Algebra II_ML_U3

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Subgrupos 
 
 
 
 
Material elaborado por: 
Lic. Mercedes Noelia Ruiz Díaz Alonso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campus Universitario 
San Lorenzo, Paraguay 
 
 
 
 
Universidad Nacional de Asunción 
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales 
Departamento de Educación a Distancia 
 
 
 
 
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Índice 
 
1. Definición de Subgrupo ....................................................................................................................4 
2. Subgrupos generados por elementos de un grupo ..........................................................................6 
2.1. Subgrupo monógeno de generador 𝒙 ......................................................................................6 
2.2. Grupo Cíclico ............................................................................................................................6 
2.3. Parte Generatriz .......................................................................................................................7 
2.4. Orden de un elemento .............................................................................................................7 
2.4.1. Propiedades ..................................................................................................................8 
2.4.2. Teorema de Cauchy ......................................................................................................9 
2.5. Proposición ...............................................................................................................................9 
2.6. Teorema ...................................................................................................................................9 
2.7. Teorema ................................................................................................................................ 10 
2.8. Corolario ................................................................................................................................ 11 
3. Retículos ........................................................................................................................................ 11 
4. Operaciones con Subgrupos .......................................................................................................... 12 
4.1. Intersección de Subgrupos .................................................................................................... 12 
4.2. Unión de Subgrupos .............................................................................................................. 13 
5. Teoremas relativos a Subgrupos ................................................................................................... 14 
5.1. Teorema 1 ............................................................................................................................. 14 
5.2. Teorema 2 ............................................................................................................................. 14 
5.3. Teorema 3 ............................................................................................................................. 14 
6. Normalizador de un elemento de un grupo .................................................................................. 16 
7. Centro de un Grupo dado ............................................................................................................. 18 
8. Congruencias módulo un Subgrupo .............................................................................................. 19 
8.1. Teorema ................................................................................................................................ 19 
9. Clases laterales .............................................................................................................................. 20 
9.1. Proposición: ................................................................................................................... 21 
9.2. Teorema ................................................................................................................................ 22 
10. Teorema de Lagrange ................................................................................................................ 23 
10.1. Índice de H en G ................................................................................................................ 23 
10.2. Corolarios del Teorema de Lagrange ................................................................................ 24 
10.2.1. Corolario 1 ................................................................................................................. 24 
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10.2.2. Corolario 2 ................................................................................................................. 24 
10.2.3. Corolario 3 (De Euler) ................................................................................................ 24 
10.2.4. Corolario 4 (De Fermat) ............................................................................................. 25 
11. Subgrupos Normales o Invariantes ........................................................................................... 25 
11.1. Teorema 1 ......................................................................................................................... 25 
11.2. Teorema 2 ......................................................................................................................... 26 
11.3. Teorema 3 ......................................................................................................................... 26 
11.4. Lema 1 ............................................................................................................................... 27 
11.5. Lema 2 ............................................................................................................................... 27 
12. Grupo Cociente o Factor ........................................................................................................... 30 
12.1. Teorema ............................................................................................................................ 30 
12.2. Grupo Simple ..................................................................................................................... 30 
Bibliografía ............................................................................................................................................ 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Definición de Subgrupo 
Al hablar de subgrupos, de inmediato pensamos que se trata de un subconjunto de algún 
conjunto, con una cierta operación binaria definida en el mismo y que satisface las mismas 
propiedades que un grupo. Precisamente, la siguiente definición de Subgrupo nos explica esto. 
Definición de Subgrupo: Un subconjunto no vacío 𝐻 de un grupo 𝐺, es un subgrupo de (𝐺,∗) 
 si y sólo si (𝐻,∗) es un grupo. 
Notación: 𝑯 < 𝐺 
 
 
 
 
Observaciones: 
➢ En ocasiones nos referiremos al grupo (𝐺,∗), simplemente como al grupo 𝐺 
➢ Si 𝐻 < 𝐺 y 𝐾 < 𝐻, entonces 𝐾 < 𝐺 
➢ Los subgrupos denominados “Subgrupos triviales o Impropios” de (𝐺,∗) son el mismo 
𝐺 y ({𝑒}, ∗ ) 
➢ Si además de los triviales, existen otros subgrupos de 𝐺, estos se denominan 
“Subgrupos Propios” 
Veamos los siguientes ejemplos: 
1. (ℤ, +) es un subgrupo de (ℝ, +) ya que ℤ ⊂ ℝ y (ℤ, +) es un grupo. 
2. (ℚ+, ∙) es un subgrupo de (ℝ+, ∙) ya que ℚ+ ⊂ ℝ+ y (ℚ+, ∙) es un grupo. 
3. (ℚ∗, ∙) es un subgrupo de (ℝ∗, ∙) ya que ℚ∗ ⊂ ℝ∗ y (ℚ∗, ∙) es un grupo. 
4. (𝐻, ∙) es un subgrupo de(𝐸, ∙), donde 𝐸 = {1, −1, 𝑖, −𝑖} subconjunto del conjunto 
de números complejos “ℂ” y 𝐻 = {1, −1} ⊂ 𝐸. 
Para demostrar que 𝐻 < 𝐸, primeramente, probaremos que (𝐸, ∙) es un grupo. 
 
 
 
𝑯 ⊂ 𝑮 es un subgrupo de 𝑮 si respecto a la operación en 𝑮, 𝑯 también es 
grupo. 
 
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Notamos que 𝐸 es un grupo finito, entonces construyamos su tabla de operaciones: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En efecto, vemos en la tabla que: 
1) 𝐸 es cerrado respecto a la multiplicación, esto es 𝑥 ⋅ 𝑦 ∈ 𝐸, ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸. 
2) Como la multiplicación es asociativa en ℂ y 𝐸 ⊂ ℂ, también es asociativa en 𝐸. 
3) El elemento neutro para la multiplicación es 𝑒 = 1 ∈ 𝐸, (el cual siempre 
ocupa un lugar simétrico en la tabla). Se verifica ∀ 𝑥 ∈ 𝐸, 𝑥 ⋅ 1 = 1 ⋅ 𝑥 = 𝑥 
4) Verificaremos que cada elemento tiene su inverso (I) respecto a la 
multiplicación, en la siguiente tabla: 
𝐸 1 −1 𝑖 −𝑖 
INVERSO 
1 −1 −𝑖 𝑖 
 Luego, (𝐸, ∙) es un grupo. 
Ahora probaremos 𝑯 < 𝐸 
Tenemos que 𝐻 = {1, −1} ⊂ 𝐸 
Falta probar que (𝐻, ∙) es un grupo. 
Para tal efecto, construimos su tabla de operaciones: 
 
 
 
 
 
⋅ 1 −1 𝑖 −𝑖 
1 𝟏 −1 𝑖 −𝑖 
−1 −1 𝟏 −𝑖 𝑖 
𝑖 𝑖 −𝑖 −1 𝟏 
−𝑖 −𝑖 𝑖 𝟏 −1 
⋅ 1 −1 
1 𝟏 −1 
−1 −1 𝟏 
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Vemos en la tabla que: 
1) 𝐻 es cerrado respecto a la multiplicación, esto es 𝑥 ⋅ 𝑦 ∈ 𝐻, ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻. 
2) Como la multiplicación es asociativa en 𝐸 y 𝐻 ⊂ 𝐸, también es asociativa en 
𝐻. 
3) El elemento neutro para la multiplicación es 𝑒 = 1 ∈ 𝐻, (el cual siempre 
ocupa un lugar simétrico en la tabla). Se verifica ∀ 𝑥 ∈ 𝐻, 𝑥 ⋅ 1 = 1 ⋅ 𝑥 = 𝑥 
4) Verificaremos que cada elemento tiene su inverso respecto a la 
multiplicación, en la siguiente tabla: 
𝐻 1 −1 
INVERSO 
1 −1 
Luego, (𝐻, ∙) es un grupo. 
Por tanto, 𝐻 < 𝐸 
2. Subgrupos generados por elementos de un grupo 
2.1. Subgrupo monógeno de generador 𝒙 
Definición: Dado un grupo (𝐺,∗), el subconjunto 〈𝑥〉 = {𝑥𝑛| 𝑛 ∈ ℤ}, ∀𝑥 ∈ 𝐺 es un subgrupo 
de 𝐺, denominado “Subgrupo monógeno o cíclico de generador 𝑥” 
Observación: 
➢ 𝑥𝑛 = 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ … ∗ 𝑥 𝑛 veces donde 𝑛 ∈ ℤ+ 
➢ (𝑥𝑚)𝑛 = 𝑥𝑚𝑛 donde 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ y en particular 𝑎−𝑛 = (𝑎−1)𝑛 
➢ 〈𝑥〉 es el subgrupo más pequeño que contiene a 𝑥 
➢ 〈𝑥〉 = 𝐺 ó 〈𝑥〉 ⊂ 𝐺, pero 〈𝑥〉 ≠ 𝐺 
2.2. Grupo Cíclico 
Un grupo 𝐺 se denomina Cíclico o monógeno si es generado por un elemento de 𝐺. Esto es: 
∃ 𝑥 ∈ 𝐺 ∕ 𝐺 = 〈𝑥〉 
En otras palabras, 𝐺 es cíclico si es generado por alguno de sus elementos. Esto es, si todo 
elemento de 𝐺 es una potencia 𝑎𝑘, 𝑘 ∈ ℤ de algún elemento 𝑎 ∈ 𝐺. 
Ejemplos: 
➢ (ℤ, +) es un grupo cíclico de generadores 1 y −1 
〈1〉 = {… , 1−1, 10, 11, … } = {… , −1,0,1,2, … } = ℤ 
 
