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SPLINES DANIEL LIBARDO MONRROY CARO. 20182172407 JORGE IVAN DUQUE LEAL. 20161144908 MÉTODOS NUMÉRICOS YAMIL ARMANDO CERQUERA ROJAS UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA NEIVA - HUILA 2021 SPLINES El trazador cubico o spline es un conjunto de polinomios de tercer grado que se genera a partir de un conjunto de puntos y, para calcularlo, debe cumplen ciertas condiciones: i. Los polinomios pasan por los puntos: Pk(xk) = f(xk) con k = {0, 1, . . . } y Pn−1(xn) = f(xn). ii. Continuidad en los nodos interiores: Pk(xk+1) = Pk+1(xk+1) con k = {0, 1, . . . }. iii. Derivabilidad en los nodos interiores: Pk 0 (xk+1) = Pk+1 0 (xk+1) con k = {0, 1, . . . }. iv. Continuidad de la primera derivada para conservar la concavidad en la vecindad de los nodos interiores: Pk 00(xk+1) = Pk+1 00(xk+1) con k = {0, 1, . . . }. v. Condición de frontera natural (P0 00(x0) = 0 y Pn−1 00(xn) = 0) o frontera sujeta (P0 0 (x0) = f 0 (x0) y Pn−1 0 (xn) = f 0 (xn)) Cada polinomio para un nodo k se define como Pk(x) = ak+bk(x−xk)+ck(x−xk) 2+dk(x−xk) 3 . ITEM 1. Aplicar todas las condiciones se generará un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas serán los coeficientes de los n polinomios a encontrar con n igual a cantidad de puntos. ITEM 2. Siguiendo con la siguiente condición, se deben establecer igualdades en los nodos interiores. por lo tanto, se obtienen más ecuaciones dependiendo del número de nodos: ITEM 3. Análogamente, debe analizarse la derivada segunda en los nodos internos. Nuevamente se calcula la derivada segunda del polinomio: ITEM 4. Por último, se deben hallar aplicar la condición de frontera natural Frontera inferior Frontera superior: Con las expresiones obtenidas, se reorganizarán las igualdades en valores ya resueltos y ecuaciones por resolver. La solución de la matriz dará los coeficientes presentes en las ecuaciones del ITEM 1. DATOS TOMADOS MUERTES CORONAVIRUS ITALIA FECHA MUERTES FECHA MUERTES FECHA MUERTES 1-oct-20 35918 1-nov-20 38826 1-dic-20 56361 2-oct-20 35941 2-nov-20 39059 2-dic-20 57045 3-oct-20 35968 3-nov-20 39412 3-dic-20 58038 4-oct-20 35986 4-nov-20 39764 4-dic-20 58852 5-oct-20 36002 5-nov-20 40192 5-dic-20 59514 6-oct-20 36030 6-nov-20 40638 6-dic-20 60078 7-oct-20 36061 7-nov-20 41063 7-dic-20 60606 8-oct-20 36083 8-nov-20 41394 8-dic-20 61240 9-oct-20 36111 9-nov-20 41750 9-dic-20 61739 10-oct-20 36140 10-nov-20 42330 10-dic-20 62626 11-oct-20 36166 11-nov-20 42953 11-dic-20 63387 12-oct-20 36205 12-nov-20 43589 12-dic-20 64036 13-oct-20 36246 13-nov-20 44139 13-dic-20 64520 14-oct-20 36289 14-nov-20 44683 14-dic-20 65011 15-oct-20 36372 15-nov-20 45229 15-dic-20 65857 16-oct-20 36427 16-nov-20 45733 16-dic-20 66537 17-oct-20 36474 17-nov-20 46464 17-dic-20 67220 18-oct-20 36543 18-nov-20 47217 18-dic-20 67894 19-oct-20 36616 19-nov-20 47870 19-dic-20 68447 20-oct-20 36705 20-nov-20 48569 20-dic-20 68799 21-oct-20 36832 21-nov-20 49261 21-dic-20 69214 22-oct-20 36968 22-nov-20 49823 22-dic-20 69842 23-oct-20 37059 23-nov-20 50453 23-dic-20 70395 24-oct-20 37210 24-nov-20 51306 24-dic-20 70900 25-oct-20 37338 25-nov-20 52028 25-dic-20 71359 26-oct-20 37479 26-nov-20 52850 26-dic-20 71620 27-oct-20 37700 27-nov-20 53677 27-dic-20 71925 28-oct-20 37905 28-nov-20 54363 28-dic-20 72370 29-oct-20 38122 29-nov-20 54904 29-dic-20 73029 30-oct-20 38321 30-nov-20 55576 30-dic-20 