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SOLUCIONARIO DE EXAMENES CODEX ECUAS 2020

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SOLUCIONARIO DE EXÁMENES UMSA
FACULTAD DE INGENIERÍA
ECUACIONES
DIFERENCIALES
CODEX
1 0ie + =
TOMO I
J&J PAYE Hnos.
2020
( ) ( )( )
2020
2020
d
f x arctg x
dx
=
S
R
Q P
A C
B
D
O
2do Parcial
ECUACIONES 
 
DIFERENCIALES 
 
CODEX 
TOMO II 
AUTORES: JOSUE PAYE CHIPANA 
JOSE PAYE CHIPANA 
PRIMERA EDICIÓN 
JULIO , 2020 LA PAZ- BOLIVIA 
 
DEDICATORIA 
“A NUESTRA FACULTAD DE INGENIERÍA, A TODOS 
LOS UMSISTAS DE CORAZÓN QUE AMAMOS 
NUESTRA PRESTIGIOSA CASA DE ESTUDIO” 
JOSE PAYE CHIPANA 
JOSUE PAYE CHIPANA 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 1 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
BANCO DE EXÁMENES FACULTAD DE INGENIERIA UMSA 
2000 - 2020 
 
VERANO 2020 
1. Resolver la ecuación diferencial de segundo orden: ( )( ) ( )
2
2
2
d y dy
2x 1 x 1 2x 2y 2x 1
dxdx
+ + + − = + Si una 
de las soluciones homogéneas tiene la forma ( )
n
y x 1= + 
 
2. Resolver la ecuación diferencial: 
( ) ( )
( ) ( )( )4
2
4 ln x 1 cos ln x 18
1 2x x y''' 4 1 x y'' 8 y' y
x 1 x 1
− + −
− + + − + − =
− −
 
3. Hallar y( t ) . ( ) ( ) ( )
t
2
0
d
t y'' y 2ty' t cos d ; y 0
d 2

    

 
+ + = − = 
  
4. Hallar la solución de la ecuación integro diferencial: 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t t
t
0 0
2y' t y' t e d cos e d sent f t ; y 0 0    −+ − − − = =  
 
INVIERNO- 2019 
1. Resolver la ecuación diferencial: ( ) ( ) ( )
1
x
4 4 2 2 4 3 2 xx y'' x 2x y' x 2x 1 y x x x e
+
− − − + − = − + ,se conoce que 
dos funciones 1y , 1 2y , y linealmente independiente, son soluciones de la ecuación diferencial asociada 
y se relaciona mediante x2 1y e y= . Hallar la solución completa de la ecuación diferencial. 
 
2. Resolver la ecuación diferencial de orden superior: 
( ) ( ) ( )
( )2 ln 2x 3VI V IV ln 2x 32x 3 y 2 2x 3 y y e sen
2
+ + 
+ + + + =  
 
 
3. Hallar una expresión para f ( t ) de la ecuación diferencial: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tf t 4 t 4 f ' t 1 t 1 e f t 2 t 2  −− − = − −  − − ; ( )f 0 0= 
JOSUE PAYE CHIPANA 2 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
4. Resolver la ecuación diferencial ( )y'' y f t+ = , con la condición ( ) ( )y 0 y' 0 3= = 
 
5. Resolver la ecuación diferencial ( ) ( )
2
2
d y
9 4 y 2cosh 4t sen 2t
dx
+ = . Considerando condiciones iniciales 
en el origen 
 
II- 2019 (NO SE REALIZO EXAMEN) 
 
I- 2019 
1. Resolver la ecuación diferencial: 
( ) ( ) ( ) ( )
2
2x 1 y'' 2 2x 1 y' 4 y 4 cos ln 2x 1 sen ln 2x 1+ + + + = + − +       
2. Para la ecuación diferencial: 
( )
( )
( )x
2cos 2x
y'' h y' y
sen x
+ − = 
 Hallar la función h( x )y la solución de la ecuación diferencial si se conoce que: 
  21 2W y , y csc x= ; 2 1y xy= 
3. En la siguiente ecuación integro-diferencial, hallar y( t ) : 
( ) ( ) ( )
t t
2
t
0 0
t
y'' y' cos d y sen t d 2cos 1
2
    −
 
+ − − = − 
   ; ( ) ( )y 0 1 ; y' 0 0= = 
4. Resolver la ecuación diferencial: 
( )y'' y' 2y f t− − = si ( ) ( )y 0 1 , y' 0 2= = ( )
1 ; 0 t 1
2 t ; 1 t 2
f t
t 2 ; 2 t 3
0 ; t 0 y t 3
 

−  
= 
−  
  
 
 
Onda sinusoidal 
JOSUE PAYE CHIPANA 3 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
II/2018 
1. (a) Anote el operador anulador de coeficientes constantes que anula ( ) ( ) ( )2xf x 4x e cos 3x= + 
(b) Calcule la transformada de Laplace ( ) f tL si ( ) ( )2f t t sen 2t= 
(c) Anote la hipótesis y tesis del primer teorema de traslación. 
(d) Anote un ejemplo de una función periódica con P=3 y la expresión que calcula su T. Laplace. 
2. Resolver la ecuación diferencial: 
3x
x
e
y'' 3y' 2y
1 e
− + =
+
 
3. Resolver la ecuación diferencial: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t 2 t 3 0 0y'' 2y' 2y 3t 2t 1 4 , y 4 , y' 1 − −− + = + + + = = 
4. Resolver la ecuación integro-diferencial: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t t
t t 0
0 0
f ' +2f + t f ' d + f d =t , f 3   − =  
5. (Optativa) Resolver la ecuación diferencial: 
( ) ( ) ( )
2 2
1 1
x y'' 3xy' 5y 4x 3 sen ln x , y y' 0− + = + = = 
I/2018 
1. Dada la ecuación diferencial: ( )2 2x 1 y'' 2xy' 2 y x 1− − + = − 
Hallar la solución si se sabe que una de las soluciones de la ecuación homogénea es de la forma 
y x= 
2. Resolver la ecuación diferencial: ( ) ( )
2y
x 3 y'' y' tg ln x 3
x 3
− − + = −  −
 
3. Resolver la siguiente ecuación integro diferencial: 
( ) ( ) ( )
t t t
2t 2 t 2
t
0 0 0
y'' 2y 4 y d 2e e d 2 e t d       
− − −
−
− − = − −   
Con las condiciones iniciales: ( ) ( )0 0y 2 , y' 4= = − 
 
 
 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 4 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
4. Resolver la ecuación diferencial: ( ) ( )
t
t 1
0
y' 2y y u du f
+
− + = , con la condición ( )0y 0= . (Si la curva es la 
unión de tres parábolas de segundo grado). 
 
II/2017 
1. (a) Si existe, anote el operador de coeficiente constantes que anula: ( ) ( ) ( )2xf x 4x e cos 3x= + 
(b) Calcule la transformada inversa de Laplace ( ) 1 F s−L si: ( )
( )
3
8s
4
s
F s e
s 2
−=
+
 
2. Resolver la ecuación diferencial: 
 y''' y' 3tgx+ = 
3. Resolver la ecuación diferencial: 
 ( )2x y'' 3xy' 5y 2ln x 3cos ln x+ + = + 
4. Resolver la ecuación diferencial: 
( ) ( ) ( )
1 ; t 4
y'' 4 y f t , y' 0 3 ; f t t 3 ; 2 t<4
-1 ; t<2


− = = = − 


 
5. Resolver la ecuación integral-diferencial: 
( ) ( ) ( ) ( )
t
t
0
y' 3t 4sen 2t 4 y d ; y 0 4 = − − = 
 
I/2017 
1. Dada la ecuación de segundo orden ( )
1
x
y'' x y' g y 0−− + = 
(a) Hallar ( )xg de tal manera que existan dos soluciones, tal que una sea el cuadrado de la otra 
(b) Con ( )xg hallado en (a) resolver ( )
1 3
x
y'' x y' g y x ln x−− + = 
 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 5 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
2. Resolver la ecuación diferencial: 
( ) ( ) ( ) ( )
2
2x 1 y'' 2 2x 1 y' 4 y 4 cos ln 2x 1 sen ln 2x 1+ + + + = + − +       
3. Hallar la solución de la ecuación integro-diferencial: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t t t
22t 3
t 0 0
0 0 0
y'' y' cos d y sen t d e t d : y 1 ; y' 0      
−
−
+ + − = − = =   
4. Resolver: 
( ) ( ) ( ) ( )t t 0 0
t
2
y'' y f ; y 0; y' 1


 
− 
 
+ = + = = 
Donde: ( )
3
2sen 2t si 0 t
2 2
f t
0 si t 0 t
2
 

  
−     = 
   

 
II/2016 
1. Verificar si las funciones ( ) ( ) ( )
x
t
1 x 2 x
2
e
y x , y x dt , x 0
t
= =  son linealmente independientes en su 
intervalo de definición. 
2. Evaluar la integral ( )2t
0
e f t dt

−
 , si ( )f t es consecuencia de la ecuación integro diferencial siguiente: 
( ) ( ) ( )
t
t
0
f '' cos t f cos t d  = + − ; ( )0f 0= ; ( )0f ' 1= 
3. Resolver la ecuación diferencial de segundo orden: ( ) ( )
( )
2
4 3 3 2 x 1x x y'' 2x 2x x y' y
x
−
− + − − − = 
Si una de las soluciones homogéneas tiene la forma 
by x= 
4. Resolver la ecuación diferencial: ( )0ty'' 2y' ty sent cos t ; y 2+ + = − = 
5. Resuelva la ecuación diferencial: ( )y'' 4 y f t+ = , si ( )
t 1 ; 1 t 2
f t
 0 ; t 1 t>2
−  
= 
 
 
Con las condiciones iniciales: ( ) ( )1 1y y' 1= = 
 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 6JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
I/2016 
1. Demostrar que: 
( )
( )
s
f t
F s ds
t

 
= 
  L 
2. Hallar el operador anulador de: ( ) ( )
2
x 2f x xe sen x= + 
3. Resolver la ecuación diferencial: ( ) ( ) ( )2 2 2 xx y'' x 2x 3 y' x 3x 3 y 6 x e− + + + + = − 
Sabiendo que una solución de la ecuación homogénea es de la forma: 
a bxy x e= 
4. Resolver la ecuación diferencial: ( ) ( ) ( )
2 3IV1 x y 1 x y''' y'' 1 x 2− + − + = − − 
5. Utilizando la transformada de Laplace, resolver: ( ) ( )0ty'' 2y' ty sen t ; y 0+ + = − = 
6. Resolver la ecuación: ( ) ( ) ( )t 0y'' 4 y' 4 y f ; y 0 , y 1− + = = = 
 
II/2015 
1. a) Si existe anote el operador anulador de coeficientes constantes que anula ( ) ( ) ( )
2
2xf x 1 e cos 3x= + 
(b) Anote la hipótesis y tesis del segundo teorema de traslación en términos del operador 
inverso 
1−L . 
2. Resolver la ecuación diferencial: 
2x
x
e
y'' 3y' 2y
1 e
− + =
+
 
3. Resolver la ecuación diferencial: ( ) ( )2 2x y'' 5xy' 5 y 3ln x 2 cos ln x 4+ + = + + 
4. Resolver la ecuación diferencial: 
( ) ( ) ( ) ( )
2-t ; 1 t 2
y'' 9 y f t , y 0 2 , y' 0 0 ; f t 1 ; 0 t 1
0 ; t 0; t 2
 

− = = = =  
  
 
5. Resolver la ecuación integral-diferencial: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t t
t t
0 0
y' 4 y t y' d y d t ; y 0 1   + + − + = = −  
a 
 
 
 
