MISCELANEA_GEOMETRIA_Tomo_V

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Juan Ángel Díaz Hernando
Doctor Ingeniero Industrial
Licenciado en Ciencias Matemáticas
Profesor Titular de la Universidad Politécnica de Madrid
MISCELÁNEA DE GEOMETRÍA
Tomo V
Cónicas y cuádricas
Madrid, 2017
Datos de catalogación bibliográfica.'
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JUAN ÁNGEL DÍAZ HERNANDO.
Miscelánea de Geometría. Tomo V. Cónicas y cuádricas
c©JUAN ÁNGEL DÍAZ HERNANDO, Madrid 2017
Formato 176 x 250 mm Páginas: 583
Todos los derechos reservados.
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intelectual. La infracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propie-
dad intelectual (arts. 270 y sgts. Código Penal)
DERECHOS RESERVADOS
c©2017 por Juan Ángel Díaz Hernando
Presentación: M-007788/2017
R.P.I. 16/2018/1859 del 19 de Marzo de 2018
(España)
Editor: Juan Ángel Díaz Hernando
Técnico editorial: E.B.M.
IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN
A la memoria de mi querido
maestro, D. Ramón Masip, de la
Escuela del Bosque, que marcó
el rumbo de mi vida.
III
Prólogo
Consta este libro de siete capítulos dedicados al estudio de las cónicas y de las cuádricas, pero con un
tratamiento que se escapa del clásico sobre estos temas. Para las cónicas, en particular, he considera-
do muy interesante plantearlas desde distintos puntos de vista, tal y como se enuncia ya en la primera
lección: En primer lugar como secciones de un cono de revolución por un plano que no pase por su
vértice, luego como lugares geométricos, a continuación como homólogas de una circunferencia, y por
último como formas cuadráticas sobre el cuerpo real. Pasamos, así, de considerarlas desde un punto de
vista métrico, que evoluciona a otro completamente analítico. Por otra parte, las estudiaremos particu-
larmente, con suficiente detalle para hacernos con ellas. Sin haber terminado su tratamiento, y antes de
pasar al analítico, me ha parecido conveniente recordar algunos conceptos sobre el plano euclídeo y las
denominadas formas cuadráticas.
En cuanto a las cuádricas, su estudio será, ayudado por algunas visualizaciones, totalmente analítico.
Dado que las cónicas son curvas planas, y las cuádricas superficies en un espacio tridimensional, me
pareció que un estudio general de las curvas, tanto planas como alabeadas, así como de las superficies,
podrían ampliar conceptos y propiedades interesantes de lo visto antes.
Paso, ahora, a analizar el programa establecido:
En el Capítulo I, tras un breve intento de posicionarnos ante el problema, en la Lección 1 doy las defini-
ciones de las cónicas como las secciones producidas en una superficie cónica de revolución por un plano
que no pasa por el vértice, visualizándolas. En la Lección 2, llevando el vértice del cono al infinito, es
decir convirtiéndole en un cilindro de revolución, vemos que las definiciones anteriores siguen teniendo
sentido, lo que nos permite hablar, en general, de las cónicas degeneradas.
En el Capítulo II, en las Lecciones 3, 4, 5 y 6 se hace un estudio monográfico de la elipse; en las Lec-
ciones 7, 8, 9 y 10 de la hipérbola, y en las Lecciones 11, 12, 13 y 14 de la parábola. En la Lección
15, recordar conceptos ya conocidos, a cerca de lo que es una proyectividad entre series circulares, nos
permitirá enunciar el importante Teorema de Fregier. En la Lección 16 se extrapola a las cónicas lo es-
tablecido en la anterior para el caso particular de una circunferencia, apareciendo el Teorema de Steiner,
del que resultan interesantes propiedades de aplicación a un buen número de ejemplos. En la Lección
17 se retoman los conocidos Teoremas de Pascal y Brianchon, para aplicarlos a toda una problemática
sobre las cónicas. En la Lección 18 se trata el importantísimo problema de la polaridad, primero en la
circunferencia y luego en las cónicas en general. Los ejemplos de aplicación, tanto en ésta como en las
lecciones anteriores y en las que seguirán, estarán siempre presentes.
En el Capítulo III se inicia un nuevo planteamiento de los anunciados. Así, en la Lección 19 se plantean
las cónicas como homólogas de la circunferencia. En la Lección 20 aparte de considerar la homología,
para conseguir un mejor trazado de las cónicas, se plantea la posibilidad de recurrir a la proyectividad. La
Lección 21, como complemento a los planteamientos anteriores, ejemplariza diversos problemas corres-
V
pondientes a las figuras homológicas de la circunferencia. La Lección 22 da continuidad a la anterior,
pero utilizando una homología particular: la afinidad, que recordemos no es más que una homología de
eje propio y centro impropio.
El Capítulo IV consta de las Lecciones 23 y 24, como simple recordatorio de cuestiones que se estudian
en álgebra, como son: El plano euclídeo y las formas cuadráticas.
El Capítulo V trata las cónicas con el último de los planteamientos de que se hablaba en la primera lec-
ción, siendo éste el de considerarlas como formas cuadráticas sobre el cuerpo real, una exposición que
puede considerarse, en cierto modo, independiente de las anteriores, si bien con el mismo objetivo y las
mismas conclusiones. La Lección 25 trata de, una vez redefinidas las cónicas, establecer sus ecuaciones
reducidas, introduciendo sus invariantes métricos, hasta llegar a su clasificación afín y métrica; los abun-
dantes ejemplos de que consta sin duda amenizarán su estudio. La Lección 26 maneja las coordenadas
homogéneas en el plano, que permiten la introducción analítica tanto de los puntos impropios y los ima-
ginarios, como de las direcciones y rectas isótropas, y sus correspondientes puntos cíclicos. La Lección
27 analiza la posición relativa de una recta y una cónica, y dedica una buena parte de ella al estudio
de la polaridad, fructífera en sus aplicaciones; en particular, el concepto de puntos conjugados es muy
utilizado. Continúan los numerosos ejemplos tratando de estimular el estudio de los nuevos elementos
introducidos. La Lección 28 trata específicamente de la definición y determinación de los centros, diá-
metros, asíntotas, ejes y focos, de las cónicas, con un breve apunte a las denominadas homofocales. La
Lección 29 estudia la determinación de cónicas, y en particular ejemplariza el tratamiento de los haces
de cónicas.
El Capítulo VI está dedicado al estudio de las cuádricas. Así, en la Lección 30, que en alguna manera
corre paralela a la Lección 25 de las cónicas, se da la definición de cuádrica, y se tratan sus ecuacio-
nes reducidas, y sus invariantes métricos, hasta establecer su clasificación afín, dedicando un apartado
completo a los ejemplos que permitan aclarar posibles dudas; se cierra la lección estudiando las deno-
minadas secciones cíclicas y puntos umbilicales. La Lección 31 corre, también, paralela a la Lección 27
de las cónicas; se trata aquí de analizar la posición relativa tanto de una recta como de un plano, con una
cuádrica, así como el estudio de la polaridad en las cuádricas. La Lección 32 trata, dando continuidad a
la anterior, de los eventuales centros, planos diametrales, diámetros, planos principales y ejes. Los abun-
dantes ejemplos aclaratorios se presentan en un apartado específico.
El Capítulo VII aparece como algo foráneo, respecto de lo que venimos tratando, pero que considero de
gran interés dentro de esta parte de la Geometría, pues trata de las curvas en general, planas y alabeadas,
como de las superficies, entre cuyo estudio reaparecerán tanto las cónicas como, sobre todo las cuádricas,
que por otra parte no son sino superficies muy particulares. Así, la Lección 33 establece, para una curva
plana, conceptos tan importantes como la curvatura, el círculo osculador, la evoluta, y los de envolvente e
involuta para un haz. La Lección 34, tras un pequeño toque el análisis vectorial, sobre el que volveremos
en la Lección 37, se estudian las curvas alabeadas, definiendo sobre
ellas su plano normal, el osculador
VI
y el rectificante, así como sus rectas tangentes, binormales y normales, con cuyos elementos se juega en
distintos ejemplos. Se establecen, a continuación, las distintas curvaturas: flexión y torsión, para terminar
definiendo el triedro intrínseco, y las tres fórmulas de Frenet. La Lección 35 juega con las superficies,
sus planos tangentes y rectas normales, así como lo que se llama contorno aparente, para después definir
lo que constituye un haz lineal de superficies de orden n. Se dedica un apartado a la generación de super-
ficies, y otros dos a las superficies de revolución, con especial aplicación a las cuádricas. Por último se
estudian las superficies regladas, entre las que encontramos el hiperboloide de una hoja y el paraboloide
hiperbólico, así como las superficies cónicas y las cilíndricas. A modo de alternativa a las superficies
regladas se tienen las alabeadas, entre las que destacamos los conoides. Se definen, así mismo, las su-
perficies de traslación y las podarias. La Lección 36 trata, en particular, de la curvatura de superficies de
las secciones oblicuas que pasan por una misma tangente, que se enuncia en el Teorema de Meusnier,
y la relación de las curvaturas de las secciones normales, que permiten definir las curvaturas y radios de
curvatura principales, dando lugar a la denominada curvatura de Gauss en un punto de la superficie. La
lección termina estableciendo una clasificación de los puntos de una superficie en elípticos, parabólicos
e hiperbólicos. La Lección 37 puede parecer algo fuera del contexto de lo tratado hasta aquí, aunque me
parece interesante que aparezca, dado la utilización de los conceptos que desarrolla tanto en las mate-
máticas como en la física. Se trata de plantear, en un espacio vectorial euclídeo tridimensional, en lo que
llamamos campo de escalares el gradiente, y en lo que se denomina campo de vectores la divergencia y
el rotacional.
Tal vez me he extendido un poco en esta presentación, que no sé porqué me trae a la memoria lo que, en
el mejor de los libros, decía Don Quijote a su escudero: “Sábete, Sancho, que no es un hombre más que
otro si más no hace”.
En la línea de mis agradecimientos están tanto los profesores como los estudiosos, por sus eventuales
comentarios, que sin duda ayudarán a mejorar posibles nuevas ediciones.
Siempre en mi memoria mis amigos, mi esposa y mis padres, mis hijos y, como no podría ser de otra
manera, mis queridos nietos: Lucía, Diego y Mario.
Juan Angel Díaz Hernando.
