Algebra moderna e introduccion al algebra geometrica

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Róbinson Castro Puche
moderna
Álgebra
e introducción al
álgebra geométrica
ECOE EDICIONES
Róbinson Castro Puche. 
Licenciado en Matemáticas, 
Universidad Nacional de 
Colombia, Bogotá. 
Master of Arts Mathematics 
Education, Ball State University, 
Muncie, Indiana, USA. Profesor 
titular de la Universidad de 
Córdoba, Montería, donde 
además ejerció las funciones de 
Secretario Académico de la 
Facultad de Ciencias, Director del 
departamento de Matemáticas y 
Director de la oficina de Registro 
y Admisiones. Es además, 
docente adscrito a la Universidad 
Nacional de Colombia, 1993 a 
1994.
ÁLGEBRA MODERNA
e introducción al álgebra
geométrica
RÓBINSON CASTRO PUCHE
Álgebra moderna
e introducción al álgebra geométrica
Copyright c© Róbinson Castro Puche. Es propiedad intelectual del autor.
Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción total o parcial, por
cualquier medio o con cualquier propósito, sin autorización escrita del autor.
Monteŕıa – Colombia
robinson castro p@hotmail.com
ISBN: 978-958-648-850-1
Primera edición: 2013
Diagramación: En LATEX realizada por Róbinson Castro Puche
Diseño de Carátula: Wilson Marulanda
Impreso por Ecoe Ediciones Ltda., Bogotá
E-mail: correo@ecoeedicioes.com
www.ecoeedicioes.com
Carrera 19 No 63C-32, Pbx: 2481449, fax. 346 1741
Coordinación editorial: Andrea del Pilar Sierra
Impreso en Colombia
Depósito legal: Hecho.
Catalogación en la publicación – Biblioteca Nacional de Colombia
Castro Puche, Róbinson
Álgebra moderna e introducción al álgebra geométrica / Róbinson 
Castro Puche – 1ª. ed. – Bogotá : Ecoe Ediciones, 2013
 p. – (Ciencias exactas. Matemáticas)
ISBN 978-958-648-850-1
 1. Aritmética 2. Álgebra 3. Geometría algebraica I. Título II. Serie
CDD: 512 ed. 20 CO-BoBN– a834338
www.ecoeediciones.com
mailto:correo@ecoeediciones.com
mailto:robinson castro p@hotmail.com
A Olga, la esposa; Milton, Tania, Jaime y Glenna, los hijos;
Alejandro, Andrea, Paula, Valery, Daniel y Sara, los nietos.
Índice general
EL AUTOR V
PRESENTACIÓN VII
PREFACIO IX
1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA 3
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. El m.c.d y el m.c.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3. Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4. Criterios de divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5. Sistemas de numeración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5.1. Cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5.2. Operaciones en base cualquiera . . . . . . . . . . . . . 45
2. GRUPOS 53
2.1. Leyes de composición internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3. Grupos finitos y construcción de tablas . . . . . . . . . . . . . 61
2.4. Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.5. Grupos de permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.6. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.7. Grupos Ćıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.8. Aplicaciones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS 101
3.1. Grupos con operadores externos . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
i
ii ÍNDICE GENERAL
3.2. Producto de las partes de G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3. Δ–Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.4. Clases laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.5. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.6. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.7. Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4. ANILLOS 141
4.1. Definición y Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.2. El Anillo Zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.3. El anillo de los Endomorfismos de A . . . . . . . . . . . . . . 147
4.4. Divisores de Cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.5. Dominios–Semicampos–Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.5.1. Subdominios–Subcampos . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.6. Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.7. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.8. Otras clases de ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.9. Dominios Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.10. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.11. Dominios de factorización única . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.12. El campo de cocientes de un dominio . . . . . . . . . . . . . . 185
4.13. Caracteŕısticas de Dominios y Campos . . . . . . . . . . . . . 192
5. ANILLOS DE POLINOMIOS 199
5.1. Construcción del anillo F [ x ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.2. Polinomios Irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.3. Extensiones de Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.4. Los ceros de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.5. El Dominio de Factorizacion Unica D[ x ] . . . . . . . . . . . . 230
6. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA 239
6.1. Álgebras de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.1.1. Bases y dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.1.2. El producto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
6.1.3. El producto de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
6.2. Álgebras del plano y el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.2.1. El álgebra tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.2.2. Trivectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
ÍNDICE GENERAL iii
6.3. El álgebra Cln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6.3.1. Bases algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
6.4. La transformación dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
6.4.1. Propiedades generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.4.2. Involuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
6.5. Los productos interno y externo . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.6. Multivectores de grado k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
6.7. La norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
6.7.1. El inverso de A〈k〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.8. Representación matricial del producto . . . . . . . . . . . . . . 288
6.9. El inverso de un multivector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
6.9.1. El producto geométrico en Cl3 . . . . . . . . . . . . . . 294
6.10. Versores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
6.11. El plano euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
6.11.1. Interpretación geométrica de los bivectores en el plano
euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
6.11.2. El i-plano espinor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
EL AUTOR
RÓBINSON CASTRO PUCHE
Licenciado en Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá.
Master of Arts Mathematics Education, Ball State University, Muncie, In-
diana, USA.
En la Universidad de Córdoba, en Monteŕıa, ejerció las funciones de secreta-
rio académico de la Facultad de Ciencias, director de la Oficina de Registro
y Admisiones, director del Departamento de Matemáticas y profesor titular.
También fue rector del Colegio El Carmen de Cotorra, Córdoba y entre di-
ciembre de 1993 y noviembre de 1994, fue docente adscrito a la Universidad
Nacional de Colombia.
v
PRESENTACIÓN
Álgebra moderna e introducción al álgebra geométrica es un texto
cuyo objetivo es promover una actitud matemática positiva entre los estu-
diantes de una asignatura reconocida tradicionalmentecomo una disciplina
abstracta, en la que se estudian entes aparentemente distantes de la realidad
concreta y de la experiencia tangible.
¿Qué se persigue con la enseñanza del álgebra moderna en las instituciones
de educación superior? Ciertamente no es hacer conocer al futuro matemático
una serie de teoremas y ejercicios ingeniosos relacionados con las estructuras
algebraicas, sino enseñarle a ordenar el pensamiento con arreglo al método
axiomático, para desarrollar el rigor del juicio lógico, indispensable en la
labor del matemático.
En ese aspecto, el autor presenta un trabajo prolijo que será de gran ayu-
da a los estudiantes que se inician en el conocimiento del álgebra moderna.
El texto está agradablemente redactado y en algunos aspectos presenta ori-
ginalidad en la exposición y concatenación lógica de los temas, cosa dif́ıcil de
lograr con un material que hoy es completamente estándar. De acuerdo con
mi criterio, esto último representa un aspecto muy valioso del libro.
Conociendo las cualidades pedagógicas del profesor Róbinson Castro, veo
en la presente obra la continuación de su convicción de poner en práctica las
teoŕıas de la enseñanza de las matemáticas desarrolladas por Piaget; por esta
razón puedo afirmar que estamos, sin duda, frente a un material valioso para
los interesados en conocer de cerca los fundamentos del álgebra moderna.
RAFAEL OBREGÓN, Msc.
Los Ángeles, California, USA. enero de 2013.
vii
PREFACIO
Si nos ubicamos en la posición del maestro, de enseñar la teoŕıa o en la del
epistemólogo, que tiene que ver con la naturaleza de los entes matemáticos;
el problema consiste en saber si las conexiones matemáticas son engendradas
por la inteligencia o si esta las descubre como una relidad exterior.
Jean Piaget en su disertación, con motivo del Coloquio de la Rochette
de Melun en 1952, refiriéndose a las estructuras matemáticas; expresó: Un
grupo es un sistema operatorio; la cuestión estriba en saber si los elementos
de diversa naturaleza a los que se aplica la estructura existen previamente
a esta, o si, por el contrario, es la acción de la estructura la que confiere
a los elementos sus propiedades esenciales. El problema sicológico consiste
en establecer si los entes que sirven de elementos a las estructuras son el
resultado de las operaciones que los engendran o si preexisten a aquellas
operaciones que se aplican a ellos.
Para dar respuesta al dilema, continuó diciendo: En vez de definir los
elementos aisladamente por convenio, la definición estructural consiste en
carcterizarlos por las relaciones operatorias que mantienen entre śı, en fun-
ción del sistema. Y la definición estructural de un elemento hará las veces
de demostración de la necesidad de este elemento, en cuanto está concebido
como perteneciente a un sistema cuyas partes son interdependientes.
Teniendo en cuenta el criterio de Piaget, el objetivo principal de este
trabajo es poner a la consideración de la comunidad matemática un texto
que proporcione a los estudiantes las bases teóricas del álgebra moderna que
les permita abordar con éxito una disciplina con un alto grado de abstracción.
Dominar las ideas expuestas en el texto constituye un paso fundamental para
el estudio de teoŕıas más avanzadas relacionadas con el desarrollo axiomático
de las matemáticas.
En concordancia con lo anterior, el texto está diseñado para usarlo co-
mo guia para un primer curso de álgebra moderna. Se encuentra dividido
ix
x PREFACIO
en seis caṕıtulos. En el primero se estudian los aspectos más relevantes de
la aritmética elemental, comenzando con la caracterización de los números
naturales tomando como fundamento los postulados de Peano. A partir del
concepto de divisibilidad se estudian las congruencias, concluyendo con una
presentación suscinta de los sistemas de numerción de base diferente a la
decimal.
Los caṕıtulos segundo y tercero están dedicados al desarrollo de los gru-
pos. El material consignado es el que tradicionalmente se estudia, pero he
considerado que desde el punto de vista didáctico los subgrupos normales se
introduzcan a través de los automorfismos internos.
Los caṕıtulos cuarto y quinto están dedicados a los anillos. El cuarto se
inicia con una descripción detallado de los enteros módulo n, se extiende el
estudio de la divisibilidad a los anillos en general y se desarrolla la teoŕıa
correspondiente a las estructuras algebraicas hasta la noción de campo. El
quinto correponde al anillo de los polinomios.
El álgebra geométrica es un tópico que en la actualidad no cuenta con
una amplia difusión como herramienta matemática aplicada a la solución de
algunos problemas de la ingenieŕıa; donde el análisis vectorial estándar, en
dos y tres dimensiones, y el álgebra matricial son las ayudas ampliamente
usadas. Pero lo cierto es que cada d́ıa aumenta el número de investigadores
convencidos de la utilidad de esta rama descubierta por Günther Grassmann.
Presentar las bases mı́nimas de esta teoŕıa, tiene como propósito invitar
a los interesados a profundizar en su estudio e investigar acerca de la im-
portancia de esta herrmienta en la reformulación de algunos conceptos de la
f́ısica.
El autor.
Monteŕıa, enero de 2013.
