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¿Qué problema matemático aparentemente fácil es realmente muy difícil de resolver?

Matemática

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Hace más de un mes

Sería bastante sencillo citar cualquier problema abierto y fácil de enunciar, como por ejemplo el problema 3x+1, también llamado Conjetura de Collatz o Conjetura de Ulam.

Pero me parece más interesante, dada la redacción de esta pregunta, citar un problema clásico, aparentemente fácil, o al menos "rutinario", pero finalmente resuelto con grandísimas dificultades.

FIGURA 1:

En la FIGURA 1 podemos ver un triángulo con sus tres bisectrices interiores, que se cortan en el incentro del triángulo, que es a su vez el centro del círculo inscrito, de radio r.

Así como es sencillo resolver un triángulo plano (esto significa calcular sus tres lados y sus tres ángulos) cuando se conocen sus tres alturas o sus tres medianas, o sus tres lados, o los tres radios de los círculos exinscritos; y en general, es posible resolver el triángulo por medios elementales conociendo tres elementos lineales o incluso el área del triángulo junto con otros dos elementos secundarios, en muchos casos posibles, sin embargo, resolver un triángulo conociendo el valor numérico de las tres bisectrices es de una dificultad desmedida: una dificultad tanto geométrica como algebraica.

Si expresamos las bisectrices interiores en función de los tres lados, suponiendo que los lados del triángulo miden a, b, c y los ángulos opuestos son, respectivamente A, B, C, representando las bisectrices interiores por las letras griegas α , β , γ , tendremos las conocidas fórmulas trigonométricas:

α = [2bc/(b+c) ] * cos A/2

β = [2ac/(a+c) ] * cos B/2

γ = [2ab/(a+b) ] * cos C/2

Si tratamos de despejar los valores de los lados a, b, c como las tres incógnitas de un sistema de tres ecuaciones, llegamos al sistema siguiente, tomando en cuenta las clásicas fórmulas de la trigonometría plana, donde p es el semiperímetro, p = (a+b+c)/2:

cos A/2 = √[ p(p-a) / (bc) ]

cos B/2 = √[ p(p-b) / (ac) ]

cos C/2 = √[ p(p-c) / (ab) ] ; de donde se deduce el sistema :

[2bc/(b+c) ] * √[ p(p-a) / (bc) ] = α

[2ac/(a+c) ] * √[ p(p-b) / (ac) ] = β

[2ab/(a+b) ] * √[ p(p-c) / (ab) ] = γ

Estas tres ecuaciones irracionales, una vez racionalizadas, se convierten en ecuaciones de cuarto grado.

La eliminación directa de dos incógnitas, para calcular la tercera, mediante la teoría general de la eliminación (que emplea los determinantes de Sylvester, o las resultantes de Cayley…etc.) podría conducir, por el teorema de Bézout, a una ecuación final de grado

4³ = 64 (!!), y coeficientes enormes, algo punto menos que intratable en el plano práctico, aunque posible en teoría.

Los atajos empleando relaciones geométricas recónditas, de las que suministra la llamada Geometría del triángulo tampoco parece que hayan dado un resultado suficientemente simple, y a decir verdad, lo más próximo a una solución aceptable es el resultado de Barbarin, profesor en Burdeos que, en 1896, demostró que el problema se puede reducir, con muchísimo y penoso cálculo previo, a la resolución de una ecuación de grado 14.

Las técnicas de construcción geométrica también se han ensayado pero las soluciones tienen más mérito que verdadera utilidad.

Si fuera necesario calcular efectivamente los lados en función de las bisectrices, en un caso práctico, siempre podríamos recurrir a la solución numérica mediante los ordenadores, con software a la medida, aunque esas soluciones pueden dar algunos problemas cuando los datos son demasiado "inconvenientes" (problemas de cierta inestabilidad en casos muy particulares, que complica a veces el cálculo numérico, o singularidades numéricas de diversos tipos, que aunque no sean frecuentes, son posibles), todo lo cual se puede superar aumentando suficientemente la precisión de los datos (lo que crea otros problemas) y acotando adecuadamente los errores que se producen en los -tal vez- millares de redondeos necesarios.

Pero en definitiva, una solución clara, satisfactoria y práctica, no la tenemos, a pesar de que el problema, teóricamente, está resuelto.

La pregunta no matemática, sino filosófica que queda en el aire es:

¿Porqué tan aplastante dificultad con las bisectrices, y no con los demás elementos como alturas, medianas, radios de círculos notables…etc.?

