Algebra II_ML_U1_2

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Estructuras algebraicas 
 
 
 
 
Material elaborado por: 
Lic. Mercedes Noelia Ruiz Díaz Alonso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campus Universitario 
San Lorenzo, Paraguay 
 
 
 
 
Universidad Nacional de Asunción 
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales 
Departamento de Educación a Distancia 
 
 
 
 
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Índice 
 
1. Operaciones binarias o Leyes de Composición Interna ...................................................................3 
1.1. Propiedades de las operaciones binarias .................................................................................5 
2. Estructuras algebraicas ....................................................................................................................6 
2.1. Magmas ....................................................................................................................................6 
2.2. Semigrupos ...............................................................................................................................7 
2.3. Monoides .................................................................................................................................9 
3. Grupos ..............................................................................................................................................9 
4. Ejemplos ........................................................................................................................................ 10 
Bibliografía ............................................................................................................................................ 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Operaciones binarias o Leyes de Composición Interna 
Sea 𝐸 un conjunto no vacío. Una operación binaria o ley de composición en 𝐸, es una 
función∗∶ 𝐸 × 𝐸 → 𝐸 donde (𝑥, 𝑦) → 𝑧 =∗ (𝑥, 𝑦) = 𝑥 ∗ 𝑦 
Observación: El conjunto 𝑬 es cerrado con respecto a la operación ∗ 
Veamos los siguientes ejemplos: 
1. En el conjunto ℤ ; ∗: ℤ × ℤ → ℤ 
Si ∗ es la suma o el producto usual enℤ, tenemos que: (𝑎, 𝑏) ∈ ℤ × ℤ → 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ ℤ 
Por lo que, la suma y el producto son operaciones binarias en ℤ. 
 
2. Además, la suma y el producto, son operaciones binarias en ℕ, ℚ y ℝ. 
 
3. En el conjunto ℕ ; ∗: ℕ × ℕ → ℕ 
Si (𝑎, 𝑏) ∈ ℕ × ℕ → 𝑎 ∗ 𝑏 =
𝑎
𝑏
 , entonces ∗ no es una operación binaria en ℕ. 
Tomando 𝑎 = 2,𝑏 = 5, tenemos que 2 ∗ 5 =
2
5
∉ ℕ 
4. En ℝ; ∗: ℝ × ℝ → ℝ 
Si (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ × ℝ → 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎2 + 𝑏² ∈ ℝ, entonces ∗ es una operación binaria en ℝ. 
 
 
 
 
 
 
 
5. Sea 𝐴 = {0, 1}. ¿Es 𝐴 cerrado respecto a la suma? 
Observamos la definición y notamos que la misma pregunta puede ser replanteada 
de la siguiente manera: 
¿Es +: 𝐴 × 𝐴 → 𝐴 una operación binaria en 𝐴? 
Construimos una tabla de operaciones para obtenerla suma de todos los pares 
ordenados de 𝐴 × 𝐴, de la siguiente forma: 
 
+ 0 1
0 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1
1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 2
 
 
Vemos que (1, 1) → + (1, 1) = 1 + 1 = 2 ∉ 𝐴. 
Luego, la suma (+) no es una operación binaria en 𝐴. 
Concluimos que 𝐴 no es cerrado respecto a la suma. 
En muchos casos, una operación binaria en un conjunto finito se define 
mediante una tabla y de hecho suele ser la mejor manera de representar la 
operación. 
 