VII
ÍNDICE
IX
CAPÍTULO I
Lección 1 DEFINICIONES MÉTRICAS DE LAS CÓNICAS
1.1 Generalidades........................................................................................ 3
1.2 Definiciones métricas de las cónicas..................................................... 8
Lección 2 CÓNICAS DEGENERADAS
2.1 Secciones de un cilindro de revolución................................................. 17
2.2 Cónicas degeneradas............................................................................. 19
CAPÍTULO II
Lección 3 ESTUDIO DE LA ELIPSE
3.1 La elipse como lugar geométrico.......................................................... 23
3.2 Centro y radio de curvatura................................................................... 28
3.3 Propiedades de la elipse........................................................................ 30
Lección 4 TANGENTES
4.1 Trazado de tangentes............................................................................. 37
4.2 Intersección de elipse y recta................................................................. 42
Lección 5 OTRAS PROPIEDADES
5.1 Otras propiedades de la elipse............................................................... 45
Lección 6 DETERMINACIÓN DE UNA ELIPSE
6.1 Determinación de una elipse.................................................................. 55
6.2 Ejemplos................................................................................................. 60
Lección 7 ESTUDIO DE LA HIPÉRBOLA
7.1 La hipérbola como lugar geométrico...................................................... 67
7.2 Centro y radio de curvatura.................................................................... 75
7.3 Propiedades de la hipérbola.................................................................... 75
Lección 8 TANGENTES
8.1 Trazado de tangentes.............................................................................. 79
8.2 Intersección de hipérbola y recta............................................................ 82
XI
Lección 9 OTRAS PROPIEDADES
9.1 Otras propiedades de la hipérbola.................................................... 85
Lección 10 DETERMINACIÓN DE UNA HIPÉRBOLA
10.1 Determinación de una hipérbola...................................................... 91
10.2 Ejemplos.......................................................................................... 97
Lección 11 ESTUDIO DE LA PARÁBOLA
11.1 La parábola como lugar geométrico................................................ 105
11.2 Centro y radio de curvatura............................................................. 110
11.3 Propiedades de la parábola ............................................................. 111
Lección 12 TANGENTES
12.1 Trazado de tangentes....................................................................... 115
12.2 Intersección de parábola y recta...................................................... 118
Lección 13 OTRAS PROPIEDADES
13.1 Otras propiedades de la parábola..................................................... 121
Lección 14 DETERMINACIÓN DE UNA PARÁBOLA
14.1 Determinación de una parábola........................................................ 127
14.2 Ejemplos........................................................................................... 134
Lección 15 PROYECTIVIDAD E INVOLUCIÓN
15.1 Construcción de una proyectividad................................................. 143
15.2 Proyectividad en la circunferencia.................................................. 144
15.3 Involución entre series rectilíneas................................................... 146
15.4 Involución en la circunferencia....................................................... 148
Lección 16 PROYECTIVIDAD EN LAS CÓNICAS
16.1 Determinación de una cónica.......................................................... 151
16.2 Ejemplos de aplicación.................................................................... 152
Lección 17 TEOREMAS DE PASCAL Y BRIANCHON
17.1 Teoremas de Pascal y Brianchon..................................................... 167
17.2 Ejemplos de aplicación.................................................................... 170
Lección 18 POLARIDAD EN LAS CÓNICAS
18.1 Polaridad en la circunferencia......................................................... 183
18.2 Figuras polares recíprocas............................................................... 191
18.3 Las cónicas como polares recíprocas de la circunferencia.............. 192
18.4 Polaridad en las cónicas................................................................... 197
18.5 Ejemplos........................................................................................... 198
XII
CAPÍTULO III
Lección 19 LAS CÓNICAS COMO HOMÓLOGAS
DE LA CIRCUNFERENCIA
19.1 Transformación homológica de una circunferencia......................... 209
19.2 Las cónicas como homólogas de una circunferencia....................... 215
Lección 20 LAS CÓNICAS Y LA PROYECTIVIDAD
20.1 Casos especiales.............................................................................. 217
20.2 El recurso de la proyectividad......................................................... 219
Lección 21 DETERMINACIÓN DE CÓNICAS POR HOMOLOGÍA
21.1 Ejemplos........................................................................................... 221
Lección 22 AFINIDADES
22.1 Ejemplos...........................................................................................
227
CAPÍTULO IV
Lección 23 EL PLANO EUCLÍDEO
23.1 Producto escalar............................................................................... 235
23.2 Cambio de base en el espacio vectorial euclídeo............................. 238
23.3 El plano euclídeo. Cambio se sistema de referencia........................ 240
Lección 24 FORMAS CUADRÁTICAS
24.1 Formas bilineales y cuadráticas....................................................... 243
24.2 Espacios vectoriales euclídeos......................................................... 245
24.3 Diagonalización de matrices............................................................ 247
24.4 Diagonalización de matrices simétricas........................................... 251
24.5 Descomposición en cuadrados de una forma cuadrática.................. 255
CAPÍTULO V
Lección 25 CÓNICAS (Nuevo planteamiento)
25.1 Definiciones...................................................................................... 263
25.2 Ecuaciones reducidas de las cónicas................................................ 265
25.3 Invariantes métricos.......................................................................... 268
XIII
25.4 Clasificación afín y métrica de las cónicas....................................... 273
25.5 Ejemplos........................................................................................... 277
Lección 26 RECTAS ISÓTROPAS Y PUNTOS CÍCLICOS
26.1 Coordenadas homogéneas en el plano.............................................. 289
Lección 27 POLARIDAD EN LAS CÓNICAS
27.1 Posición relativa de una recta y una cónica...................................... 293
27.2 Polaridad en las cónicas.................................................................... 301
Lección 28 ELEMENTOS DE LAS CÓNICAS
28.1 Centros, diámetros, asíntotas, ejes y focos....................................... 313
28.2 Cónicas homofocales........................................................................ 329
Lección 29 DETERMINACIÓN DE CÓNICAS
29.1 Determinación de cónicas................................................................. 331
29.2 Haces de cónicas............................................................................... 331
CAPÍTULO VI
Lección 30 CUÁDRICAS
30.1 Definiciones...................................................................................... 341
30.2 Ecuaciones reducidas de las cuádricas............................................. 342
30.3 Invariantes métricos.......................................................................... 352
30.4 Clasificación afín.............................................................................. 356
30.5 Ejemplos........................................................................................... 360
30.6 Secciones cíclicas y puntos umbilicales de una cuádrica................. 381
Lección 31 POLARIDAD EN LAS CUÁDRICAS
31.1 Posición relativa de una recta/plano y una cuádrica......................... 387
31.2 Polaridad en las cuádricas................................................................. 395
Lección 32 ELEMENTOS DE LAS CUÁDRICAS
32.1 Centros, planos diametrales, diámetros, planos principales y ejes.... 401
32.2 Ejemplos............................................................................................ 410
CAPÍTULO VII
Lección 33 CURVAS PLANAS
33.1 Curvatura de una curva plana........................................................... 435
33.2 Círculo osculador.............................................................................. 437
XIV
33.3 Evoluta de una curva..................................................................... 438
33.4 Envolvente de un haz de curvas planas......................................... 442
Lección 34 CURVAS ALABEADAS
34.1 Nociones de análisis vectorial....................................................... 449
34.2 Curvas alabeadas........................................................................... 451
34.3 Triedro intrínseco.......................................................................... 460
Lección 35 SUPERFICIES
35.1 Plano tangente y recta normal....................................................... 467
35.2 Generación de superficies.............................................................. 487
35.3 Superficies de revolución............................................................... 495
35.4 Cuádricas de revolución................................................................. 499
35.5 Superficies regladas........................................................................ 507
Lección 36 CURVATURA DE SUPERFICIES
36.1 Teorema de Meusnier..................................................................... 539
36.2 Relación entre las curvaturas de las secciones normales............... 541
36.3 Clasificación de los puntos de una superficie................................. 543
Lección 37 GRADIENTE. DIVERGENCIA. ROTACIONAL
37.1 Campo escalar. Gradiente............................................................... 545
37.2 Campo vectorial. Divergencia......................................................... 553
37.3 Campo vectorial. Rotacional........................................................... 555
ALFABETO GRIEGO ...................................................................................................... 565
BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................... 567
XV
CAPÍTULO I
Lección 1.- DEFINICIONES MÉTRICAS DE LAS CÓNICAS
1.1 Generalidades
1.2 Definiciones métricas de las cónicas
1.1 Generalidades
Para definir las cónicas caben distintos planteamientos, que enunciamos, y luego desarrollaremos en los
siguientes capítulos:
I.- Como secciones de un cono de revolución.
II.- Como lugares geométricos.
III.- Como homólogas de la circunferencia.
IV.- Como formas cuadráticas sobre el cuerpo real.
Las cónicas se conocían ya, como secciones del cono de revolución entre los griegos, hacia la época de
Platón, cuyos discípulos las estudiaron con interés. En el siglo de oro de la matemática griega (III antes
de J.C.) Euclides, Arquímides y Apolonio llegaron a establecer las principales propiedades de estas
curvas.
No se progresa fundamentalmente hasta el siglo XVII, en el que nace con Desargues la perspectiva co-
mo método geométrico. Su estudio recibe un fuerte impulso con Pascal, y sobre todo con La Hire, que
publica un extenso tratado sobre las secciones cónicas en el que expone la teoría de polo y polar, y se
habla por primera vez de “cuaternas armónicas”.
A principios del siglo XIX, en el que se desarrolló la Geometría Proyectiva, Chasles, Poncelet y Steiner,
gracias al empleo combinado de los métodos gráficos y analíticos, coronaron la obra genialmente inicia-
da por los griegos veintidós siglos antes.
En lo que sigue, estudiaremos las nociones ya conocidas en la antigüedad enriquecidas con las propieda-
des que ha descubierto la geometría moderna.
Antes de pasar a desarrollar el programa propuesto, puede ser interesante a modo de introducción, dar
una pincelada al tema, con las definiciones de las curvas a las que vamos a dedicar toda nuestra atención.
3
Llamaremos elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano tales que la suma de las distancias de
cada uno de ellos a otros dos fijos en el mismo plano sea constante.
A los puntos fijos se les llamará focos, y a las rectas que los unen con los puntos de la curva radios
vectores.
Los focos suelen designarse por las letras F y F′, y en el general, a la suma constante de los dos
radios vectores correspondientes a un punto de la curva, por 2 ·a. Así mismo, a la distancia que
separa los focos se le llama distancia focal, que se designará 2 · c.
