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Aju_Spl_Cub_20182172407_20161144908

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SPLINES 
DANIEL LIBARDO MONRROY CARO. 20182172407
JORGE IVAN DUQUE LEAL. 20161144908
MÉTODOS NUMÉRICOS
YAMIL ARMANDO CERQUERA ROJAS
UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA
NEIVA - HUILA
2021
SPLINES
El trazador cubico o spline es un conjunto de polinomios de tercer grado que se genera a partir de un conjunto de puntos y, para calcularlo, debe cumplen ciertas condiciones:
i. Los polinomios pasan por los puntos: Pk(xk) = f(xk) con k = {0, 1, . . . } y Pn−1(xn) = f(xn).
ii. Continuidad en los nodos interiores: Pk(xk+1) = Pk+1(xk+1) con k = {0, 1, . . . }. 
iii. Derivabilidad en los nodos interiores: Pk 0 (xk+1) = Pk+1 0 (xk+1) con k = {0, 1, . . . }. 
iv. Continuidad de la primera derivada para conservar la concavidad en la vecindad de los nodos interiores: Pk 00(xk+1) = Pk+1 00(xk+1) con k = {0, 1, . . . }.
v. Condición de frontera natural (P0 00(x0) = 0 y Pn−1 00(xn) = 0) o frontera sujeta (P0 0 (x0) = f 0 (x0) y Pn−1 0 (xn) = f 0 (xn)) Cada polinomio para un nodo k se define como Pk(x) = ak+bk(x−xk)+ck(x−xk) 2+dk(x−xk) 3 . 
ITEM 1. Aplicar todas las condiciones se generará un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas serán los coeficientes de los n polinomios a encontrar con n igual a cantidad de puntos.
ITEM 2. Siguiendo con la siguiente condición, se deben establecer igualdades en los nodos interiores. por lo tanto, se obtienen más ecuaciones dependiendo del número de nodos:
ITEM 3. Análogamente, debe analizarse la derivada segunda en los nodos internos. Nuevamente se calcula la derivada segunda del polinomio:
ITEM 4. Por último, se deben hallar aplicar la condición de frontera natural
Frontera inferior
Frontera superior:
Con las expresiones obtenidas, se reorganizarán las igualdades en valores ya resueltos y ecuaciones por resolver.
La solución de la matriz dará los coeficientes presentes en las ecuaciones del ITEM 1.
DATOS TOMADOS
	MUERTES CORONAVIRUS ITALIA
	FECHA 
	MUERTES
	
	FECHA 
	MUERTES
	
	FECHA 
	MUERTES
	1-oct-20
	35918
	
	1-nov-20
	38826
	
	1-dic-20
	56361
	2-oct-20
	35941
	
	2-nov-20
	39059
	
	2-dic-20
	57045
	3-oct-20
	35968
	
	3-nov-20
	39412
	
	3-dic-20
	58038
	4-oct-20
	35986
	
	4-nov-20
	39764
	
	4-dic-20
	58852
	5-oct-20
	36002
	
	5-nov-20
	40192
	
	5-dic-20
	59514
	6-oct-20
	36030
	
	6-nov-20
	40638
	
	6-dic-20
	60078
	7-oct-20
	36061
	
	7-nov-20
	41063
	
	7-dic-20
	60606
	8-oct-20
	36083
	
	8-nov-20
	41394
	
	8-dic-20
	61240
	9-oct-20
	36111
	
	9-nov-20
	41750
	
	9-dic-20
	61739
	10-oct-20
	36140
	
	10-nov-20
	42330
	
	10-dic-20
	62626
	11-oct-20
	36166
	
	11-nov-20
	42953
	
	11-dic-20
	63387
	12-oct-20
	36205
	
	12-nov-20
	43589
	
	12-dic-20
	64036
	13-oct-20
	36246
	
	13-nov-20
	44139
	
	13-dic-20
	64520
	14-oct-20
	36289
	
	14-nov-20
	44683
	
	14-dic-20
	65011
	15-oct-20
	36372
	
	15-nov-20
	45229
	
	15-dic-20
	65857
	16-oct-20
	36427
	
	16-nov-20
	45733
	
	16-dic-20
	66537
	17-oct-20
	36474
	
	17-nov-20
	46464
	
	17-dic-20
	67220
	18-oct-20
	36543
	
	18-nov-20
	47217
	
	18-dic-20
	67894
	19-oct-20
	36616
	
	19-nov-20
	47870
	
	19-dic-20
	68447
	20-oct-20
	36705
	
	20-nov-20
	48569
	
	20-dic-20
	68799
	21-oct-20
	36832
	
	21-nov-20
	49261
	
	21-dic-20
	69214
	22-oct-20
	36968
	
	22-nov-20
	49823
	
	22-dic-20
	69842
	23-oct-20
	37059
	
	23-nov-20
	50453
	
	23-dic-20
	70395
	24-oct-20
	37210
	
	24-nov-20
	51306
	
	24-dic-20
	70900
	25-oct-20
	37338
	
	25-nov-20
	52028
	
	25-dic-20
	71359
	26-oct-20
	37479
	
	26-nov-20
	52850
	
	26-dic-20
	71620
	27-oct-20
	37700
	
	27-nov-20
	53677
	
	27-dic-20
	71925
	28-oct-20
	37905
	
	28-nov-20
	54363
	
	28-dic-20
	72370
	29-oct-20
	38122
	
	29-nov-20
	54904
	
	29-dic-20
	73029
	30-oct-20
	38321
	
	30-nov-20
	55576
	
	30-dic-20
	73604
	31-oct-20
	38618
	
	
	
