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¿Cómo perderle el miedo al análisis matemático? A lo largo de unos meses, me he introducido en el mundo del análisis matemático, pero no logro...

...entender plenamente muchos conceptos.

Matemática

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Materiales de Estudio


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Aprender y Estudiar

Hace más de un mes

Si te sirve, el mejor consejo es NO SALTARSE NADA; hay observaciones en los textos de análisis que parecen superfluas o innecesariamente alambicadas, pero son la clave para entender todo. No “resumas” cada tema, no des más importancia a lo “fundamental”: todo es fundamental.

Lo primero es que recorras paso a paso una construcción del cuerpo de los números reales, la que quieras. Especialmente recomendables hay dos: la de las cortaduras de Dedekind, preciosa y totalmente rigurosa, no ha pasado el tiempo por ella, fue la primera vez que se “definió” correctamente qué es exactamente un número irracional (es nada menos que un “agujero” en la recta racional; se opera con esos “agujeros” como si fueran números, hasta que terminamos llamándolos números). Y la otra es la de las “sucesiones de Cauchy” o sucesiones fundamentales, introducida por Cantor. Aunque ésta requiere pasar a un conjunto cociente por una relación de equivalencia, y es algo menos intuitiva, pero en compensación luego usarás mejor y con más soltura las sucesiones de Cauchy de los reales y complejos; sin embargo la construcción de Dedekind solo sirve para esa ocasión, como los vestidos de novia.

El axioma de completitud (que todo subconjunto de R no vacío y acotado superiormente tiene extremo superior o supremo) admite muchas formulaciones equivalentes (a una de ellas la llamó Dedekind Postulado de Continuidad). Si te parece que no hace falta tanta insistencia en el axioma de completitud prueba a “demostrar” de manera satisfactoria y rigurosa, no solo intuitiva, cosas como éstas:

1) La sucesión An= 1 / (1⁵*1!) + 1 / (2⁵*2!) + 1 / (3⁵*3!) + …+1 / n⁵*n!

es convergente en R. (Para no emplear el manido ejemplo de 1.4, 1.41…que todo el mundo sabe que “tiende a raíz cuadrada de 2”, sin darse cuenta de que aún no saben qué es raíz cuadrada de 2: ¿cómo aproximarse a algo que “tal vez” no exista?)

2) 3^(raíz cuadrada de 2) * 3^(raíz cúbica de 7) =

3^(raíz cuadrada de 2 + raíz cúbica de 7). Es decir, al multiplicar potencias de la misma base real positiva se suman los exponentes, aunque sean irracionales ambos, uno solo o ninguno.

3) Sabrás que no hay un nº racional que elevado al cuadrado sea igual a 2.

Pero esto solo no demuestra que “la raíz cuadrada de 2 es irracional”, como se dice en muchos libros malos, sino que ningún nº racional elevado al cuadrado es 2. Tampoco ningún número racional elevado al cuadrado es -1, y no por eso la raíz cuadrada de -1 “es” irracional, de hecho no “es” nada, no existe en R.

Para decir que 2^(1/2) “es” irracional, primero hay que demostrar que “es”, que existe: es decir, que en R existe un nº cuyo cuadrado es exactamente 2, y si lo demuestras (inténtalo) entonces, en conexión con la primera afirmación sí queda demostrado que la raíz cuadrada de 2 es irracional.

En los tres casos, y muchos otros (la propia existencia del número e o del número Pi) hay que emplear el axioma de completitud, la existencia del supremo o cualquiera de sus muchas formulaciones equivalentes; como, por ejemplo, el principio de que para todo subconjunto de R, no vacío y acotado inferiormente, existe el extremo inferior o ínfimo, o que “toda sucesión monótona y acotada converge”, o que si tenemos una sucesión de intervalos de R no vacíos, cerrados, acotados y anidados -o encajados- (cada uno contiene al siguiente, como las muñecas rusas) la intersección de esa familia de intervalos es no vacía, y si la medida de esos intervalos tiende a cero, la intersección se reduce a un solo punto.