ÁLGEBRA MODERNA
e introducción al álgebra
geométrica
Caṕıtulo 1
TEORÍA DE LA
ARITMÉTICA
Introducción
El punto de partida es aceptar que los enteros y sus operaciones aritméticas
han sido objeto de análisis. El interés primario será estudiar los fundamentos
de la aritmética elemental. Se supone conocido el desarrollo axiomático de
los naturales propuesto por G. Peano en 1889 que permite concebirlos como
la colección {0, 1, 2, . . . , n, . . . } y una operación unaria, la función siguiente
o sucesor que verifica los postulados de Peano:
1. Cero es un número.
2. El sucesor de un número es único.
3. Cero no es el sucesor de ningún número.
4. Si Sig(n) = Sig(m), entonces n = m.
5. El principio de inducción completa: Dado un conjunto M de números
naturales con las dos propiedades siguientes:
a) Cero pertenece a M.
b) Si n pertenece a M implica que Sig(n) también pertenece a M ;
entonces M contiene a todos los números naturales.
3
4 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
Partiendo de estos fundamentos se define la adición mediante las fórmulas:
Sig(n) = n + 1
Sig[Sig(n)] = n + 2
y aśı sucesivamente,
n+ Sig(m) = Sig(n+m)
llamadas fórmulas de recurrencia.
La multiplicación se expresa en términos de la adición por:
nm = m+m+ · · ·+m︸ ︷︷ ︸
n veces
indicando que el número m se ha sumado n veces.
Los enteros serán el resultado de reunir los naturales con sus respectivos
inversos aditivos, o sea:
{. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
Más tarde se estudiarán como ejemplos de sistemas numéricos espećıficos
objeto del álgebra moderna.
La representación polinómica de los enteros será igualmente asumida,
dándose por cierto que para todo entero t > 1, cada uno de los enteros a > 0
puede representarse en forma única como
a = c0 + c1t+ · · ·+ cn−1tn−1 + cntn =
n∑
i=0
cit
i
donde cn es positivo y 0 ≤ ci < t, para 0 ≤ i ≤ n. Esta proposición garantiza
que cada entero mayor que 1 puede servir como base para un sistema de
numeración.
Las precisiones expuestas servirán para movernos con libertad suficiente
en el desarrollo de algunos tópicos cuya construcción está por fuera de los
objetivos planteados.
Construir triángulos rectángulos con lados enteros fue objeto de investi-
gación por parte de los babilonios 1600 años antes de Cristo. No solamente
le dieron solución a este problema sino que lo aplicaron a la trigonometŕıa
5
construyendo tablas. Euclides en el décimo libro de los Elementos escribió un
análisis detallado al plantear la solución en los enteros de la ecuación:
x2 + y2 = z2
conocida como ecuación pitagórica, debido a la creencia que fue Pitágoras
quien la planteó por primera vez en el año 550antes de Cristo. Las soluciones
más simples están conformadas por 3, 4, 5 y 5, 12, 13 y múltiplos de estos, por
ejemplo 6, 8, 10 que es el doble de la primera y 25, 60, 65 que es cinco veces la
segunda. Tal vez se piense que no haya otras, pero efectivamente las hay. En
los triángulos de lados 3, 4, 5 y 5, 12, 13 la hipotenusa es una unidad mayor
que uno de los catetos. Si a y b son los catetos y la hipotenusa es b + 1, de
acuerdo con el teorema de Pitágoras
a2 + b2 = (b+ 1)2.
Realizando las operaciones pertinentes se llega a la igualdad
a2 = 2b+ 1
de donde se concluye que a2 es impar y por lo tanto a también lo es. Tomando
a = 2n+ 1,
reemplazando en la igualdad anterior se observa que
b = 2n2 + 2n
lo que lleva a deducir que (2n+1), (2n2+2n), (2n2+2n+1) son los lados de un
triángulo rectángulo, donde la última expresión corresponde a la hipotenusa.
Pero los anteriores distan de ser todos, estos se encuentran a través de la
solución de la ecuación
x2 + y2 = z2
ecuación que tiene infinitas soluciones si x, y, z son primos relativos; y es par
positivo; x, z ambos impares positivos. Las soluciones vienen dadas por
x = u2 − v2, y = 2uv, z = u2 + v2
donde u, v son enteros que satisfacen las condiciones u > v > 0, son primos
relativos y uno de los dos es par. Si u = 2, v = 1 se tiene la solución 3, 4, 5.
Si u = 3, v = 2, la solución es 5, 12, 13.
6 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
La mejor contribución de Euclides a la aritmética fue el desarrollo de las
demostraciones del algoritmo euclidiano, la existencia de un número infinito
de primos y el teorema fundamental de la aritmética que establece que todo
entero distinto de cero se puede expresar como el producto de un número
finito de factores primos, conceptos que tienen su fundamento en la relación
de divisibilidad.
Fermat estudió la ecuación
xn + yn = zn
para enteros n ≥ 3. Afirmó tener una solución asegurando que, excepto para
el caso en que n = 2, no hab́ıa solución diferente a 0, 0, 0. Desafortunadamente
no la dio a conocer siendo este uno de los tres problemas insolubles más
famosos. Este hecho se nombra en la historia como el último teorema de
Fermat o el teorema grande de Fermat, en contraposición al conocido como
el teorema menor de Fermat, cuyo enunciado establece que si p es primo,
entonces para todo a,
ap ≡ a mod p.
Y si p no divide a a,
ap − 1 ≡ 1 mod p.
Lo de menor tal vez fue para resaltar la importancia del primero. Un caso
especial del teorema menor de Fermat establece que si p es primo, entonces
p|(2p − 2).
Los chinos creyeron por mucho tiempo que el rećıproco también era cierto y
lo verificaron hasta 300. Consideraron durante más de 23 siglos que era una
regla infalible para decidir primalidad, pero falla para 341 = 11× 31.
Debido a que 2341− 2 consta de 103 cifras comprobarlo se pospone hasta
cuando haya la teoŕıa suficiente.
1.1. Divisibilidad
Definición 1.1.1. Considérense los enteros a, b con a �= 0. Si existe un
entero c tal que b = ac, se dice que a divide a b y se escribe a|b. Si a no
divide a b, se escribe a � b.
1.1. DIVISIBILIDAD 7
Como 8 = 2× 3 + 2 , se deduce que 3 � 8. Otros ejemplos son:
5|15, 1|4, (−2)|6, 2|(−8), 5 � 14.
La relación de divisibilidad no es una equivalencia debido a que no es simétri-
ca, por ejemplo 3|6, pero 6 � 3.
Es fácil verificar que es reflexiva y transitiva.
Para todo entero a diferente de cero, existe el entero 1, tal que a = a× 1
y de acuerdo con la definición a|a indicando que es reflexiva.
Sean a, b, c tres enteros donde a y b son ambos diferentes de cero tales
que a|b y b|c entonces existen enteros d, e que satisfacen las igualdades
b = ad, c = be.
Si el valor de b en la primera igualdad lo reemplazamos en la segunda se
obtiene
c = (ad)e = a(de)
y como de es un entero se concluye que a|c, infiriéndose que es una relación
transitiva.
Las siguientes proposiciones son otras propiedades de la divisibilidad que
se pueden deducir usando la definición. Como es tradicional las letras se
usarán para representar enteros. Para evitar confusiones las cifras enteras se
escriben sin usar los puntos correspondientes a la escritura formal. El punto
y el signo × se usan para expresar producto, por ejemplo, 23 · 45 y 23× 45
significan ��23 por 45��, mientras que 2345 debe leerse ��dos mil trescientos
cuarenta y cinco��.
1. Si a|b y b|a, entonces a = b o a = −b.
2. Si a|b y a|c, entonces a|(bx ± cy) para toda pareja x, y. En particular
a|(b± c). Si a|b, entonces a|bx, para todo x.
3. Si a|b y b > 0, entonces a ≤ b.
4. Para todo a �= 0 y para todo b, a|0 y ±1|b.
5. Sean a, b, k con a �= 0, k �= 0, entonces a|b si y solo si ak|bk.
6. Si a|b y b �= 0, entonces | a | ≤ | b |.
8 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
Note que el orden en que aparecen las anteriores proposiciones no es impor-
tante, por ejemplo la proposición (3) se puede considerar como una conse-
cuencia de (6) pero es posible hacer una demostración directa de (3) sin usar
(6).
Definición 1.1.2. Dos enteros a, b ambos diferentes de cero tales que a|b y
b|a se dice que son asociados.
De acuerdo con (1) los únicos asociados de un entero a son a y −a.
Para demostrar la propiedad (1) se deben tomar dos asociados y concluir
que son iguales o que solo difieren en el signo. Para el efecto tómense los
asociados a, b. Por definición existen c y d tales que
b = ac, a = bd.
Si el valor de a, en la igualdad de la derecha, lo reemplazamos en la de la
izquierda se obtiene
b = (bd)c = b(dc)
y de esta última se deduce que dc = 1, pero debido a que d y c son enteros,
únicamente se pueden tener dos posibilidades, d = c = 1 o d = c = −1. Si
ocurre la primera posibilidad, reemplazando a c se concluye de la primera
igualdad que b = a. Si ocurre la segunda se obtiene b = −a.
Para demostrar la propiedad (2) se supone que a|b y a|c, luego existen
enteros m,n tales que
b = am
c = an.
Multiplicando ambos miembros de la primera igualdad por x y los de la
segunda por y, sumando miembro a miembro y factorizando a, se tiene
bx+ cy = a(mx+ ny).
Por la selección de m, x, n, y, (mx+ny) es un entero, t lo que permite concluir
que
bx+ cy = at
de donde se puede afirmar que a|(bx + cy). Haciendo x = y = 1, obtenemos
a|(b + c). Si reemplazamos a x por 1, a y por −1 entonces a|(b − c). Si se
iguala c con cero se concluye que a|bx.
1.1. DIVISIBILIDAD 9
Hay dos hechos importantes de la aritmética que usaremos a lo largo
del texto. El primero afirma que cualquier conjunto de enteros positivos que
contenga al menos un elemento contiene un elemento mı́nimo, y es conocido
como el principio de la buena ordenación. El segundo es una consecuencia
del primero y se ha mencionado con anterioridad, es el algoritmo de Euclides
o algoritmo de la división. Se denomina algoritmo porque proporciona un
método mediante el cual se pueden hallar cocientes y residuos al momento
de dividir.
Definición 1.1.3. Un entero p es primo si siendo distinto de cero y de ±1
es divisible solamente por ±1 y ±p.
Definición 1.1.4. Un natural n �= 1 se dice compuesto si no es primo, esto
es, si existen naturales d1 y d2 tales que 1 < d1 < n, 1 < d2 < n con n = d1d2.
Teorema 1.1.1 (El algoritmo de la división). Si a es un número natural
y b es un entero, existen enteros únicos q, r tales que b = aq+r, con 0 ≤ r < a.
Demostración. De la igualdad b = at + r, se obtiene r = b − at. Tómese el
conjunto
S = {b− at, t ∈ Z} ⊆ Z.
Consideremos b ≥ 0, como t recorre el conjunto de los enteros, sea t = 0. En
este caso b− at ≥ 0.
Supongamos que b < 0 por idéntica razón hagamos t = b. En dicho caso,
b− at = b− ab = b(1− a).
Pero, 1 ≤ a entonces, b(1−a) ≥ 0 es decir, b−at ≥ 0, lo que permite afirmar
que el conjunto S posee elementos no negativos. Sea D ⊆ S formado por
los elementos no negativos de S. Por el principio de la buena ordenación, D
tiene un elemento mı́nimo. Tomando r como este número y a q como el mayor
entero que satisface la condición b− aq ≥ 0, se deduce que, r = b − aq ≥ 0.
