Algebra II_ML_U2

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Grupos 
 
 
 
 
Material elaborado por: 
Lic. Mercedes Noelia Ruiz Díaz Alonso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campus Universitario 
San Lorenzo, Paraguay 
 
 
 
 
Universidad Nacional de Asunción 
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Índice 
 
1. Grupos ..............................................................................................................................................3 
1.1. Grupo abeliano .........................................................................................................................5 
1.2. Proposición: “Ley de Cancelación” ...........................................................................................5 
1.3. Propiedades Fundamentales de los Grupos .............................................................................6 
1.4. Proposición ...............................................................................................................................7 
1.5. Grupos finitos ...........................................................................................................................8 
1.5.1. Construcción de los Grupos Finitos ..............................................................................8 
1.6. Algunos Grupos especiales .................................................................................................... 11 
1.6.1. Grupo de los enteros módulo n ................................................................................ 11 
1.6.1.1. Proposición ............................................................................................................ 12 
1.6.2. Grupo de simetrías del triángulo............................................................................... 12 
1.6.3. Grupo de Simetrías del Cuadrado ............................................................................. 16 
1.6.4. Grupo 𝑼𝒏 .................................................................................................................. 20 
1.6.4.1 Proposición ................................................................................................................ 21 
Bibliografía ............................................................................................................................................ 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Grupos 
Un grupo es un par (𝐺,∗) , donde 𝐺 es un conjunto no vacío, cuyos elementos verifican los 
siguientes axiomas: 
1. Clausura o cierre: 
∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐺 
 
2. Asociatividad: 
∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺, (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) 
 
3. Existencia del elemento neutro: 
∀ 𝑎 ∈ 𝐺, ∃ 𝑒 ∈ 𝐺 tal que 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 
 
4. Existencia del elemento inverso: 
∀ 𝑎 ∈ 𝐺, ∃ 𝑎−1 ∈ 𝐺 tal que 𝑎 ∗ 𝑎−1 = 𝑎−1 ∗ 𝑎 = 𝑎 
Ejemplos: 
1. Las siguientes estructuras algebraicas son grupos: (ℤ, +), (ℚ, +), (ℝ, + ), (ℂ, + ), 
(ℚ − {0},∙), (ℝ − {0},∙), (ℚ+,∙), (ℝ+,∙), (ℂ − {0},∙) 
Probaremos que (ℂ, + ) es un grupo, donde ℂ = {𝑎 + 𝑖𝑏| 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ} 
Axioma 1: Clausura o Cierre 
Sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℂ, entonces 𝑎 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑏 = 𝑒 + 𝑖𝑓 
𝑎 + 𝑏 = (𝑥 + 𝑖𝑦) + (𝑒 + 𝑖𝑓) 
𝑎 + 𝑏 = (𝑥 + 𝑒) + 𝑖(𝑦 + 𝑓) 
Si 𝑐 = 𝑥 + 𝑒, 𝑐 ∈ ℝ y si 𝑑 = 𝑦 + 𝑓, 𝑑 ∈ ℝ 
Entonces, 
𝑎 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑖𝑑 
Luego, 𝑐 + 𝑖𝑑 ∈ ℂ 
Axioma 2: Asociatividad 
Debemos demostrar que: (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℂ 
Si 𝑎 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑏 = 𝑑 + 𝑒𝑖, 𝑐 = 𝑓 + 𝑔𝑖. Entonces: 
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(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = [(𝑥 + 𝑑) + (𝑦 + 𝑒)𝑖] + (𝑓 + 𝑔𝑖) 
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = (𝑥 + 𝑑 + 𝑓) + (𝑦 + 𝑒 + 𝑔)𝑖 (1) 
Por otro lado, 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑥 + 𝑖𝑦) + [(𝑑 + 𝑓) + (𝑒 + 𝑔)𝑖] 
𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑥 + 𝑑 + 𝑓) + (𝑦 + 𝑒 + 𝑔)𝑖 (2) 
De (1) y (2) vemos que se verifica (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℂ 
Axioma 3: Existencia del elemento neutro 
Debemos probar que ∀ 𝑎 ∈ ℂ, ∃ 𝑒 = 𝑒1 + 𝑖𝑒2 ∈ ℂ tal que 𝑎 + 𝑒 = 𝑒 + 𝑎 = 𝑎 
Si 𝑎 ∈ ℂ, 𝑎 = 𝑥 + 𝑖𝑦. Entonces (𝑥 + 𝑖𝑦) + (𝑒1 + 𝑖𝑒2) = (𝑥 + 𝑖𝑦) 
 (𝑥 + 𝑒1) + (𝑦 + 𝑒2)𝑖 = (𝑥 + 𝑖𝑦) 
De aquí, 𝑥 + 𝑒1 = 𝑥 → 𝑒1 = 0 ; 𝑦 + 𝑒2 = 𝑦 → 𝑒2 = 0 
 
