SL_Mie_UNI_2019-2RCZAHxiizd

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PREGUNTAS Y RESPUESTASPREGUNTAS Y RESPUESTAS UNIUNI
Examen de admisión 2019-2
Matemática
1
PREGUNTA N.º 1
Determine el conjunto de valores de n (n ∈ N) de tal 
modo que, la expresión
E(n)= (2n+1)(3n+2) 
sea divisible por 6.
A) {6t – 1/t ∈ N} 
B) {6t – 2/t ∈ N}
C) {6t – 3/t ∈ N}
D) {6t – 4/t ∈ N}
E) {6t – 5/t ∈ N}
RESOLUCIÓN
Tema: Divisibilidad
 E(n)= (2n+1)(3n+2); n ∈ N 
 E(n)=6n2+7n+2
Por condición
 E(n)=6°
 
E n n n n( )= + + + =6 6 2 62
6 6
° °
°
 
7n
 E(n)=6° +6° +n+2=6°
 E(n)=n+2=6°
De donde
 n= 6° – 2 
 n=6t – 2; t ∈ N
Finalmente
 n={6t – 2/t ∈ N}
Respuesta: {6t – 2 / t ∈ N}
PREGUNTA N.º 2
Se sabe que abcd es igual al producto de tres 
números pares consecutivos y además 4(ab)=5(cd). 
Calcule el valor de abcd más 1936.
A) 5962 B) 5964 C) 5966
D) 5968 E) 5970
RESOLUCIÓN
Tema: Operaciones fundamentales
Del primer dato:
 
abcd n n n= ( ) +( ) +( )2 2 2 2 4
producto de tres números
pares consecuttivos
� ���� ����
 abcd=2×2×2×n(n+1)(n+2)
 abcd=8×n×(n+1)(n+2) (I)
Del segundo dato:
 4ab=5cd
 
ab
cd
ab k
cd k
k= →
=
=




<( )
5
4
5
4
20 
De (I)
 abcd n n n  = × +( )× +( )8 1 2
 ab cd n n n × + = × × +( )× +( )10 8 1 2
2
 5 100 4 8 1 2k k n n n( ) + = × × +( )× +( )
 504k=8×n×(n+1)×(n+2)
 63k=n×(n+1)×(n+2)
 
7 9 1 2× = = × +( )× +( )k n n n
Debemos hallar un 
producto de tres númerros 
naturales consecutivos
� ���� ����
Analizamos la última igualdad 
 k=8
2
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PREGUNTA N.º 3
En una urna se tienen fichas idénticas en cada una 
de las cuales está escrito un número de 3 cifras del 
sistema de base 3. La urna contiene a todos los 
números de 3 cifras del sistema ternario, sea ∈: el 
experimento aleatorio que consiste en extraer aleato-
riamente una ficha de urna y X: la variable aleatoria 
discreta asociada, definida como la suma de cifras del 
número seleccionado. Halle la esperanza matemática 
de la variable aleatoria X.
A) 3,2 B) 3,3 C) 3,4
D) 3,5 E) 3,6
RESOLUCIÓN
Tema: Probabilidades
Se tiene una urna con fichas, en las cuales están 
escritos todos los números de 3 cifras del sistema 
ternario.
e: Se extrae una ficha y se suma las cifras
 
a b c 3
n(W)=2×3×3=18
En la urna se tiene 18 fichas en toral.
Suma de cifras
1
1003
2
1013
1103
2003
3
1023
1113
1203
2013
2103
4
1123
1213
2023
2113
2203
5
1223
2123
2213
6
2223
Entonces
 ab=5k=40 y cd=4k=32
Finalmente nos piden
 abcd+1936=4032+1936
 abcd+1936=5968
Respuesta: 5968
Se tiene la variable aleatoria.
x: suma de cifras del número seleccionado
Se deduce
X 1 2 3 4 5 6
P(x)
1
18
3
18
5
18
5
18
3
18
1
18
Como piden la esperanza matemática
 
E x x P xi
i
i( ) ( )= ×
=
∑
1
6
→ E x( )= × + × + × + × +1 1
18
2
3
18
3
5
18
4
5
18
5
3
18
6
1
18
x + ×
∴ E(x) =3,5
Respuesta: 3,5
PREGUNTA N.º 4
Dadas las siguientes proposiciones.
I. El producto de dos fracciones propias positivas 
es una función propia.
II. La suma de dos fracciones propias positivas es 
también propia.
III. ∀n ∈ N, n >1: 
1
1
1 1
1n n n−
+ +
+
 se convierte en un 
decimal periódico mixto.
Señale la alternativa que presenta la secuencia 
correcta, después de determine si la proposición es 
verdadera (V) o falsa (F).
A) FFF B) FVF C) VFF
D) VFV E) VVV
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3
MatemáticaUNI 2019-2
RESOLUCIÓN
Tema: Conjunto de los números Q
I. Verdadero
 Sean las fracciones propias 
 
a
b
c
d
 y ; {a; b; c; d} ∈ Z+
 Tenemos que
 
a
b
a b < 1 → <
 
c
d
c d < 1 → <
 De donde a×c < b×d 
 Dividimos entre b×d.
 
a c
b d
b d
b d
×
×
<
×
×
 
→
×
×
<
a c
b d
1
 
∴
×
×
a c
b d
(propia)
II. Falso
 Ejemplo:
 