Así, si M representa un punto cualquiera de una elipse, y F, F′, son sus focos, se verifica que
MF+MF′ = 2 ·a , FF′ = 2 · c
debiendo tener lugar, para que la curva exista, que
2 · c < 2 ·a ⇐⇒ c < a .
Llamaremos
elipses homofocales a las que tienen los mismos focos, y circunferencias focales a las dos
trazadas, desde cada uno de los focos, como centro, y de radio 2 ·a. Así mismo, llamaremos circunfe-
rencia principal a la que tiene por centro el punto medio de FF′, y por radio a.
A cada foco de la elipse corresponde una recta, que llamaremos directriz, perpendicular a la que une los
focos, a un mismo lado de su punto medio cada foco y su directriz, y distante ésta de dicho punto medio,
la magnitud
a2
c
.
De la propia definición de elipse se deduce que ésta ha de tener dos ejes y un centro de simetría, siendo
este centro el punto medio de FF′, y aquellos ejes la recta FF′ y la perpendicular a ella en el mencionado
centro.
Estos ejes y centro de simetría se llamarán, también, ejes y centro de la elipse, pero considerando de los
primeros sólo las partes comprendidas por la curva.
Llamaremos excentricidad de la elipse a la relación e =
c
a
. Para un mismo valor de a, esta relación
varía de 0 a 1, cuando c crece de 0 a a.
Llamaremos hipérbola al lugar geométrico de los puntos de un plano tales que la diferencia de las
distancias de cada uno de ellos a otros dos fijos en el mismo plano sea constante.
A los puntos fijos se les llamará focos, y a las rectas que los unen con los puntos de la curva radios
vectores.
Los focos suelen designarse por las letras F y F′, y en general, a la diferencia constante de los
dos radios vectores correspondientes a un punto de la curva, por 2 ·a. Así mismo, a la distancia
que separa los focos se les llama distancia focal, que se designará 2 · c.
4
Así, si M representa un punto cualquiera de una hipérbola, y F y F′ son sus focos se verifica que
MF′−MF = 2 ·a , FF′ = 2 · c
debiendo tener lugar, para que la curva exista, que
2 · c > 2 ·a ⇐⇒ c > a .
Llamaremos hipérbolas homofocales a las que tienen los mismos focos, y circunferencias focales a las
dos trazadas desde cada uno de los focos, como centro, y de radio 2 ·a. Así mismo, llamaremos circun-
ferencia principal a la que tiene por centro el punto medio de FF′, y por radio a.
A cada foco de la hipérbola corresponde una recta, que llamaremos directriz, perpendicular a la que une
los focos, y dado que en este caso a < c, la tal directriz quedará entre el punto medio de la recta que une
los focos y el foco correspondiente; al igual que en el caso de la elipse distará de dicho punto medio
a2
c
.
De la propia definición de hipérbola se deduce que ésta ha de tener dos ejes y un centro de simetría,
siendo éste el punto medio de la FF′, y aquellos ejes la recta FF′ y la perpendicular a ella en el mencio-
nado centro.
Estos ejes y centro de simetría se llamarán, también, ejes y centro de la hipérbola, pero considerando de
los primeros sólo las partes comprendidas por la curva.
Llamaremos excentricidad de la hipérbola a la relación e =
c
a
. Para un mismo valor de a, esta relación
varía de 1 a ∞∞∞.
Llamaremos parábola al lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes de otro punto y de
una recta situada en el mismo plano.
Al punto fijo se le llamará foco, y a la recta directriz. A las rectas que unen el foco con un punto cual-
quiera de la curva se les llamará radios vectores. Llamaremos parámetro a la distancia del foco a la
directriz, y se representará por p.
Trazando la perpendicular desde el foco, F, a la directriz, d, la curva ha de ser simétrica respecto a esta
recta, que llamaremos eje.
Sobre el eje, al único punto que existe equidistante del foco y de la directriz le llamaremos vértice.
Una definición característica que puede servir para definir las cónicas (elipse, hipérbola y parábola), cur-
vas también llamadas de segundo grado, además de secciones cónicas, nos la da la siguiente.
PROPOSICIÓN 1. El lugar geométrico de los puntos de un plano para los cuales el valor absoluto
de la relación de las distancias de cada uno de ellos a un punto fijo y a una recta dada, situados en el
mismo plano sea constante, es una parábola, una elipse o una hipérbola, según que dicha relación
sea igual, inferior o superior a 1. El punto fijo se llama foco de la curva, y la recta dada, directriz.
5
En efecto: Sea r la relación indicada.
Si r = 1, el lugar geométrico es, por definición, una parábola.
En cualquiera de los otros dos casos, observemos ante todo que la curva de que se trata ha de ser simétrica
respecto a la recta trazada por el foco perpendicularmente a la directriz.
Supongamos, ahora, que r < 1, y sean F y DD1 el foco y la directriz.
Es inmediato comprobar que pertenecen a la curva los dos puntos A y A′, situados sobre la recta FD, que
satisfagan las condiciones
AF
AD
= r y
A′F
A′D
= r ,
debiendo estar uno de estos puntos entre F y D, y el otro a la izquierda de F.
Tratemos, ahora, de determinar los puntos de la curva que se encuentren sobre una paralela CC′ al eje.
D
A
B
C
F
N
M
OA'
C'
D'
F'
M'
N'
O'
D1
D'1
D'1
D1
Si M es uno de estos puntos, debe verificarse que
MF
MC
= r ;
por consiguiente se tendrán que determinar, sobre CC′, los puntos para los cuales la relación de las distan-
cias de cada uno a los C y F, sea igual a r.
Según sabemos el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a otros dos dados estén en una cierta
relación es la circunferencia que tiene por diámetro el intervalo de la recta que une los dos puntos dados,
comprendidos por los dos que la dividen armónicamente en la indicada relación. Por tanto, para determinar
este circunferencia basta determinar sobre la recta CF, los dos puntos N y N′ que dividan a CF, de la citada
manera, lo que se consigue trazando por A y A′, paralelas a la directriz, pues resulta
NF
NC
=
AF
AD
= r y
N′F
N′C
=
A′F
A′D
= r
6
Obtenidos los puntos N y N′, se describe la circunferencia
©
NMM′N′, que proporciona los dos puntos M y
M′ de la curva, determinándose de modo análogo todos los que se deseen. El centro de dicha circunferencia
está en la intersección de NN′ con la paralela a la directriz que pase por el punto medio O del eje AA′.
Como todos los puntos, tales como M y M′, resultan ser simétricos respecto a la recta OB, se deduce que
la curva ha de tener este otro eje de simetría, siendo B el punto de la misma situado sobre este eje.
A la vista de este nuevo eje de simetría, si se marcan, respecto a él, los puntos F′ y D′, simétricos de F y
D, y trazamos la recta D′D′1, se verificará que
MF′
MC′
=
M′F
M′C
= r y
M′F′
M′C′
=
MF
MC
= r ,
que indican que el lugar geométrico de que se trata es también el de los puntos para los cuales la relación
de las distancias de cada uno de ellos al punto F′ y a la recta D′D′1 es igual a r.
Observemos también que los puntos N y N′ están siempre sobre los paralelas a la directriz, que pasan por
A y A′, y equidistan de la paralela OB. Además, como el punto C es exterior al segmento NN′, la recta CC′
corta a la circunferencia en un punto M, comprendido, siempre, entre las paralelas NA y OB, así como su
simétrico, M′, lo está entre las paralelas OB y N′A′.
Resulta, ahora, fácil ver que el lugar geométrico determinado en estas condiciones es una elipse cuya
excentricidad es r, F y F′ sus focos, y DD1 y D′D′1, las directrices.
Los puntos tales como M están situados sobre una cierta paralela a AA′, verificándose que la suma
MC+MC′ = CC′
es constante, y además que
r =
MF
MC
=
MF′
MC′
=
MF+MF′
MC+MC′
.
Indica esto que también es constante
MF+MF′ ,
satisfaciendo así la curva a la definición de una elipse cuyos focos sean F y F′. Además, como
MF+MF′ = AF+AF′ = AF+A′F = AA′ ,
resulta que AA′ es el eje mayor.
Observando que
r =
A′F′
A′D′
=
A′F
A′D
=
A′F−A′F′
A′D−A′D′
=
FF′
AA′
=
c
a
,
queda probado que r es la excentricidad de esta elipse, deduciéndose, además, de las anteriores igualdades
que
A′F′+A′F
A′D′+A′D
=
2 ·a
DD′
=
c
a
=⇒ DD′ = 2 ·a
2
c
o bien
OD = OD′ =
a2
c
;
es decir, que DD1 y D′D′1, son las directrices.
7
En el caso de ser: r > 1, se probaría de un modo análogo que el lugar geométrico
es una hipérbola en
idénticas condiciones.
En la demostración de la proposición anterior ha quedado establecido, así mismo, un método para dibujar
la elipse, por puntos, conocidos los focos y una directriz (la determinación de la otra es inmediata), así
como el valor de r ( o bien los vértices A y A′, cuya obtención sería también inmediata).
Ejemplo 1.- Dibujar puntos de una elipse, de focos F y F′, directriz d, y r = 1
1,4
.
A
A'
O'
O''
M'
M C
C'
d'
d
FF'
O
r =
1
1,4
_
1,4
1
O''N'
_
O'N
_
N'
N
1.2 Definiciones métricas de las cónicas
Tradicionalmente las cónicas se han definido como las secciones producidas en una superficie cónica
de revolución, por un plano que no pase por el vértice.
Cuando el plano corta a todas las generatrices de la superficie cónica, a la sección se le llama
elipse. En el caso de que el plano sea paralelo a una sola generatriz, la sección recibe el nombre
de parábola. Por último cuando el plano sea paralelo a dos generatrices, a la sección se le llama
hipérbola.
Tal como se muestra en las figuras siguientes, si llamamos ααα al ángulo que forman las generatrices de la
superficie cónica con su eje, y βββ al ángulo que forma el eje con el plano de la sección, la cónica producida
se caracterizará de la siguiente manera:
ααα < βββ · · · · · · · · ·elipse
ααα = βββ · · · · · · · · ·parábola
ααα > βββ · · · · · · · · ·hipérbola
8
En el caso particular de que βββ = 90o, es decir cuando el eje es perpendicular al palo de la sección, esta-
remos en presencia de una circunferencia que podemos considerar, por tanto, como un caso particular
de la elipse.
