Algebra II_ML_U4

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Número de elementos 
 
 
 
 
Material elaborado por: 
Mercedes Noelia Ruiz Díaz Alonso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campus Universitario 
San Lorenzo, Paraguay 
 
 
 
 
 
 
Universidad Nacional de Asunción 
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales 
Departamento de Educación a Distancia 
 
 
 
 
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Índice 
 
1. Generalización del concepto de Clase lateral ..................................................................................3 
1.1. Producto de Subgrupos ............................................................................................................3 
1.2. Teorema ...................................................................................................................................4 
1.2.1. Corolario ...............................................................................................................................4 
1.3. Número de elementos de 𝑯𝑲 .................................................................................................4 
1.3.1. Teorema .......................................................................................................................4 
1.4. Teorema ...................................................................................................................................6 
Bibliografía ...............................................................................................................................................9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Generalización del concepto de Clase lateral 
Una clase lateral derecha de un subgrupo 𝐻 en un grupo 𝐺 es el conjunto 𝐻𝑎 = {ℎ𝑎|ℎ ∈ 𝐻} 
donde 𝑎 ∈ 𝐺. 
Así como una clase lateral izquierda de un subgrupo 𝐻 en un grupo 𝐺 es el conjunto 
𝑎𝐻 = {𝑎ℎ|ℎ ∈ 𝐻} donde 𝑎 ∈ 𝐺. 
Generalizaremos a continuación estos conceptos, considerando el producto 𝐻𝐾 de los 
subgrupos 𝐻 , 𝐾 y luego lo compararemos con el producto 𝐾𝐻. 
1.1. Producto de Subgrupos 
Definición: Si 𝐻 y 𝐾 son subgrupos de un grupo 𝐺, 𝐻𝐾 = {ℎ𝑘| ℎ ∈ 𝐻 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾} se denomina 
“Producto de los Subgrupos 𝐻 y 𝐾” 
Vamos a plantearnos la siguiente pregunta: Si 𝐻, 𝐾 < 𝐺 entonces ¿ 𝐻𝐾 < 𝐺? 
Veamos los siguientes ejemplos: 
Sea 𝑆 = {𝑟1, 𝑟2, 𝑟3, 𝑠1, 𝑠2, 𝑠3} Grupo de simetrías del triángulo. 
Si 𝐻 = {𝑟1, 𝑠1} y 𝐾 = {𝑟1, 𝑠2} 𝐻, 𝐾 < 𝑆 pues ambos tienen estructura de grupo finito 
para 𝑛 = 2 y 𝐻, 𝐾 ⊂ 𝑆 
Ahora, 𝐻𝐾 = {𝑟1𝑟1, 𝑟1𝑠2, 𝑠1𝑟1, 𝑠1𝑠2} = {𝑟1, 𝑠2, 𝑠1, 𝑟3}, 
Según el Teorema de Lagrange, como 𝐺 = 𝑆 es un grupo finito y si 𝐻𝐾 < 𝐺, 𝑂(𝐻𝐾) debe 
dividir O(𝐺), pero 𝑂(𝐻𝐾) = 4 ∤ 6 = O(𝐺) 
Luego, 𝐻𝐾 no es un subgrupo de 𝑆. 
Por otro lado, 𝐾𝐻 = {𝑟1𝑟1, 𝑟1𝑠1, 𝑠2𝑟1, 𝑠2𝑠1} = {𝑟1, 𝑠1, 𝑠2, 𝑟2} y tenemos que: 
 𝑂(𝐻𝐾) = 4 ∤ 6 = O(𝐺) 
Luego, 𝐾𝐻 no es un subgrupo de 𝑆. 
Vemos que 𝐻𝐾 y 𝐾𝐻 no son subgrupos de 𝑆 y si comparamos estos conjuntos, notamos que 
𝐻𝐾 ≠ 𝐾𝐻. 
El hecho de que 𝐻𝐾 ≠ 𝐾𝐻 es justamente debido a que 𝐻𝐾 no es un subgrupo de 𝑆. 
Esto es lo que nos dice el siguiente Teorema: 
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1.2. Teorema 
Sean 𝐻 y 𝐾 subgrupos de 𝐺, entonces 𝐻𝐾 es un subgrupo de 𝐺 si y sólo si 𝐻𝐾 = 𝐾𝐻 
Veamos el siguiente ejemplo: 
Consideremos el grupo (ℤ12, +); y los subgrupos 𝐻 = {0̅, 4̅, 8̅} y 𝐾 = {0̅, 6̅} 
Entonces 𝐻𝐾 = {0̅, 4̅, 8̅, 6̅, 10̅̅̅̅ , 2̅ } y 𝐾𝐻 = {0̅, 2̅, 4̅, 6̅, 8̅, 10̅̅̅̅ } 
En este caso 𝐻𝐾 = 𝐾𝐻:= 〈2̅〉 que es un Subgrupo de ℤ12. 
1.2.1. Corolario 
Si 𝐻 y 𝐾 son subgrupos de un grupo abeliano 𝐺, entonces 𝐻𝐾 es un subgrupo de 𝐺. 
Demostración 
𝐻𝐾 = {ℎ𝑘| ℎ ∈ 𝐻 ∧ 𝑘 ∈ 𝑘} 
Como 𝐺 es abeliano y 𝐻, 𝐾 < 𝐺, ℎ𝑘 = 𝑘ℎ donde ℎ ∈ 𝐻 ∧ 𝑘 ∈ 𝑘 
Entonces, 𝐻𝐾 = {𝑘ℎ| ℎ ∈ 𝐻 ∧ 𝑘 ∈ 𝑘} = 𝐾𝐻 
Por tanto, 𝐻𝐾 < 𝐺 por Teorema anterior. 
1.3. Número de elementos de 𝑯𝑲 
Sabemos que 𝐻𝐾 no necesariamente es un subgrupo de 𝐺, pero de igual manera podemos 
cuestionarnos sobre el número de elementos que posee. Este número está dado en el 
siguiente Teorema: 
1.3.1. Teorema 
Si 𝐻 y 𝐾 son subgrupos finitos de 𝐺, entonces 
𝑂(𝐻𝐾) =
𝑂(𝐻) ⋅ 𝑂(𝐾)
𝑂(𝐻 ∩ 𝐾)
 
