Calculo Vectorial - Colley

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Cálculo ectorial 
Cuarta edición 
Susan Jane Colley 
Cálculo vectorial 
Cálculo vectorial 
Susan Jane Colley 
Oberlin College 
Traducción 
Javier Enr/quez Brito 
1'radw:ror pro.fesilJnal, especialista én ma1emátict1s 
Revisión técnica 
&!mundo Palacios Pas1tana 
Departame1110 de Ffsica y Matemáricas 
Universidad lberoamericant1 
PEARSON 
CUARTA 
EDICIÓN 
/ Datos de caUllogacló,i bibUogrnfica 
COLU:V, SUSAN J ANE 
OUtu.lo vectorial 
Cuarta edición 
PEARSON EDUCACIÓN, Mtxko. 201 l 
ISBN: 978-607-32-2056-9 
Áru. MA1em4ri<as 
furmato: 20 x 25.S cm 
Alllborized tmnslation from lhe Englisb language edition, entitled VECTOR CALCULUS 4~ F.dlrion, by SUSAN JANE COLJ..EY, pu-
bUshed by ltas>on Edueation. lnc., publishing as Pearson, Copyrigj,t 02012. Ali rígbtS reserved. 
ISBN 97!10321780652 
T111duocí6n autori"'da de la cdi<oí6n en idioma inglés, ritulada VECTOR CAT..CUWS 4a. edición, por SUSAN JANE COU.EY, publicada 
p,r P=on &lucalion. lnc., publiC3da como Peatson. C-Opyright C 2012. Todos los derechos reservados. 
&ta edición en español es la ánica autorizada. 
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CUARTA EDICIÓN, 2013 
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g,briela.lope,.IJ"11<,<¡tcros@pearson.com 
Felipe Henñndez Camsco 
losé Homindez GarduilO 
Mañsade An,a 
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At..comulco S-00-So. piso 
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B. préstamo. alquiler o cualquier otra fonna de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autol'WlCión del editor o de sus rep~ 
seo tan tes. 
ISBN VERSIÓN IMPRESA: 978-607-32-'1056-9 
ISBN VERSIÓN l',BOOK: 978-607-32-'1057-6 
JSBN F...CHAPTER: 978-607-32-2058•3 
Impreso en Méxioo. Prlnred ,'n M~tico. 
12 345 67 890-16 1514 13 
PEARSON 
www.pearsonenespañol.com ISBN: 978-607-32-2056-9 
A Will y a Diana, 
con amor 
Sobre la autora 
Susan Jane Colley 
Susan CoUey es profesora de matemáticas en la cátedra Andrew y PaulineDelaney, 
en Oberlin College, y también Jefa del Departamento, del cual fue di.rectora. 
Antes de integrarse en 1983 a Oberlfo obtuvo los grados de licenciatura y doc-
torado en matemáticas del Massachusetts tnstitute ofTechnology. 
Su investigación se centra en problemas de numeración en geometría algebrai-
ca, en particular sobre singularidades en puntos múltiples y contactos de orden su-
perior de curvas planas. 
L, profesora Colley ha publicado artículos sobre geome!rla algebraica y álgebra 
a:mmutativa, aM como acerca de otros temas de matemáticas. Ha dado conferencia~ 
S-Obrc sus investigaciones a nivel internacional, y ha impartido cátedra en una muy 
amplia gama de materias de la licenciatura en matemáticas. 
Es miembro de varias asociaciones profesionales y honorarias, entre las cua-
les se incluyen la American Mathcmatical Socicty, la Mathematical Association of 
America, Pbi Bcla Kappa y Sigma Xi. 
Contenido 
Prefacio ix 
AJ fftudiante: un poco de notación preliminar XV 
1 Vectores 
1.1 Vectores en dos y tres dimensiones 1 
1.2 Más acerca de los vectores 8 
1.3 El producto punto 18 
1.4 El producto cruz 27 
1.5 Ecuaciones de p lanos. Problemas de distancia 40 
1.6 Algo sobre geometña n-dimensional 48 
1.7 Sistemas de nuevas coordenadas 62 
Ejercicios verdadero/ falso para el capítulo 1 75 
Ejercicios varios para el capítulo 1 75 
2 Diferenciación d e varias variables 82 
2. 1 Funciones de varias variables. Graficación de superficies 82 
2.2 Limites 97 
2.3 La derivada 116 
2.4 Propiedades. Derivadas parciales de orden superior 134 
2.5 La regla de la cadena 142 
2.6 Derivadas d ireccionales y gradientes 158 
2.7 Método de Newton (opcional) 176 
Ejercicios verdadero/falso para el capítulo 2 182 
Ejercicios varios para el capítulo 2 183 
3 Funciones de variable vectorial 189 
3.1 Curvas paramétricas y las leyes de Kepler 189 
3.2 Long itud de arco y geometría diferencial 202 
3.3 Campos vectoriales. Una introducción 221 
3.4 El gradiente, la d ivergencia, el rotacional y el operador nabla 227 
Ejercicios verdadero/falso para el capítulo 3 237 
Ejercicios varios para el capítulo 3 237 
4 Máximos y mínimos con vañas variables 244 
4.1 Las diferendales y el teorema de Taylor 244 
4.2 Extremos de funciones 263 
4.3 Multiplicadores de Lagrange 278 
4.4 Algunas aplicaciones de los extremos 293 
Ejercicios verdadero/falso para el capitulo 4 305 
Ejercicios varios para el capítulo 4 306 
viü OinteríKlo 
5 Integración múltiple 
5.1 Introducción. Áreas y volúmenes 
5.2 Integrales dobles 
5.3 Cambio del orden de integración 
5.4 Integrales trip les 
5.5 Cambio de variables 
5.6 Aplicaciones de la integración 
5. 7 Aproximaciones numéricas de las integrales m(Jltiples (opcional) 
Ejercicios verdadero/falso para el capítulo 5 
Ejercidos varios para el capitulo 5 
6 Integrales de línea 
6.1 Integrales de línea escalares y vectoriales 
6.2 Teorema de Green 
6.3 Campos vectoriales conservativos 
Ejercicios verdadero/falso para el capitulo 6 
Ejesciclos varios para el capítulo 6 
7 Integrales de superficie y análisis vectorial 
7.1 Superficies parametrizadas 
7.2 Integrales de superficie 
7.3 Teoremas de Stokes y de Gauss 
7.4 Más sobre análisis vectorial; ecuaciones de Maxwell 
Ejercicios verdadero/falso para el capitulo 7 
Ejercicios varios para el capítulo 7 
8 Análisis vectorial en dimensiones superiores 
8.1 Introducción a las formas diferenciales 
8.2 Variedades e integrales de formas k 
8.3 El teorema de Stokes generalizado 
Ejercicios verdadero/falso para el capítulo 8 
Ejercicios varios para el capitulo 8 
Sugerencias para lecturas adicionales 
Respuestas a los ejercicios seleccionados 
Indice 
310 
310 
314 
334 
337 
349 
373 
388 
401 
403 
408 
408 
429 
439 
450 
451 
455 
455 
469 
490 
510 
522 
523 
530 
530 
536 
553 
561 
561 
563 
565 
599 
Prefacio 
Los fenómenos físicos y naturales dependen de un conjunto complejo de factores. 
El S-Oeiólogo o psicólogo que estudia el comportamiento de un grupo, el economista 
que trata de entender los cambios de los ciclos del empleo en un país, el f'asico que 
observa la trayectoria de una partícula o un planeta, o cualquiera que intente com-
prender la geometría en dos, tres o más dimensiones, se da cuenta de la neccsídad de 
analizar cantidades que cambian y que dependen de más de una variable. El cálculo 
vectorial es la herramienta matemática esencial de dicho análisis. Además, es un 
tema emocionante y bello por derecho propio: una verdadera aventura en muchas 
dimensiones. 
El l1nico prerrequisito técnico para comprender este libro, que está dirigido a 
cubrir un curso de cálculo de varias variables de nivel intermedio, es un curso están-
dar de cálculo de funciones de una variable. En particular, cuando es necesatio, se 
<k:sarrolla la aritmética de matrfoes y el álgebra (no lineal). Aunque los antecedentes 
matemáticos que se requieren no son excepcionales, el lector necesitará esforzarse 
eo ciertas partes. 
Mis objetivos al escribir este libro son sencillos: desarrollar en los estudiantes la 
comprensión profunda de los conceptos del cálculo vectorial y ayudarlos a hacer 
la transición del cálculo de primer año a las técnicas matemáticas más avanzadas. 
Sostengo que el primer objetivo se puede alcanzar, al menos en parte, utifüando la 
notación vectorial ymatricial, de modo que muchos resultados, en especial los del 
cálculo diferencial, se pueden plantear con niveles razonables de claridad y gcnc-
r.alidad. Si se describen en forma apropiada, los resultados del cálculo con varias 
variables son muy similares a los del cálculo con una variable, por lo cual el razo-
namiento con analogías será una herramienta didáctica importante. También ereo 
que los conceptos matemáticos se pueden comprender mediante el desarroUo de 
una buena intuición geométrica. Aunque muchos resultado$ están planteados para 
eJ caso den variables (con n arbitraria), reconozco que la mayoda de los ejemplos 
importantes y motivadores, por lo general, ocurren con funciones de dos y tres va-
riables, por lo que hago énfasis en esras situaciones concretas y visuales para ex-
plicar la teorla gcoeral. El cálculo vectorial es de muchas formas una materia ideal 
para que los estudiantes comiencen a explorar las relaciones entre el análisis, la 
&!'Qmetrúl y el álgebra matricial. 
Para muchos estudiantes, el cálculo con varias variables representa el comienw 
de su madurez matemática profunda, raz.ón por la cual escribí un texto más bien am-
plio, que les permita ver que detrás de los resultados, laS t<!enicas y los ejemplos hay 
una historia, es decir, que la materia tiene coherencia y que esto es importante para 
la solución de problemas. Para ilustrar hasta éierto punto el alcance de los mélodos 
expuestos, se tratan con cierto detalle algunos temas que no siempre se estudian por 
completo en un primer curso de cálculo con varias variables, como los siguientes: 
• la introducción temprana de coordenadas cilíndrica.~ y esféricas (sección 
1.7) ; 
• el uso de técnicas vectoriales para obtener las leyes de Kepler del movimiento 
planetario (Sección 3.1); 
• la geometrfa diferencial elemental de curvas en R3, incluyendo el análisís de la 
curvatura, la torsión y las fórmulas de Frcnet-Serrci para el marco móvil (sec-
ción 3.2); 
• la fórmula de Taylor para funciones de varias variables (sección 4.1). 
X Ph:.f.acio 
• el uso de la matriz hessiana para detenninar la naturaleza (como extremos 
locales) de los puntos críticos de funciones den variables (secciones 4.2 y 
4.3); 
• el análisis amplio de la fórmula del cambio de variables en integrales dobles y 
triples (sección 5.5); 
• aplicaciones del análisis vectorial a la Física (sección 7.4); 
• la introducción de formas diferenciale.~ y el teorema de Stokes geoerali.7.ado 
(capítulo 8). 
Se incluye cierto nómero de demostraciones de resultados importantes. Al final 
de las secciones apropiadas - y para no perturbar el flujo principal de los conceptos, 
así como con la finalidad de permitir una mayor flexibilidad en el desempcllo, ranto 
del profesor como del estudiante- se incluye un apéndice de las demostraciones 
más técnicas. No obstante, algunas demostraciones (o bosquejos de ellas) implican 
ideas tan importantes que se incluyen en el cuerpo principal del libro. 