 
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De manera más general, si 𝐴 = {𝑎, 𝑏} es un conjunto finito y ∗ una operación en 𝐴, tenemos 
que: 
∗ 𝑎 𝑏
𝑎 𝑎 ∗ 𝑎 𝑎 ∗ 𝑏
𝑏 𝑏 ∗ 𝑎 𝑏 ∗ 𝑏
 
 
 
Veamos en ℤ𝑛 para 𝑛 = 3 con la operación ∗ = + 
 ℤ3 = {0, 1, 2} 
+ 0 1 2 
 0 0 + 0 0 +1 0 + 2 
 1 1 + 0 1 + 1 1 + 2 
 2 2 + 0 2 + 1 2 + 2 
 
Efectuamos la operación indicada 
(0, 0) → + (0, 0) = 0 + 0 = 0 
(1, 0) → + (1, 0) = 1 + 0 = 1 
(2, 0) → + (2, 0) = 2 + 0 = 2 
(0, 1) → + (0, 1) = 0 + 1 = 1 
(0, 2) → + (0, 2) = 0 + 2 = 2 
(1, 1) → + (1, 1) = 1 + 1 = 2 
(1, 2) → + (1, 2) = 1 + 2 = 3 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑(3) 
(2, 1) → + (2, 1) = 2 + 1 = 3 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑(3) 
(2, 2) → + (2, 2) = 2 + 2 = 4 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑(3) 
 
Luego, tenemos que la tabla queda de la siguiente manera: 
 
 + 0 1 2 
 0 0 1 2 
 1 1 2 0 
 2 2 0 1 
 
Vemos que todos los elementos de la tabla pertenecen a ℤ3, por lo que la suma es una 
operación binaria en ℤ3 
 
 
 
 
 
 
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1.1. Propiedades de las operaciones binarias 
Una operación binaria ∗ en un conjunto 𝐸 podría tener las siguientes propiedades: 
1. Asociatividad 
Si ∗ es asociativa, entonces (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐸 
 
2. Conmutatividad 
Si ∗ es conmutativa, entonces 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐸 
 
3. Existencia del elemento neutro 
∀ 𝑎 ∈ 𝐸, ∃ 𝑒 ∈ 𝐸 tal que 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 
 
4. Existencia del elemento inverso 
∀ 𝑎 ∈ 𝐸, ∃ 𝑎−1 ∈ 𝐸 tal que 𝑎 ∗ 𝑎−1 = 𝑎−1 ∗ 𝑎 = 𝑎 
 
 
 
 
 
Observación: Si ∗ es una operación binaria asociativa en un conjunto 𝐸, el inverso de 𝑎 ∈ 𝐸, 
si existe es único, ya que si 𝑟 y 𝑠 son inversos de 𝑎 ∈ 𝐸, tenemos que, 
𝑟 = 𝑟 ∗ 𝑒 = 𝑟 ∗ (𝑎 ∗ 𝑠) = (𝑟 ∗ 𝑎) ∗ 𝑠 = 𝑒 ∗ 𝑠 = 𝑠. 
Primeramente 𝑟 puede ser expresado operado con su elemento neutro. 
Luego como 𝑠 es inverso de 𝑎 en 𝐸, sabemos que al operarlos el resultado es el elemento 
neutro, por lo que podemos reemplazarlo por esa operación. 
Y como se cumple la propiedad asociativa, además 𝑟 inverso de 𝑎, lo volvemos a reemplazar 
por el elemento neutro, que queda operado por 𝑠, cuyo resultado es el elemento 𝑠. 
De aquí, 𝑟 = 𝑠 lo que prueba que el elemento inverso es único, si ∗ es una operación binaria 
asociativa. 
 
 
 
 
 
Si existe el elemento neutro de un conjunto 𝑬, con respecto a la operación ∗, 
entonces es único. 
 