 
 
 
onda senoidal 
JOSUE PAYE CHIPANA 7 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
I/2015 
1. (a) Si existe, anote el operador anulador de coeficientes constantes que anula ( ) ( )4x 2f x 3xe s en 2x−= 
(b) Anote la hipótesis y tesis del primer teorema de traslación en términos del operador 
inverso 
1−L . 
2.Resolver la ecuación diferencial: 
2xy'' 4 y' 4 y e ln x−+ + = 
3.Resolver la ecuación diferencial: ( )( )2 2x y'' 2xy' 2y x 3 2cos ln x− + = + 
4.Resolver la ecuación diferencial: ( ) ( ) ( ) ( )t 3 t 4y'' 2y' 10y 2t 3 4 , y 0 1 , y' 0 3  − −+ + = + + = = 
5. Resolver la ecuación integral-diferencial: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 t
t t
t 0
f ' f t f ' d f d t ; y 0 1   + − − + = = −  
II/2014 
1. Resolver la ecuación diferencial: ( ) ( ) ( ) ( )
2
0 0
1 2x x y'' 2 1 x y' 2 y 2 ; y 3 , y' 2− − + + − = = = 
Si se conoce que: 1y 1 x= + 
2. Resolver la ecuación diferencial: ( )2 2x y'' 3xy' 5y 5ln x 6 sen ln x 2ln x+ + = + + 
3. Resolver la ecuación diferencial: 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
V IV
0 0 0 0 0
y 5 y''' 4 y' 6 ; y y' y'' y''' 0 , y 1+ + = = = = = = 
4. Resolver la ecuación diferencial: ( )y'' 5y' 6 y f t− + = 
( ) ( ) ( )0 0
2 , t 1
y 2 , y' 3 , f t 3 t , 1 t 5
2 , t 5


= = = −  
− 
 
5. Utilizando la transformada de Laplace, resolver: ( ) ( )
3
0 0
ty'' 2y' 2y 2t ; y y' 0− + = = = 
I/2014 
1. Resolver: ( ) ( ) 2x2y'' 3y' y 2 sen 2x 3 +4cos 2x 5 +e−+ + = + + 
2. Resolver: 
2 2
2 5 5y'' 3y' 2y sen 2 t t t
2 2 4 4
   

   
− + = − − + −         
 
( ) ( )0 0y y' 0= = 
3. Si dos soluciones de la ecuación diferencial de coeficientes variables
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 5
x x x x 1 x 2 x
P y''' Q y'' R y' H y 0 ; y x , y x+ + + = = = 
Determinar la tercerea solución si se conoce: ( )5 2 3W x , y,x 64x= 
JOSUE PAYE CHIPANA 8 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
4. Resolver la ecuación diferencial: ( )y' 6 y f t− = , con las condiciones ( ) ( )0 0y 1 , y' 0= = 
 
II/2013 
1. a) Si existe, identifique el operador de coeficientes constantes que anula a: ( ) ( )
2
3x 3f x e 3x= + 
b) Hallar la ecuación que tiene por solución: 
2 2y Ax Bx 4 ln x−= + − 
2. Resolver la ecuación diferencial: ( )2x y'' xy' 2y x sec ln x− + = 
3. Resolver la ecuación diferencial: ( ) ( ) ( ) ( )0 0y'' 2y' 5y 6 t 2 3t t 3 , y 2 , y' 1 + + = − + − = = 
4. Resolver la ecuación integro-diferencial: ( ) ( )
t
t 3t
0
0
y' 6 e y d 4 e , y 0  −− = + = 
I/2013 
1. Si existe, identifique el operador de coeficientes constantes que anula a: ( ) ( )( )
2
3xf x e sen 2x= + 
2. Calcule la transformada inversa de Laplace para: ( )
( )
2
s 3
2
2s s 1
F
s 6s 9
− −
=
− +
 
3. Resolver la ecuación diferencial: ( )( )2 2 2x y'' 3xy' 8 y x tg ln x− + = 
4. Resolver la ecuación diferencial: 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
IV
1 1 1 1
y 5 y'' 4 y 6 , y y' 3 ; y'' y''' 0− + = = = = = 
5. Resolver la ecuación integro-diferencial: ( ) ( )
t
2
0
0
y' 3t sent y d ; y 2 = + − = 
6. Resolver la ecuación diferencial: ( ) ( ) ( ) ( )0 0y'' 4y' 5y 6 t 3 5t t 1 , y 2 , y' 0 + + = − + − = = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onda cosenoidal 
JOSUE PAYE CHIPANA 9 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
II/2012 
1. Resolver la ecuación diferencial de orden superior: ( ) ( ) ( ) ( )22 2x x y'' 2 x y' 2 x y x x 1+ + − − + = + 
2. Al resolver la ecuación diferencial, discutir la existencia de la solución en el punto: ( )0y a= 
( ) ( ) ( )
( )3 2 tg ln x 2
x 2 y'' 5 x 2 y' 8 x 2 y
x 2
−  − + − + − =
−
 
3. En la ecuación integro diferencial siguiente: ( ) ( ) ( ) ( )
0
t
t t
t
y' 2y y u du f t+ + = , con ( )0y 1= , donde ( )f t 
está dada por: ( )
t ; 0 t 1
f t t 2 ; 1 t 2
0 ; t 2
 

= − +  
 
 . Hallar la transformada de Laplace de: 
( )( )
( )1t y
t t
1
0
e e
t y dt
2

−
−−
− 
4. Resolver la ecuación diferencial siguiente: ( )y'' 4y t 1 t 1 + = − − − , con ( ) ( )1 1, y 0 ; y' 1= = 
I/2012 
1. En la ecuación diferencial: ( ) ( )xy'' tg x 2ctg x y' f y 0+ − + = , si se conoce que: 
1
2
y 1
y sen x
= . Se pide 
hallar: 
a) La solución de la ecuación diferencial, b) la función ( )xf . 
2. Resolver la ecuación diferencial diferencial de orden superior: 
( ) ( ) ( )
( )2 ln 2x 3VI V IV ln 2x 32x 3 y 2 2x 3 y y e sen
2
+ + 
+ + + + =   
 
 
3. En la ecuación integro diferencial siguiente: ( ) ( ) ( ) ( )( )
t
3
0
f t 2t g t 2 f sen 2 t d  = + + − , hallar la 
función ( )g t , sabiendo que ( )f t viene dada por la expresión: ( ) ( )
3 54 5 10t 2t
f t cos 3t
9 9 5
+
= + + 
 
4. Dada la ecuación diferencial, resolver aplicando la transformada de Laplace: 
( ) ( ) ( )0y' 4y senh t g t ; y 0+ = + = 
( )
( )
5
sen 2t ; t
2 2
g t
5
0 ; t t 
2 2
 
 

 
= 
   

 
JOSUE PAYE CHIPANA 10 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
II/2011 
1. Si ( ) ( )1 x 2 xy , y son soluciones de la ecuación diferencial homogénea: 
 ( ) ( ) ( )2x 1 x ln x y'' 1 x ln x y' x 1 y 0− + + − − = . Determinar 
( ) ( )1 x 2 xy , y
W
 
  
 
2. Resolver: 
( )
( ) ( )( )ln 3x 2 22
3y' 18y
y'' e tg ln 3x 2
3x 2 3x 2
− +
− + = +
+ +
 
3. Si: ( ) ( )2y'' 4 y 9 t 7 3 t 6 + = − − + − con las condiciones ( ) ( )0 0 y' 2 , y 0= − = . Determinar ( )1y 
 
4. Resolver la ecuación diferencial ( ) ( )
2 2 t 2
y''' 6 y'' 12y' 8y 2 t 2 e
−
− + − = − si las condiciones son 
( ) ( ) ( )2 2 2 y 1 , y' 0 , y'' 2= − = = 
I/2011 
1. Resolver la ecuación diferencial: ( ) ( )
2
2
2
16 x 16 x 4
2x 1 y'' 4 2x 1 y'
4x 4x 2
− +
− − − =
− +
 
2. Si: ( ) ( ) ( )
x
x
0
y x x y d  = + − es una solución particular de la ecuación diferencial. 
( ) ( ) ( )sen x cos x y'' 2 sen x y' sen x cos x y 0− − + + = . Determinar la solución completa. 
3. Si: ( ) ( )2y'' 4 y 9 t 7 3 t 6 + = − − + − con las condiciones ( ) ( )0 0 y' 2 , y 0= − = . Determinar ( )1y4. Resolver la ecuación diferencial ( ) ( )
2 2 t 2
y''' 6 y'' 12y' 8y 2 t 2 e
−
− + − = − si las condiciones son 
( ) ( ) ( )2 2 2 y 1 , y' 0 , y'' 2= − = = 
2006 CURSO DE INVIERNO 
1.-Brevemente, explique los pasos que se deben seguir para hallar la solucion particular: 
 
2.-Si existe, anote el operador diferencial de coeficientes constantes que anula la función:
( )
x
2f x xe cos x= 
3.-Enuncie el segundo teorema de traslación en términos del operador inverso de Laplace. 
 
4.-Plantee un ejemplo de una función trigonométrica periódica del periodo : T=π/2 
 
5.-Si se conoce la solucion 1y x= , resolver la ecuación diferencial: 
( ) ( ) ( )1 2x y'' 4xy' 4y 0; y 1 0, y' 1 1+ + − = = = 
6.-Resolver la ecuación diferencial: ( )xy'' 3y' 2 y sen e+ + = 
JOSUE PAYE CHIPANA 11 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
7.-Resolver la ecuación diferencial: ( ) ( ) ( ) ( )y'' y 4 2t 2t t 3 4 t 4 , y 2 y' 2 2 − = − + − + − = = 
8.-Si el sistema mecánico de la figura inicialmente esta en equilibrio ;hallar la posición de la masa 
en un tiempo cualquiera si: ( ) ( )  m 1,k 1, f t sen t ,t 0,2= = =  
m
0
y
f(t)
k
 
 
2006 CURSO DE VERANO 
1.- a. Propóngase dos funciones cualesquiera y luego verifique si son linealmente independientes. 
b. Escriba una ecuación diferencial de quinto orden, ordinaria, normal, no lineal, de coeficiente 
variable y no homogénea. 
c. Explique con un ejemplo, cuando una función se dice de orden exponencial ’’k’’. 
d. Mencionando las propiedades que utilizo, antitransformar la siguiente expresión 
s
2 2
s
e , 3,14159
s



−+ =
+
 
 2.-Hallar la anti transformada de : 
2
2
s 3
ln
s 5
+
+
 
3.-Hallar la solucion general de:
( )
2
2
a
a y'' ay' y
1 lna
− + =
+
 “Considere que y es función de a ” 
4.-Hallar la solucion general de: ( )4a 2 ay'' y' 10 y 58e 5sen2a a e 1+ − = + + + “Considere que “y” es 
función de a”. 
5.-Hallar la solucion general de: ( )y'' 4y' 13y h t+ + = si ( ) ( )y 2 1, y' 2 0= = 
h(t)
0 t
2
2 43
3
 
 
 
 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 12 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
 II/2006 
1.-Anote las hipótesis y tesis del teorema de Abel (formula de Abel). 
2.-Si existe, anote el operador diferencial de coeficientes constantes que anula ( )
2
2xy e 1−= − 
3.-Anote la transformada inversa de Laplace para: ( )
2
s 2
F s
s 4s 5
−
=
+ +
 
4.-Anote la transformada de Laplace de ( )2t y t donde ( )  ( )L y t Y s= 
5.-Resolver la ecuación diferencial: 3 2x y''' 3x y'' 2xy' 2+ + = 
6.-Resolver la ecuación diferencial: ty'' 3y' 2y 2te− + = 
7.-Resolver la ecuación diferencia: ( )2y' 3y f t+ = , ( )y 0 2= , ( )
4t , t 2
f t
0 , t 2

= 

 
8.- Identificar la expresión completa de ( )f t en la ecuación integral: 
( ) ( ) ( )( ) ( )
t
3
0
f t 2t cos 3t 2 sen 2 t f d  = + + − 
 I/2006 
1.-Explique brevemente los pasos a seguirse para resolver la ecuación y'' y ln x− = , mediante el 
proceso de variación de parámetros. 
2.-Anote un ejemplo de una función que no acepte transformada de Laplace. 
3.-Enuncie las hipótesis y tesis del segundo teorema de traslación. 
4.-Anote dos propiedades que verifica la función escalón unitario (de Heaviside). 
5.-Resolver la ecuación diferencial: 2 22x y'' 5xy' y x 2+ + = + 
6.-Resolver la ecuación diferencia: y''' y' cotgx+ = 
7.-Identificar la expresión completa de la función ( )f t en la ecuación integro-diferencial: 
( ) ( )
t
0
y' 1 cosht y cosh t d  = + − − , ( )y 0 0= 
8.-En el sistema mecánico de la figura hallar la posición de la masa m en cualquier tiempo t: 
( ) ( )y 0 y' 0 0= = 
m=1
0
y
f(t)
f(t)
0 tπ
2π
onda senoidal
1
-1
 
