A7_Ejercicios

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ACTIVIDAD 7: EJERCICIOS SOBRE INFERENCIA ESTADÍSTICA DE DOS POBLACIONES 
 
Omar Alexander Fajardo Torres 
Universidad del Valle de México 
ESTA0307D-532XO02A2102: ESTADÍSTICA INFERENCIAL 
Ezequiel Hernandez Becerra 
16 de agosto, 2021 
 
 
 
 
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ACTIVIDAD 7. 
EJERCICIOS SOBRE INFERENCIA ESTADÍSTICA DE DOS 
POBLACIONES
 
 
• Con base en el material consultado en la unidad resuelve los ejercicios que se plantean acerca 
de los siguientes temas: 
 
 Inferencia estadística de medias de dos poblaciones. 
 Estimación de la diferencia entre los promedios de dos poblaciones: muestras 
independientes 
 Pruebas de hipótesis acerca de la diferencia entre las medias de dos poblaciones: 
muestras independientes 
 Inferencias acerca de la diferencia entre las medias de dos poblaciones: muestras 
pareadas 
 Inferencia estadística de proporciones de dos poblaciones 
 Distribución muestral de p1 – p2 
 Estimado de intervalo de p1 – p2 
 
Aplicaciones 
1) Muestras aleatorias independientes se seleccionaron de las poblaciones 1 y 2. Los 
tamaños, medias y varianzas muestrales son las siguientes: 
 Población 
 1 2 
Tamaño muestral 35 49 
Media muestral 12.7 7.4 
Varianza muestral 1.38 4.14 
 
a) Encuentre un intervalo de confianza de 95% para estimar la diferencia en las medias 
poblacionales 1 2( )μ μ− . 𝜇𝜇1 − 𝜇𝜇2 
𝑁𝑁1 = 35 , 𝜎𝜎12 = 1.38 , �̅�𝑥1 = 12.7 
𝑁𝑁2 = 49 , 𝜎𝜎22 = 4.14 , �̅�𝑥2 = 7.4 
𝐼𝐼𝐼𝐼 = 0.95 , 𝛼𝛼 = 0.05 
 
 
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𝑣𝑣 =
�𝜎𝜎1
2
𝑛𝑛1
+ 𝜎𝜎2
2
𝑛𝑛2
�
2
�𝜎𝜎1
2
𝑛𝑛1
�
2
𝑛𝑛1 − 1
+
�𝜎𝜎2
2
𝑛𝑛2
�
2
𝑛𝑛2 − 1
 
𝑣𝑣 =
�1.3835 +
4.14
49 �
2
�1.3835 �
2
35 − 1 +
�4.1449 �
2
49 − 1
= 78.973 
𝑡𝑡𝛼𝛼/2,𝑣𝑣 = 𝑡𝑡0.025,79 = 0.6776 
(�̅�𝑥1 − �̅�𝑥2) − 𝑡𝑡𝛼𝛼
2
�𝜎𝜎1
2
𝑛𝑛1
+
𝜎𝜎22
𝑛𝑛2
< 𝜇𝜇1 − 𝜇𝜇2 < (�̅�𝑥1 − �̅�𝑥2) + 𝑡𝑡𝛼𝛼/2�
𝜎𝜎12
𝑛𝑛1
+
𝜎𝜎22
𝑛𝑛2
 
(12.7 − 7.4) ± 0.6776�
1.38
35
+
4.14
49
 
5.3 ± 0.6776�
1.38
35
+
4.14
49
 
 
5.538 < 𝜇𝜇1 − 𝜇𝜇2 < 5.0614 
2) Muestras aleatorias independientes se seleccionaron de las poblaciones 1 y 2. Los tamaños, 
medias y varianzas muestrales son las siguientes: 
 Población 
 1 2 
Tamaño muestral 64 64 
Media muestral 2.9 5.1 
Varianza muestral 0.83 1.67 
 
a) Encuentre un intervalo de confianza de 90% para estimar la diferencia en las medias 
poblacionales 1 2( )μ μ− . 
𝑁𝑁1 = 64 , 𝜎𝜎12 = 0.83 , �̅�𝑥1 = 2.9 
𝑁𝑁2 = 64 , 𝜎𝜎22 = 1.67 , �̅�𝑥2 = 5.1 
1 − 0.90 =
0.1
2
= 0.05 − 1 = 0.9500 
𝑍𝑍𝛼𝛼/2 = 1.645 
 