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➢ (ℤ6, +) es un grupo cíclico. Veamos ℤ6 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5]} 
〈0〉 = {0} Subgrupo trivial de ℤ6 
〈1〉 = {1,2,3,4,5,0}: = ℤ6 
〈2〉 = {2,4,0} Subgrupo propio de ℤ6 
〈3〉 = {3,0} Subgrupo propio de ℤ6 
〈4〉 = {2,4,0} = 〈2〉 
〈5〉 = {1,2,3,4,5,0}: = ℤ6 Subgrupo trivial de ℤ6 
➢ El grupo de Klein, 𝑉 = {𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐} no es cíclico, ya que no es generado por ninguno de 
sus elementos. En efecto, 
〈𝑒〉 = {𝑒} Subgrupo trivial de 𝑉 
〈𝑎〉 = {𝑎, 𝑒} 
〈𝑏〉 = {𝑏, 𝑒} Subgrupos propios de 𝑉 
〈𝑐〉 = {𝑐, 𝑒} 
 
 
 
 
2.3. Parte Generatriz 
Definición: Se denomina “Parte Generatriz” al conjunto de elementos del grupo 𝐺, que 
generan todo el grupo 𝐺. Es decir: 
𝑃𝐺 = {𝑥 ∈ 𝐺: 〈𝑥〉 = 𝐺} 
Ejemplo: 
➢ Si 𝐺 = (ℤ6, +), 𝑃𝐺 = {1, 5} 
➢ Si 𝐺 = (ℤ, +), 𝑃𝐺 = {1, −1} 
2.4. Orden de un elemento 
Si 𝐺 es un grupo y 𝑎 ∈ 𝐺, el orden o periodo de 𝑎 es el menor entero positivo 𝑚 tal que 𝑎𝑚 =
𝑒. 
Si no existe tal entero 𝑚, el orden de 𝑎 se dice que es infinito. 
Notación: 𝑂(𝑎) ó |𝑎| 
 
𝑮 es un grupo cíclico si es generado por alguno de sus elementos. 
 
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Veamos unos ejemplos: 
➢ En (ℤ4, +), determinaremos el orden del elemento [3] ∈ ℤ4. Esto es 𝑜([3]) o |[3]| 
[3]1 = [3] 
[3]2 = [2] 
[3]3 = [1] 
[3]4 = [0] = 𝑒 → |[3]| = 4 
➢ En (ℤ3
∗, +), determinaremos |[2]| 
[2]1 = [2] 
[2]2 = [1] → |[2]| = 2 
2.4.1. Propiedades 
A continuación, veremos algunas de las propiedades del orden de un elemento de un grupo 
𝐺 dado. 
➢ 𝑂(𝑎) = 1 ↔ 𝑎 = 𝑒 
(→) Supongamos 𝑎 ∈ 𝐺, por definición 𝑂(𝑎) es el menor entero positivo 𝑚 tal que 
𝑎𝑚 = 𝑒. Como 𝑂(𝑎) = 1, significa que 𝑚 = 1, lo que implica 𝑎1 = 𝑒. 
Luego, 𝑎 = 𝑒. 
(←) Si 𝑎 = 𝑒, significa que 𝑚 = 1, es decir 𝑂(𝑎) = 1. 
➢ 𝑂(𝑎) = 𝑚 ; 𝑎𝑘 = 𝑒 ↔ 𝑘 es múltiplo de 𝑚 (𝑚|𝑘) 
(→) Por hipótesis 𝑂(𝑎) = 𝑚, entonces 𝑚 es el menor entero positivo, tal que 𝑎𝑚 = 𝑒. 
Por divisibilidad se tiene que si 𝑚 ∤ 𝑘, ∃ 𝑞, 𝑟 ∈ ℤ tal que 𝑘 = 𝑚𝑞 + 𝑟, 0 < 𝑟 < 𝑚 
 → 𝑟 = 𝑘 − 𝑚𝑞. Entonces, 𝑎𝑟 = 𝑎𝑘−𝑚𝑞 = 𝑎𝑘(𝑎𝑚)−𝑞 = 𝑎𝑘𝑒−𝑞 = 𝑎𝑘 = 𝑒. 
Como 𝑟 < 𝑚 y 𝑚 es el menor entero tal que 𝑎𝑚 = 𝑒. 
Por tanto 𝑟 = 0 → 𝑘 = 𝑚𝑞 → 𝑚|𝑘. 
(←) Supongamos ahora 𝑚|𝑘, entonces 𝑘 = 𝑚𝑞 , 𝑎𝑘 = 𝑎𝑚𝑞 = (𝑎𝑚)𝑞 = 𝑒𝑞 = 𝑒. 
 
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➢ Si 𝑎𝑚 = 𝑒 → 𝑂(𝑎)|𝑚 
Sea 𝑂(𝑎) < 𝑚 → ∃ 𝑞, 𝑟 ∈ ℤ tal que 𝑚 = 𝑂(𝑎)𝑞 + 𝑟 donde 𝑟 = 0 ó 0 < 𝑟 < 𝑂(𝑎) 
𝑂(𝑎) es el menor entero positivo, 𝑚 − 𝑞𝑂(𝑎) = 𝑟. 
𝑎𝑟 = 𝑎𝑚−𝑞𝑂(𝑎) = 𝑎𝑚𝑎−𝑞𝑂(𝑎) = 𝑒𝑎−𝑞𝑂(𝑎) =
𝑒
𝑒𝑞
= 𝑒 
→ 𝑎𝑟 = 𝑒, 𝑟 < 𝑂(𝑎) Contradicción 
→ 𝑟 = 0 → 𝑂(𝑎)|𝑚 donde 𝑂(𝑎) es el menor entero positivo tal que 𝑎𝑂(𝑎) = 𝑒. 
 