Las siguientes figuras, además de visualizar lo que acabamos de exponer, nos sugieren las definiciones
métricas siguientes:
Llamaremos focos, de una sección cónica, a los puntos de contacto de su plano con las esferas inscritas
en el cono y tangentes al plano de la sección. F y F′ en el caso de elipses e hipérbolas, y F en el caso de
la parábola.
Llamaremos directriz, de una sección cónica, a la recta intersección del plano de la circunferencia de
contacto, (c)/(c′), con el plano de la cónica, correspondiente al foco F (F′). En el caso de elipses e
hipérbolas tendremos dos directrices, d y d′, mientras que en el caso de la parábola no habrá más que
una, d, correspondiente a su único foco.
Llamaremos eje focal a la recta FF′ que contiene a los focos, e, que es, asimismo eje de simetría de la
cónica, y perpendicular, por otra parte a las directrices. Los puntos A y A′ de la cónica, situados en el
eje, recibirán el nombre de vértices.
En el caso de la parábola sólo existe un vértice, que determina, junto con el único foco el eje de la misma.
Llamaremos radios vectores de un punto P, cualquiera de la cónica, a los segmentos: PF, PF′, que unen
al punto P con los focos.
Lo establecido hasta aquí (véanse además las figuras que siguen) nos permiten enunciar los
Teoremas de Dandelin. La intersección de un cono de revolución con un plano es una cónica,
que tiene:
1o.- Por eje, la intersección del plano secante con el plano meridiano perpendicular.
2o.- Por focos, los puntos de contacto del plano secante con las esferas inscritas en el cono y tan-
gentes al plano secante.
9
A
F
F'
d
d'
C
O
H
C'
O'
V
Π
α
Elipse
H'
MA'
β
10
F
A
A'
V
(c')
(c)
d
d'
Hipérbola
O
O'
α
β
Π
F'
11
dA
F
O
V
α
β
(c)
Parábola
Π
12
Observemos, ahora, que el radio vector que une un punto cualquiera, P, de la sección, con un foco, F, es
decir PF, es igual al segmento de generatriz, PM, que pasa por P, es decir el comprendido entre P y la
circunferencia (c), puesto que ambos son segmentos de rectas tangentes por P a una esfera; lo que nos
permite escribir: PF = PM.
Un tal segmento, PM, forma siempre el mismo ángulo, ααα , con el eje del cono y el segmento de perpen-
dicular, PR, de P a la directriz es paralelo al eje focal, e, y forma con el eje del cono un
ángulo constante, βββ .
d
A
F
β
(c) M
α
P
R
e
Dado que las proyecciones, de PM y PR, sobre el eje del cono son iguales, por estar situados los puntos
R y M en un mismo plano normal al eje, es decir: PM · cos ααα = PR · cos βββ , se verifica
PF
PR
=
PM
PR
=
cos βββ
cos ααα
= εεε (constante)
lo que nos permite enunciar la siguiente propiedad:
1o.- La razón de distancias de un punto de una cónica a un foco y a su directriz, es la misma
para todos los puntos.
Llamaremos excentricidad a la razón constante εεε . Observemos que según sea: ααα < βββ , ααα = βββ , ααα > βββ ,
es decir, se trate de una elipse, parábola o hipérbola, tendremos: εεε < 1 , εεε = 1 , εεε > 1.
13
Sea, ahora, FD, el segmento de perpendicular de F a d, y sea A el punto de él que cumpla la condición
FA
AD
= εεε . (Ver la figura siguiente).
F
d
D
P'
P''Π
P
M
A'
A
Si trazamos una esfera arbitraria, tangente en F al plano ΠΠΠ, y en el plano diametral, por A, dibujamos
la tangente AM, resultará que el cono circunscrito a dicha esfera a lo largo de su sección por el plano
determinado por el punto M y la recta d, será cortado por el plano ΠΠΠ según una cónica, cuyos puntos,
entre los que está el A verifican de propiedad siguiente:
2o.- Todo lugar geométrico de puntos, P, de un plano cuya razón de distancias a un punto
fijo, F, y a una recta fija, d, es constante, εεε , es una cónica.
(Observemos que esta propiedad es la recíproca de la anterior).
Los únicos puntos P, que verifican la propiedad anterior son los de la cónica obtenida, pues si un punto,
P′, es interior a la misma, y trazamos por él la paralela a d, la distancia de F al punto P verificará:
FP′ < FP, y por tanto
FP′
P′R′
< εεε .
En forma análoga se probaría que para puntos exteriores P′′ se verificaría:
FP′′
P′′R′′
> εεε .
El razonamiento anterior nos permite afirmar que: Para todo punto interior/exterior la razón de dis-
tancias al foco y a la directriz es menor/mayor que la excentricidad; siendo válido el razonamiento
para los tres tipos de cónicas.
14
Las anteriores propiedades, 1o.- y 2o.-, nos permiten dar la siguiente nueva definición de elipse hipérbola
y parábola:
Llamaremos cónica al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya razón de distancias a un punto
fijo (FOCO) y a una recta fija (DIRECTRIZ), es una cantidad constante, εεε . Si esta constante es εεε < 1,
llamaremos a la cónica elipse, si es εεε > 1 la llamaremos hipérbola, y por último si es εεε = 1 diremos que
se trata de una parábola.
Dada una cónica, existen infinitos modos de obtenerla como sección de un cono de revolución, ya que
las construcciones dependen de una esfera, de radio arbitrario, tangente al plano de la cónica en un foco.
Al variar el radio de la esfera, nos podemos preguntar: ¿Cuál será el lugar geométrico de los vértices, V,
del cono?.
Si nos referimos a la elipse, recordemos que el triángulo
4
VAA′, se tiene:
A
F
V
A'
FA′ = p−VA
FA = p−VA′
 (p = semiperímetro)
de donde resulta: VA′−VA = FA′−FA = (constante) = FF′.
Por consiguiente, el lugar geométrico de V es una hipérbola, de focos A y A′ que pasa por F y por F′.
Además, como el plano perpendicular al de la cónica, trazado por el vértice V del cono, es plano de
simetría de ella, que contiene a los focos, V está necesariamente en el plano perpendicular al de la cónica
por FF′.
Podemos resumir lo anterior diciendo que: el lugar geométrico de los vértices de los conos de revo-
lución que pasan por una elipse dada, es una hipérbola situada en un plano perpendicular por su
eje, que tiene por vértices los focos, F y F′, de la elipse, y cuyos focos son los vértices A y A′ del eje
focal de la elipse.
Además, los puntos del infinito de la hipérbola son aquellos para los que el cono se convierta en cilindro.
FF'A' A
V
15
En forma análoga se demostraría que: el lugar geométrico de los vértices de los conos que pasan por
una hipérbola, es una elipse, situada en un plano perpendicular al de ésta, cuyos vértices son los
focos de la hipérbola y cuyos focos son los vértices
de aquella.
F A A' F'
V
En el caso de la parábola, basta imaginar que el punto A′ (ver figura correspondiente al caso elipse) está
infinitamente alejado y, por consiguiente la tangente VA′ es paralela a FA.
Si tomamos FH = FA y trazamos HM perpendicular a FA por H, y es M la intersección con VA′, se
tendrá:
VM = VP+HF = VQ+QA = VA .
En consecuencia el punto V equidista del A y de la recta MH≡ d′, lo que nos permite decir que: el lugar
geométrico de los vértices de los conos que pasan por una parábola, es otra, situada en un plano
perpendicular al de ésta, cuyos foco y vértice son respectivamente, los vértice y foco de la primera.
F A
A'
Q
VM
H
d
P
d'
16
Lección 2.- CÓNICAS DEGENERADAS
2.1 Secciones de un cilindro de revolución
2.2 Cónicas degeneradas
2.1 Secciones de un cilindro de revolución
El resultado que sigue puede considerarse como un caso límite del estudiado en la lección anterior en el
que manejábamos un cono de revolución, del que ahora consideraremos que su vértice está en el infinito
lo que nos transformará el citado cono en un cilindro de revolución.
PROPOSICIÓN 1. La sección de un cilindro de revolución por un plano oblicuo al eje, es
una elipse.
En efecto: Definiendo las esferas tangentes al cilindro y al plano de la sección, como hicimos en la lección
anterior cuando lo que manejábamos era un cono de revolución, si F y F′ son los puntos de contacto de las
mismas, P un punto cualquiera de la sección, y MN el segmento de generatriz que pasa por P, y limitado
por las circunferencias de tangencia respectivas, se obtiene en forma análoga a como hacíamos en el caso
del cono de revolución que:
PF+PF′ = PM+PN = MN (constante) ,
lo que nos pone de manifiesta que la sección es elíptica.
El resultado será el mismo planteando constancia de la razón
PM
PR′
, siendo PR la distancia de P a la recta
intersección de ΠΠΠ con el plano de la circunferencia de contacto de donde resulta que esta recta es una
directriz.
El plano diametral del cilindro, perpendicular a ΠΠΠ, es plano de simetría de la elipse, y su intersección con
ΠΠΠ será el eje de simetría, AA′.
El diámetro perpendicular a dicho eje, por el punto medio O, de AA′, será así mismo eje de simetría del
cilindro y de ΠΠΠ, y por tanto de la elipse.
Al segmento BB′, limitado por sus intersecciones con la elipse, le llamaremos eje menor, de magnitud
igual al diámetro del cilindro; se le designará por 2 ·b, y a sus extremos, B y B′, se les llamará también
vértices de la elipse.
17
V
 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
O
O'
B'
B
F
F'
H
H'
d
d'
A'
M
A
Π
18
2.2 Cónicas degeneradas
Hemos definido las cónicas como las secciones producidas en una superficie cónica de revolución por
un plano que no pase por el vértice, y siendo ααα el ángulo que forma la generatriz del cono con su eje, y
βββ el ángulo que forma el plano con el eje del cono. Teníamos entonces que:
ααα < βββ =⇒ elipse
ααα = βββ =⇒ parábola
ααα > βββ =⇒ hipérbola
Si en esta definición omitimos la restricción de que el plano sección no pase por el vértice, y conside-
ramos el cilindro como un cono, de vértice impropio, obtendremos, además de las elipse, parábola e
hipérbola consideradas, las siguientes clases de cónicas que llamaremos degeneradas:
1o.- Dos rectas imaginarias con un punto propio común.
