Algebra II_ ML_U5

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Homomorfismos 
 
 
 
 
Material elaborado por: 
Mercedes Noelia Ruiz Díaz Alonso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campus Universitario 
San Lorenzo, Paraguay 
 
 
 
 
Universidad Nacional de Asunción 
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales 
Departamento de Educación a Distancia 
 
 
 
 
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Índice 
 
1. Homomorfismos de Grupos .............................................................................................................3 
1.1. Homomorfismos Especiales .....................................................................................................5 
1.2. Lema .........................................................................................................................................6 
1.3. Núcleo o Kernel de un Homomorfismo ....................................................................................7 
1.3.1. Teorema .......................................................................................................................8 
1.4. Teorema ...................................................................................................................................9 
1.5. Definición .................................................................................................................................9 
1.6. Teorema ...................................................................................................................................9 
2. Automorfismos .............................................................................................................................. 11 
2.1. Automorfismos interiores ......................................................................................................... 11 
2.1.1. Teorema .......................................................................................................................... 11 
2.1.2. Teorema .......................................................................................................................... 12 
3. Grupos Isomorfos .......................................................................................................................... 13 
3.1. Definición de Isomorfismo .................................................................................................... 13 
3.2. Definición .............................................................................................................................. 13 
3.3. Teorema Fundamental del Homomorfismo .......................................................................... 14 
3.4. Pasos para mostrar que dos grupos son Isomorfos .............................................................. 14 
3.5. Teorema ................................................................................................................................ 16 
3.6. ¿Cómo mostrar que dos grupos no son Isomorfos? ............................................................. 17 
Bibliografía ............................................................................................................................................ 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Homomorfismos de Grupos 
Básicamente, estudiaremos aplicaciones entre sistemas algebraicos análogos y que preservan 
la estructura. 
A continuación, veremos la definición de Homomorfismos de grupos y su clasificación según 
las características que presenta la aplicación en cada caso. 
Definición: Sean los grupos (𝐺,∗) y (𝐺΄, ∗ ΄). La función 𝑓: 𝐺 → 𝐺΄ es un homomorfismo si y 
sólo si la imagen de la composición en 𝐺 es igual a la composición de las imágenes en 𝐺΄. 
Esto es, 𝑓: 𝐺 → 𝐺΄ es un homomorfismo ↔ 𝑓(𝑎 ∗ 𝑏) = 𝑓(𝑎) ∗ ΄𝑓(𝑏) 
Observación: En ocasiones solo escribiremos 𝑓(𝑎 ∙ 𝑏) = 𝑓(𝑎) ∙ 𝑓(𝑏) ó 𝑓(𝑎𝑏) = 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏) sin 
dejar de significar que en 𝑓(𝑎 ∙ 𝑏), 𝑎 ∙ 𝑏 indica la operación en 𝐺 y 𝑓(𝑎) ∙ 𝑓(𝑏) indica la 
operación en 𝐺΄. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: Homomorfismo de Grupos 
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Veamos los siguientes ejemplos: 
➢ Sea ℎ: (ℝ, +) → (ℝ − {0}, ∙) se define ℎ(𝑥) = 3𝑥 
ℎ(𝑥 + 𝑦) = 3𝑥+𝑦 = 3𝑥 ∙ 3𝑦 = ℎ(𝑥) ∙ ℎ(𝑦) 
Luego, ℎ es un homomorfismo. 
➢ Sea Φ: (ℂ∗, ∙) → (ℝ∗, ∙); Φ(𝑎 + 𝑏𝑖) = 𝑎2 + 𝑏2 es un homomorfismo. 
Sean 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑐 + 𝑑𝑖 en ℂ∗. Probaremos: Φ((𝑎 + 𝑏𝑖) ∙ (𝑐 + 𝑑𝑖)) = Φ(𝑎 + 𝑏𝑖) ∙ Φ(𝑐 + 𝑑𝑖) 
Φ((𝑎 + 𝑏𝑖) ∙ (𝑐 + 𝑑𝑖)) = Φ[(𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + 𝑖(𝑏𝑐 + 𝑎𝑑)] 
= (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑)2 + (𝑏𝑐 + 𝑎𝑑)2 
= 𝑎2𝑐2 − 2𝑎𝑐𝑏𝑑 + 𝑏2𝑑2 + 𝑏2𝑐2 + 2𝑏𝑐𝑎𝑑 + 𝑎2𝑑2 
= 𝑎2(𝑐2 + 𝑑2) + 𝑏2(𝑐2 + 𝑑2) 
Φ((𝑎 + 𝑏𝑖) ∙ (𝑐 + 𝑑𝑖)) = (𝑎2 + 𝑏2) ∙ (𝑐2 + 𝑑2) 
Φ((𝑎 + 𝑏𝑖) ∙ (𝑐 + 𝑑𝑖)) = Φ(𝑎 + 𝑏𝑖) ∙ Φ(𝑐 + 𝑑𝑖) 
Luego, Φ es un homomorfismo. 
➢ Sean 𝐺 = (ℝ, +), 𝐺´ = (ℝ − {0}, ∙) ; 𝑓: ℝ → ℝ∗, 𝑓(𝑎) = 2𝑎 
Sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, entonces: 
𝑓(𝑎 + 𝑏) = 𝑓(𝑎) ∙ 𝑓(𝑏) 
𝑓(𝑎 + 𝑏) = 2𝑎+𝑏 = 2𝑎 ∙ 2𝑏 
𝑓(𝑎 + 𝑏) = 𝑓(𝑎) ∙ 𝑓(𝑏) 
Luego, 𝑓 es un homomorfismo. 
 