Luego, 𝑒 = 0 + 𝑖0: = 0 ∈ ℂ Cero Complejo 
Axioma 4: Existencia del elemento inverso 
∀ 𝑎 ∈ ℂ, ∃ 𝑎−1 = 𝑢 + 𝑖𝑣 ∈ ℂ tal que 𝑎 + 𝑎−1 = 𝑎−1 + 𝑎 = 0 
𝑎 + 𝑎−1 = 0 
𝑎 ∈ ℂ → 𝑎 = 𝑥 + 𝑖𝑦 
 Entonces, (𝑥 + 𝑖𝑦) + (𝑢 + 𝑖𝑣) = 0 
(𝑥 + 𝑢) + 𝑖(𝑦 + 𝑣) = 0 + 0𝑖 
De aquí, 𝑥 + 𝑢 = 0 y 𝑦 + 𝑣 = 0 
Luego 𝑢 = −𝑥, 𝑣 = −𝑦 
Entonces, 𝑎−1 = −(𝑥 + 𝑖𝑦) = −𝑎 
Por tanto, (ℂ, + ) es un grupo. 
 
2. El conjunto ({2𝑛 + 1: 𝑛 ∈ ℤ}, +) donde 𝐺 = {2𝑛 + 1: 𝑛 ∈ ℤ}, no es un grupo porque 
no se satisface el axioma de clausura. 
Sean 𝑛1 = −1 y 𝑛2 = 2 
(2 𝑛1 + 1) + (2 𝑛2 + 1) = 2(𝑛1 + 𝑛2) + 2 = 2(−1 + 2) + 2 = 4 ∉ 𝐺 porque ∄𝑛 ∈ ℤ tal 
que 2𝑛 + 1 = 4 → 𝑛 =
3
2
∉ ℤ 
Luego, no se verifica el axioma de Clausura. 
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1.1. Grupo abeliano 
Un grupo abeliano es un grupo conmutativo, esto es: (𝐺,∗) es abeliano si se satisface el 
siguiente axioma: 
Conmutatividad: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 
Por ejemplo, las siguientes estructuras son grupos abelianos: 
(ℤ, +), (ℝ, +), (ℝ − {0},∙) 
 
1.2. Proposición: “Ley de Cancelación” 
Si (𝐺,∗) es un grupo, se tienen las siguientes propiedades ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺: 
𝒂 ∗ 𝑏 = 𝒂 ∗ 𝑐 → 𝑏 = 𝑐 
𝑎 ∗ 𝒃 = 𝑐 ∗ 𝒃 → 𝑎 = 𝑐 
Demostración 
Primero probaremos 𝒂 ∗ 𝑏 = 𝒂 ∗ 𝑐 → 𝑏 = 𝑐 
Como (𝐺,∗) es un grupo, ∃ 𝑎−1 ∈ 𝐺 tal que 𝑎 ∗ 𝑎−1 = 𝑎−1 ∗ 𝑎 = 𝑒 
Por hipótesis 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 ∗ 𝑐 
𝑎−1 ∗ (𝑎 ∗ 𝑏) = 𝑎−1 ∗ (𝑎 ∗ 𝑐) Operando 𝑎−1 miembro a miembro 
(𝑎−1 ∗ 𝑎) ∗ 𝑏 = (𝑎−1 ∗ 𝑎) ∗ 𝑐 Propiedad asociativa 
𝑒 ∗ 𝑏 = 𝑒 ∗ 𝑐 Existencia del elemento inverso 
𝑏 = 𝑐 Existencia del elemento neutro 
Ahora probaremos 𝑎 ∗ 𝒃 = 𝑐 ∗ 𝒃 → 𝑎 = 𝑐 
Como (𝐺,∗) es un grupo, ∃ 𝑏−1 ∈ 𝐺 tal que 𝑏 ∗ 𝑏−1 = 𝑏−1 ∗ 𝑏 = 𝑒 
Por hipótesis 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑐 ∗ 𝑏 
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑏−1 = (𝑐 ∗ 𝑏) ∗ 𝑏−1 Operando 𝑏−1 miembro a miembro 
𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑏−1) = 𝑐 ∗ (𝑏 ∗ 𝑏−1) Propiedad asociativa 
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑐 ∗ 𝑒 Existencia del elemento inverso 
𝑎 = 𝑐 Existencia del elemento neutro 
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1.3. Propiedades Fundamentales de los Grupos 
1. Existencia de un único elemento neutro: ∀ 𝑎 ∈ 𝐺, ∃! 𝑒 ∈ 𝐺: 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 
Supongamos 𝑒1 y 𝑒2 son elementos neutros en 𝐺, 
𝑎 ∗ 𝑒1 = 𝑒1 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∀𝑎 ∈ 𝐺 (1) 
 𝑎 ∗ 𝑒2 = 𝑒2 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∀𝑎 ∈ 𝐺 (2) 
De (1)y (2), 𝑎 ∗ 𝑒1 = 𝑎 ∗ 𝑒2 y 𝑒1 ∗ 𝑎 = 𝑒2 ∗ 𝑎 
Y por la ley de Cancelación tenemos que 𝑒1 = 𝑒2 
Por tanto, el elemento neutro es único. 
2. Existencia de un único elemento inverso: 
∀ 𝑎 ∈ 𝐺, ∃! 𝑎−1 ∈ 𝐺: 𝑎 ∗ 𝑎−1 = 𝑎−1 ∗ 𝑎 = 𝑒 
Sea𝑎 ∈ 𝐺, supongamos 𝑎1y 𝑎2son elementos inversos de 𝑎 ∈ 𝐺, entonces: 
𝑎 ∗ 𝑎1 = 𝑎1 ∗ 𝑎 = 𝑒 (1) 
𝑎 ∗ 𝑎2 = 𝑎2 ∗ 𝑎 = 𝑒 (2) 
De (1)y (2), 𝑎 ∗ 𝑎1 = 𝑎 ∗ 𝑎2 y 𝑎1 ∗ 𝑎 = 𝑎2 ∗ 𝑎 
Y por la ley de Cancelación tenemos que 𝑎1 = 𝑎2 
Por tanto, el elemento inverso es único. 
3. Idempotencia del neutro: 
 ∃! 𝑥 = 𝑒 ∈ 𝐺: 𝑥2 = 𝑥 ∗ 𝑥 = 𝑥 
Probaremos que 𝑥 = 𝑒 donde 𝑒 es el elemento neutro del grupo 𝐺 
Tenemos que 𝑥2 = 𝑥 
𝑥 ∗ 𝑥 = 𝑥 ya que 𝑥2 = 𝑥 ∗ 𝑥 
(𝑥 ∗ 𝑥) ∗ 𝑥−1 = 𝑥 ∗ 𝑥−1 Operando miembro a miembro𝑥−1 
𝑥 ∗ (𝑥 ∗ 𝑥−1) = 𝑒 Asociatividad y elemento inverso 
𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑒 Elemento inverso 
𝑥 = 𝑒 Elemento neutro 
 
