Examen_Parcial_Estructuras_1___Soluci_n_

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Universidad del Tolima
Solución Primer Examen Parcial, Estructuras Algebraicas. 2020 - S2
Docente Edisson Arcos
1. (0.83 pts) Sea C = Z[i] = {m+ni ∈ C|m,n ∈ Z}, w∗z = wz (multiplicación usual de números complejos) determine
si ∗ es una ley de composición sobre el conjunto dado C. Si no lo es, precise por qué; si lo es, determine si la ley es
asociativa, existe elemento neutro y además determine si es o no conmutativa.
Solución Determinemos si es ley, para ello veamos que es una operación cerrada, sean (m+ ni) y (x+ yi) elementos
de Z[i],
(m + ni)(x + yi) = mx + myi + nxi + nyi2
= (mx− ny) + (my + nx)i
Por lo tanto es una operación cerrada en C.
Veamos si es asociativa, para eso tomemos a (p + qi) ∈ Z[i]
[(m + ni)(x + yi)](p + qi) = [(mx− ny) + (my + nx)i](p + qi)
= (mx− ny)p + (mx− ny)qi + (my + nx)pi + (my + nx)qi2
= (mxp− nyp) + (mxq − nyq)i + (myp + nxp)i + (myq + nxq)i2
= [(mxp− nyp)− (myq + nxq)] + [(mxq − nyq) + (myp + nxp)]i
y
(m + ni)[(x + yi)(p + qi)] = (m + ni)[(xp− yq) + (yp + xq)i]
= (xpm− yqm) + (ypm + xqm)i + (xpn− yqn)i + (ypn + xqn)i2
= (mxp− yqm) + (ypm + xqm)i + (xpn− yqn)i + (ypn + xqn)i2
= [mxp− ypn− yqm− xqn] + [(ypm + xqm) + (xpn− yqn)]i
= [(mxp− nyp)− (myq + nxq)] + [(mxq − nyq) + (myp + nxp)]i
Por lo tanto es asociativa.
Elemento neutro es trivialmente el elemento 1 + 0i ∈ Z[i]. Veamos que sea conmutativa
(m + ni)(x + yi) = (mx− ny) + (my + nx)i
(x + yi)(m + ni) = (xm− yn) + (ym + xn)i = (mx− ny) + (my + nx)i
Ya que Z, es un grupo conmutativo.
2. (0.83 pts) Demostrar que (G, ∗) es abeliano si y sólo si (ab)2 = a2b2 para todo a, b ∈ G.
Demostración: ⇒ Supongamos que G es abeliano,
(ab)2 = (ab)(ab)
= a(ba)b
= a(ab)b
= (aa)(bb)
= a2b2.
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⇐ Supongamos que (ab)2 = a2b2, para todo a, b ∈ G
(ab)2 = a2b2
(ab)(ab) = (aa)(bb)
a(bab) = a(abb)
bab = abb
(ba)b = (ab)b
ba = ab.
Por lo tanto G es abeliano.
3. (0.83 pts) Demostrar que todo grupo ćıclico es abeliano.
Demostración: Como G es ćıclico, por definición existe un a ∈ G, tal que 〈a〉 = G, y sean x, y ∈ G, tal que x = ar y
y = as, por lo tanto
xy = aras = ar+s = as+r = asar = yx.
Por lo cual G es abeliano.
4. (0.83 pts) Sean H y K subgrupos de G. Demostrar que HK = {hk|h ∈ H, k ∈ K} es un subgrupo de G si y sólo si
HK = KH.
Demostración:⇒ Sea HK un subgrupo de G, y sea a ∈ HK, es decir que a = hk, con h ∈ H y k ∈ K. a−1 =
(hk)−1 = k−1h−1, con k−1 ∈ K y h−1 ∈ H, es decir a−1 ∈ KH y por ser HK subgrupo de G, a−1 ∈ HK, aśı
KH ⊂ HK.
Sea b ∈ HK, aśı por ser HK subgrupo de G, b−1 ∈ HK, es decir b−1 = hk, con h ∈ H y k ∈ K. Por lo tanto
b = (b−1)−1 = (hk)−1 = k−1h−1
es decir b ∈ KH, aśı KH ⊂ HK. Lo que concluye que HK = KH.
⇐ Sea a, b ∈ HK, entonces a = h1k1 y b = h2k2, con h1, h2 ∈ H, k1, k2 ∈ K.
ab−1 = (h1k1)(h2k2)
−1
= (h1k1)k
−1
2 h
−1
2
= h1(k1k
−1
2 )h
−1
2
como (k1k
−1
2 ) ∈ K y h
−1
2 ∈ H por ser subgrupos de G, entonces (k1k
−1
2 )h
−1
2 ∈ KH y por hipotesis como HK = KH,
(k1k
−1
2 )h
−1
2 = xy con x ∈ H y y ∈ K, por lo tanto
ab−1 = h1(k1k
−1
2 )h
−1
2
= (h1x)y
con h1x ∈ H y y ∈ K. Asi ab−1 ∈ HK, entonces HK es subgrupo de G.
5. (0.83 pts) Sea G un grupo abeliano de orden pq donde p y q son números enteros primos entre si (MCD(p, q) = 1).
Demuestre que si G posee un elemento de orden p y un elemento de orden q entonces G es ćıclico.
Demostración: Sean |a| = p y |b| = q, con MCD(p, q) = 1, G es un grupo abeliano de orden pq, existe al menos un
elemento de orden mcm(p, q), como ya sabemos pq = MCD(p, q) ∗mcm(p, q) el cual en este caso pq = mcm(pq) por
ser primos ((MCD(p, q) = 1)). Aśı que existe un elemento de orden pq, sea |x| = pq, x ∈ G, por lo tanto |〈x〉| = pq,
aśı 〈x〉 = G.
6. (0.83 pts) Sea G un grupo de orden 2n, si n es un número impar y G es abeliano, entonces existe solamente un
elemento de orden 2 (Unicidad).
Demostración: Sea (G,*) un grupo, supongamos que a, b ∈ G son ambos elementos de orden 2, ellos generan grupos
〈a〉 y 〈b〉. Ya que G es abeliano, y sea H = 〈a, b〉 = {am ∗ bn|n,m ∈ Z}, como el orden de los elementos fijos es 2,
H = {e, a, b, a ∗ b}
pero como a 6= b y ambos tienen orden 2, ninguno es igual a la identidad.
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Supongamos que a ∗ b = e entonces a = b−1 = b. (Contradicción).
Śı a ∗ b = a entonces b = e (Contradicción).
Śı a ∗ b = b entonces a = e (Contradicción).
Por lo tanto a ∗ b es un elemento distinto que hace que |H| = 4, sin embargo ya que n es impar, por el teorema de
Lagrange H no puede ser un subgrupo de G. Por lo tanto G tiene un único elemento de orden 2.
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