 
 
 
 
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1.1. Homomorfismos Especiales 
Sea 𝑓: 𝐴 → 𝐴´ un homomorfismo respecto a ∗ y ∗ ´. Entonces: 
1. 𝑓 es un Monomorfismo ↔ 𝑓 es inyectiva. 
2. 𝑓 es un Epimorfismo ↔ 𝑓 es sobreyectiva. 
3. 𝑓 es un Isomorfismo ↔ 𝑓 es biyectiva. 
4. 𝑓 es un Endomorfismo ↔ 𝐴 = 𝐴´ 
5. 𝑓 es un Automorfismo ↔ 𝑓 es un Endomorfismo biyectivo. 
Veamos los siguientes ejemplos: 
➢ 𝑓: (ℝ, +) → (ℝ − {0}, ∙) con 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 
𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑒𝑥+𝑦 = 𝑒𝑥 ∙ 𝑒𝑦 = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑓(𝑦) 
Luego, 𝑓 es un homomorfismo. 
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦) → 𝑒𝑥 = 𝑒𝑦 → ln 𝑒𝑥 = ln 𝑒𝑦 → 𝑥 = 𝑦 
Luego, 𝑓 es inyectiva. Por tanto, 𝑓 es un Monomorfismo. 
➢ 𝑓: (ℝ, +) → (ℝ+, ∙) con 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 
𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑒𝑥+𝑦 = 𝑒𝑥 ∙ 𝑒𝑦 = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑓(𝑦) 
Luego, 𝑓 es un homomorfismo. 
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦) → 𝑒𝑥 = 𝑒𝑦 → ln 𝑒𝑥 = ln 𝑒𝑦 → 𝑥 = 𝑦 
Luego, 𝑓 es inyectiva. 
Sea 𝑦 ∈ ℝ+¿Existe 𝑥 ∈ ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑦? 
Veamos 𝑓(𝑥) = 𝑦 → 𝑒𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = ln 𝑦 con 𝑦 > 0 → 𝑥 ∈ ℝ → 𝑓 es sobreyectiva. 
Luego, 𝑓 es biyectiva. 
Por tanto, 𝑓 es un Isomorfismo. 
 
 
 
 
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1.2. Lema 
Si 𝜑 es un homomorfismo de 𝐺en �̅�, entonces: 
1. 𝜑(𝑒) = �̅� 
2. 𝜑(𝑥−1) = (𝜑(𝑥))
−1
 
 
Demostración 
1. Como �̅� es el elemento neutro del grupo �̅�, tenemos que: 
𝜑(𝑥) = 𝜑(𝑥)�̅� 
𝜑(𝑥 ∙ 𝑒) = 𝜑(𝑥)�̅� 
Puesto que 𝜑 es un homomorfismo de 𝐺en �̅�, 𝜑(𝑥)𝜑(𝑒) = 𝜑(𝑥)�̅� 
Luego, por la ley de Cancelación en �̅�, 𝜑(𝑒) = �̅� 
 