A partir de ese dominio, cuando lo alcances, podrás comprender bien el concepto de límite de una sucesión y suma de una serie infinita y demostrar por ti mismo que el lím. de la suma y el producto de dos sucesiones convergentes es, respectivamente, la suma y el producto de los límites.

De ahí pasas a la continuidad de funciones, y cuando manejes bien esas propiedades “topológicas”, y sus profundas consecuencias, como la acotación de funciones continuas en intervalos cerrados y acotados, la existencia de máximo y mínimo absolutos en esas condiciones, o el teorema de Bolzano, puedes pasar al cálculo diferencial e integral; aunque es muy didáctica la introducción al cálculo integral antes que el diferencial, que es como se desarrolló históricamente el cálculo infinitesimal. Luego el cálculo diferencial te lleva a los sorprendentemente potentes Primero y Segundo teorema fundamental del cálculo. Lástima que se estudien a menudo como si fueran obvios, cuando hubo que esperar siglos desde Arquímedes hasta Leibniz y Newton para encontrar que la derivada y la integral son, en ciertas condiciones muy generales, operaciones inversas. No es una definición… ¡es un gran hallazgo!

Ese programa lo desarrolla con claridad magistral Apostol en su obra modélica CALCULUS (Volumen 1).

Si quieres rigor total, prepara bicarbonato para digerir Principios de Análisis Matemático, de Walter Rudin (Wisconsin), una obra maestra, pero condensada y concisa hasta extremos sádicos; debes tú mismo ir rellenando lagunas con notas que ocupan tanto o más que el propio libro de Rudin.

También es excelente el CALCULUS de Spivak, pero está pensado sobre todo para agradar a Spivak, no al principiante, que puede quedarse a oscuras en algunos momentos, aunque es cierto que al final se aclara todo, como en las novelas de misterio, y está escrito con gran fuerza narrativa, entusiasmo matemático y hasta sentido del humor.

Si solo quieres manejar operativamente los conceptos y hacer problemas corrientes, podrás derivar y aún integrar correctamente sin comprender lo que es un límite (!!). Por ahí no se va a ninguna parte interesante.

Si te sirve, el mejor consejo es NO SALTARSE NADA; hay observaciones en los textos de análisis que parecen superfluas o innecesariamente alambicadas, pero son la clave para entender todo. No “resumas” cada tema, no des más importancia a lo “fundamental”: todo es fundamental.

Lo primero es que recorras paso a paso una construcción del cuerpo de los números reales, la que quieras. Especialmente recomendables hay dos: la de las cortaduras de Dedekind, preciosa y totalmente rigurosa, no ha pasado el tiempo por ella, fue la primera vez que se “definió” correctamente qué es exactamente un número irracional (es nada menos que un “agujero” en la recta racional; se opera con esos “agujeros” como si fueran números, hasta que terminamos llamándolos números). Y la otra es la de las “sucesiones de Cauchy” o sucesiones fundamentales, introducida por Cantor. Aunque ésta requiere pasar a un conjunto cociente por una relación de equivalencia, y es algo menos intuitiva, pero en compensación luego usarás mejor y con más soltura las sucesiones de Cauchy de los reales y complejos; sin embargo la construcción de Dedekind solo sirve para esa ocasión, como los vestidos de novia.

El axioma de completitud (que todo subconjunto de R no vacío y acotado superiormente tiene extremo superior o supremo) admite muchas formulaciones equivalentes (a una de ellas la llamó Dedekind Postulado de Continuidad). Si te parece que no hace falta tanta insistencia en el axioma de completitud prueba a “demostrar” de manera satisfactoria y rigurosa, no solo intuitiva, cosas como éstas:

1) La sucesión An= 1 / (1⁵*1!) + 1 / (2⁵*2!) + 1 / (3⁵*3!) + …+1 / n⁵*n!

es convergente en R. (Para no emplear el manido ejemplo de 1.4, 1.41…que todo el mundo sabe que “tiende a raíz cuadrada de 2”, sin darse cuenta de que aún no saben qué es raíz cuadrada de 2: ¿cómo aproximarse a algo que “tal vez” no exista?)