2.4.2. Teorema de Cauchy 
Todo grupo abeliano de orden 𝑛, posee un elemento 𝑎 de orden primo 𝑝, tal que 𝑝|𝑛. 
Observación: En otras palabras: 𝑂(𝑎)|𝑂(𝐺) si 𝐺 es abeliano y 𝑂(𝑎) primo. 
2.5. Proposición 
Sea (𝐺, ∗) un grupo finito y 𝑥 ∈ 𝐺, existe un entero positivo 𝑛 tal que 𝑥𝑛 = 𝑒 y el subgrupo 
generado por 𝑥 es 〈𝑥〉 = {𝑥, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛 } y todos los elementos de este conjunto 
son distintos. 
Observación: 
➢ Existe una relación entre el orden de un elemento 𝑥, si este es finito y el orden del 
subgrupo generado por 𝑥. Tal relación se encuentra enunciada en el siguiente 
teorema: 
2.6. Teorema 
Sea 𝐺 = 〈𝑎〉 cíclico. Si 𝑎 tiene orden infinito, entonces todas las potencias de 𝑎 son distintas. 
Si |𝑎| < ∞, entonces todos los elementos distintos de 𝐺 son 𝑒, 𝑎, 𝑎2, … , 𝑎𝑛−1. En particular 
|𝑎| = |〈𝑎〉|. 
Observación: 
➢ De manera general, vemos que, si el orden de un elemento de un grupo finito es 
finito, coincide con el orden del subgrupo generado por dicho elemento, esto es lo 
que significa |𝑎| = |〈𝑎〉|. 
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2.7. Teorema 
Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico. 
Ejemplos: 
➢ Todo subgrupo de (ℤ6, +) es cíclico, ya que (ℤ6, +) es cíclico. 
Tenemos que ℤ6 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5]} 
〈0̅〉 = {0̅} 
〈1̅〉 = {1̅, 2̅, 3̅, 4̅, 5̅, 0̅} ≔ ℤ6 
〈2̅〉 = { 2̅, 4̅, 0̅} ≔ 〈4̅〉 
〈3̅〉 = { 3̅, 0̅} 
〈5̅〉 = {1̅, 2̅, 3̅, 4̅, 5̅, 0̅} ≔ ℤ6 
Luego, ℤ6 es generado por 1̅ y 5̅, por lo que ℤ6 es cíclico. 
Tomemos ahora un subgrupo propio de ℤ6. Si denominamos 𝑆 al subgrupo de ℤ6 
generado por 2̅ y 4̅, tenemos 𝑆 = { 2̅, 4̅, 0̅} 
〈2̅〉 = { 2̅, 4̅, 0̅} ≔ 〈4̅〉 
〈0̅〉 = {0̅} 
Luego, 𝑆 es generadopor 2̅ y 4̅, por lo que 𝑆 es cíclico. 
Lo mismo sucede con 〈3̅〉 = { 3̅, 0̅}, el cual es generado por 3̅, es decir el subgrupo propio 
〈3̅〉 de ℤ6 es cíclico. 
➢ Todo subgrupo de (ℤ, +) es cíclico, ya que (ℤ, +) es cíclico de generadores 1 y −1. 
(𝑛ℤ, +) es un subgrupo de (ℤ, +), pues 𝑛ℤ ⊂ ℤ y satisface los siguientes axiomas: 
Axioma 1: ∃0 ∈ ℤ: 𝑥 = 𝑛 ∙ 0 = 0 ∈ ℤ por lo que 𝑛ℤ ≠ ∅ 
𝑛𝑧1 + 𝑛𝑧2 = 𝑛(𝑧1 + 𝑧2) donde 𝑧1, 𝑧2 ∈ ℤ, entonces 𝑧1 + 𝑧2 ∈ ℤ 
Si 𝑧 = 𝑧1 + 𝑧2, 𝑛𝑧1 + 𝑛𝑧2 = 𝑛𝑧 ∈ 𝑛ℤ 
Axioma 2: Se verifica la asociatividad para los elementos de (ℤ, +), como 𝑛ℤ ⊂ ℤ, 
también se verifica en (𝑛ℤ, +). 
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Axioma 3: El elemento neutro en (ℤ, +) es el 0. Como 𝑛ℤ ⊂ ℤ, 0 también es elemento 
neutro para (𝑛ℤ, +). 
Es decir, se verifica 𝑛𝑧 + 0 = 0 + 𝑛𝑧 = 𝑛𝑧 ∀ 𝑛𝑧 ∈ 𝑛ℤ 
Axioma 4: ∀ 𝑥 = 𝑛𝑧 ∈ 𝑛ℤ, ∃ 𝑥−1 ∈ 𝑛ℤ: 𝑥 + 𝑥−1 = 𝑥−1 + 𝑥 = 0 
𝑛𝑧 + 𝑥−1 = 0 → 𝑥−1 = −𝑛𝑧 = 𝑛(−𝑧) ∈ 𝑛ℤ donde −𝑧 ∈ ℤ 
Como ℤ es un grupo cíclico, 𝑛ℤ es cíclico de generador 𝑛. 
Si 𝑛 = 3, 3ℤ = {… , −3,0,3, … } su generador es 3. 
〈3〉 = {… , (3)−1, 30, 31, … } 
2.8. Corolario 
Sea 𝐺 = 〈𝑎〉, donde |𝑎| = 𝑛 < ∞. Entonces, el orden de cada subgrupo de 𝐺 es un divisor de 
𝑛. Además, si 𝑚 es un divisor positivo de 𝑛, entonces 𝐺 tiene exactamente un subgrupo de 
orden 𝑚, el cual es 〈𝑎
𝑛
𝑚⁄ 〉. 
3. Retículos 
Definición de Retículo de Subgrupos de (𝑮,∗): Es un gráfico en el cual se representan todos 
los subgrupos de un grupo de manera que si para dos subgrupos 𝐻1 y 𝐻2 de (𝐺,∗), 𝐻1 ⊂ 𝐻2 y 
no hay ningún subgrupo entre 𝐻1 y 𝐻2. 
Gráficamente, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: Retículo de Subgrupos 
de 𝐺 
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Veamos los siguientes ejemplos: 
Graficaremos el retículo del Grupo de Klein 𝑉 = {𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐} 
𝑉 
 
{𝑎, 𝑒} {𝑏, 𝑒} {𝑐, 𝑒} 
 
{𝑒} 
Graficaremos ahora el retículo de ℤ6 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5]} 
 ℤ6 
 