2. Notemos que, como 𝜑(𝑒) = �̅�, 𝑒 = 𝑥 ∙ 𝑥−1, entonces: 
𝜑(𝑥 ∙ 𝑥−1) = �̅� 
Puesto que 𝜑 es un homomorfismo de 𝐺en �̅�, 𝜑(𝑥) 𝜑(𝑥−1) = �̅� 
Operando miembro a miembro (𝜑(𝑥))
−1
, tenemos que: 
(𝜑(𝑥))
−1
∙ [𝜑(𝑥) 𝜑(𝑥−1)] = (𝜑(𝑥))
−1
∙ �̅� 
Por la asociatividad en �̅�, [(𝜑(𝑥))
−1
∙ 𝜑(𝑥)] ∙ 𝜑(𝑥−1) = (𝜑(𝑥))
−1
∙ �̅� 
Por definición de elemento inverso en �̅�, �̅� ∙ 𝜑(𝑥−1) = (𝜑(𝑥))
−1
∙ �̅� 
Por definición de elemento neutro en �̅�, 𝜑(𝑥−1) = (𝜑(𝑥))
−1
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.3. Núcleo o Kernel de un Homomorfismo 
Definición: Sea 𝑓: 𝐺 → 𝐺´ un homomorfismo. El núcleo o kernel de 𝑓 es el conjunto de los 
elementos de 𝐺, cuyas imágenes por 𝑓 se identifican con el neutro de 𝐺´, esto es: 
𝑁(𝑓) = 𝐾𝑒𝑟(𝑓) = {𝑥 ∈ 𝐺: 𝑓(𝑥) = 𝑒΄} 
Veamos los siguientesejemplos: 
Hallar el núcleo de los siguientes homomorfismos: 
➢ 𝑓: 𝐺 → 𝐺´, 𝑓(𝑎) = 2𝑎, 𝐺 = (ℝ, +), 𝐺´= (ℝ − {0}, ∙) 
𝑁(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑓(𝑥) = 1} 
𝑓(𝑥) = 2𝑥, 𝑓(𝑥) = 1 → 2𝑥 = 1 → 𝑥 = 0 ∈ ℝ 
Luego, 𝑁(𝑓) = {0} 
➢ 𝑓: ℝ → ℝ , 𝑓(𝑥) = e𝑥, 𝐺 = (ℝ, +), 𝐺´= (ℝ − {0}, ∙) 
𝑁(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑓(𝑥) = 1} 
𝑓(𝑥) = e𝑥, 𝑓(𝑥) = 1 → e𝑥 = 1 → 𝑥 = 0 ∈ ℝ 
Luego, 𝑁(𝑓) = {0} 
 
Observación: En los ejemplos anteriores los homomorfismos dados son monomorfismos, ya 
que en ambos casos 𝑁(𝑓) = {0}, siendo 𝑒 = 0 el elemento neutro de 𝐺 = (ℝ, +). 
A continuación demostraremos esta propiedad: 
Supongamos primero 𝑓 es un monomorfismo y que 𝑁(𝑓) ≠ {𝑒} 
Si 𝑁(𝑓) ≠ {𝑒}, ∃𝑥 ≠ 𝑒 ∈ 𝐺 tal que 𝑓(𝑥) = 𝑒΄. Entonces, 𝑥 ∈ 𝑁(𝑓) 
Sabemos que 𝑓(𝑒) = 𝑒΄ → 𝑓 no es inyectiva, lo cual es una contradicción, pues 𝑓 es un 
monomorfismo. 
Luego, 𝑁(𝑓) = {𝑒} 
Supongamos ahora, 𝑁(𝑓) = {𝑒} 
Para demostrar que 𝑓 es un monomorfismo, debemos probar que 𝑓 es inyectiva. 
Sea 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦) → 𝑓(𝑥)[𝑓(𝑦)]−1 = [𝑓(𝑦)]−1𝑓(𝑦) → 𝑓(𝑥)[𝑓(𝑦)]−1 = 𝑒΄ 
Un homomorfismo 𝒇: 𝑮 → 𝑮΄ es un monomorfismo si y sólo si 𝑵(𝒇) = {𝒆}, 
siendo 𝒆 el elemento neutro de 𝑮. 
 
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Por lema 1.2, 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦−1) = 𝑒΄ → 𝑓(𝑥𝑦−1) = 𝑒΄ → 𝑥𝑦−1 ∈ 𝑁(𝑓) → 𝑥𝑦−1 = 𝑒 → 
(𝑥𝑦−1)𝑦 = 𝑒𝑦 → 𝑥(𝑦−1𝑦) = 𝑦 → 𝑥𝑒 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦 
Luego, 𝑓 es un monomorfismo. 
 
1.3.1. Teorema 
Sea 𝑓: 𝐺 → 𝐻 un homomorfismo de 𝐺 en 𝐻. Entonces el núcleo de 𝑓, 𝑁(𝑓) es un subgrupo 
normal de 𝐺. 
Demostración 
Primeramente, probaremos que 𝑁(𝑓) < 𝐺 utilizando el Teorema 2 relativo a Subgrupos. 
Tenemos que 𝑁(𝑓) = 𝐾𝑒𝑟(𝑓) = {𝑥 ∈ 𝐺: 𝑓(𝑥) = 𝑒΄} 
Si 𝑎1, 𝑎2 ∈ 𝑁(𝑓), 𝑓(𝑎1) = 𝑒΄ y 𝑓(𝑎2) = 𝑒΄ 
𝑓(𝑎1𝑎2
−1) = 𝑓(𝑎1)𝑓(𝑎2
−1) pues 𝑓 es un homomorfismo. 
𝑓(𝑎1𝑎2
−1) = 𝑓(𝑎1)[𝑓(𝑎2)]
−1 Por el Lema 1.3. Parte 2. 
𝑓(𝑎1𝑎2
−1) = 𝑒΄𝑒΄ 
𝑓(𝑎1𝑎2
−1) = 𝑒΄ 
Luego, 𝑎1𝑎2
−1 ∈ 𝑁(𝑓) 
Por tanto, 𝑁(𝑓) < 𝐺 
Ahora probaremos que 𝑁(𝑓) ⊲ 𝐺 
Sea 𝑎 ∈ 𝐺 y 𝑛 ∈ 𝑁(𝑓) 
𝑓(𝑎𝑛𝑎−1) = 𝑓(𝑎)𝑓(𝑛)𝑓(𝑎−1) pues 𝑓 es un homomorfismo. 
𝑓(𝑎𝑛𝑎−1) = 𝑓(𝑎)𝑓(𝑛)(𝑓(𝑎))
−1
 Por el Lema 1.3. Parte 2. 
𝑓(𝑎𝑛𝑎−1) = 𝑓(𝑎)𝑒΄(𝑓(𝑎))
−1
 pues 𝑛 ∈ 𝑁(𝑓) 
𝑓(𝑎𝑛𝑎−1) = 𝑓(𝑎)(𝑓(𝑎))
−1
 Elemento neutro 
𝑓(𝑎𝑛𝑎−1) = 𝑒΄ Elemento inverso 
Luego, 𝑎𝑛𝑎−1 ∈ 𝑁(𝑓) 
Por tanto, 𝑁(𝑓) ⊲ 𝐺 
 