Restandoa a ambos miembros y factorizando,
r − a = b− aq − a = b− a(q + 1).
Pero, q + 1 > q y por la selección de q debe tenerse que
b− a(q + 1) < 0
10 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
o sea,
r − a < 0
de donde se concluye que r < a lo que permite escribir
0 ≤ r < a.
Para demostrar la unicidad supongamos que q y r no son únicos. Sean q1 y
r1 enteros tales que b = aq1 + r1, con 0 ≤ r1 < a. Por la propiedad transitiva
de la igualdad,
aq1 + r1 = aq + r.
Supongamos que r > r1, entonces r − r1 > 0. Trasponiendo términos y
factorizando,
0 < r − r1 = a(q1 − q)
de donde se tiene que a|(r − r1).
Pero 0 ≤ r1 < a, implica que −a < −r1 ≤ 0 y como 0 ≤ r < a se pueden
sumar miembro a miembro estas desigualdades dando como resultado
−a < (r − r1) < a
o sea,
(r − r1) < a.
De acuerdo con la propiedad (3) de divisibilidad, como a|(r − r1), necesa-
riamente a < (r − r1); lo cual es una contradicción. Por lo tanto, r no es
mayor que r1. Suponer que r1 es mayor que r conduce a una contradicción
similar, de donde se deduce que r1 no es mayor que r, quedando como única
posibilidad, r = r1.
De la expresión r − r1 = a(q1 − q) observamos que 0 = a(q1 − q) y como
a es diferente de cero se concluye que (q1 − q) = 0 y por lo tanto, q = q1. En
śıntesis la unicidad del cociente y el residuo quedan demostradas.
El quinto axioma de Peano es el principio de inducción, este enuncia-
do establece que dada una proposición P (n). Si P (0) es verdadera y para
cualquier k, la veracidad de P (k) implica la de P (k + 1), entonces P (n) es
verdadera para todo natural n. De este principio se conocen cinco formas,
la tercera tiene relación con el buen orden y es la clave para demostrar que
todo subconjunto S de los naturales que contenga a cero y contenga a n+1,
siempre que contenga a n, contiene también a todos los naturales. La quinta
forma nos permite realizar inducción a partir de un determinado natural k.
1.1. DIVISIBILIDAD 11
Para ilustrar el método de inducción matemática realizamos el siguiente
ejercicio.
Ejemplo 1.1.1. Para todo natural s, 11|(102s+1 + 1).
Demostración. Por inducción.
102+1 + 1 = 103 + 1
= 1001
= 11× 91.
De las igualdades se ve que la proposición es válida para s = 1.
Supongamos que es válida para s, esto es,
102s+1 + 1 = 11k.
Multiplicando ambos miembros de esta igualdad por 100,
102s+3 + 100 = 100× 11k.
Descomponiendo y factorizando el exponente y transponiendo términos,
102(s+1)+1 = 100× 11k − 100.
Sumando 1 a ambos miembros,
102(s+1)+1 + 1 = 100× 11k − 99
= 100× 11k − 11× 9
= 11(100k − 9).
Lo anterior permite inferir que la proposición es válida para s+1, luego debe
serlo también para todo natural.
Con respecto a los primos surgen algunas inquietudes referentes a su
número, a la existencia de una regla para calcular su secuencia, fórmulas para
determinarlos y muchos otros interrogantes estudiados por los matemáticos
de todos los tiempos entre los que se pueden mencionar, Euclides, Fermat,
Euler, Pòlya. En 1914 D. N. Lehmer calculó la lista de los primos desde el
primero hasta el que ocupa el 664999-ésimo lugar, este último resultó ser
10006721.
El siguiente enunciado sirve para establecer primalidad en un solo sentido
12 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
Ejemplo 1.1.2. Si 2n − 1 es primo, entonces n es primo, para n ≥ 2.
Solución. Para demostrarlo supongamos que n es compuesto, es decir, existen
naturales a, b tales que, 1 < a < n, 1 < b < n, con n = ab, entonces
2n − 1 = 2ab − 1
= (2a)b − 1
= cb − 1
= (c− 1)(cb−1 + cb−2 + · · ·+ c+ 1)
donde c ≥ 4. En consecuencia, 2n − 1 es el producto de un entero mayor o
igual a 3, por un entero mayor o igual a 5, contradiciendo la hipótesis, luego
la proposición se sigue.
El rećıproco no es cierto, ya que para 11, 211−1 = 2047 que es compuesto.
Ejemplo 1.1.3. La suma de los cuadrados de dos números impares no puede
ser un cuadrado perfecto
Solución. Para un entero cualquiera k, los posibles residuos al dividir por 4
son 0, 1, 2, 3, lo que significa que k es de una de las formas 4t, 4t+ 1, 4t+ 2,
4t + 3, y por consiguiente k2 se puede escribir como 16t2, 4(4t2 + 2t) + 1,
4(4t2 + 4t+ 1), 4(4t2 + 6t+ 2) + 1. Por lo visto el residuo de dividir k2 por 4
es 0 o 1.
Tomemos los impares x = 2n+ 1, y = 2m+ 1, elevándolos al cuadrado y
sumando
x2 + y2 = (4n2 + 4n+ 1) + (4m2 + 4m+ 1)
= 4(n2 +m2 + n+m) + 2
lo que lleva a concluir que al dividir x2 + y2 por 4 el residuo es 2. En mejores
palabras x2 + y2 no es un cuadrado perfecto.
Teorema 1.1.2. El menor divisor positivo mayor que 1, de un entero n > 1
es un primo.
Demostración. Sea n ∈ N− {1}, m > 1 el menor divisor positivo de n. Por
definición m|n. Si n es primo, n = m luego m es primo.
Sea n compuesto y suponga que m no es primo. Como m > 1, debe ser
compuesto, esto es, existe un natural d tal que 1 < d < m y d|m, pero por
hipótesis m|n. Por la propiedad transitiva de la divisibilidad, d|n contradi-
ciendo la minimalidad de m. Por consiguiente m debe ser primo.
1.1. DIVISIBILIDAD 13
Teorema 1.1.3. Todo compuesto es el producto de un número finito de
factores primos.
Demostración. Supongamos que existen compuestos que son el producto de
un infinito número de factores primos. Por el principio de la buena ordenación
existe m el menor compuesto que puede expresarse como un número infinito
de factores primos. Por el teorema 1.1.2, existe un primo p, 1 < p < m
además p|m, entonces
1
p
< 1 <
m
p
.
Multiplicando por m la primera desigualdad tenemos, m
p
< m, luego
1 <
m
p
< m.
Como m
p
es un natural, entonces
m
p
= p1p2 · · · pr
con pi un primo, para 1 ≤ i ≤ r, r es un número fijo. Dicho en otras palabras
m
p
debe ser el producto de un número finito de factores primos ya que es menor
que m y como es sabido, m es el menor compuesto que puede escribirse como
el producto de un infinito número de factores primos. Pero,
m = p(
m
p
) = p(p1p2 · · · pr)
indicando que m es el producto de un número finito de factores primos,
contradiciendo el supuesto. En conclusión, todo compuesto es el producto de
un número finito de factores primos.
Teorema 1.1.4 (Teorema fundamental de la aritmética). Todo entero
distinto de cero puede expresarse como el producto de (±1) por un número
finito de factores primos. Esta expresión es única salvo el orden en que los
factores se consideren.
Demostración. Si n es primo el teorema es inmediato. Si es compuesto basta
aplicar el teorema 1.1.3 teniendo en cuenta el signo y asunto concluido.
Unicidad. Dado n > 1 suponga que se puede escribir en dos formas
diferentes como producto de primos
n = p1p2 · · ·pr = q1q2 · · · qs
14 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
como p1 es un factor de n, p1|q1q2 · · · qs, por tanto p1|qj para 1 ≤ j ≤ s.
Ordenando nuevamente los sub́ındices de ser necesario se concluye que p1|q1.
Pero al ser primos cada uno de ellos, obligatoriamente p1 = q1. Cancelando
a ambos miembros de la igualdad se llega a
p2 · · · pr = q2 · · · qs.
Siguiendo un proceso similar se concluye que p2 = q2. Y aśı sucesivamente,
p3 = q3, . . . , pr = qs.
Sin pérdida de generalidad se puede aceptar que r ≤ s. Si r < s cancelando
factores iguales en la primera igualdad se llega a
1 = qr+1 · · · qs
lo que es imposible porque cada uno de los primos de la derecha es mayor
que 1, llegando a la conclusión que r = s y de aqúı a que pi = qi, para todo
i, 1 ≤ i ≤ r. Si n es negativo el primer factor será (−1) seguido por factores
primos positivos.
Para responder a la inquietud relacionada con la cantidad total de primos,
supongamos que existe un número finito de ellos y escribamos la sucesión de
todos los primos {p1, p2, . . . , pr}. Sea p el entero definido como sigue
p = (p1p2 . . . pr) + 1, p > pi para 1 ≤ i ≤ r,
p necesariamente es compuesto y debe existir un primo pj de la colección
dada tal que pj |p y como pj |p1p2 . . . pr sigue que pj|(p − p1p2 . . . pr) pero
esta afirmación equivale a decir que pj |1, contraviniendo el hecho de ser
pj �= 1. Ahora podemos asegurar formalmenteque el número de primos es
infinito.
Como aplicación del teorema 1.1.4 se propone el siguiente ejercicio.
Ejemplo 1.1.4. Hallar todos los primos que son una unidad menor que un
cuadrado perfecto.
Solución. Para el efecto tomemos un primo p = x2− 1. El teorema de facto-
rización única establece que p = (x − 1)(x + 1). Como p es primo se tienen
las dos posibilidades siguientes:
(x− 1) = 1 y (x+ 1) = p o (x− 1) = p y (x+ 1) = 1.
1.1. DIVISIBILIDAD 15
De estas ecuaciones se obtienen las soluciones,
x = 2 y p = 3 o x = 0 y p = −1.
La de la derecha hay que desecharla puesto que p es primo, quedando en
definitiva p = 3. Por tanto 3 es el único primo que es una unidad menor que
un cuadrado perfecto.
Ejemplo 1.1.5. Si n > 1 es compuesto, existe un primo p ≤ √n tal que p|n.
Solución. El teorema 1.1.2 dice que el menor divisor positivo mayor que 1
de un entero n mayor que 1 es un primo. Sea p tal primo, como p|n existe d,
1 < d < n tal que n = pd.
Por la definición de p, p ≤ d y por consiguiente p2 ≤ pd, de donde se
obtiene por reemplazo p2 ≤ n, esto es, p ≤ √n.
En las igualdades
3 = 2 + 1
7 = 2× 3 + 1
31 = 2× 3× 5 + 1
se observa que 1 más el producto de los primeros k primos es un primo al
menos para k = 2, 3, 5. Se puede pensar que es cierto para todo k pero un
ejemplo muestra lo contrario,
2× 3× 5× 7× 11× 13 + 1 = 30031 = 59× 509.
EJERCICIOS
1. Demostrar las propiedades 3, 4, 5, 6 de divisibilidad enunciadas ante-
riormente.
2. Demostrar que para todo natural n, 11 divide a 102n − 1.
3. Demostrar que para todo natural n, 3 divide a 10n − 1.
4. Demostrar que si 2 no divide a n y 3 no divide a n, entonces 24 divide
a n2 + 23.