 {2, 4, 0} 
 {3, 0} 
 {0} 
 
4. Operaciones con Subgrupos 
Las operaciones que veremos a continuación si se verifican o no en los Subgrupos son la 
Intersección y la Unión de Subgrupos. 
4.1. Intersección de Subgrupos 
La intersección de toda familia no vacía de subgrupos de un grupo (𝐺,∗) es un subgrupo. 
Veamos el siguiente ejemplo: 
Consideremos el grupo (ℤ12, +) donde ℤ12 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Si 𝐸 = ℤ12 
〈0〉 = {0}: = 𝐸0 
〈1〉 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}: = 𝐸 
〈2〉 = {2,4,6,8,10,0}: = 𝐸2 
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〈3〉 = {3,6,9,0}: = 𝐸3 
〈4〉 = {4,8,0}: = 𝐸4 
〈5〉 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}: = 𝐸 
〈6〉 = {6,0}: = 𝐸6 
〈7〉 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}: = 𝐸 
〈8〉 = {4,8,0} = 𝐸8: = 𝐸4 
〈9〉 = {3,6,9,0} = 𝐸9: = 𝐸3 
〈10〉 = {2,4,6,8,10,0} = 𝐸10: = 𝐸2 
〈11〉 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}: = 𝐸 
Observación: En (ℤ𝑚, +), 𝑥 ∈ ℤ𝑚. Si (𝑥, 𝑚) = 1, 〈𝑥〉: = ℤ𝑚 
Subgrupos triviales: 𝐸0, 𝐸 
Subgrupos propios: 𝐸2, 𝐸3, 𝐸4, 𝐸6 
Determinaremos la intersección de algunos subgrupos propios: 
 𝐸2 ∩ 𝐸3 = {2,4,6,8,10,0} ∩ {3,6,9,0} = 𝐸6 𝐸3 ∩ 𝐸4 = {3,6,9,0} ∩ {4,8,0} = 𝐸0 
4.2. Unión de Subgrupos 
La unión de subgrupos es una propiedad que no se verifica para la familia de subgrupos. 
Para demostrarlo, basta con un contraejemplo: 
Veamos 〈2〉 ∪ 〈3〉 en (ℤ12, +) 
〈2〉 = {2,4,6,8,10,0} 
〈3〉 = {3,6,9,0} 
〈2〉 ∪ 〈3〉 = {2,3,4,6,8,9,10,0} 
Ahora, 2 + 3 = 5 ∉ 〈2〉 ∪ 〈3〉 Vemos que no se cumple el axioma de clausura, por lo que 
〈2〉 ∪ 〈3〉 no es grupo bajo la suma. 
Por tanto, 〈2〉 ∪ 〈3〉 no es un subgrupo de (ℤ12, +). 
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5. Teoremas relativos a Subgrupos 
En muchas ocasiones puede resultar tediosa la demostración de que 𝐻 es un subgrupo de 𝐺, 
utilizando los axiomas de grupo. Los siguientes teoremas facilitan la identificación de 
subgrupos de manera mucho más sencilla, la aplicación de los mismos depende del análisis de 
cada caso. 
5.1. Teorema 1 
Un subconjunto no vacío 𝐻 del grupo 𝐺 es un subgrupo de (𝐺,∗) sii 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 → 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐻 y 
𝑎 ∈ 𝐻 → 𝑎−1 ∈ 𝐻. 
5.2. Teorema 2 
Si H es un subconjunto no vacío del grupo (𝐺,∗) que verifica 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻 → 𝑎 ∗ 𝑏−1 ∈ 𝐻 
entonces (𝐻,∗) es un subgrupo de (𝐺,∗). 
5.3. Teorema 3 
Si H es un subconjunto finito, no vacío de un grupo 𝐺 y 𝐻 es cerrado respecto a la 
multiplicación, entonces 𝐻 es un subgrupo de 𝐺. 
Veamos algunos ejemplos de aplicación de los teoremas: 
1. Demostrar que el conjunto 𝑛ℤ = {𝑥 𝑥⁄ = 𝑛𝑧, 𝑧 ∈ ℤ} con 𝑛 ∈ ℕ, provisto de la ley de 
composición “adición” es un subgrupo de (ℤ, +). 
Podemos utilizar el Teorema 1 o el Teorema 2 para demostrarlo, el tercer teorema es para 
subconjuntos finitos y en este caso tenemos un conjunto infinito, por lo que no es aplicable. 
Aplicando Teorema 1 
i. Sea 𝑥 = 𝑛𝑧. Si 𝑧 = 0 → 𝑥 = 𝑛 ∙ 0 → 𝑥 = 0, esto es 0 ∈ 𝑛ℤ, entonces 𝑛ℤ ≠ ∅. 
ii. Sean 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑛ℤ, entonces, 𝑎 = 𝑛𝑧1, 𝑏 = 𝑛𝑧2; 𝑧1 , 𝑧2 ∈ ℤ 
𝑎 + 𝑏 = 𝑛𝑧1 + 𝑛𝑧2 = 𝑛(𝑧1 + 𝑧2) = 𝑛𝑧 donde 𝑧 = 𝑧1 + 𝑧2 ∈ ℤ 
→ 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑛ℤ 
iii. Sea 𝑎 ∈ 𝑛ℤ, entonces 𝑎 = 𝑛𝑧 con 𝑧 ∈ ℤ, 𝑎−1 = −𝑛𝑧 = 𝑛(−𝑧) con −𝑧 ∈ ℤ, pues ℤ 
es grupo con la adición. 
Luego, 𝑎−1 ∈ 𝑛ℤ 
Por tanto, (𝑛ℤ, +) es un subgrupo de (ℤ, +) por el Teorema 1 relativo a subgrupos. 
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Aplicando Teorema 2 
i. Sea 𝑥 = 𝑛𝑧. Si 𝑧 = 0 → 𝑥 = 𝑛 ∙ 0 → 𝑥 = 0, esto es 0 ∈ 𝑛ℤ, entonces 𝑛ℤ ≠ ∅. 
ii. Sean 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑛ℤ, 𝑎 = 𝑛𝑧1, 𝑏 = 𝑛𝑧2 donde 𝑧1, 𝑧2 ∈ ℤ 
Tenemos que 𝑏 = 𝑛𝑧2 → 𝑏
−1 = −𝑛𝑧2 = 𝑛(−𝑧2) con −𝑧2 ∈ ℤ, pues ℤ es grupo con la 
adición. 
Entonces, 𝑎 + 𝑏−1 = 𝑛𝑧1 + 𝑛(−𝑧2) = 𝑛[𝑧1 + (−𝑧2)] = 𝑛(𝑧1 − 𝑧2) = 𝑛𝑧 donde 
𝑧 = 𝑧1 − 𝑧2 ∈ ℤ pues (ℤ, +) es grupo. 
Luego, 𝑎 + 𝑏−1 ∈ 𝑛ℤ 
Por tanto, (𝑛ℤ, +) es un subgrupo de (ℤ, +) por el Teorema 2 relativo a subgrupos. 
2. Demostrar que si 𝐺 es un grupo abeliano, entonces todos los elementos 𝑥 ∈ 𝐺 tales 
que 𝑥2 = 𝑒 forman un subgrupo de 𝐺. 
Debemos demostrar que 𝐻 = {𝑥 ∈ 𝐺 ∕ 𝑥2 = 𝑒} es un subgrupo de 𝐺. Utilizaremos el 
Teorema 2 relativo a Subgrupos. 
i. Como 𝐺 es un grupo, 𝑒 ∈ 𝐺 y 𝑒2 = 𝑒 ∗ 𝑒 = 𝑒 → 𝑒 ∈ 𝐻 por lo que 𝐻 ≠ ∅. 
ii. Ahora probaremos 𝑎𝑏−1 ∈ 𝐻. 
Sean 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻, entonces 𝑎 ∈ 𝐺 ∧ 𝑎2 = 𝑒 (1) 
𝑏 ∈ 𝐺 ∧ 𝑏2 = 𝑒 (2) 
De (1), 𝑎 ∈ 𝐺 
De (2), 𝑏 ∈ 𝐺 → 𝑏−1 ∈ 𝐺 
Entonces, 𝑎𝑏−1 ∈ 𝐺 
Falta probar (𝑎𝑏−1)2 = 𝑒 
(𝑎𝑏−1)2 = (𝑎𝑏−1)(𝑎𝑏−1) Por definición 𝑥2 = 𝑥 ∙ 𝑥 
(𝑎𝑏−1)2 = 𝑎(𝑏−1𝑎)𝑏−1 Asociatividad 
(𝑎𝑏−1)2 = 𝑎(𝑎𝑏−1)𝑏−1 Como 𝐺 es un grupo abeliano 
(𝑎𝑏−1)2 = (𝑎𝑎)(𝑏−1𝑏−1) Asociatividad 
(𝑎𝑏−1)2 = 𝑎2(𝑏−1)2 Por definición 𝑥2 = 𝑥 ∙ 𝑥 
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(𝑎𝑏−1)2 = 𝑒 ∙ 𝑒 De (1) y (2), teniendo en cuenta que 𝑏−1 = 𝑏. 
(𝑎𝑏−1)2 = 𝑒 
Luego, 𝑎𝑏−1 ∈ 𝐻 
Por tanto, 𝐻 < 𝐺 por el Teorema 2 de Subgrupos. 
6. Normalizador de un elemento de un grupo 
Definición: Sea 𝐺 un grupo y 𝑎 ∈ 𝐺. Definimos el normalizador de 𝑎 como: 
𝑁(𝑎) = {𝑥 ∈ 𝐺 ∕ 𝑥𝑎 = 𝑎𝑥} 
Es el conjuntode elementos de 𝐺 que conmutan con 𝑎. 
Observación: 
➢ Al conjunto 𝑁(𝑎) también se lo conoce como Centralizador de 𝑎 en 𝐺. 
Otra forma en la que se suele denotar al conjunto es 𝐶𝐺(𝑎). 
➢ 𝑁(𝑎) es un subgrupo de 𝐺. 
Veamos los siguientes ejemplos: 
➢ Consideremos el Grupo de Simetrías del triángulo equilátero: (𝑆, ∘) donde 
 𝑆 = {𝑟1, 𝑟2, 𝑟3, 𝑠1, 𝑠2, 𝑠3} y tomemos un elemento 𝑎 ∈ 𝑆 para obtener el conjunto 𝑁(𝑎) 
Sea 𝑎 = 𝑠1 
𝑁(𝑠1) = {𝑥 ∈ 𝑆 ∕ 𝑥𝑠1 = 𝑠1𝑥} 
Si 𝑥 = 𝑟1, se verifica 𝑟1𝑠1 = 𝑠1𝑟1 
Si 𝑥 = 𝑟2, 𝑟2𝑠1 ≠ 𝑠1𝑟2 
Si 𝑥 = 𝑟3, 𝑟3𝑠1 ≠ 𝑠1𝑟3 
Si 𝑥 = 𝑠1, se verifica 𝑠1𝑠1 = 𝑠1𝑠1 
Si 𝑥 = 𝑠2, 𝑠2𝑠1 ≠ 𝑠1𝑠2 
Si 𝑥 = 𝑠3, 𝑠3𝑠1 ≠ 𝑠1𝑠3 
Luego, 𝑁(𝑠1) = {𝑟1, 𝑠1} 
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➢ Si consideramos ahora el grupo de Klein 𝑉 = {𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐} 
Determinaremos 𝑁(𝑎) = {𝑥 ∈ 𝑉 ∕ 𝑥𝑎 = 𝑎𝑥} 
Si 𝑥 = 𝑒, se verifica 𝑒𝑎 = 𝑎𝑒 
Si 𝑥 = 𝑎, se verifica 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 
Si 𝑥 = 𝑏, se verifica 𝑏𝑎 = 𝑎𝑏 
Si 𝑥 = 𝑐, se verifica 𝑐𝑎 = 𝑎𝑐 
Luego, 𝑁(𝑎) = {𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐} 
➢ El conjunto de elementos de 𝐺 que conmutan con 𝑎 ∈ 𝐺, es un subgrupo de 𝐺. 
Probaremos 𝑁(𝑎) < 𝐺, utilizando el Teorema 2 relativo a Subgrupos. 
𝑁(𝑎) = {𝑥 ∈ 𝐺 ∕ 𝑥𝑎 = 𝑎𝑥} 
Sean 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁(𝑎), entonces 𝑚 ∈ 𝐺 ∧ 𝑚 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑚 (1) 
 𝑛 ∈ 𝐺 ∧ 𝑛 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑛 (2) 
Como 𝐺 es un grupo, ∃ 𝑛−1 ∈ 𝐺 
Hay que probar que 𝑚 ∗ 𝑛−1 ∈ 𝑁(𝑎) 
Tenemos que 𝑚 ∈ 𝐺 ∧ 𝑛−1 ∈ 𝐺, entonces 𝑚 ∗ 𝑛−1 ∈ 𝐺 por axioma de clausura en 𝐺. 
Por otro lado, 𝑎 ∗ (𝑚 ∗ 𝑛−1) = (𝑎 ∗ 𝑚) ∗ 𝑛−1 Asociatividad 
𝑎 ∗ (𝑚 ∗ 𝑛−1) = (𝑚 ∗ 𝑎) ∗ 𝑛−1 De (1) 
𝑎 ∗ (𝑚 ∗ 𝑛−1) = 𝑚 ∗ ( 𝑎 ∗ 𝑛−1) Asociatividad 
𝑎 ∗ (𝑚 ∗ 𝑛−1) = 𝑚 ∗ ( 𝑛−1 ∗ 𝑎) 𝑎 ∗ 𝑛−1 = 𝑛−1 ∗ 𝑎 
𝑎 ∗ (𝑚 ∗ 𝑛−1) = (𝑚 ∗ 𝑛−1) ∗ 𝑎 Asociatividad 
Luego, 𝑚 ∗ 𝑛−1 ∈ 𝑁(𝑎) 
Por tanto, 𝑁(𝑎) < 𝐺 
 