 
 
 
 
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Demostración 
Considerando todas las posibles ℎ ∈ 𝐻 y 𝑘 ∈ 𝐾, está claro que podemos producir a lo sumo 
|𝐻||𝐾| = 𝑂(𝐻) ⋅ 𝑂(𝐾) elementos ℎ𝑘, pero debemos determinar cuántas veces cada 
elemento ℎ𝑘 aparece en dicha lista. 
Tengamos en cuenta que si ℎ1𝑘1 = ℎ2𝑘2, con ℎ𝑖 ∈ 𝐻 y 𝑘𝑖 ∈ 𝐾, entonces 
 ℎ2
−1ℎ1 = 𝑘2𝑘1
−1 ∈ 𝐻 ∩ 𝐾 
Así, ℎ1 = ℎ2𝑔 y 𝑘2 = 𝑔𝑘1 para algún 𝑔 ∈ 𝐻 ∩ 𝐾. Ahora, si ℎ1 = ℎ2𝑔 y 𝑘2 = 𝑔𝑘1 con 𝑔 ∈
𝐻 ∩ 𝐾, entonces ℎ1𝑘1 = ℎ2𝑔 𝑘1 = ℎ2𝑔𝑔
−1 𝑘2 = ℎ2𝑘2 
En otras palabras, cada ℎ𝑘 aparece una vez por cada elemento de 𝐻 ∩ 𝐾. 
Luego, 
𝑂(𝐻𝐾) =
𝑂(𝐻) ⋅ 𝑂(𝐾)
𝑂(𝐻 ∩ 𝐾)
 
