r)l A ~[~p V (q A t )] 
s [p =» (q A r)] A ~[p « (q A r)}
Por lo que T tiene la forma a A ~a, y como a, ~a 
son de valores opuestos, entonces a A ~a es V 
siempre: por lo tanto, T es una tautología.
Soío lll es correcto.
17. i ^ siguiente proposición:
[(~p V q) V ~(p A ~q)J A [p A ~ r] ; es equivalente a:
I. (p =. q) A ~{p =» r)
II. (p A q) V ~(p =. r)
III. {p =» q) => (p A r)
IV. ~(p A q) =» r
V (p^q)A(p=^r )
Resolución:
I(~p V q) V ~(p A ~q)] A (p A ~r) 
s {(-p V q) V [~p V ~(~q)I} a (p a -r )
= [-P V q) V (~p V q)} A ~ {-p V r)
= h p v q l A ~ ( ~ p v r ) 
s (p =» q) A ~(p =» r)
Es equivalente a I.
18. Si * es un operador lógico definido mediante la si­
guiente tabla de verdad:
p q P * q
V V F
V F F
F V F
F F V
Simplificar la proposición: (p*q) * (q*p
Resolución;
p - q -(P V q)
F ( V ) 
F ( V ) 
F ( V ) 
V ( F )
Se nota que:
p *q = ~ (pvq) = ~pA~q
También, nótese que:
p .q = q«p A r * r = ~r
Luego: {p * q) • ( q * p) s { p • q) * ( p * q)
= ~(p»q) = - l~(pvq)3 
= p v q
19. Si * es un operador lógico definido mediante la ta­
bla adjunta, tai que (s * t) • ( t • s) es verdadero.
p q p * q
V V F
V F F
F V V
F F F
Hallar el valor de verdad de ~ (s * t). 
Resolución:
P q p .q
V V F
V F F
F V V
F F F
Ai igual que en el problema anterior: 
p • q = ~(q =» p) = q A ~p 
Luego: (s • t) * (l * s) = (t a ~ s ) • (s a - t)
= (s A ~ i) A A ~ s)
= ( s A ~ t) A (~ t V S)
= S A [~ t A (~ t V S)]
= s A (~t) = -(s =» t) es V 
Entonces: s ̂ t es F 
Luego: s es V y t es F 
~(s • t) = ~(t A ~s) = ~ t V s 
= t s es V 
~(s * t) es V
20. Si □ es un operador lógico definido mediante la si­
guiente tabla:
P q p o q
V V F
V F F
F V V
F F F
Simplificar la proposición'. 
[ p D ( ~ p a q ) ] ü q
Resoiución:
Se nota que: pD q = ~(q=>p) = q A ~ p 
Luego: [p o (~ p a q)] d q = [p □ (q a p)] o q
= l(q A p) A ~ Pl D q 
= [q A (p A ~ p)l □ q 
= [q A (F)] o q = F □ q 
= qA (~ F ) = q A V = q
21. Si p, q. X, z, y, t son proposiciones lógicas, tal 
que cumplen las condiciones: p A q es verdadera, 
~x y es verdadera, indicar el valor de la verdad 
de las siguientes proposiciones:
I. z=»~pv- -q
II. p « ~ q
III. ( ~ x A ~ y ) » t 
Resoiución:
p A q e s V A - x ^ y e s V 
Luego: p y q tienen valores opuestos 
( ~ x ^ y = x v y ) es V
I. z = * ~ p v ~ q
V pues uno de ellos es V 
= z=»V = V
II. p«»~qesV
pues p y >̂ q tienen el mismo valor.
III. (~ x A - y) ̂ t = ~(x V y) =» t 
= -(V ) =» t = F =» t = V 
V W
22. Simplificar la proposición:
-{ [(~ p A ~q) V (p A (~p V q))] =* ~(p V q)} 
Resolución:
~{[~P A ~q) V (p A (-P Vq))]« p Vq)}
= (p V q) V [(pA ~p) V (p A q)lJ ~(p V q)}
F
= ~ {[ ~{p V q) V (p A q)] =» ~(p V q)}
= ~ (p V q) V (p A q)] V ~(p V q)}
Por una de las leyes de Morgan:
= Q ~ (p v q )v ( p Aq ) lA (p v q )
= [~ (p vq) A (p vq) I VI(p Aq) A(p Vq)]
F
= (p A q) A (p V q) = p A [q A (p V q)l 
q
= pAq
23. Si se cumple:
(~ p A q) =» (p V r) = (s A t ) «»(- s V ~ t) 
Simplificar la proposición:
[(P A r) =» (s V t)] A (q A t)
Resolución:
(SA t )« (~ S V~t )
= {S A t) « ~ (S A t) = F
Es decir: (~p a q) =» (p v r) es F
Entonces: (~ p a q) es V y (p v r) es F, de donde
puede notarse que p es F; q es V y r es V.