 
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7. Centro de un Grupo dado 
Definición: Sea 𝐺 un grupo. Definimos el centro de 𝐺 por 𝑍(𝐺) = {𝑧 ∈ 𝐺 𝑧𝑥⁄ = 𝑥𝑧, ∀𝑥 ∈ 𝐺} 
Observación: 𝑍(𝐺) es un subgrupo de 𝐺. 
Veamos los siguientes ejemplos: 
➢ Sea el grupo de Klein: (𝑉, ∗) donde 𝑉 = {𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐} . Entonces 
𝑍(𝑉) = {𝑧 ∈ 𝑉 𝑧𝑥⁄ = 𝑥𝑧, ∀𝑥 ∈ 𝑉} 
Si 𝑧 = 𝑒, 𝑒𝑥 = 𝑥𝑒, ∀𝑥 ∈ 𝑉 → 𝑒 ∈ 𝑍(𝑉) 
Si 𝑧 = 𝑎, 𝑎𝑥 = 𝑥𝑎, ∀𝑥 ∈ 𝑉 → 𝑎 ∈ 𝑍(𝑉) 
Si 𝑧 = 𝑏, 𝑏𝑥 = 𝑥𝑏, ∀𝑥 ∈ 𝑉 → 𝑏 ∈ 𝑍(𝑉) 
Si 𝑧 = 𝑐, 𝑐𝑥 = 𝑥𝑐, ∀𝑥 ∈ 𝑉 → 𝑐 ∈ 𝑍(𝑉) 
Luego, 𝑍(𝑉) = {𝑒, 𝑎 , 𝑏, 𝑐} 
Cálculo Auxiliar 
𝑎 ∗ 𝑛−1 = 𝑛−1 ∗ 𝑎 
Tenemos que 𝑎 ∗ 𝑛 = 𝑛 ∗ 𝑎 De (2) 
(𝑎 ∗ 𝑛) ∗ 𝑛−1 = (𝑛 ∗ 𝑎) ∗ 𝑛−1 
𝑎 ∗ (𝑛 ∗ 𝑛−1) = 𝑛 ∗ (𝑎 ∗ 𝑛−1) 
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑛 ∗ (𝑎 ∗ 𝑛−1) 
𝑎 = 𝑛 ∗ (𝑎 ∗ 𝑛−1) 
𝑛−1 ∗ 𝑎 = 𝑛−1 ∗ [𝑛 ∗ (𝑎 ∗ 𝑛−1)] 
𝑛−1 ∗ 𝑎 = 𝑛−1 ∗ 𝑛 ∗ (𝑎 ∗ 𝑛−1) 
𝑛−1 ∗ 𝑎 = 𝑒 ∗ (𝑎 ∗ 𝑛−1) 
𝑛−1 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑛−1 
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➢ Sea ahora, el grupo (𝐸, ∙) donde 𝐸 = {1, −1, 𝑖, −𝑖}. Entonces, 
𝑍(𝐸) = {𝑧 ∈ 𝐸 𝑧𝑥⁄ = 𝑥𝑧, ∀𝑥 ∈ 𝐸} 
Si 𝑧 = 1, 1𝑥 = 𝑥1, ∀𝑥 ∈ 𝐸 → 1 ∈ 𝑍(𝐸) 
Si 𝑧 = −1, (−1)𝑥 = 𝑥(−1), ∀𝑥 ∈ 𝐸 → −1 ∈ 𝑍(𝐸) 
Si 𝑧 = 𝑖, 𝑖𝑥 = 𝑥𝑖, ∀𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑖 ∈ 𝑍(𝐸) 
Si 𝑧 = −𝑖, (−𝑖)𝑥 = 𝑥(−𝑖), ∀𝑥 ∈ 𝐸 → −𝑖 ∈ 𝑍(𝐸) 
Luego, 𝑍(𝐸) = {1, −1, 𝑖, −𝑖 } 
 
8. Congruencias módulo un Subgrupo 
Definición: Sea 𝐺 un grupo, 𝐻 < 𝐺 si 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚ó𝑑 𝐻) si y sólo si 𝑎 ∗ 𝑏−1 ∈ 𝐻. 
8.1. Teorema 
La relación 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚ó𝑑 𝐻) es una relación de equivalencia. 
Demostración 
Debemos demostrar que la relación dada es reflexiva, simétrica y transitiva. 
Reflexividad: Sea 𝑎 ∈ 𝐺; 𝑎 ∗ 𝑎−1 = 𝑒 ∈ 𝐺 
Como 𝐻 < 𝐺, 𝑎 ∗ 𝑎−1 ∈ 𝐻 → 𝑎 ≡ 𝑎 (𝑚ó𝑑 𝐻) 
Simetría: Sean 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 
Tenemos que 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚ó𝑑 𝐻) → 𝑎 ∗ 𝑏−1 ∈ 𝐻 
Como 𝐻 < 𝐺, (𝑎 ∗ 𝑏−1)−1 ∈ 𝐻 → 𝑏 ∗ 𝑎−1 ∈ 𝐻 → 𝑏 ≡ 𝑎 (𝑚ó𝑑 𝐻) 
Transitividad: Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 
Si 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚ó𝑑 𝐻) → 𝑎 ∗ 𝑏−1 ∈ 𝐻 (1) y 𝑏 ≡ 𝑐(𝑚ó𝑑 𝐻) → 𝑏 ∗ 𝑐−1 ∈ 𝐻 (2) 
Operando (1) y (2) 
(𝑎 ∗ 𝑏−1) ∗ (𝑏 ∗ 𝑐−1) = 𝑎 ∗ (𝑏−1 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐−1 Asociatividad 
(𝑎 ∗ 𝑏−1) ∗ (𝑏 ∗ 𝑐−1) = 𝑎 ∗ 𝑒 ∗ 𝑐−1 Elemento inverso 
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(𝑎 ∗ 𝑏−1) ∗ (𝑏 ∗ 𝑐−1) = 𝑎 ∗ 𝑐−1 Elemento neutro 
Como 𝑎 ∗ 𝑏−1 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∗ 𝑐−1 ∈ 𝐻 → 𝑎 ∗ 𝑐−1 ∈ 𝐻 → 𝑎 ≡ 𝑐 𝑚ó𝑑(𝐻) 
Por tanto, la relación 𝑎 ≡ 𝑏 𝑚ó𝑑(𝐻) es de equivalencia. 
Observación: Como la relación de congruencia módulo 𝐻 es una relación de equivalencia, nos 
proporciona una descomposición de 𝐺 en conjuntos mutuamente disjuntos, denominados 
clases de equivalencia. 
Si 𝑎 ∈ 𝐺, [𝑎] = {𝑥 ∈ 𝐺 𝑥⁄ ≡ 𝑎 (𝑚ó𝑑 𝐻)} 
 
9. Clases laterales 
Definición de Clase Lateral derecha de 𝐻 en 𝐺 (𝐻 < 𝐺): Si 𝐻 < 𝐺 y 𝑎 ∈ 𝐺. Entonces: 
𝐻𝑎 = {ℎ𝑎 ∕ ℎ ∈ 𝐻} 
Definición de Clase Lateral izquierda de 𝐻 en 𝐺 (𝐻 < 𝐺): Si 𝐻 < 𝐺 y 𝑎 ∈ 𝐺. Entonces: 
𝑎𝐻 = {𝑎ℎ ∕ ℎ ∈ 𝐻} 
Veamos los siguientes ejemplos: 
Si 𝐺 = (𝑍12, +), 𝐻 = 〈4̅〉 = {4̅, 8̅, 0̅} 
𝐻0̅ = {ℎ0 ∕ ℎ ∈ 𝐻} = {4̅, 8̅, 0̅} : = 𝐻4̅: = 𝐻8̅ 
𝐻1̅ = {ℎ1 ∕ ℎ ∈ 𝐻} = {5̅, 9̅, 1̅}: = 𝐻5:̅ = 𝐻9̅ 
𝐻2̅ = {ℎ2 ∕ ℎ ∈ 𝐻} = {6̅, 10̅̅̅̅ , 2̅}: = 𝐻6:̅ = 𝐻10̅̅̅̅ 
𝐻3̅ = {ℎ3 ∕ ℎ ∈ 𝐻} = {7̅, 11̅̅̅̅ , 3̅}: = 𝐻7̅ : = 𝐻11̅̅̅̅ 
En este caso, 𝐻𝑎 = 𝑎𝐻 
 
 
 
 
 