Veamos el siguiente ejemplo: 
Consideremos el grupo (ℤ12, +); 𝐻 = {0̅, 4̅, 8̅}, 𝐾 = {0̅, 2̅, 4̅, 6̅, 8̅, 10̅̅̅̅ } 
Tenemos que 𝐻 ∩ 𝐾 = {0̅, 4̅, 8̅} 
𝐻𝐾 = {0̅, 2̅, 4̅, 6̅, 8̅, 10̅̅̅̅ , 4̅, 6̅, 8̅, 10̅̅̅̅ , 0̅, 2̅, 8̅, 10,̅̅ ̅̅ 0̅, 2̅, 4̅, 6̅} 
𝐻𝐾 = {0̅, 2̅, 4̅, 6̅, 8̅, 10̅̅̅̅ } 
𝑂(𝐻𝐾) =
𝑂(𝐻) ⋅ 𝑂(𝐾)
𝑂(𝐻 ∩ 𝐾)
=
3 ⋅ 6
3
= 6 
Luego, 𝑂(𝐻𝐾) = 6 
 
 
 
 
 
 
 
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Hemos visto la generalización de clase lateral, cuando 𝐻 y 𝐾 son subgrupos de un grupo 𝐺. 
Ahora, ¿qué ocurre con 𝐻𝐾 si 𝐻 o 𝐾 es un subgrupo normal de 𝐺, o si ambos son subgrupos 
normales de 𝐺? 
Consideremos nuevamente los conceptos de clase lateral izquierda y derecha: 
𝐻𝑎 = {ℎ𝑎|ℎ ∈ 𝐻} donde 𝑎 ∈ 𝐺 y 𝑎𝐻 = {𝑎ℎ|ℎ ∈ 𝐻} donde 𝑎 ∈ 𝐺. 
Sabemos que 𝐻 es un subgrupo normal de 𝐺 si y sólo si 𝐻𝑎 = 𝑎𝐻 
Notamos que si 𝐻 o 𝐾 es un subgrupo normal de 𝐺, entonces 𝐻𝐾 es un subgrupo de 𝐺. 
Por otro lado, si ambos (𝐻 y 𝐾) son subgrupos normales de 𝐺, se tiene que 𝐻𝐾 es un subgrupo 
normal de 𝐺. 
Es lo que nos demuestra el siguiente Teorema. 
1.4. Teorema 
Sean 𝐻 y 𝐾 subgrupos de 𝐺. Entonces: 
I. Si 𝐻 ó 𝐾 es normal en 𝐺, entonces 𝐻𝐾 es un subgrupo de 𝐺; y 
II. Si tanto 𝐻 como 𝐾 son normales en 𝐺, entonces 𝐻𝐾 también es normal. 
Demostración 
I. Observemos que 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑒 ∈ 𝐻𝐾. Supongamos que 𝐻 es normal. Vamos a probar que 
𝐻𝐾 es cerrado. 
Si ℎ𝑖 ∈ 𝐻 y 𝑘𝑖 ∈ 𝐾. Entonces (ℎ1𝑘1)(ℎ2𝑘2) = ℎ1(𝑘1ℎ2𝑘1
−1)𝑘1𝑘2. 
Dado que 𝐻 es normal 𝑘1ℎ2𝑘1
−1 ∈ 𝐻, y por lo tanto ℎ1𝑘1ℎ2𝑘1
−1 ∈ 𝐻, 𝑘1𝑘2 ∈ 𝐾. 
Además, (ℎ1𝑘1)
−1 = 𝑘1
−1ℎ1
−1 = (𝑘1
−1ℎ1
−1𝑘1)𝑘1
−1. 
Nuevamente, dado que 𝐻 es normal 𝑘1
−1ℎ1
−1𝑘1 ∈ 𝐻, así (ℎ1𝑘1)
−1 ∈ 𝐻𝐾. 
Luego 𝐻𝐾 es un subgrupo de 𝐺, por Teorema 1 relativo a Subgrupos. 
La demostración es análoga si 𝐾 es normal. 
 
