SIU1 Práctica 10 - Trigonometría

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Semana 10
Trigonometría
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico 
semana
10
VARIACIÓN DEL SENO EN LA C.T.
θ
γ
Y
X
1
0
senθ
sen γ
– 1
∀ x ∈ R, se cumple que 
– 1 ≤ senx ≤ 1
VARIACIÓN DEL COSENO EN LA C.T.
 
Y
X
α
θ
– 1 cosθ cosα 10
∀ x ∈ R, se cumple que 
– 1 ≤ cosx ≤ 1
VARIACIÓN DE LA TANGENTE EN LA C.T.
φ
α
tanα
tanφ
Y
X
L T
O
∀ ∈ − +( ){ }x nR 2 1 2π , n ∈ Z,
se cumple que tan x ∈ R
VARIACIÓN DE LA COTANGENTE EN LA C.T.
O
α φ
cotφ cotα
Y
X
∀ x ∈ R – {np}, n ∈ Z,
se cumple que cotx ∈ R
Circunferencia trigonométrica II
Semestral Intensivo Virtual UNI Trigonometría
Problemas resueltos
1. Si f(x)=2cosx(cosx–senx)
 
π π
2
5
8
≤ ≤x
 calcule los valores de f(x).
 Resolución
 f(x)=2cosx(cosx–senx)–1
 f(x)=2cos
2x–2senxcosx–1
 f(x)=1+cos2x–sen2x–1
 f(x)=cos2x–sen2x
 f x xx( ) = −




2
1
2
2
1
2
2cos sen
 f x xx( ) = −



2 2 4
2
4
cos cos sen sen
π π
 f xx( ) = +



2 2 4
cos
π
 
 Como
 
π π
2
5
8
≤ ≤x
 π
π
≤ ≤2
5
4
x
 Entonces
 
5
4
2
4
3
2
π π π
≤ + ≤x
 cos cos cos
5
4
2
4
3
2
π π π
≤ +

 ≤x
 − ≤ +

 ≤
1
2
2
4
0cos x
π
 ∴ –1 ≤ f(x) ≤ 0
2. Para qué valores de x comprendidos en [0; 2p] 
 se cumple la condición 2 3 3 3− <tan x .
 Resolución
 Del dato
 2 3 3 3− <tan x
 Entonces
 − < − <3 2 3 3 3tan x
 − < − < −3 3 3 3tan x
 3 3 3 3> >tan x
 3
3
3
> >tan x
 Analizando en la C.T. se encuentra valores para x.
 En el primer cuadrante
 
π π
6 3
< <x
 Asimismo, obtenemos valores de x, en el ter-
cer cuadrante
 
7
6
4
3
π π
< <x
 Luego 0 ≤ x ≤ 2p
 ∴ x ∈ ∪
π π π π
6 3
7
6
4
3
; ;
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico 
Práctica dirigida
1. Halle la variación de la expresión
 sen2x+|senx| si π
π
< <x
3
2
.
A) [0; 2〉 B) 〈0; 2〉 C) 〈–1; 2〉
D) [0; 1〉 E) 〈–2; 2〉
2. Si 0
2
< <θ
π
, además, 
 exsec
tan tan
tan
x =
− +
+
2 2
1
θ θ
θ
 determine los valores de x comprendidos en 
〈–p; p〉.
A) −



π π
4 4
;
B) 
π π
3
2
3
;



C) −
π π
2 2
;
D) −



π π
3 3
;
E) − − 

∪


π π π π
2 3 3 2
; ;
3. Si − ≤ < −1 3
2
sen x ; x ∈ 〈– p; 0〉, 
 determine la variación de la expresión 
 3
2 6
1tan .
x
−