Luego: [(p a r )» (s v t)] a (q a t)
F a y 
F ?
= V A (q A t)
= q A t = V A t = t
24 . H a lla r e i va lo r de ve rdad de:
M = [(p A q ) =» r] + (p =» (q « r)]
Resolución:
M = l ( p A q ) « r ] « [ p = » ( q « r ) ]
M = [~ (p A q ) V r] « [p =» ( - q v r)]
M = h ( p A q ) V r] « [~ p V (~ q v r)]
M = [ ~ (p A q ) V r ] « [(~ p V ~ q ) V r]
M = h ( p A q ) V r ] «. h ( p A q ) V r]
M = s <9 s = V M es una tau to log ía
25. S im plificar: { [~ (q =» p)] a [~ (p v ~ q )]} v ~ q 
Resolución:
{ [ - (q - P)1 A h (p V ~ q )]} V ~ q 
= ~ t ( q « p ) v ( p v ~ q ) 3 v ~ q 
= - I ( - ' q v p ) v ( p v ~ q ) 3 v ~ q 
= ~ [ - q v p 3 v ~ q 
pues: r V r = r 
= ~ [ ( ~ q v p ) A q ]
= ~ [(~ q A q ) V (p A q)l 
= ~ [F V (p A q ) l = ~ (p A q)
= ~ p v ~ q = p = ' - q o tam b ién = q ^ - p
26 . S i se de fine : p V q = ~ p A ~ q , s im plificar:
M = [ (p V q ) V q ] V [ ( p V p ) V ~ p ]
Resolución:
p V q = ~ p A - - q = ~ ( p v q )
M = [ ( p V q ) V q ] V [ ( p V p ) V ~ p l
r s
r = (p V q ) V q = ( ~ p A ~ q ) V q 
= - ( ~ p A ~ q ) A ~ q 
s ( p v q ) A ~ q
= { p A - q ) v ( q A - q > = p A ~ q 
F
s = ( p V p ) V ~ p = ~ ( p v p ) V ~ p 
= ~ p V ~ p = ~ ( ~ p )A ~ (~ .p )
= p A p = p
Luego; M = (p A ~ q ) V p 
M = ~ (p A ~ q ) A ~ p 
M = (~ p V q ) A - p . M = - p
27. Si se conoce [(p * q) * r] * s es F, además:
p q p * q
V V V
V F V
F V F
F F V
Determinar los valores de verdad de los siguientes 
enunciados:
I, p=» r II. s « r III. ~ p » q 
Resolución:
De la tabla, se puede notar que: p • q = q ^ p 
Además: [(p * q) * r] • s es falsa 
s (p * q) * r es falsa 
Entonces; s es V y (p * q) * r es F 
r => (p * q) es falsa, de donde r es V y (p • q) es F; y 
entonces; q es V y p es F.
Luego:
I. p » r es V II. s «» r es V
F V V V
III. ~p «»q es V 
V V
28. Si definimos # como: p # q = ( p v q ) A ~(p A q) 
Determíne una expresión equivalente de p # q.
Resolución:
p X q = (p V q) A ~ (p A q)
= (pvq) A ( ~ p v ~ q )
= [p A (~ p V ~ q)] V [q A ("P V ~q)]
= t(p A ~ p) V (p A ~q)l V [(q A ~p) V (q A -q )}
= ÍF v ( p A ~ q ) J v í { q A ~ p ) v F ]
= (p A ~ q) V (q A ~p)
= ~ ( ~ p v q ) v ~ ( ~ q v p )
= ~ (p - q) V ~ (q - p)
= ~((p=»q)A(q=»p)]
= ~{p«*q)
29. Sea A = {1; {1; 1}; {1}; {1; 1; 1}}, detennine la se­
cuencia correcta, al determinar si la proposición es 
verdadera (V) o falsa (F).