 
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1.4. Teorema 
Si 𝐺 es un grupo y 𝑁 ⊲ 𝐺. Definamos la aplicación canónica o natural 𝜑: 𝐺 → 𝐺 𝑁⁄ por 
𝜑(𝑥) = 𝑁𝑥 ∀𝑥 ∈ 𝐺, entonces 𝜑 es un homomorfismo de 𝐺 sobre 𝐺 𝑁⁄ . 
Demostración 
Tenemos que 𝜑(𝑎𝑏) = 𝑁𝑎𝑏 
𝜑(𝑎𝑏) = 𝑁𝑎𝑁𝑏 pues 𝑁 ⊲ 𝐺 
Luego, 𝜑(𝑎𝑏) = 𝜑(𝑎)𝜑(𝑏) 
Por tanto, 𝜑 es un homomorfismo de 𝐺 sobre 𝐺 𝑁⁄ . 
Veamos el siguiente ejemplo: 
Sea la aplicación 𝜑: ℤ → ℤ/𝑛ℤ ℤ/𝑛ℤ : Grupo Cociente de ℤ por 𝑛ℤ. 
Sabemos que 𝑛ℤ ⊲ ℤ, ya hemos probado que 𝑛ℤ < ℤ y como todo subgrupo de un grupo 
conmutativo es invariante, tenemos que 𝑛ℤ es un grupo normal de ℤ. 
Luego 𝜑 es un homomorfismo. 
 
 
1.5. Definición 
 Sea 𝜑: 𝑋 → 𝑌, con 𝐴 ⊆ 𝑋, 𝐵 ⊆ 𝑌. La imagen 𝜑(𝐴) de 𝐴 en 𝑌, bajo 𝜑 es: {𝜑(𝑎): 𝑎 ∈ 𝐴} 
 La imagen inversa 𝜑−1(𝐵) de 𝐵 en 𝑋 es: {𝑥 ∈ 𝑋: 𝜑(𝑥) ∈ 𝐵} 
1.6. Teorema 
Bajo un homomorfismo subgrupos corresponden a subgrupos y subgrupos normales a 
subgrupos normales. 
Demostración 
Sea 𝜑 un homomorfismo de 𝐺 en 𝐺΄ y sea 𝐻 < 𝐺, entonces si: 
𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻, 𝜑(𝑎𝑏) = 𝜑(𝑎)𝜑(𝑏) ∈ 𝜑(𝐻) donde 𝜑(𝑎), 𝜑(𝑏) ∈ 𝜑(𝐻). 
Esto es, 𝜑(𝐻) es cerrado respecto a la operación en 𝐺΄. 
Recordemos que: Si 𝑮 es un grupo y 𝑵 ⊲ 𝑮, 𝑮/𝑵 es el Grupo Cociente o Factor 
de 𝑮 por 𝑵. 
 