 +
π
A) 〈1; 2〉	 	 	
B) 2 2;
C) 
1
2
2;
D) 
1
2
1; 
E) 
2
2
3
2
;
4. Halle la variación de la expresión
 1
2
− +sen senθ
θ
 si 3
7
2
π θ
π
< < .
A) −
2
2
0;
B) 〈0; 1〉
C) −
2
2
1;
D) 0
2
2
; 
E) 
2
2
1;
5. La temperatura durante la tarde se puede medir 
en grados celsius y utilizando la ecuación
 T T
T T( ) = +

 −



 +8 18
2
9 18 9
10cos cos
π π π π
 donde T=0 es el mediodía y está en horas. 
Halle la variación de la temperatura desde las 
2 p. m. hasta las 5 p. m.
A) entre 12° y 14°
B) entre 12° y 16°
C) entre 10° y 14°
D) entre 10° y 18°
E) entre 10° y 12°
6. Halle los valores de tanx si se cumple
 senq= tan2x+ tanx
A) −
− −



5 1
2
5 1
2
;
B) −
− −



5 1
4
5 1
4
;
C) −
− +



5 1
2
5 1
2
;
D) 
5 1
2
5 1
2
− +



;
E) 1
5 1
2
;
+



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7. Si x1∧ x2 son soluciones de la ecuación
 10sen2x–3senx–4=0
 además, senx1 < y < senx2 , calcule el máximo 
valor de sec2y–4secy+5.
A) 1 
B) 
3
2
 
C) 2
D) 
5
2
 
E) 3
8. Si α π π∈
6 2
; , además, el valor de K represen-
ta la suma de ordenadas de los puntos F y J, 
halle la variación de K. Considere OJ = α.
A) −
3
2
0;
B) 〈–1; 1〉
C) −
1
2
1;
D) −1
1
2
;
E) −
3
2
1; 
Y
X
J
O
F
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Práctica domiciliaria
1. Si sen2q+2senq=n+2; 0 3
2
< ≤θ
π
, calcule el
 número de valores enteros que adopta n.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
2. Resuelva la inecuación
 1
5
7
< <csc cscx
π
 si 7 < x < 9.
A) 
5
2
19
2
p p
; B) 
16
7
19
7
p p
;
C) 
16
7
5
2
p p
;
D) 
16
7
19
7
5
2
π π π
; − { } E) 7 9 52; − { }π
3. Calcule el mínimo valor de la expresión
 
1+ sen cos
sen cos
x x
x x
 si 0
2
< <x
π
.
A) 
3 3 1
4
−
 B) 
3 2
4
+
 C) 2
D) 
2 1
2
−
 E) 3
4. Si x y+ = π
2
, halle el mínimo valor de
 M y x= +

 + +



sen sen
π π
6 6
A) −
+



6 2
2
 B) 
6 2
2
−
 C) 
2 6
2
−
D) 
6 2
4
−
 E) 
6 2
4
+
5. Los arcos q y α pertenecen al tercer cuadran-
te, además, son positivos y menores que una 
vuelta. Si cumplen que cscq – 2cosα=0, calcule 
la variación de α.
A) 7
6
4
3
π π
;



 B) 
7
6
3
2
p p
; C) p
p
;
4
3
D) π
π
;
7
6


 E) 
4
3
3
2
p p
;
6. Si 0 3
7
< <senθ , halle la suma de valores de 
 M = −10 2cosθ� �
A) – 7 B) – 9 C) –10
D) – 6 E) – 3
7. Si tan ;x ∈ − 2 1 , calcule la variación de 
 N
x
x
=
−
+
2
1
2
2
cos
cos
A) 
1
2
5
4
;



 B) 
3
4
1;



 C) 
1
2
3
4
;



D) 
1
3
5
4
;



 E) 
1
3
9
4
;



8. Si 0
2
1
2
≤ 

 ≤sen
α
; α ∈ [0; 2p],
 calcule la variación de |tanα|.
A) 0
3
3
;




 B) 
3
3
1;




 C) 0 3; 
D) 1 3;  E) [0; 1]
9. Si α y q son ángulos agudos, calcule la 
 variación de M =
+( )
sen cos
sen cos
α θ
α θ 2
.
A) 0
1
2
;