I. A tiene 4 elementos
II. {1}eA
III. {1 }cA 
Resolución:
A = {1;{1;1};
=*A = {1:{1}: {1}: {1}}
« A - { 1 ; { i y }
I. A tiene 2 elementos. (F)
II. {1}esunelenr»ntodeA,porloque;{1}G A (V)
III. Tenga en cuenta que: s i x eA = >{ x } cA 
Como; 1 e A ^ {1} c A (V)
.-. FW
30. Si p, q, r, s, t, u y w son proposiciones lógicas tal 
que: p » (q ^ r) es falsa, q «»(p » t) es falsa, indi­
car el valor de verdad de las siguientes proposicio­
nes, es:
I. ~ tA { r = w) II. qv (~ r«* u )
lll.t=»(s Ar)
Resolución;
Si: p » (q r) es F » p es V y q » r es F
Entonces: p es V; q es V y r es F 
q « (p => t) es F.
Entonces p =* t es F y como p es V 
Entonces t es F
I. ~ t A (r=> w) = V A (F =» w)
= V A (V) = V
II. q V ( ~ r « u) = V V (~r*=» u) = V
III. t ^ (sAr) = F ^ (sAr) = V V W
31. Se sabe que x es un conjunto tal que; x g P(A). 
Para todo conjunto A. Determinar cuáles de las si­
guientes afinmaciones son verdaderas:
I. x n x = x, V A II. x - A = x , VA
l l l . ( A - x ) u ( x - A ) = A . VA
Resolución:
X e P(A), VA =» x c A
I. x n x = x. VA (V)
II. x - A = x , VA (F)
Como x c A = » x - A = 0
III. ( A - x ) u (X - A ) = A (F)
Es igual a: A - x
VFF
32. Sea el conjunto A = {0;1; {1}; {0;1}; {0 } } y las 
siguientes proposiciones;
I. { l l e A II. {0:1} eA
IM . Í D c A I V { 0 ; { 1 } } c A
V { { 0 } } c A
Determinar el número de proposiciones verda­
deras.
Resolución;
A - { 0 ; 1 : { 1 } ; { 0 : 1 } ; { 0 »
I. { 1 } g A (V)
II. {0:1} e A (V)
III. { 1 } c A (V)
IV. { 0 ; { 1 } } c A (V), puesOeAA {1} eA.
V. { { 0 } } c A (V), pues {0 } g A
.'. Las 5 son verdaderas
33. Sean los conjuntos A = {{1; {1}} ; { 0 }}, y 
B = {{1>: 4; 0 }. Hallar el valorde verdad de las 
siguientes proposiciones:
I. ín(P(A)}eB
II. A n B $ A, entonces (ji ^ P(A) n B
III. ( 1 } e A , si y solo si A - B e P(A)
IV. {{1}¡ 0 }e P (B )
Resolución:
A = {{1: {1} } ; { 0 } }
B = { { 1 } ; 4 ; 0 }
n(A) = 2 ^ n(P(A)) = 2 ̂= 4
I. ín(P(A))} = { 4 } e B (F) 
pues: {4 } c B
II. A n B í A » 0 ^ P ( A ) n B
F; pues: A n B = 0 c A 
Luego, la proposición es (V)
III. { 1 } e A « A - B e P(A)
F V, pues; A - B = A
Luego, la proposidón es (F)
IV. {{1} ; 0 } e P(B); V, pues {{1}; 0 } c B 
.-. FVFV
34. Indicar el valor de verdad de cada una de las pro­
posiciones:
I. V x e IR, X* e E
II. v x G ® , V y eE : x ' 'em
III. VxEiR, 3 y E ( S /x ’ E(&
Resolución:
I. V X e IR: x* e E (F), 
pues: ( - 0,5)"®® í E
II. V x e ® , v y eE: x ^ e E (F)
■j \-0.S
pues: ? E
lll. v x e E : 3 y e®/x^e® (F), 
pues; x* € ®, V y € ®
.-. FFF
35. Sea A={ xeE/x <1 «x>0} yB = {xeZ/{x*/16)eA>, 
halle el número de elementos de B.
