SOLUCIONARIO-HIBBELER-MECANICA-VECTORIAL-PARA-I-NGENIEROS-10-ED-Movimiento-curvilineo-Componentes-normal-y-tangencial-SOLVED-PROBLEMS-FROM-12-100-TO-12-135(1)

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SOLUCIONARIO HIBBELER-MECANICA VECTORIAL PARA I NGENIEROS 10
ED-Movimiento curvilineo: Componentes normal y tangencial SOLVED
PROBLEMS FROM 12-100 TO 12-135
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Alvaro H. Salas
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SECCiÓN 12.7 Movimiento curviUneo: Componentes normal y tangencial 49 
12.7 Movimiento curvilineo: Componentes normal y tangencial 
Cuando la trayectoria a lo largo de la cual se mueve una Pllrlícula es co-
rlOcida. a menudo resulta conveniente describir el movimiento usando 
coordcnadas 11 y t que actúan normal y tnngencialmentc a la trayecto-
ria, respectivamente, y que en el instante considerado tienen ::;u origen 
ubicado en la partFt.'/da. 
Movimiento plano. Considere la partícula P mostrada en la figura 
12-24(/ que se mueveen un plano por una curva fija,de tal manera que en 
un instante dado la partícula está en la posición s. medida desde el pun-
tO O. Consideraremos ahora un sistema coordenado que tiene su origen 
en un pI/litO fijo sobre la curva, y en el instante considerado cstc origen coill-
cide con la ubicación de la partícula. El eje I es tÚlIgellfe a la curva en P 
y positivo en la dirección de oS creciellle. Designaremos esta dirección po-
sitiva con el vector unitario u,. Puede hacerse una selección del ('je /lormal 
al advertir que geométricamente la curva está construida con base en una 
serie de segmentos diferenciales de arco ds, figura 12-24b. Cada segmen-
to ds está formado a partir del .lrco de un círculo asociado con N,dio de cur-
¡'alllra p y centro de Cl/fI'O/UTa O'. El eje normal n es perpendicular al eje 
r y está dirigido desde P hacia el centro de curvatura 0 '. figura 12-24a. 
Esta dirección positiva. que está siempre sobre el lado cóncavo de la cur-
va. !<\crá designada mediant.e el vector unitario u,.. El plano que contiene 
los ejes 11 y t es denominado plano oscllftu/or. y en este caso está fijo en el 
plano de movimiento: 
Velocidad . Dado que la partícula se está moviendo. S es una fundón 
del tiempo. Como se indicó en la sección 12.4. la velocidad v de la par-
tícula tiene ulla direcció" que es siempre wngell/e (l la trayectOria. figura 
12-24c, y un!! 11I11glliffld que es determinada tomando la derivada con re!;-
pecto al tiempo de la función trayectoria .~ = s(r). es decir. v = (Is / d, 
(ecuación 12-8). Por tanto. 
v = l'U, (12-15) 
donde 
V = s (12-16) 
-El plano O<;Clllodor UlInbién puede )er ddmido como aqu.::1 qu¡;: tiene el máximo con-
taCIQ con lo CUTVII en un punto. Es ta po~ición l¡mill: del plano que conl~cla al pUnlo) 111 
segmento de arco as. Como se obser\'ó lineas arriba. el plano osculador coincide siempre 
con una cur.'(I plana: sin embargo. elida punto sobre una cur.:! Iridimt:'nsional tu:ne un pla-
no O!iculndor úmco. 
o. 
PQl,ición 
'" 
O' 
RadIO de curvalUTlI 
lb> 
o 
Vellll' \d;¡d 
'" 
I ¡l!. t)· " 
/' 
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50 • CApiTULO 12 Cinemática de una partlcula 
dO 
o· 
p 
p ", 
", ,., 
~ dO " , " .ro, 
,,' 
o 
, I 
'. , 
'# 
" 
ACelmIC100 
,n 
, . 1114 
Aceleración. La aceleración de la panícula es la razón de cambio con 
respecto al tiempo de la velocidad . Así. 
a = v =vu/+vu, (12-17) 
Para determinar la derivada con respecto al tiempo u/. advierta que 
al mover,," la partícula a lo la rgo del arco (ü en el tiempu dr. u, pre-
serva su magnitud de la unidad; sin embargo. su direcci6n cambia. y se 
vuelve u;. figura 12.-24<1. Como se mueSlra en la ligura 12-24e. requeri-
mos u; = u( + du,. Aquí du, se extiende entre las cabezas de flecha de u, 
y u;. las cuales se encuemran sobre un arco infinitesimal de radio ,,/ = l. 