 
 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 13 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
 
I/2005 
1.-a) Si existe, anote el operador diferencial de coeficientes constantes que anula la función: 
( ) 2f x tg x= 
b) Para la ecuación diferencial xy'' 2y' y xe−+ + = mencione por lo menos los fundamentos de tres 
procesos distintos de solucion que usted conozca. 
c) Anote la expresión de la transformada de Laplace de una función periódica ( )f t 
d) Anote, si existe, la transformada de Laplace de: ( ) ( )
1
2f t t 2= + 
2.-Resolver la ecuación diferencial: 2y'' y cos x 3+ = − ; ( ) ( )y 2 y' 2 0 = = 
3.-Resolver la ecuación diferencial : ( ) ( )y'' 9y 2t 4 t 1 6 t 2 − = + − + − ; ( ) ( )y 0 y' 0 2= = 
4.-Resolver la ecuación diferencial : ( )y' 4y f t+ = ; ( )y 0 2= ; ( )
2t 2 , 0 t 2
f t
0 , t 0,t 2
−  
= 
 
 
5.-Identificar una expresión reducida de ( )f t en la ecuación integral: 
( ) ( )
t
2a
0
f t sent t 2 e f t a da= − − − 
II/2005 
1.-a) Brevemente explique cuál es el proceso que usted conoce usaría para resolver:
x
2
e
y'' 2y' y
x
−
+ + = 
b) Anote, si existe, el operador diferencial de coeficientes constantes que anula: ( ) 2f x xsen x= 
c) Anote las condiciones que debe cumplir ( )f t para que acepte transformada de Laplace. 
e) Analice si existe o no la transformada de Laplace de ( ) 2f t t sent= 
2.-Resolver la ecuación diferencial: ( )
1
2x 2y'' 4y' 4y e x 4x 4
−
−+ + = + + 
3.-Resolver la ecuación diferencial: 
( ) ( ) ( )y'' 5y' 6 y t 2 t 3 2 t 3 + + = + − + − ; ( ) ( )y 1 y' 1 1= = 
4.-Deducir la expresión general de ( )f t en la ecuación integral ( ) ( )
t
2t 2t
0
f t te 4e 2 f t d −= − + − 
5.-Hallar la solucion en serie de potencias alrededor del punto 0x 0=
( ) ( ) ( )2x 1 y'' 2xy' 6 y 0; y 0 3; y' 0 2− + − = = = 
 I/2004 
1.-a) Si existe, anote el operador diferencial de coeficientes constantes que anula la función: 
( ) 2f x sec x= 
b) Para la ecuación diferencial xy'' 2y' y xe−+ + = mencione por lo menos los fundamentos de tres 
procesos distintos de solucion que usted conozca. 
JOSUE PAYE CHIPANA 14 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
c) Anote la expresión de la transformada de Laplace de una función periódica ( )f t 
d) Anote, si existe, la transformada de Laplace de: ( ) ( )f t ln t 2= + 
2.-Resolver la ecuación diferencial: 2y'' y 2 sen x+ = − ; ( ) ( )y 2 y' 2 0 = = 
3.-Resolver la ecuación diferencial : ( ) ( )y'' 4y 3t 6 t 1 9 t 2 − = + − + − ; ( ) ( )y 0 y' 0 2= = 
4.-Resolver la ecuación diferencial : ( )y' 3y f t+ = ; ( )y 0 1= ; ( )
2t 2 , 0 t 2
f t
0 , t 0,t 2
−  
= 
 
 
5.-Identificar una expresión reducida de ( )f t en la ecuación integral: 
( ) ( )
t
2a
0
f t t cos t 2 e f t a da−= + + − 
 
2004 VERANO 
1.-Resolver la ecuación diferencial: 
1
y'' y
cos 2x
+ = 
2.-Mediante serie de potencias alrededor de 0x 0= , Resolver: 
y'' xy' y ln1+ + = 
3.-Resolver la ecuación diferencial: 
( ) ( ) ( )2x 2x 2x 2xy'' y' e y e sen e sec e 1 − + = +  
4.-Resolver la ecuación diferencial: 
( )y' 3y f t− = 
Si además se verifica que: ( ) ( ) ( )f t 2 f t , y 0 1− = = − 
f(t)
(0,2)
0 t
(1,-1)
(2,2)
Parabola de 2do grado
 
II/ 2003 
1.-Resolver la ecuación diferencial: 
2x
2x
e
y'' 3y' 2y
1 e
− + =
+
 
2.-Resolver la ecuación diferencial: 
2x y'' 5xy' 3y 3ln x 9x+ + = + , ( ) ( )y 1 0, y' 1 1= = 
 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 15 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
 
3.-Resolver la ecuación diferencial: 
( ) ( ) ( )y'' 4y f t , y 0 y' 0 0− = = = ; ( )
2t , 0 t 2
f t 8 2t , 2 t 4
0 , otros.casos 

= −  


 
4.- Identificar la función ( )y y t= en la ecuación: 
( ) ( ) ( )
t
0
y' t 1 sent y d ; y 0 0 = − − = 
5.-Resolver la ecuación diferencial: 
( ) ( ) ( )y' 6 y f t , y 0 5; f t t 3− = = = + ,  t 0,3 ; ( ) ( )f t 3 f t+ = 
I/ 2003 
1.-a) Anote el teorema de Abel 
b) Si existe, anote la expresión del operador de coeficientes constantes que anula a ( ) 3f x cos x= 
c) Analice la existencia o no de la transformada de Laplace de ( ) ( )
1
2 2f t t 1= + 
d) Anote la expresión del teorema de convolucion. 
2.-Resolver la ecuación de ricatti: 
2x
2x
e
y'' 3y' 2y
1 e
− + =
+
 
3.-Resolver la ecuación diferencial: 
( )
( )
2
3 1
y'' y' y 6 ln x 1
x 1 x 1
+ + = +
+ +
 
4.-Resolver la ecuación diferencial: 
( ) ( )y'' 2ty' 4y 6, y 0 y' 0 0+ − = = = 
5.-Deducir una expresión completa para ( )f t en la ecuación: 
( ) ( )
t
t
0
f t te f t d = + − 
II/ 2002 
1.-Resolver la ecuación diferencial: 
( )
2
2x xy'' 2y' y e e 1− + = + 
2.-Resolver la ecuación diferencial: 
( )
22x y'' xy' 3y 4 xln x− − = 
3.-Resolver la ecuación diferencial: 
( )y'' y' 6 y f t− − = ( ) ( )y 0 0, y' 0 1= = ( )
2t , 0 t 2
f t 8 2t , 2 t 4
0 , otro.caso
 

= −  


 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 16 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
 
4.-Usando solamente la transformada de La place, resolver el problema: 
( ) ( )
ty'' 2y' 2y 2e sent
y 0 0, y' 0 2
− + =
= =
 
5.-Una cadena cuelga sobre una clavija pulida, inicialmente de un lado están 110 cm y del otro 
190 cm de cadena .Hallar el tiempo que tarda la cadena al resbalar en soltarse de la clavija si a)no 
existe rozamiento; b)el rozamiento es igual a 10 cm de cadena. 
 
I/ 2002 
1.-a) Explique con claridad en que tipos de solución de problemas es útil la formula de Abel. 
b)Si es posible, calcule un operador diferencial lineal de coeficientes constantes que anule la 
función ( ) 2xf x 2xe cos x−= 
c) Anote y justifique con demostración una propiedad que cumple la transformada de La Place 
d) Deduzca con detalle (sin uso de formulas inversas)el resultado de : 
( )
1
2
2
s
L
s 4
−
 
 
 
 +
 
 
2.-Resolver la ecuación diferencial: 
x
2
e
y'' 2y' y
1 x
−
+ + =
+
 
3.-Resolver la ecuación diferencial: 
( )y'' 2 y' 8 y 2 t f t
2


 
− − = − + 
 
; ( )
1 , t 2
f t
0 , t t 2
 
 
 
= 
  
; ( ) ( )y 0 0; y' 0 2= = 
4.-Resolver la ecuación diferencial: 
 
( ) ( )y' 2y f t ; y 0 2+ = = ( )
t , 0 t 2
f t
4 , t 2
 
= 

 
 
II/ 2001 
1.-a) Anote las condiciones que se deben cumplir para que exista la transformada de La place de 
( )f t 
b) Si existe, encuentre el operador lineal de coeficientes constantes que anula ( ) ( )
2
xf t e senx= − 
c) Analice si existe ( )t 1 + ;  =función impulso unitario 
d) Explique cómo se calcula la transformada de La place de ( )3t y t donde ( )  ( )L y t Y s= 
 
2.-Resolver la ecuación diferencial: 
2x 2y'' 4y' 4y 2e cos x− + = 
 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 17 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
 
 
3.-Resolver la ecuación diferencial: ( )y'' y' 2y f t− − = , ( ) ( )y 0 1; y' 0 2= = 
f(t)
2
4p0 t2p 6p
onda senoidal 
 
4.-Resolver la ecuación diferencial : ( )y'' y' 2y f t− − = , ( ) ( )y 0 1; y 0 2= = 
f(t)
1
20 t1 3
 
5.-Identifique la expresión completa de ( )f t en la ecuación: ( ) ( )
t
t
0
f t te f t d  = + − 
I/2001 
1.-Si se conoce que 1
cos x
y
x
= es una solucion de la ecuación diferencia 2 2
1
x y'' xy' x y 0
4
 
+ + − = 
 
.Hallar la solucion completa del problema. 
2.-Hallar la solucion general de la ecuación diferencial: xy'' 2y' y e ln x−+ + = 
3.-Usando el proceso de la transformada de la place. Resolver el problema: 
( )y'' 4y 4sen 2t 2+ = − , ( )y 1 2= , ( )y' 1 0= 
4.-Resolver el problema: ( )y 0 0= , ( )y' 0 3= 
f(t)
4
4
-4
0 t2
 
 
 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 18 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
 
2000 INVIERNO 
1.-Resolver: ( )ty'' 1 2t y' 2y 0+ − − = ( ) 4y 2 e= , ( )y 0 1= 
2.-Resolver: ( ) 4ty'' 2y' 2y f '' 2t 4 e− + = − ; ( )f t sent= ; ( )
1
y 0
2
= ; ( )y' 0 0= 
3.-Para el sistema de la figura. Determinar el desplazamiento que se produce en la masa 2m ,para 
,para 3sg,si ( )f t cos t= .El sistema parte del reposo. La velocidad en la masa 2m es 1m / sg ,y la 
aceleración 22m / sg .Considere a ( )x''' 0 0= . 
m1=1
1
1
m2=2
f(t)
x(t)
1/2
 
 
4.-Hallar la ecuación de la curva cuyo radio de curvatura es igual a la longitud de su normal 
interceptada por el eje x. 
5.-Resolver mediante serie de potencias: ( )2 2x y'' xy' x 1 y 0+ + − = 
 
 
I/2000 
1.-Encontrar el Wronskiano de las soluciones de 1y y 2y de la solución diferencial: 
( ) ( )22x 2 ln x y'' x 4 ln x y' y 0+ + + − = 
2.-Resolver la ecuación diferencial: 
( )
( )
y' 2y f t
y' 0 0
+ =
=
 ( )
t ; 0 t 2
f t
2 ; 2 t 4
 
= 
 
 si ( ) ( )f t 4 f t+ = 
3.-Resolver la ecuación diferencial: 
( )1 2t y'' 4ty' 4y 0+ + + = ( ) ( )y 0 1, y' 1 0= = 
4.-Hallar ( )g t en: 
( ) ( ) ( )
( )
t
0
g t1
g t x t a x a da
2t 2t
+ − = 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 19 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
SOLUCIONARIO DE EXÁMENES FACULTAD DE INGENIERÍA UMSA 
EXÁMENES RESUELTOS DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA UMSA 
 
VERANO 2020 
1. Resolver la ecuación diferencial de segundo orden: ( )( ) ( )
2
2
2
d y dy
2x 1 x 1 2x 2y 2x 1
dxdx
+ + + − = + . Si una 
de las soluciones homogéneas tiene la forma ( )
n
y x 1= + 
 