Resoiución:
A = { x e E / x < 1 * » x > 0 }
p q = (p A q) V (~p A ~q)
x < 1 » x > 0 = (x< 1 A X > 0 ) V ( X > 1 A X < 0 ) =
= x < l A x > 0 = x e ( 0 ; 1 )
A = (0; 1); B = { x e Z / x V l 6 e A }
^ O < xVl6 < 1 =» O < x^< 16 
« B = { - 3 ; - 2 ; -1 ;0 ; 1;2;3}
.-. n(B) = 7
36. Sea el conjunto A = {3; 5; {2; 8}}, halle el valorde 
verdad de cada una de las proposiciortes:
I. 3 x e P ( A ) / 2 e x
II. 3 x e P ( A ) / { 2 ; 8 } c x
III. 3 x g P(A)/{{<|)}}c x
IV. 3 X € P(A)/{3} c X
Resolución:
A = { 3 ; 5; {2; 8}}
I. 3 x e P ( A ) / 2 e x (F)
No hay un subconjunto x c A, de modo que: 2 e x.
ti 3 xeP (A ) / { 2 ;8 } 1 c x(F)
{2:8} e A =» {2:8} O i x c A
III. 3 x e P ( A ) / { { 0 } } C x (F) 
pues { 0 } í A.
IV. 3 X € P(A)/ {3 } c X (V)
Pues: 3 eA A {3 } c {3: 5} c A 
FFFV
37. Si el valor de verdad de la siguiente proposición;
(r u s) ^ [(p n -s ) => (p n ~ q ) ] es falso, hatiar el 
valor de verdad de las proposiciones:
I. (p n ~ q ) r II. q n (~p u ~s)
l l l .(~p=>r)u~s
Resolución:
(*3) (*1) (*2)
(r V s) ® [(p A ~s) ® (p A ~ q )]
V V V F
V________ F
De (*1)
De(*2) 
De (*3)
PesV 
• ~ s es V = 
~ q es F = 
r V s = V; 
i i 
V F
Luego tenemos:
I) ( p A ~ q ) « r 
V F V
8 es F 
q es V 
res V
II) q A ( ~ p A ~ s )
V V ~V
V V
(F)
lll) ( ~ p « r ) v
(V)
V
(V)
38. Simpliflcar ta siguiente proposición: 
t = {(~p V q) V [(p =» q) A r]} A q
Resolución:
Sabemos que: p ^ q = ~p v q 
t = {(~p V q) V t(~p V q) A r]} A q
Absorción
t = ( - P V q) A q 
t = q A (q V ~p) => t = q
Absorción
39. Se definen las operaciones:
p *q = - . p « . ^ q A p # q = ~ p A q 
Simplificar:
[ ( ~p ) * q ]# [ ( -q )# p ]
Resolución:
~ p * q = p )= » ^ q = p = ,- ,q = ^ p u ~ q = ~ ( p n q )
- q # p = ~<~<i) n p = q n p = p n q
Entonces:
[(~p) * q] # [(~q) # p] = [~(p n q)] # Ip n qj 
= (p n q) n (p n q)
= p n q
40. Sabiendo que:
p q p o q
V V V
V F V
F V F
F F V
y si [(p o q) o r] o s, es falso
Hallar los valores de verdad de;
l )p=«r i D s ^ r l l l )~p«»q
Resolución:
De la tabla de verdad: 
p o q, es Falso « p es F a q es V 
[(p o q) o r ] o s es falso
p es F
F V q es V 
res V 
s es V
V
. S o r
V
~ p « q
V « V
V
41 . Aque es igual: {(p ^ q) A [(p ^ q) v r]} a q 
Resolución:
Í(P q) A [{p =9 q) V r]} A q: Absorción 
A q; Condicional 
A q: Conmutativa 
A q; Conmutativa 
Absorción
(P=>q)
í~pv q)
(q V ~p)
q A (q V ~p);
42 . Simplificar el esquema: {(~p vq) v [ (p^q) A r ] } A q 
Resolución:
Se sabe que: p » q = ~p v q:
Con lo cual: {(~p v q) v [(~p v q) a r ] } a q 
Absorción
Luego se tendrá:
( - p v q ) A q : (qv~p)Aq : q A ( q v ~ p ) = q
Conmutativa Conmutativa Absorción
43. Simplificar la siguiente proposición;
~ r~ (p A ~q) =*. p] V q
Resolución:
Se sabe que: p ^ q = ~p v q: luego aplicamos esta 
propiedad dentro del corchete.