Por consiguiente. du, tiene una ma8,,¡wd dll, = (1) llO. y su dirección está 
definida por u". En consecuencia . dUI = dIJu" . y por tanto la derivada con 
respeclo al tiempo es ¡II = 9u". Como tls = p d8. figura U-24(l. enton-
ces iJ = s.' p. y por tanto 
. i t ' 
o/ = 8u" = - ti" = - u" 
P P 
Al sustituir en la ecuación 12-17 , a puede escribirse como la suma de sus 
dos componentes. 
donde 
(1 , = V 
y 
o [O¡dl = vdv 
ú' 
a =-, p 
(12-18) 
(12-19) 
( 12-20) 
Esas dos component es mutuamenle perpendicula res se muestran en la 
figura 12-2-tf, en cuyo caso la magni(¡uJ de la aceleración es el valor po-
sitivo de 
(12-21) 
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SECCIÓN 12_7 Movimiento curvi!lneo: Componentes normal y tangencial • S1 
Para resumir estos conceptos, considere los siguientes dos casos espe-
ciales de movlmienlo. 
lo Si la particula se mueve a 10 largo de una línea recta, entonces p ~ 
00 y a partir de la ecuación J2-20. an = O. Asf (1 = a, "" V. y pode-
mos concluir que la componente wl1geflcial de la aceleración repre-
Jellla la razó" de cambio COII respeclO alliempo en la ma8"illld de 
la velocidad. 
2. Si la partícula se mueve con rapidez constante por una curva. en-
tonces a/ = 'v = O) a = (1ft= "'¡p. Por lanto.la componente nor-
mal de la aceleración representa la razón de camhio Cotl reJpecto al 
fiempo en la dirección de la velocidad. Como 8 ft .\;empre actúa hacia 
el centro de curvatura. esta componente es denominada a veces llce-
lenlción celllrípeUl. 
Como resultado de estas intcrpretaciones, una pankula que se mueva 
a 10 largo de la trayectoria curva que aparece en la figura 12-25 tendrá 
aceleraciones dirigidas como se muestra_ 
RapidC'1 
cn.'Clcm~ , '. 
'. 
Cambio en t. 
dirección d~ 
11, 13' elocidad 
'. , 
" 
Cambio en la 
JJU.lmnud de: la 
\'clocidad 
. - ~ 
Movimiento tridimensional. Si la partícula se está moviendo por una 
curva espacial. figura 12-26. entonces, en un instame dado, el eje r es es-
pecificado de manera única; sin cmbargo. un número infinito de líneas 
rectas puede ser construido normalmente al eje tangente en p, Como en 
el caso de movimiento plano, seleccionaremos el eje n positivo dirigido 
desde P hacia el centro de curvatura de la trayectoria O'. Este eje es deno-
minado eje 1I0rmal principal a la curva en P. Con los ejes fI y I asf de(i· 
nidos, las ecuaciones de la 12-15 a la 12-21 pueden ser usadas para 
detenninar \' y a. Como u, y Un son siempre perpendiculares entre sf y se 
hallan en el plano osculador. para movimiento espacial. un tercer vector 
unitario. lib. define un eje billormul b que es perpendicular a U, y "ti. fig.u-
ra 12-26_ 
Como los tres vectores unitarios están relacionados entre sf por el pro--
ducto vectorial cruz. por ejemplo, Uh = u, X Un' figura 12-26. es posible usar 
esta relación para establecer la dirección de uno de los ejes. si las direc:cio-
nes de los otros dos ejes son conocidas. Por ejemplo. en la dirección Ub no 
ocurre movimiento, y entonces si esta dirección y u, son conocidas. UtI 
puede ser determinada, donde en este caso ti" = Uh X U/. Ggura 12-26. Re-
cuerde que u" está siempre sobre el lado cóncavo de la curva. 
b 
o 
". 