	
	31-dic-20
	74159
DATOS ACOMODADOS A PETICIÓN
	MUERTES CORONAVIRUS ITALIA
	FECHA
	MUERTES
	
	FECHA
	MUERTES
	1
	71859
	
	32
	115083
	2
	71954
	
	33
	118366
	3
	72032
	
	34
	120684
	4
	72144
	
	35
	122979
	5
	72251
	
	36
	126013
	6
	72371
	
	37
	128556
	7
	72535
	
	38
	130868
	8
	72799
	
	39
	133757
	9
	73017
	
	40
	136341
	10
	73321
	
	41
	138013
	11
	73800
	
	42
	140237
	12
	74269
	
	43
	142259
	13
	74817
	
	44
	143545
	14
	75605
	
	45
	145399
	15
	76443
	
	46
	147763
	16
	77444
	
	
	
	17
	78471
	
	
	
	18
	79956
	
	
	
	19
	81701
	
	
	
	20
	83144
	
	
	
	21
	85283
	
	
	
	22
	87728
	
	
	
	23
	89912
	
	
	
	24
	92197
	
	
	
	25
	95087
	
	
	
	26
	97830
	
	
	
	27
	100276
	
	
	
	28
	103334
	
	
	
	29
	106527
	
	
	
	30
	109267
	
	
	
	31
	111937
	
	
	
Los datos se dan mediante la suma de cada par de días de los 3 meses correspondientes desde el primero de octubre a el treinta y uno de diciembre del año dos mil veinte (1-oct-2020, 31-dic-2020) y dado que estos días representan 92 datos, sumados en pares tenemos 46 datos.
Datos en función de los meses 
Grafica 1. Datos sumados muertes por coronavirus Italia oct-nov-dic.
se realiza un análisis matemático en los primeros 5 puntos.
ITEM 1.
Dadas las rectas que conectan a los primeros 5 puntos, se generan las ecuaciones.
	recta
	Punto
	Ecuación 
	
	P1(1,71859)
	
	
	P2(2,71954)
	
	
	P2(2,71954)
	
	
	P3(3,72032)
	
	
	P3(3,72032)
	
	
	P4(4,72144)
	
	
	P4(4,72144)
	
	
	P5(5,72251)
	
Grafica 2. Rectas que unen los puntos.
ITEM 2.
Ecuaciones para los puntos comunes.
Grafica 3. Puntos comunes
Primeras derivadas en los puntos comunes.
ITEM 3.
Ecuaciones de los puntos comunes según su segunda derivada
ITEM 4.
Puntos fronteros.
Se obtiene la ecuación de la segunda derivada en el primer punto.
Frontera derecha: 
	SISTEMA DE ECUACIONES
	ECUACIÓN
	NUMERO
	1
	
	2
	
	3
	
	4
	
	5
	
	6
	
	7
	
	8
	
	9
	
	10
	
	11
	
	12
	
	13
	
	14
	
	15
	
	16
	
	Sistema simultaneo lineal de n ecuaciones para n variables
	matriz
	ti
	#
	a1
	b1
	c1
	d1
	a2
	b2
	c2
	d2
	a3
	b3
	c3
	d3
	a4
	b4
	c4
	d4
	Y
	1
	1
	1
	1
	1
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	
	2
	1
	2
	4
	8
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	19064
	3
	0
	0
	0
	0
	1
	2
	4
	8
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	
	4
	0
	0
	0
	0
	1
	3
	9
	27
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	
	5
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	3
	9
	27
	0
	0
	0
	0
	
	6
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	4
	16
	64
	0
	0
	0
	0
	
	7
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	4
	16
	64
	
	8
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	5
	25
	125
	
	9
	0
	1
	4
	12
	0
	-1
	-4
	-12
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	10
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	6
	27
	0
	-1
	-6
	-27
	0
	0
	0
	0
	0
	11
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	8
	48
	0
	-1
	-8
	-48
	0
	12
	0
	0
	2
	12
	0
	0
	-2
	-12
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	13
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	2
	18
	0
	0
	-2
	-18
	0
	0
	0
	0
	0
	14
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	2
	24
	0
	0
	-2
	-24
	0
	15
	0
	0
	2
	6
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	16
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	2
	30
	0
	RESULTADOS 
	COEFICIENTE
	VALOR
	DOMINIO
	
	124844.
	