 
 
 
 
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4. Inverso del Inverso: ∀ 𝑎 ∈ 𝐺, (𝑎−1)−1 = 𝑎 
Como (𝐺,∗) es grupo, ∀𝑥 ∈ 𝐺, ∃ 𝑥−1 ∈ 𝐺: 𝑥 ∗ 𝑥−1 = 𝑥−1 ∗ 𝑥 = 𝑒 
Si 𝑥 = 𝑎, entonces 𝑎−1 ∈ 𝐺 
Si 𝑥 = 𝑎−1, ∃ 𝑥−1 = (𝑎−1)−1 ∈ 𝐺 tal que 𝑎−1 ∗ (𝑎−1)−1 = 𝑒 
Tenemos que 𝑎−1 ∗ (𝑎−1)−1 = 𝑒 
𝑎 ∗ ( 𝑎−1 ∗ (𝑎−1)−1) = 𝑎 ∗ 𝑒 Operando 𝑎 miembro a miembro 
(𝑎 ∗ 𝑎−1) ∗ (𝑎−1)−1 = 𝑎 Asociatividad y elemento neutro 
𝑒 ∗ (𝑎−1)−1 = 𝑎 Elemento inverso 
(𝑎−1)−1 = 𝑎 Elemento neutro 
1.4. Proposición 
La siguiente proposición nos muestra una propiedad que se verifica en los grupos abelianos. 
Proposición: Sea (G,∗) un grupo. Las siguientes proposiciones son equivalentes: 
I. (𝐺,∗) es abeliano 
II. (𝑎 ∗ 𝑏)−1 = 𝑎−1 ∗ 𝑏−1 
 
Demostración 
Debemos probar que la proposición I. implica II. y que II. implica I., pues son equivalentes. 
Probaremos primero que I. implica II 
I.→ II. 
Partiremos de la siguiente propiedad: 
(𝑎 ∗ 𝑏)−1 = 𝑏−1 ∗ 𝑎−1 ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 
Como (𝐺,∗) es abeliano, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, 
Entonces, (𝑎 ∗ 𝑏)−1 = 𝑎−1 ∗ 𝑏−1 ya que 𝑎−1, 𝑏−1 ∈ 𝐺 
II.→ I. 
Por hipótesis:(𝑎 ∗ 𝑏)−1 = 𝑎−1 ∗ 𝑏−1(1) 
Por otro lado, (𝑎 ∗ 𝑏)−1 = 𝑏−1 ∗ 𝑎−1(2) se verifica en cualquier grupo. 
Como el inverso de (𝑎 ∗ 𝑏)−1 en (1) y (2) es 𝑎 ∗ 𝑏, tenemos que: 
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𝑎 ∗ 𝑏 = (𝑎−1 ∗ 𝑏−1)−1y𝑎 ∗ 𝑏 = (𝑏−1 ∗ 𝑎−1)−1 respectivamente. 
De aquí, (𝑎−1 ∗ 𝑏−1)−1 = (𝑏−1 ∗ 𝑎−1)−1 por transitividad. 
Luego, (𝑎−1)−1 ∗ (𝑏−1)−1 = (𝑏−1)−1 ∗ (𝑎−1)−1 por propiedad (1) 
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎por propiedad inverso del inverso. 
Por tanto, (𝐺,∗) es abeliano. 
1.5. Grupos finitos 
Los grupos finitos pueden definirse totalmente mediante tablas. Enumeraremos todas las 
estructuras posibles de grupos que tengan un número finito 𝑛 de elementos, donde 
𝑛 = 1, 2, 3, 4, 5, 6. 
 