Plano osculador 
. 0' 
/ " 
", ------, 
• ... 1!- !/I 
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52 • CApiTULO 12 Cinemática de una partlcula 
Los conductor~s que \'¡¡¡Jan por eSle trébol 
de transl\() experimenUln una aceleración 
normal dellido al camllio en dirección de su 
velocidad_ Una componcnle tangencial dc la 
aceleración ocurre cuando la rapidez de 1m 
auwmó\.iles es 3umenuu.la o disminuida. 
PROCEDIMIENTO DF ANÁUSIS 
,"", 'flfl rlit 11 
• Si la trayecror;a de la partícula es conocida. podemos establecer un 
conjunto de coordenadas 11 , t que tenga un origen fijo que coinci-
da con la partícula en el instante considerado. 
El eje tangente positivo actúa en la direccion del movimiento y 
el eje normal positivo C~I;¡ oirigido hacia el centrO de curvatura 
de la trayectoria. 
Los ejes 11 y f son particularmente ventajosos para estudiar la ve-
locidad y la aceleración de la parlicula. porque las componentes 
t y I! de 11 son expresadas por las ecuaciones 12-19 y 12-20. res-
pectivamente. 
La l ,t!locidlUJ dt: la partícula es siempre tangente a la trayectoria. 
La magnitud de la velocidad se encuentra a partir de la derivada 
con respecto al tiempo de la fun~ión trayectoria . 
1.1 = S 
11' üi ral 
La componenlc tangencial de la aceleración es e l resultado de la 
razón de cambio con respecto alliempo en la magnitud de la ve-
locidad. Esta componente actúa en la dirección positiva s cuando 
la rapidez de la partícula está creciendo, o en la dirección opuesta 
si la rapidez está disminuyendo. 
Las relaciones entre ar• V.I y s son las mismas que para el movi-
miento rectilíneo. es decir. 
al = V a, ds = v dv 
Si a, es constante. a, = (al)c.las ecuaciones anteriores. al ser integra-
das. dan 
\ t~'¡. 
s = So + Vol + 5 (0,)"t2 
I r = 1/0 + (a, )et 
l,2 = uf, + 2(a/ )ls - So) 
• La componente normal de la aceleración es el resuhado de la raz6n 
de cambio CQn respecto al tiempo en la dirección de la velocidad de 
la parúcula. Esta componente siempre está dirigida hacia el centro 
de curvatura de la trayectoria. es decir. a lo largo del eje 11 positivo. 
La magnitud de esta componente es determinada a partir de 
.; 
a --" p 
• Si la trayectoria es expresada como y = j{x)_ el radio de curvatura 
p en cualquier punto sobre la trayectoria es determinado a partir 
de la ecuación 
[1 + (dy/dx)']'(2 
p~ 
Id'y/llx'l 
La derivación de este resultado puede encontrarse en cualquier 
texto estándar de cálculo diferencial. 
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SECCIÓN 12.7 Movimienlo curvilíneo: Componentes normal y tangencial • 53 
Cuando el esquiador alcanza el punto A a lo largo de la trayectoria 
parabólica mostrada en la figura 12-270. tiene una rapidel. de 6 mIs 
que está incrementando a 2 m/ s2. Determine la dirección de su velo-
cidad y la dirección y magnitud de su aceleración en este instante. 
Desprecie el tamaño del esquiador en los cálculos. 
Ión 
( ' Aunque la trayectoria ha sido expresada en 
términos de sus coordenadas x y y. aún podemos establecer el origen 
de los ejes ti . t en el punto fijo A sobre la trayectoria y determinar las 
componentes de v y a a lo largo de esos ejes. figura 12-270. 
1 ~ltll itú ~ Por definición, la velocidad siempre está dirigida tangen-
cialmcnte a la trayectoria. Como y= k¡x2• dy/ tlJ. ""' fc¡x. entonces 
dy/ d.r l.rA ¡o= 1. Por tanto. en A. v forma un ángulo de 8 = tan - I 1 = 
45° con el eje :c. figura 12-27. Luego. 
