¿Cuál es el origen de la división en 360° para la circunferencia? ¿Por qué no otra cantidad?

El origen es por dos motivos:

1. Por un lado, la civilización sumeria (3000 a 2300 a.C.) y de la antigua Babilonia (2000 a 1600 a.C), hace más de 3600 años o incluso hace 5000 años, usaba el sistema sexagesimal, es decir, de base 60.
   Matemática babilónica - Wikipedia, la enciclopedia libre
2. Por otro lado, que el año tiene 365 días, aproximadamente. Y el cielo tiene forma de circunferencia…

De lo anterior se deduce que se definió el “grado” angular como 1/360 de una vuelta, porque se acerca mucho a la cantidad de ángulo que parecen girar las estrellas en un día (observándolas desde un lugar del Planeta Tierra).
Los mismos instrumentos de medida de ángulos que usaban para mirar el cielo, y medir la posición de las estrellas podían usarlo para medir los ángulos encima de una mesa o en un edificio.

La razón número 1 es la misma razón por la que las horas tienen 60 minutos, y los minutos tienen 60 segundos. Y también, cada grado de los 360 se divide 60 minutos de ángulo y cada minuto de ángulo en 60 segundos. Así una circunferencia tiene 6*60 grados, 6*60*60 minutos y 6*60*60*60 segundos.

Nosotros usamos la base 10, y cuando decimos 273 estamos diciendo: 2 veces 10*10 + 7 veces 10 + 3 = 2*100 + 7*10 + 3.
Sin embargo, los sumerios, con base 60 dirían: 4 veces 60+ 33. Escribirían ese mismo número como “4_33” [en base 60]. Así se encontraron escritos algunos números en la escritura sumeria, grabados en piedra o en unas tablillas, como una famosa tablilla de barro de alrededor de 1800 a.C. (hace unos 3800 años), de la antigua Babilonia, conocida como Plimpton 322.

El 60 es “5 veces 12” y el 12 se podía representar con las 3 falanges de 4 dedos, usando el pulgar para señalar la falange concreta.

[ilustración de @marianocollante ]

La otra mano, con sus 5 dedos, se usaría para multiplicar por 5 y llegar a 60. Por ejemplo, el 33 sería 2*12 + 9 y con las manos, una mano levantaría 2 dedos, para representar el 2*12 y la otra señalaría con el pulgar la falange 9 de las 12 disponibles.

De esa forma, una vuelta, en sistema sumerio serían “6_0” [base 60] grados, o, también “6_0_0” minutos [base 60], o también “6_0_0_0” [base 60] segundos de ángulo.

La ventaja de la base 60, entre otras, era que tiene muchos divisores: es divisible por 2, por 3, por 4, por 5, por 6, por 10, por 12, por 15, por 20 y por 30.

De esa forma, sabes, por ejemplo, que el 273 es divisible por 3, porque se escribe “4_33” y el 33 es claramente divisible por 3.

En el caso de 360 es divisible por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10… solamente falta el 7.
Es decir, podrías dividir el “año” en 2 partes (2 veces 180 “días” = 2 semestres), 3 partes (3 veces 120 días = 3 cuatrimestres), 4 partes (4 veces 90 días = 4 trimestres o 4 estaciones), 5 partes (5 veces 72 días = 5 veces "2 meses y 12 días"), 6 partes (6 veces 60 días = 6 veces 2 meses), 8 partes (8 veces 45 días = 8 veces ‘mes y medio’) 9 partes (9 veces 40 días = 9 veces ‘un mes y 10 días’) y 10 partes (10 veces 36 = 10 veces ‘un mes y 6 días’).

El mes, entendido como un ciclo de luna, realmente tiene una duración entre 27 y 28 días, pero se elegía 30 días para simplificar, ya que 30 es la mitad de 60.

No era muy exacto, pero sí bastante práctico.

Quisiera añadir algo más.
Con un poco de conocimiento de trigonometría sabemos que el seno de 30º es 0.5.
Es decir, al girar la tercera parte de un cuadrante la "elevación" alcanzada por el arco es de la mitad del radio. Y eso se conocía hace miles de años…
Por eso, sea cual fuese el número de "grados" que se eligiese para una circunferencia, era muy conveniente que fuese un múltiplo de 12. Y de los posibles múltiplos de 12 los que estaban más cercanos al número de días de un año eran 360 y 372 siendo el 360 muchísimo más conveniente: está más cercano a 365, es múltiplo de 60, es divisible por 5, y por 10 (siendo el 10 un número muy conveniente para el ser humano, por los 10 dedos, y que usaban también los sumerios hace miles de años), y es divisible por 8 y por 9.