 
 
Para construir grupos finitos, hasta orden 𝑛 = 6, respetaremos las siguientes reglas: 
1. En cada fila y columna, cada elemento se encuentra solo una vez. 
2. El elemento neutro, simbolizado por “𝑒” ocupa un lugar simétrico en la tabla, con relación 
a la diagonal principal. 
3. Se verifica la propiedad asociativa. 
1.5.1. Construcción de los Grupos Finitos 
En cada caso, respetaremos las reglas de construcción dadas. 
Comenzaremos con 𝒏 = 𝟏 
Este grupo posee un solo elemento, el neutro. Se verifica de forma particular la propiedad 
asociativa: 
 ∗ 𝑒
 𝑒 𝑒
 (𝑒 ∗ 𝑒) ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ (𝑒 ∗ 𝑒) 
 
En este caso, 𝐺 = {𝑒} 
 
Si (𝑮,∗) es un grupo finito, el Orden de (𝑮,∗) es el número de elementos que 
posee y lo denotamos por |𝑮|. 
 
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Para 𝒏 = 𝟐, tenemos una sola estructura posible. Supongamos 𝐺 = {𝑒, 𝑎} 
 
∗ 𝑒 𝑎
𝑒 𝑒 𝑎
𝑎 𝑎 𝑒
 (𝑒 ∗ 𝑎) ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ (𝑎 ∗ 𝑒) y (𝑒 ∗ 𝑎) ∗ 𝑎 = 𝑒 ∗ (𝑎 ∗ 𝑎) 
 
Definición de la Estructura: Cada elemento es su propio inverso. 
 
 
 
 
 
 
Para 𝒏 = 𝟑, seguiremos las siguientes instrucciones para la construcción de la tabla, donde 
𝐺 = {𝑒, 𝑎, 𝑏}. 
✓ En primer lugar, se determina la elección de los elementos que serán inversos uno de 
otro. 
✓ A continuación, se colocarán los demás elementos, atendiendo que en cada fila y 
columna no se repitan los elementos. 
✓ Por último, se verifica que se cumpla la propiedad asociativa. 
∗ 𝒆 𝒂 𝒃 
𝒆 𝑒 𝑎 𝑏 
𝒂 𝑎 𝑏 𝑒 
𝒃 𝑏 𝑒 𝑎 
Para 𝒏 = 𝟒, existen dos estructuras posibles. Supongamos 𝐺 = {𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐 } 
Primera Estructura 
∗ 𝒆 𝒂 𝒃 𝒄 
𝒆 𝑒 𝑎 𝑏 𝑐 
𝒂 𝑎 𝑒 𝑐 𝑏 
𝒃 𝑏 𝑐 𝑒 𝑎 
𝒄 𝑐 𝑏 𝑎 𝑒 
 
 
 
Recordar: 
1. En cada fila y columna, cada elemento se encuentra solo una vez. 
2. El elemento neutro, simbolizado por “𝐞” ocupa un lugar simétrico en 
la tabla, con relación a la diagonal principal. 
3. Se verifica la propiedad asociativa. 
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Esta estructura es conocida como “Grupo de Klein” Notación: 𝑉 = {𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐} 
Definición del Grupo de Klein: Construimos atendiendo las siguientes propiedades: 
1. Cada elemento es su propio inverso. 
2. Si operamos dos elementos distintos del neutro, el resultado es el tercer elemento. 
Segunda Estructura 
∗ 𝒆 𝒂 𝒃 𝒄 
𝒆 𝑒 𝑎 𝑏 𝑐 
𝒂 𝑎 𝑒 𝑐 𝑏 
𝒃 𝑏 𝑐 𝑎 𝑒 
𝒄 𝑐 𝑏 𝑒 𝑎 
Para 𝒏 = 𝟓, existe una sola estructura posible. Supongamos 𝐺 = {𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 } 
∗ 𝒆 𝒂 𝒃 𝒄 𝒅 
𝒆 𝑒 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 
𝒂 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 
𝒃 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑎 
𝒄 𝑐 𝑑 𝑒 𝑎 𝑏 
𝒅 𝑑 𝑒 𝑎 𝑏 𝑐 
 