2
5
3
5
1+ = ∈ +Z
fracciones
propias
III. Verdadero
 Tenemos
 
1
1
1 1
1
3 1
1 1
3 1 2 2
1 1
2 2
n n n
n
n n n
n
n n n−
+ +
+
=
−
−( ) +( )
=
− − +
−( ) +( )
 =
−( )+
−( )( ) +( )
= +
−( ) +( )
>
3 1 2
1 1
3 2
1 1
1
2n
n n n n n n n
n;
 Sabemos que n n n−( ) +( )=
°
1 1 6
 Entonces, como mínimo, la primera fracción 
origina decimal exacto y la segunda periódico 
puro; por consiguiente, la suma será periódico 
mixto.
Respuesta: VFV
PREGUNTA N.º 5
Se tiene que cercar, con alambre, un terreno rec-
tangular cuyas dimensiones son 576 m y 848 m. Si 
los postes de soporte se colocarán equidistantes, la 
equidistancia debe ser un número entero de metros 
y el número de postes el menor posible. ¿Cuántos 
postes serán necesarios?
A) 178 B) 184 C) 188
D) 204 E) 208
RESOLUCIÓN
Tema: MCD - MCM
Graficamos.
d d d
d
d
. . .
. . .
. .
 .
848 m
576 m
Donde d será la distancia que existe entre dos postes 
consecutivos, además, d es un número entero en 
metros. 
Del gráfico se puede notar que d debe ser un divisor 
de 848 y de 576, es decir, un divisor común de estos 
números; como el número de postes debe ser el 
menor posible, d debe ser máximo. Entonces
 d=MCD(576; 848)
 d=16 576 848 2
288 424 2
144 212 2
72 106 2
36 53
−
−
−
−
−
d
4
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Una vez hallada la diferencia entre dos postes, para 
determinar el número de postes usamos la siguiente 
relación:
contorno de una
figura cerrada
N.º de postes en el Perímetr=
oo de la figura
Distancia entre dos 
postes
 contorno del rectángulo
N.º de postes en el =
+( )
=
2 848 576
16
1778
Por lo tanto, son necesarios 178 postes.
Respuesta: 178
PREGUNTA N.º 6
Sea la expresión
E(n)=n(n+1)(n+2)(n+3)+1, con n ∈ N.
Si n1, n2, n3, ... son todos los números naturales tales 
que E(nk) es divisible por 5 para todo k, ordenados 
de manera que 1 ≤ n1 < n2 <n3 < ..., entonces el 
valor de n1+n2+n3 es
A) 12 B) 14 C) 16
D) 18 E) 20
RESOLUCIÓN
Tema: Teoría de divisibilidad
Por condición
 E(n)=n× (n+1)(n+2)(n+3)+1=5
°
 n n n n� � ��� ���× +
( )× +( )× +( )= − = +
° °
1 2 3 5 1 5 4
 
( ) ( ) ( ) ( )5 1 5 2 5 3 5 2
° ° ° °
+ + + + 
� ������ ������
 5° +24=5° +4
Solo cumple para n=5° +1
Como n1; n2; n3; .... son los valores de n que cumplen 
la condición inicial.
Además
5+1
°
1 ≤ n1<n2<n3<...
1 6 11
Nos piden
 n1+n2+n3=1+6+11=18
Respuesta: 18
PREGUNTA N.º 7
Si los siguientes números son cuadrados perfectos: 
aabb, 1ccc y al multiplicar sus raíces cuadradas con 
x0y se obtiene un cuadrado perfecto. Calcule (x+y), 
sabiendo que aabb y 1ccc son múltiplos de cuatro.
A) 10 B) 11 C) 12
D) 14 E) 15
RESOLUCIÓN
Tema: Potenciación-radicación
 
b ≠ 2; 3; 7; 8
• aabb=k2 → 100aa+bb=k2
 
11×p2
11(a 0 b)=k2
7 0 4=
+ – +
11
°
(además 4
°
)
 Luego aabb=7744=882
• 1ccc=R2 · (4° ); cc=4°
 1000 ≠ R2
 1444=382
 88 ¡no! (c ≠ 8)
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MatemáticaUNI 2019-2
 Luego
 aabb ccc x y M× × =1 0
2
 88×38×x0y=M2
 11×23×19×2×x0y=M2
 
24×11×19×x0y=M2
11×19×p2
p=1 → 209 
p=2 → 836 
 → x0y=209
∴ x+y=11
Respuesta: 11
PREGUNTA N.º 8
Se tiene abc(9)=cba(7). Exprese el número en base 
10. Dé como respuesta la suma de sus cifras de 
dicho número.
A) 10 B) 12 C) 14
D) 16 E) 18
RESOLUCIÓN
Tema: Teoría de numeración
Del dato
 abc9=cba7=N
El número en base 10
Para poder hallar N, debemos determinar los valores 
de a, b y c que hacen que la igualdad se cumpla.
De la igualdad
 abc9=cba7 (descomponemos polinómicamente 
 ambos numerales)
a ·92+b ·9+c=c ·72+b ·7+a
 80a+2b=48c simplificamos
 40a+b=24c (aplicamos múltiplo de 8)
8
o
8
o
 b=8
o (b<7)
→ b=0
De la ecuación
 40a+0=24c
 40a=24c
 5a=3c
 
(a<7)
(b<7)
a
c
= 3
5
→ a=3 y c=5
Finalmente, para poder hallar N pasamos cualquiera 
de los dos números a base 10.
 N=abc9 → N=3059
 N=3×92+5
 N=248
Por lo tanto, la suma de cifras de N es 14.
Respuesta: 14
PREGUNTA N.º 9
Señale la alternativa que presenta la secuencia co-
rrecta, después de determinar si la proposición es 
verdadera (V) o falsa (F).
I. Toda sucesión acotada es convergente
II. Toda sucesión monótona es convergente.
III. Toda sucesión convergente es acotada
A) VVV B) VFF C) FVV
D) FFV E) FFFRESOLUCIÓN
Tema: Sucesiones
I. Falso
 Sea el siguiente contraejemplo:
 (an)= (1; –1; 1; –1; 1; –1; ...)
 Es acotada –1 ≤ an ≤ 1 ∀ n ∈ Z
+
 pero no convergente.
II. Falso
 Sea el siguiente contraejemplo:
 (an)= (1; 2; 3; 4; ...)
 Es monótona creciente (an < an+1; ∀ n ∈ Z
+)
 pero no convergente lim
n
na
→+∞
= +∞( ).
6
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III. Verdadero
 Veamos un ejemplo.
 