VA = 6m/s 
-\ 1' fl'rn r La aceleraciÓn es determinada a parlir de 1) "" ilU, + 
('i?/p)u". Sin embargo, primero es necesario determinar el radio de 
curvatura de la trayectoria en A (10 m. 5 m). Como d 2y / d:c2 = too 
enlonces 
[1 + (dy/dx )'l'" (1 + (toA)'l"l _ 
p ~ Id'y/dx'l ~ 1' 1 - 28.28 m 10 ¡¡ .. 10m 
La aceleración resulta en 
. v' 
11 .. = VD, + - Un 
p 
(6 mIs)' 
= 2u, + 28.28 m u" 
= {2u, + L273un} mIs! 
Como se muestra en la figura 12-27b. 
a ~ V(2)' + (1.273)' ~ 2.37 mIs' 
ti; = tan-I-2- = 57.5~ 
1.273 
Así. 57.5° - 45° = 12.5°. de manera que. 
a = 2.37 m/sl 
Nota: Usando coordenadas 11. r. pudimos resolver fácilmente este 
problema ya que las componentes 11 y r toman en cuenta por separa-
do los cambios en la magnitud y la dirección de v. 
, 
, 
'" ,.~ , , 'm 
10m----! 
(.) 
, 
"1.21] mfsl 
.A~'· 
~~. , 
lb) 
x 
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S4 • CAPiTULO 12 Cinemática de una partlcula 
• 
Un automóvil de carreras e viaja alrededor de la pista circular ho-
rizontal que tiene un radjo de 300 pies. figura 12-28. Si el automóvil 
aumenta su rapidez a la razón constante de 7 pieS/52, partiendo del 
reposo, detennine el tiempo necesario para que alcance una acele-
ración de 8 pics /r. ¿Cuál es su rapidez en este instante? 
e 
-. . / 
r= 300 pi« 
tir:. l' 23 
SoluciÓI1 
.\iM, 11,,' (""O,d"II,1 .. El origen de los ejes /1 y t coincide con el au· 
tomóvil en el instante considerado. El eje ( se encuentra en la direc-
ción del movimiento, y el eje n positivo está dirigido hacia el centro 
del círculo. Se elige este sistema coordenado ya que la trayectoria es 
conocida . 
t(, -le ",. La magnitud de la aceleración puede ser relacionada 
con sus componentes usando a = Va; + a~ . Aquf al = 7 pieS/52. 
Como a,. = 'If / p,la velocidad como función del tiempo es 
Entonces. 
IJ = 1.10 + (ar),,( 
v = O + 71 
,r (71)2 ., 
a = - = -- "" O 163t2 p.e,! s-
/! p 300 . 
El tiempo necesario para que la aceleración a\cance 8 pieS/ 52 es, por 
tan lo, 
8 ~ V(7)' + (0.1 631')' 
Despejando el valor positivo de t oblenemos 
0.1631' ~ V(8J' - (7)' 
( = 4.875 
I e/ocidalJ. La rapidez en el tiempo t ... 4.H7 s es 
v ~ 71 ~ 7(4.87) ~ 34.1 pies!s 
R 11 
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S~CCIÓN 12.7 Movimiento curvillneo: Componentes normal y tangencial • 55 
Las cajas mostradas en la figura 12·290 viajan a lo largo de la banda 
lransponadora industrial. Si una caja. como aparece en la figura 12-29b, 
parte del reposo en A e incrcmellla su rapidez de manera tal que 
UI = (O.2r) m/ s
2, donde I está en segundos. determine la magnitud desu aceleración cuando llega al punto B. 
Solución 
\'¡Hemu rOQrdf'llada. La posición de la caja en cualquie r instan-
te es definida desde el puma fijo A usando la coordenada s de 
posición o de IrayeclOria , figura 12-29b. La aceleración debe ser 
determinada en B. por lo que el origen de los ejes 11. r esrá en este 
punlo. 
l.t:('[era<.'iá". Para determinar las componentes de la aceleración 
a, = 1; y u" = .,; /P. es necesario rormular primero u y iJ de modo que 
puedan ser evaluadas en B. Como v .... = O cuando t = O, entonces 
(1/ = iJ = O.2r (1 ) 
[ 1,' o d'l) = o O.2l dr 
V = O.Ir:! (2) 
El tiempo necesario para que la caja alcance el punto B puede ser 
determinado observando que la posición de B es 5B = 3 + 21t(2)/4 = 
6.142 m. figura 12·29b. y como Sil = O cuando t = O. tenemos 
ds , 
v=d,=O.lr 
rO'" (" Jo lis = Jo 0.1,2 dI 
6.1 42 = 0.0333r1 
'R = 5.690 s 
Sustituyendo en las ecuaciones 1 y 2 resulta 
(",), = iJ. = 0.2(5.690) = 1.l38 mis' 
v, = 0.1 (5.69)' = 3.238 mIs 
En B, PE = 2 m, por lo que 
.;. ~(3=-.2=-3,:8_m--,/=-s,--)2 2 
(aa)" = PIl = - 2 m = 5.242 mi s 
la magnitud de 8 f.1, figura 12-29c, es por tanto 
"8 = V(1.l38)' + (5.242)' = 5.36 mis' 
,.) 
