X_Sem7

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Semana 7
Álgebra
Anual Virtual ADUNI Álgebra
• Constante es una expresión que tiene 
un valor fijo e inalterable.
 Ejemplo
 2, 3 y p son constantes.
• Variable es una expresión que toma 
diferentes valores; usualmente se le 
representa por letras.
 Ejemplo
 x, y, z son variables.
¡Tenga en cuenta que...!
• P(x; y)=7x5y3+2x – 6
 Notamos que:
 Variable: x; y
 Constantes: 7; 5; 3; 2; – 6
• P(x+1)=6x2 – 3
 Notamos que:
 Variable: x+1
 Constantes: 6; 2; – 3
Observación 
Expresión matemática. Es cualquier 
combinación de números y letras enla-
zados por diferentes operaciones.
Ejemplos
• x – 2y+3
• 1
3
2pr h
• x
x
+ +1 1
¡Sabía que...! 
semana
07
Polinomio
NOTACIÓN MATEMÁTICA
La representación simbólica que nos permite reconocer cuáles 
son las variables de una expresión matemática se llama notación 
matemática.
Ejemplos
• P x y xx y; 
variables
( ) = − + +

2 5 13 2 tiene dos variables: x e y.
• P x xx
x
+
−




= − +1
1
2 3 4
variable
���
 tiene una variable: 
x
x
+
−
1
1
 .
VALOR NUMÉRICO (VN)
Si les asignamos valores constantes a las variables de una expre-
sión matemática y efectuamos las operaciones que se indican, el 
número real que se obtiene se llama valor numérico de la expresión.
Ejemplos
• Dada la expresión P(x)=6x+2
 Si x=0 → P(0)=6(0)+2=2
 Si x=1 → P(1)=6(1)+2=8
 Si x P= → = 

 + =



1
2
6
1
2
2 51
2
 
• Dada la expresión P xx−



= +1
2
22 6
 si x P= → = ( ) +−



3 2 3 63 1
2
2 
 P(1)=24
 si x P= → = ( ) +−



9 2 9 69 1
2
2 
 P(4)=168
 si x P= → = ( ) +−



15 2 15 615 1
2
2 
 P(7)=456
Material Didáctico Academia ADUNI
Las siguientes expresiones no son 
polinomios.
• P(x) = x + x
3 + x5 + x7 + ...
• Q(x; y) = 2x
6 – y – 2
• M x
yx y;( )
= − +6
1
7
• T(x; y) = senx + cosy
¡Cuidado! 
Un polinomio es llamado mónico si su 
coeficiente principal es 1.
Ejemplos
• P(x) = 2x
6 – x8 + x9 – 2
 es mónico.
• Q(x) = (x – 1)(x + 2)(x – 3)
 es mónico.
• T(x) = x
4 + 8x6 – 5x – 1
 no es mónico.
¡Recuerde que...! 
Si el polinomio
 P(x) = (a – 3)x
2 + (b – 1)x + 2
es lineal y mónico, halle el valor de P(a + b).
Desafío
POLINOMIO
Es la expresión matemática que enlaza variables o constantes me-
diante una combinación finita de operaciones matemáticas (entre 
ellas se permiten la adición, sustracción, multiplicación y potencia-
ción), en las cuales los exponentes de las variables son enteros no 
negativos.
Ejemplos
• P(x; y; z)=– 5x
7y6z5 polinomio de tres variables
• R(x; y)=2x
6 – xy5+ 3 y polinomio de dos variables
• Q(x)=7x
3 – 2x2+
3
2
x – 1 polinomio de una variable
• M(x)=x
7 – x6+
1
2
x – 2 polinomio de una variable y mónico
Polinomio de una variable
Su forma general es
 P(x)=a0 x
n+a1x
n – 1+...+an – 1x+an; a0 ≠ 0
donde
• grado del polinomio: º P nx( )  = (mayor exponente)
• coeficientes: a0, a1, a2, ..., an
• coeficiente principal: a0 (coeficiente de la variable con mayor 
exponente)
• término independiente: an (no depende de la variable)
Ejemplo
 P x x x xx( ) = − + − +2 5 2 7
1
3
6 4 2
entonces
• grado del polinomio: º P x( )  = 6
• coeficientes: 2 5 2 7
1
3
; ; ; ;- -
• coeficiente principal: 2
• término independiente: 1/3
Anual Virtual ADUNI Álgebra
El cambio de variable en polinomios 
consiste en cambiar la variable inicial 
por una nueva.
Ejemplo
P(x)=3x
2+1
• cambio x por y: P(y)=3y
2+1
• cambio x por 2a: P(2a)=3(2a)
2+1
• cambio x por P 1
2