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9.1. Proposición: 
∀𝑎 ∈ 𝐺, 𝐻𝑎 = [𝑎] 
Demostración 
Tenemos que 𝐻𝑎 = {ℎ𝑎 ∕ ℎ ∈ 𝐻} 
[𝑎] = {𝑥 ∈ 𝐺 𝑥⁄ ≡ 𝑎 𝑚ó𝑑(𝐻)} 
𝐻𝑎 = [𝑎] ↔ 𝐻𝑎 ⊂ [𝑎] ∧ [𝑎] ⊂ 𝐻𝑎 
i. 𝐻𝑎 ⊂ [𝑎] 
Sea 𝑥 ∈ 𝐻𝑎 → 𝑥 = ℎ𝑎 para algún ℎ ∈ 𝐻 
𝑥𝑎−1 = ℎ(𝑎𝑎−1) Operando 𝑎−1 miembro a miembro y propiedad asociativa. 
𝑥𝑎−1 = ℎ𝑒 Elemento inverso. 
𝑥𝑎−1 = ℎ, ℎ ∈ 𝐻 → 𝑥 ≡ 𝑎 𝑚ó𝑑(𝐻) → 𝑥 ∈ [𝑎] 
Luego, 𝐻𝑎 ⊂ [𝑎] 
ii. [𝑎] ⊂ 𝐻𝑎 
Sea 𝑥 ∈ [𝑎] → 𝑥 ≡ 𝑎 𝑚ó𝑑(𝐻) → 𝑥𝑎−1 ∈ 𝐻 → 𝑥𝑎−1 = ℎ para algún ℎ ∈ 𝐻 
𝑥𝑎−1𝑎 = ℎ𝑎 Operando 𝑎 miembro a miembro. 
𝑥𝑒 = ℎ𝑎 Elemento inverso. 
𝑥 = ℎ𝑎 Elemento neutro. 
→ 𝑥 = ℎ𝑎 para algún ℎ ∈ 𝐻 → 𝑥 ∈ 𝐻𝑎 
Luego, [𝑎] ⊂ 𝐻𝑎 
Por tanto, 𝐻𝑎 = [𝑎] 
 
 
 
 
Figura 1: Distintas clases laterales de H en G. 
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9.2. Teorema 
Existe una correspondencia biyectiva entre dos clases laterales derechas cualesquiera de 𝐻 
en 𝐺. 
Demostración 
Sea la función 𝑓: 𝐻𝑎 → 𝐻𝑏 definida por 𝑓(ℎ𝑎) = ℎ𝑏 (1) 
Probaremos que 𝑓 es biyectiva. 
Inyectividad 
Supongamos 𝑓(ℎ1𝑎) = 𝑓(ℎ2𝑎) 
→ ℎ1𝑏 = ℎ2𝑏 Por (1) 
→ ℎ1 = ℎ2 Ley de Cancelación 
→ ℎ1𝑎 = ℎ2𝑎 Operando 𝑎 miembro a miembro 
Luego 𝑓 es inyectiva. 
Sobreyectividad 
Sea 𝑥 ∈ 𝐻𝑏 → 𝑥 = ℎ𝑏 Definición de clase lateral derecha. 
→ 𝑥 = 𝑓(ℎ𝑎) ∀ ℎ𝑎 ∈ 𝐻𝑎 Por (1) 
Luego 𝑓 es sobreyectiva. 
Por tanto, 𝑓 es biyectiva. 
 
 
 
 
 
 
 
Si 𝑯 es finito, todas las clases laterales derechas tienen el mismo número de 
elementos y coincide con el número de elementos de 𝑯, pues 𝑯 es también 
una clase lateral derecha. 
Y, ¿Por qué 𝑯 es una clase lateral derecha? 
Tenemos que 𝑯𝒂 = {𝒉𝒂 ∕ 𝒉 ∈ 𝑯}; 𝑯 < 𝐺 
𝑯 es una clase lateral derecha porque 𝑯𝒆 = {𝒉𝒆 𝒉⁄ ∈ 𝑯} 
𝑯𝒆 = {𝒉 ∕ 𝒉 ∈ 𝑯} = 𝑯 
 
 
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10. Teorema de Lagrange 
Si 𝐺 es un grupo finito y 𝐻 < 𝐺, entonces 𝑂(𝐻)|𝑂(𝐺) 
Demostración 
Como 𝐺 es un grupo finito, tiene un número finito de clases laterales derechas distintas de 𝐻 
en 𝐺. Supongamos que 𝐺 tiene 𝑘 clases laterales derechas y sean éstas: 
𝐻𝑥1 , 𝐻𝑥2 , … , 𝐻𝑥𝑘 
Entonces, 𝐺 = 𝐻𝑥1 ∪̇ 𝐻𝑥2 ∪̇ … ∪̇ 𝐻𝑥𝑘 
→ 𝑂(𝐺) = |𝐻𝑥1| + |𝐻𝑥2| + ⋯ + |𝐻𝑥𝑘| 
→ 𝑂(𝐺) = 𝑂(𝐻) + 𝑂(𝐻) + ⋯ + 𝑂(𝐻) Por un Teorema anterior 
 
 𝑘 veces 
Luego, 𝑂(𝐺) = 𝑘 ∙ 𝑂(𝐻) → 𝑂(𝐻)| 𝑂(𝐺) 
10.1. Índice de H en G 
Definición: Si 𝐻 < 𝐺, el Índice de 𝐻 en 𝐺, es el número de las distintas clases laterales 
derechas de 𝐻 en 𝐺. 
Notación: 𝐼𝐺(𝐻) ó [𝐺: 𝐻] 
[𝐺: 𝐻] =
𝑂(𝐺)
𝑂(𝐻)
=
|𝐺|
|𝐻|
 
Veamos el siguiente ejemplo: 
𝐺 = (ℤ𝟏𝟐, +) 𝐻 = {0̅, 6̅} 
𝐻0 = {ℎ + 0/ℎ ∈ 𝐻} = {0̅, 6̅}: = 𝐻 
𝐻1 = {ℎ + 1/ℎ ∈ 𝐻} = {1̅, 7̅}: = 𝐻7 
𝐻2 = {ℎ + 2/ℎ ∈ 𝐻} = {2̅, 8̅}: = 𝐻8 
𝐻3 = {ℎ + 3/ℎ ∈ 𝐻} = {3̅, 9̅}: = 𝐻9 
𝐻4 = {ℎ + 4/ℎ ∈ 𝐻} = {4̅, 10̅̅̅̅ }: = 𝐻10 
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 𝐻5 = {5̅, 11̅̅̅̅ }: = 𝐻11 
[𝐺: 𝐻] =
𝑂(𝐺)
𝑂(𝐻)
=
12
2
= 6 
Existen 6 clases laterales derechas distintas. 
10.2. Corolarios del Teorema de Lagrange 
 
10.2.1. Corolario 1 
Si 𝐺 es un grupo finito y 𝑎 ∈ 𝐺, entonces 𝑂(𝑎)|𝑂(𝐺) 
Demostración 
Puesto que el subgrupo de 𝐺 generado por 𝑎, esto es, 〈𝑎〉 tiene 𝑂(𝑎) elementos, tenemos 
que 𝑂(𝐻) = 𝑂(𝑎), tomando 𝐻 = 〈𝑎〉; 𝐻 < 𝐺 
Por Teorema de Lagrange 𝑂(𝐻)|𝑂(𝐺), es decir, 𝑂(𝑎)|𝑂(𝐺) 
10.2.2. Corolario 2 
Si 𝐺 es un grupo finito y 𝑎 ∈ 𝐺, entonces 𝑎𝑂(𝐺) = 𝑒 
Demostración 
Por Corolario 1, 𝑂(𝑎)|𝑂(𝐺) → ∃𝑘 ∈ ℤ: 𝑂(𝐺) = 𝑘 ∙ 𝑂(𝑎) 
𝑎𝑂(𝐺) = 𝑎𝑘∙𝑂(𝑎) = (𝑎𝑂(𝑎))
𝑘
= 𝑒𝑘 = 𝑒, 𝑎𝑂(𝑎) = 𝑒 Por definición 
Por tanto, 𝑎𝑂(𝐺) = 𝑒 
10.2.3. Corolario 3 (De Euler) 
Si 𝑛 ∈ ℤ+ y (𝑎, 𝑛) = 1 → 𝑎𝜑(𝑛) ≡ 1(𝑚ó𝑑 𝑛) 
Demostración 
Si (𝑎, 𝑛) = 1, 𝑛 ∈ ℤ+ 
Entonces �̅� ∈ 𝑈(𝑛). Por el Corolario 2, �̅� 𝜑(𝑛) = 1̅ → 𝑎𝜑(𝑛)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 1̅ → 𝑎𝜑(𝑛) ≡ 1(𝑚ó𝑑 𝑛) 
Observación: 𝑈(𝑛) = {�̅� ∈ ℤ𝑛/(𝑎, 𝑛) = 1} 
O (𝑈(𝑛)) = 𝜑(𝑛) ; 𝑒 = 1 
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10.2.4. Corolario 4 (De Fermat) 
Si 𝑝 es primo y 𝑎 ∈ ℤ → 𝑎𝑝 ≡ 𝑎 (𝑚ó𝑑 𝑝) 
Demostración 
Si (𝑎, 𝑝) = 1. Por el Corolario 3, 𝑎𝜑(𝑝) ≡ 1 (𝑚ó𝑑 𝑝) → 𝑎𝑝−1 ≡ 1 (𝑚ó𝑑 𝑝); 𝜑(𝑝) = 𝑝 − 1 
→ 𝑎𝑝−1 ∙ 𝑎 ≡ 1 ∙ 𝑎 (𝑚ó𝑑 𝑝) → 𝑎𝑝 ≡ 𝑎 (𝑚ó𝑑 𝑝) 
Si (𝑎, 𝑝) ≠ 1 → (𝑎, 𝑝) = 𝑝 → 𝑝|𝑎 → 𝑝|𝑎 − 0 → 𝑎 ≡ 0 (𝑚ó𝑑 𝑝) → 𝑎𝑝 ≡ 0𝑝 (𝑚ó𝑑 𝑝) 
→ 𝑎𝑝 ≡ 0 (𝑚ó𝑑 𝑝) y 𝑎 ≡ 0 (𝑚ó𝑑 𝑝) → 𝑎𝑝 ≡ 𝑎 (𝑚ó𝑑 𝑝) Por transitividad 
 