Lo nuevo en la cuarta edición --------------
He conservado la estructura general y el énfasis de ediciones anteriores. Las carac-
terísticas nuevas de esta edición son las siguientes: 
• 210 ejercicios adicionales, de todos los niveles; 
• una sección nueva y opcional (la 5.7) acerca de métodos numéricos párl\ 
aproximar integrales múltiples: 
• la reorganización, en su pcopia sección (la 2 7, que es opcional), del material 
acerca del método de Newton para aproximar soluciones a sistemas de" ecua-
ciones con n incógnitas; 
• nuevas demostraciones en el capítulo 2 para las propiedades de los límites 
(en la sección 2.2) y de la regla de la cadena general para variables múltiples 
(fcorema 5.3 en la sección 2,5); 
• en la sección 4. l aparecen demostraciones del teorema de Taylor en las ver-
siones de una y varias variables; 
• varios detalles y aclaraciones adicionales en todo el texto, incluyendo muchos 
ejemplos y explicaciones nuevos y revisados; 
• archivos nuevos de Microsoft® PowerPoint® y Wolfram Mathematica® de 
now que se coordinan con el texto y que los profesores pueden usar en sus 
clases (véase más adelante el comentario sobre "Materiales aaxiliares''). 
Cómo usar este libro -----------------
En el libro hay más material del que puede cubrirse con holgura en un semestre. 
Debido a esto, el profesor tal ve~ desee suprimir algunos temas o subt.emas -<> 
abreviar las presentaciones detalladas de llmites y diferenciabilidad. Como con fre-
cuencia yo misma me descubro sin el tiempo para tratar con detalle Las integrales de 
superficie separé todo el material acerca de las superficies parametrizadas, integra-
les de superficie, y los teoremas de Stokes y Gauss (capítulo 7) del que se refiere a 
las integrales de lfnea y al teorema de Oreen (capítulo 6). En particular, en un curso 
de un semestre dirigido a estudiantes con poca o ninguna experiencia en el trabajo 
ooo vectores o matrices, es probable que los profesores puedan cubrir la mayor 
parte del material en los capftulos I a 6, aunque sin duda tendrán que omití r algunas 
de las subsecciones opcionales y muchas de las demostraciones de los resultados. 
Prefacio xi 
El siguiente podría ser el cootenido aproximado de un curso, sujeto al criterio del 
profesor: 
Capítulo 1 8 a 9 clases 
Capítulo 2 9 clases 
Capftulo 3 4 a 5 clases 
Capítulo 4 5 a 6 clases 
Capitulo 5 8 clases 
Capítulo 6 4 clases 
38 a 41 ciases 
Si los estudiantes tieoen una formación tan sólida como para estudiar por Sil cueota 
gran parte del material del capítulo 1, entonces también podrían estudiar solos una 
buena parte del capitulo 7. Para un curso de dos trimestres o dos semestres, se ten-
dría que estudiar todo el libro con el cuidado y rigor razonables, aunque terminar el 
capítulo 8 dependerá del grJdo de dominio que tengan los estudiantes del álgebra 
lineal básica, la cual se requiere en esa parte del libro. 
Los ejercicios de cada sección varían de los cálculos relativamente rutinarios a 
¡:roblemas difíciles y motivadores, por lo general (aunque no invariablemente) de 
mayor dificulrad. En ciertos casos, los grupos de problemas sirven para presentar 
temas adicionales o aplicac.iones nu""as. Cada capítulo concluye con un conjunto 
de ejercícios diversos que sirven tanto para revisar como para ampliar las ideas pre-
sentadas en el capítulo. 
Una advertencia sobre el uso de la tecnologfu. El texto se escribió sín hacer 
referencia a ningún software panicular de computadora o calculadora. La mayor!a de 
los ejercicios pueden resolverse con lápiz y papel, aunque no hay razón para oo rea-
li,,ar los cálculos más tediosos en un sistema de cómputo. Aquellos ejercicios que 
req1<ieren equipo electrónico para fines de cálculo o de elaboración de gráficas están 
marcados con el s(mbolo ~ y deben reali.1.ru:se con software como MaihellUIJica®, 
Maple® O M,. TLA& 
Materiales auxiliares ------------------
El Manual de so.luciones del profesor contiene las soluciones completas para todos 
los ejercicios, y se encuentra disponible en el Pcarson Instructor Resourcc Centcr 
(www.pearsonhighered.com/irc), al igUal que muchos archivos y notas en Microsoft 
PowerPoint® y Wolfram Mathematica® que pueden adaptarSC para usarlos durante 
la clase. El lector puede encontrar fe de erratas del texto y de los manuales de solu-
ciones que lo acompallan en la siguiente dirección: 
www.oberlin.edu/math/facuJ1y/colleyNCErrata.hrml 
Agradecimientos --------------------
Estoy muy agradecida con muchas personas por compartir conrrúgo sus pensamien-
lDS e ideas acerca del cálculo con varias variables. Quiero agradecer especialmente 
por nuestras conversaciones a mis colegas en Oberlin (pasados y presentes) Bob 
Geitz, Kevin HartShom, Michacl Henle (quien, entre otras cosas, leyó con cuidado 
cl borrador del capítulo 8), Ga,y Kennedy, Dan King, Greg Quencll, Michacl Rancy, 
Daniel Stcinbcrg, Qmiel Styer, Richard~e. Tun Walsh y Ellzabctb Wilmer. 'Jhmbién 
agradezco a Jobn Alongi, de Northwestcrn University; Mattbc:w Conner, dela Univer-
sity of California, en Davis; Henry C. King, de la Uníversity of Maryland; Stepbeo 
B. Maurer, de Swarthmore College; Karen Saxc, de Macalcstcr Collcgc; David 
XÜ Prefacio 
Singer, de Case Western Reserve University; y Mari< R. Treuden,dela Universityof 
Wisconsin en Stevens Point, por sus vali= comentarios. Varios colegas revisaron 
las distintas versiones del manuscrito y estoy feliz por haber incluido sus aporta-
ciones y muchas de sus amables sugerencias. P.Jra tas tres primeras ediciones, en 
¡;articular, agradezoo a tos revisores siguientes: 
Raymond ) . Cllnnon, Baylor U11iversity; 
Richard D. Cannichael, \Vake Foresi University; 
Sranley Chang, Wellesley College; 
Marcel A. F. Déruaz. U1ú1•ersi1y of 01/awa (hoy emérilo); 
KuysztofGalicki, Universily ofNew Mexico (finado); 
.Dmitry Gokhman, Unfrersity ofTexas at San Antonio; 
Isom H. Herron, Rens.e/aer Polytechnic /ns1i1u1e; 
Ashwani K. Kapila, Rensselaer Poly1echnic lnsri1111e; 
Christopber C. Leary, Slate University of New York, Col/.ege at Geneseo; 
David C. Mi.nda, University of CincilllllJli; 
Jeffrey Morgan, Unfrersity of Hous1on ; 
Monika Nitsche, u,.iversity of New Mexico; 
Jcffrey L. Nunemacher, Ohio Wesleya11 Unú·ersiry; 
Gabriel Prajitura, S1a1e Uni,,ersíry of New York, College at Brockport; 
Florín Pop, Wagner College; 
John T. Scheick, The Ohio State Uni,•ersiry (hoy emérito); 
Mark Schwartz, O/lío Wesleyan University; 
l.conard M. Smiley, University ofA/aska, Ancl,orage; 
Theodore B. Stanford, New Mexico Stale Universily; 
James Stasbcff, University of Nort/1 Carolina al Chapel Hi/1 (hoy emérito); 
Sal.cem Watson, Califonúa State University, úmg Beach; 
Aoyd L. WWiams, U11iversi1y ofMllssuch11se11s, Amlierst (lwy ernirilo). 
Para la cuarta edición agradezco a las siguientes personas: 
Justin Corvino, lafaye11e College; 
Carric Finch, Washington y Lee Universiry; 
Soomin Kim, Johns Hopkins University; 
Tunya Lcisc, Amherst College; 
Bryan Mosher, University of Minnesota. 
Muchas personas en Obcdin CoUcge brindaron su ayuda invaluable para la pro-
ducción de todas las ediciones de CálcukJ vectorial. En especial agradezco a Ben 
MiUer por su arduo trabajo para establecer el fonnato del manuscrito inicial y a 
Stepben Kasperick-Postcllon por sus diversa~ contribuciones en la escritura, índice, 
lectur.a de pruebas y crítica amistosa del manuscrito. Estoy muy agradecida con 
Linda Miller y Michael Bastedo por sus muchas contribuciones tipográficas y a 
Calherine Murillo por su ayuda con varias tareas. También doy las gracias a Joshua 
Davis y a Joaquín Espiooza Goodman por su ayuda con la lectura de las pruebas. 
Sin los esfuerzos de estas personas, el proyecto tal vez nunca hubí.era llegado a su 
fin. 
los distintos miembros del equipo editorial y de producción han sido muy ama-
ble,s y de gran ayuda. Para las primeras tres ediciones quiero expresar mi agra-
decimiento a George lobcll, mi editor, y a Gale EppS, Mclanie Van Benthuysen 
y Jcnnifcr Urban, sus asistemes editoriales; a Nicholas RomaneUi, Barbara Mack y 
Debbie Ryan, los editores de producción de Prentice Hall, y a Lori Hav.ard, de 
lnteractive Composition Corporation; a Roo Weickart y al equipo de Network Gra-
Prefacio xiii 
phics por su amable revisión de las figuras, y a Tom Benfatti de Pi-entice Hall por 
su ayuda adicional con los diagramas, así como a Dennis Kletzing por su trabajo 
de composición tan cuidadoso y entusiasta. Para esta edición, es un placer extender 
mi agradecimiento a Caroline Celano, mi editora optimista, y a Brandon Rawnsley, 
su asistente, quienes bicierQn que csla edición se volvíera algo divertido. Además, 
agradewo al máximo a Bcth HouSton, mi gerente de producción en Pearson, a 
Jogcnder Tancja y a Donna Muldcr, Rogcr Li¡:,$ctt y Thomas Wcglcitner, su equipo 
cnAp!Ara, lnc. 
Por último, estoy en gratill!d con mis alumnos en Oberlin, que tuvieron la pacien-
cia para escuchar mis clases, y me inspiraron ¡;ora escribir y mejorar eSte volumen. 
SJC 
sjcoUey@math.oberlin.edu 
-+--1--+-,>-+-+--l-- x 
-3 -2 -1 O l 2 3 
Figura 1 Rceta numérica R. 
y 
Yo 
1 
Al estudiante: 
un poco de notación 
preliminar 
A continuación se presentan algunas ideas que necesitará tener presentes cuando lea 
este libro y aprenda cálculo vectorial: 
Dados dos conjuntos A y 8, es de suponerse que el lector está familiarizado con 
la notadón A U 8 para la unión de A y B. que son los elementos que están en A o 
en B (o en ambos): 
AUB = [xlxeAoxeB}. 
De manera similar, A n B se utlli,.a para denotar la intersección de A y B, los ele-
mentos que están ranto en A como en B: 
AnB ={x lxeAyxeB}. 
La notación A k B, o A e B, indica que A es un subconjunto de B (tal ,..,z vacío o 
igual a B). 
El espacio de una dimensión (también llamado recta numérica o R ) tan soto es 
una línea recta. En ella se escriben números reales como coordenadas: negativos a 
la i7.quierda del cero y positivos a la derecha (véase la figura 1 ), 
El espacio bidimensional, que se denota con R1, es el plano cartesiano ya cono-
cido por el lector. Si construimos dos rectas perpendiculares (los ejes coordenados 
x y y). el origen se establece en el punto de intersección de tos ejes, en los cuales 
se establecen escalas numéricas, y después se ubica un punto en R2, dando un par 
ordenado de números (x., y} como tas coordenadas del punto. Observe que los ejes 
de coordenadas dividen al plano en cuatro cuadrantes (véase la figura 2). 
