464903803-Guia-01-PPT-Funciones-Complejas-Clases-Lunes

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VARIABLE COMPLEJA Y 
ANÁLISIS DE FOURIER
Sesión 01: Funciones Complejas
Docente: Ms.C. Ronald Juven Reyes Narváez
Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 01
LOGROS DE LA SESIÓN
1. Calcular límites de Funciones Complejas
2. Demostrar la existencia de límite por
definición
3. Analizar la continuidad de una función
Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 02
EJEMPLO 1

 

z 2
w f (z)
2z 1
Si:
 f (i) ; f (1 i) ; f (2 3i)a) Determine
b) Determine los valores de z, tales que
   f (z) 2 3i ; f (z) 1 2i
Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 03

 

z 2
w f (z)
2z 1
Se conoceSolución (a) :
     
      
   
1 2
i 2 (i 2)(2i 1) 2 5i 2 5i
w f (i) i
2i 1 (2i 1)(2i 1) 54i 1
     
       
   
2 2
3 i (3 i)(1 2i) 3 5i 2 5 5i
w f (1 i) 1 i
1 2i (1 2i)(1 2i) 51 4i
 f (i) iPor tanto:
  f (1 i) 1 iPor tanto:
Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 04
Por tanto:
    
    
   
3 2
4 3i (4 3i)(1 2i) 4 5i 6
w f (2 3i)
3 6i 3(1 2i)(1 2i) 3(1 4i )
 
   
10 5i 2 i 2 i
15 3 3 3
  
2 i
f (2 3i)
3 3
Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 05

 

z 2
w f (z)
2z 1
Se conoceSolución (b) :

       

z 2
f (z) 2 3i z 2 (2 3i) (2z 1)
2z 1
*)
        z 2 4 z 2 6iz 3i 4 3 z 6iz 3i

    

4 3i
4 3i 3 z(1 2i) z
3(1 2i)
    
  
  
2
2
(4 3i)(1 2i) 4 8i 3i 6i
z z
3(1 2i)(1 2i) 3(1 4i )

 
10 5i
z
3(5)
 
2 i
z
3 3
Por tanto:
Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 06

       

z 2
f (z) 1 2i z 2 (1 2i) (2z 1)
2z 1
**)
        z 2 2z 1 4iz 2i 3 z 4iz 2i

    

3 2i
3 2i z(1 4i) z
1 4i
    
  
  
2
2
(3 2i)(1 4i) 3 12i 2i 8i
z z
(1 4i)(1 4i) 1 16i

 
11 10i
z
17
 
11 10i
z
17 17
Por tanto:
Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 07
EJEMPLO 2
Demostrar:
 2 2cos(2z) cos (z) sen (z)
 
 
  
 
2 z 1sen 1 cos(z)
2 2
 
 
  
 
2 z 1cos 1 cos(z)
2 2
a)
b)
c)
Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 08
Demostración (a):
  
 
2zi 2zi 2zi 2zie e 2e 2e
cos(2z)
2 2(2)
  

2zi 2zi2 2e 2e 2
4
    
 
2zi 2zi 2zi 2zi2 e e e e 2
4 4
      
 
2zi 2zi 2zi 2zi 2zi 2zi 2zi 2zie 2e e e e 2e e e
4 4
Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 09
     
    
      
2 2
zi zi zi zie e e e
cos(2z)
2 2i
 2 2cos(2z) cos (z) sen (z)
Demostración (b):
Por tanto:
 
  
   
   
 
2
zi zi
2 2
2 z e esen
2 2i
Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 10
     
  
 
zi zi zi zi
2
2
z e e 2 e e 2
sen
2 44i
   
    
  
zi zi zi zi1 e e 1 e e
1
2 4 2 2
  
1
1 cos(z)
2
Por tanto:  
 
  
 
2 z 1sen 1 cos(z)
2 2
Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 08
Demostración (c):


 
    
   
   
 
2
zi zi
zi zi2 2
2 z e e e e 2cos
2 2 4
     
      
      
zi zi zi zi1 1 e e 1 e e
1
2 2 2 2 2
  
1
1 cos(z)
2
 
 
  
 
2 z 1cos 1 cos(z)
2 2
Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 08
EJEMPLO 3
Demostrar que se cumple:
sen(z) sen(z)a)
b)
c)
cos(z) cos(z)
tan(z) tan(z)
Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 18
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] Ruel V. Churchill (1996) Variable Compleja y Aplicaciones.
5ta Edición. McGraw – España
[2] Eduardo Espinoza Ramos (2008) Variable Compleja.
2da Edición - Perú