73604 31-oct-20 38618 31-dic-20 74159 DATOS ACOMODADOS A PETICIÓN MUERTES CORONAVIRUS ITALIA FECHA MUERTES FECHA MUERTES 1 71859 32 115083 2 71954 33 118366 3 72032 34 120684 4 72144 35 122979 5 72251 36 126013 6 72371 37 128556 7 72535 38 130868 8 72799 39 133757 9 73017 40 136341 10 73321 41 138013 11 73800 42 140237 12 74269 43 142259 13 74817 44 143545 14 75605 45 145399 15 76443 46 147763 16 77444 17 78471 18 79956 19 81701 20 83144 21 85283 22 87728 23 89912 24 92197 25 95087 26 97830 27 100276 28 103334 29 106527 30 109267 31 111937 Los datos se dan mediante la suma de cada par de días de los 3 meses correspondientes desde el primero de octubre a el treinta y uno de diciembre del año dos mil veinte (1-oct-2020, 31-dic-2020) y dado que estos días representan 92 datos, sumados en pares tenemos 46 datos. Datos en función de los meses Grafica 1. Datos sumados muertes por coronavirus Italia oct-nov-dic. se realiza un análisis matemático en los primeros 5 puntos. ITEM 1. Dadas las rectas que conectan a los primeros 5 puntos, se generan las ecuaciones. recta Punto Ecuación P1(1,71859) P2(2,71954) P2(2,71954) P3(3,72032) P3(3,72032) P4(4,72144) P4(4,72144) P5(5,72251) Grafica 2. Rectas que unen los puntos. ITEM 2. Ecuaciones para los puntos comunes. Grafica 3. Puntos comunes Primeras derivadas en los puntos comunes. ITEM 3. Ecuaciones de los puntos comunes según su segunda derivada ITEM 4. Puntos fronteros. Se obtiene la ecuación de la segunda derivada en el primer punto. Frontera derecha: SISTEMA DE ECUACIONES ECUACIÓN NUMERO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Sistema simultaneo lineal de n ecuaciones para n variables matriz ti # a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 a3 b3 c3 d3 a4 b4 c4 d4 Y 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 4 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 19064 3 0 0 0 0 1 2 4 8 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 1 3 9 27 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 9 27 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 16 64 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 16 64 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 25 125 9 0 1 4 12 0 -1 -4 -12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 1 6 27 0 -1 -6 -27 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 48 0 -1 -8 -48 0 12 0 0 2 12 0 0 -2 -12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13 0 0 0 0 0 0 2 18 0 0 -2 -18 0 0 0 0 0 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 24 0 0 -2 -24 0 15 0 0 2 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 30 0 RESULTADOS COEFICIENTE VALOR DOMINIO 124844. (1,2) -24519.321 -42556.018 14185.339 434886.29 (2,3) -410247.75 150308.2 -17958.696 -177315.57 (3,4) 201954.11 -53759.089 4715.4464 184766.71 (4,5) -69607.607 14131.339 -942.08929 Grafica 4. splines cúbicos Grafica 5. splines vs datos CONCLUSIONES · El método de splines cúbicos es un método útil para hallar ecuaciones que relacionen puntos, sin embargo, al tener un sistema de ecuaciones tan complejo se hace difícil encontrar todos los coeficientes para la matriz si se trabaja con varios datos, pues de tan solo 4 deben se deben hallar 12 ecuaciones, con 5 datos se deben hallar 16 ecuaciones, lo que lo hace complejo y poco práctico. · El método resulta ser muy exacto, dado que trabaja específicamente sobre los puntos la ecuación resultante pasara exactamente