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Además, ya hemos demostrado que 𝜑(𝑒) = �̅� y 𝜑(𝑥−1) = (𝜑(𝑥))
−1
∈ 𝜑(𝐻) 
Por tanto, 𝜑(𝐻) < 𝜑(𝐺) 
Supongamos ahora 𝐻 ⊲ 𝐺 y sea 𝜑(𝑔) ∈ 𝜑(𝐺). Entonces, 
𝜑(𝑔)𝜑(ℎ)[𝜑(𝑔)]−1 = 𝜑(𝑔)𝜑(ℎ)𝜑(𝑔−1) = 𝜑(𝑔ℎ𝑔−1) 
Como 𝑔ℎ𝑔−1 ∈ 𝐻 (ya que 𝐻 ⊲ 𝐺), 𝜑(𝑔ℎ𝑔−1) ∈ 𝜑(𝐻) 
Por tanto, 𝜑(𝐻) ⊲ 𝜑(𝐺) 
Por otro lado, sea 𝐾΄ < 𝐺΄ y 𝑎, 𝑏 ∈ 𝜑−1(𝐾΄). Entonces: 
𝜑(𝑎𝑏) = 𝜑(𝑎)𝜑(𝑏) y 𝜑(𝑎)𝜑(𝑏) ∈ 𝐾΄ de modo que 𝑎𝑏 ∈ 𝜑−1(𝐾΄) 
𝜑(𝑒) = 𝑒΄ ∈ 𝐾΄ de modo que 𝑒 ∈ 𝜑−1(𝐾΄) 
Si 𝑎 ∈ 𝜑−1(𝐾΄), entonces 𝜑(𝑎) ∈ 𝐾΄ de modo que [𝜑(𝑎)]−1 ∈ 𝐾΄, pero 
 [𝜑(𝑎)]−1 = 𝜑(𝑎−1). Luego, 𝑎−1 ∈ 𝜑−1(𝐾΄) 
Por tanto, 𝜑−1(𝐾΄) < 𝐺 
Supongamos ahora 𝐾΄ ⊲ 𝜑(𝐺) 
Entonces, si 𝑏 ∈ 𝜑−1(𝐾΄) y 𝑔 ∈ 𝐺, tenemos que: 
𝜑(𝑔𝑏𝑔−1) = 𝜑(𝑔)𝜑(𝑏)[𝜑(𝑔)]−1 
Donde 𝜑(𝑔)𝜑(𝑏)[𝜑(𝑔)]−1 ∈ 𝐾΄ de modo que 𝑔𝑏𝑔−1 ∈ 𝜑−1(𝐾΄) 
Por tanto, 𝜑−1(𝐾΄) ⊲ 𝐺 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Automorfismos 
Ya hemos visto que un automorfismo es un homomorfismo especial, ahora recordaremos su 
definición y analizaremos algunas de sus propiedades. 
Definición: Un automorfismo del grupo 𝐺 es un Isomorfismo de 𝐺 en sí mismo. 
2.1. Automorfismos interiores 
2.1.1. Teorema 
La transformación 𝑓: 𝐺 → 𝐺 dada por 𝑓𝑔(𝑥) = 𝑔
−1𝑥𝑔 ∀𝑔 ∈ 𝐺 es un Automorfismo de 𝐺, el 
Automorfismo interno de 𝐺 bajo la conjunción por 𝑔. 
Demostración 
Probaremos primero que 𝑓𝑔 es un isomorfismo, es decir un homomorfismo biyectivo. 
En efecto, 𝑓𝑔(𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑔
−1 ∗ 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑔 = (𝑔−1 ∗ 𝑥 ∗ 𝑔) ∗ (𝑔−1 ∗ 𝑦 ∗ 𝑔) = 𝑓𝑔(𝑥) ∗ 𝑓𝑔(𝑦) 
Ahora verificaremos la Inyectividad. 
Sea 𝑓𝑔(𝑥) = 𝑓𝑔(𝑦) 
𝑔−1𝑥𝑔 = 𝑔−1𝑦𝑔 
𝑥𝑔 = 𝑦𝑔 Propiedad: Ley cancelativa 
𝑥 = 𝑔 Propiedad: Ley cancelativa 
Además 𝑓𝑔 es sobreyectiva 
Si 𝑥, 𝑔 ∈ 𝐺 
𝑓𝑔(𝑥) = 𝑦 
𝑔𝑥𝑔−1 = 𝑦 
𝑔𝑥𝑔−1𝑔 = 𝑦𝑔 Operando 𝑔 miembro a miembro 
𝑔𝑥𝑒 = 𝑦𝑔 Asociatividad y elemento inverso 
𝑔𝑥 = 𝑦𝑔 Elemento neutro 
𝑔−1𝑔𝑥 = 𝑔−1𝑦𝑔 Operando 𝑔−1 miembro a miembro 
𝑒𝑥 = 𝑔−1𝑦𝑔 Asociatividad y elemento inverso 
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𝑥 = 𝑔−1𝑦𝑔 Elemento neutro 
𝑥 = 𝑔−1𝑦𝑔 → 𝑥 ∈ 𝐺 
Por tanto, 𝑓 es un Automorfismo. 
2.1.2. Teorema 
Sea 𝐺 un grupo, 𝐴𝑢𝑡(𝐺) su colección de automorfismos y sea 𝐼𝑛𝑡(𝐺) el conjunto de 
automorfismos interiores de 𝐺. Entonces: 
i. 𝐴𝑢𝑡(𝐺) es un subgrupo del grupo 𝑆(𝐺) de funciones biyectivas de 𝐺 en 𝐺. 
ii. 𝐼𝑛𝑡(𝐺) ⊲ 𝐴𝑢𝑡(𝐺) 
Demostración 
i. Sea 𝐼: 𝐺 → 𝐺, tal que 𝐼(𝑔) = 𝑔 ∀𝑔 ∈ 𝐺 es un automorfismo de 𝐺. 
Como un automorfismo de 𝐺 es un isomorfismo de 𝐺 en sí mismo, es decir es una función 
biyectiva, 𝐴𝑢𝑡(𝐺) ⊂ 𝑆(𝐺) 
𝐴𝑢𝑡(𝐺) ≠ ∅, ya que 𝐼 ∈ 𝐴𝑢𝑡(𝐺) 
Sean ℎ1, ℎ2 ∈ 𝐴𝑢𝑡(𝐺). Probaremos ℎ1ℎ2 ∈ 𝐴𝑢𝑡(𝐺) 
Como ℎ1, ℎ2 ∈ 𝐴𝑢𝑡(𝐺) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 ℎ1(𝑥𝑦) = ℎ1(𝑥)ℎ1(𝑦) ; ℎ2(𝑥𝑦) = ℎ2(𝑥)ℎ2(𝑦) 
Ahora ℎ1ℎ2(𝑥𝑦) = ℎ1(ℎ2(𝑥𝑦)) = ℎ1(ℎ2(𝑥)ℎ2(𝑦)) = ℎ1(ℎ2(𝑥))ℎ1(ℎ2(𝑦)) =
ℎ1ℎ2(𝑥)ℎ1ℎ2(𝑦). 
Luego, ℎ1ℎ2 ∈ 𝐴𝑢𝑡(𝐺) 
Supongamos ℎ ∈ 𝐴𝑢𝑡(𝐺). Probaremos ℎ−1 ∈ 𝐴𝑢𝑡(𝐺) 
Si 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺, entonces ℎ(ℎ−1(𝑥)ℎ−1(𝑦)) = ℎ(ℎ−1(𝑥))ℎ(ℎ−1(𝑦)) 
ℎ(ℎ−1(𝑥)ℎ−1(𝑦)) = 𝐼(𝑥)𝐼(𝑦) 
ℎ(ℎ−1(𝑥)ℎ−1(𝑦)) = 𝑥𝑦 
Luego, ℎ−1(𝑥)ℎ−1(𝑦) = ℎ−1(𝑥𝑦) → ℎ−1 ∈ 𝐴𝑢𝑡(𝐺) 
Por tanto, 𝐴𝑢𝑡(𝐺) es un subgrupo del grupo 𝑆(𝐺). 
 
