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¿Cuál es un ejemplo de demostración matemática elegante?

Matemática

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Hace más de un mes

Uno de los problemas más sencillos y comprensibles para el gran público, aún sin formación matemática específica, que se pueden proponer como ejemplo de "demostración elegante", es el siguiente problema de geometría combinatoria:

Tenemos una cuadrícula 10x10, son en total 100 cuadraditos pequeños, y suprimimos dos casillas en esquinas opuestas, por ejemplo las esquinas inferior izquierda y la superior derecha, como se ve en la figura.

Se desea saber si es posible recubrir las 98 casillas restantes con 49 fichas de dominó, entendiendo que cada ficha puede tapar exactamente dos casillas (en vertical o en horizontal, no en diagonal): por ejemplo, con una ficha horizontal podemos cubrir los cuadraditos (1,3) y (2,3), o bien con una en vertical podemos cubrir las casillas o cuadraditos (6,1) y (6,2).

Aunque haya 98 casillas (100 - 2) y 49 fichas de dominó, es imposible cubrir de este modo todas las 98 casillas.

¡¡ PIÉNSELO EL LECTOR ANTES DE VER LA SOLUCIÓN !!

La idea "genial" para demostrar que es imposible es una elegante técnica que se usa mucho en combinatoria: la técnica de coloración.

Recordando cómo están pintadas las casillas en un tablero de ajedrez, que tiene la mitad blancas y la mitad negras, pintamos de negro las 49 casillas que representan la mitad del tablero, poniendo por ejemplo de color negro, la esquina tachada (1,10),

y las casillas (1,8), (1,6), (1,4) y (1,2) (a salto de dos unidades, una sí - una no), igualmente con las siguientes columnas: (2,1), (2,3), (2,5)…etc.

Las casillas de la mitad restante las dejamos en blanco.

Cada ficha de dominó recubre una casilla blanca y una negra; luego, si fuera posible recubrir toda la cuadrícula entera con 49 fichas, habríamos cubierto exactamente 49 casillas blancas y 49 casillas negras.

Pero las dos esquinas suprimidas son negras, de manera que como eran al principio 50 blancas y 50 negras, en la cuadrícula propuesta quedan 48 casillas negras y el resto (50) de color blanco. Como no hay el mismo número de casillas blancas que negras, resultará imposible recubrir las 98 casillas con 49 fichas de dominó, ni con ningún otro número de fichas.

En el fondo, la técnica de coloración podría replantearse en téminos exclusivamente aritméticos (útil para matemáticos ciegos, o para ordenadores e inteligencia artificial): una casilla es negra cuando es impar la suma de sus coordenadas: (10,1), (7,4)…etc. son negras, pues

10+1=impar, 7+4 = impar…etc.

Mientras que cuando la suma de coordenadas es par, la casilla es blanca:

(4,6) = blanca, pues 4+6 es par, y (5,9) es blanca, pues 5+9= par.

Naturalmente, si se elige otro sistema de coordenadas distinto al de la figura, podría ser al contrario:

suma par = negra ; suma impar = blanca; por ejemplo, en el tablero de ajedrez convencional, 8x8, si tomamos las coordenadas como números de fila y columna, la casilla a1 sería (1,1) = negra, pues 1 + 1=par;

igualmente, con ese sistema de coordenadas, la casilla h1 sería

(1,8) = blanca, pues 1+ 8 = impar.

Así que pueden clasificarse las casillas en dos grupos: las que dan suma par y las que dan suma impar; en el fondo, es un problema de paridad, o sea, de congruencias módulo 2.

Pero es muchísimo más visual e intuitivo pensar en términos de colores.

En problemas mucho más complejos pueden usarse varios colores, por supuesto, según el enunciado del problema.

Si algún lector supone que esto solo es una curiosidad recreativa, se halla en un completo error: este tipo de técnicas de coloración desempeña una gran papel en Combinatoria (Teoría de Ramsey y Teoría de grafos, por ejemplo) y en general, en el campo de la matemática discreta, y se relaciona con fascinantes áreas de la investigación matemática actual.