Solución: 
Paso 1: Cálculo de la solución Homogénea hy 
Sea ( )( )
2
2
d y dy
2x 1 x 1 2x 2y 0
dxdx
+ + + − = (1) ecuación homogénea. 
Hallamos n de la solución de homogénea: 
( )
( )
( )( )
n 1
n
2
n 2
2
dy
n x 1
dx
y x 1
d y
n n 1 x 1
dx
−
−

= +
= + → 
 = − +

 , sustituyendo en (1): 
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
n 2 n 1 n
2x 1 x 1 n n 1 x 1 2x n x 1 2 x 1 0
− −     + + − + + + − + =
     
 
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )   
( )
n 2 n 1 n
n 2 1
n
2x 1 x 1 n n 1 x 1 2x n x 1 2 x 1 0
x 1 2x 1 x 1 n n 1 x 1 2x n x 1 2 1 0
x 1
− −
− −
     + + − + + + − + =
     
   + + + − + + + − =
   
+ ( ) ( )( ) ( )   1 12x 1 n n 1 x 1 2x n x 1 2 1 0− −   + − + + + − =   
( )
( )
( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
2x 1 1 x 1
n n 1 2x n 2 0
x 1 x 1 x 1
2n n 1 2n 2 x n n 1 2
0 2n n 1 2n 2 x n n 1 2 0x 0
x 1
    + + 
− + − =      + + +     
 − + − + − − 
= → − + − + − − = + 
+  
 
Comparando con el polinomio nulo: 
( )( ) ( )( )
( )
( )
2n n 1 2n 2 0 n 1 n 1
2n n 1 2n 2 x n n 1 2 0x 0 
n n 1 2 0 n 2 n 1
− + − = = = −
− + − + − − = + →  
− − = = = − 
 
Con n 1= − ( )
1
1 y x 1 
−
→ = + , ahora hallamos la segunda solución con la fórmula de Abel. 
Fórmula de Abel 
Sea ( ) ( )y'' P x y' Q x y 0+ + = , si se conoce una solución 1y se puede calcular otra solución 
2y utilizando la fórmula de Abel: 
 
( )P x dx
2 1 2
1
e
y y dx
y
−
=  
de esta manera la solución homogénea es h 1 1 2 2y c y c y = + 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 20 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
En nuestro caso tenemos 
( )( )
( )
( )( )
2
2
P x
d y 2x dy 2
y 0
2x 1 x 1 dx 2x 1 x 1dx
+ − =
+ + + +
, además ( )
1
1y x 1 
−
= + 
Entonces: ( )
( )( )
( )
2x
dx
2x 1 x1
1
2 2
1
e
 y x 1 dx
x 1
−
+ +
−
−

= +
 +
 
 → 2 y x= 
Ahora podemos escribir la solución homogénea: h 1 1 2 2y c y c y= + → ( ) ( )
1
h 1 2y c x 1 c x
−
= + + 
Paso 2: Cálculo de la solución Particular py 
Calculamos py por el método de Variación de Parámetros. 
Método de variación de parámetros 
Sea 
( ) ( ) ( )
( ) ( )h 1 21 x 2 x
y'' P x y' Q x y f x 
y c y c y 
+ + =

= +
, para la solución particular aplicamos: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
0
1 t 2 t
x
1 x 2 x
P
1 t 2 t
x
1 t 2 t
y y
y y
y f t dt
y y
y' y'
=  
 
Teniendo 
( )
( ) ( )
( )
1
1 x
2 x
2t 1
f t
t 1
y x 1
y x
−
+
= +

= +

=

 , luego
( )
( )
( )
( )
0
1
x 1
p 1
x
2
t 1 t
x 1 x 2t 1
 y dt 
t 1t 1 t
t 1 1
−
−
−
−
+
+ +
= 
++
− +
 
( ) ( )( )
( ) ( )( )
0
x 1 1
p 1 2
x
t 1 x x 1 t 2t 1
y dt 
t 1t 1 t 1 t
− −
− −
+ − + +
= 
++ + +
3 2
2
p
1 x x
 y x
x 1 3 2
 
 = − + + 
+  
 
Paso 3: Escribimos la solución general h py y y= + 
( )
3 2
1 2
1 2
1 x x
 y c x 1 +c x x
x 1 3 2
−  
= + − + + 
+  
 
 
2. Resolver la ecuación diferencial: 
( ) ( )
( ) ( )( )4
2
4 ln x 1 cos ln x 18
1 2x x y''' 4 1 x y'' 8 y' y
x 1 x 1
− + −
− + + − + − =
− −
 
Solución: 
Se puede reconocer que se trata de una ecuación diferencial de coeficientes variables, realizamos arreglos: 
JOSUE PAYE CHIPANA 21 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
4
2
4 ln x 1 cos ln x 18
x 1 y''' 4 x 1 y'' 8 y' y // x 1
x 1 x 1
− + −
− − − + − = −
− −
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 4x 1 y''' 4 x 1 y'' 8 x 1 y' 8 y 4 ln x 1 cos ln x 1− − − + − − = − + − ecuación diferencial de Euler 
Para resolver aplicamos el cambio adecuado C.V. ( )tx 1 e t ln x 1− = → = − 
( )
( )
( )
t t
2 2 2
2 2t 2t
2 2 2
3 3 2 3 2
3 3t 3t
3 3 2 3 2
dy dy dy
y' 1 e y' e
dx dt dt
d y d y dy d y dy
y'' 1 e y'' e
dt dtdx dt dt
d y d y d y dy d y d y dy
y''' 1 e 3 2 y''' e 3 2
dt dtdx dt dt dt dt
− −
− −
− −
   
= = → =   
   
   
= = − → = −   
   
   
= = − + → = − +   
   
 
Remplazando en la ecuación diferencial: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 4x 1 y''' 4 x 1 y'' 8 x 1 y' 8 y 4 ln x 1 cos ln x 1− − − + − − = − + − 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
3 2 2
3 2 4
t 3t t 2t t t t t
3 2 2
d y d y dy d y dy dy
e e 3 2 4 e e 8 e e 8 y 4ln e cos ln e
dt dt dtdt dt dt
− − −
         
− + − − + − = +                     
 
Simplificando: ( )y''' 7 y'' 14y' 8y 4t cos 4t− + − = + 
Resolvemos aplicando los pasos: 
Paso 1: Cálculo de la solución Homogénea hy : 
( )y''' 7 y'' 14 y' 8 y 4t cos 4t− + − = +
0
y''' 7 y'' 14 y' 8 y 0 − + − = , expresamos la ecuación en función del 
operador D. 
       3 2D y 7D y 14D y 8 y 0− + − = 
 
( ) 3 2D 7D 14D 8 y 0− + − = 
 Generamos la ecuación auxiliar y hallamos sus raíces: 3 2 ( r 4 )( r 2 )( r 1) 0r 7r 14r 8 0 −+ = − −− =− 
1
2
3
r 1
r 2
r 4
=

= 
 =
31 2 r tr t r t
h 1 2 3y c e c e c e = + +  
t 2t 4t
h 1 2 3y c e c e c e= + + 
Paso 2: Cálculo de la solución Particular py (utilizaremos el método de operadores anuladores) 
( )y''' 7 y'' 14y' 8y 4t cos 4t− + − = + , expresamos la ecuación en función del operador D. 
( )  ( )3 2D 7D 14D 8 y 4t cos 4t− + − = + (1) 
Calculamos el operador anulador de ( )f ( t ) 4t cos 4t= + 
Aplicamos los siguientes operadores: 
para 4t el operador anulador es 2D 
para ( )cos 4t el operador anulador es 2 2D 4+ 
sea ( )f ( t ) 4t cos 4t= + 
JOSUE PAYE CHIPANA 22 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
Aplicamos el siguiente teorema: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 n
1 2 3 n
f ( t ) f ( t ) f ( t ) f ( t ) ... f ( t )
 
L D L D L D L D L D
= + + + +
    
=   
 
En nuestro caso 
( )
( ) ( )2 2 2
f ( t ) 4t cos 4t
 
L D D D 4
= +
  
=  +
 
Multiplicamos ( )L D a la ecuación (1): 
( )   ( ) ( )( )3 2D 7D 14D 8 L( D ) y L D 4t cos 4t− + − = +
0
 
( ) ( )( ) 3 2 2 2 2D 7D 14D 8 D D 4 y 0− + −  + = 
 La ecuación auxiliar es: 
( ) ( )( ) ( )( )3 2 2 2 2 2 2 2r 7r 14r 8 r r 4 0 ( r 4 )( r 2 )( 0r r1 4r )− + −  + = − +− =− 
Las soluciones son: 
1 2 3 4,5 6 ,7r 1 r 2 r 4 r 0 r 4i= = = = =  
con estas soluciones podemos escribir la solución general: h py y y = + 
t 2t 4t 0t 0t 0t 0t
1 2 3 4 5 6 7y c e c e c e + c e c te c e cos4t c e sen4t= + + + + + 
h p
t 2t 4t
1 2 3 4 5 6 7
y y
y c e c e c e + c c t c cos 4t c sen4t= + + + + + 
Entonces la solución particular py : p 4 5 6 7y c c t c cos4t c sen4t= + + + 
Esta solución satisface la ecuación diferencial ( )p p p py ''' 7 y '' 14y ' 8y 4t cos 4t− + − = + 
Calculamos las derivadas de py : 
 p 4 5 6 7y c c t c cos4t c sen4t= + + + 
p 5 6 7
p 6 7
p 6 7
y ' c 4c sen4t 4c cos 4t
y '' 16c cos 4t 16c sen4t
y ''' 64c sen4t 64c cos 4t
 = − +

→ = − −
 = −
 
Reemplazando en la ecuación diferencial ( )p p p py ''' 7 y '' 14y ' 8y 4t cos 4t− + − = + 
     
  ( )
6 7 6 7 5 6 7
4 5 6 7
64c sen4t 64c cos 4t 7 16c cos 4t 16c sen4t 14 c 4c sen4t 4c cos 4t
 8 c c t c cos 4t c sen4t 4t cos 4t
− − − − + − + −
− + + + = +
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 4 5 7 6 7 6 6 7 6 714c 8c 8c t 64c 112c 56c 8c cos4t 64c 112c 56c 8c sen4t 4t cos 4t− + − + − + + − + + − − = + 
Simplificando: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 4 5 6 7 6 714c 8c 8c t 104c 8c cos4t 8c 104c sen4t 0 4t cos 4t− + − + − + + = + + 
Comparando coeficientes tenemos un sistema de ecuaciones lineales: 
5 4
5
6 7
6 7
constantes: 14c 8c 0
 t : 8c 4
 cos 4t : 104c 8c 1
 sen4t : 8c 104c 0
− =
− =
− =
+ =
 
5 4
5
6 7
6 7
14c 8c 0
8c 4
 
104c 8c 1
8c 104c 0
− =

− =
→
− =
 + =
 5 4 6 7
1 7 13 1
c c c c
2 8 1360 1360
= − = − = = − 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 23 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
Escribimos la solución particular py con los valores del sistema: p 4 5 6 7y c c t c cos4t c sen4t = + + + → 
p
7 1 13 1
y t cos 4t sen4t
8 2 1360 1360
− − −
= + + + 
Paso 3: Solución general h py y y = + 
 
t 2t 4t
1 2 3
7 1 13 1
y c e c e c e t cos 4t sen4t
8 2 1360 1360
= + + − − + − 
Pero 
tx 1 e− = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
2 4
1 2 3
7 1 13 1
y c x 1 c x 1 c x 1 ln x 1 cos 4 ln x 1 sen 4 ln x 1
8 2 1360 1360
= − + − + − − − − + − − − 
3. Hallar y( t ) . ( ) ( ) ( )
t
2
0
d
t y'' y 2ty' t cos d ; y 0
d 2

    

 
+ + = − = 
  
Solución: 
La ecuación integro diferencial podemos resolverla usando transformadas de La Place, por lo cual es 
necesario tener las condiciones iniciales ( ) ( )y 0 a , y' 0 b , a , b = =  . 
Para calcular el valor de las constantes a y b utilizaremos la condición dada: y 0
2
 
= 
 
 
Aplicamos la transformada a la ecuación diferencial: 
( )    ( ) ( )
t
2
0
d
t y'' y 2ty' t cos d 
d
    

 
 