 
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(�̅�𝑥1 − �̅�𝑥2) ± 𝑍𝑍𝛼𝛼/2�
𝜎𝜎12
𝑛𝑛1
+
𝜎𝜎22
𝑛𝑛2
 
2.2 ± 1.645�
(0.83)2
64
+
(1.67)2
64
 
2.2 ± 0.3834 
2.5834 ≤ 𝑚𝑚1 −𝑚𝑚2 ≤ 1.8166 
 
b) Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la diferencia en las medias 
poblacionales. ¿Se puede concluir que hay una diferencia en las dos medias 
poblacionales? Explique. 
𝑁𝑁1 = 64 , 𝜎𝜎12 = 0.83 , �̅�𝑥1 = 2.9 
𝑁𝑁2 = 64 , 𝜎𝜎22 = 1.67 , �̅�𝑥2 = 5.1 
1 − 0.99 =
0.01
2
= 0.005 − 1 = 0.995 
𝑍𝑍𝛼𝛼/2 = 2.575 
(�̅�𝑥1 − �̅�𝑥2) ± 𝑍𝑍𝛼𝛼/2�
𝜎𝜎12
𝑛𝑛1
+
𝜎𝜎22
𝑛𝑛2
 
2.2 ± 2.575�
(0.83)2
64
+
(1.67)2
64
 
2.2 ± 0.6002 
2.8002 ≤ 𝑚𝑚1 −𝑚𝑚2 ≤ 1.5998 
 
3) Muestras aleatorias independientes de 1 500n = y 2 500n = observaciones se seleccionaron 
de entre las poblaciones binomiales 1 y 2, y se observaron 1 120x = y 2 147x = éxitos. 
a) ¿Cuál es el mejor estimador puntual para la diferencia 1 2( )p p− de las dos proporciones 
binomiales? 
𝑁𝑁1 = 500 , 𝑥𝑥1 = 120 , �̂�𝑝1 = 0.24 , 𝑞𝑞�1 = 0.76 
𝑁𝑁2 = 500 , 𝑥𝑥2 = 147 , �̂�𝑝2 = 0.294 , 𝑞𝑞�2 = 0.706 
1 − 0.95 =
0.05
2
= 0.025 − 1 = 0.9750 
 
 
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𝑍𝑍𝛼𝛼/2 = 1.96 
(�̂�𝑝1 − �̂�𝑝2) ± 𝑍𝑍𝛼𝛼/2�
�̂�𝑝1 ∗ 𝑞𝑞�1
𝑛𝑛1
+
�̂�𝑝2 ∗ 𝑞𝑞�2
𝑛𝑛2
 
0.054 ± 1.96�
(0.24)(0.76)
500
+
(0.294)(0.706)
500
 
0.054 ± 0.0547 
0.0007 ≤ �̂�𝑝1 − �̂�𝑝2 ≤ 0.1087 
4) Muestras aleatorias independientes de 1 800n = y 2 640n = observaciones se seleccionaron 
de entre las poblaciones binomiales 1 y 2, y se observaron 1 337x = y 2 374x = éxitos. 
a) Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la diferencia 1 2( )p p− de las dos 
proporciones poblacionales. Interprete el intervalo. 
𝑁𝑁1 = 800 , 𝑥𝑥1 = 337 , �̂�𝑝1 = 0.4212, 𝑞𝑞�1 = 0.5788 
𝑁𝑁2 = 640 , 𝑥𝑥2 = 374 , �̂�𝑝2 = 0.5843 , 𝑞𝑞�2 = 0.4157 
1 − 0.90 =
0.1
2
= 0.05 − 1 = 0.9500 
𝑍𝑍𝛼𝛼/2 = 1.645 
(�̂�𝑝1 − �̂�𝑝2) ± 𝑍𝑍𝛼𝛼/2�
�̂�𝑝1 ∗ 𝑞𝑞�1
𝑛𝑛1
+
�̂�𝑝2 ∗ 𝑞𝑞�2
𝑛𝑛2
 