16 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
5. Demostrar que para todo entero n, 3 divide a alguno de los números n,
n+ 2, n + 4.
6. Demostrar que todo primo impar puede ser expresado de manera única
como la diferencia de dos cuadrados. Por ejemplo, 11 = 36− 25.
7. Para todo natural n demostrar que ninguno de los siguientes n − 1
enteros consecutivos es primo: n! + 2, n! + 3, n! + 4, . . . , n! + n.
8. Usando la idea del ejercicio anterior hallar una sucesión de k consecu-
tivos naturales compuestos.
9. Demostrar que para n > 1, n4 + 4 es compuesto.
10. Un número n es compuesto si existe un primo p ≤ √n, tal que p|n.
Usando esta idea diga cuáles de los siguientes enteros son primos y
cuáles compuestos : 91, 103, 343, 731.
11. Hallar enteros r, s tales que 144r + 2975s = 5.
12. Demostrar: Si m|(45n+ 37) y m|(9n+ 4), (m > 1) entonces m = 17.
13. Demostrar que el producto de cuatro enteros consecutivos incrementado
en 1, es siempre un cuadrado perfecto.
14. Demuestrar que si p es primo y p|ab, entonces p|a o p|b.
15. Demostrar que si a, b son enteros positivos, existe un entero positivo n
tal que na > b. (Considere la diferencia b− na y aplique el axioma del
buen orden).
16. Usando el axioma del buen orden demuestrar que no hay enteros entre
cero y uno.
17. Demostrar que si p = 6k + r es un primo diferente de 2 y 3, entonces
r = 1 o r = 5.
18. Demostrar que existen infinitos primos de la forma 6k − 1.
19. Si a > 2 y s > 1. Demostrar as − 1 es compuesto.
20. Demostrar que el producto de números de la forma 6k + 1 es de la
misma forma.
1.2. EL M.C.D Y EL M.C.M 17
1.2. El máximo común divisor y El mı́nimo
común múltiplo
Si se toman dos enteros a, b puede ocurrir que ambos sean iguales a cero y
en este caso cualquier entero es un divisor común de ellos. Si al menos uno es
diferente de cero, los divisores comunes son finitos; uno de los cuales siempre
es 1, deduciéndose que existe alguno mayor que todos y debe ser positivo.
Definición 1.2.1. Dados dos enteros a, b, a2 + b2 �= 0, entonces d ∈ Z−{0}
se llama un común divisor de a y b si y solo si d|a y d|b.
Teorema 1.2.1. Dados dos enteros a y b, a2 + b2 �= 0, existe un entero único
g, tal que
1. g > 0.
2. g|a y g|b.
3. g = min{ax+ by > 0, x, y ∈ Z}.
4. Si d es cualquier entero tal que d|a y d|b, entonces d|g.
La proposición (4) dice que cualquier divisor común de a y b divide a g.
De la propiedad (6) de divisibilidad se deduce que g es numéricamente mayor
que los diferentes divisores de a y b. Por lo tanto, del conjunto de divisores
comunes de a y b, g es el máximo desde dos puntos de vista y por esto se
le llama el máximo común divisor de a y b. En forma abreviada se escribe
g = (a, b). Note que realmente lo ��máximo�� lo tomamos en el sentido de (4).
Demostración. Considérense primero a y b positivos, a > b. Por el algoritmo
de la división existen enteros r1, q1 únicos tales que
a = bq1 + r1, 0 ≤ r1 < b.
Si r1 = 0, entonces b es un común divisor de a y b. Podemos tomar g = b.
1. g > 0.
2. g|a y g|b.
18 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
Tomemos el conjunto
H = {ax+ by > 0, x, y ∈ Z} ⊆ Z.
Si x < 0, necesariamente y > 0 entonces by > 0. Debido a que
ax+ by > 0
debe tenerse
|ax| < by.
Pero cero es el mı́nimo natural que verifica esta última desigualdad, luego
x = 0, entonces el mı́nimo valor para y debe ser 1, por tanto
b = a× 0 + b× 1 > 0
es un elemento de H .
Similarmente si y ≤ 0 hallamos y = 0, x = 1 como valores mı́nimos, o sea
a = a× 1 + y × 0 > 0
pertenece también a H , pero b < a.
Si x > 0, y > 0, ax > a, by > y; entonces ax+ by > a+ b > b.
En śıntesis,
b = g = min{ax + by > 0, x, y ∈ Z}
dando por demostrado (3).
(4). Si existe d tal que d|a, d|b debe tenerse d|g puesto que g = b. Si r1 �= 0,
la aplicación repetida del algoritmo de la división demuestra la existencia de
parejas únicas qi, ri, 2 ≤ i ≤ k + 1, 0 < ri < ri−1, tales que
a = bq1 + r1
b = r1q2 + r2
r1 = r2q3 + r3
...
rk−2 = rk−1qk + rk
rk−1 = rkqk+1 + 0.
1.2. EL M.C.D Y EL M.C.M 19
Aqúı confrontamos cada etapa con la posibilidad de tener cero por residuo;
pero suponemos que esto no sucede sino hasta el k-ésimo paso de la división,
o diciéndolo en otra forma, definimos a k como el número de la etapa en
la cual aparece cero como residuo. En esta parte el proceso debe detenerse
porque la división por cero no está definida. Por otro lado, eventualmente
debe aparecer un cero como residuo puesto que b > r1 > r2 > . . . > rk es una
sucesión finita estrictamente decreciente de naturales; y como existen b − 1
enteros positivos menores que b, después de a lo más b − 1 divisiones debe
obtenerse el esperado cero como residuo.
En conclusión, si b no divide a a existe siempre un sistema finito de ecua-
ciones de la clase anterior y un k-ésimo residuo diferente de cero. Aseguramos
que para satisfacer las condiciones (1), (2), (3), (4) podemos tomar g = rk.
De la última ecuación observamos que rk | rk−1 entonces
rk−2 = rk−1 + rk
= (rkqk+1)qk + rk
= rk(qk+1qk + 1)
o sea que rk|rk−2.
Siguiendo el proceso vemos de las dos primeras ecuaciones que rk|a y
rk|b, luego rk es un divisor común a y b. Expresando los residuos sucesivos
se obtiene
r1 = a− bq1
r2 = b− r1q2
= b− (a− bq1)q2
= b− aq2 + bq1q2
= a(−q2) + b(1 + q1q2).
La forma de estas igualdades indica que rk puede obtenerse por reemplazos
sucesivos como una combinación lineal de a y b con coeficientes enteros en
cuya expresión intervienen los qi, o sea,
rk = ax+ by.
Como rk > 0, por el principio de la buena ordenación existe un elemento
mı́nimo en el conjunto H . Sea h tal elemento, luego para algunos enteros x0,
y0 se establece la igualdad
h = ax0 + by0 > 0.
20 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
Supongamos que h no divide a a, entonces existen enteros únicos q, r tales
que
a = hq + r, 0 < r < h
luego
r = a− hq
= a− (ax0 + by0)q
= a(1− x0q) + (−y0q).
Como r < h, implicaŕıa que h no es el mı́nimo, llegando a una contradicción;
por consiguiente h|a.
Similarmente h|b y de aqúı, h|(ax+ by), o sea, h|rk.
Por la propiedad (3) de divisibilidad h ≤ rk. Pero rk|a y rk|b implica que
rk|(ax0 + by0) y en consecuencia rk = h. Por la misma propiedad rk ≤ h,
concluyéndose que rk = h.
En śıntesis, rk es el mı́nimo del conjunto de los ax+ by > 0.
Sea d tal que d|a y d|b, entonces d|(ax+by), es decir d|rk.
Como rk cumple las cuatro condiciones del teorema, es posible afirmar
que rk = g = (a, b).
Si a < b, intercambiamos los roles.
Si a < 0 y b < 0 determinar g correspondiente a los respectivos valores
absolutos.
Si a = 0, entonces | b | = g = (a, b).
Para demostrar la unicidad, tomemos g, g1 dos enteros que satisfacen las
condiciones del teorema, entonces g|a y g|b implica que g|g1.
Por otra parte g1|a y g1|b implica g1|g y como consecuencia g ≤ g1 y
g1 ≤ g determinándose que g = g1.
El teorema anterior proporciona una regla para hallar el máximo común
divisor de dos números por divisiones sucesivas; este es el último residuo
diferente de cero que se obtiene al aplicar el algoritmo de Euclides.
El mismo procedimiento puede utilizarse para expresarlo como una com-
binación lineal de dichos números. Veamos cómo es posible mediante el al-
goritmo de Euclides calcular el máximo común divisor de dos números.
Ejemplo 1.2.1. Calcular el máximo común divisor de 42 y 30 y expresarlo
como una combinación lineal de dichos números.
1.2. EL M.C.D Y EL M.C.M 21
Solución.
42 = 30× 1 + 12
30 = 12× 2 + 6
12 = 6× 2 + 0.
La última igualdad indica que (42, 30) = 6. Ahora,
6 = 30− 12× 2
= 30− (42− 30)2
= 30− 42× 2 + 30× 2
= 30× 3− 42× 2
= 30× 3 + 42(−2).
El último renglón muestra la escritura de 6 como una combinación lineal de
42 y 30, donde intervienen 3 y −2.
Teorema 1.2.2. Sean a, b enteros, entonces,
1. (a, b) = (a, b+ ka).
2. (a, b) = (a,−b) = (−a, b) = (−a,−b).
3. (ka, kb) = | k |(a, b) si k �= 0.
4. Si d|a, d|b, entonces (a
d
, b
d
) = 1|d|(a, b).
5. Si g = (a, b), entonces (a
g
, b
g
) = 1.
Demostración. Sean
g = (a, b)
g1 = (a, b+ ka).
Si g|a y g|b, entonces para cualquier entero k, g|(a, b+ka), luego g|g1 y como
g > 0, g1 > 0 necesariamente g ≤ g1.
Por otra parte, g1|a, y g1|(b+ ka), implica que g1|(b+ ka− ka), o sea g1|b
y por razones similares g1 ≤ g.
En atención a las dos desigualdades se concluye que g = g1.
El resto de la demostración se asigna como ejercicio.
22 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
Definición 1.2.2. Sean ai, 1 ≤ i ≤ n, n enteros, si gi = (ai, ai+1), entonces,
gn−1 = (a1, a2, . . . , an). Si gn−1 = 1, los ai se dicen primos relativos o
coprimos.
Un caso particular se da cuando n es igual a 2. La definición anterior
garantiza la existencia del máximo común divisor de más de dos números, el
cual se puede considerar como el divisor común positivo que es divisible por
todo común divisor.
Definición 1.2.3. Sean ai, 1 ≤ i ≤ n, n enteros. Si (ai, aj) = 1, para i �= j
elementos de {1, 2, . . . , n}, entonces se dice que los ai, aj son primos relativos
dos a dos.
Por ejemplo (6, 5, 10) = 1, pero ellos no son primos relativos dos a dos
porque 5 divide a 10. En cambio 10, 9, y 49 son primos relativos dos a dos.
Teorema 1.2.3. Sean a, b dos enteros, si a = bq+ r, entonces (a, b) = (b, r).
Demostración. (a, b) = (bq + r, b) = (bq + r − bq, b) = (r, b) = (b, r).
