ANUALIDADES VENCIDAS Y ANTICIPADAS PARTE 3

Vista previa del material en texto

ANUALIDADES MATEMÁTICAS FINANCIERAS APUNTES 
 PROFA. AILED GTZ V 
 
MATEMÁTICAS FINANCIERAS 
UNIDAD 3 
ANUALIDADES VENCIDAS Y ANTICIPADAS 
 
 
 
 
 
 
 
La segunda anualidad que veremos será: ANUALIDADES ANTICIPADAS 
 
Cierta – Sabes cuando empieza y cuando termina la anualidad 
Simple – el periodo de pago coincide con el de capitalización 
Inmediata – los pagos se comienzan a hacer desde el mismo periodo en el 
que se realiza la operación 
Anticipada – los pagos se realizan al principio de los correspondientes 
periodos 
 
Estas anualidades como su nombre lo indica, los pagos se realizarán al 
principio del periodo 
 
A través de un ejemplo veremos el comportamiento de estas anualidades y 
su formula 
 
- ¿Qué cantidad se acumularía en 4 meses si se depositaran $1,000.ºº al 
principio de cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 3% 
mensual? 
 
Lo primero que haremos es identificar el tipo de anualidad con la que estamos trabajando 
 
Cierta – nos están diciendo que cantidad se acumularía en 4 meses, lo que hace que sepamos exactamente 
las fechas de inicio y termino de la anualidad 
Simple – nos está diciendo el problema que se depositará cada mes y la tasa es del 3% mensual, por lo que 
coinciden nuestros pagos con el periodo de capitalización 
Inmediata – no menciona ningún tipo de periodo de gracia 
Anticipada – nos menciona el problema que los pagos serán al principio de cada mes, es decir, pago uso 
 
El problema nos pide el dinero que tendríamos, al hacer 4 depósitos 
mensuales anticipados de $1,000.ºº pesos, sabemos que las anualidades son 
la suma de intereses compuestos, por lo que: 
ANUALIDADES MATEMÁTICAS FINANCIERAS APUNTES 
 PROFA. AILED GTZ V 
 
 
 
 
Þ Para saber el monto lo que haríamos sería llevarnos todas las 
cantidades a donde esta mi monto 
Þ Observamos la gráfica y vemos que mi monto se encuentra un 
periodo después de realizar mi último pago, esto se debe al concepto 
de uso y pago, en donde, cuando yo hago mi último pago todavía 
tengo derecho a utilizar ese periodo 
Þ Los montos y los capitales de las anualidades estarán donde empieza 
y donde termina mi anualidad, es decir, donde empiezo a tener 
derecho a utilizar la anualidad y donde termina mi derecho de la 
anualidad 
Þ Para Anualidades Anticipadas, usaremos las siguientes ecuaciónes 
 
 
𝑀 = 𝑅 $
(1 + 𝑖)! − 1
𝑖 + (1 + 𝑖) 
 
 Aplicaremos la ecuación en el ejercicio 
 
 
𝑀 = 1,000 .
(1 + 0.03)" − 1
0.03 1 (1 + 0.03) 
 
 
 R = 1,000.ºº son los depósitos que estamos haciendo en la inversión 
i = es la tasa que me están dando en la inversión, no la divido, porque ya me están dando el 
periodo. 
n = son los números de pagos que voy a realizar en la anualidad 
 
 
ANUALIDADES MATEMÁTICAS FINANCIERAS APUNTES 
 PROFA. AILED GTZ V 
 
Que pasaría si nos preguntaran del mismo problema ahora el Valor Presente 
de esas cantidades, tendríamos que aplicar nuestra ecuación de Capital, 
que para las Anualidades Anticipadas es la siguiente: 
 
𝐶 = 𝑅 .1 +
1 − (1 + 𝑖)#!$%
𝑖 1 
 
Simplificamos: 
 
𝐶 = 1,000 .1 +
1 − (1 + 0.03)#"$%
0.03 1 
 
 
 
Ahora veremos como se grafica una anualidad anticipada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANUALIDADES MATEMÁTICAS FINANCIERAS APUNTES 
 PROFA. AILED GTZ V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos concluir lo siguiente: 
 
Þ En una anualidad anticipada el Monto se encuentra un periodo 
después de mi último pago 
Þ En una anualidad anticipada el Capital se encuentra donde hago mi 
primer pago 
 
 
 
 
 
 
 
Solo marcamos el 
primer pago y el 
último, debido a 
que podemos tener 
anualidades de 
muchos pagos 
El Monto, se encuentra 
un periodo (mes) 
después del último 
pago, debido a que es 
una anualidad 
anticipada y al ser el 
concepto de pago- uso 
cuando hago mi último 
pago todavía tengo 
derecho a utilizar ese 
periodo 
Pongo mensual para saber que 
los pagos que estoy realizando 
son mensuales 
Hago un rectángulo para 
marcar donde se encuentra mi 
anualidad en mi línea del 
tiempo 
El primer pago lo 
grafico al principio 
del 1er mes, 
debido a que es 
una anualidad 
anticipada y el 
concepto es uso y 
pago 
La renta la grafico adentro del 
rectángulo, para saber que esa 
anualidad tiene pagos de $1,000.ºº 
El Capital se 
encuentra donde se 
hace mi primer 
pago, porque es 
donde empiezo a 
tener derecho a 
utilizar la anualidad 
C 
ANUALIDADES MATEMÁTICAS FINANCIERAS APUNTES 
 PROFA. AILED GTZ V 
 
 
Ecuaciones de Anualidades Anticipadas 
 
 
 MONTO 
 
𝑀 = 𝑅 $
(1 + 𝑖)! − 1
𝑖 + (1 + 𝑖) 
 
 
𝑅 =
𝑀
$(1 + 𝑖)
! − 1
𝑖 + (1 + 𝑖)
 
 
 
𝑛 =
𝑙𝑜𝑔 $ 𝑀𝑖𝑅(1 + 𝑖) + 1+
log	(1 + 𝑖) 
 
 
 
 CAPITAL 
 
𝐶 = 𝑅 .1 +
1 − (1 + 𝑖)#!$%
𝑖 1 
 
 
𝑅 =
𝐶
$1 + 1 − (1 + 𝑖)
#!$%
𝑖 +
 
 
 
𝑛 = 1 −
𝑙𝑜𝑔 ;1 − 𝐶𝑖𝑅 + 𝑖<
log	(1 + 𝑖) 
 
 
 
 
A continuación, haremos unos ejercicios para fortalecer lo aprendido, te 
aconsejo que trates de hacerlos tú y posteriormente confirmes tus resultados 
 
ANUALIDADES MATEMÁTICAS FINANCIERAS APUNTES 
 PROFA. AILED GTZ V 
 
1.- Un obrero deposita en una cuenta de ahorros $250.ºº al principio de cada 
mes. Si la cuenta paga 0.3% mensual de interés. ¿cuánto habrá ahorrado 
durante el primer año? 
 
2.- Encuentre el monto de 6 pagos semestrales anticipados de $14,500 si el 
interés es del 19% convertible semestralmente 
 
3.- Un comerciante alquila un local para su negocio y acuerda pagar 
$2,750.ºº de renta por anticipado. Como desea librarse del compromiso 
mensual de la renta, decide proponer una renta anual equivalente y 
también anticipada. Si se calculan los intereses a razón de 15.60% 
convertible mensualmente ¿de cuánto deberá ser a renta anual?