3m 
I • 
lb) 
", 
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56 CAPITULO 12 Cjnemá~jca de una partícula 
PROBLEMAS 
'12-1110. Un clI.rro está viajando por una curva circular 
que tiene un radio de 50 m. Si su rapidez es de 16 m 's y 
está aumentando uniformemente a 8 mlr , determine la 
magniwd de su aceleración en este instante. 
12·lnl. Un carro se desplaza por una pista circular de 
250 pies de radio en forma tal que su raplde~. por un cor-
to periodo de tiempo O :S I :s 4 s. es v '" 3(1 + ,z) pies/ s. 
donde 1 está en segundos. Determine la magnitud de su 
aceleración cuando I = 3 s. ¿Cuánto ha viajado el carro 
enl=3s'! 
U-Hll. En un instanle dado, el avión a chorro tiene una 
rapidez de -KlO pics/ s y aceleración de 70 pk's/~ actuan-
do en la dirección mostrada. Determine la razón de mere-
mento en la rapidez. del avión y el radio de curvatura p 
de la trayectoria. 
( p 
'~ - IU\ Un bOle está viajando por una curva circular 
que tiene un radio de 100 pies. Si su rapide7. en I = O es 
de 15 pie$/ s y está aumentando a iJ o; (0.&) pics/ s2. deter-
mme la magnitud de su aceleración en el instante 1 = 5 s. 
1.:.-111-1. Un bote está viajando por una curva circular 
que tiene un radio de 20 m. Determine la magnitud de la 
aceleración del bote cuando la rapide7 es v "" 5 mIs y 
la razón de incrementO en la rapidez. es v "" 2 m/ s2 . 
• IZ-JII~_ Partiendo del reposo, un ciclista viaja alrede-
dor de una trayectoria circular hori.wntal. p = 10 m, con 
rapidez de v "" (O.09¡1 + 0.11) mi s, donde 1 está en segun-
dos. Determine las magnitudes de su velocidad y su ace-
leración cuando ti ha viajado s = 3 m. 
12-1116, El avión a chorro viaja a lo largo de la trayec-
toria parabólica vertical. Cuando cstá en el punto A lie-
ne una rapidez de 200 mI s. la cual está incrementando a 
razón de 0.8 m/sl . Determine la magnitud de la acelera-
ciÓn del avión cuando está en el punto A, 
,. 
,Y" O.4xl 
10 km 
I 
L ___ ---,---'-_ _ ., 
1--' km ----< 
"-11'" Partit:ndo del reposo, el bote viaja alrededor de 
la trayectoria circular, p "" 50 ffi. con rapidez 'v .. (0.8t) 
mI s. donde t está en segundos. Determine las magnitudes 
de la ,'elocidad y la aceleración del bote cuando ha reco-
rrido 20 m. 
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1~·IlIfoi . Parllendo del reposo. el bote viaja alrededor 
de la trllyectoria circular.p "" 50 m.con rapidez v = (0.2r) 
m/s. donde 1 está en segundos. Determine las magnitudes 
de la velocidad y la aceleración del bote en el instante 
1 = 3s. 
A-
Pud •• t!- 1118 
1":· \,,,. ün carro se desplaza por una pista circular de 250 
pies de radio y su rapidez. por un corto periodo de ¡iem· 
po O So I :5 2 s. es l' = 3(1 + ~) pies/ s. donde 1 está en ~e· 
gundos.. Determino! la magnitud de su aceleración cuando 
I = 2s. ¿Cuotnto hu ,'¡ajado en I =- 2 s? 