Para 𝒏 = 𝟔, existen dos estructuras posibles. Supongamos 𝐺 = {𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑓} 
Primera Estructura 
∗ 𝒆 𝒂 𝒃 𝒄 𝒅 𝒇 
𝒆 𝑒 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 
𝒂 𝑎 𝑑 𝑒 𝑏 𝑓 𝑐 
𝒃 𝑏 𝑒 𝑎 𝑓 𝑐 𝑑 
𝒄 𝑐 𝑓 𝑑 𝑎 𝑒 𝑏 
𝒅 𝑑 𝑐 𝑓 𝑒 𝑏 𝑎 
𝒇 𝑓 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎 𝑒 
Segunda Estructura 
∗ 𝒆 𝒂 𝒃 𝒄 𝒅 𝒇 
𝒆 𝑒 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 
𝒂 𝑎 𝑒 𝑐 𝑓 𝑏 𝑑 
𝒃 𝑏 𝑓 𝑒 𝑑 𝑐 𝑎 
𝒄 𝑐 𝑑 𝑓 𝑒 𝑎 𝑏 
𝒅 𝑑 𝑐 𝑎 𝑏 𝑓 𝑒 
𝒇 𝑓 𝑏 𝑑 𝑎 𝑒 𝑐 
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1.6. Algunos Grupos especiales 
1.6.1. Grupo de los enteros módulo n 
La siguiente estructura algebraica: (ℤ𝑛, +) es un grupo abeliano. 
Sabemos que ℤ𝑛 es el conjunto de los enteros módulo 𝑛 y en ella se define la operación de 
suma mediante [𝑎] + [𝑏] = [𝑎 + 𝑏] , la cual está bien definida, pues si 
𝑎1 ≡ 𝑎(𝑛) → [𝑎1] = [𝑎] y 𝑏1 ≡ 𝑏(𝑛) → [𝑏1] = [𝑏], entonces 
𝑎1 + 𝑏1 ≡ 𝑎 + 𝑏(𝑛) → [𝑎1] + [𝑏1] = [𝑎 + 𝑏] 
Luego, [𝑎] + [𝑏] = [𝑎 + 𝑏], esto es ℤ𝑛 es cerrado respecto a la suma. 
Veamos ahora que se verifica la asociatividad: 
Sean [𝑎], [𝑏], [𝑐] ∈ ℤ𝑛 , 
([𝑎] + [𝑏]) + [𝑐] = [𝑎 + 𝑏] + [𝑐] = [(𝑎 + 𝑏) + 𝑐] = [𝑎 + (𝑏 + 𝑐)] = [𝑎] + [𝑏 + 𝑐] 
= [𝑎] + ([𝑏] + [𝑐]) 
En el Teorema que resume las propiedades de ℤ𝑛también hemos visto que la clase [0] es el 
elemento neutro para la suma. 
En efecto, si [𝑎], [𝑏] ∈ ℤ𝑛 tal que [𝑎] + [𝑏] = [𝑎], tenemos que: 
[𝑎 + 𝑏] = [𝑎] → 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 → 𝑏 = 0 
Entonces, [𝑏] = [0] 
Por tanto, ∀ [𝑎] ∈ ℤ𝑛 existe un único elemento “[0]” tal que 
[𝑎] + [0] = [𝑎] 
Ahora, para determinar el inverso respecto a la suma de cualquier elemento de ℤ𝑛, 
establecemos la propiedad que debe verificar: 
Si [𝑎], [𝑏] ∈ ℤ𝑛 tal que [𝑎] + [𝑏] = [0] , tenemos que: 
[𝑎 + 𝑏] = [0] → 𝑎 + 𝑏 = 𝑛 → 𝑏 = 𝑛 − 𝑎 
Como 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 (𝑛), tenemos que [𝑛] = [0], por esa razón 𝑎 + 𝑏 = 𝑛 
Luego, el inverso respecto a la suma de [𝑎] ∈ ℤ𝑛 es [𝑛 − 𝑎] 
Verificamos los cuatro axiomas que debe satisfacer un grupo, con esto tenemos la certeza de 
que (ℤ𝑛, +) lo es. 
Además de estos cuatro axiomas, se satisface un quinto axioma, el de conmutatividad. 
Si tomamos dos elementos [𝑎], [𝑏] ∈ ℤ𝑛, [𝑎] + [𝑏] = [𝑎 + 𝑏] = [𝑏 + 𝑎] ya que si 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, 
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 
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Luego, [𝑎] + [𝑏] = [𝑏] + [𝑎] ya que [𝑏 + 𝑎] = [𝑏] + [𝑎] 
Por tanto, (ℤ𝑛, +) es un grupo abeliano. 
Observación: ℤ𝑛 no es un grupo con la operación de multiplicación de clases residuales, basta 
que observemos que [0] no tiene inverso. 
Si consideramos (ℤ𝑛
∗,⋅), donde ℤ𝑛
∗ = ℤ𝑛 − {0}, es grupo solo cuando 𝑛 es primo, ya que si 
𝑛 es compuesto no se cumple la ley de cancelación, una propiedad que se verifica en todo 
grupo. 
1.6.1.1. Proposición 
Si 𝑝 es un número primo, entonces (ℤ𝑝
∗, ⋅) es un grupo abeliano con 𝑝 − 1 elementos. 
Ejemplos: 
ℤ3
∗ = {[1], [2]}; ℤ5
∗ = {[1], [2], [3], [4]}; ℤ7
∗ = {[1], [2], [3], [4], [5], [6]} 
 