2) 3^(raíz cuadrada de 2) * 3^(raíz cúbica de 7) =

3^(raíz cuadrada de 2 + raíz cúbica de 7). Es decir, al multiplicar potencias de la misma base real positiva se suman los exponentes, aunque sean irracionales ambos, uno solo o ninguno.

3) Sabrás que no hay un nº racional que elevado al cuadrado sea igual a 2.

Pero esto solo no demuestra que “la raíz cuadrada de 2 es irracional”, como se dice en muchos libros malos, sino que ningún nº racional elevado al cuadrado es 2. Tampoco ningún número racional elevado al cuadrado es -1, y no por eso la raíz cuadrada de -1 “es” irracional, de hecho no “es” nada, no existe en R.

Para decir que 2^(1/2) “es” irracional, primero hay que demostrar que “es”, que existe: es decir, que en R existe un nº cuyo cuadrado es exactamente 2, y si lo demuestras (inténtalo) entonces, en conexión con la primera afirmación sí queda demostrado que la raíz cuadrada de 2 es irracional.

En los tres casos, y muchos otros (la propia existencia del número e o del número Pi) hay que emplear el axioma de completitud, la existencia del supremo o cualquiera de sus muchas formulaciones equivalentes; como, por ejemplo, el principio de que para todo subconjunto de R, no vacío y acotado inferiormente, existe el extremo inferior o ínfimo, o que “toda sucesión monótona y acotada converge”, o que si tenemos una sucesión de intervalos de R no vacíos, cerrados, acotados y anidados -o encajados- (cada uno contiene al siguiente, como las muñecas rusas) la intersección de esa familia de intervalos es no vacía, y si la medida de esos intervalos tiende a cero, la intersección se reduce a un solo punto.

A partir de ese dominio, cuando lo alcances, podrás comprender bien el concepto de límite de una sucesión y suma de una serie infinita y demostrar por ti mismo que el lím. de la suma y el producto de dos sucesiones convergentes es, respectivamente, la suma y el producto de los límites.

De ahí pasas a la continuidad de funciones, y cuando manejes bien esas propiedades “topológicas”, y sus profundas consecuencias, como la acotación de funciones continuas en intervalos cerrados y acotados, la existencia de máximo y mínimo absolutos en esas condiciones, o el teorema de Bolzano, puedes pasar al cálculo diferencial e integral; aunque es muy didáctica la introducción al cálculo integral antes que el diferencial, que es como se desarrolló históricamente el cálculo infinitesimal. Luego el cálculo diferencial te lleva a los sorprendentemente potentes Primero y Segundo teorema fundamental del cálculo. Lástima que se estudien a menudo como si fueran obvios, cuando hubo que esperar siglos desde Arquímedes hasta Leibniz y Newton para encontrar que la derivada y la integral son, en ciertas condiciones muy generales, operaciones inversas. No es una definición… ¡es un gran hallazgo!

Ese programa lo desarrolla con claridad magistral Apostol en su obra modélica CALCULUS (Volumen 1).

Si quieres rigor total, prepara bicarbonato para digerir Principios de Análisis Matemático, de Walter Rudin (Wisconsin), una obra maestra, pero condensada y concisa hasta extremos sádicos; debes tú mismo ir rellenando lagunas con notas que ocupan tanto o más que el propio libro de Rudin.

También es excelente el CALCULUS de Spivak, pero está pensado sobre todo para agradar a Spivak, no al principiante, que puede quedarse a oscuras en algunos momentos, aunque es cierto que al final se aclara todo, como en las novelas de misterio, y está escrito con gran fuerza narrativa, entusiasmo matemático y hasta sentido del humor.

Si solo quieres manejar operativamente los conceptos y hacer problemas corrientes, podrás derivar y aún integrar correctamente sin comprender lo que es un límite (!!). Por ahí no se va a ninguna parte interesante.

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