- C. 1 
(. 1l. 1.!!}) El carro viaja por 1., trayectoria cun'a de ma· 
~ial que su rapidc7 aumenla en V c: (O.5ef) m, ,,2, 
donde 1 está en segundos. Determine las magnitudes de 
su velocidad y su nceleración después que ha recorrido 
s = 18 m partiendo del reposo. Desprecie el tamaño del 
carro. 
s'" 111m 
p=3Qm 
,/ 
Prnh. 1 !-IHt 
PROBLEMAS 57 
1 ~· III, En un instante dado. el motor de la locomotora 
situado en E tiene una rapidez de. 20 m/ s y aceleraciÓn 
de 14 m/sl actuando en la dm:cción most.rada, Determi· 
ne la razón de incremento en la rapIdez del tren y el ra· 
dJO de curvatura p de la trayeclOria, 
Prub. 11-111 
1.!-111. Un tohogan viaja por una curva que puede ser 
aproximada medianle la paráhola y = 0.0Ii', Determine 
la magnitud de su accll!ración cuando alcanza el punto 
A. donde su rapidez es VA = 10 mIs y eSI'" incrementán-
dose 8 razón de VA = 3 m/r . 
.\' e O.!H_.-l 
60 m ---1 
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58 • CAPITULO 12 Cinemática de una partlcula 
12· 1 D . El automóvil está originalmente en reposo en 
s = O. Si su rapidez es incrementada en V ""- (O.OSr) 
p ¡e~Js2, donde 1 está en segundos. determine las magni. 
lUdes de su velocidad}' su aceleración cuando t ': 18 s. 
300 pICS- -
-
240 pies 
PI"I>. 1..!- 11J 
IZ-114. El automóvil est~ originalmente en reposo en s 
= 0 .. 5i empieza a incrementar su rapidez en v "" (O.05r) 
pies/sl, donde t está en segundos. determine las magni-
tudes de su \'elocidad y su aceleración en s ... 550 pies. 
240 pl~ 
r - 300pies-
r " -
Pro 1_ 
11-11:'. El camión viaja en una trayectoria circular con 
radio de 50 m a una rapidez de 4 mIs. Por una corta dis-
tancia desde s :. O, su rapidez es incrementada en Íl :z 
(O.OSs) mIs!. donde s está en metros. Delermine su rapi-
dez y la magnitud de su aceleración cuando ha recorrido 
s =: 10m. 
1'; I005~) m/,~ 
v:'¡mls 
I 
50m 
l'rtlb, I.!-- 115 
' 12- 111}. El avión a chorro está viajando con rapidez 
constante de UO m Is por la trayectoria curva. Dctemli-
ne la magnitud de la aceleración del avión en el mstanle 
en que llega al punto A (y '" O). 
lI(1m~ 
'-----:-;----- , 
/ A 
i' 
l·rl,h.I!~ ll'" 
11· 117 Un tren eslá vtajando con rapidez constame de 
1-1 miS por la trayectoria curva. Determine la magnilUd 
de la aceleración del [rente del tren, H. en el instante en 
que alcanza el punto A (y :: O). 
.\' (m) 
'--------.dml 
.... tb, ! - I n 
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11-11. Cuando el motociclista está en A. incrementa su 
rapidez a lo largo de la lrayectoria \'ertical circular a ra-
zón de v = (0.3/) pies/ 52. donde I esto en segundos. Si él 
parte del reposo en A, determine las magnitudes de su 
velocidad y su aceleración cuando llega a B. 
"r.I •. I!_IIK 
. 1 ;!-111f. El carro 8 gIra de manera que su rapidez au-
menta en vII = (O.5e') m/ sl. donde I está en segundlh. 
Si el carro pane del reposo cuando () "" O· . determine 
las magnitudes de su velocidad y su aceleración cuan-
do el bra70 AH gira (1 ... :iO°. Desprecie el tamaño del 
carro. 
\ 
"r"t •. I!- '1'1 
PR08LEMAS • 59 
12· 1111. El carro 8 gira de manera lnl que su rapidez 
aumenta en V8 = (O.Sr) ml$1. donde t está en segundos. 
Si el carro parle del reposo cuando () :r O' f delermlOl! 
las magnitudes de su velocidad y su aceleTllción cunndo 
I = 2 So Desprecie el tamaño del carro. I,A través de qué 
ángulo (J ha ,,¡ajado? 