 
 
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2. Estructuras algebraicas 
Una estructura algebraica o Sistema Algebraico, es un conjunto 𝐺, junto con una o más 
operaciones binarias definidas en 𝐺, las cuales podrían satisfacer ciertos axiomas y 
propiedades. 
Notación: (𝐺,∗) 
Las estructuras algebraicas se clasifican según las propiedades que cumplen las operaciones 
sobre el conjunto dado. Algunas de estas estructuras son: Magmas, Semigrupos, Monoides, 
Grupo, Anillo, Pseudoanillo, Cuerpo, Módulo, Espacio Vectorial, Álgebra y Sistema Numérico. 
Nos enfocaremos en el estudio de las primeras cuatro estructuras. Comencemos con la más 
simple, pero a la vez, la más general, ya que varias estructuras se definen a partir de esta. 
2.1. Magmas 
Un magma es un conjunto distinto de vacío, provisto de una ley de composición interna. 
Ejemplos: 
1. El conjunto de los números naturales, con la adición, como ley de composición 
interna. En símbolos, (ℕ, +) es un magma. 
2. El conjunto de los números naturales, excepto el cero, con la adición, como ley de 
composición interna. En símbolos, (ℕ − {0}, +) es un magma. 
3. El conjunto de los números naturales, con el producto, como ley de composición 
interna. En símbolos, (ℕ, ⋅ ) es un magma. 
4. El conjunto de los números enteros, con el producto, como ley de composición 
interna.En símbolos, (ℤ, ⋅ ) es un magma. 
5. El conjunto de los números enteros, con la resta, como ley de composición interna. 
En símbolos, (ℤ, − ) es un magma. 
6. El conjunto de los números naturales, con la resta, como ley de composición interna. 
En símbolos, (ℕ, − ) no es un magma. 
 
 
Observación: Un magma es unitario si el elemento neutro de la ley interna pertenece al 
conjunto. 
 
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2.2. Semigrupos 
Un semigrupo es un conjunto distinto de vacío, provisto de una ley de composición interna 
asociativa. 
Veamos algunos ejemplos: 
1. El conjunto de los números naturales, con la adición, como ley de composición 
interna. En símbolos, (ℕ, +) 
ℕ ≠ ∅, ya que 0 ∈ ℕ y se verifica que (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ 
Si 𝑎 = 5, 𝑏 = 3, 𝑐 = 7 tenemos que: (5 + 3) + 7 = 5 + (3 + 7) 
8 + 7 = 5 + 10 
15 = 15 
2. El conjunto de los números naturales, excepto el cero, con la adición, como ley de 
composición interna. En símbolos, (ℕ − {0}, +) 
3. El conjunto de los números enteros, con la adición, como ley de composición interna. 
En símbolos, (ℤ, +) 
ℤ ≠ ∅, ya que 0 ∈ ℤ y se verifica que (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ 
Si 𝑎 = −5, 𝑏 = 3, 𝑐 = −1 tenemos que: (−5 + 3) + (−1) = −5 + (3 + (−1)) 
−2 + (−1) = −5 + 2 
−3 = −3 
4. El conjunto de los números racionales, con la adición, como ley de composición 
interna. En símbolos, (ℚ, +) 
ℚ ≠ ∅, ya que 0 =
0
𝑧
∈ ℚ donde 𝑧 ∈ ℤ y se verifica que 
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℚ 
Si 𝑎 = −
5
2
, 𝑏 = 3, 𝑐 = −
1
2
 tenemos que: (−
5
2
+ 3) + (−
1
2
) = −
5
2
+ (3 + (−
1
2
)) 
1
2
+ (−
1
2
) = −
5
2
+
5
2
 
