X_Sem5

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Semana 5Semana 5
ÁlgebraÁlgebra
Material Didáctico Academia ADUNI
Se emplea la identidad de Legendre 
cuando se conoce la suma y el producto 
de dos números y nos piden la diferencia 
de los mismos.
Ejemplo
Si a + b = 7 ∧ ab = 2
Entonces
 (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
 72 – (a – b)2 = 4(2)
 49 – (a – b)2 = 8
 (a – b)2 = 41
Por lo tanto, el mayor valor de a – b es 
41y su menor valor es − 41.
Observación
Ax2 + Bx + C, ABC ≠ 0
es un trinomio cuadrado perfecto
si A > 0 ∧ B2 = 4AC.
Ejemplo
4x2 – 12x + 9 es un trinomio cuadrado per-
fecto, ya que 4 > 0 y (–12)2 = 4(4)(9).
¡Tenga en cuenta que...!
semana
05
Productos notables I
Los productos notables son el resultado de ciertas multiplicacio-
nes, estos son obtenidos en forma directa sin necesidad de efec-
tuar la ley distributiva.
LEYES DE MULTIPLICACIÓN
Ley conmutativa
a · b=b · a
Ejemplo
 (2)(7)= (7)(2)
Ley distributiva
a(b+c)=ab+ac
Ejemplo 
 5(2+6)=5(2)+5(6)
PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES
MULTIPLICACIÓN DE BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
Ejemplos
• (x+2)(x+3)=x2+(2+3)x+(2)(3)=x2+5x+6
• (x+1)(x+5)=x2+(1+5)x+(1)(5)=x2+6x+5
• (x – 7)(x+4)=x2+( – 7+4)x+( – 7)(4)=x2 – 3x – 28
• (x – 3)(x – 6)=x2+( – 3 – 6)x+( – 3)( – 6)=x2 – 9x+18
• (x+12)(x – 9)=x2+(12 – 9)x+(12)( – 9)=x2+3x – 108
• (2x+1)(2x – 3)= (2x)2+(1 – 3)(2x)+ (1)( – 3)=4x2 – 4x – 3
DESARROLLO DE UN BINOMIO AL CUADRADO
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a – b)2=a2 – 2ab+b2
Ejemplos
• (x+3)2=x2+2(x)(3)+32=x2+6x+9
• (2x+1)2=(2x)2+2(2x)(1)+12=4x2+4x+1
• (x – 7)2=x2 – 2(x)(7)+72=x2 – 14x+49
• (3x – 2)2=(3x)2 – 2(3x)(2)+22=9x2 – 12x+4
Anual Virtual ADUNI Álgebra
• 3 2 3 2 1+( ) −( ) =
• 4 3 4 3+ × −
• 5 4 5 4 1+( ) −( ) =
• 6 5 6 5 1+( ) −( ) =
En general
• n n n n+ +( ) + −( ) =1 1 1
Observación
Se puede utilizar diferencia de cuadrados 
para racionalizar una expresión.
Ejemplos
• 
1
5 2
1
5 2
5 2
5 2+
=
+( )
⋅
−( )
−( )
 =
−
−
5 2
5 2
2 2
 =
−5 2
3
• 
1
7 2
1
7 2
7 2
7 2−
=
−( )
⋅
+( )
+( )
 =
+
−
=
+7 2
7 2
7 2
32 2
¡Tenga en cuenta que...!
Consecuencias
Identidades de Legendre
(a+b)2+(a – b)2=2(a2+b2)
(a+b)2 – (a – b)2=4ab
Ejemplos
• (x+3)2+(x – 3)2=2(x2+32)=2x2+18
• 5 2 5 2 2 5 2 14
2 2 2 2
+( ) + −( ) = +( ) =
• (x+2)2 – (x – 2)2=4(x)(2)=8x
• x
x
x
x
x
x
+

 − −



 = ( )




=
1 1
4
1
4
2 2
DIFERENCIA DE CUADRADOS
(a+b)(a – b)=a2 – b2
Ejemplos
• (x+1)(x – 1)=x2 – 12=x2 – 1
• (x+3)(x – 3)=x2 – 32=x2 – 9
• x x x x+( ) −( ) = − = −5 5 5 52 2 2
• 7 6 7 6 7 6 7 6 1
2 2
+( ) −( ) = − = − =
• (5x+4)(5x – 4)= (5x)2 – (4)2=25x2 – 16
• x
x
x
x
x
x
x
x
+