Lema 1.2.1. Lema de Euclides. Si a|bc y (a, b) = 1, entonces a|c.
Demostración. Si (a, b) = 1 existen enteros x, y tales que 1 = ax + by,
entonces, c = acx + bcy pero por hipótesis a|bc y a|a luego a|(acx + bcy), o
sea, a|c.
Esta proposición se conoce mejor como la primera versión del lema de
Euclides.
Ejemplo 1.2.2. Si (a, 4) = 2, (b, 4) = 2, demostrar que (a + b, 4) = 4.
Solución. Si (a, 4) = 2, entonces 2|a, luego existe un impar x tal que a = 2x.
Si x fuera par, entonces x = 2m, y por lo tanto a seŕıa igual a 4m, de donde se
concluiŕıa que (a, 4) = (4m, 4) = 4. Como (b, 4) = 2, por las mismas razones,
b = 2n, para un impar n. Efectuando la suma, a+ b = 2(x+n) = 4z, puesto
que x+ n es un par, de donde se concluye que (a+ b, 4) = 4.
Ejemplo 1.2.3. Demostrar que si (a, b) = 1, entonces (a+ b, a− b) = 1 o 2
Solución. Sean (a, b) = 1. Si g = (a+ b, a− b), entonces g| [(a+ b)± (a− b)].
Tomando los signos positivo y negativo en ese orden se deduce que g|2a, g|2b
y por consiguiente g|(2a, 2b), luego g|2(a, b), de donde se concluye que g|2
puesto que (a, b) = 1. Pero g > 1, infiriéndose que g = 1 o g = 2.
1.2. EL M.C.D Y EL M.C.M 23
Examinando los conjuntos formados con los múltiplos de 2 y de 3 es fácil
darse cuenta que la intersección consta de todos los números de la forma
2 × 3n. De acuerdo con el principio de la buena ordenación este conjunto
posee un elemento mı́nimo, el número 6, indicando que 6 es el menor de los
múltiplos comunes a 2 y 3. Esta situación se puede generalizar a toda pareja
de enteros con la condición de ser por lo menos uno de los dos diferente de
cero, dando como resultado la existencia del mı́nimo común múltiplo de dos
enteros cualesquiera prevista la restricción anotada. Tome el valor absoluto
del producto y divida entre el máximo común divisor de los números dados,
este cociente siempre es posible puesto que el divisor nunca es cero y por la
forma como está concebido es un entero positivo.
Teorema 1.2.4. El entero [a, b] = | ab |
(a, b)
tiene las siguientes propiedades
1. [a, b] ≥ 0.
2. a| [a, b].
3. Si a|m y b|m, entonces [a, b]|m.
La demostración se deja al estudiante. Al elemento descrito en el teorema
1.2.4 se le llama el mı́nimo común múltiplo de los números dados. El concepto
es fácilmente extensivo a más de dos enteros.
EJERCICIOS
1. Demostrar los numerales restantes del teorema 1.2.2.
2. Dado (u, v) = 1; si u|n y v|n, entonces uv|n.
3. Mediante el algoritmo de la división hallar el máximo común divisor
de:
a) 1001 y 7655.
b) 4148 y 7684.
c) 11 y 15.
d) 144 y 24.
e) ) 75, 50 y 125.
24 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
4. Demostrar que si (a, b) = 1 y c|a, entonces (c, b) = 1.
5. Demostrar que si (a, b) = 1, entonces (a2 + b2, a+ b) = 1 o 2.
6. Demostrar que el ejercicio 2 no necesariamente es cierto si (u, v) > 1.
7. Demostrar que para todo n, 5|(n5 − n).
8. Si (a, b) = 1, hallar los posibles valores de (a+ 3b, a2 − b2).
9. Demostrar que si (a, b) = 1, (ac, b) = (c, b), para todo entero c.
10. Demostrar que si (b, c) = 1, entonces (a,bc) = (a, b)× (a, c).
11. Demostrar que si ax+ by = n, entonces (a, b)|n.
12. Demostrar que no es posible la simplificación de la fracción a1+a2
b1+b2
, si
a1b2 − a2b1 = ±1.
13. Hallar el mı́nimo común múltiplo de,
a) 24 y 144.
b) 1001 y 765.
c) 36, 12 y 144.
14. Demostrar que si l = [a, b] y n es un múltiplo común de a y b, entonces
l|n. Sugerencia: Suponer que l no divide a n.
1.3. Congruencias
La solución en los enteros de la ecuación ax + by = c, llevó a Diofanto a la
comparación de residuos entre algunos de sus componentes. Tomemos, por
ejemplo,
8x− 19y = 2.
Como la diferencia es 2, x puede ser par o impar, y necesariamente debe ser
par. Por ejemplo, x = 5, y = 2; x = 24, y = 10.
Usando el algoritmo de Euclides
19 = 8× 2 + 3
1.3. CONGRUENCIAS 25
8 = 3× 2 + 2
3 = 2× 1 + 1.
Despejando y reemplazando en orden inverso y conmutando los productos,
1 = 3− 2× 1
= 3 + 3× 2− 8
= 3× 3− 8
= 3(19− 8× 2)− 8
= 19× 3− 8× 7
= 8(−7)− 19(−3)
multiplicando por 2
2 = 8(−7× 2)− 19(−3× 2).
Sumando y restando 8(19)t al segundo miembro de esta última igualdad,
después de conmutar y factorizar, se tiene
2 = 8[(−7× 2) + 19t]− 19[(−3× 2) + 8t].
De esta igualdad se deduce que, si t es un entero; al dividir a 8[(−7×2)+19t]
y a 19[(−3× 2) + 8t] por 2, el residuo debe ser el mismo.
La solución general está dada por
x = −(7× 2) + 19t, y = −(3× 2) + 8t.
Si t = 1, x = 5, y = 2 y si t = 2, x = 24, y = 10.
Existen muchos otros problemas en los cuales debe hacerse comparación
de residuos. Los números que tienen idéntico residuo se les denomina equirre-
siduales o congruentes y es obvio que pertenecen a una misma clase residual.
Definición 1.3.1. Dados dos enteros a y b, m un natural diferente de cero,
se dice que a es congruente con b módulo m si y solo si m|(a− b) y se nota
a ≡ b mod m.
Ejemplos 17 ≡ 2 mod 5, 14 ≡ −6 mod 10.
La congruencia es una relación de equivalencia.
Para cualquier natural m diferente de ceroy para cualquier entero a, m es
un divisor de cero y por ende de a−a; esta situación conlleva a la reflexividad.
26 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
Si m es un divisor de a− b, también lo es de b− a, propiedad que implica la
simetŕıa.
Si m es simultáneamente divisor de a− b, y, de b− c, lo será de la suma
y por tanto de a− c, verificándose la transitividad.
Para una relación de equivalencia definida en un conjunto S y para cada
elemento a de S, existe un conjunto formado por todos los elementos relacio-
nados con a denominado la clase de equivalencia de a, notado [ a ]. Si b es un
elemento de S que no está relacionado con a también existe la clase de equiva-
lencia de b y aśı sucesivamente. Estas clases tienen la particularidad de no ser
vaćıas, de no tener elementos comunes, de poder incluir cada elemento de S
en alguna de ellas y la unión de todas debe ser todo S. Ya habrá oportunidad
de hacer una mejor exposición de este tema en otro contexto.
Teorema 1.3.1. Sean x, y enteros. Si a ≡ b mod m, c ≡ d mod m, entonces
1. (xa+ yc) ≡ (xb+ yd) mod m.
2. (a+ c) ≡ (b+ d) mod m.
3. xa ≡ xb mod m.
Demostración. Por hipótesis m|(a − b), m|(c − d). Por la propiedad (2) de
divisibilidad m| [x(a− b)+y(c−d)], entonces m| [(xa+yc)− (xb+yd)] y por
definición, (xa + yc) ≡ (xb+ yd) mod m. Si x = y = 1 se tiene (2). Si y = 0
se tiene (3).
Teorema 1.3.2. Si a ≡ b mod m y c ≡ d mod m, entonces ac ≡ bd mod m.
Demostración. Como m|(a− b), m|(c− d), entonces m|(ac− bc+ bc− bd) de
donde m|(ac− bd) y por definición ac ≡ bd mod m.
Una regla para multiplicar un número de tres d́ıgitos por 1001 consiste
en escribirlo dos veces. Por ejemplo, 152× 1001 = 152152. Por otra parte la
descomposición en factores primos de 1001 es 1001 = 7× 143. Estos hechos
permiten hallar rápidamente el factor desconocido del producto 143x si cono-
cemos los tres últimos d́ıgitos del resultado. La clave consiste en multiplicar
estas cifras por 7 y tomar nuevamente las tres últimas cifras de este nuevo
producto. Por ejemplo, si 143x = 61204 se toman las tres últimas cifras, esto
es, 204 y multiplicando por 7 se obtiene 204×7 = 1428. El factor desconocido
es 428. Puede comprobarlo.
1.3. CONGRUENCIAS 27
En términos de congruencias, deseamos encontrar un número x de una,
dos o tres cifras donde b es la cantidad formada con las tres últimas cifras de
143x. Esto lo podemos transformar en:
143x ≡ b mod 1000.
Además
7 ≡ 7 mod 1000.
Multiplicando miembro a miembro
7× 143x ≡ 7b mod 1000
en otros términos
1001x ≡ 7b mod 1000
pero
1001 ≡ 1 mod 1000
y
x ≡ x mod 1000
por tanto
1001x ≡ x mod 1000
finalmente
x ≡ 7b mod 1000.
Esta congruencia indica que los tres últimos d́ıgitos de x concuerdan con los
tres últimos d́ıgitos de 7b. Como x tiene a lo más tres d́ıgitos, los tres últimos
de 7b determinan completamente a x.
Teorema 1.3.3. Si a ≡ b mod m, entonces para todo n ∈ N, an ≡ bn mod m.
Demostración. Por inducción matemática.
Por hipótesis el teorema se verifica para 1. Supongamos que se verifica
para k, esto es,
ak ≡ bk mod m.
Usando el teorema 1.3.2,
aka ≡ bkb mod m,
pero esta expresión es equivalente a
ak+1 ≡ bk+1 mod m.
Es decir la proposición es válida para todo natural n.
28 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
Teorema 1.3.4. Sea f(x) un polinomio con coeficientes enteros.
Si a ≡ b mod m, entonces f(a) ≡ f(b) mod m.
Demostración. Sea f(x) =
n∑
i=0
cix
i un polinomio con coeficientes enteros,
f(a) =
n∑
i=0
cia
i
entonces
f(a) ≡
n∑
i=0
cia
i mod m.
Usando los teoremas 1.3.3 y 1.3.1 respectivamente
n∑
i=0
cia
i ≡
n∑
i=0
cib
i ≡ f(b) mod m
y por aplicación de la propiedad transitiva f(a) ≡ f(b) mod m.
La demostración del siguiente teorema es una de aquellas tareas fáciles si
se usa la inducción matemática.
Teorema 1.3.5. Si aj ≡ bj mod m, entonces
n∑
i=0
aj ≡
n∑
i=0
bj mod m para todo
n ≥ 1.