+ + = − 
 
 
L L L 
Recordemos las siguientes transformaciones: 
( )  ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( )  ( )  ( ) 
t
nn
n
0
d
t f t 1 F s f g t d f t g t f t g t ; t 1
ds
   
 
 
= − − =  = = 
 
 
L ; L L L L L 
( ) ( ) ( ) ( )  ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 1
2 1
2
s 02
d d d
1 y'' y 2 1 y' t t cos t
dtds ds
d
s Y s y'
ds

 
− + + − =  
 
−
L L L( )0
b
y− ( )( ) ( ) ( )s s 01
a
d
Y 2 sY y
ds
+ − −( ) ( )  ( )
a
d
t t cos t 
dt

 
=  
 
L L
 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )  
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )  
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
s s s s s
12
s s s s s s s 1
12
s s 1 2
2
s s 2 2
2
d
2sY s Y ' b Y 2 Y sY ' 1 tsent 
ds
d
2Y 2sY ' 2sY ' s Y '' Y '' 2 Y sY ' 1 1 1 sent 
ds
d 1
s 1 Y '' 2s Y ' 1 1 1 
ds s 1
2s 1
s 1 Y '' 2s Y ' // 
s 1s 1
+ − + − + = −
+ + + + − + = − −
 
+ + = − −  + 
 
− + + = 
  ++  
L
L
 
Simplificando: ( )
( )
( ) ( ) ( )
s s 32 2
2s 2s
Y '' Y ' 
s 1 s 1
−
+ =
+ +
 
JOSUE PAYE CHIPANA 24 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
C.V. ( ) ( )s sz Y ' z' Y ''= → = 
Sustituyendo: 
( )
( ) ( )
32 2
2s 2s
z' z
s 1 s 1
−
+ =
+ +
 (1) ecuación diferencial lineal de la forma ( ) ( )s sz' p z q+ = 
Para resolver calculamos el factor integrante: ( )
( )sp ds
s
e = 
( )
( )
( )
( )
( )2 2
2s
ds
s 1 ln s 1
s s
e e 
+ +

= → = ( )
2
s
s 1 = + 
Multiplicamos el factor integrante a a la ecuación (1): 
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )2 2 23 32 2 2
2s 2s d 2s
z' z // s 1 s 1 z s 1 
dss 1 s 1 s 1
− − + = + → + = +
 + + +
 
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
3 2
2 2
2s 2s
 d s 1 z s 1 ds s 1 z ds
s 1 s 1
 
− −    + = + → + =
     
+ +  
   ( )
2
2
1
s 1 z c
s 1
  + = +
  +
 
( )
2 2
2
1 c
z 
s 1s 1
 = +
++
 pero ( )sz Y ' = 
Entonces: ( )
( )
s 2 2
2
1 c
 Y ' 
s 1s 1
= +
++
aplicamos la anti transformada  1−L : 
( )  ( ) ( )
1 1 1
s 22 2
1 1 1
Y ' c 
s 1s 1 s 1
− − −
 
   
= +   
+ + +  
L L L 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
11 1 1
s t2 2
d 1 1
1 Y c sent ty sent sent csent
ds s 1 s 1
− − −
   
    
− − =  +   − =  +     
  + +      
L L L 
 
 Se sabe la siguiente convolución: ( ) ( )  
t
0
1
sent sent sen sen t d t cos t sent
2
   = − = − − 
Sustituyendo:  
1
ty t cos t sent c sent
2
− = − − +  , ahora calculamos la constante “c” con 
t
y 0 2
2
y 0



= 
= →  
   =
 
( )
1
0 cos
2 2 2 2
   
− = −  
 
0
sen
2
 
−  
 
1
c sen
2
   
+   
    1
 → 
1
c
2
= − 
Con lo que tenemos:  
1 1
ty t cos t sent sent 
2 2
− 
− = − − + → 
 
 
cos t
y 
2
= 
 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 25 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
4. Hallar la solución de la ecuación integro diferencial: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t t
t
t
0 0
2y' t y' e d cos e d sent f t ; y 0 0    
−
−
+ − − = =  
Solución: 
Aplicando Laplace: 
( )  ( ) ( )   ( ) 
( ) ( )( ) ( )  ( )  ( )
( ) ( )
t t
t
t
0 0
t t
s 0 t s2
s 0
2 y' t y' e d cos e d sent f t
1
2 sY y y' e cos t e F
s 1
2 sY y
 
   
−
−
   
   
+ − − =   
   
   
− +  −  − =
+
−
 L L L L L
L L
( ) ( ) ( )s 0
0
sY y+ −( ) ( )s2 2
0
1 s 1 1
F
s 1 s 1s 1 s 1
−  − =
− −+ +
 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )s s s s s2 22 2
1 s 1 s s 1
2sY sY F 2s Y F
s 1 s 1s 1 s 1s 1 s 1 s 1 s 1
 
+  − − =  + = + + 
− −+ + + − + −
 
( ) ( )( ) ( )s s22
s s 1
2s Y F
s 1 s 1s 1 s 1
 
+ = + + 
− +  + −
 
( )s 2
s 1
Y
s 1s 1
 
=   −+ 
s 1  −
 
 
( )s2 2 2 2
1 s 1 s 1
F
2s s s 1 2s s 2s s
  − −     
+ −       − + − −      
 
( ) ( )( ) ( )( ) ( )s s 22 2 2 2
s s 1 s 1
Y F
2s ss 1 2s s s 1 2s s
− − 
= + −  
− + − + −
 (1) 
 
Calculamos ( ) f tL : 
 
Entonces se tiene ( )t
1 , 0 t 1
f 1 , 1 t 2
0 , t 2
 

= −  
 
 
 
 
 
 
Utilizaremos la función paso unitario: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t 0 t 1 t 1 t 2f 1 1   − − − −   = − + − −    
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ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
( ) ( ) ( ) ( )  t t t 1 t 2f 2 //   − −= − +  L ( )
s 2s
S
1 2 1
F e e
s s s
− − = − + (2) 
Remplazando (2) en (1): 
( ) ( )( )
( ) ( )s 2ss 22 2
2s 1 1 2 1 s 1
Y e e
s s s 2s ss 1 2s s
− −− −   = − − +   −   + −
 
( ) ( )( )
( ) ( )s 2ss 2 2 22 2
2s 1 1 s 1 2 s 1 1 s 1
Y e e
s s s2s s 2s s 2s ss 1 2s s
− −− − − −     = − + −     − − −     + −
 
( ) ( )
( ) ( )s 2ss 2 2 22
1 1 s 1 2 s 1 1 s 1
Y e e
s s s2s s 2s s 2s ss 1 s
− −− − −     = − + −     − − −     +
 (1) 
Expandimos en fracciones parciales: 
( )2 2
s 1
s
1
s 1 s s 1
− +
+
=
+
 
2 2
1 s 1 2 1 1
s 2s 1 s2s s s
− − 
= + +  −− 
 
En (1): 
 
( )
s 2s
s 2 22 2
2 1 1 2 1 1 2 1 1
Y 2 e e
2s 1 s 2s 1 s 2
s 1
ss s 1 ss s s1
− −− − −     = − − + + + + + − + +     
− −+ −    
+

 
 
 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 1 1
t t 1 t 2
2 2 2
t t 1 t 2
y tco e 1 t 2 e es t t 1 
− −
− −
   
= − − − + − + − − + −   
     
+

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 27 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
INVIERNO- 2019 
PROBLEMA 1 
Resolver la ecuación diferencial: ( ) ( ) ( )
1
x
4 4 2 2 4 3 2 xx y'' x 2x y' x 2x 1 y x x x e
+
− − − + − = − + ,se conoce que 
dos funciones 1 2y , y linealmente independiente, son soluciones de la ecuación diferencial asociada y se 
relaciona mediante 
x
2 1y e y= . Hallar la solución completa de la ecuación diferencial. 
Solución: 
 ( ) ( ) ( )
1
x
4 4 2 2 4 3 2 xx y'' x 2x y' x 2x 1 y x x x e
+
− − − + − = − + 
La ecuación diferencial es lineal de segundo orden de la forma ( ) ( ) ( )y'' P x y' Q x y f x+ + = 
 
Paso 1: Cálculo de la solución Homogénea hy : 
( ) ( ) ( )y'' P x y' Q x y f x+ + =
0
  ( ) ( )y'' P x y' Q x y 0+ + = 
 
donde, si se tiene una solución 1y se puede calcular 2y utilizando la fórmula de Abel: 
 
( )P x dx
2 1 2
1
e
y y dx
y
−
=  
de esta manera tener la solución homogénea: h 1 1 2 2y c y c y = + 
 
14 2 2 4 3 2 x
x
4 4 4
x 2x x 2x 1 x x x
y'' y' y e
x x x
+     − + − − +
− − =     
     
 
 
Extraemos ( )P x de la ecuación diferencial ( )
4 2
4
x 2x
P x
x
 −
= − 
 
 y 
 remplazamos 
x
2 1y e y= en la fórmula de Abel 
( )P x dx
2 1 2
1
e
y y dx 
y
−
=  
 
4 2
4 2
x 2x 2dx 1 dx
x x
x x
1 1 1 12 2
1 1
e e
e y y dx e y y dx 
y y
 −   − − −  
   
 
=  =   
2
x
x
x
2
1
e
 e dx 
y
+
=  (1) 
derivamos (1) y despejamos 1y 
 
( ) ( )
2 2
x x
x x
x x
2 2
1 1
e d d d e
 e dx // e dx 
dx dx dxy y
+ + 
 
=  =  
 
 
  
2
x
x
x
2
1
e
 e 
y
+
=  
1
x
1y e= 
Teniendo 1y podemos calcular 2y remplazando en 
x
2 1y e y =  
1
x
x
2y e
+
= 
Remplazando h 1 1 2 2y c y c y = +  
1 1
x
x x
h 1 2y c e c e
+
= + 
 
Paso 2: Cálculo de la solución Particular py : 
JOSUE PAYE CHIPANA 28 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
Calcularemos py por el método: Variación de Parámetros 
Sea ( ) ( ) ( )y'' P x y' Q x y f x + + =  ( ) ( )h 1 21 x 2 xy c y c y = + 
Aplicamos la integral: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
0
1 t 2 t
x
1 x 2 x
P
1 t 2 t
x
1 t 2 t
y y
y y
y f t dt
y y
y' y'
=  
Para aplicar el método necesitamoslos dados: ( ) ( )1 x 2 xy , y y ( )f x extraemos lo pedido: 
( )
( )
14 3 2 x
x
414 2 2 4 3 2 x
x
4 4 4 14 3 2 t
t
4
x x x
 f x e 
xx 2x x 2x 1 x x x
y'' y' y e 
x x x t t t
 f t e 
t
+
+
+
  − +
=  
     − + − − +   
− − =       
 − +      
=  
 
 
( ) ( )
( ) ( )
1 1
x t1 1
x 1 x 1 t
x x
h 1 2 1 1
x t
x t
2 x 2 t
y e y e 
y c e c e 
y = e y = e
+
+ +

=  =
= +  


 
Aplicamos la integral: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
0
1 t 2 t
x
1 x 2 x
P
1 t 2 t
x
1 t 2 t
y y
y y
y f t dt 
y' y
y' y
=  
( )
0 0
1 1
t
t t
1 1 1 1 1 1x xx x t1 14 3 2 4 3 2x x t x x tt t
t t
P 4 41 1 1 11 1
tt
2 2t t t tt tx x
1 1
t
2 2t t
e e
e e t t t e e e e t t t
y e dt = e dt 
t t
e e t e t ee e
t e 1 t e
+
+ + +
+ +
++
− −
+
− −
      − + − − +
=       
          − + 
 
 
− −
  
 
( )
0 0
x x xx1 1 1 1 t4 3 2 4 3 2x x
tx x x x
P 4 4
x x
e t 1t t t t t t 1
y e dt e e dt e t lnt e
t tt t
+ +      −− + − +  
= − = − − −                
 
( )1 1 1xx x
x x x
P
e x 11 1 1
y e x ln x e e x ln x 1 
x x x x
+ + −   
= − − − = − − − +          
 ( )
1
x
x
Py e x ln x 1
+
= − − 
Paso 3: Escribimos la solución general P hy y y= + 
( )
1 1 1
x x
x x x
1 2y c e c e e x ln x 1
+ +
= + + − − 
JOSUE PAYE CHIPANA 29 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
 