I'",h. 1 : _1 ~n 
12· 111 . La caja de tamaño insignificante está deslizán· 
dose hacia abajo por una tray&toria curva definida me· 
diante 13 parábola y = O.4.~. Cuando está en A (x" :: 2 m, 
y" = 1.6 m). su rapidez es Va = 8 mIs yel incremento 
en rapidez es dVni dl = 4 mi s!. Detennine la magnitud 
de la aceleraci6n de la caja en este instante. 
,. 
'm --, 
f'rQh. I!-t!1 
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60 CApITULO 12 Cinemát ica de una partlcula 
11-12.2.. La bola es lanzada horizontalmente desde ellO-
bo eon rapidez de 8 mIs. Encuentre la ecuación de latra-
yectoria.)' ;z ft.:r), y luego detennine la velocidad de la 
bola y las componentes normal y tangencial de la acele-
ración cuando I '" 0.25 s. 
J' .,_'mI, --=-~ .. ------, 
A 
t'rnb.I.!-J!! 
1 !·S:~.'. El movimiento de una partícula esta definido 
mediante ¡:lS ecuaciones:r = (21 - r) m ) )' -= (r) m. do n-
de 1 está en segundo!>. Detennine las componentes nor-
mal y tangencial de la \'elocidad y la aceleración de la 
partícula cuando t = 2!.. 
12-tU. La motocicleta viaja por la pista elíptica COn 
rapidez constante l\ Detenninc la magnitud más grande 
de la aceleración si (l > b. 
P,,,b. t!· l!~ 
12-125. Las dos partículas A y B parten del origen O}' 
viajan en direcciones opuesta.;; por la trayectoria cIrcular 
con rapidez constante VA ""' 0.7 mi s y UH = 1.5 mIs, n:s-
pectivamentc. Dctennine en I "" 2 s. (a) el desplazamien-
to por la trayectoria de cada partícula. (b) el veClOr de 
posIción hacia cada partícula. y (e) la distancia más cor-
la entre las panlculas. 
,. 
I 
1'.. f 5 
1 .:1 Las dos partículas A y B parten del origen O y 
viajan en direccionelt opuestas por una trayectoria circu-
lar con rapidez constante VA ::: 0.7 mis y VH = L5 mis. 
respectivamente. Determine el tiempo en que enlran en 
colisi6n y la IIlllgnitud de la aceleración de 8 JUStO antes 
de que esto pase. 
, 
I 
\ 
r.,,1>- IZ-I!(j 
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11-127. El carro de carreras tiene una rapidez inicial 
VA ""' 15 mIs en A. Si mientras recorre la pista circular el 
carro aumenta su rapidez a razón de 0, = (OAs) m/s1, 
donde I está en metros. determine el tiempo necesario 
para que viaje 20 l1L TOIlle p := 150 m. 
P" 
l' ,l. I~ - Il 
\ 
I 
./ 
12· I2K Un nmo esta sentado en un carrusel de !llane-
ra que siempre queda ubicadu ¡j r "" 8 pies del centro de 
rouu.:iÓn. El carrusel está originalm..:nte en reposo. y lue-
go. debido a la rotación. la rapideí' del n;no es incremen-
tada en 2 pie<; / s1• Detennine el tiempn requerido para 
que su aceleraci6n sea de " pieS /52. 
I!·L'::\I. Una p¡¡rticula \'iaja a lo largo de la tr¡¡ycctoria 
y = a -t- bx T c.r. donde a. b y C" son conStantes. Si la r¡¡-
pidez de la partícula cs constante. ·1) = L'O' determine las 
componentes.f y )" de la vclocid¡¡d y I¡¡ componente nor-
mal de la aceleraCión cuando x = O . 
• 11· 1.'11. La pelota es pateada con una rapidez inicial 
l'A = 8 mIs a un ángulo 9, = 40° con la horizontal. En-
cuentre l¡¡ eeuat:ión de la trdycclOri¡¡.y = f(X). y luego de-
termine la \clocid¡¡d de la pelota y las componentes nor-
mal y tangencial de su aceleración cuando I == 0.25 s. 
.. 