1.6.2. Grupo de simetrías del triángulo 
Simetría: es una transformación que aplicada a la figura la deja invariante, es decir, no altera 
su aspecto. 
Consideremos el triángulo equilátero de vértices 1, 2, 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sean 𝐵1, 𝐵2,𝐵3 las bisectrices de sus ángulos y 𝑂 su punto de intersección (incentro) 
Representaremos las simetrías del triángulo equilátero: rotaciones y reflexiones, de la 
siguiente manera: 
 
 
Figura 1: Triángulo equilátero 
 
 
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Rotación de ángulos 
La rotación que deja invariante la figura es de 120° 
 
 
 
 
 
 
 𝒓𝟐 = (
𝟏 𝟐 𝟑
𝟐 𝟑 𝟏
) 
 
 
 
 
 
 
𝒓𝟑 = (
𝟏 𝟐 𝟑
𝟑 𝟏 𝟐
) 
 
 
 
 
 
 
 
 𝒓𝟏 = (
𝟏 𝟐 𝟑
𝟏 𝟐 𝟑
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Triángulo equilátero 
indicando rotación de 120° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3: Triángulo equilátero con una 
rotación de 120° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4: Triángulo equilátero indicando 
rotación de 240° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5: Triángulo equilátero con una 
rotación de 240° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6: Triángulo equilátero indicando 
rotación de 360° 
 
Figura 7: Triángulo equilátero con una 
rotación de 360° 
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Reflexiones respecto a las bisectrices: 𝑩𝟏, 𝑩𝟐, 𝑩𝟑 
 
 
 
 
 
 
 𝒔𝟏 = (
𝟏 𝟐 𝟑
𝟏 𝟑 𝟐
) 
 
 
 
 
 
 
 𝒔𝟐 = (
𝟏 𝟐 𝟑
𝟑 𝟐 𝟏
) 
 
 𝒔𝟑 = (
𝟏 𝟐 𝟑
𝟐 𝟏 𝟑
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8: Bisectriz 𝐵1 del triángulo 
equilátero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9: Reflexión respecto a la bisectriz 
𝐵1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10: Bisectriz 𝐵2 del triángulo 
equilátero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11: Reflexión respecto a la bisectriz 𝐵2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13: Reflexión respecto a la 
bisectriz 𝐵3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12: Bisectriz 𝐵3 del triángulo 
equilátero. 
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Finalmente, las simetrías de un triángulo equilátero son: 
 𝒓𝟏 = (
𝟏 𝟐 𝟑
𝟏 𝟐 𝟑
) , 𝒓𝟐 = (
𝟏 𝟐 𝟑
𝟐 𝟑 𝟏
) , 𝒓𝟑 = (
𝟏 𝟐 𝟑
𝟑 𝟏 𝟐
) 
 
𝒔𝟏 = (
𝟏 𝟐 𝟑
𝟏 𝟑 𝟐
) , 𝒔𝟐 = (
𝟏 𝟐 𝟑
𝟑 𝟐 𝟏
), 𝒔𝟑 = (
𝟏 𝟐 𝟑
𝟐 𝟏 𝟑
) 
Así, tenemos el conjunto de simetrías del triángulo equilátero 𝑺 = {𝒓𝟏, 𝒓𝟐, 𝒓𝟑, 𝒔𝟏, 𝒔𝟐, 𝒔𝟑} 
Si componemos estos dos movimientos (rotaciones y reflexiones),resultan nuevamente 
elementos del conjunto 𝑆. Esto es, la composición es una operación cerrada en 𝑆. 
En la siguiente tabla de operaciones podemos observar todas las composiciones posibles. 
∘ 𝒓𝟏 𝒓𝟐 𝒓𝟑 𝒔𝟏 𝒔𝟐 𝒔𝟑 
𝒓𝟏 𝑟1 𝑟2 𝑟3 𝑠1 𝑠2 𝑠3 
𝒓𝟐 𝑟2 𝑟3 𝑟1 𝑠2 𝑠3 𝑠1 
𝒓𝟑 𝑟3 𝑟1 𝑟2 𝑠3 𝑠1 𝑠2 
𝒔𝟏 𝑠1 𝑠3 𝑠2 𝑟1 𝑟3 𝑟2 
𝒔𝟐 𝑠2 𝑠1 𝑠3 𝑟2 𝑟1 𝑟3 
𝒔𝟑 𝑠3 𝑠2 𝑠1 𝑟3 𝑟2 𝑟1 
 
