Sólido - Tarea3

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Física del estado sólido
Tarea 3. Vibraciones de la red
Aarón Hernández Arcique
Moisés Ebenezer Hernández Cruz
Elaine Isabel Zapata del Valle
October 20, 2019
Problema 1
Considere una partícula lineal de gas CO2, cuyos átomos se mueven a lo largo del eje de la
molécula, el cual llamamos eje x. El átomo de carbono tiene una masa mc y se encuentra
entre los átomos de oxígeno, los cuales tienen una masa m cada uno. Los átomos interactúan
únicamente con sus vecinos más cercanos con una fuerza elástica cuya constante de fuerza es K.
Con respecto a sus respectivas posiciones de equilibrio, los desplazamientos de los dos átomos
de oxigeno son x1 y x2 , respectivamente y xc para el átomo de carbono.
a) Encuentre las ecuaciones de movimiento.
b) Determine las frecuencias propias de los modos normales, y describa cómo se mueven
los átomos en cada caso.
Solución a):
El problema se puede modelar como se observa en la siguiente figura:
Se plantea la ecuación de movimiento para el átomo de oxígeno de la izquierda:
mẍ1 =−k(x1 − xc)
mẍ1 + kx1 − kxc = 0
Ecuación de movimiento para el átomo de carbono:
mcẍc =−k(xc − x1)− k(xc − x2)
1
mcẍc +2kxc − kx1 − kx2 = 0
Ecuación de movimiento para el átomo de oxígeno de la derecha:
mẍ2 =−k(x2 + xc)
ẍ2 + kx2 − kxc = 0
Solución b):
Para poder determinar las frecuencias de los modos normales, primero se debe realizar la suposi-
ción de que los tres átomos oscilan con la misma frecuencia, ω . Ahora, se realiza la propuesta
de solución para las ecuaciones diferenciales del inciso a):
x1(t) = B1eiωt
x2(t) = B2eiωt
xc(t) = Bceiωt
Derivando dichas soluciones y sustituyendo en las ecuaciones de movimiento del inciso a):
−mω2B1eiωt + kB1eiωt − kBceiωt = 0
−mcω2Bceiωt +2kBceiωt − kB1eiωt − kB2eiωt = 0
−mω2B2eiωt + kB2eiωt − kBceiωt = 0
Dividiendo todas las ecuaciones entre eiωt , y redistribuyendo las variables, se obtiene el sigu-
iente sistema de ecuaciones:
(k−mω2)B1 − kBc = 0
(2k−mcω2)Bc − kB1 − kB2 = 0
(k−mω2)B2 − kBc = 0

El determinante de este sistema de ecuaciones debe ser igual a cero, por lo tanto:∣∣∣∣∣∣
k−mω2 −k 0
−k 2k−mcω2 −k
0 −k k−mω2
∣∣∣∣∣∣= 0
Al desarrollar el determinante, se obtiene:
ω2(k−ω2)(mcmω2 −2mk−mck) = 0
Por lo tanto, los eigenvalores (frecuencias propias de los modos normales) son:
ω2 = 0; ω2 =
k
m
; ω2 = k
(
2
mc
+
1
m
)
La descripción del movimiento se puede realizar con el apoyo de la siguiente figura:
2
(a) Corresponde a la solución ω2 = 0. Aquí no hay oscilación, solamente traslación del
sistema, ya que los tres átomos se mueven hacia la misma dirección.
(b) Corresponde a la solución ω2 = k/m. Se observa que el átomo de carbono es estacionario,
mientras que los otros van en direcciones opuestas, las masas vibran con la misma frecuencia.
(c) Corresponde a la solución ω2 = k/m+ 2k/mc. Se tiene que los dos átomos de oxígeno
van hacia la misma dirección y el de carbono a la contraria. Los de oxígeno vibran al unísono y
el de carbono vibra opuestamente con diferente amplitud.
