¿Cuántos usos diferentes tiene el triángulo de Pascal?

¿Cuántos usos diferentes tiene el triángulo de Pascal?

Realmente ni siquiera hoy en día se conocen todas las aplicaciones de esta lista infinita de números naturales, ordenados de manera tan simétrica y misteriosa.

En la Edad Media fue objeto de creencias y supersticiones numerológicas, debido a la inextricable red de relaciones, relaciones entre relaciones, relaciones entre relaciones entre relaciones…etc. que subyacen en ese triángulo aritmético.

(Cada fila empieza y acaba en 1; cada número>1 es la suma de los dos que tiene encima)

Uno de los usos más directos es calcular el número de combinaciones (sin repetición) de m elementos tomados de n en n: Cₘ, ₙ. Por ejemplo, si tenemos 10 jugadores de un deporte determinado y queremos elegir un equipo de 4 de ellos, podemos hacerlo de

C₁₀, ₄ maneras. Miramos en la fila 11 del triángulo (empieza por la fila cero, luego el 10 está en el lugar 11) y encontramos en el quinto lugar (4+1) el número 210, que es el número de maneras de elegir 4 elementos distintos entre 10.

Si queremos encontrar el n-ésimo número triangular, solo hay que mirar el triángulo de nuevo y fijarse en la segunda diagonal del triángulo (no consideramos 1,1,1… como diagonal, sino como un lado), bien por la derecha o por la izquierda (el triángulo es simétrico en muchos sentidos): 1,3,6,10,15,21…

Se llaman números triangulares a los de la forma 1+2+…+n, es decir, suma de todos los enteros consecutivos distintos empezando desde el 1 y acabando en cierto n natural. Quienes conocen el juego de los bolos, entenderán porqué se llaman triangulares a estos números: se pueden disponer colocando las "unidades" que lo componen como si fueran bolos dispuestos en triángulo (1 en la primera fila, 2 detrás, en la segunda, 3 detrás, en la tercera fila…,etc.).

Por ejemplo, 10 es un número triangular, pues 1+2+3+4=10.

Esto no solo es un pasatiempo numérico… ¡ni mucho menos!. Ya conjeturó Fermat que todo entero positivo es la suma de como máximo 3 números triangulares, resultado de la teoría de números que no es nada trivial, y tiene ese halo de misterio propio de las creencias místicas y numerológicas…

Asignando el valor 1 a cada punto del gráfico obtenemos en la Figura 1 adjunta la imagen geométrica de los números triangulares:

LOS NÚMEROS POLIGONALES

En la figura 2 vemos los números triángulo-piramidales, que son sumas sucesivas de los números triangulares…1, 4 =1+3, 10 = 1+3+6, 20 =1+3+6+10…; su fórmula general es:

Cₙ+₂, 3 = [n+2↓3 ] (coeficiente binomial n+2 sobre 3, con n>0), y podemos encontrar estos números en el triángulo de Pascal, en la tercera diagonal (por la derecha o por la izquierda, indistintamente; y no consideramos 1,1,1… como diagonal sino como un lado del triángulo) esto es, 1–4–10–20… etc.

En las demás figuras vemos la representación de diversos números poligonales, que pertenecen a la amplia categoría de los llamados números figurados.

Fue Gauss quien primero demostró, en 1796 -siendo casi adolescente- la conjetura de Fermat, en el caso 3 : que cada entero positivo es la suma de tres números triangulares (como máximo, y en algunos casos pueden ser solo uno o dos), y escribió en su diario la famosa palabra griega que exclamó Arquímedes: ¡EUREKA! seguida de un recordatorio abreviado de la tesis del teorema:

ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ

Este asunto de los números triangulares merecería un tomo de 300 páginas como mínimo, puesto que se relaciona con las funciones Theta, en particular con la Theta de Riemann y los profundos trabajos de Ramanujan y Hardy en teoría analítica de números.

Euler trató de probar que todo entero positivo es la suma de, como máximo, cuatro cuadrados enteros positivos, pero no lo consiguió, y basándose en su trabajo previo terminó Lagrange la demostración completa. En la figura 3 podemos ver los números cuadrados perfectos, que son sumas sucesivas de impares:

1+3+5+…+(2n-1)= n²

(Los usos de esta identidad rebasarían por sí solos el espacio dedicado a una respuesta de este foro, y pueden verse, algunos de ellos, en el precioso libro de Fibonacci, su obra maestra: el Liber quadratorum).