~ [(p A ~q) V p] V q: ~ [p V (p A ~ q ) ] v q
Conmutativa
'(P) v q = ~ p v q = p
Absorción
44. Simplificar el esquema: (~p a q) (q =» p) 
Resolución:
Dado que: p =» q = ~p v q; entonces se tiene que:
(~p A q) (~q V p); ~ (~p A q) v (-q v p)
— I— — I—
(P V ~q) V (~q V p)Condicional
(p V ~q) V (p V ~q) = p V ~q
Conmutativa
Idempotencia
45. Si: p O q = [((p => q) => p) V q] A p 
Simplificar:
{[(~p A r) O qí O (p O q)} 0 (p v r )
Resolución:
Vamos a redefinir p O q 
p O q = { [(p =► q) =» p] V q} A p 
Aplicando dos veces condicional: 
p O q = { [~(~p V q) V p] V q} A p 
Por Morgan: = { [ (p A ~ q ) v p ] v q} a p 
Por absonsión, dos veces: = (p v q) a p = p 
pG q = p 
Luego, en la expresión a simplificar:
{ [(~p A r) Q q] Q (p O q)} O (p v r)
= [(~p A r) G q] O (p O q), (definición de O)
= (~p A r) O q 
= ~p A r
46. La proposición equivalente a:
No es un buen estudiante, sin embarco destaca en 
el fútbol es:
I. No es cierto que, sea un buenestudiante o no 
destaque en fútbol.
II. Es un buen estudiante o no destaca en fútbol.
III. No es un buen estudiante y no destaca en fútbol.
IV. No es cierto que, no sea un buen estudiante y 
destaque en fútbol.
V. No es el caso que, sea buen estudiante y no 
destaque en el fútbol.
Resolución:
Consideremos: 
p : es un buen estudiante 
q : destaca en fútbol 
Formalizando; no p, sin embargo q 
Simbolizando:
= ~pAq
= ~(p V ~q), por Morgan 
Resulta:
I. No es cierto que, sea un buen estudiante o no 
destaque en fútbol.
47. Si el Siguiente esquema es falso:
{[(p Aq)=>r] a s } =>(q v r)
Hallar el valor de verdad de:
L t ( p v s ) A q ] « ( r v s )
II. p = , [q ^ ( r A s ) l
ill. (~p A q) =» [p V (~q V r)]
Resolución:
Sabemos que:
{[(p A q) =* rl A s} =» (q V r) = F 
V F
• q v r = F=»q = F ; r = F
• [(p A q) =» r] A s = V
V
V
s = V; p = F
Además: (p A q) =» r = V 
F F
F
Luego;
I. [ ( pvs )A q ]= >( r vs ) = V 
V F
V
Jí. [q ^ (r A s) J = V 
F
V
l ll. (~ p A q ) [p V (~ q V r)] = V
.-. V W
48. El equivalente de la proposición:
“Hay que pagar 100 soles y ser socio para ingresar 
al teatro" es;
I. No ingresar al teatro o pagar 100 soles, y ser 
socio.
il. Pagar 100 soles o ser socio, y no ingresar al 
teatro.
III. Pagar 100 soles y ser socio, o no ingresar ai 
teatro.
IV. Pagar 100 soles y no ser socio, y enb-ar ai teatro. 
V: No es cierto que se pague 100 soles o sea so­
cio, o ingrese al teatro.
Resolución:
Formalizando tenemos: 
p : pagar 100 soles 
q ; ser socio 
r ; ingresar al teatro
Simbolizando se tiene; tiay que p y q para r 
= (p A q) r. por condicional; = -(p a q) v r 
No es cierto que se pague 100 soles y sea socio, 
o ingrese al teatro.
49. Si la proposición compuesta;
~ {~(t => s) a ~ [ ( ~ p a q) (r a p)]} es falsa, 
¿cuántas de las proposiciones p, q, r, s y t son 
verdaderas?