3
Problema 2
Considere los modos normales de vibración en una cadena lineal en los cuales las constantes de
fuerza entre átomos vecinos son C y 10C alternadamente. Sean las masas de los átomos iguales
y la separación entre átomos vecinos a/2. Halle ω(k) cuando k = 0 y k = π/a. Este problema
simula el cristal formado por moléculas diatómicas como H2 .
Solución:
De la bibliografía se conocen las ecuaciones de movimiento para una cadena lineal de átomos
con masas alternadas y mismo coeficiente del resorte:
M1üs =C(vs + vs−1 −2us)
M2v̈s =C(us+1 +us −2vs)
Cuyas soluciones son:
us = ueiskae−iωt
vs = veiskae−iωt
Para este ejercicio, se cuentan con átomos iguales, por lo tanto M1 = M2 = M, quedando así la
suma de fuerzas como:
Müs =C1(vs −us)+C2(vs−1 −us)
Mv̈s =C1(us − vs)+C2(us+1 − vs)
Derivando dos veces las propuestas de solución:
üs =−ω2ueiskae−iωt
v̈s =−ω2veiskae−iωt
Sustituyendo en ambas ecuaciones:
−ω2Mueiskae−iωt =C1
[
veiskae−iωt −ueiskae−iωt
]
+C2
[
vei(s−1)kae−iωt −ueiskae−iωt
]
−ω2Mveiskae−iωt =C1
[
uei(s)kae−iωt − veiskae−iωt
]
+C2
[
uei(s+1)kae−iωt − veiskae−iωt
]
Dividiendo ambas ecuaciones entre el factor eiskae−iωt :
−ω2Mu =C1 (v−u)+C2
(
ve−ika −u
)
−ω2Mv =C1 (u− v)+C2
(
ueika − v
)
Se realiza el reordenamiento de las variables:
u
(
C1 +C2 −ω2M
)
− v
(
C1 +C2e−ika
)
= 0
−u
(
C1 +C2eika
)
+ v
(
C1 +C2 −ω2M
)
= 0
El determinante de este sistema debe ser igual a cero, por lo tanto:∣∣∣∣ C1 +C2 −ω2M −C1 −C2e−ika−C1 −C2eika C1 +C2 −ω2M
∣∣∣∣= 0
4
Resolviendo el determinante:[
C1 +C2 −ω2M
]2 −[C21 +C22 +C1C2eika +C1C2e−ika]= 0
En este punto, se deben aplicar las condiciones propuestas por el enunciado del ejercicio,
comenzando con k = 0:[
C1 +C2 −ω2M
]2 − [C21 +C22 +C1C2 +C1C2]= 0[
C1 +C2 −ω2M
]2
=
[
C21 +C
2
2 +2C1C2
]
[
C1 +C2 −ω2M
]2
= [C1 +C2]
2
C1 +C2 −ω2M =± [C1 +C2]
Tomando el signo (+):
C1 +C2 −ω2M =C1 +C2
ω2 = 0
Tomando el signo (-):
C1 +C2 −ω2M =−C1 −C2
ω2 =
2(C1 +C2)
M
Siendo C1 =C y C2 = 10C, entonces:
ω2 =
22C
M
Ahora, el caso donde k = π/a:[
C1 +C2 −ω2M
]2 − [C21 +C22 +C1C2eiπ +C1C2e−iπ]= 0
De la propiedades del exponencial:
eiπ = cos[π]+ sin[π] =−1
eiπ = cos[−π]+ sin[−π] =−1
Entonces: [
C1 +C2 −ω2M
]2
=
[
C21 +C
2
2 −C1C2 −C1C2
]
[
C1 +C2 −ω2M
]2
= [C1 −C2]2
C1 +C2 −ω2M =± [C1 −C2]
Tomando el signo (+):
C1 +C2 −ω2M =C1 −C2
ω2 =
2C2
M
Siendo C2 = 10C, entonces
ω2 =
20C
M
5
Tomando el signo (-):
C1 +C2 −ω2M =−C1 +C2
ω2 =
2C1
M
Siendo C1 =C, entonces:
ω2 =
2C
M
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