: P
x1
2
2
3 1 1



= 

 +
¡Cuidado! 
En ingeniería o las ciencias en general 
se llega a encontrar modelos que involu-
cran polinomios.
Así por ejemplo
P(x) =1,6 · 10
 – 6x2 – 0,016x+54
modela el rendimiento de gasolina de un 
vehículo deportivo, donde x es el peso en 
libras del vehículo (1800 ≤ x ≤ 5400).
¡Sabía que...! 
Dada la expresión matemática
P x x xx−( ) = − + −1
3 2 1
calcule el valor de P(1).
Desafío
Polinomio lineal
Es de la forma
 
P(x)=ax+b; a ≠ 0
Por ejemplo
• P(x)=3x+5
• M(x)=–5x+1
• T(x)=6x
Polinomio cuadrático
Es de la forma
 
P(x)=ax
2+bx+c; a ≠ 0
Por ejemplo
• P(x)=2x
2 – 5x+6
• T(x)=– 2x
2+6x+1
• K(x)=x
2+1
Polinomio cúbico
Es de la forma
 
P(x)=ax
3+bx2+cx+d; a ≠ 0
Por ejemplo
• P(x)=5x
3 – 6x2+7x – 11
• K(x)=x
3 – x – 1
• R(x)=2x
3
También para un polinomio
 P(x)=x
3 – 5x2+x – 10
• término cuadrático: –5x2
• término lineal: x
• término cúbico: x3
Academia ADUNI Material Didáctico
Problemas resueltos
1. El crecimiento de cierta población de insectos está dada por la expresión
 
f x
x
( ) =
2
3
,
 x: tiempo
 f(x): número de insectos
 Si para x=t hay 4 mil insectos, ¿cuántos insectos habrá para x=2t?
 Resolución
 Por dato se tiene f t
t
( ) = =
2
3
4000, entonces 2t=12 000. Luego, para x=2t se tiene que
 f t
t t
2
2 2 22
3
2
3
12 000
3( )
= =
( )
=
( ) 
 f t2
144 000 000
3
48 000 000( ) = =
 
 
 Por lo tanto, para x=2t habrá 48 millones de insectos.
2. Si f(x)=2
x+1+2x+2+2x+3, halle el valor de M.
 
M
f
f
= ( )
( )
2020
2018
 Resolución
 f(x)=2
x+1+2x+2+2x+3
 f(x)=2
x · 2+2x · 22+2x · 23
 f(x)=2
x(2+22+23)
 f(x)=14 · 2
x
 Luego
 M
f
f
= ( )
( )
2020
2018
 M = ⋅
⋅
= =−14 2
14 2
2 2
2020
2018
2020 2018 2
 ∴ M = 4
Anual Virtual ADUNI Álgebra
3. Si se sabe que P(x+1)=P(x)+x
2+2, halle el valor 
de P(11) – P(0).
 Resolución
 Como P(x+1)=P(x)+x
2+2, entonces
 P(x+1) – P(x)=x
2+2
 