El espacio tridimensional, que se denota con R3, requiere tres ejes de coorde-
nadas perpendiculares entre sí (llamados ejes .:e, y y z) que coinciden en un punto 
(llamado origen} y se usan para ubicar un punto arbitrario. De manera similar al 
---+-+------ x caso de Ri, si escribimos escalas en los ejes, localizamos un punto en R' dando una 
x. tripleta ordenada de números (.:e, y, z). Los ejes de coordenadas dividen el espacio 
tridimensional en ocho octantes. Se necesita un poco de práctica para adquirir la 
perspectiva correcta al dibujar puntos en R3 (véase la figura 3). En ocasiones, dibuja-
Figura 2 El plano CQOrde,¡ado R'. mos los ejes de coordenadas en R
3 en orientaciones distintas a fin de tener un mejor 
punto de vista. Sin embargo, siempre mantendremos los ejes en la configuración 
de mllllo derecha. Esto significa que si se doblan los dedos de la mano derecha del 
ejex positivo al eje y positivo, el pulgar apuntará a lo largo del eje z positivo (véase 
la figura 4), 
Aunque es necesario recordar técnicas y métodos particulares del cálculo, que 
ya aprendió, a continuación se mencionan algunos de los conceptos más impor• 
tantes a tener en la mente: dada una funci.ón fl..:c). la deri,-ada /'(x) es el límite (si 
existe) del cociente con diferen~ia de la función: 
/'(x) = IJm /(x + h)- /(.:e). 
h• O h 
xvi Al esrodiante: un poco de notación preliminar 
y 
' 
(-1,-2,2) (2. 4, S) 
• ,, 
, , 
"..1 
, 
5 
1 / 
/ 2 
' 4 
' X ' ' ' 
Figura 3 Espacio R3 
uidimensional. Se observan 
graficados algu n0$ puntos. 
y 
l X 
y l 
Figura 4 Losejesx. y y, en R3 siempre se dibujan 
en una c:oofiguración de mano derecha. 
la importancia de la derivadaf'(xo) es que mide la pendiente de la recta tangente a 
la gráfica dcfen el punto (;,:0 ,fl.xo)). (Véase la figura 5). La derivada también puede 
considerarse como la rasa instantánea de cambio de f en x = -"-O· También denotamos 
la derivadaf'(x) mediante-df dx, 
La integral de6nida J~ f(x)dx defen el intervalo cerrado [a, b] es el límite 
---+-------x (siempre que exista) de las llamadas sumas de Riemann def. 
Figura 5 La deri,adáf'úo) es la 
pendien1e de la recta tangenie a 
y = ftx) en (xr,. J{.x~). 
Aqul, a =X-O< x, < x2 < ... < x,, = b denota una p11rtici6n de [a. b] en iubinterva-
los (x;. 1, xi), el sfmbolo Ax1 = x; - x1• 1 (la longitud del subintervalo) y xi denota 
cualquier punto en lx1. , , x;]. Si fl.x) a: O en [a, t,J, cntooee.~, cada término j(xi)Ax,• 
en la suma de Riemann es el área de un rectángulo relacionado con la gráfica de f. 
la suroa de RicmannI:7., f(x;)t.x; aproxima as/ el área total bajo la gráfica de 
f entre x = a y x = b (~ la figura 6). 
y 
., 
,.-=·- , r~ ' 
'-- .,.. / 
' ... ... 1 .. . 
1 
1 . 
a x, X1 .., ... ... X¡.1: X¡···X,.,.,b X 
1 
x¡ 
Figura 6 Si J{.x) e:: O en [a, b), entonces. la suma de 
Riemann aproxima el área bajo y• /(x)dando la suma 
de áreas de los rectángulos. 
Al estudiante: un poco de notación preliminar X VÜ 
y 
y • /(x) 
----------------x a 
Figura 7 l!I área bajo la gráfica de y • ft,r) es 
f. f(x)dx. 
b 
Se toma a la integral definida .r: J(x)dx, si existe, como la representación del 
área bajo y = fl.x) entre x = a y x = b (véase la figura 7). 
La derivada y la integral definida están conectadas pOr un resultado elegante 
conocido como leOrema fundamental del Cl1.kulo. Sea ft.x) uaa función continua 
de una variable, y sea F(K) tal que F'(x) = ./(x)(la función Fsc llama antiderivada de 
f). Entonces, 
l. 1~ f(¡t ) dx = F(b) - F(a); 
d 1• 2. dx • J(t) dt = f(x). 
Por 1l.llimo, el final de un ejemplo se inruca con el símbolo • , y el de una de• 
mostración con el símbolo • . 
Cálculo vectorial 
1.1 Vectores en dos y tres 
dimensíones 
1.2 MM acerea de los vectores 
1.3 El produ~o punto 
1.4 El pcodudo c,uz 
1.5 Ecuaciones de plan0$. 
Problemas de distancia 
1.6 Algo $Obre geometrla 
n--dimen.s.ic>nal 
1.7 Sistemas de nuevas 
cooldenadas 
Ejercóclos topo verdadero/ 
falso para el capl\ulo 1 
Ejart;icios \l?lflo$ ~ra et 
c.ap&ulo 
Vectores 
1.1 Vectores en dos y tres dimensiones 
El concepto de vector es fundamental para el estudio del cálculo con varias varia-
bles. Igual que para muchos de los conceptos que estudiaremos, cxis1en dos puntos 
de vista al respecto: el algebraico y el geomé1rico. El lector debiera dominar ambas 
perspectivas a fin de resolver problemas eo forma efectiva, así como para construir 
su comprensión fundamental del tema. 
Vectores en R2 y R3• El concepto algebraico --------
DEFINICIÓN 1.1 Un vector en R1 es sencillamente un par ordenado de nú-
meros reales. Es decir, un vector en R2 se escribe como sigue: 
(a,. úV (por ejemplo ( 1, 2) o ( ,r, 17)). 
De manera similar, un vector en R3 es simplemente una tripleta ordenada de 
n6meros reales. Es decir, un vector en R3 se escribe como 
(a, , a2, a3) (porejemplo (,r, e, "2)). 
Para hacer énfasis en que deseamos considerar al par o a la tripleta de números 
como un todo único usaremos letras en negritas; de manera que nuestra notación 
estándar para los vectores en R2 o en R3 será a = (a1, avo a = (a1, a., a3). respecti-
vamente. A partir del contexto se entenderá si a se refiere a un vector en R2 o en R3 
(en otro caso no resultará importante para cl análisis). Cuando se trabaja con lápiz 
y papel es dificil usar "negritaS", por lo que el lector tal ve:i preferirá colocar una 
flecha sobre la letra. Entonces, ii significará lo mismo que a. Sea cual sea la notación 
que el lector decida usar, es importante que diferencie el 1•ector a {o ii) del número 
retll a. Para diferenciarlos de los vectores también haremos referencia a los n6meros 
reales como escalans. 
Con el fin de hacer algo interesante con los veetores es necesario desarroUar al-
guru¡s operaciones aritméticas para trabajar coo ellos. Sio embargo, antes de hacerlo 
lll(:eSitamos saber cuándo dos vectores son iguales. 
DEFINICIÓN 1.2 Dos vectores a = (a1, a~) y b = (bi, b2) en R2 son iguales 
si sus componentes correspondientes son iguales, es decir, si a, = 1>1 y "2 = bi. 
La misma definición se aplica a los vectores en R3: a = (ai, a2r 03) y b = (bt, 
b2, 11:,) son iguales si sus componentes correspondientes son iguales, es decir, 
si a,= b,, a2 = b;,. ya3 = l>J. 
2 Capírulo I I Voc1ores 
EJEMPLO 1 Los vectores a = ( 1, 2) y b = (}, f) son iguales en R2, pcr0 e = 
(1, 2, 3) y d = (2, 3, 1) no son iguales en R3• • 
A continuac.ión esrudiaremos las operaciones de suma de vectores y mul-
tiplicación por un escalar. Haremos esto solo para vectores en R3; pero las mismas 
observaciones se pod,án aplicar para vectores en R2 con solo pasar por alto la ter-
cera componente. 
DEFINICIÓN 1.3 (Smu DE VECl'ORES) Sean a = (a,. a,, a3l y b = (b1, b2, 
b3) dos vectores en R3• Entonces, la suma de los ,·ectores a + b es el vector 
en R3 que se obtiene al sumar las componeotcs equivalentes: a + b = (a1 + 
b1, a2 + ~. a, + b3). 
EJEMPLO2 Setiene(O, 1,3)+(7, -2, 10)=(7, -1, 13)y(en R2): 
(1, 1) + (r., li.) = (1 + 7T, 1 + li.), 
Propiedades de la suma de vectores. Se tiene que 
1. a + b = b + a para todo a y b en R3 (eonmutatividad); 
:?. a + (b + e) = (a + b) + e para todo a, b, e en R3 (asocialividad); 
3. un vector especial, que se denota con O (llamado ,-ector cero). con la 
¡ro piedad de que a + O = a para todo a en R3• 
• 
Esw tres propiedades requieren demostrarse, lo que, al igual que la mayoría de 
enunciados sobre el álgebra de vectores, puede hacerse expüciauncntc escribiendo 
las componentes del vector. Por ejemplo, para la propiedad 1 se tiene que si 
entonces 
a = (a,, ai, a,) y b = (b,, bz, b,), 
a + b = (a., + b,. a2 + b2, a3 + b3) 
= (b, + a,, b2 + a2, b, + a3) 
= b + a, 
ya que la suma de números reales es conmutativa. Para la propiedad 3 el "vector 
especial" es aquel cuyas componentes son ecro: O = (O, O, 0), Entonces resulta fácil 
probar la propiedad 3 con la escritura de sus componentes, Algo similar pasa con la 
¡;ropiedad 2, los detalles se dejan como ejercicio para el lector. 
DEFINICIÓN 1.4 (MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR) Sea a = (a,, a,, a,) 
un vector en R3, y sea k e R un escalar (número real). Entonces el pr()ducto 
e$C8lar /ca es el vector en R3 que se obtiene multiplicando cada componente de 
a por k: /ca = (ka,, ka2, ka,). 
EJEMPLO 3 Si a = (2, O, fi.) y k = 1, entonces ka = (14, O, 7 fi.). • 
Los resultndos que se presentan a continuación no son difíciles de comprobar 
-1 lector solo tiene que escribir las eómponentes del vector. 
y 
• (a,. a,) 
Rgur& 1. 1 Un \'oetOr a e R2 
oonespondc a un punto en R12• 
. (a,.a,,a,> 
1.1 1 Vectores eo dos y tres dimensiones 3 
Propiedades de la multiplicación por un escalar. Para todos los vectores a 
y b en R3 (o en R~ y los escalaresk y ten lósR se tiene qoe: 
l. (k + ()a = ka + la (propiedad distributiva); 
Z. k(a + b) = ka + kb (propiedad distributiva); 
3. k(la) = (kl)a = l(ka). 
& úb1 recordar que ninguna de estas definiciones o propiedades depende real-
mente de la dimensión, es decir, del número de componentes del vector. Por lo ianto, 
podríamos haber presentado el concepto algebraico de un vector en R• como una 
n-tupla ordenada (a,, ai, ... , a.)dc números reales.y definido la suma y multiplicación 
por un escalar en una forma análoga a como lo hicimos para R2 y R3. Plénse el lector 
en el significado de dicha generalización. En la sección 1.6 estudiaremos algunos de 
los tecnicismos involucrados. 
x Vecto res e n R2 y R3 . El concepto geométrico -------
Aunque es cieno que el álgebra de vectores es importante y el lector debe adquirir 
habilidad para trabajar con ella, las definiciones y propiedades fonnales tienden a 
presentar un panorama estéril de los vectores. La geometría proporciona una mejor 
motivación para las definiciones que acaban de enunciarse. A continuación se ana-
liza dicha geometría. En primer lugar, el hecho de que un vector a en R2 sea un par 
de números reales (n,, a,) hace pensar en las coordenadas de un punto en R2 (véase 
la figura 1. 1), De maoera similar, si a E R'. entonces a se escribe como (o,. 02, a3) 
y esta tripleta de nómeros se puede considerar como las coordenadas de un punto en 
R3 (véase la figura 1.2). 
Todo esto está muy bien, pero los resultados de efectuar la suma de vectores o 
la multiplicación por un escalar no tienen una interpretación geométrica interesante 
o significativa en términos de puntos. Como veremos, es mejor visualizar un vector 
en ai o R3 como una flecha que comienz.a en el origen y tennina en el punto en 
,,..._____ cuestión (véase la figura 1.3). Es frecuente que se hagareferencia a esa visualiza-
' y ción como vector de posición del punto (a,. a,) o (a,. a1, a3). 
Rgur& 1.2 Un vector a e R3 
corresponde a un punto en R3. 