2o.- Dos rectas concurrentes.
19
3o.- Dos rectas confundidas en una.
4o.- Dos rectas paralelas.
5o.- Dos rectas imaginarias con un punto impropio común.
20
CAPÍTULO II
Lección 3.- ESTUDIO DE LA ELIPSE
3.1 La elipse como lugar geométrico
3.2 Centro y radio de la curvatura
3.3 Propiedades de la elipse
3.1 La elipse como lugar geométrico
Recordemos que hemos definido la elipse como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la
suma de las distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
Elementos a destacar en una elipse son los siguientes:
FOCOS. Son los dos puntos fijos F y F′.
EJES. Existen dos:
1o.- El principal o mayor, que es la recta FF′.
2o.- El secundario o menor, que es la mediatriz del segmento FF′.
CENTRO. Es el punto O, intersección de los ejes.
VÉRTICES. Son los puntos de la elipse situados sobre los ejes, en los que la curvatura es la máxima,
A y A′, o mínima, B y B′.
AA'
FF'
B
B'
P
O
DIRECTRIZ. Recta fija paralela al eje menor, exterior a la elipse, tal que el cociente de las distancias
de cualquier punto de la elipse a su foco asociado y a ella es constante, y menor que
uno.
23
RADIOS VECTORES. Cada uno de los segmentos que unen un punto de la elipse con cada uno de
los focos.
F'
F
P
d1
d2
di
re
ct
ri
z
d1
d2
= e = (cte.) < 1
DIÁMETRO. Toda cuerda que pasa por el centro.
DIAMETROS CONJUGADOS. Toda pareja de diámetros tales que toda cuerda de la elipse paralela
a uno de ellos tiene su punto medio sobre el otro.
Observemos que los ejes son la única pareja de diámetros conju-
gados ortogonales entre sí.
Así mismo se verifica que, las tangentes a la elipse en los extre-
mos de un diámetro son paralelas al diámetro conjugado.
O
rectas tangentes
24
CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL. Circunferencia de centro el de la elipse y radio a.
En el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares
trazadas desde los focos a las distintas rectas tangentes a la
elipse.
F'
F
a
O
CIRCUNFERENCIA FOCAL. Circunferencia de centro un foco y radio 2 ·a.
En el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco,
respecto de las distintas rectas tangentes a la elipse.
F'
FO
2·a T
M
Tangente
25
CIRCUNFERENCIA DE MONGE. Circunferencia de centro el de la elipse y radio:
√
a2 +b2.
En el lugar geométrico de los puntos de intersección de todas
las parejas de tangentes a la elipse ortogonales entre sí.
Se verifica, además que, la suma de los cuadrados de las
distancias de cada uno de sus puntos a los focos es 4 ·a2:
PF′2 +PF2 = 4 ·a .
F' F
O
B
B'
P
P
A' A
Parámetros de la elipse
SEMIEJE MAYOR Distancia de cada vértice situado sobre el eje mayor al centro: a
SEMIEJE MENOR Distancia de cada vértice situado sobre el eje menor al centro: b
DISTANCIA FOCAL Distancia entre los focos: 2 · c = FF′
EXCENTRICIDAD El valor: e =
c
a
Relaciones importantes: 1.- La suma de los radios vectores de cualquier punto de la elipse es: 2 ·a.
2.- Se verifica: a2 = b2 + c2
26
Trazado de la elipse
1o.- Conocidos los ejes
Los siguientes dibujos expresan por sí sólos como proceder para trazar la elipse correspondiente:
a.- Método del jardinero. El hilo que se utiliza, cuyos extremos se fijan en los focos debe tener
una longitud 2 ·a.
F' F
P
A' A
O
B
B'
a
b
a
(hilo)
F′P+PF = 2 ·a
b.- Método de la tira de papel. Sobre la tira se marcan los puntos P, Q y R, de longitudes: PQ = b,
PR = a. Para dibujar la elipse, los puntos Q y R deben deslizarse, respectivamente por los ejes
mayor y menor.
P
A' A
B
B'
a
b
Q
P
R
Q R
b
a
c.- Método de la circunferencia principal. Una vez trazadas las circunferencias, de centro O, y
radios respectivos OA y OB, la construcción resulta evidente.
O AA'
B
B'
P
27
d.- Método del compás. Variando el punto Q, dentro del segmento FF′ la intersección de las cir-
cunferencias, centradas en los focos, y de radios respectivos r1 y r2, nos van facilitando puntos de
la elipse que nos interesan.
F' F
P
P
AA'
r1
r2
r1 r2
Q
3.2 Centro y radio de curvatura
La normal a la elipse en un punto P, de ella, es la bisectriz interior del ángulo que forman los radios
vectores del punto dado.
F' F
2·a P
αα
NORMAL en P
Circunferencia focal
Circunferencia principal
Tangente en P
La normal en un punto P de la elipse, conocidos a y b (semiejes) se puede determinar como sigue:
En primer lugar, se trazan por P paralelas a los ejes, obteniéndose los puntos M y N como intersección de
las circunferencias de centro O y radios, respectivamente, b y a.
28
La recta OMN corta a la circunferencia, de centro O y radio a+b, en el punto Q.
Por último se dibuja la recta QP, que es la normal buscada.
NORMAL en P
P
M
N
Q
a+b
a
b
O
Para determinar el radio de curvatura, en un punto P, de la elipse se procede como sigue:
En primer lugar se traza por P la tangente, t, a la elipse. Luego, por P se traza la correspondiente normal,
n, obteniéndose el punto M, en el eje principal.
A continuación se traza, por M, la perpendicular a n, lo que nos determina el punto N, en el radio vector
PF.
Por último se traza, por N, la perpendicular a PF, con lo que se obtiene el punto C.
Así tenemos:
C es el centro de curvatura,
ρρρ = PC es el radio de curvatura.
F' F
P
M
N
C
=
=
t
n
29
Si, en particular, nos interesa el radio de curvatura de los puntos A y B de la elipse, el trazado será el
siguiente:
Así tenemos:  CA es el centro de curvatura de AρρρA = ACA es el radio de curvatura de A (ρρρA = b2a ) CB es el centro de curvatura de BρρρB = BCB es el radio de curvatura de B (ρρρB = a2b )
3.3 Propiedades de la elipse
PROPOSICIÓN 1. La elipse es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan
por un foco y son tangentes a la circunferencia focal relativa al otro foco.
En efecto: Si trazamos la circunferencia, de centro M y radio MF, observamos que verifica:
MF′ = 2 ·a−MF
es decir, MF′ es la diferencia de los radios de las dos circunferencias, luego éstas son tangentes interiores.
Recíprocamente una circunferencia de centro en M, que pase por F, tangente a la circunferencia focal, es
tangente interior con ésta, y por tanto
MF′ = 2 ·a−MF ,
es decir
MF′+MF = 2 ·a ,
luego, el punto M pertenece a la elipse.
F' F
2·a
P
Circunferencia focal
M
30
PROPOSICIÓN 2. La tangente a la elipse es bisectriz del ángulo formado por uno de los radios
vectores del punto de contacto y la prolongación del otro.
En efecto: Si el simétrico R de F respecto de una recta pertenece a la circunferencia focal, sabemos que
dicha recta es tangente. En consecuencia, por ser simétricos se verifica que:
F̂ML = L̂MR , (F̂M′L = L̂M′R′)
como queríamos probar.
F'
F
M
Circunferencia focal
Tangente
R
M'
R'
L
L
L
Elipse
PROPOSICIÓN 3. El lugar geométrico de las proyecciones ortogonales de los focos de una elipse
sobre sus tangentes, es la circunferencia que tiene el eje mayor como diámetro.
En efecto: Consideremos la tangente t a la elipse dada y sea K la proyección de un foco, F, sobre ella.
Sea OK el segmento que une el centro de la elipse con K.
En el triángulo
4
FF′P el segmento OK es la paralela media, y mide a.
Resulta, entonces, que el punto K se encuentra en la circunferencia de centro O y radio a, que recibe el
nombre de circunferencia principal.
Evidentemente el lugar geométrico es el mismo para las proyecciones del otro foco.
F' F
P
Circunferencia focal
Circunferencia principal
K'
O
t
t'
K
31
PROPOSICIÓN 4. El producto de las distancias de los focos de una elipse a una tangente cualquie-
ra es igual al cuadrado del semieje menor.
En efecto: Dado que los puntos K′ y L son simétricos, con relación a O, resulta que FL = F′K′.
Además, el producto: FL ·FK es la potencia de F respecto a la circunferencia principal, que es constante,
verificándose
FL ·FK = FA ·FA′ = (a− c) · (a+ c) = a2− c2 = b2
En consecuencia, una recta que varía en un plano, de manera que el producto de sus distancias a dos puntos
fijos, situados en un mismo semiplano respecto a ella, sea constante permanece tangente a una elipse fija.
F'
F
P
Circunferencia focal
Circunferencia principal
K'
O
t
t'
K
L
L'
AA'
PROPOSICIÓN 5. Dadas dos tangentes fijas a una elipse, en P y Q , y una móvil en M, el segmen-
to AB de tangente móvil interceptado entre aquellas se ve desde un mismo foco bajo un ángulo
constante.
En efecto: De acuerdo con el Teorema de Poncelet, que se establece al final de la lección, se tienen las
siguientes igualdades de ángulos:
P̂FA = ÂFM , M̂FB = B̂FQ .
El ángulo ÂFB, suma de los ÂFM y M̂FB, es la mitad de la suma total P̂FQ, y por tanto, constante
F'F
P
A
M
B
Q
=
= =
=
32
Vamos a redefinir lo que llamamos directriz como el eje radical de la circunferencia focal, con centro
en un foco, y el de la circunferencia-punto que es el otro foco.
Existirán, por tanto, dos directrices. Ambas gozan de una importante propiedad, que puede tomarse como
definición común a la elipse y a las otras cónicas, tal como exponemos a continuación.
PROPOSICIÓN 6. La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya razón de distancias a un
foco y a su directriz correspondiente es una cantidad constante, precisamente, la excentricidad.
En efecto: Sea P el punto de contacto de la circunferencia que tiene por centro un punto M de la elipse,
pasa por F y es tangente al círculo focal del centro F′. El punto T en que se cortan las tangentes en P y
F tiene la misma potencia, con relación a la circunferencia focal y a la circunferencia-punto F; está, por
tanto, sobre su eje radical d.