11.Subgrupos Normales o Invariantes 
Definición: Un subgrupo (𝐻,∗) de (𝐺,∗) es normal o invariante si y sólo si 
𝑥 ∈ 𝐺 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 → 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑥−1 ∈ 𝐻 
Notación: 𝐻 ⊲ 𝐺 
11.1. Teorema 1 
Todo subgrupo de un grupo conmutativo es invariante. 
Demostración 
Sea 𝐺 un grupo abeliano, 𝐻 < 𝐺 
Debemos demostrar 𝐻 ⊲ 𝐺 
Sean 𝑥 ∈ 𝐺 e 𝑦 ∈ 𝐻; 𝐻 < 𝐺 → 𝑦 ∈ 𝐺, 𝑥−1 ∈ 𝐺 
→ 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑥−1 ∈ 𝐺 Aplicamos propiedad Clausura en 𝐺: 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 
Sea ℎ = 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑥−1 
ℎ = 𝑥 ∗ (𝑦 ∗ 𝑥−1) Aplicamos propiedad Asociativa. 
ℎ = 𝑥 ∗ (𝑥−1 ∗ 𝑦) Aplicamos propiedad Conmutativa, pues 𝐺 es abeliano. 
ℎ = (𝑥 ∗ 𝑥−1) ∗ 𝑦 Aplicamos propiedad Asociativa. 
ℎ = 𝑒 ∗ 𝑦 Elemento inverso. 
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ℎ = 𝑦 Elemento neutro 
Tenemos que 𝑦 ∈ 𝐻 → 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑥−1 ∈ 𝐻 
Por tanto, 𝐻 ⊲ 𝐺 
11.2. Teorema 2 
𝑁 es un subgrupo normal de 𝐺 ↔ 𝑔𝑁𝑔−1 = 𝑁, ∀𝑔 ∈ 𝐺 
(→) 𝑁 ⊲ 𝐺. Si 𝑔 ∈ 𝐺 → 𝑔𝑁𝑔−1 ⊂ 𝑁 por definición (1) 
Ahora probaremos 𝑁 ⊂ 𝑔𝑁𝑔−1 
𝑔−1𝑁𝑔 = 𝑔−1𝑁(𝑔−1)−1 ⊂ 𝑁 Por definición, pues 𝑔−1 ∈ 𝐺 
𝑁 = 𝑔(𝑔−1𝑁𝑔)𝑔−1 ⊂ 𝑔𝑁𝑔−1 Pues 𝑔−1𝑁𝑔 ⊂ 𝑁 
Luego, 𝑁 ⊂ 𝑔𝑁𝑔−1 (2) 
De (1) y (2), 𝑔𝑁𝑔−1 = 𝑁 
(←) 𝑔𝑁𝑔−1 = 𝑁 ∀𝑔 ∈ 𝐺 → 𝑔𝑁𝑔−1 ⊂ 𝑁 
Luego 𝑁 ⊲ 𝐺. 
11.3. Teorema 3 
Sean 𝑁 y 𝑁΄ subgrupos normales de 𝐺, entonces 𝑁𝑁΄ ⊲ 𝐺 
Demostración 
Por hipótesis 𝑁 = 𝑔𝑁𝑔−1 (1) ; 𝑁´ = 𝑔𝑁´𝑔−1 (2) por Teorema anterior. 
Operando (1) y (2) 
𝑁𝑁´ = (𝑔𝑁𝑔−1)(𝑔𝑁´𝑔−1) 
𝑁𝑁´ = 𝑔𝑁(𝑔−1𝑔)𝑁´𝑔−1 Aplicando la propiedad asociativa. 
𝑁𝑁´ = 𝑔𝑁(𝑒)𝑁´𝑔−1 Elemento inverso. 
𝑁𝑁´ = 𝑔𝑁𝑁´𝑔−1 Elemento neutro. 
Por tanto, 𝑁𝑁΄ ⊲ 𝐺 por el Teorema anterior. 
 