Uno de los problemas más sencillos y comprensibles para el gran público, aún sin formación matemática específica, que se pueden proponer como ejemplo de "demostración elegante", es el siguiente problema de geometría combinatoria:

Tenemos una cuadrícula 10x10, son en total 100 cuadraditos pequeños, y suprimimos dos casillas en esquinas opuestas, por ejemplo las esquinas inferior izquierda y la superior derecha, como se ve en la figura.

Se desea saber si es posible recubrir las 98 casillas restantes con 49 fichas de dominó, entendiendo que cada ficha puede tapar exactamente dos casillas (en vertical o en horizontal, no en diagonal): por ejemplo, con una ficha horizontal podemos cubrir los cuadraditos (1,3) y (2,3), o bien con una en vertical podemos cubrir las casillas o cuadraditos (6,1) y (6,2).

Aunque haya 98 casillas (100 - 2) y 49 fichas de dominó, es imposible cubrir de este modo todas las 98 casillas.

¡¡ PIÉNSELO EL LECTOR ANTES DE VER LA SOLUCIÓN !!

La idea "genial" para demostrar que es imposible es una elegante técnica que se usa mucho en combinatoria: la técnica de coloración.

Recordando cómo están pintadas las casillas en un tablero de ajedrez, que tiene la mitad blancas y la mitad negras, pintamos de negro las 49 casillas que representan la mitad del tablero, poniendo por ejemplo de color negro, la esquina tachada (1,10),

y las casillas (1,8), (1,6), (1,4) y (1,2) (a salto de dos unidades, una sí - una no), igualmente con las siguientes columnas: (2,1), (2,3), (2,5)…etc.

Las casillas de la mitad restante las dejamos en blanco.

Cada ficha de dominó recubre una casilla blanca y una negra; luego, si fuera posible recubrir toda la cuadrícula entera con 49 fichas, habríamos cubierto exactamente 49 casillas blancas y 49 casillas negras.

Pero las dos esquinas suprimidas son negras, de manera que como eran al principio 50 blancas y 50 negras, en la cuadrícula propuesta quedan 48 casillas negras y el resto (50) de color blanco. Como no hay el mismo número de casillas blancas que negras, resultará imposible recubrir las 98 casillas con 49 fichas de dominó, ni con ningún otro número de fichas.

En el fondo, la técnica de coloración podría replantearse en téminos exclusivamente aritméticos (útil para matemáticos ciegos, o para ordenadores e inteligencia artificial): una casilla es negra cuando es impar la suma de sus coordenadas: (10,1), (7,4)…etc. son negras, pues

10+1=impar, 7+4 = impar…etc.

Mientras que cuando la suma de coordenadas es par, la casilla es blanca:

(4,6) = blanca, pues 4+6 es par, y (5,9) es blanca, pues 5+9= par.

Naturalmente, si se elige otro sistema de coordenadas distinto al de la figura, podría ser al contrario:

suma par = negra ; suma impar = blanca; por ejemplo, en el tablero de ajedrez convencional, 8x8, si tomamos las coordenadas como números de fila y columna, la casilla a1 sería (1,1) = negra, pues 1 + 1=par;

igualmente, con ese sistema de coordenadas, la casilla h1 sería

(1,8) = blanca, pues 1+ 8 = impar.

Así que pueden clasificarse las casillas en dos grupos: las que dan suma par y las que dan suma impar; en el fondo, es un problema de paridad, o sea, de congruencias módulo 2.

Pero es muchísimo más visual e intuitivo pensar en términos de colores.

En problemas mucho más complejos pueden usarse varios colores, por supuesto, según el enunciado del problema.

Si algún lector supone que esto solo es una curiosidad recreativa, se halla en un completo error: este tipo de técnicas de coloración desempeña una gran papel en Combinatoria (Teoría de Ramsey y Teoría de grafos, por ejemplo) y en general, en el campo de la matemática discreta, y se relaciona con fascinantes áreas de la investigación matemática actual.

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