1
1
2
3
2
4
3
5
4
+

 =



n
; ; ; ; ...
 La sucesión converge a uno lim
n n→+∞
+



 =




1
1
1
 Entonces, podemos afirmar que 1 1
1
2≤ + ≤
n
 es 
acotada.
 En general, toda sucesión convergente es 
acotada.
 Justificación gráfica
R
N
M
L
N
1 2 3 4 ...
a
n
a
4
a
3
a
2
a
1
n
 Si lim
n
na L M N
→+∞
= → ∃ ∧ ∈R / N ≤ an ≤ M
Respuesta: FFV
PREGUNTA N.º 10
A un atleta que va a participar en una competencia, 
le informaron que cuando haya recorrido 12 km, 
le faltará recorrer menos de los 3/5 de la longitud 
total, y si recorre 16 km la distancia que le faltará 
recorrer es mayor que 1/5 de la longitud total. 
Halle la mayor longitud posible del recorrido de la 
competencia sabiendo que es un número entero. Dé 
como respuesta la suma de las cifras de esta longitud.
A) 7 B) 8 C) 9
D)10 E) 11
RESOLUCIÓN
Tema: Conjunto de los números racionales
Sea D la longitud del recorrido de una competencia 
realizada por un atleta.
Primer dato
 D D D− < → <12
3
5
30
12
(lleva recorrido) D –12
(falta recorrer)
Segundo dato
 D D D− > → >16
1
5
20
16
(lleva recorrido) D –16
(falta recorrer)
Se concluye que
 20 < D < 30
Dato:
D es el mayor entero positivo.
→ D=29
Nos piden la suma de cifras de D.
∴ 2+9=11
Respuesta: 11
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PREGUNTA N.º 11
Dada una función lineal f(x; y), donde (x; y) ∈ R, 
siendo R una región acotada y cerrada de R2, se 
pide maximizar f(x; y) en R. Si adicionamos una 
inecuación más a las restricciones del problema, sea 
esta ax+by+c > 0. Señale la alternativa que presenta 
la secuencia correcta, después de determinar si la 
proposición es verdadera (V) o falsa (F).
I. La solución del problema no cambia si la nueva 
restricción (inecuación) genera un semiplano que 
contiene R.
II. La solución del problema no existe si el 
semiplano que genera la nueva restricción no 
interseca a R.
III. La solución del problema existe si la recta 
ax+by +c=0 corta a R.
A) VVV B) VFV C) VFF
D) FVV E) FFF
RESOLUCIÓN
Tema: Programación lineal
Recordemos que en un problema de programación 
lineal, si la región factible es cerrada y acotada, su 
función objetivo tiene máximo y mínimo valor.
En el problema tenemos una región R cerrada y 
acotada, además una restricción ax+by+c>0 que 
genera un semiplano H.
I. Verdadero
 Si H contiene a R, su intersección es R y su valor 
óptimo no cambia.
 
R
H
X
Y
ax+by+c=0
II. Verdadero
 Si H no interseca a R, no hay región factible y 
por tanto no hay solución factible.
 
R
H
X
Y
ax+by+c=0
III. Verdadero
 Si ax+by+c=0 corta a R, la intersección genera 
una región acotada y por tanto hay solución.
R
X
Y
H ax+by+c=0
región
acotada
R
X
Y
H
ax+by+c=0
región
acotada
Respuesta: VVV
PREGUNTA N.º 12
Sea [ai j] 4×4 con ai j=mín{i; j}. Determine |A|.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
8
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RESOLUCIÓN
Tema: Determinantes
 A a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a
ij=   =×4 4
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 aa44












Dato: 
 ai j=mín{i; j}. 
Por ejemplo
 a41=mín{4; 1}=1
De ello resulta que
 A=












1 1 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 3 4
 Piden determinante
Mediante operaciones fila
I. fila 4 - fila 3
 
1 1 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
0 0 0 1
II. fila 3 - fila 2
 
1 1 1 1
1 2 2 2
0 0 1 1
0 0 0 1
III. fila 2 - fila 1
 
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
1=
El determinante de la triangular superior es producto 
de elementos de su diagonal principal.
Respuesta: 1
PREGUNTA N.º 13
Identifique la gráfica del siguiente conjunto de 
números complejos:
M z z z z
z
z
= ∈ + ≥
+
+
≤






C 2
2
1
1y
A) 
–5/2
C
0
 B) 
–3/2
C
0
C) 
–1/2
C
0
D) 
3/2
C
0
 E) 
1/2
C
0
RESOLUCIÓN
Tema: Números complejos
Sea z=x+yi ∈ C tal que {x; y} ∈ R.
Usamos la desigualdad triangular.
 z z z z+ ≥ +2 2
→ z z z+ ≥2 
Se cumple que ∀ z ∈ C. Por lo tanto, no nos brinda 
restricciones.
De la otra restricción
 