Sea K la proyección ortogonal de M sobre d.
La circunferencia de diámetro MT pasa por los puntos P, K y F; así mismo el ángulo M̂FP es igual al
P̂KM, por inscritos en el mismo arco, y al F̂PM por simetría respecto a la tangente MT mediatriz de PF.
Además, los ángulos P̂MK y P̂F′F son iguales por correspondientes.
En consecuencia, los triángulos
4
PMK y
4
FF′P, son semejantes, de donde se deduce:
MP
MK
=
MF
MK
=
F′F
F′P
=
2 · c
2 ·a
=
c
a
= e (excentricidad)
F' F
P
Circunferencia focal
Circunferencia-punto
Tangentes
Elipse
Directriz
M
M'
T
d
K
Observemos que desde el foco F se ve, bajo ángulo recto, el segmento MT de tangente limitada por el punto
de contacto y la directriz correspondiente, ya que en la demostración anterior vimos que la circunferencia
de diámetro MT pasaba por el foco F.
33
PROPOSICIÓN 7. La cuerda de contacto de las tangentes trazadas desde un punto de la directriz
pasa por el foco correspondiente.
En efecto: Sea T un punto de la directriz, d, relativa al foco F.
Por ser T un punto exterior a la elipse se puede trazar dos tangentes distintas, TM y TM′.
Según la observación que hicimos sobre la proposición anterior el ángulo T̂FM es recto, lo mismo que el
T̂FM′, de donde resulta que los puntos M, F y M′ están alineados.
Recíprocamente, si trazamos una cuerda que pase por un foco, las tangentes en sus extremos se cortan
sobre la directriz correspondiente.
F' F
M
M'
T
d
PROPOSICIÓN 8. Dada una cuerda de una elipse, la recta que une el foco a su punto de intersec-
ción con la directriz correspondiente es bisectriz exterior del ángulo formado al unir el foco con los
extremos de la cuerda.
En efecto: Considerada la cuerda MM′ y la directriz d correspondiente al foco F, se tiene;
FM
FM′
=
MH
M′H′
.
Dado que los triángulos
4
PMH y
4
PM′H son semejantes tenemos
MH
M′H′
=
PM
PM′
.
En consecuencia, resulta
FM
FM′
=
PM
PM′
,
34
lo que demuestra que FP es una de las bisectrices del ángulo M̂FM′ precisamente la exterior, por ser P
exterior al segmento MN′.
F' F
M
M'
H
H'
P
_
_
d
Para la determinación de la directriz resulta muy práctica la propiedad siguiente.
PROPOSICIÓN 9. La distancia desde el centro O a la directriz d, vale
a2
c
.
En efecto: Se observa que
OH = OA+AH ,
y como
AF
AH
=
c
a
=⇒ AH = (a− c) ·a
c
resulta
OH = a+
(a− c) ·a
c
=
a2
c
.
F' F
d
A' AO H
a
c
La figura que aparece en la demostración muestra muy claramente como determinar la directriz, d.
Por otra parte, observamos que siendo en valor absoluto:
AF
AH
=
A′F
A′H
=
c
a
la cuaterna (AA′FH) es armónica, lo que nos proporciona otra manera para construir la directriz: Bastará
determinar el conjugado armónico, H, del foco, F, respecto a los vértices A y A′.
Además, la propia definición dada para la directriz, como eje radical del foco correspondiente y de la
circunferencia focal del otro foco, nos da otra posible construcción.
35
Teorema de Poncelet. Si desde un punto exterior, P, a una elipse, se trazan dos tangentes, PM
y PM′, se verifica que:
1o.- Esas dos tangentes forma ángulos iguales con las rectas que
van desde el punto P a los focos.
2o.- Los segmentos de dichas tangentes desde P a los puntos de contacto, se ven desde un foco
cualquiera bajo ángulos iguales.
F'F
M'
M
P
Q'
Q
=
=
=
=
1o.- En efecto: Consideremos los puntos Q y Q′, simétricos de F y F′, respectivamente a las tangentes PM
y PM′, siendo M y M′ sus puntos de contacto.
Los triángulos
4
PQF′ y
4
PQ′F son iguales, por tener sus tres lados iguales: PQ = PF , PQ′ = PF′, por
simetría, y F′Q = FQ′ = 2 ·a.
En consecuencia , se tiene que: Q̂PF′ = Q̂′PF , y como tienen común el ángulo F̂PF′ , será también
Q̂PF = Q̂′PF′, y así mismo sus mitades, M̂PF = M̂′PF′.
2o.- En efecto: De la igualdad de los triángulos anteriores se deduce la de los ángulos P̂QM y P̂FM′.
Dado que el primero es igual al M̂FP, por simetría, resulta que PM y PM′, se ven desde F bajo los ángulos
iguales M̂FP y P̂FM′.
36
Lección 4.- TANGENTES
4.1 Trazado de tangentes
4.2 Intersección de elipse y recta
4.1 Trazado de tangentes
Contemplamos la tangente a la elipse, en un punto P de ella, de dos maneras distintas:
1o.- Como la bisectriz exterior del ángulo que forman los radios vectores, F′P y FP, de dicho punto.
2o.- Como la mediatriz del segmento MF, siendo M el punto de la circunferencia focal de F′, alineado
con P y con F′. Se verifica, entonces, que:
a.- El punto P es la intersección de la recta MF′ con dicha mediatriz.
b.- El punto de intersección de MF con su mediatriz pertenece a la circunferencia principal.
F' FO
2·a
P
M
(tangente)
circunferencia principal
elipse
circunferencia focal
t
_
_
Procedamos ahora el trazado de tangentes, según se trate, o no, de hacerla pasar por un punto de ella; P.
1er caso: P pertenece a la elipse
a.- Por bisectrices. La tangente t es la bisectriz del ángulo F̂PM, que el radio vector PF forma con la
prolongación del PF′. (Ver figura anterior).
b.- Por medio de la circunferencia principal. Basta trazar los radios de la circunferencia principal, pa-
37
ralelos a PF y PF′. Sus intersecciones con dicha circunferencia, M y M′, determinan la tangente buscada,
t≡MM′.
F' FO
P
M (tangente)
t M'
c.- Por la recta de Pascal. Inscrito en la elipse se dibuja un hexágono de vértices arbitrarios A, B, C
D, suponiendo los dos restantes confundidos en P, siendo el lado que determinan éstos la tangente en
P. Uniendo los vértices en cualquier orden y numerando los lados en este mismo orden (ver figura), las
intersecciones de los lados opuestos 1∩4, y 2∩5, son puntos M y N de la recta de Pascal, MN, que corta
al lado AC = 3 en el punto T. La tangente buscada será por tanto la PT≡ t.
(Observemos que esta construcción sirve para cónicas, no dibujadas, dadas por cinco puntos: P, A, B, C,
D. Por otra parte el hexágono puede ser convexo o estrellado).
M
t
A
B
C
D P
1
2
3
N
T
Recta de Pascal
Tangente
5
4
38
d.- Por polaridad. Bastará trazar, por P, cualquier secante, PQ≡ r y hallar su polo, R. La tangente buscada
será la RP≡ t.
Se obtiene fácilmente el polo, R, como intersección de las polares, a y b, de dos puntos arbitrarios A y B
de r. Por ejemplo, para hallar a, se traza por A una cuerda cualquiera, CD, que determina el cuadrivértice
inscrito
�
PCQD, siendo a la recta definida por las intersecciones de CQ∩PD≡M, y PC∩QD = N, de sus
lados opuestos.
AM'
Q
M B
N'
P
C
D
E
N
R
a b
(Observemos que este procedimiento sirve también para cónicas definidas por cinco puntos P, C, Q, E, D.)
2o caso: P es un punto exterior a la elipse.
a.- Por medio de la circunferencia principal.
Se traza la circunferencia de diámetro PF, que corta a la circunferencia principal en los puntos Q y R, que
determinan las tangentes buscadas s≡ PQ y t≡ PR.
Los puntos de contacto S y T, son las intersecciones de las rectas s y t, con las paralelas, respectivas, a OQ
y OR, trazadas por F′.
F' FO
P
S
t
Q
Ts
R
39
b.- Por medio de la circunferencia focal.
Se traza, con centro en P, una circunferencia que pase por F, que cortará a la circunferencia focal, en los
puntos M y N.
Las mediatices de los segmentos FM y FN son las tangentes s y t. Las intersecciones de s y t con los radios
vectores FM y F′N son los puntos de tangencia T1 y T2.
F' F
P
t
M
s N
T1
T2
PF
_
2·a
c.- Por polaridad.
Se trata de determinar la polar, MN, del punto P, respecto de la cónica dada, que corta a ésta en los puntos
de contacto S y T, de las tangentes buscadas s≡ PS y t≡ PT.
La polar puede determinarse trazando tres secantes que forman dos cuadrivértices inscritos, cuyos puntos
diagonales, M y N, nos definen la polar MN.
F
C
P
B
t
D
TS
A
E
F
M Ns
Polar de P
40
Un caso particular del anterior será aquel en el que P es un punto impropio, de dirección d, que titulare-
mos:
Tangentes a una elipse, paralelas a una dirección dada, d.
a.- Por medio de la circunferencia principal.
Las perpendiculares a d, trazadas por F y F′, cortan a la circunferencia principal en los puntos A, B, C y
D, siendo t≡ BC y s≡ AD, las tangentes buscadas.
Los puntos de contacto T y S son las intersecciones de t y s con las paralelas a OB y OA, trazadas por F′.
F
O
t
s
C
D S
A
T
d
B
F'
b.- Por medio de la circunferencia focal.
La perpendicular por F, a la dirección d, corta a la circunferencia focal en los puntos M y N.
Las mediatices de los segmentos FM y FN son las tangentes buscadas, s y t.
Las intersecciones de s y t, con los radios vectores F′M y F′N son los puntos de tangencia T1 y T2.
F
d
F'
s
t
T1
T2
M
N
2·a
41
c.- Por polaridad.
Se trata de un caso particular del 2o caso, apartado c.-, en el que las secantes, trazadas por P, son ahora
paralelas a d (dirección del punto impropio P).