 
PROBLEMA 2 
Resolver la ecuación diferencial de orden superior: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )2 VI V IV ln 2x 3 ln 2x 3
2x 3 y 2 2x 3 y y e sen
2
+ + 
+ + + + =  
 
 
 
Solución: 
La ecuación diferencial (ED) requiere una reducción de orden 
C.V. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d d
IV V VIdx dxy u y u' y u'' = ⎯⎯⎯→ = ⎯⎯⎯→ = 
 
Remplazando en la ED ( ) ( )
2 VI
2x 3 y+ ( ) ( )
u''
V
2 2x 3 y+ +
( )
u'
IV
y+
( ) ( )u ln 2x 3 ln 2x 3
e sen
2
+ + 
=  
 
 
 
 
( ) ( ) ( )
( )2 ln 2x 3 ln 2x 3
2x 3 u'' 2 2x 3 u' u e sen
2
+ + 
+ + + + =  
 
 (1) “Ecuación de Euler-Cauchy” 
C.V. 
t tax b e 2x 3 e+ = → + = 
( )
t t
2 2 2
22 2t 2t
2 2 2
du du du du
u' ae u' 2e
dx dt dx dt
d u d u du d u du
u'' a e u'' 2 e
dt dtdx dt dt
− −
− −
   
= = → = =   
   
   
= = − → = −   
   
 
Remplazando el C.V. en (1) 
 ( ) ( ) ( ) ( )
( )t t22 ln e2t 2t t t
2
ln ed u du du
e 2 e 2 e 2e u e sen
dt dt 2dt
− −
        − + + =     
        
 
2 2
t t
2 2
d u du du t d u t
4 4 4 u e sen 4 u e sen 
dt dt 2 2dt dt
     
− + + =  + =     
    
 
 
Resolvemos la ecuación diferencial lineal de segundo orden de coeficientes constantes, con los siguientes 
pasos: 
Paso 1: Cálculo de la solución Homogénea hy : 
2
t
2
d u t
 4 u e sen
2dt
 
+ =  
 
2
2
0
d u
 4 u 0
dt
 + = , expresamos la ecuación en función del operador D. 
   24D u u 0+ = 
( ) 24D 1 u 0 + = → Resolvemos la ecuación auxiliar algebraica 24r 1 0+ = 
JOSUE PAYE CHIPANA 30 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
las soluciones son 
1
2
1
r i
4
1
r i
4

=



= −

 
0t 0t
h 1 1
1 1
u c e cos t c e sen t
4 4
 = +  h 1 1
1 1
u c cos t c sen t
2 2
   
= +   
   
 
Paso 2: Cálculo de la solución Particular pu (utilizaremos el Método de Operadores Anuladores) 
2
t
2
d u t
 4 u e sen 
2dt
 
+ =  
 
 , expresamos la ecuación en función del operador D. 
( ) 2 t
t
4D 1 u e sen 
2
 
+ =  
 
 (1) 
Calculamos el operador anulador de 
t tf ( t ) e sen 
2
 
=  
 
 
Aplicamos el siguiente operador: sea ( ) ( )
2at 2f ( t ) Ae sen bt L( D ) D a +b = → = − 
t tf ( t ) e sen 
2
 
= → 
 
 ( )
2
2 1
L( D ) D 1 + 
2
 
= −  
 
 
Multiplicamos ( )L D a la ec. (1): ( )  ( )2 t
t
L( D ) 4D 1 u L D e sen
2
  
+ =   
  
0
( ) ( )  
2
22 14D 1 D 1 + u 0
2
  
 + − =  
   
 
La ecuación auxiliar es: ( ) ( )
2
22 14r 1 r 1 + 0
2
  
+ − =  
   
 
las soluciones son: 1 2 3 4
1 1 1 1
 r i r i r 1 i r 1 i 
2 2 2 2
= = − = + = − , 
con estas soluciones podemos escribir la solución general: h pu u u = + 
t t
1 2 3 4
1 1 1 1
u c cos t c sen t c e cos t c e sen t
2 2 2 2
       
= + + +       
       
 
h p
t t
1 2 3 4
u u
1 1 1 1
u c cos t c sen t + c e cos t c e sen t
2 2 2 2
       
= + +       
       
 
Entonces la solución particular pu es: 
t t
p 3 4
1 1
u c e cos t c e sen t
2 2
   
= +   
   
 
Esta solución satisface la ecuación diferencial 
2
t
2
d u t
 4 u e sen 
2dt
 
+ =  
 
 
2
p t
p2
d u t
 4 u e sen 
2dt
 
+ =  
 
 (2) , de esta manera calculamos las derivadas de py 
JOSUE PAYE CHIPANA 31 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
 
t t
p 3 4
1 1
u c e cos t c e sen t 
2 2
   
= +    
   
 
t t
p 4 3 4 3
t t
p 4 3 4 3
1 1 1 1
u' c c e sen t c c e cos t
2 2 2 2
3 1 3 1
u'' c c e sen t c c e cos t
4 2 4 2
        
= − + +       
        

        = − + +              
 
 
Remplazando en la ecuación diferencial (2): 
    ( ) ( )
t t t t t
4 3 4 3 3 4
t t t t
4 3 4 3
3 1 3 1 1 1 t
 4 c c e sen t c c e cos t c e cos t c e sen t e sen 
4 2 4 2 2 2 2
1 1 1 1
4c 4c e sen t 4c 4c e cos t 1 e sen t + 0 e cos t
2 2 2 2
                
− + + + + =               
                
       
− + + =       
       
 
Comparando coeficientes armamos un sistema de ecuaciones lineales 
t
4 3
t
4 3
1
 e sen t : 4c 4c 1
2
1
 e cos t : 4c 4c 0
2
 
− = 
 
 
+ = 
 
 
4 3
4 3
4c 4c 1
 
4c 4c 0
− =
→
+ =
 3 4
1 1
c c
8 8
= − = 
 
Ahora podemos escribir la solución particular pu con los valores del sistema: 
t t
p 3 4
1 1
u c e cos t c e sen t 
2 2
   
= + →   
   
 
t t
p
1 1 1 1
u e cos t e sen t
8 2 8 2
−    
= +   
   
 
Paso 3: Solución general 
h pu u u = + 
 
t t
1 2
1 1 1 1 1 1
u c cos t c sen t e cos t e sen t
2 2 8 2 8 2
       
= + − +       
       
 
 
Retornamos a la variable original: 
C.V. ( )t2x 3 e t ln 2x 3+ = → = + 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2
1 1 1 1 1 1
u c cos ln 2x 3 c sen ln 2x 3 2x 3 cos ln 2x 3 2x 3 sen ln 2x 3
2 2 8 2 8 2
       
= + + + − + + + + +       
       
 
C.V. 
( )
4
IV
4
d y
y u u
dx
= → = integramos 4 veces 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
1 24
3
1 23
3
d y 1 1 1 1 1 1
 c cos ln 2x 3 c sen ln 2x 3 2x 3 cos ln 2x 3 2x 3 sen ln 2x 3
2 2 8 2 8 2dx
d y 1 1 1 1 1 1
 c cos ln 2x 3 c sen ln 2x 3 2x 3 cos ln 2x 3 2x 3 sen ln 2x 3 dx
2 2 8 2 8 2dx
d y
dx
       
 = + + + − + + + + +       
       
       
 = + + + − + + + + +       
       
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 23
1
1 1 1 1 1
= 2x 3 136c sen ln 2x 3 +2cos ln 2x 3 +136c cos ln 2x 3 2sen ln 2x 3
680 2 2 2 2
1 1
+5 2x 3 5cos ln 2x 3 3sen ln 2x 3 +k 
2 2
−           
+ − + + + − +          
          
    
+ + − +    
   
 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 32 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12
2
2 1
1 1 1
2x 3 136c sen ln 2x 3 +2cos ln 2x 3 +
680 2 2d y
dx
dx 1 1 1 1
+136c cos ln 2x 3 2sen ln 2x 3 +5 2x 3 5cos ln 2x 3 3sen ln 2x 3 +k 
2 2 2 2
 −     
+ − + +     
      =
           
 + − + + + − +          
            
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
1 12
2
2
1 2
1 1
2x 3 4 17c 1 cos ln 2x 3 272c 1 sen ln 2x 3
2 2d y
5780dx
1 1 1
2x 3 2312c 4cos ln 2x 3 3sen ln 2x 3
85 2 2
1 1
25 2x 3 23cos ln 2x 3 7sen ln 2x 3 k x k
2 2
    
+ + + − − +    
    
= − +
     
+ + + − + +     
     
    
+ + + − + + +    
    
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
1 1
2
1 2
1 1
2x 3 4 17c 1 cos ln 2x 3 272c 1 sen ln 2x 3
2 2
5780
dy 1 1 1
2x 3 2312c 4 cos ln 2x 3 3sen ln 2x 3
dx 85 2 2
1 1
25 2x 3 23cos ln 2x 3 7sen ln 2x 3 k x k
2 2
     
+ + + − − +     
    − +


     
 = + + + − + +     
     
    
+ + + − + + +    
    

dx





 
 
 
 
 
 

 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
1 1
2
2 2
2
1 2 3
1 1
2x 3 680c 23 cos ln 2x 3 782c 5 sen ln 2x 3
2 2dy
dx 213860
1 1 1
2x 3 2584c 12375 cos ln 2x 3 1088c 625 sen ln 2x 3
85 2 2
x
k k x k
2
    
+ + + − − +    
    
= − +
    
+ + + + − + + +    
    
+ + +
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
1 1
2
2 2
2
1 2 3
1 1
2x 3 680c 23 cos ln 2x 3 782c 5 sen ln 2x 3
2 2
213860
1 1 1
y 2x 3 2584c 12375 cos ln 2x 3 1088c 625 sen ln 2x 3 dx
85 2 2
x
k k x k
2
     
+ + + − − +     
     − +
 
 
      = + + + + − + + +    
     
 
 + + +
 
 
 
 
Finalmente: 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 33 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
1 1
3
2 2
1 1 1
y 2x 3 6222c 179 cos ln 2x 3 5576c 63 sen ln 2x 3
13900900 2 2
1 1 1
2x 3 16592c 74875 cos ln 2x 3 3944c 8625 sen ln 2x 3
3145 2 2
 
    
= − + + + − − + +    
    
    
+ + + + − − + +    
    
3 2
1 2 3 4
x x
 k k k x k
6 2
+ + + +
 
 
 
PROBLEMA 3 
Hallar una expresión para f ( t ) de la ecuación diferencial: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tf t 4 t 4 f ' t 1 t 1 e f t 2 t 2  −− − = − −  − − ; ( )f 0 0= 
Solución: 
La Ecuación diferencial podemos resolverla usando transformadas de La Place, por lo cual es necesario 
tener la condición inicial ( )f 0 a , a =  . Para nuestro caso ( )f 0 0= 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  tf t 4 t 4 f ' t 1 t 1 e f t 2 t 2 //   −− − = − −  − − L 
( ) ( )  ( ) ( )  ( ) ( ) tf t 4 t 4 f ' t 1 t 1 e f t 2 t 2   −− − = − − − −L L L 
Para calcular la transformada utilizaremos: 
( ) ( )  ( ) ( )  ( ) ( ) ( )  ( )as atf t a t a F s e f ' s sF s f 0 e f t F s a −− − = = − = −L L L 
( ) ( )  ( ) ( )  ( ) ( ) 
( ) ( ) ( )
t
4s s
f t 4 t 4 f ' t 1 t 1 e f t 2 t 2 
F s e e sF s f 0
  −
− −
− − = − − − −
= −
L L L
( )
( )
2s
0 s s 1
F s e
F s
−
= +
   
  
( )4s se e s F s− −= ( ) ( ) ( ) ( )
( )   ( ) 
2 s 1 4s 3s 2 s 2
s 2 1 1 s 2 1
F s 1 e e sF s 1 e 1 sF s 1 e
1 1
e F s 1 e // e e F s 1 
s s
− + − − − −
− − − − − − −
+  = +  = +
 
 = +  = + 
 
L L L
 
Hacemos uso de los teoremas de traslación: 
( )  ( ) ( ) ( )  ( )1 as 1 atF s e f t a t a F s a e f t− − −= − − − =L L 
Entonces: 
( )  ( ) ( )1 s 2 1 2 t
1
e e F s 1 t 1 e e f t
s
− − − − − −
 