Si el lector ha estudiado vectores en ffsíca. habrá escuchado que se describen 
oomo objetos que tienen "magnitud y dirección''. La figura l .3 ilustra este cont<!pto, 
siempre que "magnitud" signifique "longillld de la flecha" y "dirección" sea la orien-
1acióo o sentido dela flecha. (Nota: la ónica excepción para este enfoque es el vector 
cero. El vector oero tan solo se encuerua en el origen, oomo un punto, y no tiene mag-
nitud, por lo tanto, tampoco tiene una dirección determinada. Esia excepción no plan-
En R3 
y 
• (a,. a,) 
/. ,,,..._ ___ , 
---+-------x 
X 
Figura 1.3 Un ,·ector a en R' o en R3 es represen1ado por una flecha que S31e del origen 
hacia el punto a. 
4 Capírulo I I Voc1ores 
A 
,' / ,, ,, 
a + b // / b ,, 
,,, ," 
, ,, -----~ ----
Rgura 1.6 El vect0< a + b está 
representado por una flecha con el 
inicio ubicado en el inicio de a y 
la punto en la punta de b. 
rea grandes dificultades). Sin embargo, en física no se requiere que todos los vectores 
se representen con flechas que salgan del origen. Existe la Libenad de "trasladar en 
fonro parafela"a los vectores tanto en R1 como en R3. Es decir,ef vector a = (01,02, 
a3) se podría represenlar con una flecha con su inicio en el origen y su punta en (01, 
02, al) o en cualquier otro punto, siempre y cuando la longitud y sentido de la flecha 
peonaneican sin cambio (véase la figura 1.4). Por ejemplo, si queremos representar 
a con una Hecha con su inicio en el punto (xi, x2, X3), entonces la pUr4a de la Jlecha 
estaóa en el punto (x, + 01, x2 + az,x3 + a3)(véase la figura 1.5). 
z ,, 
/(;,, a,, a,) / ª 
~ • 
/ 
• • a 
/ 
y 
Flgura 1 .4 Cada ftecila es una traslación 
paralela del vce1or de posíción del punto 
(a,. a,, a,) y representa el mismo vector. 
l 
(x1 • 4 1,x, • i;,x, • a;) 
/ · 
(x,,; .,x,) 
)' 
X 
Flgura 1.5 El vector a • (a1,a,,a3) 
está representado por una flecha oon su 
inicio eo el punto (x.1, x,, ~). 
Con csia descripción geométrica de los vectores, su suma se puede visualizar 
de dos formas. A la primera se le suele llamar méiodo de la "punta al inicio" para 
sumar vectores. Se dibujan los dos vectores a y b que se quieren sumar, de modo 
que el inicio de uno, digamos b, es la punta del otro. Entonces, la suma de vectores 
a + b se representa por una flecha cuyo inicio está en el inicio de a y su punta en la 
punta de b (véase la A gura 1.6). ¡Obscr,·e que en esta construcción no es evidente ni 
obvio que a + b = b + a! 
Ll ~oda manera de visuaUzar la suma de vcaores es de acuerdo con lo que se 
conoce como ley del paralelogramo. Si a y b son vectores no paralelos, dibuja-
dos con sus inicios ubicados en el mismo punto, entonces a + b se representa por 
mooio de la Hecha (con el inicio en el punto inicial común de a y b) que va por la 
diagonal del paralelogramo detenninado por a y b (véase la figura 1.7). La ley del 
paralelogramo es consistente por completo con el método de la punta al inicio. Para 
ver la rat.6n de ello ttaslade b paralelo al lado opuesto del paralelogramo. Entonces, 
la diagonal descrita es el resultado de sumar a más (la traslación de) b usando el 
método de la punta al inicio (véase la figura 1.8). 
Aún falta verificar que estas construcciones geométricas concuerdan con nues-
tra defin.ición algebraica. Por seneíllez trabajaremos en R1. Sea a = (a1, oi) y b = 
(b¡, /,z), como siempre. Entonces, la flecha que se obtiene con la ley del paralelogra-
mo para la suma de a y b es aquélla con el inicio ubicado en el origen O y la punta 
en el punto P, como se ilustra en la figura 1.9. Si trasladamos b en forma paralela de 
modo que el inicio esté en la punta de a, entonces se aprecia de inmediato que las 
coordenadas de P deben ser (01 + b,, 02 + fn). como se pretendía. 
La multiplicación por un escalar es más fácil de visualizar: el vector ka se repre-
senta con una flecha cuya longitud es lkl veces la longitud de a y cuya dirección es la 
nisma que la de a cuando k > O, y la contraria cuando k < O (véase la figura 1, 1 O). 
Ahora es sencillo obtener un panorama geométrico de la dife:renda entre dos 
vectores (véase la figura 1.11), La diferencia a - b no es otra cosa que a + ( - b) 
• 
Figura 1.11 Goomeirfa de la 
resta de vectores. El vector e es 
tal que b + e • a. Entonces, 
e • a - b. 
P,• 
____ . p.,_ --
--------;¿' _.,.- / / 
/ / /1 ¡¿; ~/ 
Figura 1.7 Pl vea.ora + bse 
repa,seol.a con la fteoba que va 
por la diagonal del paralelogramo 
deiem:iinado por a y b. 
0 1 b1 
Figura 1. 9 Pl punto P tiene 
coordenadas (a,+ b,.o, + b,). 
1.1 1 Vectores eo dos y tres dimensiones 5 
---;;-r ¡-----/ / 
b _,-(. b / (trasladado) 
1/ / 
¡¿ -;:-
Figura 1.8 l.'lequivalcnciadela 
ley del par.ilelogr.uno y el método 
de la punta al inicio para la suma de 
VCClOteS. 
J 
-í • 
Figura 1.10 Visuafüacióo de la 
multiplicación por un escalar. 
(donde - b significa el escalar -1 multiplicado por el vector b). El vector a - b se 
puede representar con una flecha cuya punta va de la punta de b hacia el inicio de a ; 
esa flecha también es uoa diagonal del paralelogramo determinado por a y b (como 
he.mos visto, se puede usar la otra diagonal para representar a + b ). 
Esta construcción será útil en diversas ocasiones . 
DEFINICIÓN 1.5 Dados dos puntos P,(x,. y,, z,) y P2(.tz, )'l, a) en R', el 
vector de desplazamiento de P, a P2 es 
~ 
P,Pz = (xz - x,, Y2 -y,. z2 - z,). 
Esta construcción no es dificil de entender si consideramos la figura l. 12. 
Dados los puntos P, y P2 , se dibujan sus vectores de posición correspondien--...+ :-+ ---+ ->~ 
tes O P, y O P1• Entonces, se observa que P, P2 es precisamente O P2 - O P1• Se 
1.oJ----- 1 puede hacer una definición análoga para R2• 
X 
Figura 1.1~ desplazamiento 
del vector P1 P2, representado p:,r 
la flecha que va de 1'1 a P1 es la 
diferencia entre los vectores de 
posición de estos dos ¡,untos. 
Cuando el lector estudió el cálculo de una variable no dudó en usar los con-
ceptos de derivadas e integrales para representar conceptos físicos tales como ve-
locidad, aceleración, fuerza, etc .. La desventaja principal de eso era que las técnicas 
involucradas solo permitían estudiar actividades rec1ilfneas, es decir, que tenían 
lugar en una linea recta. La intuición dice que el movimiento en el plano o en el 
espacio es más complicado que el rectilíneo. Los vectores son ideales para resolver 
probiemas de dinámica en dos o tres dimensiones debido a que ¡,oseen dirección y 
magrtltud. 
6 Capírulo I I Voc1ores 
1 
• 
·--- (a1, a,, a1) 
y 
X 
Agura 1.13 Despulsdc 
t segundos, el ponlo que 
inicialmente se encuentra en a. se 
mueve a a + IV con velocidad v. 
y 
Por ejemplo, suponga que una partícula en el espacio eslá ubicada en el punto 
(a1, a2, a3) (con respecto de un sistema de coordenadas apropiado). Entonces, tiene 
como vector de posición a = (a., a2, a3). Si la partícula se mueve coa velocidad 
constante v = (v 1, 112, v3) dur-Jnte r segundos, entonces el desplazamiento de la par-
tícula desde su posición original es 1v, y su nueva posición está dada por a + rv 
(véasela figura 1.13). 
EJEMPLO 4 Si una nave espacial está en la posición (100, 3, 700) y viaja a una 
velocidad (7, - 10, 25) (lo que significa que se desplaza 7 mi/seg en la dirección x 
p0sitiva, 10 mí/seg en la dirección y negativa, y 25 mi/seg en la dirección z positiva), 
entonces, después de 20 segundos, el vehículo estará en la posición 
(100, 3, 700) + 20(7, - 10, 25) = (240, - 197, 1200) 
ycl desplazamiento desde la posición inicial es ( 140, -200, 500). • 
EJEMPLO 5 La nave S.S. Cálculo debe ,•iajar hacia el sur a una velocidad de 
15 oudos (millas náuticas por hora) con respecto al agua en reposo. Sin embargo, 
también hay una corriente de 5 ,fi nudos hacia el sureste. ¿Cuál es la velocidad total 
do la oave7 Si al inicio está en el origen y una trampa de langostas está ubicl!(!aen 
la posición (20, -79), ¿chocará la nave con la trampa? 
Como las velocidades son vectores, la velocidad total del barco es v 1 + v 2, don-
de v, es la velocidad de la nave coo respecto al agua eo reposo. y v2 es la velocidad 
hacia el sureste de la corriente. La figura 1.14 facilita mucho el cálculo de dichas 
-----+----- x velocidades. Tenemos que v 1 = (O, - 15). Como v1 va hacia el sureste. su dirección 
• 1de la nave 
(con respecto 
al agua en 
reposo) 
• 2corriente 
Velocidad 
neta 
Agura 1.14 1..alongituddev, es 
15 y lade v2 es s,ñ. 
>2001b 
;:- 7 
1001b _.,....-:;; _,, 
_- 200 lb 
---
Agura 1.16 Surua de vectores 
en el judo. 
debe encontrarse a lo largo de la recta y= -:x. Por lo tanto, v2 se escribe como 
v2 = (11, - 11), donde ves un número real positivo. Según el teorema de Pitágoras, si 
la longitud de v2 es 5 fi., entonces debemos tener que v2 + (-v)2 = (5 ,fi.)2, o bien, 
2v2 = 50. por lo que 11 = 5. Entonces, v1 = (5, - 5), por lo que la velocidad neta es 
(O, - 15) + (5, -5) = (5, -20). 
Así, después de 4 horas el barco csmrá en la posición 
(O, O) + 4(5, - 20) = (20, - 80) 
y pasará ro1.ando la trampa de langostas. • 
EJEMPLO 6 La teoría en que se basa el venerable arte marcial del judo es un 
ejemplo excelente de la surua de vectores. Si dos personas. una relativamente fuerte 
y la otra hasta cierto punto débU, sostienen un combate de exhibición es obvio quién 
p-evalecerá. Por ejemplo, alguien que empuje con una fuer,,a de 200 libras hacia 
cierta dirección seguramente vencerá a un oponente que empuje en sentido opuesto 
con una fuerza de 100 libras. Sin embargo, como se aprecia en la figura 1.15, la 
fuerza neta será de 100 libras en la dirección en que empuje la persona más fuerte. 
--- •------- = ·----100 lb 200 lb 100 lb 
Figura 1.15 Una pei:sona relativamente fuenc que empuje con 
una fuemt de 200 libros vencerá de inmediato a un oponente 
más débil que empuje con una fuerza de solo 100 libras. 