A
B C
D E
F
M
N
T
Pd
Polar de P
S
4.2 Intersección de elipse y recta
De las propiedades de las circunferencias focales y las rectas tangentes a la elipse, se desprende el
importante resultado siguiente:
La elipse es el lugar geométrico de los centros de las
circunferencias que son tangentes a una focal y que
pasan por el otro foco.
FF'
s
tQ
P
2·a
42
Para obtener los puntos de intersección de la recta y la elipse, se utiliza la propiedad anterior, de manera
que dichos puntos serán los centros de las circunferencias que pasando por un foco sean tangentes a la
circunferencia focal del otro foco, y tengan su centro en la recta dada. Estas circunferencias por tener su
centro en la recta dada, y pasar por un foco, pasarán también por el simétrico de dicho foco respecto a la
recta dada.
La metodología para la construcción es la siguiente:
1o.- Se traza la circunferencia focal de F′.
2o.- Se determina F′′, simétrico de F respecto a la recta r dada.
3o.- Se traza una circunferencia cualquiera, (c1), con centro en el punto O1, situado en r, que pase por F
y F′′. Su intersección con la circunferencia focal nos determina los puntos M1 y M2.
4o.- Se trazan los ejes radicales E1 y E2, lo que nos permite obtener el centro radical de las circunferencias
focal, la (c1) y las eventuales (ci); sea este el punto R.
5o.- Desde R se trazan las tangentes, t1 y t2, a la circunferencia focal, obteniéndose sobre ella los puntos
T1 y T2.
6o.- Las intersecciones de los radios F′T1 y F′T2, con r, son los puntos P y Q buscados.
F
F'
Q
P
2·a
r
AA'
F''
R
O
t1
O1
t2
T1
T2
M2
1(c )
M1
E1
E2
43
Lección 5.- OTRAS PROPIEDADES
5.1 Otras propiedades de la elipse
5.1 Otras propiedades de la elipse
A continuación enunciamos algunas propiedades sin demostración de la elipse.
1.- Las tangentes, t1 y t2, desde un punto exterior, P, a una elipse, forman el mismo ángulo, ααα , con
las rectas que unen dicho punto con los focos.
F' F
P
α
αt1
t2
2.- Las rectas que unen un foco, F′, con los puntos de tangencia, T1 y T2, de las tangentes trazadas
desde un punto exterior, P, de la elipse, tienen como bisectriz la recta que une el foco con el punto.
F' F
P
α
α
t1
t2
T1
T2
45
3.- El segmento, Q1Q2, que delimitan en una tangente móvil, t, otras dos tangentes fijas,
t1 y t2,
se ve desde un foco F′ bajo un ángulo, ααα , constante, igual a la mitad del ángulo de vértice dicho
foco, y lados las rectas que pasan por los puntos , T1 y T2, de tangencia con la elipse de las
tangentes fijas t1 y t2.
F' F
P
t1
t2
T1
T2
α
2·α
O
Q1
Q2
t
4.- Las tangentes, t1 y t2, a una elipse en los extremos de una cuerda focal, T1F′T2, se cortan en un
punto, P, situado en la perpendicular por el foco, F′, a la cuerda focal dada.
F' F
P
t1
t2
T1
T2
5.- La elipse tiene dos diámetros conjugados iguales, que corresponden a las diagonales del rec-
tángulo construido a partir de los ejes.
46
6.- Dada una tangente cualquiera a la elipse, el producto de la abscisa del punto de tangencia por
la abscisa del punto de intersección de la tangente con el eje mayor, es igual al cuadrado del semieje
mayor, es decir:
OT′ ·OP = a2 .
T'O
b
T
a P
7.- Los ejes de la elipse cortan a cualquier tangente, a la misma, en dos puntos A y B, que junto
con el de tangencia, T, definen dos segmentos, AT y BT, cuyo producto es igual al cuadrado del
semidiámetro conjugado del diámetro correspondiente al punto de tangencia; es decir:
BT ·AT = OT′2
T'
O
T
A
B
8.- La recta que une el punto, P, de intersección de las tangentes, t1 y t2, con el punto medio, M, de
la cuerda definida por los puntos de contacto, T1 y T2, pasa por el centro de le elipse.
O
P
t1
t2
T1
T2
47
9.- El producto de las distancias de cada foco a una tangente cualquiera es constante, es decir,
FM ·F′M′ = cte.
F
O
M'
M
F'
10.- La circunferencia trazada sobre un radio vector cualquiera, tomado como diámetro, es tan-
gente a la circunferencia principal.
F' FO
P
11.- Si desde un punto P se trazan dos tangentes, t1 y t2, y sobre cada una de ellas se lleva, a partir
de P, las distancias
PN = PF y PN′ = PF′
se verifica que
NN′ = 2 ·a .
F'
F
P
t1
t2
N'
N
O
48
12.- La paralela al eje mayor trazada por el punto de intersección de las normales, nA y nB, a una
elipse en los puntos extremos de una cuerda focal, AB, divide a dicha cuerda en dos partes iguales;
es decir
MA = MB
F' F
M
B
A
nA
nB
O
13.- El producto de los segmentos limitados en una normal a la elipse en un punto P, por dicho
punto y los ejes, PM y PN, es igual al cuadrado del semidiámetro, OQ, del correspondiente al punto
P; es decir
PM ·PN = OQ2
Q
O
M
P
t
N
=
=
14.- El cuadrado de la distancia del centro de la elipse a una tangente cualquiera, menos el cua-
drado de la distancia de dicho centro a una paralela a dicha tangente que pase por un foco, es igual
al cuadrado del semieje menor; es decir
ON2−OP2 = b2
aO
P
N
t
F
=
=
F'
b
49
15.- Dada una elipse, se verifican las siguientes relaciones:
PF′ = a+
c ·x
a
, PF = a− c ·x
a
F' FO
P
Ma
b
x
16.- El punto de intersección, P, de las tangentes, t1 y t2, a la elipse, en los puntos extremos de una
cuerda focal, AB, pertenece a la directriz, d, correspondiente a dicho foco.
F' F
d
B
A
t1
t2
O
P
17.- Cuando una circunferencia corta a una elipse en cuatro punto, M, N, P y Q, las bisectrices de
los ángulos formados por las cuerdas comunes opuestas son paralelas a los ejes de la elipse.
M
Q
N
P
= =
=
=
αα
β
β
50
18.- Cuando un cuadrilátero circunscrito a una cónica tiene por puntos de contacto los vértices de
un cuadrilátero inscrito, las diagonales de los dos cuadriláteros pasan por el mismo punto, P.
P
19.- El lugar geométrico de los vértices de los ángulos rectos cuyos lados son tangentes respectiva-
mente a dos elipses homofocales, es una circunferencia concéntrica con las dos elipses dadas.
FF'
P
t1
t2
O
20.- Se verifica la siguiente relación:
AD ·AD′
BD ·BD′
· BE ·BE
′
CE ·CE′
· CG ·CG
′
AG ·AG′
= 1
FF'
A
B
C
D
E
G
D'
G'
E'
51
21.- Si por un punto del plano de la elipse se trazan dos cuerdas cualesquiera, el cociente de los
productos de los segmentos determinados en cada una de las cuerdas es constante, cualquiera que
sea el punto elegido, siempre que las direcciones de las cuerdas no varíen; es decir
P1N1 ·P1N′1
P1M1 ·P1M′1
=
P2N2 ·P2N′2
P2M2 ·P2M′2
=
=
=
=
M1
P1
M'2
N2
M'1
N1
M2
N'2N'1
P2
22.- Si desde un punto cualquiera, P, de una elipse se trazan perpendiculares a los lados de un
cuadrilátero inscrito en ella, el cociente de los productos de los segmentos de perpendicular corres-
pondientes a cada pareja de lados opuestos del cuadrilátero es constante; es decir
PQ ·PR
PM ·PN
= cte.
P M
Q
N R
23.- Cuando una recta corta a una elipse y a un cuadrilátero inscrito en ello, se obtienen una serie
de puntos de intersección sobre la elipse y sobre los lados del cuadrilátero, tales que verifican la
siguiente relación:
AC ·AD
AF ·AE
=
BC ·BD
BF ·BE
E F C
D
B
A
52
24.- División de la elipse en partes iguales
Dado que la elipse no se puede dividir directamente en arcos de igual longitud, aprovecharemos que
cuando sepamos dividir una circunferencia en el número de partes en que queremos dividir la elipse, el
problema admite fácil solución.
Así, dados los ejes de la elipse, AB = 2 ·a y CD = 2 ·b, dibujaremos la circunferencia, de centro O y
radio a, dividiremos ésta en las n partes que nos interesen, y procederemos como se indica en la figura
siguiente, en la que se ha supuesto n = 9.
A BO
C
53
Lección 6.- DETERMINACIÓN DE UNA ELIPSE
6.1 Determinación de una elipse
6.2 Ejemplos
6.1 Determinación de una elipse
1.a.- Determinación de los ejes de una elipse dada por dos diámetros conjugados MM′ y NN′.
De entre los distintos métodos para resolver esta cuestión, vamos a describir el siguiente:
Por el extremo N del semidiámetro ON, se traza el segmento ND, igual y perpendicular al OM.
A continuación, se dibuja la circunferencia de diámetro OD y centro C.
Luego se traza el diámetro NC, de extremos E y F.
Resulta, entonces, que las rectas OE y OF coinciden con los semiejes, siendo sus longitudes:
a = OA = OA′ = NE , b = OB = OB′ = NF .
A
A'
B
B'
C
N
N'
MM'
E
D
F
O
NE
_
NF
_
1.b.- Determinación de los ejes de una elipse dada por dos diámetros conjugados AB y CD.
Como variante de la construcción anterior tenemos la siguiente.
Por el centro de la elipse se traza la perpendicular, OM, a uno de sus diámetros conjugados, sea por
ejemplo el AB. Sobre ésta determinamos el punto M, tal que OM = OB, y unimos este punto, M, con
el punto C, extremo del diámetro conjugado CD. Luego dibujamos la circunferencia, de centro X y
diámetro CM, y la concéntrica con ella, de radio OX, la cual determina en la anterior recta, CM, los
55
puntos Y y Z, que unidos al centro de la elipse, nos dan sus ejes. Las magnitudes de éstos corresponden
a los segmentos OP y OR, respectivamente, que se trasladarán a su verdadera posición en la forma que
se indica en el dibujo.
A
B
C
D
P
X
RM
Z
YO
2.- Determinación del eje menor de una elipse dada por el eje mayor, AA′, y un punto P de la
misma.