0.1631 ± 1.645�
(0.4212)(0.5788)
800
+
(0.5843)(0.4157
640
 
0.1631 ± 0.0430 
0.1201 ≤ �̂�𝑝1 − �̂�𝑝2 ≤ 0.2061 
 
5) (Ver base de datos DIETSTUDY) Pérdida de peso I. Una nutrióloga desarrolló una dieta baja 
en grasas, carbohidratos y colesterol. Aunque inicialmente diseñó esta dieta para personas 
con enfermedades cardiovasculares, la nutrióloga quiere examinar su efecto en personas con 
obesidad. Se seleccionaron dos muestras aleatorias ( 1 2 100n n= = ) de personas con 
obesidad; un grupo se sometió a la dieta baja en grasas, el segundo grupo se sometió a una 
 
 
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dieta que contenía aproximadamente la misma cantidad de comida pero 
que no era baja en grasa, carbohidratos y colesterol. Para cada persona examinada se 
registró la cantidad de peso perdido (o ganado) en un periodo de tres semanas. Los datos se 
encuentran en el archivo DIETSTUDY. 
a) Construya un intervalo de confianza de 95% para la diferencia entre medias de peso 
perdido con una y otra dieta. Interprete el resultado. 
b) Lleve a cabo una prueba de hipótesis para compara las dos medias. Utilice .05α = . ¿Cuál 
es el valor- p de la prueba? 
 
6) Pérdida de peso II. Grupos distintos de mujeres de 20 a 30 años se sometieron a dos distintas 
dietas para perder peso. En la tabla siguiente se muestra la pérdida promedio de peso en 
cada grupo en un periodo de un mes. ¿Los datos proveen suficiente evidencia para indicar 
que la dieta I produce un promedio de pérdida de peso mayor que la dieta II? Use .05α = 
 Dietas 
 1 2 
Tamaño muestral 40 40 
Media muestral 4.5 3.6 
Varianza muestral 0.89 1.18 
 
7) (Ver base de datos READING). Métodos de enseñanza de lectura. Suponga que usted desea 
comparar un nuevo método de lectura dirigido a estudiantes en desventaja con el método 
actual. Desea basar su comparación en los resultados de un examen de lectura que se aplicó 
al finalizar un periodo de aprendizaje de seis meses. De una muestra aleatoria de 22 
estudiantes en desventaja, a 10 se les enseña el nuevo método y a 12 se les enseña con el 
método estándar. Instructores igualmente calificados enseñan a los 22 niños bajo 
condiciones similares durante el periodo de seis meses. Los resultados del examen de lectura 
para ambos grupos se muestran en la siguiente tabla, para resolver el problema descargue 
el archivo READING. 
a) Estime la verdadera diferencia entre medias de las calificaciones del examen de lectura 
con uno y otro método. Utilice un intervalo de confianza de 95% 
b) Interprete el intervalo que encontró en el inciso a) 
c) ¿Qué supuestos deben hacerse para que la estimación sea válida? ¿Se satisfacen de 
forma razonable? 
 
 
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8) (Ver base de datos GRADPAIRS). Diferencias salariales por género. Con el fin de comparar 
los salarios iniciales de hombres y mujeres graduados de la universidad en E.U.A, se 
formaron parejas de una mujer y un hombre que hubiesen estudiado la misma licenciatura y 
que hubiesen obtenido promedios similares. Suponga que se selecciona una muestra 
aleatoria de 10 parejas con estas características y se registra el salario inicial de cada 
integrante de la pareja. Los resultados se muestran en la siguiente tabla y pueden 
descargarse del archivo GRADPAIRS. Compare el salario inicial promedio de los hombres 
1μ con el salario inicial promedio de las mujeres 2μ utilizando un intervalo de confianza de 
95%. Interprete los resultados. 
 
Referencias 
 
Devore, J. L.(2016). Probabilidad y Estadistica para Ingenieria y Ciencias (9 ed.). Cengage 
Learning. Retrieved from https://elibro.net/es/lc/uvm/titulos/93280 
McClave, J., & Sincich, T. (2014). Statistics (12 ed.). Harlow: Pearson. 
Mendenhall, W. I., Beaver, R. J., & Beaver, B. M. (2015). Introducción a la probabilidad y 
estadística (14 ed.). México, D.F: CENGAGE Learning. 
 
 
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Sweeney, D. J., Anderson, D. R., & Williams, T. (2011). Estadistica para 
negocios y economia (11 ed.). Cengage Learning. Retrieved from 
https://elibro.net/es/lc/uvm/titulos/39949 
 
	Referencias