Resolución:
Sea:
I. ~{~(t => s) A ~[(~p A q) => (r A p)]} = F
V
II. ~( t=»s)A~[ (~pAq)«( rAp) ] = V
V V
11!. ~ ( t ^ s ) = « V
t = » s = F =»t = V ; s = F
IV. ~[(~pAq) => (rAp)] = V
F
- Luego: (~p a q) =» (r A p) = F 
y
Entonces: ~p a q = V
V V =>p = F ;q = V 
También: r A p = F
rA F = F = » r = F 
Son verdaderos: 2
50. Si: p V (r => w) = ~(t => t) V ~(p p) 
Simplificar la proposición molecular;
[(p =í (q A r)] A { [ ( ~ t V q) A (q =* ~q)] v ~ t } 
Resoiución;
p V (r =» Vií) = ~ ( t =» t) V ~ (p =* p)
= ~ H V t) V ~(~p V p)
V V
F V F = F
p V (r ^ w) = F 
t t t 
F V F
Reemplazando estos valores en la proposición pedida: 
[(p =» (q A r)] A { [(~t V q) A (q =» ~q)] v ~t}
t
F
V A { [(~t V q) A (~q V --q)] v ~t}
Idempotencia
V A { [ ( ~ t vq ) A~q 3 v ~t}
Absorción
V A {[(~q A ~ t)] V --t}
Absorción
V A ~t = ~t
51. “Et equivalente de la proposición: Si Juan es depor­
tista. mantiene una dieta estricta"
Es:
I. O Juan es deportista o mantiene una dieta es­
tricta.
IL Juan no es deportista y mantiene una dieta es­
tricta.
III. Juan mantiene una dieta estricta o no es depor­
tista.
IV. Juan es deportista y no mantiene una dieta es­
tricta.
V. Juan no es deportista y no mantiene ta dieta 
estricta.
Resoiución:
Simbolizando;
Si Juan es deportista, mantiene una dieta estricta, 
p : Juan es deportista 
q : mantiene una dieta estricta 
Si:p, q = p=»q
Equivatente: ~p v q, por condicional 
Luego;
‘Juan no es deportista o mantiene una dieta es­
tricta".
= “Juan mantiene una dieta estricta o no es de­
portista”.
52. Si vas at estadio pierdes tu dinero. Si no vas al es­
tadio, vas a la playa.
Si no fuiste a la playa, entonces:
I. No fuiste al estadio.
II. No perdiste tu dinero, 
til. Pierdes tu dinero.
IV. Fuiste al estadio y ganaste dinero.
V. Perdiste tu dinero y no fuiste a la playa.
Resoiución:
Consideremos: 
p : vas al estadio 
q ; pierdes tu dinero 
r : vas a la playa
Simbolizando tos enunciados, tenemos;
I. p=»q
II. ~p ^ r
Por propiedad de la condicional;
~p =» r = ~r » ~(~p), transposición.
= ~r =» p, doble negación
III. -r=»p
De I y Iti: ~r => p a p q 
~r=» q (transitiva)
Luego:
“Si no vas a la playa entonces pierdes tu dinero”.
53. Si la proposición:
(~p A q) => [(p a r) V t] = F 
Hallar el valor de verdad de;
I- ~ t (~ pv ~q )« ( r v~ t ) ]
II. ( ~ q A ~ r ) v H A ( p v q ) ]
III. ~ {~[~(p « p) - (s A w ))}
Resoiución:
De; (~p A q) * [(p A r) V t] = F
• ~p A q = V
V V p = F; q = V
• (p A r) V t = F
F F t = F
Luego, analizando cada caso: 
I. ~ [ {~ p v ~ q )^ ( r v ~ t ) ] = F
V V
V V
I. (~q A~ r )v [~ tA (p vq ) ] = V
F y V.
F V
II. W H p «P)== (s a w ) ] } = V
F F
V
F FW
54. De la ̂ Isedad de: (p => ~q) v (~ r : 
Hallar el valor de verdad de:
I. - ( ~ q v ~ s ) « ~ p
II. ~(~r A s) ^ (~p =» q)
III. p =, ~[q => ~{s =» r)]
Resoiución:
Del problema:
rp = V
(p=»~q) = F=» Iq _ y
(~-r^~s) = f q » { g “ y
q
Al reemplazar, se tendrá;
V F
-s)
' R A ^
y ® y
F
(~P =» q) 
F V
F
l -^=»~[q_«
V V v i
FFF
55. Hallar el equivalente del drcuito:
--------- ~p-----------
h P -
Resoiuclón:
Reduciendo el circuito;
(~ p V q ) A p 
p A (~p V q) 
p v q
Conmutativa
Absorción
56. Si el costo de cada llave en la instalación mostrada 
es de S/.10, ¿en cuánto se redudrá el costo de 
esta instalación si se reemplaza este drcuito por 
uno equivalente más simple?