 x=10: P(11) – P(10)=10
2+2
 x=9: P(10) – P(9)=9
2+2
 x=8: P(9) – P(8)=8
2+2
 
 x=1: P(2) – P(1)=1
2+2
 x=0: P(1) – P(0)=0
2+2
(+)
 P(11) – P(0)= (12+22+...+102)+2(11)
 P(11) – P(0)=
10 11 21
6
22
( )( )
+
 =385+22
 ∴ P(11) – P(0)=407
4. Sea el polinomio lineal P(x)=ax+b, tal que 
P(1)=2P(–1). Calcule el valor de P(– 3).
 Resolución
 P(x)=ax+b
 P(1)=a+b
 P(–1)=– a+b
 Como
 P(1)=2P(–1)
 a+b=2(– a+b)
 3a=b
 Nos piden
 P(– 3)=3a+b
 P(3)=– 3a+3a=0
 ∴ P(3)=0
5. Dados los polinomios
 P(x)=ax+b y Q(ax+b)=6x+7, tales que
 P(3)=2P(2)=4, calcule la suma de coeficientes 
de Q(x).
 Resolución
 Como P(x)=ax+b, entonces
 P(3)=a(3)+b=4
 → 3a+b=4 (I)
 2P(2)=2(a(2)+b)=4
 → 2a+b=2 (II)
 De (I) – (II)
 3a+b=4
 2a+b=2
 a=2
 En (I)
 3a+b=4
 3(2)+b=4
 b=– 2
 Luego, P(x)=2x – 2, entonces
 Q(2x – 2)=6x+7
 Si x =
3
2
: Q(1)=6
3
2
7