B doctor Jigoro Kano, fundaoor del judo, se dio cuenta (aunque nunca expresó la 
idea en estos ténninos) de c,ie algo parecido a la suma de vectores favorece al fuerte 
oobre el débil. Pero si el participante más débil aplica su fuerza de 100 libras en una 
drección ua poco distinta a la del fuerte, d'ecwará una suma de vectores cuya longitud 
!erá lo suficientemente gmnde para SOIJ)render al Oponente (véase la figura 1.16). Esta 
1.1 1 Ejetcicio.s 7 
es la base de todas las pro)\'Ceiones esenciales del judo, y la ra1..ón por la que se descri-
be oomo el arte de "usar la fuer,.a de una pe,:sona contra sí misma". La palabra 'judo" 
significa, en realidad, "el camino de la rendición". Uno se ''rinde" o la fuerw de otro 
con solo tratar de redirigirla en lugar de oponerse a ella. • 
1.1 Ejercicios 
1. Dibuje los vecto.-.s siguientes en R~ 
a)(2,L) b)(3,3) c)(-1,2) 
2- Dibuje los vectores siguientes en R': 
a)( l,2,3) b) (-2,0,2) e) (2.-3, 1) 
3. Realice las Operaeionesalgeb111icas in<li"8das. E<prese 
sus respuestas en la fonna de un Ve<..1or único a = (a1. 
a,J en R1. 
a) (3. l)+(-1,7) 
b) -2(8, 12) 
e) (8,9)+3(-1,2) 
d} (1, 1) + 5(2, 6) - 3(10. 2) 
e) (8. 10) + 3 ((8. -2) - 2(4. S)) 
4. Realice las operaciones algebraicas que se indican. 
Exp-cse las respuestas en fonna de un vector ~nico 
a = (a,, a,, a,) e,¡ R'. 
a) (2.1, 2) + (-3, 9, 7) 
b) ½{S, 4, 1) + 2(5, -7, ¼) 
e) -2 ((2. O, 1) - 6(}, -4, 1)) 
S. Grafique los vectores a = ( l. 2), b = ( -2. S) y a + b 
= (1, 2) + (-2, 5) utilizando en ambos casos la ley 
del paralelogramo y el método de la punta al inicio. 
6. Grafique los vectores a = (3, 2) y b = (-1, 1). Tam-
bién caleuley grafiqueá - b. ! aya + 2b. 
7. Sea A d punto cuyas ooonlenadas son (l. O, 2). y B 
el punto con coordenadas (-3. 3, 1). y sea C el punto 
cuyas coordenadas son (2. 1, 5 ). 
_ , -+ 
a) Describa los vectores AB y BA. 
---+~ ~ ~ 
b) Describa los vectores AC, BC y AC + CB. 
e) ExpliquecongráficasporquéAC +CB = AS. 
8. Grafique(l, 2, 1) y (0, -2. 3), y calcule y grafique(I, 
2. 1) + (O, -2, 3), -1(1, 2, 1) y 4(1, 2, 1). 
9 . Si(-12, 9, <) + (<, 7, -3) = (2.y,S),¿cuánto valenx, 
y y,? 
10. ¿Cuál es la longitud (magnitud) del vector (3, I)? (Su-
gerencia: sena útil emplear un diagrama). 
11. Dibuje los vectores a • ( L, 2) y b • (5, 10). Explique 
porqu6 a y b apuntan en la misma dircecíón. 
12. Dibuje los vectores a • (2. - 7, 8) y b • (-1. {, - 4). 
Expli(fue porqué ambos •puntan en dirocciones opues-
tas. 
13. ¿Cómo sumarla los vectores(! , 2,3,4)y(S, - 1, 2,0)en 
R"I ¿CUID1to sería 2(7, 6. -3, I)? En general, suponga 
que 
a =(a1 ,uz., ... ,aJ y b= (bL,"2, ... ,b,.) 
son dos vectores en R" y k e R. es un escalar. Entoo~ 
ces, ¿cómo definida a + b y Aa? 
14. l:rcuentre el des¡,la1.amie21to de loo YCCIOICS de Pt a P,, 
donde P, y P1 son los puntos dados. Dibuje Po Pi y 
-,--¡ 
P,Pi, 
a) P1(I , O, 2), Pz(2, 1, 7) 
b) P1(l, 6, -1), P2(0, 4, 2) 
e) P,(0.4, 2), P,(1,6, -1) 
d) P,(3, 1), P2(2, -1) 
15. Sea P1(2, 5, -1, 6) y Pf..3, l. -2, 7) dos puntos en 
R4• ¿Cómo definida y calcularla el vector de despla, 
zamicntode P, a Pi? (Véase el ejercicio 13). 
16. Si A esel punto en R3 oon coordenadas(2. 5, -6) ye! 
vector de desplazamiento de A 81 segundo punto 8 es 
(l2, -3, 7), ¿cuáles son las coordenadas de B? 
17. Snpongaque usted yunamigoeslánenNueva York 
hablando por teléfono celular. Usted informa a cada 
uno sobre sus propios vectores de desplazamiento del 
edificio llmpire State a su posición actual. l!J<plique 
cómo podña u.lar esta información para detemúnar el 
vector de desplazamiento desde u.s1ed hacia su amigo. 
18. Ptoporéione los detalles de las demost,aciones de las 
propiedades 2 y 3 de la suma de ve<:1ores d:lda en CSta 
sección. 
19. Demuestre las propiedades de la multiplicación por un 
cscalarquc se expusiClll<l en esta sección. 
20. a) SiaesunvectoreoR2o R3 ,¿cuálesOa70emucsue 
su respuesta 
b) Si a es un vec,oren R1 o R3,¿cuáJ es la? Demucs--
tre su respuesta. 
21 . a) Sea a = (2,0) y b = (1.1). Para.Os, s I y Os t 
s l,coosldereel vec:tor x •.,a + tb. Explique por 
qué el vector x se encuentra en el paralelogramo 
8 Capírulo I I Voc1ores 
determinado por a.y b. (Sugerencia: podrfa ayudaBe 
dibujando un diagrama). 
b) Ahora suponga que a • (2, 2, 1) y b • (0. 3, 2). 
Describa el conjun,.o de vectores l • • ,a + , b I o 
SsS 1,0:StS IJ, 
"-· Sean a= (a1, a2,a,) y b = (b1, b,,b,)dos vectorns di-
ferentes de oero tales que b ;,6: ka. Use vectores para 
des<lribir el conju.nto de pun1osdentt0 del paralelogramo 
con vértice P0(x,,, ):0. lo) y cu}'06 lados adyacentes son 
paralelos aa y b, y tienen las mismas longitudes que a 
y b (véase la figura 1.17). (Sugerencia: si P(.r,y, z) es -, 
un punto en el paralelogramo, describa o P, el vector 
de posición de /1). 
z 
y 
X 
Figura 1.17 Figura para el ejercicio 22. 
23. Una mooca desciende en un papel para graficar en el 
punto (3, 2), Comien,.a a mo,·erse de ese punto con 
el vector de velocidad V= (-1. -2)(esdccir, se mueve 
a una unidad por minuto en la dirección negativa dex y 
2 unidades p0r minuto en la dirección negativa de y, 
a) ¿Cuál es la velocidad de la mosca? 
b) ¿En dónde estará la mosca después de 3 minutos? 
e) ¿Cuánto tiempo le toma a la mosca lleg-,r al punto 
(-4, 12)? 
d} ¿)..,lega la mosca al pun10 (- 13, -27)? JustiQquc 
su respuesta. 
24. Un avión despega de un aC'1>pUCIIO con un vector de 
velocidad (SO, LOO, 4), Suponga que las unidades son 
millas por hora, que el eje .r positivo apunta hacia el 
esi.e y el eje y positivo apunta hacia el no11c, 
a) ¿Qué tan rápido asciende verticalmente el avión 
al despegar? 
b) Suponga que el aeropue110 se localita en el origen 
y que un rascacielos se ubica 5 millas al oriente y 
IO míllas al no11e del acroput110. FJ rascacielos 
mide 1.250 pies de altura. ¿Cuándo estará el avión 
dire<:tamente sobre el edificio? 
e) Cuando el avión esté sobre el edificio, ¿cuánta se-
paración hay entre la punta del ediíicio y el avión? 
25. C.Omo $C mencionó en el texto, lasfuerzas ff sica.s (oomo 
t;, gra,,cdad) son cantidades que poseen tanto magni1ud 
romo dirección, p<>r lo que pueden represen=• oon 
vectores. Si sobre un objeú> adlla más de una fuerza, 
ent0nces la fuen.a resultante (o net.a) se representa 
coo la suma de los ,·e<-1orcs individuales de cada fuer,:;a, 
Suponga que hay dos fuerzas F, ~ (2. 7. -t)yF2 • (3. 
-2, 5) que act!lan sobre un objeto. 
a) ¿Cuál es la fuerza resultante de F, y F2? 
b) ¿Cuál e_s la fuerza F, que se ncccsíta para con1nl-
aes-tar estas fu.err.as. es decir, de modo que no 
haya una fuc,7,3 nota rcsultantc y el objeto pem)a-
oeT.Ca en reposo7 
26. Una bolsa de arena que pesa .SO líbn1s está suspendida 
de dos cuerdas. Suponga que se introduce un sJste• 
roa de coordenadas en tres dimensiones de modo que 
la bolsa se encuentro eo el origen y Jas cuerdas estén 
anclallas en los puntos (0, -2. 1) y (O. 2, t ). 
a) Suponga que la fuerza debida a la gravedad apunta 
e,, fonna paralela al ,•ector (0, O, -l), dé un vC(lor 
F que describa dicha fuerza gravitacioaal. 
b) Ahora use va.sores para describir las fuerzas a lo 
largo de cada una de las dos cuerdas. Use consi-
deraciooos de simctrfa y dibuje una figura que re-
presente la situación. 
-n. Un ~ode 10 libras está suspendido en equilibrio de 
oos cuerdas, Suponga que el peso está en el punto ( 1 , 2. 
3) en un si.stema de coordenadas en u-es dimensiones. 
donde el eje , positivo apunta hacia arriba, perpen-
dicular al piso. y que las c....-das están ancladas en 
los puntos (3, O, 4) y (O, 3, 5). Dé vectores F, y F2 que 
describan las fuerzas que act6an a lo largo de las 
cuerdas. 
1.2 Más acerca de los vectores 
Vectores básicos estándar ---------------
Eo R2 los vectores i = (1, O) y j = (O, J) desempel!an un papel especial respecto de 
la notación. Cualquier vector a = (a,. av se puede escribir en términos de i y j por 
medio de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar: 
(a1, ai) = (a,. O)+ (O, ai) = a 1(1, 0) + "1(0, 1) = a, i + a2 j. 
(tal vez sea más fácil comprender este argumento si se Ice en reversa). En relación 
con la notación, lo anterior scnciUamente establece que es posible escribir, ya sea 
)' 
y•3 
1.2 1 Más= de los vectores 9 
y y 
j 
---+------x 
1 
a,J¡ / 
+ - ---x 
Figura 1.18 Cualquier vectoron R2 sc puede escribir en ténninosdo i y j . 
í 
k 
J y 
Figura 1.19 Cualquier \'ector en R3 se puede escribir en ténnínos de~ j y k. 
(a,, ai) o a, 1 + alJ para denotar al vector a. Queda a elección del lector cuál nota-
ción empicar (mientras sea consistente), pero la notación con lj en general es útil 
para hacer <!ufasis en ta naturaleza "vectorial" de a, mientras que ta nomción con 
coordenadas es más ótil para enfatizar la naturaleza de "punto" de a (en el senti-
do de que el papel de a sea el de un posible ,•ector de posición de cierto punto). 
Geométricamente, la si~cacióo de los vectorei básicos estándar i y j es que un 
---+------x vector arbitrario a e R se puede descomponer gráficamente en sus componentes 
vectoriales a lo largo de los ejes x y y, como se ilustra en la figura 1.18. 
Exactamente la misma situación ocurre en R3, solo que ahora necesitamos tres 
Figura 1.20 En R' la ecuación 
y= 3 describe una reaa. 
l 
y • 3 
vectores, i = (1, O, 0),j = (0, 1, O) y k = (O, O, 1) para formar ta base eslándar (véa-
se la figura 1.19). Puede usa<se el mismo argumento que se acaba de exponer para 
demoStrar que cualquier vector a = (ai. 02, m) también se puede escrtl>ir como 01 i 
+ a2 .i + a3k. En este libro usaremos ambos tipos de notación.en coordenadas y una 
representación en términos de una base estándar. 