Sería bastante sencillo citar cualquier problema abierto y fácil de enunciar, como por ejemplo el problema 3x+1, también llamado Conjetura de Collatz o Conjetura de Ulam.

Pero me parece más interesante, dada la redacción de esta pregunta, citar un problema clásico, aparentemente fácil, o al menos "rutinario", pero finalmente resuelto con grandísimas dificultades.

FIGURA 1:

En la FIGURA 1 podemos ver un triángulo con sus tres bisectrices interiores, que se cortan en el incentro del triángulo, que es a su vez el centro del círculo inscrito, de radio r.

Así como es sencillo resolver un triángulo plano (esto significa calcular sus tres lados y sus tres ángulos) cuando se conocen sus tres alturas o sus tres medianas, o sus tres lados, o los tres radios de los círculos exinscritos; y en general, es posible resolver el triángulo por medios elementales conociendo tres elementos lineales o incluso el área del triángulo junto con otros dos elementos secundarios, en muchos casos posibles, sin embargo, resolver un triángulo conociendo el valor numérico de las tres bisectrices es de una dificultad desmedida: una dificultad tanto geométrica como algebraica.

Si expresamos las bisectrices interiores en función de los tres lados, suponiendo que los lados del triángulo miden a, b, c y los ángulos opuestos son, respectivamente A, B, C, representando las bisectrices interiores por las letras griegas α , β , γ , tendremos las conocidas fórmulas trigonométricas:

α = [2bc/(b+c) ] * cos A/2

β = [2ac/(a+c) ] * cos B/2

γ = [2ab/(a+b) ] * cos C/2

Si tratamos de despejar los valores de los lados a, b, c como las tres incógnitas de un sistema de tres ecuaciones, llegamos al sistema siguiente, tomando en cuenta las clásicas fórmulas de la trigonometría plana, donde p es el semiperímetro, p = (a+b+c)/2:

cos A/2 = √[ p(p-a) / (bc) ]

cos B/2 = √[ p(p-b) / (ac) ]

cos C/2 = √[ p(p-c) / (ab) ] ; de donde se deduce el sistema :

[2bc/(b+c) ] * √[ p(p-a) / (bc) ] = α

[2ac/(a+c) ] * √[ p(p-b) / (ac) ] = β

[2ab/(a+b) ] * √[ p(p-c) / (ab) ] = γ

Estas tres ecuaciones irracionales, una vez racionalizadas, se convierten en ecuaciones de cuarto grado.

La eliminación directa de dos incógnitas, para calcular la tercera, mediante la teoría general de la eliminación (que emplea los determinantes de Sylvester, o las resultantes de Cayley…etc.) podría conducir, por el teorema de Bézout, a una ecuación final de grado

4³ = 64 (!!), y coeficientes enormes, algo punto menos que intratable en el plano práctico, aunque posible en teoría.

Los atajos empleando relaciones geométricas recónditas, de las que suministra la llamada Geometría del triángulo tampoco parece que hayan dado un resultado suficientemente simple, y a decir verdad, lo más próximo a una solución aceptable es el resultado de Barbarin, profesor en Burdeos que, en 1896, demostró que el problema se puede reducir, con muchísimo y penoso cálculo previo, a la resolución de una ecuación de grado 14.

Las técnicas de construcción geométrica también se han ensayado pero las soluciones tienen más mérito que verdadera utilidad.

Si fuera necesario calcular efectivamente los lados en función de las bisectrices, en un caso práctico, siempre podríamos recurrir a la solución numérica mediante los ordenadores, con software a la medida, aunque esas soluciones pueden dar algunos problemas cuando los datos son demasiado "inconvenientes" (problemas de cierta inestabilidad en casos muy particulares, que complica a veces el cálculo numérico, o singularidades numéricas de diversos tipos, que aunque no sean frecuentes, son posibles), todo lo cual se puede superar aumentando suficientemente la precisión de los datos (lo que crea otros problemas) y acotando adecuadamente los errores que se producen en los -tal vez- millares de redondeos necesarios.

Pero en definitiva, una solución clara, satisfactoria y práctica, no la tenemos, a pesar de que el problema, teóricamente, está resuelto.

La pregunta no matemática, sino filosófica que queda en el aire es:

¿Porqué tan aplastante dificultad con las bisectrices, y no con los demás elementos como alturas, medianas, radios de círculos notables…etc.?

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