En lo que sigue se enuncian algunas propiedades importantes de las con-
gruencias, especialmente las restricciones impuestas a la ley cancelativa del
producto. El factor a cancelar puede ser parte decisiva de la divisibilidad in-
herente a la congruencia considerada. Dos de estas propiedades se establecen
de la siguiente manera y sus demostraciones se dejan al interés de los lectores.
1. Sea d �= 0 un natural tal que d|m. Si a ≡ b mod m, a ≡ b mod d.
2. a ≡ b mod xi, 1 ≤ i ≤ n si y solo si a ≡ b mod l, l = [x1, x2, . . . , xn].
Teorema 1.3.6. Si g = (a,m), ax ≡ ay mod m si y solo si x ≡ y mod m
g
.
1.3. CONGRUENCIAS 29
Demostración. Si g = (a,m), existen m1, a1, (m1, a1) = 1, m, g,m1 enteros
positivos tales que,
a = a1g, m = m1g.
Pero
ax ≡ ay mod m, si y solamente si, m|a(x− y)
o equivalentemente, después de realizar los reemplazos correspondientes y
cancelar,
m1|a1(x− y)
expresión equivalente, de acuerdo con el lema de Euclides, a
m1|(x− y).
La definición de congruencia indica que
x ≡ y mod m1.
Pero, m1 =
m
g
. Realizando la sustitución se obtiene lo pedido.
Teorema 1.3.7. Si ax ≡ ay mod m y (a,m) = 1, entonces x ≡ y mod m.
Demostración. En el teorema anterior tome g = 1.
Teorema 1.3.8. La congruencia ax ≡ b mod m tiene solución si y solamente
si (a,m)|b. Si g = (a,m), existen g diferentes soluciones módulo m.
Demostración. Considérese la congruencia
ax ≡ b mod m
donde a, b,m, son enteros y m > 0. Por hipótesis m|(ax− b).
Si el entero s es una solución, m|(as− b). Por la propiedad (2) de divisi-
bilidad para cualquier entero k,
m| [a(s+ km)− b]
por tanto
a(s+ km) ≡ b mod m,
o sea, s + km es otra solución. Aśı pues, si s es una solución también lo
es cualquier otro elemento de la clase de equivalencia [ s ] módulo m. En
30 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
consecuencia, si ax ≡ b mod m tiene soluciones, estas son elementos de una
o más clases de equivalencia del conjunto cociente Z/m.
Suponga ahora que
(a,m) = 1 = ra+ tm.
Entonces,
b = bra+ btm.
Despejando,
a(br)− b = (−bt)m
esto es, m| [a(br)− b)], concluyéndose que br es una solución.
Sea s = br y supongamos que u es otra solución. Como
as ≡ b mod m y au ≡ b mod m,
sigue que
as ≡ au mod m,
o sea, m|a(s− u).
Pero (a,m) = 1 entonces, por el lema de Euclides, m|(s− u) y de aqúı se
concluye s ≡ u mod m.
En śıntesis ax ≡ b mod m tiene una solución s y [ s ] denominada la clase
de congruencia contiene todas las soluciones. Supongamos que
(a,m) = g = ra+ tm > 1.
Como a = cg, m = dg se sigue que si s es una solución, entonces
as− b = mq = dgq.
Reemplazando y transponiendo términos de obtiene
b = g(cs− dq).
Ahora es obvio que g|b.
Rećıprocamente, supongamos que g = (a,m) divide a b y escribamos
a = cg, b = eg, entonces de acuerdo con el hecho de ser ax ≡ b mod m se
sigue que cg ≡ eg mod m.
Por el teorema 1.3.6,
1.3. CONGRUENCIAS 31
cx ≡ e mod n, n = m
g
.
Por tanto toda solución de ax ≡ b mod m es solución de cx ≡ e mod n
y viceversa. Ahora bien, (c, n) = 1 de modo que cx ≡ e mod n tiene una
solución y por tanto ax ≡ b mod m tiene soluciones, quedando demostrada
la primera parte del teorema.
Para la segunda parte sea
S = {s, s+ n, s+ 2n, . . . , s+ (g − 1)n} ⊆ [ s ]
el conjunto que contiene la totalidad de las soluciones de cx ≡ e mod n. Para
demostrar que no hay dos elementos de S congruentes módulo m, aśı que
ax ≡ b mod m tiene por lo menos g soluciones incongruentes, en tanto que
cada elemento de [ s ]−S es congruente módulo m con algún elemento de S.
Luego ax ≡ b mod m tiene a lo más g soluciones incongruentes.
Sean s + kn, s + ln con k �= l dos elementos diferentes de S. Aceptemos
que son congruentes módulo m, entonces m|(k− l)n, o sea, ng|(k− l)n, y por
consiguiente g|(k− l), pero (k− l) < g, implicando que k− l = 0, de donde se
concluye que k = l, contradiciendo el supuesto. De modo que los elementos
de S son incongruentes módulo m.
Sea por ejemplo,
s+ (qg + r)n, g > r ≥ 0, q > 0
un elemento arbitrario de [ s ] − S. Como gn = m, reordenando y reempla-
zando:
s+ (gq + r)n = (s+ rn) + q(gn)
= (s+ rn) + qm.
Pero (s+rn) + qm ≡ (s+ rn) mod m, y (s+ rn) ∈ S ya que r < g.
De modo que ax ≡ b mod m tiene exactamente g soluciones incongruen-
tes, siempre y cuando (a,m) = g, g|b.
Teniendo la teoŕıa suficiente nos proponemos demostrar que a pesar de
ser compuesto, 341 divide a (2341 − 2).
Solución. El teorema de Fermat establece que
210 ≡ 1 mod 11.
32 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
Por tanto
2341 ≡ 2(210)34 ≡ 2 mod 11
y en consecuencia
11|(2341 − 2).
Además,
25 ≡ 32 ≡ 1 mod 31
luego
2341 ≡ 2(25)68 ≡ 2(1)68 ≡ 2 mod 31
de donde se concluye que
31|(2341 − 2).
Puesto que 11 y 31 son primos relativos, su producto divide a (2341−2). Esto
es, 341|(2341 − 2).
Los chinos se equivocaron y en honor al eqúıvoco se dice que un compuesto
que verifica la anterior proposición es un seudoprimo. 341 es un seudoprimo.
Ejemplo 1.3.1. Resolver la congruencia 14x ≡ 5 mod 45.
Solución. Como (14, 45) = 1 y 1|5, existe una única solución. Dado que
5 ≡ 50 mod 45,
por la propiedad transitiva
14x ≡ 50 mod 45.
Pero (2, 45) = 1, luego simplificando por 2, resulta
7x ≡ 25 mod 45.
Pero
25 ≡ 70 mod 45,
por tanto
7x ≡ 70 mod 45,
además (7, 45) = 1, lo que permite simplificar por 7, reduciéndose a
x ≡ 10 mod 45,
1.3. CONGRUENCIAS 33
lo que en términos de divisibilidad se traduce en
45|(x− 10)
de donde se recibe finalmente la ecuación,
x = 45k + 10, 0 ≤ k ≤ 44
considerada la solución general. Si k = 0 se obtiene la solución particular
x = 10.
Ejemplo 1.3.2. Resolver 3x ≡ 2 mod 78.
Solución. En la congruencia 3x ≡ 2 mod 78, (3, 78) = 3, pero 3 no divide a
2, por lo tanto no existe solución.
Ejemplo 1.3.3. Resolver 6x ≡ 10 mod 14.
Solución. (6, 14) = 2 y 2|10, entonces existen dos soluciones. Por el teorema
1.3.6, simplificando,
3x ≡ 5 mod 7.
Como 5 ≡ 12 mod 7, entonces
3x ≡ 12 mod 7
de donde
x ≡ 4 mod 7
porque (3, 7) = 1. En total se obtienen dos soluciones
x ≡ 4 mod 7
x ≡ 4 mod 14
y al final las igualdades
x = 7k + 4, 0 ≤ k ≤ 6
x = 14k + 4, 0 ≤ k ≤ 13.
Para k = 1, se obtienen las soluciones respectivas, x = 11 y x = 18. Observe
que 11 y 18 no son congruentes módulo 14.
34 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
Algunas veces es de más utilidad usar el algoritmo de la división para
resolver congruencias como en el caso que presentamos a continuación que
por lo grande del módulo y los coeficientes, los métodos utilizados hasta ahora
no son recomendables
Ejemplo 1.3.4. Resolver 343x ≡ 15 mod 1426.
Solución. Como (343, 1426) = 1, existe una única solución. Aplicando el
algoritmo de Euclides,
1426 = 343× 4 + 54
54 = 1426− 343× 4
343 = 54× 6 + 19
19 = 343− 54× 6
54 = 19× 2 + 16
16 = 54− 19× 2
19 = 16× 1 + 3
3 = 19− 16× 1
16 = 3× 5 + 1
1 = 16− 3× 5.
A continuación procedemos a expresar a 1 como una combinación lineal de
343 y 1426.
1 = 16− 3× 5
= (54− 19× 2)− (19− 16× 1)5
= 54− 19× 7 + 16× 5
= 54− 19× 7 + (54− 19× 2)5
= 54× 6− 19× 17
= 54× 6− (343− 54× 6)17
= 54× 6− 343× 17 + 54× 102
= 54× 108− 343× 17
= (1426− 343× 4)108− 343× 17
= 1426× 108− 343× 432− 343× 17
= 1426× 108− 343× 449.
1.3. CONGRUENCIAS 35
Multiplicando por 15, el primero y el último miembros,
15 = 1426(108× 15)− 343(449× 15).
Multiplicando por (−1) esta última igualdad y transponiendo términos se
transforma en,
343(−449× 15)− 15 = 1426(−108× 15),
expresión que traducida en términos de congruencia significa
343(−449× 15) ≡ 15 mod 1426.
Comparando esta congruencia con la original, debido al parecido de las ex-
presiones se deduce que
x ≡ −449× 15 mod 1426
de donde finalmente se puede escribir como consecuencia de la definición
x = −449× 15 + 1426k, 0 ≤ k ≤ 1425.
Si k = 1, entonces
x = −449× 15 + 1426
= −6735 + 1426
= −5309.
Si k = 5,
x = −6735 + 1426× 5
= −6735 + 7130
= 395,
corresponde a la primera solución positiva.
EJERCICIOS
1. Demostrar el teorema 1.3.5.
36 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
2. Resolver las siguientes congruencias,
a) 3x ≡ 2 mod 5.
b) 243x+ 17 ≡ 101 mod 725.
c) 5x ≡ 2 mod 7.
d) 9x ≡ 21 mod 12.
e) 6x+ 3 ≡ 1 mod 10 .
3. Demostrar que si m es entero, m2 ≡ 0 o 1 mod 4.
4. Mostrar que la congruencia 6x ≡ 5 mod 78 no tiene solución.
5. Usando el algoritmo de Euclides resolver las siguientes congruencias,
a) 243x+ 17 ≡ 101 mod 725.
b) 3x ≡ 2 mod 5.
c) 7x ≡ 21 mod 14.
6. Demostrar que para todo x, x3 ≡ x mod 3 y x5 ≡ x mod 5.
7. Demostrar que el discriminante b2 − 4ac ≡ 0 o 1 mod 4.
1.4. Criterios de divisibilidad
Las congruencias hacen posible desarrollar los criterios de divisibilidad usados
en Aritmética de los cuales se demostrarán los más usados. El primero es el
Criterio de divisibilidad por 2.