z
z
+
+
≤
2
1
1
 
→ |z+1| ≠ 0 ↔ z ≠ –1
→ |z+2| ≤ |z+1|
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MatemáticaUNI 2019-2
 x y x y+( ) + ≤ +( ) +2 12 2 2 2
 x y x y+( ) + ≤ +( ) +2 12 2 2 2
 (x+2)2–(x+1)2 ≤ 0
 (2x+3)(1) ≤ 0
 x ≤ −
3
2
Por lo tanto, su gráfica es la siguiente:
–3/2
C
0
Respuesta: 
–3/2
C
0
PREGUNTA N.º 14
Señale la alternativa que presente la secuencia 
correcta, después de determinar si la proposición 
es verdadera (V) o falsa (F).
I. Existen funciones sobreyectivas que son 
inyectivas.
II. Existen funciones de N en Z que son biyectivas.
III. La suma de dos funciones impares es impar.
A) VVV B) VVF C) FVF
D) FFV E) FFF
RESOLUCIÓN
Tema: Funciones
I. Verdadero
 La función f(x)=x es sobreyectiva e inyectiva, 
entonces existen funciones sobreyectivas e 
inyectivas, se denominan funciones biyectivas.
II. Verdadero
 Una de estas funciones es
 f: N → Z
 
f x
x
x
x
x
( )
;
;
=
−
− −





2
1
1
2
 es par
 es impar
N Z
2
4
6
pares
impares
f
0
1
2
enteros no
negativos
1
3
5
–1
–2
–3
enteros
negativos
III. Verdadero
 Si f es impar f(– x)= – f(x), así g(– x)= – g(x) 
 Sea H(x)= f(x) + g(x), luego
 H(– x)= f(– x) + g(– x)= – f(x) – g(x)=
– ( f(x)+ g(x))= –H(x)
Entonces
 H(– x)= – H(x); H es impar
Respuesta: VVV
PREGUNTA N.º 15
Dado el sistema lineal
 x+2y – z=4 
 – 3x+5y+z=5
 – 4x+3y+2z=1
Señale la alternativa correcta, luego de determinar 
la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes 
proposiciones:
I. El conjunto solución tiene infinitos puntos que 
constituyen una recta.
II. El conjunto solución tiene infinitos puntos que 
constituyen un plano.
III. Existe solución que se puede expresar en la forma
 (x, y, z)= (x0+at, y0+bt, z0+ct), t ∈ R. 
 Donde x0, y0, z0, a, b, c son constantes.
A) VVV B) VFF C) FFV
D) VFV E) FFF
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RESOLUCIÓN
Tema: Sistema de ecuaciones
x+2y – z=4 (I)
– 3x+5y + z=5 (II)
– 4x+3y – 2z=1 (III)
Al sumar (I) y (III) resulta la ecuación (II).
También son planos secantes (I) y (II).
 1x+2y – z=4 por eso son
 – 3x+5y+z=5
 →
−
≠
1
3
2
5 secantes
Del lo anterior se tiene el siguiente gráfico aproximado.
L
(I)
(III)
(II)
Las soluciones estarían en la recta R3.
I. Verdadero
 El conjunto solución está representado por la 
recta L que tiene infinitos puntos.
II. Falso
 No es un plano el conjunto solución.
III. Verdadero
 L ={(x; y; z)∈R3/x=x0+at; y=y0+at; z=a0+at}
 donde x0; y0; z0; a; b; c son constante. 
 Del gráfico siguiente se deduce
 
L
t(a; b; c)
PC=(x0; y0; z0)
(x; y; z)
x
y
z
 (x; y; z)= (x0; y0; z0)+ t(a; b; c)
 = (x0+at; y0+bt; z0+ct)
Respuesta: VFV
PREGUNTA N.º 16
Una marca de producto de limpieza usada para 
obtener una solución es 25% ácida. Otra marca 
de producto de limpieza es 50% ácida. ¿Cuántos 
galones de cada producto de limpieza se deberán 
mezclar para producir 20 galones de una solución 
40% ácida?
A) 7 y 13 B) 8 y 12 C) 9 y 11
D) 10 y 10 E) 16 y 4
RESOLUCIÓN
Tema: Mezcla
N.º de 
balones acidez
 
a
b
20
(acidez de
la mezcla)
ganancia
pérdida
25%
50%
40%
Recordemos que
 
aparente
Ganancia
aparente
Pérdida( )= ( )
 15%a=10%b
 
a
b
= 2
3
a=2k
b=3k
Sabemos que
 
a + b=20
2k+3k=20
 k=4
∴ a=8 y b=12
Respuesta: 8 y 12
PREGUNTA N.º 17
Dada la ecuación:
2x2–nx = 2x+m
Determine el valor de 4n+m −5, donde el conjunto 
solución es {5}.
A) 15 B) 17 C) 19
D) 21 E) 23
UNI 2018-1Solucionario de 
11
MatemáticaUNI 2019-2
RESOLUCIÓNTema: Ecuación cuadrática
 2x2 – nx=2x+m ↔ 2x2 – (n+2)x–m=0
↔ x
n
x
m2 2
2 2
0−
+( )
− = (I)
Como CS={5} el polinomio cuadrático resulta de 
escribir(x – 5)2=0
Desarrollamos.
 x2 –10x+25=0 (II)
Comparamos (I)= (II).
 