= +  − =  
 
L L ( ) ( )
2 tf t e t 1+= − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 34 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
PROBLEMA 4 
Resolver la ecuación diferencial ( )y'' y f t+ = , con la condición ( ) ( )y 0 y' 0 3= =
 
 
 
 
 
Solución: 
La ecuación diferencial podemos resolverla usando transformadas de La Place, por lo cual es necesario 
tener las condiciones iniciales ( ) ( )y 0 a y' 0 b , a y b = =  . 
Para calcular el valor de las constantes a y b utilizaremos al final del problema la condición dada: 
( ) ( )y 0 y' 0 3= = 
Aplicamos la transformada a la ecuación diferencial: ( )  y'' y f t // + = L     ( ) y'' y f t + =L L L 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
s 0 0 s s s 0
s Y sy y' Y F s Y s y− − + = → − ( )0
3
y'− ( ) ( )s s
3
Y F+ = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
s s s s s
 s Y 3s 3 Y F s 1 Y 3s 3 F − − + = → + = + + → ( ) ( ) ( )
( )
( )
s
s 2 2 2
Fs 3
 Y 3
s 1 s 1 s 1
= + +
+ + +
 (*) 
Cálculo de ( )sF : 
Sea ( )
t
3sen ; 0 t 3
3
 0 ; 3 t 6
f t
t
3sen ; 6 t 9
3
 0 ; t 0

 
 
  
  
 
 
= 
 −     


 
 
Escribimos la función por tramos usando la función paso unitario: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t 3 t 3 t 6 t 6 t 9 t
t t
f t 3sen 0 3sen 0
3 3
          − − − − −
           = − + − + − − +               
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t 3 t 6 t 9
t t
f t 3sen 3sen
3 3
     − − −
      = − − −         
 
Onda sinusoidal 
JOSUE PAYE CHIPANA 35 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
 
Para transformar usaremos el siguiente teorema: 
 ( ) ( )  ( ) asf t a t a F s e −− − =L 
Lo cual nos indica que la función f debe tener mismo desface que  : 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )  
t t 3 t 6 t 9
t t 3 t 6 t 9
t t
f t 3sen 3sen
3 3
t t 3 t 6 t 9
f t 3sen 3sen 3sen 3sen // 
3 3 3 3
  
  
   
  
   
− − −
− − −
      = − − −         
− − −       
= + − −       
       
L
 
( )  ( ) ( ) ( ) ( )t t 3 t 6 t 9
t t 3 t 6 t 9
f t 3 sen 3 sen 3 sen 3 sen
3 3 3 3
  
  
   
− − −
   −   −   −        
= + − −              
              
L L L L L 
 
( )
3 s 6 s 9 s
s 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
3 3 3 3F 3 3 e 3 e 3 e
1 1 1 1
s s s s
3 3 3 3
  − − −     = + − −     
       
+ + + +       
       
 (1) 
 
Remplazando (1) en (*): 
( ) ( ) ( ) ( )
3 s 6 s 9 s
s 2 2 2 22 2 2
2 2 2 2
s 3 1 1 1 1 1
 Y 3 e e e
s 1 s 1 s 1 1 1 1 1
s s s s
3 3 3 3
  − − −
 
 
 
     = + + + − −      
+ + +         + + + +                
 
 
Multiplicamos y armamos fracciones parciales 
( ) ( ) ( ) ( )
3 s 6 s 9 s
s 2 2 2 22 2 2
2 2 2 2
s 3 1 1 1 1 1
 Y 3 e e e
s 1 s 1 s 1 1 1 1 1
s s s s
3 3 3 3
  − − −
 
 
 
     = + + + − −      
+ + +         + + + +                
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 s 6 s
s 2 2 22 2
2 2 2 2 2 2
s 3 1 1 1
Y 3 e e
s 1 s 1 1 1 1
s 1 s s 1 s s 1 s
3 3 3
 
 − −   = + + + − −        + +      
+ + + + + +                         
( )
9 s
2
2 2
1
 e
1
s 1 s
3
− −    
+ +     
 
 
Los términos necesarios serán desarrollados en fracciones parciales, en este caso la siguientefracción: 
( )
2
2 2
1
1
s 1 s
3
  
+ +     
 se repite 4 veces fraccionando: 
( )
2 2
2
2
2 2
9 1 9 1
8
1
1
s 1 s
81 s 1
s
33
 
 
−    = +   +   
+  
 
  
+ +  
 
 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 36 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
Anti transformando  1 −L : 
( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2
2
3 s
s 2
2
2
2
s 1
Y
9 1 9 1 9 1 9 1
8 8 8 81 s 1 s1 1
s s
3 3
9 1 9 1
8 81
 
3 3 e
s 1 s 1
 
s 1
s
3
−
   
   
− −      + +      + +      
+ +      
      
 

−   +  +   
+ 
  
 
  
    = + + + −   + +
   
  
−  
2
6 s 9 s 1
2
2
9 1 9 1
8 81 s
e e
1
s
3
//  − − −
 
  
−    +   +
   
   
      −     

 
   
  
  
+  
    
L
 
 
( )   ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
t t
t t 3 t t 3
t t t t
t t 6 t t 6 t t 9 t t 9
t
y 3 cos t 3sent
 
9 9 t 9 9 t
sent sen sent sen
8 8 3 8 8 3
9 9 t 9 9 t
sent sen sent se n +
8 8 3 8
 
8
 + 
3
 
   
 
   
= − = −
= − = − = − = −
−     
+ − + +    
    
      
− −      
    
+ +

=

 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t 3 t 3
t 6 t 6 t 9 t
t
9
y 3cos t
 
15 9 t 9 9 t 3
sent sen sen t 3 sen
8 8 3 8 8 3
9 9 t 6 9 9 t 6
 
8
sen t 6 sen sen t 6 sen
8 3 8 8 3
 + +
 
   

  
 
     
− −
− − − −
−   
+ − − + +   
   
− −   
− − − −   
  
= +

 
 
 
PROBLEMA 5 
Resolver la ecuación diferencial ( ) ( )
2
2
d y
9 4 y 2cosh 4t sen 2t
dx
+ = . Considerando condiciones iniciales en el 
origen 
 
Solución: 
Para resolver la ecuación diferencial recordamos que: ( )
4t 4te e
cosh 4t 
2
−+
= 
Luego: ( ) ( ) ( )
2 4t 4t 2
4t 4t
2 2
d y e e d y
9 4 y 2 sen 2t 9 4 y sen 2t e sen 2t e
2dx dx
−
− ++ =  + = + 
 
 (1) 
 
También se sabe que: ( ) ( )y 0 y' 0 0= = 
La ecuación diferencial (1) podemos resolverla usando transformadas de La Place: 
( ) ( )  
2
4t 4t
2
d y
9 4 y sen 2t e sen 2t e //
dx
−+ = + L 
JOSUE PAYE CHIPANA 37 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
  ( )  ( ) 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
4t 4t
2
2
s 0 0 s 2 22 2
2
s 0
d y
9 4 y sen 2t e sen 2t e
dx
2 2
9 s Y sy y' 4Y + 
s 4 2 s 4 2
9 s Y s y
− + = + 
 
 − − + =
  − + + +
−
L L L L
( )0
0
y'− ( )
( ) ( )
s 2 22 20
2 2
4Y + 
s 4 2 s 4 2
  + =
   − + + +
 
( ) ( )
( ) ( )
2
s 2 22 2
2 2
 9s 4 Y + 
s 4 2 s 4 2
+ =
− + + +
 
( )
( )( )( ) ( )( )( )
s 2 22 2 2 2
2 2
Y +
s 4 2 9s 4 s 4 2 9s 4
=
− + + + + +
 
Los términos necesarios serán desarrollados en fracciones parciales 
( ) 2s 2 2
50 9s 9s 50 99
2080( s 8s 20 ) 2080( s 8s 20 ) 520( 9s 4 )
Y +
− +
− + + + +
= + 
( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
( )( )
( )
( )( )
s 2 22 2 2
2
2 2 2s 2
2
2
50 9s 9 4 9 4 9s 50 9 4 9 4 99
2080 s 4 2080 s 4 2
520 9 s
3
14 9 s 4 9 s 4 14 11
2080 s 4 208
Y
0 s 4 2
Y
5 s
+
2 2
2
20
3
+
2
− + − + + −
 − +  
+  

= +
+ +
  
− − + +
 − + 
= +
+ + 
+     
 
Antitransformando  1 −L : 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
 
2 2 2
2
s 2 2 2
1
22
2
s 4 s 4
s 4 s 4 s 4
11
 
Y
 
14 2 9 9
+
2080 2 2080 20802 2 2
14 2
 
5
// 
2080 2 2
 
s 4 2
20 s
3
−
  

− +
+
−
  
     = −
    + + + − +
+
 +  
+    
    
 
  +


 
+
L
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
4t 4t 4t
t
4t 
7 9 9
y
 
sen 2t e cos 2t e + cos 2t e
2080 2080
 
33
 
0
2080
7 2
sen 2t e en t
2
 
080
 s
3
 
104
−
−
= −
 
+
+


+ 

 
 
 
JOSUE PAYE CHIPANA 38 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
II/2018 
1. (a) Anote el operador anulador de coeficientes constantes que anula ( ) ( ) ( )2xf x 4x e cos 3x= + 
Solución: Para calcular el operador anulador de ( )f x escribimos la función de esta manera: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2x 1 2f x 4x cos 3x e cos 3x f x f x f x= +  = + 
Reconocemos el operador anulador de cada sumando: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
1 1
22x 2
2 2
f x 4xcos 3x L D D 3
f x e cos 3x L D D 2 3
 = → = +

 = → = − +
 
Luego el operador anulador de ( )f x será: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2 22
1 2L D L D L D D 9 D 2 9=  = + − + 
Finalmente: ( ) ( ) ( )
2
2 2L D D 9 D 4D 13= + − + 
(b) Calcule la transformada de Laplace ( ) f tL si ( ) ( )2f t t sen 2t= 
Solución: 
( ) ( )   ( )  ( ) ( ) ( ) ( ) 
2 2
22
2 2 2 2
d d 2
f t t sen 2t f t 1 sen 2t f t
ds ds s 2
 
= ⎯⎯⎯→ = −  =  
+ 
L L L L 
El resultado será: ( ) 
( )
( )
2
3
2
4 3s 4
f t
s 4
−
=
+
L 
(c) Anote la hipótesis y tesis del primer teorema de traslación. 
Solución: 
Hipótesis: - Sea ( )f t continua por tramos y de orden exponencial. 
 - Sea ( )  ( )f t F s=L 
Tesis: Entonces ( )  ( )ate f t F s a= −L 
 
(d) Anote un ejemplo de una función periódica con P=3 y la expresión que calcula su T. Laplace. 
Solución: 
( ) ( ) ( ) ( ) 
3
2 2 st
3s
0
1
f t t , 0 t<3 ; f t f t 3 f t t e dt
1 e
−
−
=  = −  =
− L 
2. Resolver la ecuación diferencial: 
3x
x
e
y'' 3y' 2y
1 e
− + =
+
 
Solución: 
Paso 1: Cálculo de la solución Homogénea hy 
3x
x
e
y'' 3y' 2y
1 e
− + =
+ 0
y'' 3y' 2y 0 − + = 
Expresamos la ecuación en función del operador D:       ( ) 2 2D y 3D y 2 y 0 D 3D 2 y 0− + =  − + = 
JOSUE PAYE CHIPANA 39 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
Generamos la ecuación auxiliar y hallamos sus raíces: ( )( ) 12
2
r 1
r 3r 2 0 r 2 r 1 0
r 2
=
− + =  − − =  
=
 
Entonces la solución homogénea será: 1 2
r x r x x 2x
h 1 2 h 1 2y c e c e y c e c e= +  = + 
Paso 2: Cálculo de la solución Particular py 
Calculamos py por el método de Variación de Parámetros. 
Método de variación de parámetros 
Sea 
( ) ( ) ( )
( ) ( )h 1 21 x 2 x
y'' P x y' Q x y f x 
y c y c y 
+ + =