por cada uno de ellos sin excepción, siendo mas preciso que algunos métodos como el de mínimos cuadrados. · Se puede observar que el uso de paquetes de programación como scilab usado en este caso, representa una gran ayuda reduciendo los cálculos comomatrices, gráficos y solución de ecuaciones. ANEXOS //grafica datos y=[71859 71954 72032 72144 72251 72371 72535 72799 73017 73321 73800 74269 74817 75605 76443 77444 78471 79956 81701 83144 85283 87728 89912 92197 95087 97830 100276 103334 106527 109267 111937 115083 118366 120684 122979 126013 128556 130868 133757 136341 138013 140237 142259 143545 145399 147763]; x=1:1:46; plot(x,y,'ob');xgrid xlabel('oct-nov-dic') ylabel('numero de muertos') title('crisis del coronavirus Italia') //grafica primeros 5 datos z=[71859 71954 72032 72144 72251]; n=1:1:5; plot(n,z,);xgrid xlabel('oct-nov-dic') ylabel('numero de muertos') title('crisis del coronavirus Italia') plot(n,z,'or');xgrid //matriz m=[1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 4 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 4 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 9 27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 9 27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 16 64 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 16 64 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 25 125 0 1 4 12 0 -1 -4 -12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 27 0 -1 -6 -27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 48 0 -1 -8 -48 0 0 2 12 0 0 -2 -12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 18 0 0 -2 -18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 24 0 0 -2 -24 0 0 2 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 30]; //vector resultado ti=[71954 19064 71954 72032 72032 72144 72144 72251 0 0 0 0 0 0 0 0 ]; //solucion de matriz r=inv(m)*ti //comprobando los resultados y1=r(1)+r(2)+r(3)+r(4) y2=r(1)+2*r(2)+4*r(3)+8*r(4) y3=r(5)+2*r(6)+4*r(7)+8*r(8) y4=r(5)+3*r(6)+9*r(7)+27*r(8) y5=r(9)+3*r(10)+9*r(11)+27*r(12) y6=r(9)+4*r(10)+16*r(11)+64*r(12) y7=r(13)+4*r(14)+16*r(15)+64*r(16) y8=r(13)+5*r(14)+25*r(15)+125*r(16) //grafica spline y=[71859 71954 72032 72144 72251 72371 72535 72799 73017 73321 73800 74269 74817 75605 76443 77444 78471 79956 81701 83144 85283 87728 89912 92197 95087 97830 100276 103334 106527 109267 111937 115083 118366 120684 122979 126013 128556 130868 133757 136341 138013 140237 142259 143545 145399 147763]'; x = linspace(1,46,46)'; xlabel('oct-nov-dic') ylabel('numero de muertos') title('crisis del coronavirus Italia') xx = linspace(1, 46, 400)'; d=splin(x,y); yy=interp(xx, x, y, d); plot2d(xx, [yy], style=[2 5], leg="Intento 1 spline") //grafica datos vs spline plot(x,y,'*r');xgrid plot2d(xx, [yy], style=[2 5], leg="Intento 1 spline") REFERENCIAS 7.3 Splines cúbicos. Uv.es. (2021). Retrieved 23 March 2021, from https://www.uv.es/diaz/mn/node40.html. Www3.fi.mdp.edu.ar. (2021). Retrieved 23 March 2021, from http://www3.fi.mdp.edu.ar/metodos/apuntes/spline.pdf. Cerquera, Y. (2021). Matrices tridiagonales splines cubicos [Ebook]. Retrieved 23 March 2021, from https://drive.google.com/drive/u/2/folders/1jbsnYhPyEsesgwnPInREqTFwDKoloS4f. Cerquera, Y. (2021). Trazadores cúbicos ajuste de curvas [Ebook]. Retrieved 23 March 2021, from https://drive.google.com/drive/u/2/folders/1jbsnYhPyEsesgwnPInREqTFwDKoloS4f.
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