n
n
+
= → =
2
2
10 18
 − = → =−
m
m
2
25 50
∴ 4n+m – 5=4(18)+ (– 50) – 5=17
Respuesta: 17
PREGUNTA N.º 18
Un granjero tiene un terreno donde siembra hor-
talizas. Cierto día decide cercar con tablones de 
madera una parte de su terreno para criar vacas. 
Las especificaciones que el granjero dio al carpintero 
fueron las siguientes: El corral debe ser rectangular 
con un perímetro de 1748 m y debe tener el área 
más grande posible, sea A m2 dicha área, hallar la 
suma de las cifras de A.
A) 34 B) 35 C) 36
D) 37 E) 38
Datos
• 2x+2y=1748 m
• x+y=874 m (I)
Condición: Debe tener el área más grande posible.
 A(x; y)=x · y (II)
En (I) 
 x=874 – y
En (II)
 A(y)= (874 – y)y
 A(y)=874y – y2
 A'(y)=874 – 2y=0
 y=437
Luego
 x=437
Entonces el área será
 A= (437)(437)=190 969
Finalmente, la suma de cifras de A es 1+9+9+6+9.
∴ 34
Respuesta: 34
RESOLUCIÓN
Tema: Área de regiones cuadrangulares
Nos piden la suma de cifras de A.
y
y
x x
terreno rectangular
a cercar
PREGUNTA N.º 19
Considere la función f: R \ {0} → R definida por 
f x x( ) log .= 2 Señale la alternativa que presenta 
la secuencia correcta, después de determinar si la 
proposición es verdadera (V) o falsa (F).
I. Existen únicamente dos valores para x, que 
vuelven mínimo a la función f(x).
II. f es creciente en los intervalos 〈–1; 0〉 y 〈1; +∞〉.
III. f es inyectiva en el intervalo 〈0; +∞〉.
A) VVV B) VVF C) VFF
D) FFV E) FFF
12
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RESOLUCIÓN
Tema: Función logarítmica
Graficamos la función: f(x)=|log2|x||
X
Y
X
Y
1
X
Y
1–1
1–1
y=log
2
|x|
y=|log2|x||
y=log
2
x
Del gráfico
I. VERDADERO
 En x= –1 ∧ x=1 vuelve mínimo a f(x).
II. VERDADERO
 En 〈–1; 0〉 y 〈1; +∞〉 la función es creciente.
III. FALSO
 La recta horizontal y=2 corta la gráfica de f 
cuando x ∈ 〈0; +∞〉 en más de un punto, entonces 
no es inyectiva.
Respuesta: VVF
PREGUNTA N.º 20
Si [(p∧q)∨(∼r)]∧∼p es verdadera, indique la 
secuencia correcta después de determinar si la 
proposición compuesta es verdadera (V) o falsa (F).
I. [(– p ∨ r) ∧ q]∨ ∼ p
II. ∼ p ∧ (∼ r ∨ q)
III. [p ∨ (r ∧ ∼ q)] ∧ r
A) VFV B) VVF C) FFV
D) FVV E) VVV
RESOLUCIÓN
Tema: Lógica proposicional
Recuerde
La tabla de verdad de las proposiciones compuestas, 
disyunción y conjunción.
p q p ∧ q p ∨ q
V V
V F
F V
F F
V
F
F
F
V
V
V
F
Algunas leyes de lógica proposicional.
• p ∨ F ≡ p • p ∨ V ≡ V
• p ∧ V≡p • p ∧ F ≡ F
Del dato
p q r p
q
∧( )∨ ( ) ∧ ≡
∧( )
∨
∼ ∼
��� �
� �� �� �
V
F F
F V F
V V
Sabemos de lo 
anterior que p ≡ F
Tenemos los valores de verdad de p=F, r=F y q no 
se puede determinar.
Con esta información veamos el valor de verdad de 
las proposiciones compuestas planteadas.
I. ∼
� ��� ���
∼p r q p∨( )∧ ∨
∨ ≡A V V
No es necesario 
determinar su
valor de verdad
II. ∼
�
∼
��� ��
p r q
q
∧ ∨( )
∧ ∨( )
∧ ≡
V V
V V V
III. p r q r∨ ∧( )  ∧
∧ ≡
∼
� ��� ���
B F F
Respuesta: VVF
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13
MatemáticaUNI 2019-2
PREGUNTA N.º 21
Dado un prisma cuadrangular regular ABCD 
- EFGH, donde AE=2(AB). Sabiendo que la suma 
de las distancias del punto “B” a los centros de las 
seis caras del prisma es 2 2 5 3+ +( ) m. Determine 
el volumen de dicho prisma (en m3 ).
A) 1 C) 2 C) 3
D) 2 E) 5
RESOLUCIÓN
Tema: Prisma
Dato:
 AE=2AB
Sea AB=2b
GH
D
A B
F
H
E
C
b3b
O1
O4
O3
O2
O5
O6
2b 2b
5b 5b
5b 5b
2b 2b
18b 18b
2b
4b
2b
2b
2b
Se observa
 AO1B : BO1=b 2
 BHO5 : BO5=b 5 , análogamente BO b6 5=
 BFO2 : BO2=3 2b
 O4AB : BO4=3b, análogamente BO3=3b
Dato: BO1+BO2+...+BO6=2 2 5 3+ +
→ b=1/2
Luego Vprisma= (4b
2)(4b)=2
Respuesta: 2
PREGUNTA N.º 22
El paralelogramo ABCD es perpendicular a la base 
del cilindro oblicuo de sección recta circular y el 
ángulo BCD mide 53° AD=10, DM=2MC. Calcule 
el área total del sólido que resulta de quitar la porción 
de la cuña cilíndrica AMD
α
α
A D
CB
M
A) 2 25 2 5π +( ) B) 4 25 2 5π +( )
C) 4 25 4 5π +( )
D) 4 25 6 5π +( ) E) 8 5 2 5π +( )
RESOLUCIÓN
Tema: Tronco de cilindro
AST: tronco de cilindro oblicuo
Datos
• AD=10
• DM=2MC
A D
C
5
55
4
55
4
5
15
10
5
4
5
4B
M
53°
44
4
R
4
53°
2
53°
2
53°
2
4
4
4
14
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PREGUNTA N.º 23
En un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en B, se 
traza la bisectriz interior BM y las alturas AN y CQ, 
donde AN=a y CQ=b. Calcule la medida de la altura 
trazada desde M en el triángulo BMC.
A) 
a
a b+
 B) 
b
a b+
 C) 
ab
a b+
D) 
2ab
a b+
 E) ab
• Se observa que ANB ∼ CQB y AB=ak, 
además, BC=bk.
• En el ABC, por teorema de la bisectriz interior
 
ak
bk
AM
MC
AM a MC b= = =, ,  
• Luego, MHC ∼ ANC, entonces
 
x
a
b
a b
=
+( )