= +
, para la solución particular aplicamos: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
0
1 t 2 t
x
1 x 2 x
P
1 t 2 t
x
1 t 2 t
y y
y y
y f t dt
y y
y' y'
=  
En nuestro caso 
( )
( )
x
1 xx 2x
h 1 2 2x
2 x
y e
y c e c e
y e
 =
= +  
=
 , además ( )
3x
x
e
f x
1 e
=
+
 
0 0 0 0
t 2t
x x x x
x 2x 3t t 2x x 2t 3t t 2t
2x x
p t 3t t t tt 2t
x x x x
t 2t
e e
e e e e e e e e e e
y dt = dt =e dt e dt
1 e e 1 e 1 e 1 ee e
e 2e
−
= −
+ + + +    
( ) ( ) ( ) ( )( )2x t x t t 2x x x x xp
t x t x
y e ln 1 e e e ln 1 e e ln 1 e e e ln 1 e
= =
   = + − − + = + − − +
   
 
Simplificando: ( ) ( )2x x x x 2xpy e ln 1 e e ln 1 e e= + + + − 
 
Paso 3: Escribimos la solución general h py y y= + 
( ) ( )x 2x 2x x x x 2x1 2y c e c e e ln 1 e e ln 1 e e= + + + + + − 
 
3. Resolver la ecuación diferencial: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t 2 t 3 0 0y'' 2y' 2y 3t 2t 1 4 , y 4 , y' 1 − −− + = + + + = = 
Solución: 
En la ecuación aplicamos transformada de Laplace, previamente reacondicionamos: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t 2 t 3 t 2 t 3
1
y'' 2y' 2y 3t 2t 1 4 y'' 2y' 2y 3t 2t 4 5 4   
− − − −
 
− + = + + +  − + = + − + + 
 
 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t 2 t 3 t 2 t 2 t 3y'' 2y' 2y 3t 2 t 2 5 4 y'' 2y' 2y 3t 2t 2 5 4    − − − − −− + = + − + +  − + = + − + + 
 
⎯⎯⎯→
L
        ( ) ( )  ( )  ( ) t 2 t 2 t 3y'' 2 y' 2 y 3 t 2 t 2 5 4  − − −− + = + − + +L L L L L L 
JOSUE PAYE CHIPANA 40 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2s 2s 3ss 0 0 s 0 s 2 2
1 1 1
s Y sy y' 2 sY y 2Y 3 2 e 5 e 4e
ss s
− − −− − − − + = + + + 
Reemplazamos condiciones iniciales: 
( ) ( )
2
s 0
s Y s y− ( )0
4
y'− ( ) ( )s 0
1
2 sY y− −( ) ( ) 2s 2s 3ss 2 2
4
1 1 1
2Y 3 2 e 5 e 4e
ss s
− − −+ = + + + 
( ) ( )( ) ( )2 2s 2s 3ss s s 2 2
1 1 1
s Y 4s 1 2 sY 4 2Y 3 2 e 5 e 4e
ss s
− − −− − − − + = + + + 
( ) ( )
2 2s 3s
s 2 2
1 1 1
s 2s 2 Y 7 4s 3 2 5 e 4e
ss s
− − − + = + + + + + 
 
 
Despejando ( )sY : ( )
2s 3s
s 2 2 2 2 2
1 3 1 2 5 4
Y 7 4s e e
ss 2s 2 s s 2s 2 s s 2s 2
− −   = + + + + +   
− + − + − +   
 
( ) 4
2s 3s
3 2
3 2 24 3 2s
4s 7s 3 5s 2
s 2s 2s s
4
Y e e
s2s 2s s 2 2
− −= + +
+ + +
− ++ − + −
 (1) 
Expandiendo en fracciones parciales y formando expresiones que tengan transformada inversa: 
( ) ( )
3 2
4 3 2 2 2 2 2 2
4s 7s 3 1 5s 17 3 1 3 1 5 s 1 1 3 1 3 1
11
2 2 2 s 2 2 2 ss 2s 2s s 2s 2 s ss 1 1 s 1 1
+ + + −
= + + = + + +
− + − + − + − +
 
( ) ( )
4 3 2 2 2 22 2
1 7s 12 1 7 1 7 s 1 5 1 1 7 1
2 2 s 2 2 2 s
5s 2
s 2s 2s s 2s 2 s 1 1 1s s s1
− −
= − + + = − + +
+
+
+
− − + − + − +
 
( )
2 2
4 1
4
s 2s 2 s 1 1
=
− + − +
 
En (1): 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2s
s 22 2 2 2
7 s 1 5 1 1 7 1
Y e
2 2 2 ss
 
5 s 1 1 3 1 3 1
11
2 2 2 sss 1 1 s 1 1 s 1 1 s 1 1
−
 −
 + + +
 − + − + − + − + 
−
= + − + + + +
( )
3s
2
1
 4 e
s 1 1
−+
− +
 
 
Aplicando transformada inversa  1−L : 
 
( ) ( ) ( ) ( )
t t t t t
t t t
t t 3
t t 2
7 5 7
y e cos t e sent e cos t e sent t 4e sent 
2 2 2
5 3 3
11 t
2 2 2
 
= −
= −
+= + − + + +

+

+ +  
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t t t 2 t 2
t t 2
7 5 7
y e cos t e sent e cos t 2 e sen t 2 t 2
2 2 2
 
5 3 3
11 t
2 2 2
− −
−
= −

−

+ + +

+ + − + 

− + +
( )( ) ( )
t 3
t 3
4 e sen t 3 −
−
+ −
 
 
4. Resolver la ecuación integro-diferencial: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t t
t t 0
0 0
f ' +2f + t f ' d + f d =t , f 3   − =  
JOSUE PAYE CHIPANA 41 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
 
Solución: 
Aplicamos transformada de Laplace: ( )  ( )  ( ) ( ) ( )  
t t
t t
0 0
f ' +2 f + t f ' d + f d = t   
   
   
−   
   
   
 L L L L L 
Para las integrales aplicamos la transformada de la convolución: 
( ) ( ) ( )   ( )    ( )  ( ) ( )s 0 s t t s 02
1
sF f +2F + t f ' + 1 f = sF f
s
−  −L L L L ( ) ( ) ( )s s 02
3
1
+2F + sF f
s
−( ) ( )s 2
3
1 1
+ F =
s s
 
Despejando ( )sF : ( ) ( ) ( )
2
s s2 2
2 4 3s 4
s 2 F 3 F
s s s s 2s 2
+ 
+ + = +  = 
  + +
 
Expandiendo en fracciones parciales: ( )
( ) ( )
2s 2 2
s 4 2 s 1 5 2
F
s ss 2s 2 s 1 1 s 1 1
− +
+
+ + + + + +
= = − + 
Aplicando transformada inversa  1−L : ( )
t t
t
f e cos t 5e sent 2− −= − + 
 
 
5. (Optativa) Resolver la ecuación integro-diferencial: 
( ) ( ) ( )
2 2
1 1
x y'' 3xy' 5y 4x 3 sen ln x , y y' 0− + = + = = 
Solución: 
Tenemos una ecuación diferencial de Euler, para resolver aplicamos el siguiente cambio: 
C.V. ( )tx e t ln x= → = 
( )
t t
2 2
2t 2t
2 2
dy dy
y' e y' e y'
dx dt
d y d y dy
y'' e y'' e y'' y'
dtdx dt
− −
− −
 
= = → = 
 
 
= = − → = − 
 
 
Remplazando en la ecuación diferencial: 
( ) ( ) ( )2t 2t t t 2t 2te e y'' y' 3e e y' 5y 4e 3 sen t y'' 4 y' 5y 4e 3 sen t− −− − + = +  − + = + (1) 
Resolvemos aplicando los pasos: 
Paso 1: Cálculo de la solución Homogénea hy 
( )2ty'' 4y' 5y 4e 3sen t− + = +
0
y'' 4y' 5y 0 − + = 
Expresamos la ecuación en función del operador D:       ( ) 2 2D y 4D y 5 y 0 D 4D 5 y 0− + =  − + = 
Generamos la ecuación auxiliar y hallamos sus raíces: 
2
1,2r 4r 5 0 r 2 i− + =  =  
Entonces la solución homogénea será: 
2t 2t
h 1 2y c e cos t c e sent= + 
Paso 2: Cálculo de la solución Particular py 
JOSUE PAYE CHIPANA 42 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
Usamos el método de operadores anuladores. ( )2ty'' 4 y' 5y 4e 3 sen t− + = + 
Expresamos la ecuación en función del operador D: ( )  ( )2 2tD 4D 5 y 4e 3 sen t− + = + (2) 
Calculamos el operador anulador de ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2t 1 2f t 4e 3 sen t f t f t f t= +  = + 
Reconocemos el operador anulador de cada sumando: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2t
1 1
2 2
2 2
f t 4e L D D 2
f t 3 sen t L D D 1
 = → = −

= → = +
 
Luego el operador anulador de ( )f t será: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 2L D L D L D D 2 D 1=  = − + 
Multiplicamos ( )L D a la ecuación (2): 
( )( )( )  ( )( ) ( )( )2 2 2 2tD 2 D 1 D 4D 5 y D 2 D 1 4e 3 sen t− + − + = − + +
0
 
( ) ( )( ) 2 2D 2 D 1 D 4D 5 y 0− + − + = 
Generamos la ecuación auxiliar: ( )( ) ( )2 2 1,2 3 4,5r 4r 5 r 2 r 1 0 r 2 i , r 2 , r i− + − + =  =  = =  
 
Con estas soluciones podemos escribir la solución general h py y y= + : 
h p
2t 2t 2t 0t 0t 2t 2t 2t
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
y y
y c e cos t c e sent c e +c e cos t c e sent y c e cos t c e sen t c e +c cos t c sent= + + +  = + + + 
Entonces la solución particular py es: 
2t
p 3 4 5y c e +c cos t c sent= + 
Esta solución satisface la ecuación diferencial (1): ( )2tp p py '' 4 y ' 5y 4e 3 sen t− + = + (3) 
calculamos las derivadas de py : 
2t
p 3 4 5y c e +c cos t c sent= + 
2t
p 3 4 5
2t
3p 4 5
y ' 2c e c s
n
ent c cos t
y '' o4c se c t ec c s t
 = − +
→
− −

=
 
 
Remplazando en (3): 
( )2t 2t 2t 2t4 5 3 4 5 53 3 4cos 4 2c e c sent c cos t 5 c e +c cos t c sent 4e 3 sen t4c e c t c sent     − − + + + = + − −    
( ) ( ) ( ) ( )2t 2t3 3 5 4 5 43 5 44 t8c 5c 4c 5c 4cnc e c s t5c 4ee t c 3 sencos−− + + + + − + ++ − = 
Comparando coeficientes generamos un sistema de ecuaciones lineales 
2t
3
4 5
5 4
 e : c 4
sent : 4c 4c 3
cos t : 4c 4c 0
=
+ =
− + =
 resolviendo el sistema 3 4 5
3 3
c 4 , c , c
8 8
= = = 
Ahora podemos escribir la solución particular py con los valores de las constantes halladas: 
2t
p
3 3
y 4e + cos t sent
8 8
= + 
Paso 3: Solución general h py y y = + 
 
2t 2t 2t
1 2
3 3
y c e cos t c e sent 4e + cos t sent
8 8
= + + + 
Retornamos a la variable original con ( )t ln x= : 
JOSUE PAYE CHIPANA 43 JOSE PAYE CHIPANA 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES - CODEX 
 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 2
3 3
y c x cos ln x c x sen ln x 4x + cos ln x sen ln x
8 8
= + + + (4) 
Calculamos las constantes con ( ) ( )1 1
y y' 0
y y' 0
x 1
= =
= =  
=
 
y 0
x 1
=

=
1 1
3 35
0 c 0 4 c
8 8
= + + +  = − (*) 
y' 0
x 1
=

=
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )2 2
1 2
sen ln x cos ln x sen ln x cos ln x3 3
y' c 2xcos ln x x c 2x sen ln x x 8x
x x 8 x 8 x
   
= − + + + − +   
   
 
 
1 2
3
0 2c c 8
8
= + + + (**) 
Resolviendo (*) y (**): 
1 2
35 3
c , c
8 8
= − = 
En (4): 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
35 3 3 3
y x cos ln x x sen ln x 4x + cos ln x sen ln x
8 8 8 8
= − + + + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JOSUE PAYE CHIPANA

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