Y, en consecuencia, pueden verse esos cuadrados perfectos en el triángulo de Pascal moviéndose por la primera diagonal (de cualquiera de los dos lados, sin contar los 1,1,1…que no son una diagonal) 1, o 3 o 5 o7…etc. saltos…

Fue Cauchy quien primero demostró el teorema general que Fermat había conjeturado:

Cada entero positivo es la suma de, como máximo, n números n-poligonales.

(Tres triangulares, cuatro cuadrados, cinco pentagonales…etc).

Como en la segunda fila del triángulo de Pascal (por el lado derecho o por el izquierdo, es indiferente), aparece la sucesión infinita de todos los enteros positivos, es decir, 1,2,3,4…vemos que:

Toda propiedad aritmética de los enteros positivos está relacionada, de una manera u otra ( incluso de infinitas maneras), con el triángulo de Pascal.

Por ejemplo, [n↓0]+ [n↓1]+ [n↓2]+… + [n↓n]=2ⁿ;

[n↓0]+ [n↓2]+ [n↓4]+…=[n↓1]+ [n↓3]+ [n↓5]+…= 2ⁿ⁻¹

[n↓0]²+ [n↓1]²+ [n↓2]²+… + [n↓n]²=[2n↓n]

Las potencias de 2 desempeñan un papel muy especial que ha sido objeto de investigaciones muy variadas hasta la actualidad y mantiene problemas abiertos, realmente difíciles: determinar porqué las potencias de 2 se relacionan de muchas maneras extrañas con el resto de números combinatorios o coeficientes binómicos ( o binomiales).

Para citar otra "utilidad" algebraica muy simple y directa, la fórmula de la potencia de un binomio, llamada hoy día Binomio de Newton, pese a ser muy anterior a Newton, se puede desarrollar sin cálculo alguno, empleando como coeficientes cada línea correspondiente al exponente de la potencia en el triángulo de Pascal.

Por ejemplo, (a+b)⁷, vamos poniendo los términos a⁷, a⁶b, a⁵b²…etc, donde los exponentes de a descienden desde 7 y los de b ascienden desde 0; y como coeficientes ponemos los números de la fila 8 (=7+1), en el triángulo de Pascal:

1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1, luego:

(a+b)⁷ = a⁷+7a⁶b+21a⁵b²+35a⁴b³+35a³b⁴+21a²b⁵+7ab⁶+b⁷.

El triángulo de Pascal (también llamado triángulo de Tartaglia o triángulo aritmético) ofrece infinitas relaciones con los números de Fibonacci, que son sofocantemente numerosas y profundas: un laberinto infinito en toda regla.

Y en consecuencia, también se relaciona ese triángulo Magno con la Divina Proporción o Proporción Áurea, medida por el número de oro Φ=(1+√5)/2=1.618…de importancia esencial en Arquitectura, Pintura, Música, Filosofía del Arte y toda actividad estética donde las proporciones desempeñen algún papel.

Tales relaciones con los números de Fibonacci permiten descubrir propiedades sorprendentes en las dos direcciones, para explorar el triángulo de Pascal o para averiguar más propiedades de los números de Fibonacci.

Pero, sin extenderme más, por citar alguna propiedad verdaderamente asombrosa y misteriosa en grado máximo (corríjanme si exagero) vean los lectores que no conozcan la siguiente propiedad (bueno, y los que la conozcan también vuelvan a verla, a mí no me cansa verla continuamente): fíjense en lo que pasa en el triángulo de Pascal cuando se "apagan" todos los números pares como si fueran bombillas, y se dejan "encendidos" solo los impares:

Aparece una versión aritmética del triángulo de Sierpinski, joya geométrica fractal, que se produce iterando hasta el infinito la operación de suprimir el triángulo equilátero central, determinado por los puntos medios de los lados y dispuesto en posición inversa, en cada triángulo equilátero componente. Sus primeras aproximaciones pueden verse en la figura adjunta:

Y no solo "apagando" los números pares, sino "apagando" o "encendiendo" los múltiplos de otros números primos aparecen triángulos como el de Sierpinski dentro del triángulo aritmético.

Si esto no les parece sublime, es que desconocen esa palabra: búsquenla en el diccionario.