 ∴ = +
x
ab
a b
Respuesta: 
ab
a b+
En el ADM
 DM=AD=10
Además
 mSMAD=53°/2
De ahí tenemos
 AM =8 5
Luego
 SR=AMsen53°/2
Entonces
 SR=8
Como nos piden el área de la superficie total del 
sólido sombreado
 A total = ( )( )+ ( )
+


 +
( )( )π π π5 4 2 4
15 5
2
4 4 5
 A total = +( )4 25 4 5π
Respuesta: 4 25 4 5π +( )
PREGUNTA N.º 24
En la figura, P es punto medio de AB, Q es punto 
medio BC y R es punto medio de AC, entonces 
mSABC es
C
Q
B
P
R
A
A) 75° B) 80° C) 85°
D) 90° E) 95°
RESOLUCIÓN
Tema: Semejanza de triángulos
Nos piden x.
Dato: BM: bisectriz interior
a b
b
Q
CMA
N
a
B
α α
θ
β
θ
bkak
x
RESOLUCIÓN
Tema: Circunferencia
Nos piden mS ABC=x.
Dato: P, Q y R son puntos medios.
En el ABC, por teorema base media PR=b y 
QR=a
B
P
A
R
c
c
a
a
a
x
x
C
b
b
b
Q
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15
MatemáticaUNI 2019-2
Luego, en el paralelogramo PBQR, los ángulos 
opuestos son iguales, entonces
 mS PBC=mS PRQ=x
También, PBQR está inscrito en la circunferencia, 
así
 x+x=180°
∴ x=90°
Respuesta: 90°
PREGUNTA N.º 25
Las dos bases de un prismoide son triángulos 
equiláteros de lados 18 cm y 6 cm, respectivamente, 
y las caras laterales son trapecios isósceles, donde el 
área de cada trapecio es 482 cm2. Halle el volumen 
(en cm3) del prismoide.
A) 78 3 3 B) 80 3 3 C) 81 33
D) 90 3 3 E) 100 33
P
R
Q
B
M
C
A
1818
6
4
6
336
332
h
33
S N
En el MSN: h=2
 Vprismoide = + +( )23 9 3 81 3 27 3
2 2 2   
∴ Vprismoide 78= 3
3
Respuesta: 78 3
3
RESOLUCIÓN
Tema: Tronco de pirámide
Nos piden volumen del prismoide.
De los datos del problema se puede representar al 
prismoide como se muestra en la figura. 
Dato
 A RCBQ MN= =
+


48
6 18
2
2  
De allí MN=4
 A ABC =9 3
2
 A PQR =81 3
2
PREGUNTA N.º 26
Determine a qué altura de la Tierra debe ubicarse 
un satélite para que la región visible sea 1/3 de la 
superficie terrestre; considere que el radio de la 
Tierra es R.
A) 
1
2
R B) R C) 
3
2
R
D) 2R E) 3R
16
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RESOLUCIÓN
Tema: Esfera (superficie)
Dato
• A Aregión
visible
superficie
Tierra
= ( )
1
3
• R: radio de la Tierra.
Por dato
 
2
1
3
4 2π πRh R= ( )
 
h
R
=
2
3
satélite
R
R
R
3
R
3
x
h=2R
3
Región
visible
casquete
esférico( )
Luego, se observa que
 
R
R
3
R
3
R+x
Por relaciones métricas en el triángulo rectángulo
 
R
R
R x2
3
= +( ).
∴ x=2R
Respuesta: 2R
PREGUNTA N.º 27
En el arco BC de una circunferencia circunscrita a un 
octógono regular ABCDEFGH, se ubica un punto P, 
tal que PC=1 m y PE=4 2 m. Calcule la longitud 
del radio de la circunferencia (en m).
A) 
2
2
 B) 
3 2
2
 C) 
5 2
2
D) 
7 2
2
 E) 
9 2
2
RESOLUCIÓN
Tema: Polígonos regulares
Nos piden R (longitud del radio de la circunferencia)
Datos:
• PC=1
• PE = 4 2
O
A
H
B
P
C
D
E
F
R
R
R
G
45°
1
3
45
2
4
L
Sea O centro de la circunferencia.
Se debe tener en cuenta que el octógono regulardetermina arcos de 90° sobre cada lado.
Trazamos EL ^ PC
���
, en el PLE notable de 45°
→ PL=LE=4
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17
MatemáticaUNI 2019-2
PREGUNTA N.º 28
En un trapecio circunscriptible ABCD, isósceles, 
AB // CD, cuyo perímetro es 20 cm. Las bisectrices 
exteriores por B y C se intersecan en P, y las bisec-
trices interiores de B y C en Q. Calcule PQ (en cm).
A) 5 B) 10 C) 15
D) 20 E) 25
Se observa que PCQB es un rectángulo, entonces
 PQ=CB= 
Por teorema de Pithot
 CD+AB= + =2
Del dato
 
perímetro
de ABCD
CD AB= + + + =
2
20

 
� �� ��
 4=20 → =5
∴ PQ=5
Respuesta: 5
Luego, en el CLE notable de 37° y 53°, CE=5.
Finalmente, en el COE notable de 45°
 R 2 5=
∴ R=
5 2
2
Respuesta: 
5 2
2
RESOLUCIÓN
Tema: Teorema de Pithot
Piden PQ.
Dato: perímetro de ABCD es 20
 Q
D
A B
C
P
θ
θ
θ
θ
α
α
α
α