Resolución:
Considerando que:
 p q. = p A q
= p v q |— P— 1
— q —
El circuito mostrado es equivalente a:
[ (p V q ) A p A q ] V p A r A (~r V q)
Absordón Absordón
( p A q ) v ( r A q A p ) = p A q s — p q>
Absorción 2 llaves
Por lo tanto, las 8 llaves del drcuito mostrado pue­
den ser reemplazadas por 2.
Ahorro; (8 - 2) x S/.10 = S/.60
57. El circuito lógico más simple que representa a: 
---------- p------------- 1 I— P-
— -p.
Es:
Resolución:
Simbolizando el circuito, tenemos:
[~ p V (~ p A q A r)] A ( p V q)
Por la absorción, se tiene:
= -p A ( p V q)
= ~ p A q
El circuito equivalente resulta;
~ p q ------
58. Dada las proposiciones:
q; “ (7 es un número nactonal’’ 
p y r cualquier proposición, además se sat>e que: 
~ l(r V q) =» (r => p)] es verdadera.
Hallar el valor de verdad de:
¡. r - ( ~ p v ~ q )
II. [(r ̂ (p A q)] « (q A ~p) 
m. (r V ~p) A (q V p)
Resolución;
Del dato, q = F, además: 
( r v q ) « ( r « p ) = F
F
I. r=* p = F II. r V q = V
V F V F
p s F ; q = F-, r = V
Luego;
I. r=»(~pv~q) = V
V V V
V
II. [ r « ( p A q ) ] (qA~p) = V 
V F F V
III. ( r v~p) A ( q v p ) = F 
V V F F
V F
W F
59. Si la proposición q =» r es falsa, detennine el valor 
de verdad de las siguientes proposiciones; 
i. r A (p V r) II. ~(q A r)
l l i .(rA~q)=sp IV. p A (q » r)
Resolución:
Sabemos que: q ^ r = F 
V F
.-. q = V; r = F 
Luego;
I. r A (p V r) = F 
F V
~ ( q A r ) s V
V F
p = V IV. p A (q 
, V
• r) = F
F_,
ill. ( rA~q) 
F F 
F
.-. FWF
60. ¿Cuál(es) de ias proposiciones son equivalentes a: 
Es necesario ser adulto y pagar diez soles para ver 
)a película en el cine.
i. No ser adulto o no pagar diez soles es suficien­
te para no ver la película en el cine.
II. No ver la pelícuia o ser adulto, y pagar diez sotes, 
ili. Pagar diez soles y ser adulto, o no ver la pelícu­
la en ei cine.
Resolución:
Sean las proposiciones: 
p; ser aduito 
q: pagar diez soies 
r: ver la película en eí cine 
Luego:
Es necesario ser aduito y pagar diez soies para ver 
ía petíojía en el cine.
Se simboliza; r =» (p A q) y las 3 proposiciones si­
guientes:
i. ( ~ p v ~ q ) = » ~ r = - ( ~ p v ~ q ) v ~ r 
= (p A q) V ~ r = r (p A q)
II. ( ~ r v p ) A q
Iii. (qAp)v(~r ) = r ^ ( p A q )
.'. i y ííl son equivalentes a la primera.
61. Cuáles de ias siguientes proposiciones son equiva­
lentes:
I. El café es agradable, a menos que se le añada 
azúcar.
II. El café es agradable s) no añadimos azúcar.
Iii. SI añadimos azúcar, ei café es agradabíe.
ÍV. Si añadimos azúcar, ei café no es agradabíe.
Resolución:
Simbolizando las proposiciones, tenemos: 
p ; el café es agradable 
q ; se le añade azúcar
I. p, a menos que q = p a q
II. p si no q = ~q =» p
III. si q, p = q » p
ÍV. si q, no p = q => ~p
Expresando tas condicionaíes en función