ANEXO 05

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FLEXIÓN
OBJETIVO:
➢ Determinar el esfuerzo que produce la flexión en estos elementos
➢ Cómo se establecen los diagramas de fuerza cortante y de momento
para una viga o eje.
➢ Con los diagramas de fuerza cortante y de momento determinar 
la fuerza cortante y el momento máximos en un elemento, así 
como para especificar dónde ocurren esos máximos.
Diagramas de fuerza cortante 
y de momento
Convención de signos para las vigas.
Las direcciones positivas son las siguientes: la carga distribuida actúa hacia 
arriba sobre la viga; la fuerza cortante interna ocasiona un giro en sentido 
horario del segmento de viga sobre el que actúa, y el momento interno causa 
compresión en las fibras superiores del segmento, de modo que éste se dobla 
como para retener agua. Las cargas que son opuestas a las descritas 
anteriormente se consideran negativas.
Procedimiento de análisis
Reacciones en los apoyos.
Determine todas las fuerzas reactivas y los momentos que actúan 
sobre la viga, después descomponga todas las fuerzas en 
componentes que actúen de forma perpendicular y paralela al eje 
de la viga.
Funciones de fuerza cortante y de momento.
• Especifique por separado las coordenadas x que tienen un origen en el 
extremo izquierdo de la viga y se extienden a las regiones de ésta ubicadas 
entre fuerzas y momentos concentrados, o bien donde no haya 
discontinuidad de la carga distribuida.
• Seccione la viga a cada distancia x y dibuje el diagrama de cuerpo libre de 
cada uno de los segmentos. Asegúrese de que V y M se muestren actuando 
en su sentido positivo, de acuerdo con la convención de signos dada.
• La fuerza cortante se obtiene si se suman las fuerzas perpendiculares al eje 
de la viga.
• Para eliminar V, el momento se obtiene de manera directa al sumar los 
momentos alrededor del extremo seccionado del segmento.
Diagramas de fuerza cortante y de momento.
• Grafique el diagrama de fuerza cortante (V y x) y el diagrama de momento (M 
y x). Si los valores numéricos de las funciones que describen a V y M son 
positivos, éstos se representarán por encima del eje x, mientras que los 
valores negativos se graficarán por debajo de dicho eje.
• En general, es conveniente mostrar los diagramas de fuerza cortante y de
momento por debajo del diagrama de cuerpo libre de la viga.
EJEMPLO:
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga 
simplemente apoyada.
• MÉTODO GRÁFICO PARA LA CONSTRUCCIÓN DE 
DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO
Este método se basa en dos relaciones diferenciales, una que 
existe entre la carga distribuida y la fuerza cortante, y otra entre la 
fuerza cortante y el momento.
Regiones de carga distribuida.
Considere la viga de la figura 6-8a, que está 
sometida a una carga arbitraria.
Tomando un segmento x de la viga y realizando
su D.C.L figura 6-8b este segmento se ha elegido en una posición 
x donde no hay fuerza concentrada o momento, los resultados que 
se obtengan no se aplicarán en estos puntos de carga 
concentrada. Notar las cargas mostradas sobre el segmento 
actúan en sus direcciones positivas de acuerdo con la convención 
de signos. La carga distribuida se sustituye por una fuerza 
resultante w(x)x que actúa a una distancia fraccional k(x) desde 
el lado derecho, donde 0  k  1 [por ejemplo, si w(x) es uniforme, 
k = 1/ 2]. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio para el segmento, 
se tiene
Al dividir entre x y tomar el límite cuando x→ 0, las dos 
ecuaciones anteriores se convierten en
En la figura 6-9a. La carga distribuida
es negativa y aumenta desde cero
hasta w . Por lo tanto, el diagrama deB
fuerza cortante será una curva con
pendiente negativa, la cual aumenta 
desde cero hasta -wB. En la figura 6-9b 
se muestran las pendientes específicas 
wA = 0, -wC , -wD y–wB.
En la figura 6-9b comienza en +VA, decrece 
hasta cero y luego pasa a ser negativo y 
disminuye hasta -VB. El diagrama de 
momento tendrá entonces una pendiente 
inicial de +VA que decrece hasta cero, 
después la pendiente se vuelve negativa y 
disminuye hasta -VB. En la figura 6-9c se 
muestran las pendientes específicas VA, VC, 
VD, 0 y -VB.