PREGUNTA N.º 29
En la figura se tiene BC=2,5 cm y el radio de la 
circunferencia mostrada es de 5 cm. Halle el área 
del trapecio isósceles ABCD en cm2, siendo A y B 
puntos de tangencia.
B
CD
A
O
A) 13 B) 14 C) 15
D) 16 E) 17
18
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RESOLUCIÓN
Tema: Áreas de regiones cuadrangulares
Nos piden A ABCD
Por dato:
 ABCD es un trapecio isósceles, BC=2,5 cm y el 
radio es 5 cm.
B
CD
A
O
2,5
2,5 2,5
2,5
4 4 37°
5
5
3
2
53°
2
53°
2
Hallamos el área de la región ABCD.
 A ABCD =
5 8
2
2
+


 ⋅
∴ A ABCD =13
Respuesta: 13
RESOLUCIÓN
Tema: Polígonos regulares
Nos piden RP.
Observación
5
2
10 2 5= −
R
: longitud del lado del pentágono regular en 
función del circunradio.
 
10 5
6
6
42°
18°
36°
60°
R O C
N
M
P
k k
R=k
18°
k
• OMN es equilátero.
→ MN= 6=k
• RMO es triángulo elemental del pentágono 
regular RM= 10.
• En el RMP
 RM= 10; MP= 6
→ RP= 5
∴ RP k= −
2
10 20
Respuesta: 
k
2
10 20−
PREGUNTA N.º 30
En la figura, O es el centro de la semicircunferencia. 
Además, P y N son puntos de tangencia. Calcule PR.
42°
18°
R O
N
PK
A) 
k
2
10 20− B) 
k
3
10 20−
C) 
k
2
15 20−
D) 
k
4
15 20− E) 
k
2
10 20+
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MatemáticaUNI 2019-2
PREGUNTA N.º 31
Se tiene una pirámide cuadrangular O-ABCD, 
cuya base ABCD es un rombo, OA=OC=8 m, 
OD=OB=5 m. Sabiendo que el perímetro de su base 
ABCD toma su máximo valor entero par, calcule el 
área (en m2) de su superficie lateral.
A) 18 11 B) 20 11 C) 22 11
D) 24 11 E) 26 11
RESOLUCIÓN
Tema: Pirámide
Nos piden ASL.
=9
=9
5
58
8
O
C
D
B
bMa
A
Se observa que
 a < 8 → a2 < 64
 b < 5 → b2 < 25
 
a2+b2 < 89
2 < 89
 4 < 37,73
Por condición del problema, nos dicen que 4 debe 
tomar su mayor valor entero par.
 4=36
→ =9
Calculamos el área de una cara lateral por la fórmula 
de Herón.
 P AOD =
+ +
=
8 5 9
2
11
 A AOD = ( )( )( ) =11 2 3 6 6 11
∴ ASL = ( )=4 6 11 24 11
Respuesta: 24 11
PREGUNTA N.º 32
Un cilindro de revolución está inscrito en un cono 
de revolución, de modo que una de las bases del 
cilindro está sobre la base del cono. Si el volumen del 
cono es 18 m3, calcule el volumen del cono parcial 
determinado (en cm3), sabiendo que el volumen del 
cilindro es 
3
7
 del volumen del tronco de cono.
A) 
3
4
 B) 
5
4
 C) 
7
4
D) 
9
4
 E) 
11
4
RESOLUCIÓN
Tema: Tronco de cono
Nos piden Vx.
 Vx: volumen del cono parcial
 Vcono total=18 m
3
Vx
h
R
r
Por dato:
 V Vcilindro tronco de 
cono
=
( )
3
7
20
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PREGUNTA N.º 33
En la figura mostrada, se tiene una circunferencia 
trigonométrica donde PQ es tangente a la circunfe-
rencia en P. Calcule el área del trapecio OMPQ en 
función de θ.
P M
OQ
θ
A) 
sen
cos sec
θ
θ θ
( )
( )+ ( )( )
2
B) 
cos
cos sec
θ
θ θ
( )
( )+ ( )( )
2
RESOLUCIÓN
Tema: Circunferencia trigonométrica
S: área del trapecio OMPQ
P M
X
Y
OQ
θ
–secθ
senθ
–cosθ
 S=
− + −( )( )
×
cos sec
sen
θ θ
θ
2
 S= − ( )+ ( )( )sen cos secθ θ θ
2
Respuesta: −
( )
( )+ ( )( )
sen
cos sec
θ
θ θ
2
 π
π
r h
h
R r Rr2 2 2
3
7 3
= + +( )
 7r2=R2+ r2+Rr
 
R2+Rr – 6r2=0
R 3r
R –2r
→ R=2r
Luego, por relación de semejanza de conos
 
V
V
Vx x r
rcono
total
= = =
18 2
1
8
3
3( )
∴ Vx =
9
4
Respuesta: 
9
4
PREGUNTA N.º 34
En un triángulo ABC, bc = +8 4 2 2 2 u y 
sen cos6 6
5
8 4
A A A( )+ ( )= <


π
Calcule el área de la región triangular (en u2).
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 10
C) −
( )
( )+ ( )( )
cos
sen csc
θ
θ θ
2
D) −
( )
( )− ( )( )
sen
cos sec
θ
θ θ
2
E) −
( )
( )+ ( )( )
sen
cos sec
θ
θ θ
2
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MatemáticaUNI 2019-2
RESOLUCIÓN
Tema: Resolución de triángulos oblicuángulos
Condición
 bc = +8 4 2 2 (I)
Además
 sen cos6 6
5
8
A A+ =
→ 
5
8
3
8
4
5
8
+ = →cos A cos4A=90°
 
A=
45
2
°
 
2
45
2
1 452sen cos
°
°= −
 
2
45
2
1
2
2
2sen
°
= −
→ sen 45
2
2 2
2
°
=
−
S: Área de la región triangular ABC.
 