Ejemplo 1.4.1. Un entero es divisible por 2 si y solo si la cifra de sus
unidades es un número par
Solución. Sea n un entero divisible por 2, n se puede escribir en forma única
como
n =
m∑
k=0
ak10
k
pero 10 ≡ 2 mod 2, entonces por el teorema 1.3.4
m∑
k=0
ak10
k ≡
m∑
k=0
ak2
k mod 2
1.4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 37
por consiguiente
n ≡
m∑
k=0
ak2
k mod 2
y como 2|n,
2
∣∣∣∣
[
n−
(
n−
m∑
k=0
ak2
k
)]
.
Iniciando la sumatoria con k = 1 y sumando a0, esta expresión se puede
escribir en forma equivalente como,
2
∣∣∣∣
[
m∑
k=1
ak2
k + a0
]
y su validez depende de ser a0 par, puesto que los restantes componentes son
todos divisibles por 2.
Si n es un entero terminado en cifra par se puede escribir
n = 2k +
m∑
k=1
ak10
k, 2k = a0, 0 ≤ k ≤ 4.
Por la forma de representar a n, se concluye que debe ser par.
Ejemplo 1.4.2. Un entero es divisible por 3 si y solo si la suma de sus
d́ıgitos es un múltiplo de 3.
Solución. Sea n un entero divisible por 3.
1k ≡ 10k mod 3
entonces
m∑
k=0
ak10
k ≡
m∑
k=0
ak1
k mod 3
sustituyendo la sumatoria por n
n ≡
m∑
k=0
ak1
k mod 3.
38 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
Por definición de congruencia,
3
∣∣∣∣
[
n−
m∑
k=0
ak1
k
]
Debido a que 3|n la propiedad (2) de divisibilidad y el reemplazo de n por
la sumatoria permiten escribir,
3
∣∣∣∣
[
m∑
k=0
ak10
k −
(
m∑
k=0
ak10
k −
m∑
k=0
ak
)]
lo que conduce a afirmar que
3
∣∣∣∣ m∑
k=0
ak.
Supongamos que
m∑
k=0
ak = 3c
luego
m∑
k=1
ak + a0 = 3c
despejando,
a0 = 3c−
m∑
k=1
ak
sumando,
m∑
k=1
ak10
k + a0 = 3c+
m∑
k=1
ak10
k −
m∑
k=1
ak
sustituyendo se obtiene
n = 3c+
m∑
k=1
ak
(
10k − 1)
de donde se observa que 3|n, ya que 3|(10k − 1).
1.4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 39
Ejemplo 1.4.3. Un entero es divisible por 7 si y solo si, separando la cifra
de las unidades, multiplicándola por 2, restando este producto de lo que queda
a la izquierda y aśı sucesivamente, el resultado es cero o un múltiplo de 7.
Solución. Sea n un entero tal que
m∑
k=1
ak10
k−1 − 2a0 = 7c
multiplicando por 10 ambos miembros
m∑
k=1
ak10
k − 20a0 = 70c
sumando 21a0 a ambos lados,
n = 70c+ 21a0
o equivalentemente, 7|n.
Realizando el proceso r veces
m∑
k=r
ak10
k−r +
r−1∑
k=0
(−1)r−k2r−kak = 7t.
Multiplicando por 10r ambos términos,
m∑
k=r
ak10
k +
r−1∑
k=0
(−1)r−k2r−kak10r = 7× 10rt.
Sumando a ambos lados la expresión
r−1∑
k=0
[
10k − (−1)r−k2r−k10r]ak.
Reorganizando términos y factorizando se llega a la igualdad
n = 7× 10rt+
r−1∑
k=0
10k
[
1± (2× 10)r−k]ak.
40 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
En la expresión [1± (2× 10)r−k] se toma el signo más si r − k es impar y el
signo menos si r − k es par, 0 < r − k ≤ m.
Pero 7|[1 + (2× 10)r−k] si r− k es impar e igualmente 7|[1− (2× 10)r−k]
si r − k es par. Por lo visto 7|n.
Suponga que n es divisible por 7, pero que
m∑
k=1
ak10
k−1 = 7s+ r, con 0 < r < 7.
Siguiendo el procedimiento de los casos anteriores n = 70s + 21a0 + 10r, lo
cual implica que 7 no divide a n, contradiciendo el supuesto. Para el caso
general proceda de la misma manera.
Ejemplo 1.4.4. Un entero es divisible por 11 si y solamente si la diferencia
entre la suma de sus d́ıgitos de lugar impar y la suma de sus d́ıgitos de lugar
par es cero o múltiplo de 11.
Solución. Supongamos que n tiene un número impar de d́ıgitos y verifica la
primera condición
n =
2m∑
k=0
ak10k.
Pero 10 ≡ −1 mod 11, lo que significa que
2m∑
k=0
ak10
k ≡
2m∑
k=0
ak(−1)k mod 11.
Aplicando un razonamiento similar al de las ocasiones precedentes mediante
el uso de la propiedad (2) de divisibilidad se llega a
11
∣∣∣∣ 2m∑
k=0
ak(−1)k
de esta expresión se concluye
2m∑
k=0
a2k −
m−1∑
k=1
a2k+1 = 11t.
Igualdad que expresa la conclusión deseada y será el punto de partida para
demostrar la segunda parte.
1.4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 41
De la última igualdad, después de efectuar algunas transformaciones es-
cribimos
a0 = 11t−
m∑
k=1
a2k(−1)2k +
m+1∑
k=0
a2k+1(−1)2k+1
agregando a ambos miembros de la ecuación la expresión
2m∑
k=1
ak10
k
se llega a la igualdad
n = 11t+
2m∑
k=1
(102k − 1)a2k +
m+1∑
k=0
(102t+1 + 1)a2k+1
factorizando el miembro de la derecha se obtiene
n = 11t+
m∑
k=1
(102k − 1)a2k +
m+1∑
k=0
(102k+1 + 1)a2k+1.
Pero 11|(102k − 1) y 11|(102k+1 + 1), por lo tanto 11|n.
Si n tiene un número par de d́ıgitos se procede de semejante manera.
Es necesario hacer notar que en la demostración de los criterios de divisi-
bilidad se asumió que n era un entero positivo a pesar de no hacer mención ex-
pĺıcita de este hecho. Las propiedades de la divisibilidad aśı lo justifican.
EJERCICIOS
1. Demostrar: Un entero es divisible por 5 si y solo si termina en cero o
en 5.
2. Demostrar: Un entero es divisible por 13 si y solo si separando la cifra
de las unidades, multiplicándola por 9, restando este producto de lo
que queda a la izquierda y aśı sucesivamente, da cero o múltiplo de 13.
3. Demostrar: Un entero es divisible por 17 si y solo si separando la cifra
de las unidades, multiplicándola por 5, restando este producto por lo
que queda a la izquierda, y aśı sucesivamente da cero o múltiplo de 17.
4. Demostrar: Un entero es divisible por 19, si y solo si, separando la cifra
de las unidades, multiplicándola por 17, restando este producto de lo
que queda a la izquierda, y śı sucesivamente, da cero o múltiplo de 19.
42 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
1.5. Sistemas de numeración
La invención de un sistema de numeración, que ahora luce tan natural costó mu-
chos milenios a la humanidad. Los pueblos primitivos trajinaban con conjun-
tos muy reducidos y los valoraban o comparaban sin necesidad de conocer
los nombres de sus objetos.
El gran descubrimiento fue hallar un procedimiento para nombrar y re-
presentar todos los números con un conjunto reducido de palabras y śımbo-
los que es el objetivo de cualquier sistema de numeración. La mayoŕıa de
los sistemas de numeración tienen su fundamento en un número clave lla-
mado base del sistema, que en el sistema decimal es el 10. Los śımbolos,
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se denominan d́ıgitos cuando se usan para representar
enteros. El sistema decimal se desarrolló en la India, pero fue introducido
en Europa por los árabes con motivo de la invasión efectuada por estos últi-
mos al continente, por esta razón se le conoce como hindú-arábico, pero más
popularmente como sistema arábico de numeración.
Cada entero t mayor que 1 puede servir de base para un sistema de
numeración. Escogemos śımbolos arbitrarios para representar los d́ıgitos, esto
es los elementos, 0, 1, 2, 3, 4, . . . , (t− 1). Y sustituimos el número
n =
m∑
k=0
akt
k
por el śımbolo
n = amam−1am−2 · · ·a1a0(t.
Si la base es mayor que 10 debemos buscar śımbolos para sustituir los d́ıgitos
mayores que 9. Por ejemplo para la base 12, hacemos 10 = α, 11 = β. Aśı las
cosas en dicha base podemos escribir números tales como 507β34, 87α35,
4129, β03, y aśı sucesivamente.
Siempre se ha pensado que el sistema duodecimal seŕıa muy práctico
porque 12 tiene más divisores primos que 10 y se puede agrupar mejor por
docenas que por decenas, pero esta inquietud se ha reducido al campo de
las especulaciones. Lo cierto es que el sistema decimal está muy adherido al
desarrollo de la humanidad. El sistema binario o los de potencias de 2 han
sido popularizados por las computadoras. La tecnoloǵıa de estos artefactos
está basada en los códigos de verdadero-falso, apagado-encendido. El sistema
binario está conformado por los d́ıgitos 0, 1, lo que constituye una aparente
desventaja debido a que se necesita una cantidad grande de d́ıgitos binarios
1.5. SISTEMAS DE NUMERACIÓN 43
para escribir cualquier número, por ejemplo 1325 = 10100101101. Pero la
aparente desventaja se traduce en versatilidad.
1.5.1. Cambio de bases
1. Paso de un número escrito en una base cualquiera t a la base
decimal. Sea t > 1 una base cualquiera, n un número escrito en dicha base
n =
m∑
k=0
akt
k con 0 ≤ ak ≤ (t− 1) para 0 ≤ k ≤ m
esta igualdad proporciona una regla práctica para escribir el número n en
base 10.
Primero desarrollamos todas las potencias de t, desde la cero hasta la
m-ésima, después efectuamos todos los productos y por último procedemos
a sumarlos. Si realizamos las operaciones en base 10 el resultado será la
representación de n en base decimal.
Ejemplo 1.5.1. Escribir en base 10 el número 2αβ12.
Las tres primeras potencias de 12 son 1, 12, 144.
2αβ12 = 2× 144 + 10× 12 + 11× 1 = 288 + 120 + 11 = 419.
2. Paso de un número escrito en base 10 a una base cualquiera. Sea
t > 1 una base cualquiera, n un número escrito en base 10 y sea
n = amam−1am−2 · · ·a1a0(t
la expresión de n en base t.
n =
m∑
k=0
akt
k =
m∑
k=1
akt
k + a0.
Del tercer miembro y teniendo en cuenta que los valores absolutos de los
d́ıgitos son siempre menores que la base se deduce que si dividimos n por t
44 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
se obtiene un cociente q1 y a0 de residuo, es decir, el residuo corresponde al
primer d́ıgito leyendo de derecha a izquierda.
m∑
k=1
akt
k =
m∑
k=2
akt
k + a1.