EJEM PLO 1 El vector (1, -2) se escribe como i - 2j y el vector (7, ?T, -3) 
como 7i + ,rj - 3k. • 
Ecuaciones paramétricas de rectas ------------
Eo R2 sabemos que ecuaciones de la forma y = mx + b o Ax + By = C describen ---y lín:as rectas (véase la figura 1.20). En consecuencia, seria de espernr que el mismo 
tipo de ecuación deñniera a una recta en Rl , La consideración de uno o dos ejemplos 
sencillos (corno en la figura 1.21) debiera convencer al lector de que una sola ecuación 
lineal como las mencionadas describe un plano, y no una rcaa. Para dellnir una recta 
se requiere un par de ecuaciones simultáneas en x, y y z. 
X 
Figura 1.21 En R3 la ecuación 
y = 3 describe un plano. 
Pospondremos el estudio de cómo se obtienen las ecuaciones para planos hasta 
la sección 1.5 y nos centraremos co estudiar cómo se utilizan los vectores para dar 
conjuntos de ecuaciones pararoéiricas de rectas en Ri o R3 (o incluso en R"). 
JO Capitulo 1 1 Vecu>res 
y 
1 =t</2 
l=ff 1=0 
'--"+---f----+'---C. ,t 
Rgvra 1.22 Grál\ca de las 
ecuaciones paramélricas 
.r • 2cos t,y • 2sen ,, 
0 :S t<2'ff". 
z 
En primer lugar se observa que una curva eo el plano se describe analíticamente 
por los puntos (x, y), donde x y y están dadas como funciones de una tercera variable 
(el parámen-o) 1. E,stas funciones dan lugar a las ecuaciones parumétricas de la 
curva 
{
x = J(r) 
y= g(I) . 
EJEMPLO 2 FJ conjunto de ecuaciones 
l
x =2 cos1 os , < 2,,. 
y = 2sent 
descnoe un círculo de radio 2, ya que se cumple lo siguiente: 
x2 +; = (2cos1)'+ (2sen1)' = 4. 
(véase la figura 1.22). • 
L1s ecuaciones paramétricas se uúlizan con facilidad para describir curvas e.o 
R\ una curva en R1 es el conjunto de puntos (x,y, z), cuyas coordenadas x, y y z son 
dadas cada una por una función de t: 
I
X = /(1) 
y = g(I) 
Z = h(I) 
Las ventajas de usar ecuaciones para.métricas son dos. En primer lugar ofrecen una 
manera uniforme de describir curvas en cualquier número de dimensiones. ~Cómo 
definirla el lec1or ecuaciones paramétricas para una curva en R'? ¿ Y en R 1- ?) En 
segundo lugar permiten obtener una percepción dinámica de la curva si se considera 
que la variable paramétrica I representa al tiempo y se imagina que una pan:ícula se 
mueve a lo largo de In curva con el tiempo de acuerdo con las ecuaciones paramétri-
cas dadáS. Esto se puede representar geométricamente aignando una udirección" a 
la curva para representar una ,creciente. Observe la 8echa en la figura 1.22. 
Y Ahora veremos cómo obtener ecuaciones de rectas. En primer ltJgar, el loctor 
X 
Rgvra 1.23 La recta I es la 
dnica que pasa por Po y es 
pwalela III vcaor a. 
P./ z 
Pof' ~ ,, r • OP ,, ' , 
b = o/,• 
o 
.r 
y 
Figura 1.24 Gráfica de una rocta 
en R3• 
debe convence~ de que una recta en R2 o en R3 es determinada Onica.mentc por 
oos elementos de información geomélrica: (!) un vector cuya dirección es paralela a 
la dela recta, y (2) cualquier punto particular que esté sobre la recta (véase la figura 
1.23). En la figura l.24se define el vector 
--+ 
r = OP 
entre el origen O y un punto arbitrario P sobre la recta / (es decir, el vec1or de posi-
ción de P(x, y, z)). oP es la suma vectorial del vector de posición b del punto dado -Po (es decir, O Po y un vector i:nralclo a a. Cualquier VCC!Qr pa,alelo a a debe ser un 
múltiplo escalar de a . Si se hace que este escalar sea la variable paramétrica 1, se 
tiene que - -r = OP = OPo + ta, 
c,:,n Jo que se establece la pr0posición siguiente: 
PROPOSICIÓN 2.1 La ecuación pa,:amélrica vectorial para la recta que pasa por -el punto P0(b1, Ól, b:i), cuyo vector de posición es O Po = b = b,i + bzi + b,k, y es 
paralela a a = a, i + ad + a,k, es 
r(1) = b + ta. (]) 
l 
P, 
X 
Figura 1 .25 a»encióo de 
las ecuaciones para uná rec..-'ta 
que pase por dos punt0$ en el 
ejemplo 4. 
)' 
1.2 1 Mis acerca de losvectores lJ 
Si se expande la fórmufa ( 1 ), 
----, 
r(t) = O P = b11 + b2J + b3k + 1(01 i + 01,1 + a,k) 
= (a,t + b1)i + (011 + l>l)j + (a3t + b,)k. 
A coo011uación escribimos 0P como xi + yj + zk,de manera que Ptieoe como coor-
de.nadas µ-, y, z). Entonces.al restar las componentes observamos que las coordenadas 
de P soo (a11 + b 1, a:,t + b2, a31 + b3), y nuestras ecuaciones paraméllicas son 
{
x = a1t + b1 
y = 011 + b1, 
z=a,1 + b3 
(2) 
donde/ es cualquier número real. 
Estas ecuaciones{Xlramétricas también funcionan en R2 (si se pasa por alto la 
componente z) o en R•, donde II es un valor arbitrario. En R• la fórmula (1) sigue 
siendo válida, en donde tomamos a = (01, a2, . .. , a,) y b = (b,, b2, • •• , b.). Las 
ecuacionc,¡ paraméllicas resultante,¡ son 
x, = 0,1 + b, 
JC2 = 021 + 1>2 
x,. = a,.r + Ún 
EJEM PLO 3 Para encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por 
( 1, -2. 3) y que es paralela al vector 1Ti - 3j + k, se tiene que a = 1ri - 3j + k y 
b = i - 2j + 3k, por lo que la fórmula (1) produce: 
r(t) = l - 2j + 3k + l('JTi - 3j + k) 
= (1 + 1Tl) i + (-2 - 3t)j + (3 + r)k. 
las ecuaciones paraméllicas se leen como 
{
X = 11'1 + J 
y= -31 -2 . 
z = 1 +3 • 
EJEM PLO 4 De la geometría euclidiana se sabe que dos puntos dis01110s dctcr• 
minan una recta única en R1 o en R3 . Encontremos l:u¡ ecuaciones paramétricas de lá 
recta que pasa por los puntos Po(i , -2, 3) y P1(0, 5, -1). La situación se ilustra en 
la figura 1.25. Para ulilizar la fórmula (l) se necesita encontrar un vector a paralelo 
a la recta deseada. Dicho vector es el que tiene el inicio ubicado en Po y la puolll en 
P1• Esto significa que para a usaremos el vector 
-> 
PoP1 = (O - 1, 5 - ( - 2). - 1 - 3) = - i + 7j - 4k. 
Para b, el vector de posición de uo pumo particular de la recia, podemos elegir ya 
sea b = i - 2j + 3k o b = 5j - k. A$í, las ecuaciones en (2) llevan a las ecuaciones 
paramétricas siguientes: 
{
x = J - 1 
y = - 2 + 71 
t = 3 - 41 
o bien, 
1
/C e-¡ 
y = 5 + 11 . 
z=-1 - 41 • 
12 Capitulo 1 1 Vecu>res 
En general, dados dos puntos arbitrarios 
Pli_t11, a,¡, á3) y P1(b1,, b2, />3), 
la recia que los une tiene la ecuación vectorial param6trica siguiente: - -r(t) = O Po + t P0P,. (3) 
La ecuación (3) da las ecuaciones paramétticas 
{
x = a, +(b, -a,)r 
')' = a,¡ + (b2 - a,)r 
z = a3 + (/>3 - a,)r 
(4) 
De manem alternativa, en lugar de la ecuación (3) podña utiliwrse la ecuación 
vectorial 
o tal vez 
- --r(t) = OP, +1P0Pi, 
- -r(t) = OP, +tP1Po. 
(5) 
(6) 
cada una de las cuales da lugar a conjuntos de ecuaciones pararoéttlcas algo düe-
rentes. De nuevo se invita al lector a revisar la 6gura 1.25 con el. fin de que compren-
da la geometría de vectores que está involucrada en lo anterior. 
En el ejemplo 4 se manifiesta algo importante. el que las ecuaciones paramétri-
cas para una recta (o en general para cualquier curva) nunca son únicas. De hecho, 
los dos conjuntos de ecuaciones obtenidas en dicho ejemplo no son de ninguna ma-
nera los únicos, podríamos haber tomado a = P1 Po = i - 7 j + 4k o cualquier otro 
múltiplo escalar düerente de cero de PoP, para a. 
Si las ecuaciones paramétricas no están determinadas en forma única, entonces, 
¿cómo podrfa comprobarse que el resultado es correcto? En general no es fácil ha-
cerlo, pero en el caso de las rectas e,usten dos caminos. Uno es producir dos puntos 
que estén sobre la recta especificada por el primer conjunto de ecuaciones paramé-
tricas y ver si quedan sobre la recta dada por el segundo conjunto de ecuaciones 
]Xlramétricas. El otro enfoque es usar las ecuaciones paramétricas para encontrar lo 
que se conoce como tonna paramétrica de una recta en R1. De la.• ecuaciones en 
(2), suponiendo que cada a¡ es distinta de cero, se puede eliminar la variable para-
métrica r en cada ecuación para obtener: 
La forma simétrica es: 
x - b1 
X -b1 
(=--
ª' 
y-b,i 
r=-- . 
a2 
z - b3 
1=--
03 
--=--=--
ª' a2 
1.2 1 Mis aeercade losvectores 13 
En el ejemplo 4, los dos conjuntos de ecuaciones paramétdcas dan lugar a las formas 
simélTicas correspondientes 
x - 1 y+2 z-3 
--=--=-- y 
-1 7 -4 
X y-5 z+I 
=T = - 1 - = ---:¡-· 
No es difícil ver que si se suma I a cada "lado" de la segunda forma simétrica 
se obtiene la primera. En general las formas simétricas de tas rectas difieren s,¡lo en 
un 1écmino constante o múltiplos escalares constantes (o en ambos). 
La foana simétrica en realidad es un conjunto de dos ecuaciones Simultáneas en 
R3• Por ejemplo, la información en (7) también se escribe así: 
X -b, y-b2 --=--
--=--
O( 03 
&to ilus1ra que se requieren dos ecuaciones "escalares" en x, y y z para descri-
bir una recta en R3, aunque una sola ecuación paramélrica vectorial como la de la 
fórmula (1) es suficiente. 
Los dos ejemplos siguientes ilustran la forma de usar ecuaciones paramétricas 
¡;ara rectas a fin de identificar la ioterscccióo de una recta con un plano o la de dos 
rectas. 
EJEMPLOS 'kremosen dónde la recia con lasecuacionesparamétricassiguiernes 
{
X = 1 + 5 
y= - 2, - 4 
z = 3/ + 7 
interseca al plano 3x + 2y - 7z = 2. 
Para localizar el punto de intersección debemos determinar cuál valor del pa-
rámetro 1 da un punto sobre la recta que también se cncucn1re en el plano. Esto se 
logra fácilmente sustituyendo los valores paramétricos para x, y y z de ta recta en ta 
ecuación del plano: 
3(1 + 5) + 2(-2, - 4)- 7(31 + 7) = 2. (8) 
AJ resolver la ecuación (8) para / se encuentra que/ = - 2. AJ hacer/ igual a 
- 2en las ecuacione; paramétricas de la recta se produce el punto (3, O, 1), que a su 
vez se encuentro en el plano. • 
EJEMPLO 6 Determinaremos si las dos rectas siguientes se intersecan y el lugar 
en que lo lulcen. 