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ii. Probaremos primero 𝐼𝑛𝑡(𝐺) < 𝐴𝑢𝑡(𝐺) 
𝑓𝑔(𝑒) = 𝑒 ∈ 𝐼𝑛𝑡(𝐺) → 𝐼𝑛𝑡(𝐺) ≠∅ 
Sean 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 
𝑓𝑔(𝑥) ∙ 𝑓𝑔(𝑦) = 𝑓𝑔(𝑥𝑦) 𝑓𝑔(𝑥)
−1 = 𝑓𝑔(𝑥
−1) 
Ahora probaremos 𝐼𝑛𝑡(𝐺) ⊲ 𝐴𝑢𝑡(𝐺) 
Sea 𝑔 ∈ 𝐺, ℎ: 𝐺 → 𝐺 un automorfismo cualquiera de 𝐺. 
Entonces ∀ 𝑎 ∈ 𝐺, 
ℎ−1[𝑓𝑔ℎ(𝑎)] = ℎ
−1[𝑓𝑔(ℎ(𝑎))] 
ℎ−1[𝑓𝑔ℎ(𝑎)] = ℎ
−1[𝑔−1ℎ(𝑎)𝑔] = ℎ−1(𝑔−1)ℎ−1(ℎ(𝑎))ℎ−1(𝑔) 
ℎ−1[𝑓𝑔ℎ(𝑎)] = (ℎ(𝑔))
−1
𝑎ℎ−1(𝑔) = 𝑓ℎ−1(𝑔)𝑎 
Luego, ℎ−1𝑓𝑔ℎ ∈ 𝐼𝑛𝑡(𝐺) 
Por tanto, 𝐼𝑛𝑡(𝐺) ⊲ 𝐴𝑢𝑡(𝐺) 
3. Grupos Isomorfos 
Cuando hablamos de grupos Isomorfos nos referimos a grupos con básicamente la misma 
estructura, es decir podríamos decir que son iguales, excepto por la denominación de sus 
elementos y las operaciones definidas en cada grupo. 
3.1. Definición de Isomorfismo 
Un homomorfismo 𝜑: 𝐺 → 𝐺∗ es un isomorfismo si 𝜑 es biyectivo. 
3.2. Definición 
Dos grupos 𝐺 y 𝐺∗ se dice que son isomorfos si existe un isomorfismo de 𝐺 sobre 𝐺∗. En este 
caso escribimos 𝐺 ≈ 𝐺∗. 
Observación: La propiedad de isomorfismo es una relación de equivalencia en una colección 
de grupos. 
1. 𝐺 ≈ 𝐺 
2. 𝐺 ≈ 𝐺∗ → 𝐺∗ ≈ 𝐺 
3. 𝐺 ≈ 𝐺∗, 𝐺∗ ≈ 𝐺∗∗ → 𝐺 ≈ 𝐺∗∗ 
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Esto significa que dada una colección no vacía de grupos, siempre se puede partir la 
colección en celdas (clases de equivalencia) tales que cualesquiera dos grupos en la misma 
celda son isomorfos y no hay grupos en celdas distintas que sean Isomorfos. 
 