Las ecuaciones 6-1 y 6-2 también pueden 
rescribirse en la forma dV = w(x) dx y dM = Vdx. Si 
se tiene en cuenta que w(x) dx y Vdx representan 
áreas diferenciales bajo la carga distribuida y el 
diagrama de fuerza cortante, respectivamente, es 
posible integrar estas áreas entre dos puntos 
cualesquiera C y D de la viga, figura 6-9d, y escribir
La ecuación 6-3 establece que el cambio en la fuerza cortante entre C y D es igual al área 
bajo la curva de la carga distribuida entre esos dos puntos, figura 6-9d. En este caso, el 
cambio es negativo ya que la carga distribuida actúa hacia abajo. Del mismo modo, a partir 
de la ecuación 6-4, el cambio en el momento entre C y D, figura 6-9f, es igual al área bajo el 
diagrama de fuerza cortante en la región entre C y D. Aquí, el cambio es positivo. Como las 
ecuaciones anteriores no se aplican en los puntos donde actúa una fuerza o un momento 
concentrado, a continuación se considerará cada uno de estos casos.
Regiones de fuerza y momento concentrados.
En la figura 6-10b se muestra un diagrama de cuerpo libre de 
un pequeño segmento de la viga mostrada en la figura 6-10a; 
el segmento se tomó por debajo de la fuerza. Aquí se puede 
ver que el equ ilibrio de fuerzas requiere
Así, cuando F actúa hacia arriba sobre la viga, V es positivo
por lo que la fuerza cortante “saltará” hacia arriba. Del mismo
modo, si F actúa hacia abajo, el salto (V) será hacia abajo.
Cuando el segmento de viga incluye al momento M0, figura 6-
10b, entonces el equilibrio de momentos requiere que el 
cambio en el momento sea
Si se hace que x → 0, se obtiene
En este caso, si M0 se aplica en sentido horario,  M es positivo por lo que el 
diagrama de momento “saltará” hacia arriba. Del mismo modo, cuando M0 
actúa en sentido antihorario, el salto ( M) será hacia abajo.
Procedimiento de análisis
El siguiente procedimiento proporciona un método para construir los diagramas 
de fuerza cortante y de momento para una viga, conbase en las relaciones 
entre carga distribuida, fuerza cortante y momento.
Reacciones en los apoyos
Determine las reacciones de apoyo y descomponga las fuerzas que actúan 
sobre la viga en sus componentes perpendiculares y paralelas al eje de la viga. 
Diagrama de fuerza cortante.
➢ Establezca los ejes V y x, y grafique los valores conocidos de la fuerza 
cortante en los dos extremos de la viga.
➢ Observe cómo varían los valores de la carga distribuida a lo largo de la 
viga, y note que cada uno de estos valores indica la pendiente que tendrá el 
diagrama de fuerza cortante (dV/dx = w). Aquí w es positiva cuando actúa 
hacia arriba.
➢ Si debe determinarse un valor numérico para la fuerza cortante en un punto 
dado, tal valor puede encontrarse mediante el método de las secciones y la 
ecuación de equilibrio de fuerzas, o bien por medio de V = w(x) dx que 
establece que el cambio en la fuerza cortante entre dos puntos cualesquiera 
es igual al área bajo el diagrama de carga entre esos dos puntos.
Diagrama de momento.
➢Establezca los ejes M y x, y grafique los valores conocidos del momento en 
los extremos de la viga.
➢ Observe cómo varían los valores del diagrama de fuerza cortante a lo largo 
de la viga, y tenga en cuenta que cada uno de estos valores indica la 
pendiente que tendrá el diagrama de momento (dM/dx = V).
➢ En el punto donde la fuerza cortante es cero, dM/dx = 0; por lo tanto,en 
este punto ocurre un momento máximo o mínimo.
➢ Si debe determinarse un valor numérico para el momento en un punto 
dado, tal valor puede encontrarse mediante el método de las secciones y la 
ecuación de equilibrio de momentos, o bien por medio de M = V(x)dx, 
que establece que el cambio en el momentoentre dos puntos cualesquiera 
es igual al área bajo el diagrama de fuerza cortante entre esos dos puntos.
➢ Como w(x) debe integrarse a fin de obtener V, y V(x) se integra para 
obtener M(x), entonces si w(x) es una curva de grado n, V(x) será una curva 
de grado n + 1 y M(x) será una curva de grado n + 2. Por ejemplo, si w(x)es 
uniforme, V(x) será lineal y M(x) será una parábola.
EJEMPLO
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la
viga en voladizo mostrada en la figura 6-15a.
SOLUCIÓN
EJEMPLO 2
El eje mostrado en la figura 6-17a se sostiene mediante un cojinete de empuje 
en A y una chumacera en B. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de 
momento.
PROBLEMA 1
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la
viga simplemente apoyada.
PROBLEMA 2
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la 
viga con voladizo.
PROBLEMA 3
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la 
viga con voladizo.
GRACIAS