Algebra-2-Eliseo

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Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de F́ısica y Matemáticas
Examen a T́ıtulo de Suficiencia de Álgebra II
11 de septiembre de 2015.
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Instrucciones.- Resuleva cada problema en una página y con pluma.
Problema 1 20%. Sea T : V →W es una transformación lineal. Muestre que dim (ImT ) + dim (kerT ) =
dimV .
Problema 2 20%. En cada afirmación solamente diga si es falsa o verdadera (las respuestas erróneas
son puntos menos).
1) Si S1 y S2 son subconjuntos de un K−espacio vectorial V , entonces dimL(S1 ∪ S2) = dimL(S1) +
dimL(S2).
2) Si T : V → V es un transformación lineal que env́ıa conjuntos l.i. en conjuntos l.i., entonces T es
un isomorfismo.
3) Un sistema de ecuaciones no homogéneo de 30 variables y 1 ecuación siempre es consitente.
4) No existe una transformación lineal T : M3×2[R]→ P3[R] que su núcleo tenga dimensión 1.
Problema 3 25%. Sea T : R3 → R3, T (x, y, z) = (−x+ 5y+ 23z, x− 2y− 4z, 4x− 5y+ 3z) una función.
a) Encuentre la matriz A asociada a T con respecto a la base canónica y encuentre una base para la
imagen, el núcleo. Luego, calcule el rango y la nulidad de T . De acuerdo a lo anterior diga si la
matriz es inyectiva o suprayectiva.
b) Con la información del inciso anterior, diga si T es invertible, en caso de serlo encuentre T−1.
Problema 4 25%. Sea T : R4 →M2[R] una transformaición lineal dada por
T (x1, x2, x3, x4) =
(
x1 + x2 x1 + x3
x1 + x4 x1 + x2 + x3 + x4
)
Encuentre su representación matricial con respecto a las respecticas bases canónicas, aśı como su nulidad
y su rango, y con dicha información diga si es inyectiva, suprayectiva o biyectiva.
Problema 5 25%. Encuentre el determinante de la siguiente matriz C ∈Mn[R], definida de la siguiente
forma:
C =

n n− 1 n− 2 n− 3 · · · 2 1
n− 1 n− 1 n− 2 n− 3 · · · 2 1
n− 2 n− 2 n− 2 n− 3 · · · 2 1
...
...
...
...
...
...
...
2 2 2 2 · · · 2 1
1 1 1 1 · · · 1 1

.
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