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11.4. Lema 1 
𝑁 ⊲ 𝐺 ↔ 𝑔𝑁 = 𝑁𝑔 ∀𝑔 ∈ 𝐺 
11.5. Lema 2 
Un subgrupo 𝑁 de 𝐺 es un subgrupo normal de 𝐺 si y sólo si 𝑁𝑎𝑁𝑏 = 𝑁𝑎𝑏 
(→) ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, 𝑁𝑎, 𝑁𝑏 son clases laterales derechas de 𝐺, con 𝑁 ⊲ 𝐺 
𝑁 subgrupo normal de 𝐺 → 𝑁𝑎 = 𝑎𝑁 
Entonces, 𝑁𝑎𝑁𝑏 = 𝑁(𝑎𝑁)𝑏 = 𝑁(𝑁𝑎)𝑏 = (𝑁𝑁)𝑎𝑏 = 𝑁𝑎𝑏 
(←) 𝑁𝑎𝑁𝑏 = 𝑁𝑎𝑏 ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺. En particular, 
(𝑁𝑎)(𝑁𝑎−1) = 𝑁𝑎𝑎−1 = 𝑁𝑒 = 𝑁 ∀𝑎 ∈ 𝐺 
Entonces, si 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑛𝑎𝑛𝑎−1 ∈ 𝑁 → 𝑛−1(𝑛𝑎𝑛𝑎−1) ∈ 𝑛−1𝑁 
→ (𝑛−1𝑛)(𝑎𝑛𝑎−1) ∈ 𝑁 → 𝑒(𝑎𝑛𝑎−1) ∈ 𝑁 → (𝑎𝑛𝑎−1) ∈ 𝑁 
Por tanto, 𝑁 ⊲ 𝐺 
Veamos los siguientes ejemplos: 
➢ Hallar todos los subgrupos normales del grupo de Klein: 𝑉 = {𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐} 
Utilizando el Teorema 2: 
𝑁 = {𝑒, 𝑎} 
𝑔 = 𝑒, 𝑒𝑁𝑒−1 = 𝑒{𝑒, 𝑎}𝑒 = {𝑒, 𝑎}𝑒 = {𝑒, 𝑎} = 𝑁 
𝑔 = 𝑎, 𝑎𝑁𝑎−1 = 𝑎{𝑒, 𝑎}𝑎 = {𝑎, 𝑒}𝑎 = {𝑒, 𝑎} = 𝑁 
𝑔 = 𝑏, 𝑏𝑁𝑏−1 = 𝑏{𝑒, 𝑎}𝑏 = {𝑏, 𝑐}𝑏 = {𝑒, 𝑎} = 𝑁 
𝑔 = 𝑐, 𝑐𝑁𝑐−1 = 𝑐{𝑒, 𝑎}𝑐 = {𝑐, 𝑏}𝑐 = {𝑒, 𝑎} = 𝑁 
Luego, 𝑁 = {𝑒, 𝑎} = 〈𝑎〉 es un subgrupo normal de 𝑉. 
Utilizando el Lema 1: 
𝑁 = {𝑒, 𝑏} 
𝑁𝑒 = {𝑒, 𝑏}𝑒 = {𝑒, 𝑏} 
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𝑒𝑁 = 𝑒{𝑒, 𝑏} = {𝑒, 𝑏} 
Luego 𝑁𝑒 = 𝑒𝑁 
𝑁𝑎 = {𝑒, 𝑏}𝑎 = {𝑎, 𝑐} 
𝑎𝑁 = 𝑎{𝑒, 𝑏} = {𝑎, 𝑐} 
Luego 𝑁𝑎 = 𝑎𝑁 
𝑁𝑏 = {𝑒, 𝑏}𝑏 = {𝑏, 𝑒} 
𝑏𝑁 = 𝑏{𝑒, 𝑏} = {𝑏, 𝑒} 
Luego 𝑁𝑏 = 𝑏𝑁 
𝑁𝑐 = {𝑒, 𝑏}𝑐 = {𝑐, 𝑎} 
𝑐𝑁 = 𝑐{𝑒, 𝑏} = {𝑐, 𝑎} 
Luego 𝑁𝑐 = 𝑐𝑁 
Luego, 𝑁𝑔 = 𝑔𝑁 ∀𝑔 ∈ 𝑉 
Por tanto, 𝑁 = 〈𝑏〉 = {𝑒, 𝑏} es un subgrupo normal de 𝑉. 
Utilizando el Teorema 2: 
𝑁 = {𝑒, 𝑐} 
𝑔 = 𝑒, 𝑒𝑁𝑒−1 = 𝑒{𝑒, 𝑐}𝑒 = {𝑒, 𝑐}𝑒 = {𝑒, 𝑐} = 𝑁 
𝑔 = 𝑎, 𝑎𝑁𝑎−1 = 𝑎{𝑒, 𝑐}𝑎 = {𝑎, 𝑏}𝑎 = {𝑒, 𝑐} = 𝑁 
𝑔 = 𝑏, 𝑏𝑁𝑏−1 = 𝑏{𝑒, 𝑐}𝑏 = {𝑏, 𝑎}𝑏 = {𝑒, 𝑐} = 𝑁 
𝑔 = 𝑐, 𝑐𝑁𝑐−1 = 𝑐{𝑒, 𝑐}𝑐 = {𝑐, 𝑒}𝑐 = {𝑒, 𝑐} = 𝑁 
Luego, 𝑁 = {𝑒, 𝑐} = 〈𝑐〉 es un subgrupo normal de 𝑉. 
Utilizando el Teorema 2: 
𝑁 = {𝑒} 
𝑔 = 𝑒, 𝑒𝑁𝑒−1 = 𝑒{𝑒}𝑒 = {𝑒}𝑒 = {𝑒} = 𝑁 
𝑔 = 𝑎, 𝑎𝑁𝑎−1 = 𝑎{𝑒}𝑎 = {𝑎}𝑎 = {𝑒} = 𝑁 
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𝑔 = 𝑏, 𝑏𝑁𝑏−1 = 𝑏{𝑒}𝑏 = {𝑏}𝑏 = {𝑒} = 𝑁 
𝑔 = 𝑐, 𝑐𝑁𝑐−1 = 𝑐{𝑒}𝑐 = {𝑐}𝑐 = {𝑒} = 𝑁 
Luego, 𝑁 = {𝑒} es un subgrupo normal de 𝑉. 
Utilizando el Teorema 2: 
𝑁 = {𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐} 
𝑔 = 𝑒, 𝑒𝑁𝑒−1 = 𝑒{𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐}𝑒 = {𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐}𝑒 = {𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐} = 𝑁 
𝑔 = 𝑎, 𝑎𝑁𝑎−1 = 𝑎{𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐}𝑎 = {𝑎, 𝑒, 𝑐, 𝑏}𝑎 = {𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐} = 𝑁 
𝑔 = 𝑏, 𝑏𝑁𝑏−1 = 𝑏{𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐}𝑏 = {𝑏, 𝑐, 𝑒, 𝑎}𝑏 = {𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐} = 𝑁 
𝑔 = 𝑐, 𝑐𝑁𝑐−1 = 𝑐{𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐}𝑐= {𝑐, 𝑏, 𝑎, 𝑒}𝑐 = {𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐} = 𝑁 
Luego, 𝑁 = {𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐} = 𝑉 es un subgrupo normal de 𝑉. 
➢ Probar que 𝑍(𝐺)⊲G 
Sea 𝑍(𝐺) = {𝑧 ∈ 𝐺 𝑧𝑥⁄ = 𝑥𝑧, ∀𝑥 ∈ 𝐺} 
Como 𝑍(𝐺) < 𝐺, si 𝑦 ∈ 𝑍(𝐺), 𝑥 ∈ 𝐺 → 𝑥𝑦𝑥−1 ∈ 𝐺, entonces: 
(𝑥𝑦)𝑥−1 = (𝑦𝑥)𝑥−1 
(𝑥𝑦)𝑥−1 = 𝑦(𝑥𝑥−1) 
(𝑥𝑦)𝑥−1 = 𝑦(𝑒) 
(𝑥𝑦)𝑥−1 = 𝑦, 𝑦 ∈ 𝑍(𝐺) 
Luego 𝑍(𝐺)⊲G, por definición. 
 
 
 
 
 
 
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12. Grupo Cociente o Factor 
Definición: Definimos 𝐺/𝑁 como el conjunto de todas las clases laterales derechas de 𝑁 en 
𝐺. 
12.1. Teorema 
 Si 𝐺 es un grupo y 𝑁 ⊲ 𝐺, entonces 𝐺/𝑁 es un grupo. (Grupo Cociente o Factor de 𝐺 por 𝑁) 
Demostración 
Tenemos que 𝐺/𝑁 = {𝑁𝑎/𝑎 ∈ 𝐺} 
Veamos que se satisfacen los axiomas de grupo. 
Clausura: 𝑁𝑎, 𝑁𝑏 ∈ 𝐺/𝑁 → (𝑁𝑎)(𝑁𝑏) = 𝑁𝑎𝑏 ∈ 𝐺/𝑁, 𝑎𝑏 ∈ 𝐺 
Asociatividad: 𝑁𝑎(𝑁𝑏𝑁𝑐) = (𝑁𝑎𝑁𝑏)𝑁𝑐 ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 
𝑁𝑎(𝑁𝑏𝑁𝑐) = 𝑁𝑎(𝑁𝑏𝑐) = 𝑁𝑎(𝑏𝑐) = 𝑁(𝑎𝑏)𝑐 = (𝑁𝑎𝑁𝑏)Nc 
Existencia del elemento neutro: Sea 𝑁𝑎 ∈ 𝐺/𝑁, 
(𝑁𝑎)(𝑁𝑒) = 𝑁𝑎𝑒 = 𝑁𝑎 
(𝑁𝑒)(𝑁𝑎) = 𝑁𝑒𝑎 = 𝑁𝑎 
Luego, el elemento neutro es 𝑁 = 𝑁𝑒 
Existencia del elemento inverso: Sea 𝑁𝑎 ∈ 𝐺/𝑁 → su inverso es 𝑁𝑎−1 ∈ 𝐺/𝑁 
(𝑁𝑎)(𝑁𝑎−1) = 𝑁𝑎𝑎−1 = 𝑁𝑒 
(𝑁𝑎−1)(𝑁𝑎) = 𝑁𝑎−1𝑎 = 𝑁𝑒 
Luego, el elemento inverso de 𝑁𝑎 es 𝑁𝑎−1 
Por tanto, 𝐺/𝑁 es un grupo. 
 
12.2. Grupo Simple 
Definición: Un grupo 𝐺 ≠ {𝑒} que no tiene más subgrupos normales que los triviales, se 
llama “Grupo Simple”. 
 
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Veamos el siguiente ejemplo: 
➢ Sea 𝐺 el grupo aditivo de los enteros y sea 𝑁 = 3ℤ. Hallar el grupo cociente, 
justificando su existencia. 
Ya hemos probado que 𝑛ℤ es un subgrupo de ℤ con la adición, donde 𝑛 ∈ ℤ+ y el Teorema 
1 nos dice que todo subgrupo de un grupo conmutativo es normal o invariante, por lo que 3ℤ es 
un subgrupo normal o invariante de ℤ con la adición. 
Como 𝑁 = 3ℤ es un subgrupo normal o invariante de ℤ, ℤ/3ℤ es grupo. 
𝑁 = {… , −3,0,3, … } 
Calculemos las clases laterales derechas 𝑁𝑎, 𝑎 ∈ ℤ 
Si 𝑎 = 0 
𝑁 + 0 = 𝑁 
Si 𝑎 = 1 
𝑁 + 1 = {… , −2,1,4, … } 
Si 𝑎 = 2 
𝑁 + 2 = {… , −1,2,5, … } 
Si 𝑎 = 3 
𝑁 + 3 = {… ,0,3,6, … } : = 𝑁 
Si 𝑎 = 4 
𝑁 + 4 = {… 1,4,7, … } : = 𝑁 + 1 y así sucesivamente a partir de 𝑎 = 3 las clases laterales 
se van repitiendo. 
Luego, el grupo cociente es: ℤ/3ℤ = {𝑁, 𝑁 + 1, 𝑁 + 2} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Bibliografía 
Dorronsoro, J. (1996). Números, grupos y anillos. Madrid, ES: ADDISON WESLEY 
Fraleigh, J. (1988). Algebra Abstracta. Primer Curso. México. ADDISON WESLEY 
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Mathematics Series. https: //doi.org/10.1007/978-3-319-77649-1 
Herstein, I (1980). Algebra moderna. Grupos. Anillos. Campos. Teoría de Galois. México. 
Editorial Trillas. 
Ortiz Granada, G. (s.f.). Teoría de Grupos. Notas de Clases. Departamento de matemática, 
FACEN-UNA