Se traza la circunferencia principal (de diámetro AA′). Luego, se dibuja la normal al segmento AA′, por
P, que corta a la anterior circunferencia en el punto P′.
A continuación se traza la recta B′P′, que corta a la AA′ en el punto Q.
Por último, se dibuja la recta QP, que corta a la OB′, en el punto B.
Como resultado final obtenemos el segmento OB, que es el semieje menor, b, buscado.
A
B
B'
P'
P
Q
A'
O
56
3.- Determinación del eje menor de una elipse dada por su eje mayor, AA′, y una tangente, t, a la
misma.
Sobre AA′ dibujamos la circunferencia principal de la elipse, que corta a la tangente, t, en los puntos C
y D.
Las normales a t en C y D cortan al segmento AA′ en F y F′, que son los focos de la elipse.
Si consideramos el triángulo rectángulo, de hipotenusa FB′ = a y cateto OF, obtenemos que el otro
cateto es OB′, precisamente b, el semieje menor que nos interesaba.
A A'
FF'
D
C
O
B'
t
b
a
4.- Determinación de los ejes de una elipse dada por sus focos, F y F′, y un punto fijo, P, de la
misma.
Si unimos el punto P con
los focos F y F′, se verifica: PF+PF′ = 2 ·a.
Prolongamos ahora, el segmento F′P, a partir de P, en PC = PF.
Se obtiene, así, el eje mayor F′C = 2 ·a, verificándose, además, que el semieje menor, b, resulta ser el
cateto, OB, del triángulo rectángulo de hipotenusa F′B = a y cateto OF′.
F' F
O
B
C
b
a
a
2·a
a
57
5.- Determinación de los ejes de una elipse dada por sus focos, F y F′, y una tangente, t, a la misma.
La perpendicular a t, desde F, corta a la tangente en el punto C, de la circunferencia principal, resultando
que el semieje mayor es : OA = OC = a.
El semieje menor , b , resulta ser el cateto , OB , del triángulo rectángulo de hipotenusa F′B = a
y cateto OF′.
F'
F
O
B
C
ba
a
a
A
t
circunferencia principal
6.- Determinación del eje mayor de una elipse dada por su eje menor, BB′, y una tangente, t,
a la misma.
Sobre BB′, como diámetro, dibujamos una circunferencia.
La tangente dada corta a la recta BB′ en el punto k.
La tangente, t′, a la circunferencia anterior, trazada desde el punto k, determina el punto T′.
La normal a BB′ desde el punto T′ corta a la tangente dada, t, en el punto T.
La recta CT′ corta a la BB′ en el punto L. (C es el punto de intersección de la normal, en O, el segmento
BB′, con la circunferencia interior).
La recta LT corta a la OC en el punto A.
Obtenemos así el semieje mayor buscado: OA = a.
B'
T
O
B
C
b t'
A
t
T'
K
L
58
7.- Determinación de los ejes de una elipse dada por los ejes de simetría r y s, y dos puntos, P y Q,
de la misma.
Se traza la recta QP que corta a r en el punto K, y se dibuja la semicircunferencia, de diámetro OK.
(llamémosla (c)).
Por el punto medio, I, del segmento PQ se traza la perpendicular a r, que corta a (c), en el punto I′.
La recta KI′, que es normal a OI′, corta a las normales a r, trazadas por P y Q, en los puntos P′ y Q′,
respectivamente.
Resulta, entonces, que:
OP′ = OQ′ = OA = a ,
es el semieje mayor.
Trazando, ahora, la recta CP′, que corta a r en el punto L, y luego la LP, que corta a s, en el punto B,
resulta que tenemos: OB = b es el semieje menor.
A
B
C
Q
Q'
P
P'
L K
I
I'
O
a
b
r
s
(c)
8.- Determinación de una elipse conociendo los siguientes datos: El centro O, las direcciones de los
ejes principales, el semieje menor, b, y una tangente, t.
Se traza por O la perpendicular s a t, lo que nos determina P.
Se dibuja la semicircunferencia (c), de diámetro OP.
Con centro en P se traza un arco de radio b, obteniendo M en (c).
Con centro en O se dibuja un arco de radio OM, obteniéndose Q en s.
Se traza por Q la recta t′ paralela a t, obteniéndose el foco F.
A partir de aquí se obtienen con toda facilidad el otro foco F′ y los vértices A y A′.
Para obtener el punto de tangencia, T, se empieza trazando la circunferencia focal, relativa a F.
59
Luego, se traza por F′ la perpendicular a t, obteniéndose F′′ en dicha circunferencia focal.
Por último uniendo F con F′′ se obtiene el punto de tangencia, T en t.
A F A'F'
O
B
P
T
Q
B'
b
M
s
(c) F''
t
t' t=
AA'= 2·a
_
6.2 Ejemplos
Ejemplo 1.- Dadas dos elipses que tengan iguales sus ejes mayores y uno de los focos común, determinar los
puntos de intersección de las dos curvas.
Sea F el foco común, y sean F1 y F2 los otros dos focos.
Llamemos M al punto común, con lo cual se tiene:
MF+MF′ = 2 ·a ,
MF+MF2 = 2 ·a
igualdades, éstas, de las que se deduce
MF1 = MF2 .
60
En consecuencia, el punto M se encontrará, como punto de intersección de ambas elipses, en la perpendicular al
segmento F1F2 en su punto medio.
F F2F1
AB A'
M
M'
B'
Ejemplo 2.- Construir una elipse conociendo sus focos y un punto o una tangente
1.- Dados los focos, F y F′, y un punto, P, dado de la curva.
Por verificarse la igualdad
PF+PF′ = 2 ·a ,
conoceremos su eje mayor, con lo que la cónica quedará determinada.
2.- Dados los focos F y F′, y una tangente, t, a la curva.
Sea el punto P′, proyección de un foco, F, sobre la tangente, y sea O el punto medio del segmento FF′.
Tendríamos, entonces que OP′ sería el radio de la circunferencia principal, con lo que la elipse quedaría determinada.
(El problema tendrá solución sólo si verifica que: OP′ > OF, es decir a > c).
A A'
P'
F F'
P
O
t
OP'
_
PF + PF' = 2·a
_ _
61
Ejemplo 3.- Se da un triángulo rectángulo
4
AOB y un punto M de la hipotenusa. Si los catetos OB y OA son
los ejes de una elipse tangente a AB en M, determinar los vértices de la elipse.
Supongamos el problema resuelto y sean F y F′ los focos.
La normal MC es la bisectriz del ángulo F̂′MF, y la tangente MA es bisectriz del suplementario; luego, los puntos
C y A son conjugados armónicos respecto a los F y F′.
Por la propiedad fundamental de los puntos conjugados
OF2 = OC ·OA
por una media proporcional determinamos OF.
Una vez conocidos F y F′ tendremos:
OV =
FM+MF′
2
,
con lo que obtendremos los vértices V y V′.
Para hallar el vértice P, bastará con cortar, desde F, con radio FP = OV.
V' V
P
O
B
M
FF'
F
C
V' V
MF' F
A
=
= =
=
OV
_
2·a
Ejemplo 4.- En una elipse se conoce: Una foco, F, dos puntos M y P, y una tangente, t. Se trata de determinar
el otro foco y los vértices.
Se determina el simétrico F1 de F respecto a t, punto por
el que pasa la circunferencia focal del otro foco F′.
Las circunferencias de centros, respectivos M y P, que
pasan por F, son tangentes a la circunferencia focal de
F′; es decir, que la circunferencia focal de F′ pasa por
F1 y es tangente a las anteriores circunferencias, de cen-
tros respectivos M y P, lo que nos permite determinar F′.
Además, el segmento F′F1 = 2 ·a.
Circunferencia focal de F′.
Tangente a (c1) y (c2), y pasa por F1.
P
F
M
t
V'
F'
O V
(c )1
2(c )
F1
PF
_
_
MF
62
Ejemplo 5.- Dados los ejes de una elipse, trazar tangentes, t1 y t2, desde un punto exterior, P.
Para determinar los focos, basta trazar la circunferencia, de centro en C y radio OA; su intersección con el eje AB,
nos da los focos F1 y F2.
El lugar geométrico de los simétricos de F1, respecto a todas las tangentes que se pueden trazar a la elipse, es la
circunferencia focal, de centro F2 y radio AB = 2 ·a.
Los simétricos de F1, respecto a las tangentes que pasen por P, distarán de P lo mismo que de F1, es decir, perte-
necerán a la circunferencia de centro P y radio PF1; las intersecciones, M y N, de las dos circunferencias, serán los
simétricos de F1 respecto a las tangentes pedidas.
Luego, las mediatrices de los segmentos MF1 y NF1, serán las tangentes pedidas.
Para hallar los puntos de contacto bastará con tener en cuenta la siguiente propiedad: “Un foco, F1, el simétrico del
otro, M, y el punto de contacto, T1, están alineados.”
A B
C
D
M
O
T1
T2
F1
F2t1
t 2
N
63
Ejemplo 6.- En una elipse se conocen los focos y vértices del eje mayor. Trazar tangentes que disten `̀̀ de su
centro.
A
B
C
D
E
F1
2·m
m
F2
O
Observemos que las proyecciones, C y D, de los focos, F1 y F2, sobre la hipotética tangente, CD, pertenecen a la
circunferencia principal, y que el punto E, simétrico del C, respecto a O, también estará en dicha circunferencia.
Así mismo es inmediato comprobar que la cuerda ED será igual a la suma de CF1 y F2D, es decir, 2 ·m, si es m la
distancia de O a la tangente en cuestión.
Por tanto, para resolver el problema trazaremos una cuerda cualquiera, MN = 2 · `̀̀, y dibujaremos la circunferencia
de centro O, y tangente a MN. Las tangentes desde los focos a esta circunferencia nos determinan las intersecciones
de las tangentes con la circunferencia principal.
El problema tiene, evidentemente, cuatro soluciones, aunque en la figura sólo hemos dibujado una.
A BF1
F2
llllllllll
2·llllllllll
llllllllll llllllllll
2·llllllllll
M
N
O
64
Ejemplo 7.- Determinar una elipse, conociendo: Un foco, F, una tangente, t, con su punto de contacto, T, y la
excentricidad.
Si suponemos el problema resuelto tendremos:
F' F
T
P
F1
t
O
Q
ccc
2·a
a a
Se empieza determinando F1 , simétrico de