 
 
 
3.3. Teorema Fundamental del Homomorfismo 
Sea 𝜙 un homomorfismo de 𝐺 sobre �̅�, con núcleo 𝐾. Entonces 𝐺 𝐾 ≈⁄ �̅� 
Veamos el siguiente ejemplo: 
Existe un Isomorfismo entre los grupos ℤ/𝑛ℤ y ℤ𝑛, esto es, ℤ/𝑛ℤ es isomorfo a ℤ𝑛. 
En efecto, si 𝜙: ℤ → ℤ𝑛 . Probaremos 𝜙 es un homomorfismo con núcleo 𝑛ℤ. 
Tenemos que 𝜙(𝑎) = [𝑎], 𝜙(𝑎 + 𝑏) = [𝑎 + 𝑏] = [𝑎] + [𝑏] = 𝜙(𝑎) + 𝜙(𝑏) 
Luego, 𝜙 es un homomorfismo. 
𝑁(𝜙) = 𝐾𝑒𝑟(𝜙) = {𝑥 ∈ ℤ: 𝜙(𝑥) = [0]} 
Tenemos que 0 ∈ ℤ y 𝜙(0) = [0] = {𝑥 ∈ ℤ: 𝑥 ≡ 0 𝑚ó𝑑(𝑛)} = {𝑥 ∈ ℤ: 𝑥 − 0 = 𝑛𝑘, 𝑘 ∈ ℤ} 
Luego, 𝑁(𝜙) = 𝑛ℤ 
3.4. Pasos para mostrar que dos grupos son Isomorfos 
Para mostrar que dos grupos son Isomorfos podemos seguir los siguientes pasos: 
PASO 1: Definir la transformación. 
PASO 2: Probar que la transformación es un homomorfismo. 
PASO 3: Probar que la transformación es uno a uno. 
Se puede mostrar de las siguientes maneras: 
Probar que, a elementos distintos, corresponden imágenes distintas. 
Existe un solo grupo de orden 𝟏, uno de orden 𝟐 y uno de orden 𝟑, salvo 
isomorfismo. 
De orden 𝟒, hay exactamente dos grupos diferentes, salvo isomorfismo: ℤ𝟒 y 𝑽 
el grupo de Klein. 
 
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Probar que el núcleo de la transformación es {𝑒}, lo que implicaría que la transformación es 
uno a uno. 
PASO 4: Probar que la transformación es sobreyectiva. 
Veamos el siguiente ejemplo: 
Sea (ℝ, +) es isomorfo a (ℝ+, ∙) 
PASO 1: Definir la transformación. 
Sea 𝜑(𝑥) = 𝑒𝑥 ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝜑: ℝ → ℝ+ 
PASO 2: Probar que la transformación es un homomorfismo. 
∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ tenemos que: 𝜑(𝑥 + 𝑦) = 𝑒𝑥+𝑦 = 𝑒𝑥 ∙ 𝑒𝑦 = 𝜑(𝑥) ∙ 𝜑(𝑦) 
PASO 3: Probar que el núcleo de la transformación es {𝑒}, lo que implicaría que la 
transformación es uno a uno. 
𝑁(𝜑) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝜑(𝑥) = 1} 
𝜑(𝑥) = e𝑥, 𝑓(𝑥) = 1 → e𝑥 = 1 → 𝑥 = 0 ∈ ℝ 
Luego, 𝑁(𝜑) = {0} 𝑒 = 0 es el elemento neutro de (ℝ, +) 
Por tanto, la transformación es uno a uno. 
PASO 4: Probar que la transformación es sobreyectiva. 
𝜑(𝑥) = e𝑥 , 𝜑(𝑥) = 𝑦 , e𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = ln y 
Sea 𝑦 ∈ ℝ+, entonces 𝜑(ln 𝑦) = 𝑒ln 𝑦 = 𝑦, ∀𝑥 ∈ ℝ 
Por tanto, la transformación es sobreyectiva. 
 