S=
bc
A
2
sen
 
S=
+( )
×
−8 4 2 2
2
2 2
2
∴ S=4
Respuesta: 4
PREGUNTA N.º 35
Sean las funciones
g(x)=2arctan(x); x ∈ [–1; 1]
h(x)=arcsen(x); x ∈ [–1; 1]
Determine el número de elementos (la cardinalidad) 
de
S x g x h x= ∈ −[ ] ( )= ( ){ }1 1;
A) 6 B) 4 C) 3
D) 1 E) 0
RESOLUCIÓN
Tema: Funciones trigonométricas inversas
Piden el número de elementos cuando g(x)=h(x) 
para x ∈ [–1; 1]. Para ello graficamos las funciones.
Si x ∈ [–1; 1]
→ –1 ≤ x ≤ 1
 arctan(–1) ≤ arctan(x) ≤ arctan(1)
∴ 2arctan(–1) ≤ 2arctan(x) ≤ 2arctan(1)
h
(x)
=arcsenx
Y
X
g
(x)
=2arctanx
1
1
–1
Se observa que h(x) ≠ g(x) para x ∈ [–1; 1].
Por lo tanto, la cantidad de elementos es 0.
Respuesta: 0
PREGUNTA N.º 36
Sean A, B, C constantes y f: R → R dada por
f(x)=Asen(x)+Bcos(x)+Csen(x)cos(x)
cuya gráfica parcial se muestra a continuación:
4
p
2
p
2
22
1
+
–1
2
X
Y
Calcule A+B+C.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
22
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RESOLUCIÓN
Tema: Funciones trigonométricas directas
 f(x)=Asenx+Bcosx+Csenx cosx
Del gráfico tenemos que
• (0; 2) ∈ f :
 2=Asen0+Bcos(0)+C(sen0)(cos0)
→ B=2
• 
π
2
1; −

∈ f :
 − = + + 





1 2 2 2 2
A B Csen cos sen cos
π π π π
→ A= –1
• 
π
4
1
2
2
2
; +



∈ f :
 
1
2
2
2 4 4 4 4
+ = + + 





A B Csen cos sen cos
π π π π
 
1
2
2
2
2
2
2 2
2
1
2
+ = − + + 

C
→ C=1
∴ A+B+C=2
Respuesta: 2
PREGUNTA N.º 37
En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado. Si BD 
corta a la circunferencia inscrita en P y Q es punto 
de tangencia, calcule tan(θ).
A D
B C
P
Q
θ
RESOLUCIÓN
Tema: Identidades de ángulos compuestos
2
45°
A D
B C
P
Q
θ
53°/2
45°
Del gráfico
 θ+
°
= °+
°45
2
45
53
2
 θ=
°
+
°45
2
53
2
 tanθ=
°
+
°


 =
−( )+
− −( )
tan
45
2
53
2
2 1
1
2
1 2 1
1
2
 tanθ=
−( )
−( )
+( )
+( )
2 2 1
3 2
3 2
3 2
∴ tanθ= +5 2 1
7
Respuesta: 
5 2 1
7
+
PREGUNTA N.º 38
Un terreno tiene la forma de un sector circular y su 
perímetro mide 1500 m. ¿Cuál es la medida del radio 
(en m) del sector circular, sabiendo que el área de 
este es la mayor posible?
A) 175 B) 225 C) 275
D) 375 E) 475
A) 
2 2 1
5
−
 B) 
3 2 1
3
−
 C) 5 2 1
7
+
D) 2 2 1
4
+ E) 3 2 1
5
+
UNI 2018-1Solucionario de 
23
MatemáticaUNI 2019-2
RESOLUCIÓN
Tema: Área de un sector circular

r
r
Condición: 2r+ =1500
S: área del sector circular
S: máximo
S S= → = −( )
r r
r
2 2
1500 2
S=
( ) −( )2 1500 2
2
r r
Observación 
S es máximo si 2r =1500 – 2r
∴ r=375
Respuesta: 375
PREGUNTA N.º 39
La ecuación cuadrática
2x2+4xy+5y2 – 6y+3=0 representa
A) una elipse.
B) una circunferencia.
C) una hipérbola.
D) una recta.
E) un punto.
RESOLUCIÓN
Tema: Secciones cónicas
 2x2+4xy+5y2 – 6y+3=0
 2 2 3 6 3 02 2 2x xy y y y+ +( )+ − + =
 2 3 2 1 02 2x y y y+( ) + − +( )=
 2(x+y)2+3(y–1)2=0
Luego
 x+y=0 ∧ y –1=0
→ (x; y)= (–1; 1)
Por lo tanto, la ecuación cuadrática representa un 
punto.
Respuesta: un punto.
PREGUNTAN.º 40
Para x∈ −



π π
2 2
; determine el conjunto solución 
de la ecuación
 sec(x)(2sen(x)+1) – 4sen(x) – 2=0
Dé como respuesta la suma de los elementos de 
ese conjunto.
A) −
π
6
 B) 
p
6
 C) 
p
3
D) 
2
3
p
 E) p
RESOLUCIÓN
Tema: Ecuaciones trigonométricas
 secx(2senx+1)–4senx–2=0
 secx(2senx+1)–2(2senx+1)=0
 (2senx+1)(secx–2)=0
Donde
 − ≤ ≤
π π
2 2
x
• 2senx+1=0 → sen x = −
1
2
 x1
6
= −
π
• secx–2=0
 cos x x= → = −
1
2 3
2
π
 x3 3
=
π
Por lo tanto, la suma de soluciones es −
π
6
.
Respuesta: −
π
6