 −



 = −



 = −
1 1 1 12
2
2
2
• x2 – 4=x2 – 22=(x – 2)(x+2)
• x2 –16=x2 – 42=(x – 4)(x+4)
• y y x x2 2
2
5 5 5 5− = − = −( ) +( )
También
 a b a b a b a b a b a b+( ) − +( ) = +( ) + −( )  +( ) − −( ) 4 4 2 2 2 2� ���� ���� � ����� ����
 = 2(a2+b2) 4ab
 =8ab(a2+b2)
→ (a+b)4 – (a+b)4=8ab(a2+b2)
Academia ADUNI Material Didáctico 
Problemas resueltos
1. Si m
m
+ =
1
2, halle el valor de m
m
2
2
1
+ .
 Resolución
 Como
 m
m
+ =
1
2
 elevamos al cuadrado
 m
m
+

 =
( )1 2
2 2
 m
m
m
m
2
2
1
2
1
2+ + ( )



=
 m
m
2
2
1
2 2+ + =
 ∴ m
m
2
2
1
0+ =
2. Reduzca la expresión J.
 J
a b a b
a b
=
+( )  + −( ) 
+
2 2
2 23 3
 Resolución
 J= (a+b)
2+(a – b)2
3a2+3b2
J= 2(a
2+ b2)
3a2+3b2
por la identidad
de Legendre
 J
a b
a b
=
+( )
+( )
2
3
2 2
2 2
 ∴ J =
2
3
3. Si se cumple que x2+5x=5, calcule el valor de M.
 M x x x x= +( ) +( ) +( ) +( ) +1 4 2 3 1
 Resolución
 M x x x x= +( ) +( ) +( ) +( ) +1 4 2 3 1
 
M x x x x
x x x x
= +( ) +( )[ ] ⋅ +( ) +( )[ ] +
+ + + +
1 4 2 3 1
2 5 4 2 5 6
� ��� ��� � ��� ���
 M x x x x= + +
( ) + +( ) +2 2
5 5
5 4 5 6 1��� �� ��� ��
 M = +( ) +( ) +5 4 5 6 1
 M = ( ) + =9 11 1 100
 ∴ M=10
4. Calcule el valor de E16 si se sabe que
 E=24(52+1)(54+1)(58+1)+1
 Resolución
 E=24(52+1)(54+1)(58+1)+1
 E= (52 – 1)(52+1)(54+1)(58+1)+1
 
 (54 – 1)(54+1)(58+1)+1
 
 (58 – 1)(58+1)+1
 
 5 1 116 −( ) +
 E=516
 → E16 16
16
5 5= =
 Por lo tanto, el valor de E16 es 5.
5. Si x2+x=5, halle el valor de
 T= (x+2)(x–1)+ (x+3)(x–2)
 Resolución
 M= (x+2)(x–1)+ (x+3)(x–2)
 