 
 
 
 
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3.5. Teorema 
Cualquier grupo cíclico infinito 𝐺 es isomorfo al grupo ℤ de los enteros bajo la suma. 
Demostración 
Supongamos que 𝐺 es generado por 𝑎. Entonces: 𝐺 = {𝑎𝑛| 𝑛 ∈ ℤ} 
Debemos tener en cuenta que los elementos 𝑎𝑛 de 𝐺 son todos distintos, esto es, 𝑎𝑛 ≠ 𝑎𝑚 si 
𝑛 ≠ 𝑚. 
PASO 1: Definir la transformación. 
Definimos 𝜑: 𝐺 → ℤ por 𝜑(𝑎𝑛) = 𝑛 ∀ 𝑎𝑛 ∈ 𝐺 
PASO 2: Probar que la transformación es un homomorfismo. 
𝜑(𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑚) = 𝜑(𝑎𝑛+𝑚) = 𝑛 + 𝑚 = 𝜑(𝑎𝑛) + 𝜑(𝑎𝑚) 
PASO 3: Probar que la transformación es uno a uno. 
Si 𝜑(𝑎𝑛) = 𝜑(𝑎𝑚) 
𝑛 = 𝑚 → 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚 
Luego, 𝜑 es inyectiva. 
PASO 4: Probar que la transformación es sobreyectiva. 
∀𝑛 ∈ ℤ, 𝜑(𝑎𝑛) = 𝑛 
Luego, 𝜑 es sobreyectiva. 
Por tanto, 𝐺 ≈ ℤ 
 
 
 
 
 
 
 
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3.6. ¿Cómo mostrar que dos grupos no son Isomorfos? 
Sabemos que para que dos grupos sean isomorfos debe existir un homomorfismo entre los 
mismos uno a uno y sobre. Entonces, si decimos que dos grupos no son isomorfos, significa 
que no existe tal homomorfismo biyectivo. Pero, ¿cómo podemos mostrar esto? 
Consideremos 𝐺 y 𝐺΄ grupos de orden finito y tienen distinto número de elementos, entonces 
no existen funciones uno a uno de 𝐺 en 𝐺΄. 
Veamos los siguientes ejemplos: 
➢ (ℤ4, +) y (𝑆, ∘) donde ℤ4 = {0̅, 1̅, 2̅, 3̅}, 𝑆 = {𝑟1, 𝑟2, 𝑟3, 𝑠1, 𝑠2, 𝑠3} no son isomorfos, 
pues tienen distinto número de elementos, entonces no existe función uno a uno de ℤ4 
sobre 𝑆. 
➢ (ℤ, +) no es isomorfo a (ℝ, +), pues no existe función uno a uno de ℤ sobre ℝ. 
Observación: No es suficiente el hecho que exista una correspondencia biyectiva entre dos 
grupos para decir que son isomorfos. Consideremos los grupos (ℤ, +) y (ℚ, +), existe una 
correspondencia biyectiva entre los mismos, sin embargo, no son isomorfos. Basta notar que 
ℤ es un grupo cíclico y ℚ no lo es. 
Es decir, en caso de que existan transformaciones biyectivas de un grupo 𝐺 sobre un grupo 𝐺΄, 
pero si estos grupos no son isomorfos, debe existir alguna propiedad estructural que un grupo 
posea y el otro no. 
Estas propiedades estructurales podrían ser que el grupo sea abeliano, su orden, el hecho de 
ser cíclico o finito, entre otras tantas propiedades estructurales posibles. 
➢ (ℚ − {0}, ∙) no es isomorfo a (ℝ − {0}, ∙), ya que no existe una correspondencia 
biyectiva entre los mismos. 
Otro de los argumentos es que cada elemento de ℝ − {0} es el cubo de algún elemento 
de ℝ − {0}, esto es: la ecuación 𝑥3 = 𝑎 donde 𝑎 ∈ ℝ − {0} tiene solución en ℝ − {0}, lo 
que no se verifica en ℚ − {0}. Si 𝑎 = 3, la ecuación 𝑥3 = 3 no tiene solución en ℚ − {0}. 
➢ (ℝ − {0}, ∙) no es isomorfo a (ℂ − {0}, ∙), ya que todo elemento de ℝ − {0} genera 
un subgrupo cíclico infinito, excepto 1 y −1 que generan subgrupos cíclicos de orden 
1 y 2 respectivamente, mientras que en ℂ − {0}, el elemento 𝑖 genera el subgrupo 
cíclico {𝑖, −1, −𝑖, 1} de orden 4. 
Utilizando una propiedad estructural como argumento, tenemos que la ecuación 𝑥2 = 𝑎 tiene 
solución en ℂ − {0} ∀𝑎 ∈ ℂ, pero 𝑥2 = −1 no tiene solución en ℝ − {0}. 
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Bibliografía 
Herstein, I (1980). Algebra moderna. Grupos. Anillos. Campos. Teoría de Galois. México. 
Editorial Trillas. 
Ortiz Granada, G. (s.f.). Teoría de Grupos. Notas de Clases. Departamento de matemática, 
FACEN-UNA. 
Gregory, T. (2018). Abstract Algebra. An Introductory Course. Springer Undergraduate 
Mathematics Series. https: //doi.org/10.1007/978-3-319-77649-1. 
Fraleigh, J. (1988). Algebra Abstracta. Primer Curso. México. Addison Wesley Iberoamericana.