Veamos, por ejemplo: 
Si aplicamos al triángulo la rotación 𝒓𝟐 y luego la reflexión 𝒔𝟑, tenemos: 
𝒓𝟐 ∘ 𝒔𝟑 𝒙 
𝟏 → 𝟐 ∧ 𝟐 → 𝟏 entonces 𝟏 → 𝟏 
𝟐 → 𝟑 ∧ 𝟑 → 𝟑 entonces 𝟐 → 𝟑 
𝟑 → 𝟏 ∧ 𝟏 → 𝟐 entonces 𝟑 → 𝟐 
 
Si nos fijamos en la cuarta columna, la composición resultante se trata de la reflexión 
𝒔𝟏; 𝒔𝟏 = (
𝟏 𝟐 𝟑
𝟏 𝟑 𝟐
). Entonces, tenemos: 
𝒓𝟐 ∘ 𝒔𝟑 𝒔𝟏 
𝟏 → 𝟐 ∧ 𝟐 → 𝟏 entonces 𝟏 → 𝟏 
𝟐 → 𝟑 ∧ 𝟑 → 𝟑 entonces 𝟐 → 𝟑 
𝟑 → 𝟏 ∧ 𝟏 → 𝟐 entonces 𝟑 → 𝟐 
 
Notamos además quese cumplen los axiomas de grupo, es decir, se verifican: la 
asociatividad, existencia del elemento neutro (𝑒 = 𝑟1), y existencia del elemento inverso. 
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Por tanto, el par (𝑆, ∘) tiene estructura de grupo y se lo denomina “Grupo de las Simetrías 
del triángulo” 
 
1.6.3. Grupo de Simetrías del Cuadrado 
Los movimientos que dejan invariante al cuadrado son rotaciones y reflexiones, y se 
denominan Movimientos Rígidos del Cuadrado, los cuales representaremos de la siguiente 
manera: 
Rotación 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑨𝟏 = (
𝟏 𝟐 
𝟒 𝟏 
𝟑 𝟒
𝟐 𝟑
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑨𝟐 = (
𝟏 𝟐 
𝟑 𝟒 
𝟑 𝟒
𝟏 𝟐
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14: Cuadrado de vértices 1, 2, 3, 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15: Rotación de 90° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 16: Cuadrado de vértices 1, 2, 3, 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 17: Rotación de 180° 
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𝑨𝟑 = (
𝟏 𝟐
𝟐 𝟑
 𝟑 𝟒
 𝟒 𝟏
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑨𝟒 = (
𝟏 𝟐 
𝟏 𝟐 
 
𝟑 𝟒
𝟑 𝟒
) 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 18: Cuadrado de vértices 1, 2, 3, 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 19: Rotación de 270° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 20: Cuadrado de vértices 1, 2, 3, 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 21: Rotación de 360° 
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Reflexiones 
𝑹𝒙 = (
𝟏 𝟐
𝟒 𝟑 
 
𝟑 𝟒
𝟐 𝟏
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑹𝒚 = (
𝟏 𝟐
𝟐 𝟏
 𝟑 𝟒
 𝟒 𝟑
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 23: Reflexión respecto al eje 𝑥 
 
 
 
 
 
 
Figura 22: Cuadrado indicando Reflexión 
respecto al eje 𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 24: Cuadrado indicando Reflexión 
respecto al eje 𝑦 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 25: Reflexión respecto al eje 𝑦 
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 𝑹𝟏 = (
𝟏 𝟐 
𝟏 𝟒 
𝟑 𝟒
𝟑 𝟐
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑹𝟐 = (
𝟏 𝟐
𝟑 𝟐
 𝟑 𝟒
 𝟏 𝟒
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 26: Cuadrado indicando Reflexión respecto a 
una diagonal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 27: Reflexión respecto a diagonal de extremos 
1 y 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 29: Reflexión respecto a diagonal de 
extremos 2 y 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 28: Cuadrado indicando Reflexión 
respecto a una diagonal. 
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Luego, tenemos el Conjunto de Simetrías del Cuadrado: 
𝑺𝟒 = {𝑨𝟏, 𝑨𝟐, 𝑨𝟑, 𝑨𝟒, 𝑹𝒙, 𝑹𝒚, 𝑹𝟏, 𝑹𝟐} 
Este conjunto 𝑺𝟒 bajo la composición de movimientos forma el “Grupo de Simetrías del 
Cuadrado”, denotado por (𝑺𝟒, ∘). 
1.6.4. Grupo 𝑼(𝒏) 
Denotaremos por 𝑈(𝑛) al conjunto de elementos de ℤ𝑛 tal que 𝑚𝑐𝑑(𝑎, 𝑛) = 1, 𝑎 ∈ ℤ𝑛 
𝑈(𝑛) = {[𝑎] ∈ ℤ𝑛 ̸ (𝑎, 𝑛) = 1} donde(𝑎, 𝑛): = 𝑚𝑐𝑑(𝑎, 𝑛) 
➢ Observación:|𝑈(𝑛)| = 𝜑(𝑛) donde 𝜑(𝑛): número de enteros positivos, menores 
que 𝑛 y primos con 𝑛. 
➢ 𝑈(𝑛) = ℤ𝑛
∗: = ℤ𝑛 − {0} si 𝑛 es primo. 
 