(1,2)
	
	-24519.321
	
	
	-42556.018
	
	
	14185.339
	
	
	434886.29
	
(2,3)
	
	-410247.75
	
	
	150308.2
	
	
	-17958.696
	
	
	-177315.57
	
(3,4)
	
	201954.11
	
	
	-53759.089
	
	
	4715.4464
	
	
	184766.71
	
(4,5)
	
	-69607.607
	
	
	14131.339
	
	
	-942.08929
	
Grafica 4. splines cúbicos
Grafica 5. splines vs datos
CONCLUSIONES
· El método de splines cúbicos es un método útil para hallar ecuaciones que relacionen puntos, sin embargo, al tener un sistema de ecuaciones tan complejo se hace difícil encontrar todos los coeficientes para la matriz si se trabaja con varios datos, pues de tan solo 4 deben se deben hallar 12 ecuaciones, con 5 datos se deben hallar 16 ecuaciones, lo que lo hace complejo y poco práctico.
· El método resulta ser muy exacto, dado que trabaja específicamente sobre los puntos la ecuación resultante pasara exactamente por cada uno de ellos sin excepción, siendo mas preciso que algunos métodos como el de mínimos cuadrados.
· Se puede observar que el uso de paquetes de programación como scilab usado en este caso, representa una gran ayuda reduciendo los cálculos comomatrices, gráficos y solución de ecuaciones. 
ANEXOS
//grafica datos
y=[71859 71954 72032 72144 72251 72371 72535 72799 73017 73321 73800 74269 74817 75605 76443 77444 78471 79956 81701 83144 85283 87728 89912 92197 95087 97830 100276 103334 106527 109267 111937 115083 118366 120684 122979 126013 128556 130868 133757 136341 138013 140237 142259 143545 145399 147763];
x=1:1:46;
plot(x,y,'ob');xgrid
xlabel('oct-nov-dic')
ylabel('numero de muertos')
title('crisis del coronavirus Italia')
//grafica primeros 5 datos
z=[71859 71954 72032 72144 72251];
n=1:1:5;
plot(n,z,);xgrid
xlabel('oct-nov-dic')
ylabel('numero de muertos')
title('crisis del coronavirus Italia')
plot(n,z,'or');xgrid
//matriz 
m=[1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 4 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 2 4 8 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 3 9 27 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 9 27 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 16 64 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 16 64
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 25 125
0 1 4 12 0 -1 -4 -12 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 6 27 0 -1 -6 -27 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 48 0 -1 -8 -48
0 0 2 12 0 0 -2 -12 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 2 18 0 0 -2 -18 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 24 0 0 -2 -24
0 0 2 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 30];
//vector resultado
ti=[71954
19064
71954
72032
72032
72144
72144
72251 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
];
//solucion de matriz
r=inv(m)*ti
//comprobando los resultados
y1=r(1)+r(2)+r(3)+r(4)
y2=r(1)+2*r(2)+4*r(3)+8*r(4)
y3=r(5)+2*r(6)+4*r(7)+8*r(8)
y4=r(5)+3*r(6)+9*r(7)+27*r(8)
y5=r(9)+3*r(10)+9*r(11)+27*r(12)
y6=r(9)+4*r(10)+16*r(11)+64*r(12)
y7=r(13)+4*r(14)+16*r(15)+64*r(16)
y8=r(13)+5*r(14)+25*r(15)+125*r(16)
//grafica spline
y=[71859 71954 72032 72144 72251 72371 72535 72799 73017 73321 73800 74269 74817 75605 76443 77444 78471 79956 81701 83144 85283 87728 89912 92197 95087 97830 100276 103334 106527 109267 111937 115083 118366 120684 122979 126013 128556 130868 133757 136341 138013 140237 142259 143545 145399 147763]';
x = linspace(1,46,46)';
xlabel('oct-nov-dic')
ylabel('numero de muertos')
title('crisis del coronavirus Italia')
xx = linspace(1, 46, 400)';
d=splin(x,y);
yy=interp(xx, x, y, d);
plot2d(xx, [yy], style=[2 5], leg="Intento 1 spline")
//grafica datos vs spline
plot(x,y,'*r');xgrid
plot2d(xx, [yy], style=[2 5], leg="Intento 1 spline")
REFERENCIAS
7.3 Splines cúbicos. Uv.es. (2021). Retrieved 23 March 2021, from https://www.uv.es/diaz/mn/node40.html.
Www3.fi.mdp.edu.ar. (2021). Retrieved 23 March 2021, from http://www3.fi.mdp.edu.ar/metodos/apuntes/spline.pdf.
Cerquera, Y. (2021). Matrices tridiagonales splines cubicos [Ebook]. Retrieved 23 March 2021, from https://drive.google.com/drive/u/2/folders/1jbsnYhPyEsesgwnPInREqTFwDKoloS4f.
Cerquera, Y. (2021). Trazadores cúbicos ajuste de curvas [Ebook]. Retrieved 23 March 2021, from https://drive.google.com/drive/u/2/folders/1jbsnYhPyEsesgwnPInREqTFwDKoloS4f.

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