0 = 0 
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5. El conjunto de los números reales, con la adición, como ley de composición interna. 
En símbolos, (ℝ, +) 
6. El conjunto de los números complejos, con la adición, como ley de composición 
interna. En símbolos, (ℂ, +) 
ℂ ≠ ∅, ya que 0 = (0,0) ∈ ℂ y se verifica que: 
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℂ 
Si 𝑎 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑏 = 𝑑 + 𝑒𝑖, 𝑐 = 𝑓 + 𝑔𝑖. Entonces: 
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = [(𝑥 + 𝑑) + (𝑦 + 𝑒)𝑖] + (𝑓 + 𝑔𝑖) 
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = (𝑥 + 𝑑 + 𝑓) + (𝑦 + 𝑒 + 𝑔)𝑖 (1) 
Por otro lado, 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑥 + 𝑖𝑦) + [(𝑑 + 𝑓) + (𝑒 + 𝑔)𝑖] 
𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑥 + 𝑑 + 𝑓) + (𝑦 + 𝑒 + 𝑔)𝑖 (2) 
De (1) y (2) vemos que se verifica (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℂ 
7. El conjunto de los números enteros, con el producto, como ley de composición 
interna. En símbolos, (ℤ, ⋅ ) 
8. El conjunto de los números enteros, con el producto, como ley de composición 
interna. En símbolos, (ℚ, ⋅ ) 
9. El conjunto de los números enteros, con el producto, como ley de composición 
interna. En símbolos, (ℝ, ⋅ ) 
Observación: Un semigrupo es unitario si el elemento neutro de la ley interna pertenece al 
conjunto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Un semigrupo es un magma donde la operación binaria es asociativa. 
 
 
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2.3. Monoides 
Un monoide es un conjunto distinto de vacío, provisto de una ley de composición interna 
asociativa, donde el elemento neutro de la ley interna pertenece al conjunto. 
Ejemplos: 
1. Todos los semigrupos citados en el ejemplo anterior, son monoides, excepto 
(ℕ − {0}, +) 
(ℕ − {0}, +) no es un monoide porque el elemento neutro “0” de la ley interna (que en 
este caso es la suma) no pertenece al conjunto dado. 
2. El conjunto de los números naturales, con el producto, como ley de composición 
interna, es un monoide. En símbolos, (ℕ, ∙) 
 
 
 
 
3. Grupos 
Un grupo es un par (𝐺,∗) , donde 𝐺 es un conjunto no vacío, cuyos elementos verifican los 
siguientes axiomas: 
1. Clausura o cierre: 
∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐺 
 
2. Asociatividad: 
∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺, (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) 
 
3. Existencia del elemento neutro: 
∀ 𝑎 ∈ 𝐺, ∃ 𝑒 ∈ 𝐺 tal que 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 
 
4. Existencia del elemento inverso: 
∀ 𝑎 ∈ 𝐺, ∃ 𝑎−1 ∈ 𝐺 tal que 𝑎 ∗ 𝑎−1 = 𝑎−1 ∗ 𝑎 = 𝑒 
 
 
 
 
 
 
Un monoide es un semigrupo unitario. 
 
 
 
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4. Ejemplos 
 
1. Las siguientes estructuras algebraicas son grupos: (ℤ, +), (ℚ, +), (ℝ, + ), (ℂ, + ), 
(ℚ − {0},∙), (ℝ − {0},∙), (ℚ+,∙), (ℝ+,∙), (ℂ − {0},∙) 
Probaremos que (ℂ, + ) es un grupo, donde ℂ = {𝑎 + 𝑖𝑏| 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ} 
Axioma 1: Clausura o Cierre 
Sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℂ, entonces 𝑎 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑏 = 𝑒 + 𝑖𝑓 
𝑎 + 𝑏 = (𝑥 + 𝑖𝑦) + (𝑒 + 𝑖𝑓) 
𝑎 + 𝑏 = (𝑥 + 𝑒) + 𝑖(𝑦 + 𝑓) 
Si 𝑐 = 𝑥 + 𝑒, 𝑐 ∈ ℝ y si 𝑑 = 𝑦 + 𝑓, 𝑑 ∈ ℝ 
Entonces, 
𝑎 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑖𝑑 
Luego, 𝑐 + 𝑖𝑑 ∈ ℂ 
Axioma2: Asociatividad 
Debemos demostrar que: (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℂ 
Si 𝑎 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑏 = 𝑑 + 𝑒𝑖, 𝑐 = 𝑓 + 𝑔𝑖. Entonces: 
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = [(𝑥 + 𝑑) + (𝑦 + 𝑒)𝑖] + (𝑓 + 𝑔𝑖) 
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = (𝑥 + 𝑑 + 𝑓) + (𝑦 + 𝑒 + 𝑔)𝑖 (1) 
Por otro lado, 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑥 + 𝑖𝑦) + [(𝑑 + 𝑓) + (𝑒 + 𝑔)𝑖] 
𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑥 + 𝑑 + 𝑓) + (𝑦 + 𝑒 + 𝑔)𝑖 (2) 
De (1) y (2) vemos que se verifica (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℂ 
Axioma 3: Existencia del elemento neutro 
Debemos probar que ∀ 𝑎 ∈ ℂ, ∃ 𝑒 = 𝑒1 + 𝑖𝑒2 ∈ ℂ tal que 𝑎 + 𝑒 = 𝑒 + 𝑎 = 𝑎 
Si 𝑎 ∈ ℂ, 𝑎 = 𝑥 + 𝑖𝑦. Entonces (𝑥 + 𝑖𝑦) + (𝑒1 + 𝑖𝑒2) = (𝑥 + 𝑖𝑦) 
(𝑥 + 𝑒1) + (𝑦 + 𝑒2)𝑖 = (𝑥 + 𝑖𝑦) 
De aquí, 𝑥 + 𝑒1 = 𝑥 → 𝑒1 = 0 ; 𝑦 + 𝑒2 = 𝑦 → 𝑒2 = 0 
 