 +
 Q(1)=16
 Por lo tanto, la suma de coeficientes de Q(x) 
es 16.
6. Se tiene que M(x)=x
3+3x2+3x+1. Halle el valor 
de M
23 1−( ).
 Resolución
 M(x)=x
3+3x2+3x+1 ← binomio al cubo
 M(x)= (x+1)
3
 Luego reemplazamos.
 M
23 1
3 32 1 1
−( ) = − +( )
 ∴ = =
−( )M 2 1
3 3
3 2 2
Academia ADUNI Material Didáctico
Práctica dirigida
1. Establezca la secuencia correcta del valor de 
verdad (V o F) respecto a cada una de las si-
guientes proposiciones:
I. Si P(x; y)=4x
2 – 6y3, entonces las variables 
son x e y y las constantes son 4; 3; 2; – 6.
II. La variable de la expresión P
x
xx−( )
= +
−3
2 1
1
 es 
x – 3.
III. Si M(x)=x+1, entonces M(M(1))=3.
A) VVV B) VVF
C) VFF D) VFV
2. Si P(x)=x
2+14x+49, determine el valor de 
M=P(13)+P(–17). 
A) 200 B) 1000
C) 500 D) 1200
3. La población de hongos en una región está 
determinada por la cantidad de esporas ger-
minadas cuando las condiciones ambientales 
son adecuadas. Se descubrió que una especie 
aumenta según la expresión R(x)=A · 3
x+1, don-
de x es el tiempo en meses. ¿Cuánto será la 
población en el cuarto mes si en el inicio solo 
se tenia 6 hongos?
A) 386 B) 468
C) 934 D) 486
4. Si se sabe que 
 L(x+3)=2x+1
 M(y –1)=3y – 2
 determine el valor de T.
 T
L M
=
+( ) ( )3 2
4
A) 2 B) 
7
2
C) 1 D) 3
5. Dado la expresión A tal que A(x+1)=A(x)+1.
 Calcule el valor de A(5)–A(2).
A) 5 B) 1
C) 2 D) 3
6. Dado el siguiente polinomio cuadrático y mó-
nico P(x)= (b+n)+ (a – n)x+ (a – 3)x
n con térmi-
no independiente 7. Determine a+b+n.
A) 1 B) 10
C)11 D) 2
7. Un fabricante puede producir cierto artículo a 
S/50 la unidad. Se estima que si vende a x so-
les la unidad, los consumidores compran 100– x 
cada mes. Determine el valor de verdad (V o F) 
con respecto al polinomio que calcula la utilidad.
I. Es polinomio cuadrático.
II. Es un polinomio lineal.
III. Es un polinomio mónico.
A) FFF B) VVV
C) VFF D) VVF
Práctica domiciliaria
1. Indique el valor de verdad (V o F) respecto a 
las siguientes proposiciones:
I. Si S(x; y)=3x2y4–5, entonces su variable 
son x e y, y sus constantes son 3; 2; 4 y –5.
II. La variable de la expresión T(2x)=x2+3x+10 
es x.
III. Si A
xx( )
= 1 , entonces A(A(2)=2
A) VVV B) VFV
C) VFF D) FFF
2. Si P(x)=x
3–3x2+3x–1, determine el valor de 
P(11)+P(–9).
A) –1 B) 0
C) 9 D) 121
Anual Virtual ADUNI Álgebra
3. El polinomio P(x)=1,6×10
–6x2–0,016x+30,4 
modela el rendimiento de gasolina de un vehí-
culo deportivo, donde x es el peso en libras del 
vehículo (1800 ≤ x ≤ 5400). Determine el rendi-
miento de un Chevrolet Camaro de 4000 libras.
A) 5,6 B) 6,5
C) 7,2 D) 4,8
4. Si se sabe que
 A(x+3)=x–1
 B(y–2)=2y–1
 determine el valor de 
B A
A
( ) ( )
( )
− +2 4
3
A) –1 B) 0
C) 1 D) 3
5. Si una población de bacterias comenzó con 
200 y se descubrió que el número de bacte-
rias aumenta según la expresión B(t)=A0·2
2t+1 
donde t es el tiempo en día, determine la po-
blación en la primera semana.
A) 25× 219 B) 100 × 24
C) 25× 215 D) 200 × 210
6. Se tienen las siguientes expresiones matemáticas.
 P(x –1)=2x
2+5x+6; Q(x+2)=x+3
 Halle el valor de P(Q(0)).
A) 8 B) –12
C) 6 D) 24 
7. Sea x, y ∈ R, si F(x; y)=x
2 – y2, calcule F(3; F(2; 1)).
A) 40 B) – 49
C) 0 D) 3
8. Si f(x – 3)=x
2+1 y h(x+1)=4x+1, halle el valor 
de h(f(0)+h(1)).
A) 117 B) 41
C) 40 D) 107
9. Si f es un polinomio tal que f(x+1)= f(x)+1
 calcule el valor de f(50) – f(48).
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 5
10. Indique la secuencia correcta de verdad (V o F) 
respecto de las siguientes proposiciones.
I. Si P(x)=4x
2+9x3+6x+10, su coeficiente 
principal es 4.
II. Si T(x)=5x
4+6x2 – 6+4x, su término inde-
pendiente es – 6.
 III. Si K(x)= (x+2)
2+7x+x3, su grado es 3.
A) VVF B) FVV
C) FFF D) FFV
11. Si P x xx
n n
( )
− −= + +10 13 6 es un polinomio cua-
drático, halle la suma de valores que puede 
tomar n.
A) 9 B) 10
C) 6 D) 15
12. Si el polinomio P(x)= (m–2)x
a+mx+m+b+x 
es cuadrática y mónico con término indepen-
diente 5, indique el valor de verdad (V o F) de 
las siguientes proposiciones:
 I. m+a+b=7
 II. P(x)=x
2+4x+5
 III. P(–1)=2
A) FVV B) VVF
C) VFF D) VVV
13. Un panadero puede preparar queque a S/1 
la unidad. Se ha determinado que si vende a 
S/x la unidad, los clientes compran (80–x) a 
la semana. Determine el valor de (V o F) con 
respecto al polinomio que obtiene la utilidad.
 I. Es un polinomio lineal y mónico.
 II. Es polinomio cuadrático.
 III. El T.I. del polinomio utilidad es –80.
A) VVV B) FFV
C) FVV D) FVF
Academia ADUNI Material Didáctico
semana
08
14. Cada semana se corta el pasto de las orillas de 
un terreno cuadrado de b metros de lado. El 
resto del terreno permanece intacto. La franja 
podada es de x metros de ancho.
 
x
x
x
x
b
b
 Indique el valor de (V o F) con respecto al área 
podada.
 I. Es polinomio cuadrático.
 II. Es mónico.
 III. El área podada es A(x)=–4x
2+4bx.
A) FVV B) VFF
C) VFV D) VVV
15. Si P(x)= (m – 2)x
3+xn+ (m – 3)x+m es un poli-
nomio cuadrático, determine la suma de coe-
ficientes de P(x) aumentado en n.
A) 2 B) 1
C) 3 D) 4
01 - B
02 - B
03 - D
04 - C
05 - A
06 - D
07 - C
08 - B
09 - B
10 - B
11 - A
12 - D
13 - C
14 - C
15 - D