I
X= 1 + 1 
y= 51 + 6 
z = - 21 {
x=3t-3 
y y= I 
z = 1 + l 
Las rectas se ioterseean si existe un valor especffi.co de t, para el parámetro de 
la primera recta, y otro valor 12 para el parámelTO de la segunda recta que genere el 
mismo punto. En otras palabras, se debe encontrar 1, y 12 de tal modo que, al igualar 
las respectivas expresiones paramétricas para x, y y z, se tenga 
¡ 1, + l = 312 - 3 51, + 6 = 12 
-21, = /2 + 1 
(9) 
14 Capitulo 1 1 Vecu>res 
y 
Las óltimas dos ecuaciones de (9) producen 
1, = 51, + 6 = -21, - 1 => 11 = -1. 
Al usar 11 = - 1 en la segunda ecuación de (9) se encuentra que 12 = 1, Observe 
que los valores 11 = - 1 y r2 = 1 también satisfacen la pñmera ecuación de (9); p0r 
lo tanto, hemos resuelto el sistema. Al hacer t = - l en el pñmer conjunto de ecua-
ciones paramétrieas de la pñmera recta se obtiene el punto de intersección que se 
buscaba (O, I , 2). • 
Las ecuaciones parrunétr.icas en general ---------
Con la geometría de vectores es relativamente fácil encontrar las ecuaciones para-
m!tticas de vañas curvas. A continuación se dan dos ejemplos. 
EJEMPLO 7 Si una rueda gira sobre una superficie plana sin patinar, un punto 
ubicado en la superficie de la rueda describe una curva llamada cicloide, como se 
muestra en la figura 1.26. 
y 
/ ,, -
Rgura 1.26 Gráfica de una cicloide. 
Suponga que la rueda tiene un radio a y que las coordenadas en R2 se escogen de 
modo que el punto de interés sobre la rueda esté inicialmente en el origen. Después 
de que la rueda haya girado con un ángulo central ~ radianes, la situación será la 
_;::;,+:.,:;, __ _,>J....:: __ x que se muestra en la figura l. 27. Se busca el vector O P, que es el vector de posición 
de P, en términos del pruárnetro 1. F.s evidente que o1, = 0A + AP, donde el punto 
Rgura 1 .27 Resultado de la 
rueda de la figura 1.26 girando 
con un ángulo central de,. 
\: 3,,;/2-t 
A 
Rgura 1.28 APoonel inicio 
situado en e1 oñgeo.. 
A es el centro de ta rueda. No es diflcil deienninar el ,-ector OA. So componente j debe 
ser a, puesto que el centro de la rueda no varía venicalmenle. Su componente i 
debe ser igual a la distancia recorrida por la rueda; si I se mide en radianes, entonces 
la distancia es a1, que es la Longitud del arco del círculo que tiene al ángulo central 
F.s ·-o . . 1. dec,r, A = an + OJ. 
Es evidente lo valiosos que resultan los métodos vectoriales cuando se determi-
na AP. Traslade el diagrama en forma paralela de modo que AP tenga su inicio en 
el oñgen, como se ilustra en la figura 1.28. A partir de las ecuaciones paramétricas 
de un círculo de radio a, 
~ (3?T ) . (3,,- ) . . . AP = acos 2 - , , +asen 2 - 1 , =-asen 11 - acos1J, 
do las fórmulas para la suma del seno y coseno. Se concluye que - - -OP= OA +AP =(aJi +a.j) +(-asen1l -acos1j) 
= a(t -sent)i + a(l - cos1)j , 
Círculo 
generado 
/~ 
y 
Figura 1.31 la involu1a. 
1.2 1 Mis acerca de losvectores 15 
de manera que las ecuaciones pammétricas son 
{
x =a(1 -seo1) . 
)' = a (J - COSI) • 
EJEMPLO 8 Si se desenrolla cinta adhesiva de un dispensador circular no gira-
torio de modo que la cinta desenrollada se mantenga tensa y 1angente a la rueda dis-
pensadora, entonces el extremo de la cinta describe una curva llamada involuta del 
círculo. Encon1raremos las ecuaciones paramétricas de esta curva suponiendo que la 
rueda dispensadora tiene un radio constante a y su centro en el origen (por supuesto, 
a medida que se desenrolle más y más cinta, el radio de la rueda disminuirá. Supon-
dremos que se retira poca cinta de manera que el radio permanet..ea constante). -Según la figura 1.29, se observa que: el vector de posición O P del plll!O P deseado 
es la suma vectorial Oh + M. Para determinar Oh y 8P, se usará el ángulo 8 entre el -tje x¡,ositivo y O Boomo nuewo parámetro. Como Bes un punto sobre el círculo, 
0b =acos9 i +asen9j. 
y 
Cinra 
msenrollada 
lnvoluta 
Figura 1.29 Sé desenrolla cinta 
adhesiva oomoenel ejemplo 8. El 
punto P describe una curva oooocida 
oomo lnvoluta del cfrc:ulo. 
-
-Figura 1.30 El vector B P debe formar un ángulo de 9 - .,, / 2 oon el 
eje x p>Silivo. 
Para encontrar el vector B P se hace una traslación paralela de modo que su inicio 
--> 
quede en el origen. La ñgurn l.30 muestra que la longitud de BP debe ser a8, la 
cantidad de cinta desenrollada, y su dirección debe ser tal que forme un ángulo de 
8 - .,,. /2con el eje x positivo. De nuestro conocimiento de la geometría dcl círculo -y, tal \'eZ, de las coordenadas polares, observamos que B P se describe por - ( "') . ( "') . . B P = a9 cos 9 - 2 1 + a9 sen 9 - 2 j = a9 sen 9, - a9 cos 9 J. 
Entonces, - - -OP = 08 + 8P = a(cos8 + 8sen8)i + a(sen/J - 9cos8)j . 
Por lo que 
{
x ; a(cos9 + 9scn9) 
y = a(sen9 - 8 cos9) 
son tas ecuaciones ¡,aramttricas de la involuta, cuya gráfica aparoc:e en la figura 
1.31. • 
16 Capitulo 1 1 Vecu>res 
1.2 Ejercicios 
En los ejercicios Jo 5 esC'ribo el ,·ec.ror dado usando los ve.ero-
,.., de la base estdndar pa,-a R' y R3. 
1. (2, 4) 2. (9.-6) 3. (3,,r,-7) 
4. (-l. 2, 5) s. (2.4, O) 
En los ejercicios 6 a JO ~..scriba et 1-'tttor dado sin 11/Uir,ar la 
1wtuci611 de la /;,ase esu:fndar. 
6 . i + j -3k 
7. 9i -2j +./2k 
8. -3(2i - 7k) 
9 . .,,.¡ - j (Coosidáeqoeestces un vector en R2). 
10. 1ri - j (Considere que se uata de un vector en R1). 
11. Sean a, = (J, I) y a,= (1, -1). 
a) Escriba d vector b = (3, 1) oomoc,a, + c,a,,doo-
de e1 y t 1 son escalares apropiados. 
/,) Repita el inciso anterior para el vector b = (3. -5). 
e) Demoestre que cualquier vector b = (/,1, bi) en R' 
se puede escribir en la fonna c,a, + C1·&2 si se es-
cogen en fonna apropiada de los escalares e, y ci, 
(Esto demuestra que &J y a.forman una base de R2 
que puede usarse en Jugar de I y j). 
12. Sean a1 •(l,O,-l), a1 •(0, L,O)y a, •(I, l, - 1). 
a) Encuentre escalares c1, ~. c,dc modo que el vec-
tor b • (S. 6, -5) se escriba como c1a1 + c:ia2 
+ CJ83, 
b) Trate de repetir el inciso anteri.or para el vector b ~ 
(2, 3, 4). ¿Qué sucede? 
e) ¿Los ,·ectores a, , a1, a3se pueden usar como una 
hose de R3 en lugar de ~ j y k? JustiJique su res-
puesta. 
En los ejercicios 13 a 18 dé un conjunto de ecuaciones parámé-
t.ricat para las rectas que se describm. 
13. La recta en R3 que pasa por el ¡,unio (2, -1, 5) y es 
pardlela al vector i + 3j - 6k. 
14. La recta en R3 que posa por el punto (12, -2. O) y es 
paralela al veaor 51 - 12j + k. 
15. La recta en R1 que pasa por el punto (2. -1) y es pa· 
,alela al vector i - 7j . 
16. La recta en R3 que pasa por los pu otos (2, 1, 2) y 
(3. -1, 5). 
17. La rec1a eo R3 que pasa por los puntos ( 1, 4. 5) y (2. 
4, - 1), 
18. La recta en R2 que pasa por los puntos(&, 5)y (1, 7). 
19. &criba un oonj unto de ecuaciones pa,amétricas par• 
la recia en R' que pasa por el ¡,uoto ( l, 2, O, 4) y es 
paralela al vector (-2, 5, 3, 7). 
20. Obtenga un oonjun10 de ecuaciones param6trlcas para 
la recta en R' que pasa por los puntos (9, ,r, -t. 5, 2) 
y(-1, 1, .fi_, 7, 1). 
21. a) Escriba un conjunto de ec:uacldne$ p~ramtui.cas 
para la recta en R3 qtlc pasa por el puoto(-1, 7, 3) 
y es paralela al vector 2i - j + Sk. 
b) Obtenga un conjunto de ecuaciones parainélricas 
para la rect.1 que pasa por los puntos (5, -3, 4) y 
(O, 1, 9). 
e) Determine conjuntos distintos (pero igualmente 
oorrectos) de las ecuaciones obtenidas en los inci-
sos a) y b}, 
ti) Encuentre las ronnas simé1ricas de sus respuestas 
para los incisos a) a e). 
22. L\S uoa formn simétrica para la recta que tiene las ecua-
ciones paramétricasx • 5 - 2t,y • 31 + 1,, • 6t - 4. 
23. Dé unafom>asimétrica paralarectaquetieneccuacio-
oes paramétricasx a, + 7 .y ia '31 - 9, z • 6 - &t. 
24. Cierta recta en R1 tiene la forma simétrica 
x-2 y-3 t+ l 
-5- ~~;:;: -4-· 
Escriba un conjunto de ecuaciones paramélricas para 
ella. 
25. Di! un oonjuntode ecoaciooes paramérricas para la roc1a 
coa forma simétrica 
x+S y-l t+ 10 
--ª--=--, 
3 7 -2 
26. ¿Son iguales las dos rcctasque1ienen las fonnassimé-
lricas síguientes? 
y 
x-1 y+2 t+I 
- 5- = ~ = -4-
x-4 y-1 e+5 
7o = --::s = -8-
J~stifique su respuesta. 
'r1. Demuestre que los dosoonjuntos de ecua;:ioncs 
x-2 y- 1 t x+l y+6 t+S 
-3- • -1- · s Y -:::¡¡- • - 14 • - 10 
eri verdad representan a Ja misma recta en R1. 
28. O,lllmlinesi lasdosrectasl, y hdefüidasporlosconjun• 
ios de ecuaciones pa111métricas 11: x = 2t - 5, y = 31 
+2.t=l -6tyl,;x= l -2t.y=ll-31,t=6t- l7 
son iguales. (Sugerencia: primero encuerure dos pun-
tos sobre 11 y despoés vea si se encuent111n sobre /2). 
29. ¿Las ecuaciones paramétri.cas siguientes describen a 
la mismarecta?/J;x = 3t +~Y=,- 1, t = 5t + 1, 
y /,:x = 61 - l.y = 2t - 8. t = LO, - 3. Justifique su 
respuesta. 
30. ¿Las ecuaciones paraméuicas x = 3i' + 7,y = 2 - ,3, 
, = St3 + 1 detenninan una recta? Justifique su res-
pu~a. 
31. ¿Las ecuaciones paramttricas x = Si' - l. y = 2i' 
+ 3, z • 1 - ,2 de1enninan una recia? Explique su 
rcspu<Sta. 
32 . Uo pájaro •ucla en una uayecioria rnctilínea dada por 
x•2t+1,y•,-2,z• J - 31,dondetsenúdeen 
minums. 
a) ¿En dónde se encuentra el pájaro inicialmente (en 
1 • 0)1 ¿En dónde está 3 minu1os despots? 
b) Dé un vec1or qoe sea paralelo a la trayectoria del 
pájaró. 
e} ;.En qué momemo llega el pájaro al punto(~. ¼• 
- ")? T' 
d) ¿En coál llega al punto (17, 4, -14)? 