!""Io. 12· I ~I 
PROBtEMAS 61 
.12-1.'1. Las part ículas A y B están viajando en senti-
do contrario ni de las manecillas del reloj alrededor de 
una pista circular con rapidez constante de 8 mIs. Si en 
el instante mostrado la rapidez de A es incrementada por 
VA = (4sA) mIs!, donde lA está en metros., detenn;ne la 
distancia medida en sentido contrario al de las manedllas 
del reloj a 10 largo de la pista desde B hasta A cuando 
, = I So ¿Cuál c\o la magnitud de 111 lICc!cHK;ún lh: cnda 
panfcula en este instante'? 
A..__-____ 
" -, 
P,,,h. I!-IJI 
, 
' . 
-8 
1~· I:J..!. Las partículas A y B están viajando alrededor 
de una pista C"ircular con rapidez de 8 mI s en el instante 
mostrado. Si la rapidez de B es incrementada en bIJ = 
~ mIs!. yen el mismo instante A tiene un aumento e n 
rapidez l' .... = O.f!/ m/"l. determine el tiempo en que ocu-
rre una eoliSI6n entre estas panícula!;. ¿Cuál es la magni-
tud de la aceleración de cada partícula juslO anles de la 
colisión" 
A 
" ~--~ 
$1 • 
'. 
-8 
r;5 m 
rruh I ·1.l2 
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62 • CApiTULO 12 Cinemática de una partkula 
12·1';1, El clImión viaja con rapidez de", mIs a 10 largo 
de un camino circular que ticne radio de 50 m. Por una 
corta distancia desdc s = O. su rapidez se incrementa cn 
iJ = (O.05s) m/ 52. donde s está en metros. Determine su 
rapidez y la magnitud de su aceleración cuando el camión 
se ha desplazado s "" 10 m. 
12·1,!S, Una particula P viaja a lo largo de una trayccto· 
ria espiral cUptica de manen! tal que su vector posición r 
estll definido mediante r =: 12 cos(O.lt)i + L.5 sen(O.lt)j + 
(21)kl m. donde 1 cstá en segundos y los argumentos para 
el seno y el coseno son dados cu radianes. Cuando I = 8 
So delermine los ángulos coordenad<K dc dirección a. /3 y 
)' que el eje binormal al plano osculador forma con los 
ejes x, y y ¡. Sugerencia: Encuentre la vdocidad vI' Y la 
aceleración a,. de la partícula en lérmiDos de sus compo 
nentes ¡.j, k. La binormal es paralela a VI' x 01" ¿Por qué? 
;,--::/ "-. , 
/. 1 
"'m 
+ 
"",I, . '.!-D.~ 
• 12-J.'4. Un go-cart se muc,c .n lo largo de una pista 
circular de 100 pies de radio en forma tal quc su rapidez 
por un corto periodo, O :s t s "' S, es v = 6O( 1 ¡(") 
pies/s. DetermlOe 1<1 magnitud de su aceleración cuando 
t =< 2 ~ i,Qu~ tan lejos ha viajado en I :: 2 s1 U)C la n: · 
gla de Simpson con" = 50 para evaluar la inlegral. 
, 
" rut.. 12-l.l~ 
12.8 Movimiento curvilíneo: Componentes cilíndricas 
En algunos problemas de ingeniería a menudo es conveniente expresar 
la trayectoria del mo\;miento en términos de coordenadas cilíndricas r, 
6. :. Si el movimiento está restringido al plano. se usan las coordenadas 
polares r y 8. 
(¡)Ordenadas polares. Podemos especificar la ubicación de la partícu-
la P mostrada en la figura 12-300 usando la coordmatla radial r.la cual 
se extiende desde el origen fijo O hasta la partfcula. y una coordenada 
tramv/!rsaJ 8. que es el ángulo con sentido contrario al de las maneciUas 
del reloj entre una línea de referencia fija y el eje r. El ángulo es medi-
do en grados o en radianes, donde I rad = ISO ' /n. Las direcciones po· 
s;tivas de las coordenadas r y 8 son definidas por los veclores unitarios 
u, y ulI. respectivamente. Aquf, u, o la dirección radial +r se cniendc 
desde P a lo largo de rcreciente. cua ndo () se mantiene fija. y UR o +8 se 
extiende desde P en una dirección que ocurre cuando r se mantiene fi-
ja y 1) es incrementada . Advierta que esas di_recciones son perpendicula-
res entre sí. 
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