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Luego, 𝑒 = 0 + 𝑖0: = 0 ∈ ℂ Cero Complejo 
Axioma 4: Existencia del elemento inverso 
∀ 𝑎 ∈ ℂ, ∃ 𝑎−1 = 𝑢 + 𝑖𝑣 ∈ ℂ tal que 𝑎 + 𝑎−1 = 𝑎−1 + 𝑎 = 0 
𝑎 + 𝑎−1 = 0 
𝑎 ∈ ℂ → 𝑎 = 𝑥 + 𝑖𝑦 
 Entonces, (𝑥 + 𝑖𝑦) + (𝑢 + 𝑖𝑣) = 0 
(𝑥 + 𝑢) + 𝑖(𝑦 + 𝑣) = 0 + 0𝑖 
 De aquí, 
 𝑥 + 𝑢 = 0 y 𝑦 + 𝑣 = 0 
 Luego 𝑢 = −𝑥, 𝑣 = −𝑦 
 Entonces, 𝑎−1 = −(𝑥 + 𝑖𝑦) = −𝑎 
Por tanto, (ℂ, + ) es un grupo. 
 
2. El conjunto ({2𝑛 + 1: 𝑛 ∈ ℤ}, +) donde 𝐺 = {2𝑛 + 1: 𝑛 ∈ ℤ}, no es un grupo porque 
no se satisface el axioma de clausura. 
 Sean 𝑛1 = −1 y 𝑛2 = 2 
(2𝑛1 + 1) + (2𝑛2 + 1) = 2(𝑛1 + 𝑛2) + 2 = 2(−1 + 2) + 2 = 4 ∉ 𝐺 porque ∄𝑛 ∈ ℤ tal 
que 2𝑛 + 1 = 4 → 𝑛 =
3
2
∉ ℤ 
 Luego, no se verifica el axioma de Clausura. 
 
 
 
 
 
 
 
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Bibliografía 
Dorronsoro, J. (1996). Números, grupos y anillos. Madrid, ES: ADDISON WESLEY 
Pakhrou, T. (2013, enero). Algebra II. RUA. http: //hdl.handle.net/10045/26435 
Morales, M. (2007, abril). Grupos de Simetrías. https://es.slideshare.net/inesmorales/grupo-
de-simetras 
Ortiz Granada, G. (s.f.). Teoría de Grupos. Notas de Clases. Departamento de matemática, 
FACEN-UNA 
 
 
 
https://es.slideshare.net/inesmorales/grupo-de-simetras
https://es.slideshare.net/inesmorales/grupo-de-simetras