33. Encuentre el punto en que la recta x = 3i - 5, y -
2 - 1,z = 6inte,:,;ecaal planox + 3y - z = 19. 
34. ¿Endóndelare<.1ll.r = J -41,y=1-3/2,t=2t + 1 
interseca al plano 5x - 2y + z • 17 
35. Enc:,ientrelos¡,untos de Intersección de la rec,ax • 2t 
- '.l, y = 3t + 2, z = S - , con cada uno de los planos 
coordenados x aa O~ y • O y t - O. 
36. Demuestre que la recta.t • 5 - i, y• 21 - 7, z • 
r - 3 esiá contenida en el plano que tiene la ecuación 
2x - y+ 4z = 5. 
37. ¿La recta.<= 5 - r,y = 2t - 3, z = 7r + 1 inlerseca 
al plano x - 3y + z • 1? Justifique su respuesta. 
38. Determine el lugar en que la rcela cuya forma simé-
trica es 
x-3 y+2 , 
-6- =-3- =s 
interseca al plano que tfene la ecuación 2x - 5y + 3z 
+ 8=0. 
39. Demuestre que la.recta con la fonnasimélrica 
~=, -s=•+2 
- 2 3 
está contenida l<ltllmenteen el .plano 11- + 3y + z • 22. 
40. ¿La recta que tiene-la fonnasimétrica 
x+4 y-2 z-1 -- - -- - --
3 - 1 -9 
interseca al plano con ecuación 2x - 3y + t = 77 
41. Sean a. t, y e constantes distintas de cero. Demuestre 
quela rectaconecuacionespar.unétricasx =a,+ a.y 
• b, z • c1 + e está en lasupemcie cuya ec,iación es 
x:'/a' + i/tl - i'Jc' = l. 
42. Encuentre el punto de intersooci6o de las dos rectas 11: 
X a 2J + 3, y ~ 31 + 3, t • 2t + 1 y 12: X J: J 5 - 11, 
y•s-2,z-3t-7, 
43. ¿Se intersecan las rectas 11: x = 21 + 1, y= -31, 
t = t - 1 y /1: x = 31 + 1, y = 1 + 5, t = 7 - r7 Expli•quesu rcspuwa. 
1.2 1 Ejercicios 17 
44. a) Encuentre la distaoci.a del punto (-2. 1, S) a 
cualquier punto sobre la recta x • 3r - S, y• 1 -
1, z = 4r + 7. (Su respuesta debe estar en términoo 
del parametro 1), 
t,) Ahora calcule la distancia entre el punto (-2.1, S) 
y la recta x • 31 - 5, y • l - , , l. • 4t + 7, (La 
<istancia entre on punto y una recta es la distancia 
entre el punto dado y el punto más cercano de la 
rec,a), 
45. a) Describa la curva dada en forma paramétrica por 
{
X = ·2oosJ¡ 
y •2sen3, 
¿Qué pasa si se penniteque, vaóeentre O y 2,r'I 
b) Oescriba la corva dada en forma paramétrica por 
¡X • 5COS31 y= 5sen3, 
e) Describa la cun<a que en forma paramétrica es 
¡X • 5sen3t )' = 5oos3, 
d) Describa la curva qoe en fonna parainétrica está 
dada por 
¡X • 5COS31 y = 3sen31 
46. Suponga que una rueda de bicicleta de radio a rueda 
sobre una superficie plana sin patinar. Si se fija on 
reflector a un rayo de la bici.cleta a un.a distancia b 
del ce11tro, la curva resultante trazada por el reflector 
i:ecibe el nombre de dcloide ordinaria. En la j\gura 
l.32seilustradicliocicloide.dondea = 3 yb = 2. 
y 
--+-------+--------+-- X 
Figura 1 .32 Cicloide ordinaria. 
Utilice métodos vectoriales o de Otro tipo para encon-
tr.ir un conjunto de ecuaciones paramétricas para la 
cicloide ordinaria. u, figura 1.33 le será de utilidad. 
18 Capitulo 1 1 Vecu>res 
y 
Figura 1.34 Ocloide negativa. 
y 
Figura 1.33 El punto P traza una 
curva cicloide or<linaria. 
(fome un punto de la cicloide que esté sobre el eje 
y). No existe una razóo teórica para que la cicloide 
dcscriia no tenga a< b, auoque en ese caso la aplica-
ción del reflector fijado a la rueda de la bicicleta deja 
de ser rclevante. (Cuando o < b la c~a en fonna 
paramétrica que n:snlta se llama cicloide negadva). 
Sus ecuaciooes paramétricos deben ser tales que las 
constantes a y b pueden escogerse en roana indepen-
diente una de01ra. En la figura 1 .34 se ilustra una ci-
dolde negativa, con a= 2 y b = 4. Traie de imagínár 
una situación trsica en la que se presentada u.na curva 
COnlO la dcscriia 
47. Egben desenrolla cinta adhesiva de un dispensador 
circular de mdio a. lohaoe manteniendo la cinta ten· 
sa y pe,pendicular con respecto del dispensador. En-
cuent.r<run oonjunto de ecuaciones parain~ricas para 
la tr:tyectoria trazada por el extremo de la cinta (el 
punto P en la figura t.35) a medi~ que Bgben la 
desenrolla. Use el ángulo O entre O P y el eje x po-
sitivo para el parámettQ. Suponga que se desenrolla 
poca cinta, de manera que el radio del dispensador 
pennanezca constante. 
y 
p 
I 
• 
o 
Figura 1.3S Diagrama para el cjen:icio47. 
1.3 El producto punto 
Cuando se introdujeron los conceptos aritméticos de la swna de vectores y la mul-
tiplicación por uo escalar, el lector tal vez se preguntó por qué oo se definió el 
¡Xoducto de dos vectores. Quizá piense que la "mulúplicacióo de vectores» debe de-
finirse de manera análoga a la forma en que se definió la suma de vectores (es decir, 
mediante In multiplicación de las componentes). Sin embargo. esa definición oo es 
muy tltíl. Eo su lugar debemos definir y usar dos conceptos diferentes para el pro-
ducto dedos vectores: ( 1) el producto interno euclidiano. o producto "punto", que 
se define para dos vectores en R" (donden es arbitraria), y (2) el producto "cruz", o 
vectorial, que se define solo para vectores en R3• 
1.3 1 El producto punto 19 
El producto punto de dos vectores -----------
DEFINICIÓN 3.1 Sean a = (01, 0 2, o3) y b = (bi, b2, b:,) dos vectores en R3• 
El producto punto (o interno o escalar) de a y b se denota con a · b, y es 
a • b = a,b, + a,.b1 + a3h 
En R1 la definición análoga cs 
a · b = a,b, + aib2, 
donde a = (ai, ai) y b = (bi, bz). 
EJEMPLO 1 En R3 se tiene lo siguiente: 
(1, -2, 5) • (2, ) , 3) = (1)(2) + (-2Xl ) + (5)(3) = 15. 
(3i + 2j - k) · (i - 2k) = (3Xl) + (2XO) + (- 1)(-2) = 5. • 
Como su nombre lo indica, el producto punto, o escalar, toma dos vectores y 
produce 1111 solo mímero real (no un vector). 
los siguientes enunciados son consecuencias de la definición 3. 1: 
Las propiedadet; de los productos punto. Si a, b y e son vcct0res cuales-
quiera en R3 (o R2) y k e R es cualquier escalar, entonces: 
1. a · a ;;,, O y a· a = O si y solo si a = O; 
2. a·b = b·a; 
3. a · (b + e) = a · b + a · e; 
4. (ka) • b = k(a • b) = a · (kb). 
Demostración de la propiedad 1 S.i a = (01, 02, a3), entonces se tiene que 
a· a = a,a, + 0102 + a3a3 = a~ + aJ + a; . 
Es evidente que esta llltima expresión es no negativa, ya que es una suma de cuadra• 
dos de números reales. Además, una expresión como esa es exactamente cero cuando 
cada uno de los términos es cero, es decir, si y solo si o, = a2 = a:i = O. • 
Las demostraciones de las propiedades 2, 3 y 4 se dejan al léctor como ejercicio. 
Hasta este momento hemos presemado el producto punto de dos vectores como 
una mera construcción algebr-Jica. La que es realmente más intei:esante es la inter-
¡retación geométrica. Para establecerla se comienza con lo siguiente: 
DEFINICIÓN 3.2 Si a = (a,. a2, a3). entonces la longitud de a (también lla-
mada nonna o magnitud)sc denota con nally es Ja; + ªi + a]. 
20 Capitulo 1 1 Vecu>res 
• 
Rgur.s 1 .36 El producto Jl')nto 
dea y bes Ua1J llbllc0<8. 
• 
Rgura 1.37 El trirulgulo 
vectorial usado en la p~a del 
teorema 3.3. 
La motivación ~m esra delinici6n es evidente si dibujam>S a romo el vector de po-
sición del punto (a1,<12, "3), Entonces, la longitud dela flecha del ori¡,in a (a1,a2,a3)es 
✓(a, - 0)1 + (en - 0)2 + (03 - O)~. 
seglin la fórmUla de la distancia, que no es más que una extensión del teorema de 
Pi!ágoras en el plano. Como acabamos de ver, a • a = a} + aJ + aj, y se tiene que 
Oall = ..fa:a 
o, en forma equivalente, 
a · a =lla lf. 
Ahora estamos listos para establecer el resultado principal relacionado con la 
g~-omctría del producto punto. Si a y b son dos vectores difcrenteS de cero en R3 (o 
en R2), dibujados con sus inicios en el mismo punto, sea O, donde Os Os 1r es el 
ángulo entre a y b. Si a o b es el vector cero, entonces O es indeterminado, lo cual 
significa que puede ser cualquier ángulo. 
TEOREMA 3.3 Si a y bson dos vectores cualesquiera en R3 (o en R2), entonces 
a· b = llall llb llcosO . 
(V6ase la figura 1.36). 
DEMOSTRACIÓN Si cualquiera de a o b es el vector cero, digamos que a lo es, 
entonces a = (O, O, 0), por lo que 
a · b = (O)(b1) + (O)(b?) + (O)(b3) = O. 
Asimismo, en este caso Hall= O, por lo que se cumple la fórmula del teorema 3.3 . 
En este caso el ángulo O es indeterminado. 
Ahora suponga que ni a ni b son el vector cero. Sea e = b - a. Entonces la ley 
de los cosenos se puede aplicar al triángulo cuyos lados son a, b y e (v6ase la figura 
1.37) para obtener 
11c1f = 11 a n2 + ll blf - 211a11 l bll coso. 
Así, 
211a11 llb ll cose = 11a111 + ll hlr - 11c112 = a.a + b. b - e. c. (2) 
a partir de la ecuación (1). Ahora usaremos las propiedades del producto pu.oto. 
Comoc = b - a, 
e• e = (b - a)· (b - a) 
= (b - a) · b - (b - a)· a 
= b · b - a · b - b · a + a · a, (3) 
según las propiedades 3 y 4 del producto punto. Si usamos la ecuación (3) para sus-
tituiJ e · e en la ecuación (2), entonces 
2la11 llbllcos8 = a·a + b·b - (b· b - a· b - b•a + a•a) 
= a •b + b·a 
=2a· b, 
mediante la propiedad 2 del producto punto. Al eaocel:ir el factor de 2 en ambos 
lados se obtiene el resultado deseado. • 
2kg 
I' 
30,. 
Figura 1.38 Un objeto que se 
desli7.a por una rampa. La fuerza 
debida a la gravedad es,á dirigida 
hacia abajo. pero la dirección del 
recorrido del objeto está inclinada 
300 con respecto de la horiron1al. 
1.3 1 El producto punto 21 
Ángulos entre vectores ----------------
El teorema 3,3 se puede utilizar para cnoontrar el ángulo entre dos vectores a y b 
distintos de cero, con solo r=l•er para 8 en la fórmula del teorema 3 se obtiene 
L a·b 9 = cos-• llall llbU. (4) 
E'.I uso del coseno inverso no es ambiguo, puesto que