 B) 0
1
4
;


 C) 0
1
2
;
D) 〈2; 5〉 E) 〈3; 6〉
Semestral Intensivo Virtual UNI Trigonometría
10. Si senα=secq, donde 0 < α < 2p y π θ π
2
5
2
< < , 
 calcule 3
4
2
3
cot sen
θ α


 −



.
A) 0 B) ± 2 C) 3
D) ± 1 E) 4
11. Determine la secuencia correcta de verdad (V) 
o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I. sen5+cos5 < 0
II. cot2 > tan2
III. cot3 < cot6
A) FVF B) FFV C) VFF
D) VVF E) VVV
12. Si – 2p < x < y < 0, para los cuales se cum-
ple que covx – exsecy=2, calcule el valor de 
M=sen(x+y)+cos(2x+y)
A) 0 B) 1 C) –1
D) – 2 E) 2
13. Si tan
sen
2 2
1
0
θ
θ
−
−
> ; θ
π
∈ 0
2
; , calcule la extensión 
 de csc2q.
A) 
5
2
; + ∞ B) 〈3; + ∞〉	 C) 〈2; + ∞〉
D) 
4
3
; + ∞ 	 	 	 E) 
3
2
; + ∞
14. Calcule la variación de la expresión
 M=xcscx – secx si x ∈ 0
2
;
π
.
A) 〈– ∞; 0〉 B) R C) 〈– ∞; 1〉
D) 〈1; +∞〉 E) 〈0; +∞〉
15. Si sen cos2 2 1
2
θ θ− = +m ; θ
π π
∈

4
7
6
; ,
  ¿cuántos valores enteros adopta m?
A) 2 B) 3 C) 4
D) 1 E) 5
16. Si 〈a; b] es la variación de la expresión
 N x x= −( )2 2 6 6sen cos ; x ∈ −
π π
72
17
72
;
 calcule a2+2b.
A) 24 B) 16 C) 12
D) 20 E) 22
17. Si π α π
2
< < , determine los valores de α que 
cumplen la condición 2cot2α+cos2α < 0.
A) 
3
4
p
p; B) 
p p
2
2
3
; C) 
2
3
5
6
p p
;
D) 
p
p
2
; E) 
2
3
3
4
p p
;
18. Si sec cscθ π= −
14
, calcule el valor de q
 si –30 < q < –28.
A) −
67
7
π
 B) −
64
7
π
 C) −
65
7
π
D) −
66
7
π
 E) −
68
7
π
19. Si π θ π
4 2
< < , además R =
+csc cos
sen
θ θ
θ
4
 ¿cuál de las siguientes alternativas no corres-
ponde al valor de R?
A) 3 B) 1 C) 2
D) arctan(2020) E) cos(2020)
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico
01 - C
02 - D
03 - E
04 - A
05 - C
06 - C
07 - A
08 - C
09 - B
10 - D
11 - E
12 - A
13 - E
14 - A
15 - B
16 - D
17 - A
18 - D
19 - B
20 - B
21 - C
22 - C
20. ¿Cuál de las alternativas no es un valor para la 
expresión cos cos sen cos2 2 22α α α+ −( )?
 Considere α, un número real.
A) cos(–1)
B) cos(p)
C) cos(–0,26)
D) cos π −( )3
E) 0
21. Halle la variación de la expresión
 
sec tan
sec tan
2
2
θ θ
θ θ
−
+
A) 〈3; 10] B) 3
10
3
; 

 C) 
1
3
3;



D) [0; 3] E) 〈0; 3]
22. Si x es un valor real nulo, tal que
 x2–xcscq+1=0
 halle la variación de tan2q+cot2q.
A) [2; ∞〉 B) 〈2; ∞〉 C) 
10
3
; ∞


D) 
16
3
; ∞


 E) 
13
3
; ∞

