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ALGEBRA Trinomio Cuadrado completo

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ALGEBRA 
 Trinomio Cuadrado 
Prof: Stilber Valdes Escobar
CASO III:
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:
RAIZ CUADRADA DE UN MONOMIO:
PARA EXTRAER LA RAIZ CUADRADA DE UN “MONOMIO” SE EXTRAE LA RAIZ CUADRADA DE SU COEFICIENTE Y SE DIVIDE EL EXPONENTE DE CADA LETRA POR 2.
ASI, LA RAIZ CUADRADA DE: 9a2b4 ES IGUAL A 3ab2 
PORQUE: (3ab2)2 = (3ab2).(3ab2) = 9a2b4 
LA RAIZ CUADRADA DE: 36X6Y8 ES IGUAL A: 6X3Y4 
UN TRINOMIO ES CUADRADO PERFECTO CUANDO, ES EL CUADADO DE UN BINOMIO, O SEA, EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS IGUALES.
ASI, a2 + 2ab + b2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado del binomio (a + b).
ENTONCES: (a + b)2 = (a + b).(a + b) = a2 + 2ab + b2 
 
DE LA MISMA FORMA: (2X + 3Y)2 = 4X2 + 2.2.3.XY + 9Y2 = 4X2 +12XY + 9Y2 
LUEGO PODEMOS DECIR QUE, 4X2 +12XY + 9Y2 ES UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. 
REGLA PARA CONOCER SI UN TRINOMIO ES CUADRADO PERFECTO.
 
UN TRINOMIO ORDENADO CON RELACION A UNA LETRA, ES CUADRADO PERFECTO CUANDO EL PRIMERO Y EL TERCER TERMINO SON CUADRADOS PERFECTOS (O TIENEN RAIZ CUADRADA EXACTA) Y SON POSITIVOS, EL SEGUNDO TERMINO DEBE SER EL DOBLE PRODUCTO DE LAS RAICES CUADRADA DEL PRIMER TERMINO Y DEL TERCER TERMINO.
ASI, a2 – 4ab + 4b2 es cuadrado perfecto porque:
1) RAIZ CUADRADA DEL PRIMER TERMINO: a2 …………… a
2) RAIZ CUADRADA DEL TERCER TERMINO: 4b2 …………… 2b
3) DOBLE PRODUCTO DE LAS RAICES: 2. a.2b = 4ab
EL TRINOMIO: 36X2 - 18XY4 + 4Y8, NO ES TRINOMIO CUADRADO PERFECTO PORQUE:
1) RAIZ CUADRADA DEL PRIMER TERMINO: 36X2 …………. 6X
2) RAIZ CUADRADA DEL TERCER TERMINO: 4Y8 ……………..2Y4 
3) DOBLE PRODUCTO DE LAS RAICES: 2. 6X. 2Y4 …………….24XY4 
LUEGO TENDREMOS: QUE LOS SEGUNDOS TERMINOS NO SON IGUALES
18XY4 ≠ 24XY4 , ENTONCES: 36X2 – 18XY4 + 4Y8, NO ES UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
REGLA PARA FACTORAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:
SE EXTRAE LA RAIZ CUADRADA AL PRIMERO Y AL TERCER TERMINO DEL TRINOMIO Y SE SEPARAN ESTAS RAICES ENCONTRADAS, POR EL SIGNO DEL SEGUNDO TERMINO.
EL BINOMIO ASI FORMADO, QUE ES LA RAIZ CUADRADA DEL TRINOMIO, SE MULTIPLICA POR SI MISMO O SE ELEVA AL CUADRADO.
 
EJEMPLOS:
1) FACTORAR: m2 + 2m + 1
m2 + 2m + 1 = (m + 1).(m + 1) = (m + 1)2 
2) DESCOMPONER: 4X2 +25Y2 - 20XY
PRIMERO DEBEMOS ORDENAR EL TRINOMIO, LUEGO TENEMOS: 4X2 - 20XY + 25Y2 
4X2 – 20XY + 25Y2 = (2X – 5Y).(2X – 5Y) = (2X – 5Y)2 
OBSERVACION IMPORTANTE: CUALQUIERA DE LAS DOS RAICES PUEDE PONERSE COMO MINUENDO, ASI EN EL EJEMPLO ANTERIOR SE TENDRA TAMBIEN:
4X2 -20XY + 25Y2 = (5Y – 2X).(5Y – 2X) = (5Y – 2X)2 
PORQUE DESARROLLANDO ESTE BINOMIO SE TIENE: 
(5Y – 2X)2 = 25Y2 – 20XY + 4X2, EXPRESION IDENTICA A: 4X2 -20XY + 25Y2, YA QUE TIENEN LAS MISMAS CANTIDADES CON LOS MISMOS SIGNOS.
3) DESCOMPONER: 	1 – 16aX2 + 64a2X4 = (1 – 8aX2).(1 – 8aX2) = (1 – 8aX2 )2 
 RAICES: 1 8aX2 
 
4) FACTORAR: X2 + bX + b2/4
X2 + bX + b2/4 = (X + b/2).(X + b/2) = (X + b/2)2 
 
5) FACTORAR: 1/4 - b/3 + b2/9 
1/4 - b/3 + b2/9 = (1/2 – b/3).(1/2 – b/3) = (1/2 – b/3)2 
 