M x x x x= + − + + −( ) ( )2 22 6��� ���
 M= (5–2) + (5–6)
  ∴ M=3+ (–1)=2
Anual Virtual ADUNI Álgebra
Práctica dirigida
1. Si x2+5x=5
 calcule el valor de
 S x x x x= +( ) +( ) +( ) +( ) +1 2 3 4 1
A) 10 B) 25 
C) 5 D) 6
2. Determine m2+22+n2 si se sabe que m+n=10 
y mn=3.
A) 9 B) 94
C) 98 D) 100
3. Carmen decide aprovechar ofertas de campa-
ña escolar para comprar cuadernos a su hijo. 
Si se sabe que en la lista de útiles le piden 
(2x+1) cuadernos, y al preguntar en la librería 
se da cuenta que el número coincide con el 
precio, ¿cuánto será el gasto total si al final Car-
men recibió un descuento de 4x soles?
A) (4x2 –1) soles
B) (4x2+1) soles
C) 4x2 soles
D) (x2+1) soles
4. Si (a–1)2=5a, halle el valor de a
a
2
2
1
+ .
A) 47 B) 48
C) 37 D) 2
5. Simplifique la siguiente expresión: 
 T
a a
a a
=
+( ) + −( ) −
+( ) − −( )
2 2 8
2 2
2 2
2 2
A) a2 B) 
1
4
C) 
a
4
 D) 
a2
4
6. Reduzca la siguiente expresión:
 S = × − ( )( )2019 2021 4 1010 2
2021
A) 1 B) –1
C) 2020 D) 2021
7. Según el plano de un edificio, los cuartos de-
ben tener baño propio, según la siguiente 
figura:
Baño
(3
b)
 m
 Si se sabe que el espacio del baño y el cuarto 
son cuadrados de lados (b) m y (3a) m, res-
pectivamente, determine el área de la región 
sombreada.
A) (3a –2b)(3a+2b) m2
B) (2a – 3b)(2a+3b) m2
C) (a – b)(a+b) m2
D) (a+3b)(a – 3b) m2
Práctica domiciliaria
1. Si x2+5x=2, calcule el valor de J.
 J= [(x+1)(x+4)](x+2)(x+3) – 6
A) 34 B) 68
C) 4 D) 36
2. Un restaurante compra (a+2) cajas de monda-
dientes para sus comensales. Si cada caja con-
tiene (a+10) y ya ha utilizado 12a, determine 
la cantidad de mondadientes que le quedan.
A) 20 B) a2+20
C) a2 D) a2+12a
Academia ADUNI Material Didáctico 
3. Si a+b=7 y a2+b2=13, halle el valor de ab.
A) 9 B) 18 C) 16 D) 21
4. Si 2x+2y=4 y 3xy=3, determine el valor de 
 
x y2 2
2
+
.
A) 3 B) 1 C) 23 D) 20
5. Si x2+1=6x, calcule el valor de x
x
2
2
1
+ .
A) 24 B) 16 C) 32 D) 34
6. Fidel decide realizar un viaje por vacaciones 
con toda su familia. En la agencia se da cuen-
ta que el pasaje por persona es la mitad de la 
cantidad de integrantes que irán de viaje. De-
termine el gasto total si el pasaje por persona 
es S/(x–1), además, tiene que pagar un incre-
mento por equipaje de S/4x.
A) S/x2 –1 B) S/(2x2+2)
C) S/(2x2) D) S/(x2+1)
7. Determine 4x+4 –x, dado que 2x+2 –x=3.
A) 2 B) 4 C) 9 D) 7
8. Si a
a
+ =
1
3, determine el valor de a4+a – 4.
A) 9 B) 7 C) 49 D) 47
9. Simplificar
 S
m m
m m
m=
+( ) − −( )
+( ) + −( ) −
≠
1 1
1 1 2
0
2 2
2 2 ;
A) 2m B) 
m
2
 C) 
1
m
 D) 
2
m
10. Si 2 2 2 22 2 2 2x z x z x z−( ) − +( ) = −( ) +( ),
 halle 
2x
z
.
A) 2 B) 1 C) 20 D) 0
11. Determine la mayor diferencia entre x1 y x2 si 
se conocen los siguientes datos.
 I. x1+x2=8
 II. x1x2=5
A) 34 B) 30
C) 54 D) 2 11
12. Reduzca la siguiente expresión:
 K = × −( )1001 999 106
2020
A) 1000 B) 0 C) –1 D) 1
13. Calcule el valor de
 N =
+ ( )( )
+ ( )( )
4 664 668
1 221 223
A) 0 B) 3
C) 2 D) 666
14. Simplifique
 R =
+
+
+
+
+
1
5 4
1
4 3
1
3 2
A) 3 1− B) 5 2−
C) 2 5− D) 5 3−
15. Simplifique la siguiente expresión.
 
a b a b b
a b a b
a b
+( ) + −( ) −
+( ) −( )
≠
2 2
4
;
A) 4 B) 2
C) 1 D) 0
01 - D
02 - B
03 - B
04 - B
05 - D
06 - B
07 - D
08 - D
09 - D
10 - B
11 - D
12 - D
13 - B
14 - B
15 - B