Dos trenes, separados inicialmente por 200 km, parten a 50 km/h en sentidos opuestos hasta chocar entre sí. Si al momento de partir una mosca va y...

Este es un famoso problema.
Cuenta la leyenda que una vez le hicieron esta pregunta a John von Neumann.
Tras escuchar el problema, Von Neumann, pensó brevemente y dio la respuesta.
Quien hizo la pregunta, quizá sin conocer mucho a Von Neumann, se sorprendió un poco de que respondiese tan rápido y le dijo:
- Oh, veo que usted conocía el truco. [La mayoría de la gente se pone a calcular los tramos que va recorriendo la mosca y se complica un poco.]
- ¿Qué truco? ¡¡Simplemente sumé la serie de infinitos términos!!

Se trata de una anécdota en tono de humor.
Y plasma la visión superior de una mente muy inteligente, en la cual conceptos complejos como el infinito se vuelven algo trivial, de lo más sencillo, de andar por casa, como una sencilla suma.
Se decía que John von Neumann era más inteligente que Einstein.
Algunos destacan que lo más asombroso de él era lo rápido que podía hacer cálculos en su cabeza.
Pero también era asombrosa su memoria eidética, a veces llamada "memoria fotográfica" y también "memoria absoluta". Era capaz de recitar varias páginas de algún libro (como "Un cuento de dos ciudades", de Dickens) o de un artículo que hubiese leído aunque fuese una sola vez, e incluso de la guía telefónica. Era muy aficionado a organizar fiestas y reuniones sociales y se dice que entretenía a sus amigos mostrándoles esa habilidad.

La anécdota me recuerda al chiste sobre Chuck Norris, que dice que fue capaz de contar hasta infinito… ¡dos veces!.

El "truco" al que se refiere la anécdota es que la mosca siempre viaja a velocidad constante, así que la distancia total recorrida por la mosca puede calcularse con una simple multiplicación, de velocidad por tiempo: 75 km/h · 2 horas = 150 km.

En cuanto a la serie infinita es más complicado, excepto para Von Neumann (jajaja).
En el primer recorrido de la mosca, suponiendo que su velocidad sobre el suelo es 75 km/h y que va hacia un tren que viene a 50 km/h… dado que las velocidades son 3·25 y 2·25 entonces
Vm·T1 = 200 - Vt · T1
T1 = 200 / (Vm + Vt) = 200 km/125 km/h = 8/5 h = 1.6 h = 1h 36min
Y el primer tramo recorrido es S1 = Vm·T1 = 3·25 · (8/5) = 3/5 · 200 km = 120 km
Habiendo avanzado el primer tren Vt·T1 = 50 km/h · 8/5 h = 80 km
Cada tramo es análogo al primero, en sentido proporcional.
En el segundo tramo la distancia es la quinta parte, 40 km …
la mosca recorrería 24 km mientras el otro tren avanza 16 km
y la separación posterior sería 8 km (de nuevo la quinta parte).

La distancia total es esta serie infinita:
d = 200·(3/5) + 200·(1/5)·(3/5) + 200·(1/5)^2·(3/5) + … =
= 200·(3/5) [1 + (1/5) + (1/5)^2 + (1/5)^3 … ]
Entre corchetes hay una serie geométrica, cuya suma infinita es:
S=∑k=0∞rk=11−r=11−15=145=5/4S=∑k=0∞rk=11−r=11−15=145=5/4
d = 200 km · (3/5) · (5/4) = 200 km · 3/4 = 150 km

Mientras que el chiste de Chuck Norris es una exageración imposible (nadie puede contar hasta infinito), sin embargo, los matemáticos sí pueden sumar infinitos términos.

El problema también aparece en la película "Una mente maravillosa", la cual relata la vida de "otro John", el matemático John Forbes Nash Jr., más conocido como John Nash.
En esta película, el problema se cuenta con bicicletas que van a 10 millas por hora y la mosca a una velocidad de 20 millas por hora.
En este otro caso, si están separadas 20 millas, el choque o encuentro se produciría a las 10 millas,
tardando 1 hora y la mosca habría recorrido 20 millas.
Con serie infinita la mosca va a 2/3 de la suma de velocidades. Y el tramo se divide entre 3.

d=20mi⋅23⋅11−13=20mi⋅23⋅32=20mid=20mi·23·11−13=20mi·23·32=20mi

Cuando las velocidades de las bicicletas son diferentes, Va y Vb, resulta:
Va · T = X - Vb·T
T = X/(Va+Vb)
d = Vm · T = X · Vm / (Va + Vb)

Eso en física clásica. Sería interesante plantearlo en física relativista, con velocidades muy grandes.