CASO ESPECIAL:
6) DESCOMPONER: a2 + 2a(a – b) + (a – b)2 
LAS RAICES DEL PRIMER Y TERCER TÉRMINO SON: a y (a – b)
LUEGO: a2 + 2a(a – b) + (a – b)2 = (a + a – b).(a+ a – b) = (2a – b).(2a – b) =
 (2a – b)2 	
7) FACTORAR: (X + Y)2 – 2(X +Y)(a + X) + (a + X)2 
LAS RAICES DEL PRIMER Y TERCER TERMINO SON: (X + Y) y (a + X), LUEGO:
(X +Y)2 – 2(X+Y)(a +X) + (a +X)2 = [(X+Y) – (a+X)].[(X+Y) – (a+X)] =
 (X+Y–a-X)(X+Y-a+X) =
 
= (Y – a).(Y – a) = (Y – a)2 = (a – Y)2 
CASO IV:
DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS:
EN LOS PRODUCTOS NOTABLES SE VIO QUE LA SUMA DE DOS CANTIDADES, MULTIPLICADAS POR SU DIFERENCIA, ES IGUAL AL CUADRADO DEL MINUENDO, MENOS EL CUADRADO DEL SUSTRAENDO, O SEA: (a +b).(a –b) = a2 – b2 , LUEGO, 
RECIPROCAMENTE PODEMOS, PUES, ENUNCIAR LO SIGUIENTE,
QUE: 	a2 – b2 (a + b).(a – b)
REGLA PARA FACTORAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS:
SE EXTRAE LA RAIZ CUADRADA AL MINUENDO Y AL SUSTRAENDO Y SE PROCEDE A MULTIPLICAR LA SUMA DE ESTAS RAICES CUADRADAS, POR LA DIFERENCIA ENTRE LAS RAICES, DEL MINUENDO Y DEL SUSTRAENDO.
EJEMPLO:
1) FACTORAR: 	1 – a2 = (1 + a).(1 – a)
 
2) DESCOMPONER: 	16X2 – 25Y4 = (4X + 5Y2).(4X – 5Y2) 
 
3) FACTORAR: 	49X2 Y6 Z10 – a12 = (7XY3Z5 + a6).(7XY3Z5 – a6) 
CASO ESPECIAL:
1) FACTORAR: (a + b)2 – c2 = (a + b +c).(a + b – c)
 
2) FACTORAR: 4X2 - (X + Y)2 = (2X + X + Y).(2X – X – Y) = (3X + Y).(X – Y)
 
3) FACTORAR: (a + X)2 – (X+2)2 = (a + X + X + 2).(a + X – X – 2) = 
(a + 2X + 2).(a – 2)
MAXIMO COMUN DIVISOR: DE DOS O MAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS, ES LA EXPRESION ALGEBRAICA DE “MAYOR COEFICIENTE NUMERICO Y DE MAYOR GRADO” QUE ESTA CONTENIDA EXACTAMENTE EN CADA UNA DE ELLAS.
ASI, EL mcd DE : 10a2b y 20a3 , ES : 10a2 , PORQUE ES LA EXPRESION ALGEBRAICA DE MAYOR COEFICIENTE Y DE MAYOR GRADO QUE PUEDE CONTENER A AMBAS EXPRESIONES.
EL mcd DE: 8a3n2 ; 24an3 ; 40a3n4p , ES: 8an2 
1) MCD DE MONOMIOS: 
REGLA: SE HALLA EL mcd DE LOS COEFICIENTES DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS, PARA ELLO SE DEBE DE DESCOMPONER CADA COEFICIENTE EN SUS FACTORES PRIMOS, DE ELLOS SE ESCOGE LOS FACTORES COMUNES CON SU MENOR EXPONENTE. A CONTINUAION SE PONEN LAS LETRAS COMUNES DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS, CON SU MENOR EXPONENTE.
EJEMPLOS:
1) HALLAR EL mcd DE: a2X2 y 3a3bX, LOS COEFICIENTES COMUNES SOLAMENTE ES EL (1), DESPUES TOMAMOS LAS LETRAS COMUNES CON SU MENOR EXPONENTE: LUEGO EL mcd SERA: a2X
2) HALLAR EL mcd DE: 36a2b4; 48a3b3c; 60a4b3m 
DESCOMPONIENDO EN FACTORES PRIMOS LOS COEFICIENTES Y COLOCANDO A SEGUIR LOS FACTORES LITERALES, PARA DESPUES ESCOGER LOS FACTORES COMUNES CON SU MENOR EXPONENTE, TENEMOS:
36a2b4 = 22.32.a2b4 
48a3b3c = 24.3.a3. b3.c
60a4b3m = 22.3.5.a4b3m
EL mcd DE LOS COEFICIENTES ES: 22.3 = 12
EL mcd DE LOS FACTORES LITERALES ES: a2.b3, LUEGO EL mcd será = 12a2b3 
2) MCD DE POLINOMIOS:
MCD DE POLINOMIOS POR DESCOMPOSICION EN FACTORES:
REGLA: SE DESCOMPONEN LOS POLINOMIOS DADOS EN SUS FACTORES PRIMOS (FACTORAR). EL MCD ES EL PRODUCTO DE LOS FACTORES COMUNES CON SU MENOR EXPONENTE.
EJEMPLOS:
1) HALLAR EL mcd DE: 4a2 + 4ab y 2a4 – 2a2b2 
FACTORANDO ESTAS EXPRESIONES, TENEMOS: 	
4a2 + 4ab = 4a(a +b) = 22a(a +b)
2a4 – 2a2b2 = 2a2(a2 – b2)= 2a2(a+b)(a-b) 
EL mcd será = 2a(a + b)

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