 
 
 
Veamos de ejemplo los siguientes conjuntos: 
𝑈(6) = {1, 5} 
𝑈(5) = {1, 2, 3, 4} 
𝑈(7)= {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
𝑈(12) = {1, 5, 7, 11} 
Propiedades importantes de la función 𝝋(𝒏) 
1. Si 𝑝 es primo, 𝜑(𝑝) = 𝑝 − 1 
2. Si 𝑝 es primo y 𝛼 ∈ ℤ+, 𝜑(𝑝𝛼) = 𝑝𝛼 − 𝑝𝛼−1 
3. Si 𝑚𝑐𝑑(𝑟, 𝑠) = 1, entonces 𝜑(𝑟 ∙ 𝑠) = 𝜑(𝑟) ∙ 𝜑(𝑠) 
4. 𝜑(𝑛2) = 𝑛 ∙ 𝜑(𝑛) ∀ 𝑛 ∈ ℤ+ 
 
 
 
 
 
𝑼(𝒏) también es conocido como el conjunto de los elementos de ℤ𝒏 
que tiene inverso, respecto a la multiplicación mód. 𝒏 
 
La función 𝝋, 𝝋: ℤ+ → ℤ+ es llamada función de Euler 
 
 
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1.6.4.1 Proposición 
𝑈(𝑛) con la multiplicación mod 𝑛 es un grupo. 
Demostración 
Probaremos que (𝑈(𝑛), ∙) satisface los axiomas de grupo. 
1. Clausura o Cierre: Sean [𝑎], [𝑏] ∈ 𝑈(𝑛) → [𝑎] ∙ [𝑏] = [𝑎𝑏] ∈ 𝑈(𝑛) 
En efecto, sean [𝑐], [𝑑] los inversos de [𝑎], [𝑏] respectivamente, 
Entonces, 
[𝑐𝑑] ∙ [𝑎𝑏] = [(𝑐𝑑)(𝑎𝑏)] = [(𝑐𝑎)(𝑑𝑏)] = [𝑐𝑎][𝑑𝑏] = ([𝑐][𝑎])([𝑑][𝑏]) = [1][1] = [1] 
De manera análoga, [𝑎𝑏] ∙ [𝑐𝑑] = 1 
Luego, [𝑎𝑏]tiene inverso respecto a la multiplicación módulo 𝑛, esto es [𝑎𝑏] ∈ 𝑈(𝑛). 
2. Asociatividad: Como 𝑈(𝑛) ⊂ ℤ𝑛 y la multiplicación es asociativa en ℤ𝑛, entonces también 
se verifica la asociatividad en 𝑈(𝑛). 
3. Existencia del elemento neutro: La clase del [1] es el elemento neutro para el producto 
en ℤ𝑛 y como 𝑈(𝑛) ⊂ ℤ𝑛, tenemos que [1] también es el elemento neutro en 𝑈(𝑛). 
4. Existencia del elemento inverso: 
En el Teorema que resume las propiedades que satisface ℤ𝑛 como sistema algebraico, se 
enuncia que: si 𝑛 es primo, para cada [𝑎] ∈ ℤ𝑛 con [𝑎] ≠ [0] tiene inverso multiplicativo 
y es único y como 𝑈(𝑛) ⊂ ℤ𝑛, también se satisface esta propiedad en 𝑈(𝑛). 
 
Por tanto, (𝑈(𝑛), ∙) es un grupo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Bibliografía 
Dorronsoro, J. (1996). Números, grupos y anillos. Madrid, ES: ADDISON WESLEY 
Pakhrou, T. (2013, enero). Algebra II. RUA. http: //hdl.handle.net/10045/26435 
Morales, M. (2007, abril). Grupos de Simetrías. https://es.slideshare.net/inesmorales/grupo-
de-simetras 
Ortiz Granada, G. (s.f.). Teoría de Grupos. Notas de Clases. Departamento de matemática, 
FACEN-UNA 
 
 
 
https://es.slideshare.net/inesmorales/grupo-de-simetras
https://es.slideshare.net/inesmorales/grupo-de-simetras