El caso es que el enunciado aparece al final de la película, hacia 1:57:50 (de un total de 2:15 h de la película completa), cuando Nash tras largos años de recuperación de su esquizofrenia con delirios paranoides vuelve a la universidad a ejercer como profesor / catedrático.
Puede verse en versión original (inglés) al final de este vídeo (2:30).

Después de decir que cuando las bicicletas se encontrasen chocarían y aplastarían a la mosca, lo cual provoca unas leves risas, Nash concluye diciendo que lo que hay que comprender es que es importante saber enfocar los problemas y que las matemáticas son muy específicas.

Según Wikipedia, la época en la que Nash volvió a las clases fue hacia los años 80.
Lo cual significa que en caso de ciertas ambas anécdotas, la de John von Neumann habría ocurrido mucho antes, ya que este falleció en 1957.
En 1994 le concedieron el Premio del Banco de Suecia en memoria de Alfred Nobel, más popularmente conocido como Premio Nobel de Economía (aunque un término menos exacto).
En 1998 se publicó el libro "Una mente prodigiosa" [1], que relata su vida, y se llevaría al cine en 2001 con el mismo nombre.

Curiosamente, antes, en 1978, concedieron a John Nash el premio John von Neumann, un premio que se da a avances teóricos relacionados con investigación operativa y ciencias de gestión.
Aparte de llamarse John ambos, de destacar ambos en matemáticas, y este premio que une ambos nombres, resulta que ambos estuvieron en la misma universidad, Princeton, y ambos hicieron importantes contribuciones a la Teoría de Juegos y economía en general.
El momento más destacado entre ambos fue cuando en 1950, Nash, joven estudiante de doctorado en matemáticas con solo 22 añitos, llamó a la oficina del ya legendario Von Neumann, con 46 años, para contarle la demostración de su Teorema de Existencia: que todos los juegos finitos tienen al menos un equilibrio de Nash si se permiten estrategias mixtas (basadas en probabilidades). Poco después, Nash leería su tesis doctoral sobre este asunto.
Todo esto cierra el círculo con el comienzo de esta respuesta.

Libros interesantes relacionados:

"Matemáticas para divertirse"
de Martin Gardner
Uno de los geniales libros de matemáticas recreativas de Martin Gardner.
El problema aparece en el capítulo 3, "Matemáticas con velocidades". [2]
En este libro se habla de bicicletas con velocidades de 10 km/h
y están separadas 20 km, así que se encuentran al cabo de 1 hora.
La mosca va a 15 km/h, que sí es aproximadamente la velocidad de una mosca.
Así que la mosca recorre una distancia de 15 km/h · 1 h = 15 km.

"El dilema del prisionero. John Von Neumann, la teoría de juegos y la bomba. "
de William Poundstone. (Alianza Editorial - Matemáticas) (1995)
Un libro muy bueno que trata sobre todo acerca de Teoría de Juegos pero narrado como una historia interesante que une el desarrollo cronológico con aspectos biográficos y personales de Von Neumann, hilado con conceptos matemáticos, algoritmos, comportamiento económico, estrategia militar, juegos de mesa, dilemas, anécdotas, biología… y todo envuelto en un contexto histórico, y situaciones reales para pensar. Una joya de libro.

"La teoría de juegos. Una breve introducción. "
de Ken Binmore (Alianza Editorial - Economía) (2007)
Un estilo de libro diferente para tratar más o menos los mismos temas.
En lugar de un estilo narrativo cronológico, se trata de ir presentando conceptos, tipos de juegos, y poniendo ejemplos de cada uno. Y un enfoque menos bélico, de grandes conflictos históricos, y más económico de situaciones hipotéticas o reales de la vida diaria. Un poco más teórico y filosófico, pero nivel introductorio.
Aunque me gustó más el anterior libro, este lo leí años después y también me gustó.

Notas al pie