De esta igualdad observamos que si dividimos por segunda vez por t ob-
tenemos nuevos cocientes y residuos q2 y a1 respectivamente, residuo que
corresponde al segundo d́ıgito leyendo en el mismo orden. Después de rei-
teradas operaciones llega un momento en que se obtienen por cociente y
residuo finales am y am−1 respectivamente, números que corresponden a los
dos últimos d́ıgitos de n en base t.
Las operaciones anteriores se pueden representar en un gráfico aśı:
. . .
. . .
n t
a0 q1 t
ta1
q2
qm−2 tam−3
am−2 qm−1 t
am−1 am
Figura 1.1
Este gráfico nos dice que para pasar de un número escrito en base 10 a una
base cualquiera t dividimos el número dado (operando en base 10) sucesiva-
mente por t hasta que lleguemos a un cociente menor que la base y después
tomamos el último cociente y todos los residuos encontrados pero en sentido
retrógrado y estos valores serán las cifras del número de izquierda a derecha.
Hay que notar que si t es mayor que 10 los residuos pueden ser 10 o ma-
yores y entonces tenemos que sustituir esos residuos por los śımbolos que le
corresponden en ese sistema.
Ejemplo 1.5.2. Escribir en base 12 el número 15135510.
1.5. SISTEMAS DE NUMERACIÓN 45
Solución. Tome 10 = α, 11 = β. Efectuando las divisiones sucesivas
151355 = 12× 12612 + 11
12612 = 12× 1051 + 0
1051 = 12× 87 + 7
87 = 12× 7 + 3.
El número escrito en base 12 es 7370β12.
Ejemplo 1.5.3. Escribir en base 5 el número 7210.
Solución.
72 = 5× 14 + 2
14 = 5× 2 + 4.
La respuesta es 2425.
1.5.2. Operaciones en base cualquiera
Un procedimiento para operar números en cualquier base (pero todos en la
misma) seŕıa pasarlos a la base 10, efectuar las operaciones y el resultado
devolverlo luego a la base original.
Para cantidades pequeñas otro método consiste en operar en la base res-
pectiva teniendo el cuidado de recordar que opera en base diferente a la
decimal con el fin de evitar eqúıvocos. Cuando hay que realizar muchas ope-
raciones lo mejor es utilizar una tabla.
La tabla de sumar
Para construir una tabla de sumar, que puede utilizarse para restar, se escribe
en fila la sucesión de los números hasta donde se quiera, pero por lo menos
hasta agotar los d́ıgitos.
Debajo de esa primera fila se escribenlos mismos números agregados en la
unidad, la tercera será igual a la segunda más la unidad y aśı sucesivamente.
Para sumar dos números se toma uno en la primera columna y el otro en
la primera fila y la suma estará en la intersección de la columna y fila que
encabezan los sumandos, aunque la propiedad conmutativa permite tomarlos
sin importar cuál se toma en la fila y cuál en la columna.
A continuación se construye una tabla de sumar en base 5.
46 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
+ 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21
1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21 22
2 3 4 10 11 12 13 14 20 21 22 23
3 4 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24
4 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 30
10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 30 31
11 12 13 14 20 21 22 23 24 30 31 32
12 13 14 20 21 22 23 24 30 31 32 33
Figura 1.2
Ejemplo 1.5.4. Sumar: 11112 + 10102 + 1102 + 111012.
Solución. Tomando las primeras cifras de derecha a izquierda (unidades) y
operando en base dos,
1 + 0 + 0 + 1 = 1 + 1 = 10.
Escribo 0 en la primera posición del resultado y traslado 1 a la segunda
posición. Tomando las cifras de la segunda posición más 1 que traslado se
obtiene.
1 + (1 + 1 + 1 + 0) = 1 + (11) = 100.
Escribo 0 en la segunda posición y traslado 10 a la tercera. Tomando las
cifras de la tercera posición más 10 se escribe,
10 + (1 + 0 + 1 + 1) = 10 + (11) = 101.
Escribo 1 en la tercera posición y traslado 10 a la cuarta. Tomando las cifras
de la cuarta posición más 10, se tiene,
10 + (1 + 1 + 0 + 1) = 10 + 11 = 101.
Escribo 1 en la cuarta y traslado 10 a la quinta . Tomando las cifras de la
quinta posición más 10, se obtiene
10 + (0 + 0 + 0 + 1) = 11
cifra que corresponde al último resultado. Finalmente, escribiendo de izquier-
da a derecha se obtiene el total: 1111002.
Escribiendo la suma en forma compacta,
1.5. SISTEMAS DE NUMERACIÓN 47
1 1 1 1
1 0 1 0
+ 1 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0 0
Ejemplo 1.5.5. Efectuar la diferencia 220237 – 46257.
Solución. Tomando el desarrollo polinómico de 22023 en base siete
22023 = 2×74+2×73+0×72+2×7+3 = 1×74+11×73+6×72+11×7+13.
Recuerde que estamos haciendo un desarrollo en base 7. El desarrollo
polinómico de 4625 es,
4625 = 4× 73 + 6× 72 + 2× 7 + 5.
Ahora basta con efectuar las respectivas restas aśı,
13− 5 = 5
11− 2 = 6
6− 6 = 0
11− 4 = 4
1− 0 = 1.
Tomando los resultados en orden ascendente y escribiéndolos de izquierda a
derecha la respuesta obtenida es, 140657. En forma compacta
2 2 0 2 3
– 4 6 2 5
1 4 0 6 5
La tabla de multiplicar
La tabla de multiplicar que también sirve para dividir se construye escribien-
do la sucesión de los números de la base en el sistema en referencia a partir
48 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
de 1. En la segunda fila en correspondencia con la primera se escribe el resul-
tado de sumar la primera fila consigo misma. La tercera se obtiene sumando
la segunda con la primera. La cuarta es el resultado de sumar la primera con
la tercera y aśı sucesivamente cada nueva fila se obtiene sumando la primera
con la última obtenida. Para hallar el producto de dos números se toman los
factores se procede en forma similar a la suma. La siguiente es una tabla de
multiplicar en base cinco
× 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21
1 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21
2 2 4 10 13 20 22 24 31 33 40 42
3 3 11 13 22 30 33 41 44 102 110 113
4 4 13 21 31 40 44 103 112 121 130 134
10 10 20 24 40 100 110 120 130 140 200 210
11 11 22 32 44 110 121 132 143 204 220 231
12 12 24 40 103 120 131 144 211 223 240 302
Figura 1.3
Ejemplo 1.5.6. En base 4 se opera de manera semejante a la base 10, exa-
minemos el siguiente producto:
Solución. Se dispone el producto de manera ordinaria.
1 0 2 1 3
× 2 2 1
1 0 2 1 3
2 1 0 3 2
2 1 0 3 2
2 3 3 0 3 3 3
El resultado es 23303334.
Finalmente se da solución a la siguiente división en base cinco.
Ejemplo 1.5.7. Dividir 231245 entre 325.
Solución. La operación se dispone aśı:
1.5. SISTEMAS DE NUMERACIÓN 49
2 3 1
′
2
′
4
′
3 2
−2 0 1 3 4 2
1 4 4
3 0 2
−2 3 3
−1 1 4
3 0
El algoritmo se desarrolla de la siguiente forma. Se toman las tres primeras
cifras de la izquierda del dividendo, esto es, 231. El número que multiplicado
por 32 se aproxima más a 231 es 3. Se multiplica 32 por 3.
32× 3 = 201.
Se efectúa la diferencia
231− 201 = 30.
A 30 se le agrega la cuarta cifra del dividendo, obteniéndose 302. El número
que multiplicado por 32 se aproxima más a 302 es 4. Se multiplica 32 por 4.
32× 4 = 233.
Se realiza la diferencia
302− 233 = 14.
Tomando la última cifra del dividendo, 4 y agregándola a 14 se obtiene 144.
El número que multiplicado por 32 se aproxima más a 144 es 2. Multiplicando
32 por 2.
32× 2 = 114.
La diferencia
144− 114 = 30
produce el residuo 30. El cociente es 3425.
Los enteros obtenidos mediante las diferentes bases son equivalentes, por
ejemplo las igualdades
125 + 205 = 325
710 + 1010 = 1710
213 + 1013 = 1223
50 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
conducen a resultados correspondientes. Estas correspondencias se dice que
son isomorfismos y a las estructuras se les denomina isomorfas.
EJERCICIOS
1. Construir tablas de adición y multiplicación para las siguientes bases:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12.
2. Usando las tablas del ejercicio anterior, evaluar:
a) 110112 + 10012 + 112 + 102 + 12 + 11000012 + 10001102.
b) 11220013 + 112200023 + 1112123 + 121211213 + 111110013.
c) 7650418 + 6755028 + 123456708 + 765432108 + 1006368.
d) 9α87654311 − 796α2511.
e) 11100010112 − 10001111002.
f ) βα985304β12 − α908548212.
g) 2α912 × β3012.
h) 1101012 × 10112.
i) 650327 × 3427.
j ) 44105 × 3145.
k) Dividir 434015 entre 3105.
l) Dividir 9αβ3412 entre 1812.
m) Hallar la ráız cuadrada de los siguientes números : 2112, 6912, α112,
1412, 4112.
n) Desarrollar (912 + β12)
2.
3. Expresar 1220013 en base 12.
4. Expresar 4300215 en base 7.
5. Expresar 1120013 en base 10.
6. Expresar 8753326710 en base 12.
7. Demostrar que en un sistema de base n los números n, n2, n3, . . . , están
representados por 10, 100, 1000, . . .
1.5. SISTEMAS DE NUMERACIÓN 51
8. ¿En qué sistema está expresado por 333n el número 9310?
9. ¿En qué sistema el cuadrado de 23n está expresado por 613n?
10. Demostrar: Un número en base n es divisible por (n− 1) si y solo si la
suma de sus d́ıgitos es un múltiplo de (n− 1).
11. Utilizando el ejercicio anterior enuncie un criterio de divisibilidad por
9.
12. Demostrar: Un número en base n, es divisible por (n + 1) si y solo si
la diferencia entre la suma de sus cifras de lugar impar y la suma de
sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, da cero o múltiplo de
(n+ 1). Compare este criterio con el de divisibilidad por 11.
13. Demostrar: Si H es un número escrito en base n, y formamos otro
número K alterando el orden de las cifras de H , la diferencia H −K o
K −H es divisible por (n− 1).
Caṕıtulo 2
GRUPOS
2.1. Leyes de composición internas
El primer contacto que el estudiante tiene con el álgebra se produce cuando
aprende a sumar y a multiplicar. Básicamente estas operaciones son reglas
que asocian con cada par de números dados un único número llamado suma
y producto respectivamente.
La importancia de una operación está ligada a la calidad de los resultados
obtenidos y estos a su vez dependen de las propiedades que se puedan derivar
de dicha regla. Para definir una operación matemática basta con describir lo
que deseamos efectuar con los elementos de un determinado conjunto, pero
si los resultados no conducen a un desarrollo teórico de interés, es necesario
analizar la definición propuesta debido a que las propiedades que resulten en
definitiva son inferencias lógicas de esta última. En el caso de las operacio-
nes antes mencionadas las propiedades básicas son ampliamente conocidas y
son de tal calidad que se usaron para describir generalizaciones que susten-
taron la construcción de estructuras más complejas estudiadas por el álgebra
moderna.
Los grupos por ser una estructura con una sola operación sirven para dar