 
 
Si 𝑯 o 𝑲 es un subgrupo normal de 𝑮, entonces 𝑯𝑲 es un subgrupo de 𝑮. 
 
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II. Tomemos ℎ ∈ 𝐻, 𝑘 ∈ 𝐾 y 𝑎 ∈ 𝐺. 
Entonces, 𝑎−1ℎ𝑘𝑎 = (𝑎−1ℎ𝑎)(𝑎−1𝑘𝑎) 
Pero 𝑎−1ℎ𝑎 ∈ 𝐻 y 𝑎−1𝑘𝑎 ∈ 𝐾 
Así, 𝑎−1ℎ𝑘𝑎 ∈ 𝐻𝐾 
Por tanto 𝐻𝐾 es un subgrupo normal. 
 
 
 
Veamos los siguientes ejemplos: 
➢ Consideremos el grupo de Klein, 𝑽 = {𝒆, 𝒂, 𝒃, 𝒄} y los siguientes subgrupos propios: 
〈𝑎〉 = {𝑎, 𝑒} 
〈𝑏〉 = {𝑏, 𝑒} 
 
Como el grupo de Klein es conmutativo, todos sus subgrupos son normales, porun Teorema. 
Sean 𝐻 = {𝑎, 𝑒}, 𝐾 = {𝑏, 𝑒} son subgrupos normales de 𝑉. 
Tenemos que 𝐻𝐾 = {ℎ𝑘| ℎ ∈ 𝐻 ∧ 𝑘 ∈ 𝑘} 
En este caso: 
 𝐻𝐾 = {𝑎𝑏, 𝑎𝑒, 𝑒𝑏, 𝑒𝑒} = {𝑐, 𝑎, 𝑏, 𝑒}:= 𝑉 es un subgrupo normal. 
 
 
 
 
 
 
 
∗ 𝒆 𝒂 𝒃 𝒄 
𝒆 𝑒 𝑎 𝑏 𝑐 
𝒂 𝑎 𝑒 𝑐 𝑏 
𝒃 𝑏 𝑐 𝑒 𝑎 
𝒄 𝑐 𝑏 𝑎 𝑒 
Si 𝑯 y 𝑲 son subgrupos normales de 𝑮, entonces 𝑯𝑲 es un subgrupo normal 
de 𝑮. 
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➢ Sea ahora, el grupo (𝐸, ∙) donde 𝐸 = {1, −1, 𝑖, −𝑖} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consideremos el siguiente subgrupo de (𝐸, ∙): 𝐻 = {1, −1} y tomaremos el caso particular 
en que 𝐾 = 𝐻. Entonces: 𝐾 = {1, −1} 
Vemos en la tabla que (𝐸, ∙) es un grupo conmutativo, por lo que 𝐻 es un subgrupo normal 
de 𝐸. 
Y tenemos que 𝐻𝐾 = {ℎ𝑘| ℎ ∈ 𝐻 ∧ 𝑘 ∈ 𝑘} 
Entonces: 𝐻𝐾 = {1 ∙ 1, 1 ∙ −1, −1 ∙ 1, −1 ∙ −1} 
Así, 𝐻𝐾 = {1, −1, −1, 1} 
Luego 𝐻𝐾 = {1, −1}: = 𝐻 es un subgrupo normal de 𝐸. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⋅ 1 −1 𝑖 −𝑖 
1 𝟏 −1 𝑖 −𝑖 
−1 −1 𝟏 −𝑖 𝑖 
𝑖 𝑖 −𝑖 −1 𝟏 
−𝑖 −𝑖 𝑖 𝟏 −1 
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Bibliografía 
Herstein, I (1980). Algebra moderna. Grupos. Anillos. Campos. Teoría de Galois. México. 
Editorial Trillas. 
Ortiz Granada, G. (s.f.). Teoría de Grupos. Notas de Clases. Departamento de matemática, 
FACEN-UNA. 
Gregory, T. (2018). Abstract Algebra. An Introductory Course. Springer Undergraduate 
Mathematics Series. https: //doi.org/10.1007/978-3-319-77649-1.